1．1 导数与函数的单调性
学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．21教育网
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考 观察下列各图，完成表格内容
函数及其图像
切线斜率k正负
导数正负
单调性
正
[1，＋∞)上单调______
R上单调________
负
(0，＋∞)上单调______
(0，＋∞)上单调______
(－∞，0)上单调______
梳理 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增加的．
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的．
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变化趋势
函数的单调性
>0
____0
____角
____
单调____
<0
____0
____角
____
单调____
知识点二 函数的变化快慢与导数的关系
思考 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？【来源：21·世纪·教育·网】
梳理 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．
类型一 原函数与导函数的关系
例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的( )
反思与感悟 (1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．2-1-c-n-j-y
(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢．
跟踪训练1 已知y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是如图所示的( )
类型二 单调区间的求解及单调性证明
命题角度1 求函数的单调区间
例2 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
反思与感悟 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．
跟踪训练2 求函数f(x)＝的单调区间．
命题角度2 证明函数的单调性
例3 证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
反思与感悟 利用导数证明不等式的一般步骤
(1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x)．
(2)求导：F′(x)＝f′(x)－g′(x)．
(3)判断函数的单调性．
(4)若F(x)在区间上的最小值大于等于0，则f(x)≥g(x)；若F(x)在区间上的最大值小于等于0，则f(x)≤g(x)．www.21-cn-jy.com
跟踪训练3 证明：函数f(x)＝在区间上是减少的．
类型三 含参数函数的单调性
例4 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
引申探究
试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．21·cn·jy·com
(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2·1·c·n·j·y
(3)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
1．f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
2．函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是( )21·世纪*教育网
A．[－，1]∪[2,3)
B．[－1，]∪[，]
C．(－，)∪[1,2]
D．(－，－1)∪[，]∪[，3]
3．若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
4．若函数y＝f(x)＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是________．
5．已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．www-2-1-cnjy-com
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 正 递增 正 正 递增 负 递减 负 负 递减 负 负 递减
梳理 (2)> 锐 上升 递增 < 钝 下降 递减
知识点二
思考 如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”．21*cnjy*com
题型探究
例1 C [由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
?
?
?
f′(x)
－
＋
－
由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图像在x轴下方．故选C.]
跟踪训练1 C [由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：【来源：21cnj*y.co*m】
x
(－∞，0)
(0,2)
(2，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
?
?
?
由表可知f(x)在(－∞，0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C，故选C.]21世纪教育网版权所有
例2 解 f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－＝＝，
由x>0，解f′(x)>0，得x>.
由x<0，解f′(x)<0，得0
∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
跟踪训练2 解 函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为
(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为
(－∞，2)和(2,3)．
例3 证明 由题意，得
f′(x)＝＝.
∵00，
∴f′(x)＝>0.
根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
跟踪训练3 证明 f′(x)＝，
又x∈，
则cos x<0，所以xcos x－sin x<0，
所以f′(x)<0，所以f(x)在上是减少的．
例4 [1，＋∞)
解析 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．21cnjy.com
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究 解 f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－，
当k≤0时，函数的单调递减区间为
(0，＋∞)；
当k>0时，函数的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
跟踪训练4 解 (1)f′(x)＝2x＋＝，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f′(x)>0，
f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时，f′(x)＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
递减
递增
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；
单调递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2aln x，得
g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，
则h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)<0，x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，
h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故实数a的取值范围为{a|a≤－}．
当堂训练
1．D 2.A 3.A 4.(0，＋∞)
5．证明 y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)，
当a>1时，因为ln a>0，ax<1，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的；
当01，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的．
综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的．
1.2 函数的极值
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 函数极值的概念
函数y＝f(x)的图像如图所示．
思考1 函数在点x＝a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
思考2 f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
思考3 函数在x＝b点处的情况呢？
梳理 (1)如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．21世纪教育网版权所有
(2)如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的步骤
1．求出导数f′(x)．
2．解方程f′(x)＝0.
