1.1 椭圆及其标准方程(一)
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.21世纪教育网版权所有
知识点一 椭圆的定义
思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
思考2 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？21·世纪*教育网
梳理 (1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于______(大于|F1F2|)的点的集合叫作______.这两个定点叫作椭圆的______，两焦点间的距离叫作椭圆的______.
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}.
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二 椭圆的标准方程
思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
思考2 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？
梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式
形式一：＋＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在______上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2.2·1·c·n·j·y
形式二：＋＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2.2-1-c-n-j-y
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.21*cnjy*com
类型一 椭圆的定义解读
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.【来源：21cnj*y.co*m】
引申探究
若将本例中圆C的方程改为x2＋y2－6x－27＝0呢？
反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
类型二 求椭圆的标准方程
命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程
例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程.
引申探究
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程.
反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).21·cn·jy·com
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ).
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；【出处：21教育名师】
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).
命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程
例3 已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.21教育网
反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.21cnjy.com
跟踪训练3 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
类型三 椭圆中焦点三角形问题
例4 (1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积；【版权所有：21教育】
(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小.
反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.21*cnjy*com
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
跟踪训练4 (1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐标为(x0，y0)，求证：△PF1F2的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan.
(2)已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图).求△PF1F2的面积.
1.已知A(－5,0)，B(5,0).动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点
2.若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为( )
A.1 B.3 C.0 D.－2
3.已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上一点，则|PM|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________.【来源：21·世纪·教育·网】
4.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________.
5.求经过两点(2，－)，(－1，)的椭圆的标准方程.
1.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算.
2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.
3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.
提醒：完成作业 第三章 §1 1.1(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.www-2-1-cnjy-com
思考2 笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.
梳理 (1)常数 椭圆 焦点 焦距
知识点二
思考1 不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.
思考2 以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0).设P(x，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10, 所以＋＝10，即点P的轨迹方程为＋＝1.
梳理 (1)x轴
题型探究
例1 解 方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.
引申探究
解 设M(x，y)，据题意，圆C：(x－3)2＋y2＝36，
圆心C(3,0)，半径r＝6.
据题意，有|MC|＋|MP|＝r＝6＝|CP|.
故动点M的轨迹是线段CP.
跟踪训练1 ②
例2 解 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
依题意有
解得
由a>b>0知不合题意，故舍去.
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0).
依题意有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
引申探究
解 据题意可设其方程为＋＝1(λ>－9)，
又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得
λ＝11(λ＝－21舍去)，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
跟踪训练2 解 (1)设其标准方程为
＋＝1(a>b>0).
据题意2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
例3 解 据题意C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，
设M(x，y)，半径为R，
则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，
故|MC1|＋|MC2|＝10，
据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.www.21-cn-jy.com
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
跟踪训练3 解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2.即a＝.
由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴.
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2
＝，
∴c2＝，
∴b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
例4 解 (1)由椭圆的标准方程，
知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|
＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2
＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，21教育名师原创作品
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－).
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
＝×16(2－)×＝8－4.
(2)由＋＝1，知a＝3，b＝，
∴c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2
＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
跟踪训练4 (1)证明 ＝|F1F2||y0|＝c|y0|.
在△PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a.
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2. ①
根据余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos α＝4c2. ②
①－②，得(1＋cos α)|PF1||PF2|＝2b2，
所以|PF1||PF2|＝.
根据三角形的面积公式，得S△PF1F2＝
|PF1||PF2|sin α＝··sin α＝b2·.
又因为＝
＝＝tan，
所以S△PF1F2＝b2tan.
(2)解 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1.
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.
解得|PF1|＝.
所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|
＝××2＝，
即△PF1F2的面积是.
当堂训练
1.C 2.A 3.10＋ 10－
4.(0，－)，(0，)
5.解 方法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
同理得a2＝4，b2＝8，此时a2
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1.1 椭圆及其标准方程(二)
学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.
知识点 椭圆标准方程的认识与推导
思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？
思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.
梳理 (1)椭圆的标准方程的形式
焦点位置
形状、大小
焦点坐标
标准方程
焦点在x轴上
形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2c
F1(－c,0)，F2(c,0)
＋＝1(a>b>0)
焦点在y轴上
F1(0，－c)，F2(0，c)
＋＝1(a>b>0)
(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是____________.
(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为____________.
类型一 椭圆标准方程的确定
例1 求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置.21·cn·jy·com
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)；
(2)焦点在y轴上，且经过两点(0,2)和(1,0).
类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹. www.21-cn-jy.com
引申探究
若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”，改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么？ 【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为21·世纪*教育网
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1).
(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.
跟踪训练2 如图所示，B点坐标为(2,0)，P是以O为圆心的单位圆上的动点，∠POB的平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程. www-2-1-cnjy-com
1.若方程＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(，＋∞)
C.[1，＋∞) D.(－∞，1)
2.设B(－4,0)，C(4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为____________.2·1·c·n·j·y
4.在椭圆＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________.
5.△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程.
1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
不同点
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
相同点
定义
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
a、b、c的关系
a2＝b2＋c2
2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式＋＝1类比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小).21世纪教育网版权所有
要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.
提醒：完成作业 第三章 §1 1.1(二)
答案精析
问题导学
知识点
思考1 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上.
标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.
思考2 把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上.
思考3 (1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy. 21cnjy.com
(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).
(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为＋＝2a. ①
(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0). ②
(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫作椭圆的标准方程.
梳理 (2)A>0，B>0且A≠B
(3)a2＝b2＋c2
题型探究
例1 解 方法一 (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有
解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆的定义知：
2a＝ ＋ ＝2，
即a＝.
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求的椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴∴
∴所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
例2 解 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则x＝x0，y＝.因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4. ①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，
得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆.
引申探究
解 设M(x，y)，P(x0，y0)，
则x＋y＝4， (*)
代入(*)式得＋x2＝1.
故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.
跟踪训练2 解 由三角形角平分线性质得＝＝2.
∴＝2.
设Q(x，y)，P(x0，y0)，
则(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，
∴∴
又∵点P在单位圆x2＋y2＝1上.
∴()2＋(y)2＝1.
∴点Q的轨迹方程为＋y2＝1.
当堂训练
1.A 2.A 3.＋＝1 4.4
5.解 以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)，21教育网
则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
1.2 椭圆的简单性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.2·1·c·n·j·y
知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标
思考1 观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？【来源：21·世纪·教育·网】
思考2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
梳理 椭圆的简单性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
____________(a>b>0)
____________(a>b>0)
图形
焦点坐标
对称性
关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤____，|y|≤____
|x|≤____，|y|≤____
长轴、短轴
长轴A1A2长为______，短轴B1B2长为______
知识点二 椭圆的离心率
思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？
梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝____________称为椭圆的离心率.