3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：21教育网
(1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；
(2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；
(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．
类型一 判断与求解极值(点)
例1 判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由．
(1)f(x)＝x3＋4；(2)f(x)＝x3＋x2＋4x.
反思与感悟 (1)导数值为0的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件，而不是充分条件．21·cn·jy·com
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数f′(x)；
②求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；
③利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图像也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝＋3ln x.
类型二 已知函数极值求参数
例2 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.www.21-cn-jy.com
引申探究
1．本例的其他条件不变，如果直线y＝k与函数图像有三个交点，求k的取值范围．
2．若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，b的值．【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
类型三 函数极值的综合应用
例3 函数f(x)＝x3－4x＋4的图像与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．21*cnjy*com
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
1.已知函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )2-1-c-n-j-y
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为( )【出处：21教育名师】
A．a> B．a≥
C．a<且a≠0 D．a≤且a≠0
3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.【版权所有：21教育】
5．设f(x)＝(a>0)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．21cnjy.com
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 函数在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小．
思考2 f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
思考3 函数在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.2·1·c·n·j·y
题型探究
例1 解 (1)f′(x)＝x2.
令f′(x)＝0，解得x＝0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
＋
f(x)
?
无极值
?
由上表可知，该函数无极值．
(2)因为f′(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3>0，
所以函数f(x)在R上为增函数，无极值．
跟踪训练1 解 (1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值21
?
极小值－6
?
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值3
?
因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值．
例2 2 9
解析 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
且函数f(x)在x＝－1处有极值0.
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．21·世纪*教育网
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9
＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，
此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，
∴a＝2，b＝9.
引申探究
1．解 由例2知f(x)极小值＝f(－1)＝0，
f(x)极大值＝f(－3)＝4，
由图像可知当0直线y＝k与函数图像有三个交点．
2．解 f′(x)＝3x2＋6ax＋b＝0的两根为－3和－1，
则解得
跟踪训练2 解 (1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，
即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x－x2＋x(x>0)，
故f′(x)＝－－x＋1＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数f(x)取得极大值－ln 2.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
例3 (－，)
解析 ∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－，
且f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上是增加的，在(－2,2)上是减少的．
根据函数单调性、极值情况，它的图像大致如图所示，
结合图像知－跟踪训练3 解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，
即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图像与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8
＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，4)
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
－m
?
－16－m
?
则函数g(x)的极大值为g()＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同交点，
得
解得－16当堂训练
1．B 2.C 3.D 4.－2
5．解 f′(x)＝.
(1)当a＝时，
f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
?
因此f(x)的极大值点为，极小值点为.
(2)由题意知ax2－2ax＋1＝0有两相等实根或无根，
当a＝0时，方程无根，符合题意，
当a≠0时，Δ＝(－2a)2－4a≤0，
得0综上可得实数a的取值范围为[0,1]．
2．1 实际问题中导数的意义
学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题．
知识点 实际问题中导数的意义
思考 某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.21*cnjy*com
(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？
(2)上述问题的实际意义是什么？
(3)W′(1)的实际意义是什么？
梳理 (1)在物理学中，通常称力在单位时间内________为功率，它的单位是________．功率是功关于________的导数．【出处：21教育名师】
(2)在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的________称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的________．
(3)在经济学中，通常把生产成本y关于________x的函数y＝f(x)的导函数称为____________．边际成本f′(x0)指的是当产量为 x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．
类型一 导数在物理学中的意义
例1 某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．
(1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．
反思与感悟 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解．
跟踪训练1 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，且y＝f(x)＝.
(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？
(2)求f′(27)，并解释它的实际意义．
类型二 导数在经济生活中的应用
例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．21世纪教育网版权所有
引申探究
1．若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．
2．若本例的条件“C(x)＝x2＋60x＋2 050”变为“C(x)＝x2＋ax＋2 050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a的取值范围．www.21-cn-jy.com
反思与感悟 生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)中，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练2 已知某商品的成本函数为C(Q)＝100＋(Q为产品的数量)．
(1)求Q＝10时的总成本、平均成本及边际成本；
(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？
类型三 在日常生活中的应用
例3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数为y＝f(x)＝＋4.21·cn·jy·com
(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．
反思与感悟 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2.2-1-c-n-j-y
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )21教育名师原创作品
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
2．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即W＝W(t)，则W′(t0)表示( )
A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度
C．t＝t3时的位移 D．t＝t0时的功率
3．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义是__________________________________．
4．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为________．
5．某厂生产x吨产品获利y万元，y是x的函数，且函数为y＝f(x)＝－x2＋21x－100.
(1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(2)求f′(84)，并解释它的实际意义．
1．解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论．
2．解决实际问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．
答案精析
问题导学
思考 (1)＝＝11 J/s.
(2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，
W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J.
梳理 (1)做的功 瓦特 时间
(2)降雨量 导数 (3)产量 边际成本
题型探究
例1 解 (1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为
＝＝＝11 m/s.
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7 m/s，s′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.21教育网
s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.
s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.21*cnjy*com
跟踪训练1 解 (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
＝＝ (m3/min)．
(2)f′(x)＝x－，于是f′(27)＝×27－＝ (m3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为
m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3.
例2 解 当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元．
此时总成本的平均改变量为
＝67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．
引申探究
1．解 因为C′(x)＝x＋60，
所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．
2．解 因为C′(x)＝x＋a，
所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，
即C′(75)＝×75＋a>97.5，
解得a>60.
跟踪训练2 解 (1)Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；
Q＝10时的平均成本
＝＝12.5.
边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本C′(Q)＝Q，
Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.
(2)由(1)得，平均成本
＝＝＋，
而＋≥2·＝10，
当且仅当＝，即Q＝20时，等号成立，
所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.
例3 解 (1)当x从1 h变到4 h时，
产量y从f(1)＝ g变到f(4)＝ g，
此时平均变化率为?＝＝ (g/h)，
它表示从1 h到4 h这段时间这个人平均每小时生产 g产品．
(2)f′(x)＝＋，于是
f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)，
分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.
跟踪训练3 解 (1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题．
(2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，
f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．
当堂训练
1．D 2.D
3．36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
4．8
5．解 (1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．21cnjy.com
(2)f′(x)＝－x＋21，于是f′(84)＝0，
f′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，
也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，
利润增加为0，即利润不变．
问题导学
思考 (1)＝＝11 J/s.
(2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，
W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J.
梳理 (1)做的功 瓦特 时间
(2)降雨量 导数 (3)产量 边际成本
题型探究
例1 解 (1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为
＝＝＝11 m/s.
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7 m/s，s′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.【来源：21cnj*y.co*m】
s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.2·1·c·n·j·y
s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.【版权所有：21教育】
跟踪训练1 解 (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
＝＝ (m3/min)．
(2)f′(x)＝x－，于是f′(27)＝×27－＝ (m3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为
m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3.
例2 解 当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元．
此时总成本的平均改变量为
＝67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．
引申探究
1．解 因为C′(x)＝x＋60，
所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．
2．解 因为C′(x)＝x＋a，
所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，
即C′(75)＝×75＋a>97.5，
解得a>60.
跟踪训练2 解 (1)Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；
Q＝10时的平均成本
＝＝12.5.
边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本C′(Q)＝Q，
Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.
(2)由(1)得，平均成本
＝＝＋，
而＋≥2·＝10，
当且仅当＝，即Q＝20时，等号成立，
所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.
例3 解 (1)当x从1 h变到4 h时，
产量y从f(1)＝ g变到f(4)＝ g，
此时平均变化率为?＝＝ (g/h)，
它表示从1 h到4 h这段时间这个人平均每小时生产 g产品．
(2)f′(x)＝＋，于是
f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)，
分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.