(2)对于＋＝1，b越小，对应的椭圆越____，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)21·cn·jy·com
类型一 由椭圆方程研究其简单性质
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
引申探究
本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.
跟踪训练1 求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
类型二 椭圆的性质的简单应用
命题角度1 依据椭圆的性质求标准方程
例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程.
反思与感悟 此类问题应由所给的性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.21教育网
跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
命题角度2 对称性问题
例3 讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.
反思与感悟 研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“－y”代替方程中的“y”，用“－x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.
跟踪训练3 曲线x2－2y＋1＝0的对称轴为( )
A.x轴 B.y轴
C.直线y＝x D.无法确定
类型三 椭圆的离心率的求解
例4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围.21·世纪*教育网
反思与感悟 求e的取值范围有以下几个步骤
(1)切入点：已知|k|≤，求e的取值范围，需建立关于e的不等式.
(2)思考点：①e与k有什么关系？②建立e与k的等量关系式；③利用B在椭圆上且为CF1的中点，构建关于e与k的等式；④如何求e的范围？先用e表示k，再利用|k|≤，求e的取值范围.www-2-1-cnjy-com
(3)解题流程：先写出l的方程，求出B点的坐标，由点B在椭圆上，建立e与k的关系式，再求e的范围.
跟踪训练4 已知点P(m,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为________.2-1-c-n-j-y
1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________________________________________________________________________.
4.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________.
5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________________________________________________________________________.
1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.www.21-cn-jy.com
2.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.21*cnjy*com
3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.
4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
提醒：完成作业 第三章 §1 1.2(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
思考2 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).【来源：21cnj*y.co*m】
梳理 ＋＝1 ＋＝1
(±c,0) (0，±c) a b b a 2a 2b
知识点二
思考 用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.
梳理 (1) (2)扁
题型探究
例1 解 已知方程化成标准方程为
＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝ ＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3).
引申探究
解 由已知得椭圆标准方程为＋＝1，
于是a＝，b＝，c＝
＝.
∴长轴长2a＝，短轴长2b＝，
离心率e＝＝.
焦点坐标(－，0)和(，0)，
顶点坐标(±，0)，(0，±).
跟踪训练1 解 椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，长轴长2a＝18; 短轴长2b＝6；21cnjy.com
焦点坐标(0,6)，(0，－6)；
顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0).
离心率e＝＝.
例2 解 依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c，|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
跟踪训练2 解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
依题意有
解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，
∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
例3 解 用“－y”代替方程x3y＋x2y2＋xy3＝1中的“y”，得－x3y＋x2y2－xy3＝1，它改变了原方程，因此方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线不关于x轴对称.
同理，方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线也不关于y轴对称.
而用“－x”代替原方程中的“x”，用“－y”代替原方程中的“y”，得(－x)3(－y)＋(－x)2(－y)2＋(－x)(－y)3＝1，即x3y＋x2y2＋xy3＝1，故方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于原点对称.21世纪教育网版权所有
跟踪训练3 B
例4 解 依题意得F1(－c,0)，
直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc).
因为点B为CF1的中点，
所以B(－，).
因为点B在椭圆上，
所以＋＝1，
即＋＝1.
所以＋＝1，
所以k2＝.
由|k|≤，得k2≤，
即≤，
所以2e4－17e2＋8≤0.
解得≤e2≤8.因为0所以≤e2<1，即≤e<1.
跟踪训练4
当堂训练
1.B 2.B
3.＋＝1
4.[4－2，4＋2]
5.(0，±)
1.2 椭圆的简单性质(二)
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.
知识点一 点与椭圆的位置关系
思考1 判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系.
思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？21世纪教育网版权所有
梳理 设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二 直线与椭圆的位置关系
思考1 直线与椭圆有几种位置关系？
思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？
梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆______；若Δ＝0，则直线和椭圆______；若Δ<0，则直线和椭圆______.
(2)根与系数的关系及弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作______.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.21教育网
(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.
例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.【来源：21cnj*y.co*m】
类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断
命题角度1 点与椭圆位置关系的判断
例1 已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为____________.
引申探究
若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？
反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.【出处：21教育名师】
跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则( )
A.点(－3，－2)不在椭圆上 B.点(3，－2)不在椭圆上
C.点(－3,2)在椭圆上 D.以上都不正确
命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断
例2 (1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.【版权所有：21教育】
反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点.
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点.
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点.
跟踪训练2 (1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.1 B.1或2 C.2 D.0
(2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B.－
C.± D.±
类型二 弦长及中点问题
例3 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.
引申探究
在本例中求弦AB的长.
反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.
跟踪训练3 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
反思与感悟 求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.2·1·c·n·j·y
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
跟踪训练4 已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值.21·世纪*教育网
1.若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A.－
C.－22.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
3.已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________.21·cn·jy·com
4.若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________.
5.直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程.
1.直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝＝2-1-c-n-j-y
＝·
＝
＝ ·(k为直线斜率).
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.
2.解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.21cnjy.com
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.21*cnjy*com
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，
则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，
则
两式作差即得所求直线方程.
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.
提醒：完成作业 第三章 §1 1.2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外.
思考2 当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
知识点二
思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.
思考2 联立消去y得关于x的一元二次方程
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
梳理 (1)相交 相切 相离 (2)弦长
题型探究
例1 (－∞，－)∪(，＋∞)
引申探究
(－∞，－)∪(，＋∞)
跟踪训练1 C
例2 (1)A
(2)解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，www-2-1-cnjy-com
解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
跟踪训练2 (1)C (2)C
例3 解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为
A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y).
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.www.21-cn-jy.com
引申探究
解 由上例得直线AB方程为x＋2y－4＝0.
联立方程组消去y并整理，得x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4，
得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，
故|AB|＝＝2.
跟踪训练3 解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一 设l的斜率为k，则其方程为
y－2＝k(x－4).
联立消去y得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
例4 解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
跟踪训练4 解 由||＝1，A(3,0)，
知点M在以A(3,0)为圆心，
1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则||＝
＝ ，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，
||min＝.
当堂训练
1.A 2.C 3.2
4.(－2,2)
5.解 设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，得
(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得
(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)(－)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
2.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题.