跟踪训练3 解 (1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题．
(2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，
f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．
当堂训练
1．D 2.D
3．36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
4．8
5．解 (1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．21·世纪*教育网
(2)f′(x)＝－x＋21，于是f′(84)＝0，
f′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，
也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，
利润增加为0，即利润不变．
2.2 最大值、最小值问题(一)
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点 函数的最大(小)值与导数
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值．
思考2 结合图像判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？21世纪教育网版权所有
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条____________的曲线，那么它必有最大值与最小值．21·cn·jy·com
(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；
②将函数y＝f(x)的________与________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．www.21-cn-jy.com
类型一 求函数的最值
命题角度1 不含参数的函数求最值
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1 求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．
命题角度2 含参数的函数求最值
例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练2 已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
类型二 由函数的最值求参数
例3 设函数f(x)＝ln x＋，m>0，求f(x)的最小值为2时m的值．
反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．21cnjy.com
跟踪训练3 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0
类型三 与最值有关的恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．
反思与感悟 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.21·世纪*教育网
跟踪训练4 已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
5．设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2-1-c-n-j-y
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2 存在，f(x)min＝f(a)，
f(x)max＝f(x3)．
思考3 不一定，也可能是区间端点的函数值．
梳理 (1)连续不断 (2)①极值 ②各极值 端点 最大值 最小值
题型探究
例1 解 (1)因为f(x)＝2x3－12x，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，
f()＝＋，
f()＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值0；
当x＝2π时，f(x)有最大值π.
跟踪训练1 解 ∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)
＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，
f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上是减少的，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值
f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值
f(5)＝－22e5.
例2 解 (1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，
f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上是增加的，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上是减少的，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)在上是减少的，
在上是增加的，
从而f(x)max＝
综上所述，
f(x)max＝
跟踪训练2 解 f′(x)＝－3x2＋3a
＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)在[0,1]上是减少的，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
由x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
①当0<<1，即0当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0，)
(，1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
2a
?
故f(x)max＝f()＝2a；
②当≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数
f(x)在[0,1]上是增加的，当x＝1时，
f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
例3 解 因为f′(x)＝(x>0)，
所以当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)在(0，m)上是减少的，
当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(m，＋∞)上是增加的，
所以当x＝m时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2.
即f(m)＝ln m＋＝2，
所以m＝e.
跟踪训练3 解 f′(x)＝－x2＋x＋2a，
令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
当x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)时，
f′(x)<0；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的．
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，
即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为
f(4)＝8a－＝－，
故a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为
f(2)＝.
例4 解 f′(x)＝＋ln x－1＝ln x＋，xf′(x)＝xln x＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a.21教育网
令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝－1.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；
当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是
g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.
综上可知，a的取值范围是.
跟踪训练4 解 由题意，知
f(1)＝－3－c.
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
所以对f(x)求导，得
f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·－12x3
＝x3(4aln x＋a－12)．
由题意，知f′(1)＝0，
即a－12＝0，得a＝12.
所以f′(x)＝48x3ln x(x＞0)，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；
当x＞1时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，
并且此极小值也是最小值．
所以要使f(x)≥－2c2(x＞0)恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可．
整理，得2c2－c－3≥0，
解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围是(－∞，－1]∪.
当堂训练
1．B 2.D 3.B 4.A
5．解 ∵f′(x)＝6x2－18x＋12
＝6(x－1)(x－2)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值
f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为
f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，
有f(x)∴9＋8c9.
故c的取值范围为
(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
2.2 最大值、最小值问题(二)
学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点 生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．
类型一 几何中的最值问题
命题角度1 平面几何中的最值问题
例1 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．21教育网
命题角度2 立体几何中的最值问题
例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.21cnjy.com
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．www.21-cn-jy.com
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
跟踪训练2 把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
类型二 实际生活中的最值问题
命题角度1 利润最大问题
例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：21·cn·jy·com
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．www-2-1-cnjy-com
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
命题角度2 费用(用材)最省问题
例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．2-1-c-n-j-y
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．21*cnjy*com
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练4 据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )【版权所有：21教育】
A．6时 B．7时 C．8时 D．9时
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1件产品，成本增加100元，已知总收益R(元)与年产量x(件)的关系是R(x)＝则总利润P(x)最大时，每年生产的产品是( )21教育名师原创作品
A．100件 B．150件
C．200件 D．300件
4．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为________m时，容器的容积最大．21*cnjy*com
5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：
(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；
(2)与实际问题相联系；
(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
答案精析
问题导学
知识点
1．优化问题
3．数学建模
题型探究
例1 解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为x－20，，
其中x>20，y>25.
两栏面积之和为
2(x－20)·＝18 000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，
∴S′＝＋25
＝＋25.
令S′>0得x>140，
令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上是增加的，在(20,140)上是减少的，
∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．
跟踪训练1 解 设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图像的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)
＝16x－12x2＋2x3，
∴y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)．
令y′＝0，解得x＝2±，
∵0∵当00，函数是增加的；
当2－∴当x＝2－时，矩形的面积有最大值.
例2 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，
高为(30－x) cm，
所以包装盒侧面积为
S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×()2
＝8×225，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x
＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0令V′<0，得20所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.2·1·c·n·j·y
跟踪训练2 解 设箱底边长为x，则箱高为h＝×(0＝ax2－x3(0则V′(x)＝ax－x2.
令V′(x)＝0，
解得x1＝0(舍)，x2＝a，
当x∈时，V′(x)>0；
当x∈时，V′(x)<0，
所以函数V(x)在x＝a处取得极大值，
这个极大值就是函数V(x)的最大值，
V＝a×2－×3
＝a3.
所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，
最大容积为a3.
例3 解 (1)因为当x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
跟踪训练3 解 (1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．
由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.
若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)
＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)由(1)知，f′(x)＝－18x2＋252x－432，x∈[0,21]，
令f′(x)＝0，则x1＝2，x2＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9 072
?
极小值
?
极大值
?
∴x＝12时，f(x)取得极大值．
∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．
例4 解 (1)由题设知每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)
＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5(x＝－舍去)，
当00，
故x＝5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
即当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
跟踪训练4 解 (1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，要耗油×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．21世纪教育网版权所有
(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得
h(x)＝·
＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减少的；
当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增加的．
所以当x＝80时，h(x)取到极小值为
h(80)＝11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，
所以它是最小值．
故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
当堂训练
1．C 2.C 3.D 4.1 5.160
第四章 导数应用
1 利用导数研究函数单调性常见题型
1．运用导数求函数的单调区间
利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，得单调区间．2·1·c·n·j·y
例1 求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
解 由已知，得当f′(x)＝(ex－1)(x＋1)＝0时，有x＝0或x＝－1.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>0时，f′(x)>0.
故f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．
点评 单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．www.21-cn-jy.com
例2 已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为________．
分析 先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f′(x)<0即可．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x＋3－.
令f′(x)<0，即2x＋3－＝<0，
结合定义域知x>0，且2x2＋3x－2<0，解得0即函数f(x)的单调递减区间为(0，)．
答案 (0，)
点评 求解该类问题时要注意两点：①不要忽视定义域；②如有多个单调递增(减)区间，不要把这些区间取并集．【来源：21·世纪·教育·网】
2．证明不等式
例3 求证：当x>1时，ln x>－.
分析 可构造函数f(x)＝ln x－(－)，由于f(1)＝0，故若能证明f(x)为(1，＋∞)上的增函数，即证明在(1，＋∞)上，导函数f′(x)>0恒成立即可．2-1-c-n-j-y
证明 令f(x)＝ln x－(－)，则有f(1)＝0.