知识点一 抛物线的定义
思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
思考2 平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？
思考3 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？
梳理 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离______的点的集合叫作抛物线.点F叫作抛物线的______，直线l叫作抛物线的______.21教育网
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).www-2-1-cnjy-com
知识点二 抛物线的标准方程
思考 抛物线的标准方程有何特点？
梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：
y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).2-1-c-n-j-y
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
(－，0)
x＝
x2＝2py(p>0)
(0，)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
(0，－)
y＝
类型一 抛物线的定义及理解
例1 (1)动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)21世纪教育网版权所有
反思与感悟 抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.
跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
类型二 抛物线标准方程及求解
命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
例2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y2＝40x；(2)4x2＝y；(3)3y2＝5x；(4)6y2＋11x＝0.
反思与感悟 根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.
跟踪训练2 若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________.
命题角度2 求解抛物线的标准方程
例3 根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)已知抛物线的准线方程是x＝－；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
反思与感悟 抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.21cnjy.com
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.
类型三 抛物线在实际生活中的应用
例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？21·世纪*教育网
反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练4 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？
1.抛物线y＝x2的准线方程是( )
A.y＝－1 B.y＝－2
C.x＝－1 D.x＝－2
2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )2·1·c·n·j·y
A.4 B.－2
C.4或－4 D.12或－2
3.若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
4.过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________.
5.已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2,3)，则|MN|＋|MF|的最小值为________.21*cnjy*com
1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F(，0)，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y＝－.【来源：21cnj*y.co*m】
2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.【出处：21教育名师】
3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.
提醒：完成作业 第三章 §2 2.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 连接两定点所得线段的垂直平分线.
思考2 一条直线.
思考3 抛物线.
梳理 (1)相等 焦点 准线
知识点二
思考 (1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.www.21-cn-jy.com
题型探究
例1 (1)C (2)抛物线
跟踪训练1 解 方法一 设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1，
两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝
方法二 由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，
由于点F(1,0)到y轴的距离为1，
故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，
故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为
y2＝
例2 解 (1)焦点坐标为(10,0)，准线方程为x＝－10.
(2)由4x2＝y得x2＝y.∵2p＝，
∴p＝.
∴焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.
(3)由3y2＝5x，得y2＝x.
∵2p＝，∴p＝.
∴焦点坐标为(，0)，
准线方程为x＝－.
(4)由6y2＋11x＝0，得y2＝－x，故焦点坐标为(－，0)，准线方程为y＝.
跟踪训练2 2 x＝－1
例3 解 (1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0).
其准线方程为x＝－，由题意有－＝－，故p＝3.
因此标准方程为y2＝6x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝.21·cn·jy·com
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
跟踪训练3 解 设抛物线方程为
y2＝－2px(p>0)，
则焦点F，
由题意，得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，
m＝±2.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
例4 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，
得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
跟踪训练4 解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，【版权所有：21教育】
所以16＝－5y0，即y0＝－，
所以OA的长为5－＝1.8(m).
所以管柱OA的长为1.8 m.
当堂训练
1.A 2.C 3.2 4.x2＝y 5.
2.2 抛物线的简单性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.www.21-cn-jy.com
知识点一 抛物线的范围
思考 观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物线与椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
梳理 抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈______________，y∈____________.
抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.
抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.
抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.
知识点二 四种形式的抛物线的简单性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F(，0)
F(－，0)
F(0，)
F(0，－)
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
知识点三 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.2·1·c·n·j·y
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有____个公共点；若Δ<0，直线与抛物线______公共点.【来源：21·世纪·教育·网】
当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有____个公共点.
类型一 依据抛物线的简单性质求标准方程
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.21·世纪*教育网
引申探究
将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.
反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程.www-2-1-cnjy-com
类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题
例2 (1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.
(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________.21*cnjy*com
(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________.【来源：21cnj*y.co*m】
反思与感悟 (1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫作抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：【出处：21教育名师】
①抛物线y2＝2px(p>0)，|PF|＝|x0＋|＝＋x0；
②抛物线y2＝－2px(p>0)，|PF|＝|x0－|＝－x0；
③抛物线x2＝2py(p>0)，|PF|＝|y0＋|＝＋y0；④抛物线x2＝－2py(p>0)，|PF|＝|y0－|＝－y0.【版权所有：21教育】
(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：21教育名师原创作品
①y1·y2＝－p2，x1·x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
③S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；
④＋＝；
⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
类型三 抛物线综合问题
命题角度1 与抛物线有关的最值问题
例3 抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，求的最小值.21教育网
反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.2-1-c-n-j-y
(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.
跟踪训练3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )21*cnjy*com
A.2 B.3 C. D.
命题角度2 定值或定点问题
例4 抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.
(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；
(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.
反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等.
跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点，·＝－4，求证：直线l必过一定点.
1.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A.－ B.－1 C.－ D.－
2.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B.3 C. D.
3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
5.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________.
1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
提醒：完成作业 第三章 §2 2.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)抛物线与椭圆相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.
(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
[0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0]
知识点三
两 一 没有 平行或重合 1
题型探究
例1 解 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3,
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.
引申探究
解 由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F(，0)，直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为(，m)，(，－m)，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以·||·2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
跟踪训练1 解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，
得()2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
例2 (1)16 (2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0 (3)
跟踪训练2 解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，
所以直线l的方程为y＝.
联立消去y得
x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，21·cn·jy·com
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
例3 解 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，
连接PA，
在Rt△PAN中，
sin∠PAN
＝，
当＝最小时，
sin∠PAN最小，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
此时，PA为抛物线的切线，
设PA的方程为y＝k(x＋1)，
联立
得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，
所以∠PAF＝∠NPA＝45°，
＝＝cos∠NPA＝.
跟踪训练3 A
例4 (1)证明 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋，x0为已知值.
由题意得x0＝，
∴线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，
其中t＝≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|?p＝0).
而kAB＝＝
＝＝，
故线段AB的垂直平分线的方程为y－t＝－(x－x0)，
即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p,0).
(2)解 由(1)知|MF|＝4，|OQ|＝6，得x0＋＝4，x0＋p＝6，联立解得p＝4，x0＝2.∴抛物线方程为y2＝8x.21cnjy.com
跟踪训练4 证明 设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
又∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又∵·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2,0).
当堂训练
1.C 2.A 3.8 4.2 5.8
3.1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.21cnjy.com
知识点一 双曲线的定义
思考 如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？2·1·c·n·j·y
梳理 (1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的______等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.__________叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的______.
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的______(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.【出处：21教育名师】
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的______.
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是__________________.
知识点二 双曲线的标准方程
思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？
思考2 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
梳理 (1)两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
图形
焦点坐标
a，b，c的关系式
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在______上；若y2项的系数为正，那么焦点在______上.