因为f′(x)＝＋x＝>0，x∈(1，＋∞)，
所以函数f(x)为(1，＋∞)上的增函数，
又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，
即ln x>－.
点评 证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的一般方法：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F(x)>0在(a，b)内恒成立即可．【出处：21教育名师】
3．求参数的取值范围
例4 已知函数f(x)＝x3－ax2＋1.
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，求实数a的取值范围．
分析 注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆．
解 (1)由f(x)的单调递减区间为(0,2)可知0与2是方程f′(x)＝3x2－2ax＝0的两根，
故有3×22－2a×2＝0，解得a＝3.
(2)因为函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，
所以f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)上恒成立，
即2a≥3x在区间(0,2)上恒成立．
因为x∈(0,2)，所以3x∈(0,6)，故2a≥6，即a≥3.
经验证a＝3时满足题意，故a的取值范围为[3，＋∞)．
点评 若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则有f′(x)≥0(f′(x)≤0)对x∈D恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解．也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解.21·cn·jy·com
2 巧用导数求极值
1．函数的极值点的判定方法
设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法是：(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．21*cnjy*com
2．极值常见题型详解
(1)利用导数求函数的极值
例1 求函数f(x)＝xln x的极值点．
解 f′(x)＝ln x＋1，x>0.
而f′(x)>0?ln x＋1>0?f′(x)<0?ln x＋1<0?0所以f(x)在(0，)上是减少的，
在(，＋∞)上是增加的．
所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
点评 求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可．【版权所有：21教育】
(2)含参数的极值问题
例2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，讨论函数f(x)的单调区间和极值．
解 由已知，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增加的，无极值；
②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增加的；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的．
所以当x＝时，f(x)有极大值，
极大值为f()＝ln －1＝－ln a－1.
综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，无极值；
当a>0时，f(x)的递增区间为(0，)，递减区间为(，＋∞)，极大值为－ln a－1，无极小值．www-2-1-cnjy-com
点评 本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏．
(3)极值问题的逆向考查
例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．不存在
解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
所以
解得或经检验
满足题意，所以＝－.故选A.
答案 A
点评 本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件．如果不满足，需要舍去．21cnjy.com
3 分类讨论思想在导数中的应用
分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？21·世纪*教育网
1．按导数为零的根的大小来分类
例1 设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值．
解 f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，
解得x＝a或x＝.
当a>，即a>0，x∈(－∞，)时，f′(x)<0，
x∈(，a)时，f′(x)>0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a3，在x＝a处取得极大值0.
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
x∈(a，)时，f′(x)>0，x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a3，在x＝a处取得极小值0.
点评 本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类．【来源：21cnj*y.co*m】
2．按是否为二次函数来分类
例2 已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a≤)，讨论f(x)的单调性．
解 f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．
(1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)是减少的；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)是增加的．
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，
解得x1＝1，x2＝－1，
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
②当01>0，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的，
x∈(1，－1)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)是增加的，
x∈(－1，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的；
③当a<0时，－1<0<1，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的，
x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)是增加的．
综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上是减少的，
在(1，＋∞)上是增加的；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
当0点评 由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围．21世纪教育网版权所有
3．按最值来分类
例3 设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
解 令g(x)＝f(x)－ax，
则g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以当a≤2时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax.