(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝____________与椭圆中的b2＝________相区别.2-1-c-n-j-y
类型一 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题
例1 已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.【来源：21cnj*y.co*m】
引申探究
本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.
(2)方法二：
利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系.21·cn·jy·com
跟踪训练1 如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积. 【版权所有：21教育】
命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程
例2 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )21教育名师原创作品
A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4
C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
反思与感悟 双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线.
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为
①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系；
②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0).
③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.
④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.
跟踪训练2 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|－|PF2|＝的点P的轨迹为双曲线；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；
④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.
类型二 待定系数法求双曲线的标准方程
例3 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程.
反思与感悟 待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程.
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(3，)，Q(－，5)；
(3)与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，).
类型三 双曲线定义的综合运用
例4 已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有交点P，且有公共的焦点，且∠F1PF2＝2α，求证：tan α＝.
反思与感悟 (1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.
(2)双曲线与椭圆的比较如下表：
曲线
椭圆
双曲线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(|F1F2|＝2c,2a>2c)
|PF1|－|PF2|＝±2a(|F1F2|＝2c,2a<2c)
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
图形特征
封闭的连续曲线
分两支，不封闭，不连续
根据标准方程确定a，b的方法
以大小分a，b(如＋＝1中，9>4，则a2＝9，b2＝4)
以正负分a，b(如－＝1中，4>0，－9<0，则a2＝4，b2＝9)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2(a最大)
c2＝a2＋b2(c最大)
利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题.www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4 (1)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程.
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C：－＝1写出具有类似特殊的性质，并加以证明.
1.若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )21*cnjy*com
A.11 B.9 C.5 D.3
2.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A.4 B.8 C.24 D.48
3.已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为______________.
4.已知双曲线2x2－y2＝k(k≠0)的焦距为6，则k的值为________________.
5.已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________.
1.双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上.
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线.
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
2.求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.21世纪教育网版权所有
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.www.21-cn-jy.com
提醒：完成作业 第三章 §3 3.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考 曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.21*cnjy*com
梳理 (1)绝对值 这两个定点 焦距 (2)两条射线 (3)一支 (4)线段F1F2的中垂线
知识点二
思考1 (1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得 －＝±2a. ①
(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).
令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). ②
(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程.(此步骤可省略)
思考2 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定.
梳理 (1)－＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2＝c221·世纪*教育网
(2)x轴 y轴 (4)c2－a2 a2－c2
题型探究
例1 解 由－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究
解 由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100， ②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以＝|PF1|·|PF2|＝16.
跟踪训练1 解 在△MF1F2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ. ①
∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2
＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|
＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|·(1－cos θ)，
∴|MF1|·|MF2|＝，
∴S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|·sin θ
＝
＝＝.
例2 (1)A (2)x2－＝1(x≤－1)
跟踪训练2 ②④
例3 解 (1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)方法一 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意易求得c＝2.
又双曲线过点(3，2)，
∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，
∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线方程为－＝1.
方法二 设双曲线方程为－＝1(－4将点(3，2)代入得k＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1.
跟踪训练3 解 (1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍).
∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P(3，)，Q(－，5)均在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为(2，0)，(－2，0).依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝20.
又∵双曲线过点(3，)，
∴－＝1.
∴a2＝20－2，b2＝2.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
例4 证明 如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，对于双曲线有|r2－r1|＝2m，21教育网
∴cos 2α＝
＝
＝＝＋1，
∴1－cos 2α＝.∴sin α＝.
则在△PF1F2中，对于椭圆有r1＋r2＝2a，
cos 2α＝
＝
＝＝－1，
∴1＋cos 2α＝，∴cos α＝ ，
∴tan α＝.
跟踪训练4 (1)解 椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的标准方程为－＝1.
由题意，知
解得
故双曲线的方程为－＝1.
(2)解 类似的性质如下：
若M，N为双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
其证明过程如下：
设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，
其中－＝1，即n2＝(m2－a2).
∴kPM＝，kPN＝.
又－＝1，即y2＝(x2－a2)，
∴y2－n2＝(x2－m2).
∴kPM·kPN＝＝.
故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
当堂训练
1.B 2.C
3.－＝1 4.－6或6 5.
3.2 双曲线的简单性质
学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.21世纪教育网版权所有
知识点一 双曲线的范围、对称性
思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？21教育网
(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？
梳理 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈______________，y∈______.双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈____________，y∈________________.21·cn·jy·com
(2)双曲线的对称轴为__________，对称中心为______.
知识点二 双曲线的顶点
思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？
梳理 双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为________，______；双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为______，______.【来源：21·世纪·教育·网】
知识点三 渐近线与离心率
思考1 能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？
思考2 离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
梳理 (1)渐近线：直线__________叫作双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线.
(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比______，叫作双曲线的离心率，用e表示(e>1).
(3)双曲线的性质见下表：
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
类型一 已知双曲线的标准方程研究其简单性质
例1 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.www-2-1-cnjy-com
引申探究
将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答. 2-1-c-n-j-y
反思与感悟 由双曲线的方程研究性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的性质.
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
类型二 由双曲线的性质确定标准方程
例2 求下列双曲线的标准方程.
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)过点(3,9)，离心率e＝.
反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.【出处：21教育名师】
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2 (1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程.www.21-cn-jy.com
类型三 共轭双曲线与等轴双曲线
命题角度1 共轭双曲线
例3 已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.2·1·c·n·j·y
反思与感悟 双曲线－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线.(2)四个焦点共圆.(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x轴上，另一个在y轴上.
跟踪训练3 与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)的双曲线的共轭双曲线的方程为________.21教育名师原创作品
命题角度2 等轴双曲线
例4 已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的方程.
反思与感悟 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.
(2)等轴双曲线的性质：①渐近线方程为y＝±x；②渐近线互相垂直；③离心率e＝.
(3)等轴双曲线的特征是a＝b，等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0).当λ>0时，双曲线的焦点在x轴上；当λ<0时，双曲线的焦点在y轴上.
跟踪训练4 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e为( )
A. B.2 C. D.
类型四 直线与双曲线的位置关系
命题角度1 直线与双曲线位置关系的判定与交点问题
例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；
(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；
(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值.
反思与感悟 研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组
的解的个数进行判断.
①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
Δ>0?直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.
通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l倾斜角).
如图①，θ＝α时，直线l只与双曲线一支相交，交点只有一个；
如图②，θ>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；
如图③，θ<α时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个.
跟踪训练5 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于A，B两个不同的点.
(1)求双曲线的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值.