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln <0，x2＝ln >0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数．
所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(－∞，2]．
点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论．
小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤为：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论．21教育网
第四章 导数应用
学习目标 1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题．2·1·c·n·j·y
知识点一 函数的单调性、极值与导数
1．函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的；如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的．21*cnjy*com
2．函数的极值与导数
(1)极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时，__________，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；【出处：21教育名师】
(2)极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，__________，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值．【版权所有：21教育】
知识点二 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．
2．将函数y＝f(x)的各极值与__________________________________________________
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
类型一 导数中的数形结合思想
例1 已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图像大致是( )www.21-cn-jy.com
反思与感悟 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 函数f(x)＝ln x－x2的大致图像是( )
类型二 构造函数求解
命题角度1 比较函数值的大小
例2 已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系正确的是( )21教育名师原创作品
A．a反思与感悟 本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．
跟踪训练2 设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
命题角度2 求解不等式
例3 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)2ex的解集为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)＝，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围．
跟踪训练3 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
类型三 利用导数研究函数的极值与最值
例4 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．21*cnjy*com
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．21cnjy.com
反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．21·cn·jy·com
跟踪训练4 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图像关于原点成中心对称．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间及极值；
(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．
类型四 导数的综合应用
例5 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．21·世纪*教育网
反思与感悟 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．
跟踪训练5 (1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？
(2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
1．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图像如图所示，则x＋x等于( )
A. B.
C. D.
2．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a)
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，则不可能正确的是( )2-1-c-n-j-y
4．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内是减少的，则实数a的取值范围为________．
5．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．f′(x)>0 f′(x)<0
2．(1)f′(x)>0 f′(x)<0 (2)f′(x)<0 f′(x)>0
知识点二
1．极值
2．端点处函数值f(a)，f(b)
题型探究
例1 C [当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，
排除A、B选项．
当10，
∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，
因此排除D.]
跟踪训练1 B [函数f(x)＝ln x－
x2的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x＝
＝.
令f′(x)>0，得>0.
又因为x>0，所以(1＋x)(1－x)>0，
所以0同理，令f′(x)<0，解得x>1.
于是当0当x>1时，函数f(x)是减函数；
当x＝1时，f(x)＝－<0.结合以上特征可知应选B.]
例2 B [令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数．
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∵f′(x)＋<0，
∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵∴g()∵g(x)是偶函数，
∴g(－)＝g()，g(ln )＝g(ln 2)，
∴g(－)故选B.]
跟踪训练2 C [由条件，得[]′
＝<0，
∴在(a，b)上是减函数．
∴<<，
∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．]
例3 C [设g(x)＝，
则g′(x)＝.
∵f(x)0，
即函数g(x)单调递增．
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)>g(0)．
∵函数g(x)单调递增，
∴x>0，即不等式的解集为(0，＋∞)，
故选C.]
跟踪训练3 B [令g(x)＝f(x)－2x－4，∵f′(x)>2，
则g′(x)＝f′(x)－2>0.
又由g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
得g(x)>0，
即g(x)>g(－1)的解为x>－1，
∴f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．]
例4 解 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.【来源：21cnj*y.co*m】
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得
f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
2
?
－2
?
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，
f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则 解得－2即实数c的取值范围为(－2,0]．
跟踪训练4 解 (1)∵函数f(x)的图像关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b
＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，
∴解得a＝1，b＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4.
令f′(x)<0，得－40，
得x<－4或x>4.
∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)．
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，
f(x)极小值＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上是减少的，在[4,5]上是增加的，f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，21教育网
∴函数的最大值为－47，最小值为－128.
例5 解 (1)f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立，
即3x2－a≥0在R上恒成立．
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0<3x2<3，
所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上是减少的，
即a＝3符合题意，
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，且a的取值范围是[3，＋∞)．
跟踪训练5 解 (1)f′(x)＝12x2－a，
∵f(x)的单调递减区间为，
∴x＝±为f′(x)＝0的两个根，
∴a＝3.
(2)若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，
即12x2－a≥0在上恒成立，
∴a≤12x2在上恒成立，
∴a≤(12x2)min＝0.
当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．
∴a＝0符合题意．
若f(x)在上为单调减函数，
则f′(x)≤0在上恒成立，
即12x2－a≤0在上恒成立，
∴a≥12x2在上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(只有x＝±时f′(x)＝0)．
综上，a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
当堂训练
1．C 2.A 3.D 4.(－∞，)
5．[e，＋∞)