命题角度2 直线与双曲线的相交弦及弦长问题
例6 (1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长；
(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程.
反思与感悟 (1)利用弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式.
(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系.21cnjy.com
其具体解题思路如下：
设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|＝·.涉及弦长的问题，常常设而不求.
中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝.【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练6 已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；21*cnjy*com
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
1.设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A.－4 B.－3 C.2 D.1
2.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
3.等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4.若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________.
5.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________.
双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.
提醒：完成作业 第三章 §3 3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a.
(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心.
梳理 (1)(－∞，－a]∪[a，＋∞) R R (－∞，－a]∪[a，＋∞) (2)x轴、y轴 原点
知识点二
思考 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.
(2)是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.
梳理 (－a,0) (a,0) (0，－a)
(0，a)
知识点三
思考1 能，离心率e＝＝＝ .
思考2 有影响，因为e＝＝＝ ，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.
梳理 (1)y＝±x (2)
(3)y＝±x y＝±x
题型探究
例1 解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，
即y＝±x.
引申探究
解 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
跟踪训练1 解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
例2 解 (1)方法一 椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25).
∵双曲线过点(－2，)，
∴－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为
－＝1， ①
或－＝1， ②
把(3,9)代入①，得k＝－161与k>0矛盾，无解；
把(3,9)代入②，得k＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练2 解 (1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0).
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，
∴＝，
∴a2＝3b2. ①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，
即4a2b2＝3(a2＋b2). ②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
例3 解 由题意，设双曲线E的方程为
－＝t(t≠0).
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝t，
∴t＝－，
∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
故双曲线M的标准方程为－＝1.
跟踪训练3 －＝1
例4 解 设双曲线方程为x2－y2＝a2(a>0)，则它的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(a,0)，(－a,0)，21*cnjy*com
∴＝，∴a＝，∴双曲线的方程为x2－y2＝2.
跟踪训练4 A
例5 解 由
得(1－k2)x2＋2kx－5＝0. ①
(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.
∴
解得k>或k<－，
则k的取值范围为k>或k<－.
(2)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根.
∴
解得－(3)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解.
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得k＝±，
故k的值为±1或±.
跟踪训练5 解 (1)由
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， ①
由题意得得0又双曲线的离心率
e＝＝ ，
∴e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0,1)，
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
故x1＝x2.
又x1，x2是方程①的两个根，
∴x2＝－，x＝－.
又a>0，∴a＝.
例6 解 (1)由
得4x2－(x＋1)2－4＝0.
化简得3x2－2x－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2
＝，x1x2＝－.
故所截得的弦长d＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
(2)方法一 ∵该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y).【版权所有：21教育】
由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，
Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，
∴16k2<80，即|k|<，k≠±2，
且x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴x＝(x1＋x2)＝，
y＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1
＝.
由消去k，
得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).
方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，
则
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
∴＝，
即＝＝(k为直线AB的斜率)，
整理得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).
跟踪训练6 解 (1)若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l斜率存在.21·世纪*教育网
故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx－2k＋1.
由消去y并化简，
得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0.
设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2).
当2－k2≠0，即k2≠2时，
有x1＋x2＝－.
又点P(2,1)是弦P1P2的中点，
∴－＝4，解得k＝4.
当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝56×5>0.
当k2＝2，即k＝±时，此时与渐近线的斜率相等，
即k＝±的直线l与双曲线不可能有两个交点.
综上可知，所求直线的方程为4x－y－7＝0.
(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
则有＝1，＝1，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
且
两式相减，得(2x－2x)－(y－y)＝0，
∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.
若直线Q1Q2垂直于x轴，
则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1,1)，
∴直线Q1Q2斜率存在，于是k＝＝2，
∴直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由得2x2－(2x－1)2＝2，
即2x2－4x＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.
∴直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.
当堂训练
1.A 2.C 3.D 4.(±，0)
5.y＝±x
4.1 曲线与方程(一)
学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.www.21-cn-jy.com
知识点一 曲线与方程的概念
思考1 设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？
(1){P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；
(2){P|PO＝3 cm}(O为定点).
思考2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
梳理 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：21cnjy.com
(1)____________都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在______上，
那么，这个方程叫作__________；这条曲线叫作__________.
知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读
思考1 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明.2·1·c·n·j·y
思考2 方程－＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？
梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了__________关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.21·世纪*教育网
类型一 曲线与方程的概念理解与应用
命题角度1 曲线与方程的判定
例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )
A.方程f(x，y)＝0的曲线是C
B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C.f(x，y)＝0是曲线C的方程
D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.21*cnjy*com
判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.
跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
命题角度2 曲线与方程的概念应用
例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.2-1-c-n-j-y
跟踪训练2 写出方程(x＋y－1)＝0表示的曲线.
类型二 曲线与方程关系的应用
例3 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值.
反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.21·cn·jy·com
跟踪训练3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.
1.曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为( )
A.f(x－3，y)＝0 B.f(y＋3，x)＝0
C.f(y－3，x＋3)＝0 D.f(y＋3，x－3)＝0
2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x－y＝0对称
3.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为________.
4.若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B(，)，则a＝________，b＝________.
5.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________.
1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.
2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.
提醒：完成作业 第三章 §4 4.1(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 (1)线段AB的垂直平分线；
(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆.
思考2 y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.21世纪教育网版权所有
梳理 (1)曲线上点的坐标 (2)曲线 曲线的方程 方程的曲线
知识点二
思考1 不能.还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.21教育网
思考2 方程－＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程－＝0的解.例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线.
梳理 (2)一一对应
题型探究
例1 B
跟踪训练1 D
例2 证明 ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.www-2-1-cnjy-com
跟踪训练2 解 由方程(x＋y－1)＝0可得
或＝0.
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).
例3 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上.
(2)∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴2＋(－m－1)2＝10.解得m＝2或m＝－.【出处：21教育名师】
跟踪训练3 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－22＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是.
当堂训练
1.D 2.C 3.两条相交直线 4.4 1
5.4个点
4.1 曲线与方程(二)
学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 21教育网
知识点一 坐标法的思想
思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？
思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？
梳理 (1)坐标法：借助于______，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.
(2)解析几何研究的主要问题：
①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出__________.
②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究________.
知识点二 求曲线的方程的步骤
类型一 直接法求曲线的方程
例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.
引申探究
若将本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.
反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.21cnjy.com
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.
跟踪训练1 已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.21·cn·jy·com
类型二 代入法求解曲线的方程
例2 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程.
(4)化简、整理，得所求轨迹方程.
跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.21世纪教育网版权所有
类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点
例3 过点M(1,2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.www.21-cn-jy.com
反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.2·1·c·n·j·y
跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.【来源：21·世纪·教育·网】
1.曲线y＝与xy＝2的交点是( )
A.(1,1)
B.(2,2)
C.直角坐标系内的任意一点
D.不存在
2.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是( )
3.直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________________.
4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________.21·世纪*教育网
5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.www-2-1-cnjy-com
求解轨迹方程常用方法
(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或代入法.2-1-c-n-j-y
(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.
(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.21*cnjy*com
提醒：完成作业 第三章 §4 4.1(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.
思考2 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准.
梳理 (1)坐标系 (2)①表示曲线的方程 ②曲线的性质
知识点二
有序实数对(x，y) P＝{M|p(M)}
p(M) f(x，y)＝0 f(x，y)＝0
方程的解
题型探究
例1 解 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
引申探究
解 据题意设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，
又|PA|＝，
故|y－8|＝2，
化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
跟踪训练1 解 设点P(x，y)，
由M(－1,0)，N(1,0)，
得＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2,0).
∴·＝2(x＋1)，
·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x).
于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于
即
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0).
例2 解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，
所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
跟踪训练2 解 如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y)，
作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线.
∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|.
又M是△ABC的外心，
∴M∈{M||MA|＝|MB|}.
而|MA|＝，
|MB|＝＝，
∴＝，
化简，得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.
例3 解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点.
设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
联立曲线方程，得
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0. ①
当此方程有两个不同的根，
即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka>0.
设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，
∴k＝2－a，
代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，
解得0又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.
∴a的取值范围是(0,2)∪(2，).
跟踪训练3 解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
整理得(x－)2＋y2＝.
∵点M应在圆内，
∴所求的轨迹为圆内的部分.
解方程组
得两曲线交点的横坐标为x＝，
故所求轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0≤x<).
当堂训练
1.D 2.D
3.x＋y－1＝0(x≠0，x≠1)
4.x＝
5.解 设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得所以
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，
即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.
4.2 圆锥曲线的共同特征
学习目标 1.理解椭圆、双曲线的第二定义.2.了解圆锥曲线的共同特征.3.会用圆锥曲线的统一定义解决问题.2·1·c·n·j·y
知识点一 椭圆的第二定义
思考 椭圆是如何定义的？(第一定义)
梳理 (1)定义：平面内到一个定点F(c,0)的距离与到一条定直线l：x＝(a＞c＞0)的距离之比为常数________的点的轨迹为椭圆(点F不在直线l上)，其标准方程为＋＝1(a＞b＞0).其中，定点F(c,0)为椭圆的右焦点，定直线x＝为椭圆的________，常数就是椭圆的______.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)两点说明
①在上述定义中，只有当0＜e＜1时才表示椭圆.
②焦点与准线的对应关系：对于椭圆＋＝1(a＞b＞0)，左焦点F1(－c,0)对应的准线为直线x＝－，右焦点F2(c,0)对应的准线为直线x＝；对于椭圆＋＝1(a＞b＞0)，上焦点F2(0，c)对应的准线为直线y＝，下焦点F1(0，－c)对应的准线为直线y＝－.
知识点二 双曲线的第二定义
思考 双曲线的第一定义是什么？
梳理 (1)双曲线的第二定义内容
平面内到一个定点F(c,0)的距离与到一条定直线l：x＝(c＞a＞0)的距离之比为常数的点的轨迹为双曲线(点F不在直线l上)，其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).其中，定点F(c,0)是右焦点，定直线l：x＝是右准线，常数就是双曲线的离心率e.2-1-c-n-j-y
(2)两点说明
①在上述定义中，只有当e＞1时才表示双曲线.
②左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，对应焦点F1(－c,0)的准线方程为x＝－，对应焦点F2(c,0)的准线方程为x＝.21·世纪*教育网
知识点三 圆锥曲线的共同特征——统一定义
圆锥曲线上的点M到一个定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比为定值e.当0＜e＜1时，圆锥曲线是__________；当e＝1时，圆锥曲线是________；当e＞1时，圆锥曲线是________.此即为圆锥曲线的统一定义.【来源：21cnj*y.co*m】
类型一 由圆锥曲线的共同特征确定曲线的形状及方程
例1 方程·＝|x＋y－2|表示的曲线是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.不能确定
反思与感悟 在圆锥曲线的共同特征中，曲线上的点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一常数，这本身就是一个几何关系.由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线的方程.可以根据常数的大小(与1比较)来判断所求轨迹是什么曲线.www.21-cn-jy.com
跟踪训练1 已知动点M(x，y)到点F(－2，0)与到定直线x＝－6的距离之比为，求点M的轨迹方程.【出处：21教育名师】
类型二 依据圆锥曲线的性质求其方程
例2 根据下列条件分别求椭圆的标准方程.
(1)经过点(－1，)，且一条准线为直线x＝5；
(2)两准线间的距离为，焦距为2.
反思与感悟 圆锥曲线的准线方程是圆锥曲线的一个几何性质，已知准线方程可得a，c之间的一个关系式，结合其他已知条件可求出圆锥曲线的标准方程.www-2-1-cnjy-com
跟踪训练2 已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，一条准线的方程为5y＋3＝0，求此双曲线的方程.21*cnjy*com
类型三 椭圆、双曲线的第二定义及应用
例3 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0，] B.(0，]
C.[－1,1) D.[，1)
反思与感悟 椭圆(双曲线)上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径.
(1)椭圆的焦半径公式
当椭圆的焦点在x轴上时，设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P(x0，y0)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.【版权所有：21教育】
推导如下：由统一定义，得＝e(d1为点P到左准线的距离)，则|PF1|＝ed1＝e(x0＋)＝a＋ex0.21教育名师原创作品
同理，得|PF2|＝a－ex0.
简记为：左“＋”右“－”.
同理可知，当椭圆的焦点在y轴上时，焦半径公式为|PF1|＝a＋ey0，|PF2|＝a－ey0(F1为下焦点，F2为上焦点).21*cnjy*com
综上可知，过焦点的弦的弦长仅与焦点弦中点的横坐标有关.
(2)双曲线的焦半径公式
对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)(F1为左焦点，F2为右焦点)：
若点P(x1，y1)在左支上，则|PF1|＝－a－ex1，|PF2|＝a－ex1；
若点P(x1，y1)在右支上，则|PF1|＝a＋ex1，|PF2|＝－a＋ex1.
对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)(F1为下焦点，F2为上焦点)：
若点P(x1，y1)在下支上，则|PF1|＝－a－ey1，|PF2|＝a－ey1；
若点P(x1，y1)在上支上，则|PF1|＝a＋ey1，|PF2|＝－a＋ey1.
跟踪训练3 已知双曲线x2－3y2＝3上一点P到左，右焦点的距离之比为1∶2，求点P到右准线的距离.21教育网
1.椭圆＋y2＝1的准线方程为( )
A.x＝± B.x＝±
C.y＝± D.y＝±
2.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离心率是( )
A.3 B.5 C. D.
3.如果双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是________.
4.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.21世纪教育网版权所有
5.已知椭圆＋＝1上一点P到直线x＝的距离等于10，求它到点(8,0)的距离.
应用椭圆和双曲线的第二定义，解题时需要注意“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(0＜e＜1或e＞1)”，其中“定点”是指焦点，“定直线”是指相应准线.一定要注意“左焦点对应左准线，右焦点对应右准线”.21cnjy.com
椭圆、双曲线的定义从不同的角度反映了椭圆、双曲线的特征，解题时要灵活运用.
一般地，如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第一定义，如果遇到有动点到一定点与一定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第二定义.
椭圆、双曲线的第二定义揭示了椭圆、双曲线上的点到焦点的距离与它到对应准线距离的关系，因此可以把椭圆、双曲线上一点到焦点的距离转化为到其准线的距离.
提醒：完成作业 第三章 §4 4.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.
梳理 (1) 右准线 离心率e
知识点二
思考 我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用2a(a＞0)表示，焦距常用2c(c＞0)表示.
知识点三
椭圆 抛物线 双曲线
题型探究
例1 C
跟踪训练1 解 由题意得
＝，
整理，得＋＝1，即为点M的轨迹方程.
例2 解 (1)因为椭圆的一条准线为直线x＝5，
所以椭圆的焦点在x轴上.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
根据题意，得
解得或
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)根据题意，得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
跟踪训练2 解 由题意得双曲线的准线方程为y＝－，渐近线方程为3x±4y＝0.
设双曲线的标准方程为－＝1.
根据题意，得
设a＝3k，b＝4k(k＞0)，则c＝5k，代入①，得a＝，b＝.
故所求双曲线的方程为－＝1.
例3 D
跟踪训练3 解 设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，
则
解得
设点P到右准线的距离为d，
则＝＝，∴d＝6，
即点P到右准线的距离为6.
当堂训练
1.B 2.D 3. 4.6
5.解 由椭圆的方程＋＝1，知a2＝100，b2＝36，则a＝10，c2＝a2－b2＝64，解得c＝8，故点(8,0)是椭圆的右焦点，直线x＝是椭圆的右准线，且离心率e＝＝.
设点P到点(8,0)的距离为d，则由椭圆的第二定义，得＝，解得d＝8.故点P到点(8,0)的距离为8.21·cn·jy·com
4.3 直线与圆锥曲线的交点
学习目标 1.会求曲线的交点.2.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.3.理解弦长公式及其求解与应用.21世纪教育网版权所有
知识点一 两条曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线C1，C2，它们由如下方程确定：
C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0.
求曲线C1和C2的交点，即要求出这些交点的______.
设M(x0，y0)是曲线C1和C2的一个交点.因为点M在曲线C1上，所以它的坐标满足方程f(x，y)＝0；因为点M在曲线C2上，所以它的坐标也满足方程g(x，y)＝0.从而，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标.21cnjy.com
知识点二 直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的三种位置关系
当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个交点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有交点时，称直线与椭圆相离.2·1·c·n·j·y
2.直线与椭圆位置关系的判定
直线与椭圆位置关系的判定方法和直线与圆的位置关系的判定方法相同，即可以转化为直线与椭圆的方程所组成的方程组的求解问题，从而用代数方法来判断直线与椭圆的位置关系.
具体的步骤为：
(1)联立成方程组；
(2)消元，转化为一元二次方程；
(3)计算Δ＝b2－4ac.
当Δ＞0时，直线与椭圆相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与椭圆相切，有且只有一个交点；当Δ＜0时，直线与椭圆相离，没有交点.www-2-1-cnjy-com
知识点三 直线与双曲线的位置关系
已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0).
(1)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m.
将双曲线方程与直线方程联立成方程组，消去y，整理得(b2－a2k2)x2－2mka2x－a2(m2＋b2)＝0.(*)2-1-c-n-j-y
当b2－a2k2＝0，即|k|＝时，若m＝0，则直线与双曲线的渐近线重合，直线与双曲线无交点，若m≠0，则直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点.
当b2－a2k2≠0，即|k|≠时，
①当|k|＞时，若方程(*)的判别式Δ＞0，则直线与双曲线的一支有两个不同的交点，相交，若Δ＝0，则直线与双曲线有且只有一个公共点，相切，若Δ＜0，则直线与双曲线没有交点，相离.21*cnjy*com
②当|k|＜时，直线与双曲线的两支各交于一点.
(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为x＝n.
当|n|＞a时，直线与双曲线的一支交于两点；当|n|＝a时，直线与双曲线的一支切于顶点；当|n|＜a时，直线与双曲线无交点.【出处：21教育名师】
知识点四 直线与抛物线的位置关系
(1)当直线的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b，抛物线C：y2＝2px(p＞0).
由得ky2－2py＋2pb＝0.
当k＝0时，直线与x轴平行，与抛物线C只有一个交点(相交).
当k≠0时；①若Δ＝0，则直线与抛物线只有一个公共点，相切；②若Δ＞0，则直线与抛物线有两个交点，相交；③若Δ＜0，则直线与抛物线没有交点，相离.21教育网
(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为x＝n，抛物线方程为y2＝2px(p＞0).当n＝0时，直线与抛物线相切于原点；当n＜0时，直线与抛物线相离；当n＞0时，直线与抛物线相交于两点.21*cnjy*com
类型一 由直线与圆锥曲线的位置关系确定参数的值
例1 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围.
反思与感悟 求解直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用代数法，即将直线和圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数，得到关于x(或y)的一元二次方程，讨论其根的个数，从而知其交点的个数.
跟踪训练1 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
(1)l与C无公共点？
(2)l与C有唯一公共点？
(3)l与C有两个不同的公共点？
类型二 直线与圆锥曲线的弦长问题
例2 过双曲线x2－＝1的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
反思与感悟 求解直线与圆锥曲线的弦长问题常用以下两种方法：
(1)求出交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式；
(2)利用弦长公式|AB|＝·.
跟踪训练2 已知一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线2x－y－4＝0所截的弦长为3，求抛物线的方程.21·世纪*教育网
类型三 中点弦问题
例3 椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2＝＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点坐标为(，0)，斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的中点H的坐标为(2，－1).
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设P为椭圆C2上一点，点M，N在椭圆C1上，且＝＋2.问：直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【版权所有：21教育】
反思与感悟 解决中点弦问题主要有如下两种方法：
(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)“点差法”：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式.
跟踪训练3 过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程.
1.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|等于( )21·cn·jy·com
A. B.6 C.12 D.7
3.过椭圆＋＝1内一定点M(1,0)作弦，则弦中点的轨迹方程为__________________.
4.已知曲线C：y2＝2x，若C上存在相异两点关于直线l：y＝m(x－2)对称，则实数m的取值范围是________.【来源：21cnj*y.co*m】
5.已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？若存在，求出最小距离；若不存在，请说明理由.21教育名师原创作品
在解决圆锥曲线上两点关于直线对称的问题时，这两点的连线就是圆锥曲线的弦，先求弦中点的轨迹方程，然后联立直线方程，求得中点坐标的表达式，再由中点在曲线内部构造出不等式，最后得出答案.
处理有关弦的中点轨迹的问题时，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在直线上这一条件，结合中点坐标公式，寻找中点和端点坐标之间的联系，其中用端点的坐标表示直线的斜率是常用方法.
提醒：完成作业 第三章 §4 4.3
答案精析
问题导学
知识点一
坐标
题型探究
例1 解 由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
∴Δ＝4m2－4×5(m2－1)＝20－16m2.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，即20－16m2≥0.
∴－≤m≤.
故实数m的取值范围为[－，].
跟踪训练1 解 由题意，得l：y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得
(1－4k2)x2－16kx－20＝0. ①
当1－4k2≠0时，Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2).
(1)当即k＜－或k＞时，l与C无公共点.
(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，方程①只有一解；
当1－4k2≠0且Δ＝0，即k＝±时，方程①有两个相同的解.
故当k＝±或k＝±时，l与C有唯一公共点.
(3)当即－＜k＜且k≠±时，方程①有两个不同的解，
即此时l与C有两个不同的公共点.
例2 解 ∵双曲线x2－＝1的左焦点为F1(－2,0)，
∴直线方程为y＝(x＋2).
由消去y，得
8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝ ·＝3.
跟踪训练2 解 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).将y＝2x－4代入并整理，得4x2－(16＋a)x＋16＝0.www.21-cn-jy.com
设此方程的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝4.
又∵抛物线被直线所截的弦长为3，
∴(3)2＝(1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[()2－16].
整理，得a2＋32a－144＝0，
∴a＝4或a＝－36.
故所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
例3 解 (1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
H(xH，yH)，则
∴
＝－·＝－·.
又∵直线l的斜率为1，点H的坐标为(2，－1)，
∴1＝－·，即a2＝2b2.
又∵a2－b2＝5，∴b2＝5，a2＝10，
∴椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).
∵＝＋2，∴
又∵x＋2y＝10，
∴(x1＋2x2)2＋2(y1＋2y2)2＝10，
即x＋2y＋4(x＋2y)＋4x1x2＋8y1y2＝10，
又∵x＋2y＝2，x＋2y＝2，
∴10＋4x1x2＋8y1y2＝10，
即x1x2＋2y1y2＝0.
∴kOM·kON＝＝－.
跟踪训练3 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵M(2,1)为弦AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又∵A，B两点在椭圆上，
∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.
将两式相减，得x－x＋4(y－y)＝0，
∴＝－＝－，
∴kAB＝－.
故弦AB所在直线的方程是－(x－2)＝y－1，即x＋2y－4＝0.
当堂训练
1.C 2.C
3.4x2＋9y2－4x＝0
4.(－，)
5.解 由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交.
设直线m与椭圆相切且平行于直线l，
则直线m的方程可以设为4x－5y＋k＝0.
由方程组消去y，得
25x2＋8kx＋k2－225＝0.
令Δ＝0，得64k2－4×25×(k2－225)＝0，
解得k1＝25，k2＝－25.
由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0，直线m与直线l间的距离d＝＝，即最小距离为.
第三章 圆锥曲线与方程
学习目标 1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单性质，会利用简单性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.21教育网
知识点一 三种圆锥曲线的定义、标准方程、简单性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内到两个定点F1，F2距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
e＝1
准线方程
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
知识点二 待定系数法求圆锥曲线标准方程
1.椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上.21世纪教育网版权所有
另外，与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0).21cnjy.com
2.抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.21·cn·jy·com
知识点三 直线与圆锥曲线有关的问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点.www.21-cn-jy.com
2.直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或 ，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出.
类型一 圆锥曲线定义的应用
例1 已知点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________.2·1·c·n·j·y
反思与感悟 应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论.
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( ) 21·世纪*教育网
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
类型二 圆锥曲线性质的应用
例2 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去.
跟踪训练2 双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A.2 B. C. D.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系问题
例3 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.
跟踪训练3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切.2-1-c-n-j-y
(1)求p的值；
(2)设l与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围.21*cnjy*com
1.下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )
A.y＝与y2＝x B.y＝x与＝1
C.y2－x2＝0与|y|＝|x| D.y＝lg x2与y＝2lg x
2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4.点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________.
5.直线y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为________.
1.离心率的几种求法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法.
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系.【出处：21教育名师】
2.圆锥曲线中的有关最值问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略
(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理.
(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用基本不等式等求解.
提醒：完成作业 第三章 章末复习课
答案精析
知识梳理
题型探究
例1 8－
跟踪训练1 D
例2
跟踪训练2 C
例3 解 (1)设椭圆的半焦距长为c，依题意有
∴b＝1.∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当AB⊥x轴时，|AB|＝.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝，得m2＝(k2＋1).
把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)
＝
＝
＝3＋＝3＋(k≠0)
≤3＋＝4.
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立.
此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，
∴|AB|≤2，
当k＝0时，|AB|＝，
综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值
S＝×|AB|max×＝.
跟踪训练3 解 (1)因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，
所以圆的半径为p，即|FP|＝p，
所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1，
所以焦点F的坐标为(1,0)，从而p＝2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
线段AB的垂直平分线与x轴的交点D(x0,0)，
则由|DA|＝|DB|，y＝4x1，y＝4x2，
得(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y，
化简得x0＝＋2， ①
设直线AB的方程为x＝my－1，代入抛物线C的方程，
得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，
代入①得x0＝2m2＋1>3，
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).
当堂训练
1.C 2.A 3.B 4.2x－y－15＝0 5.3
