1 命题
学习目标 1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断．www.21-cn-jy.com
知识点一 命题的概念
思考1 给出下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②3＋6＝7；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④5能被4整除．
请你找出上述语句的特点．
梳理 (1)定义
可以__________、用文字或符号表述的语句叫作命题．
(2)分类
①真命题：__________的语句叫作真命题；
②假命题：__________的语句叫作假命题．
知识点二 命题的形式
思考1 你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？
思考2 “内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？
梳理 命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
由p能推出q，则为真命题．能举一反例即可确定为假命题．
知识点三 四种命题的概念
思考 给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
梳理 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作__________．2-1-c-n-j-y
如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作__________．
如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作______________．
把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
知识点四 四种命题的关系及其真假判断
思考1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【来源：21cnj*y.co*m】
思考2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？
梳理 (1)四种命题的相互关系
(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是__________．
(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性__________．
类型一 命题的概念
例1 下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．21世纪教育网版权所有
其中是命题的是________．(填序号)
反思与感悟 一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．
其流程图如图：
跟踪训练1 下列语句中，是命题的为________．
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
类型二 四种命题及其相互关系
命题角度1 四种命题的概念
例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；
(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；
(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练2 命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )21教育网
A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
命题角度2 四种命题的相互关系
例3 若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是( )21cnjy.com
A．互为逆命题 B．互为否命题
C．互为逆否命题 D．同一命题
反思与感悟 (1)判断四种命题之间四种关系的两种方法
①利用四种命题的定义判断；
②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
(2)要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．2·1·c·n·j·y
跟踪训练3 有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②一个实数不是正数就是负数；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【出处：21教育名师】
引申探究
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．【版权所有：21教育】
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．21教育名师原创作品
跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
1．下列语句是命题的是( )
A．2 014是一个大数
B．若两条直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗
D．a≤15
2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )21*cnjy*com
A．0 B．2 C．3 D．4
5．给出以下命题：
①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
其中为真命题的是________．
1．可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．21*cnjy*com
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变．
3．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定和结论q的否定；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假．
梳理 (1)判断真假 (2)①判断为真 ②判断为假
知识点二
思考1 若两个角为内错角，则这两个角相等．
思考2 是命题，是假命题．
知识点三
思考 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．21·世纪*教育网
梳理 互逆命题 互否命题 互为逆否命题
知识点四
思考1 互逆、互否、互为逆否．
思考2 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．
梳理 (1)逆否 互逆 (2)逆否命题 (3)没有关系
题型探究
例1 (1)(3)(5)(8)
解析 本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．
跟踪训练1 ①④
解析 ②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．
例2 解 (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．
(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题．
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题．
(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题．
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题．
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．
跟踪训练2 B [直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．]
例3 B [已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．
命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，
命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，
∴r是p的逆否命题，
∴r是p的逆命题的否命题，故选B.]
跟踪训练3 1
解析 ①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．
②实数0既不是正数，也不是负数，
所以原命题是假命题．
③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，
解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，
而x＝4>－3不是不等式的解，
故是假命题．
④“相等的角是同位角”，是假命题．
例4 解 方法一 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?，判断如下：21·cn·jy·com
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题．
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥≥1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究
解 先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，【来源：21·世纪·教育·网】
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)
＝4a－7<0，
所以a<.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
跟踪训练4 证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．www-2-1-cnjy-com
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1
＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1
＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．
当堂训练
1．B 2.D 3.B 4.B 5.①③
2．1 充分条件2．2 必要条件
学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．21世纪教育网版权所有
知识点一 充分条件与必要条件的概念
给出下列命题：
(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；
(2)若ab＝0，则a＝0.
思考1 你能判断这两个命题的真假吗？
思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？
梳理 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的__________，q是p的__________．
知识点二 充分条件与必要条件的判断
命题真假
若“p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p__________q
p __________q
条件关系
p是q的______条件
q是p的______条件
p不是q的____条件
q不是p的____条件
知识点三 充分条件、必要条件与集合的关系
思考 “x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．
梳理 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A?B
p是q的充分条件
q是p的必要条件
A?B
p是q的不充分条件
q是p的不必要条件
B?A
q是p的充分条件
p是q的必要条件
B?A
q是p的不充分条件
p是q的不必要条件
类型一 充分条件与必要条件的概念
例1 (1)判断下列说法中，p是q的充分条件的是______________________________．
①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
②已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，p：a与b无公共点，q：α∥β；
③设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．
(2)下列各题中，p是q的必要条件的是________．
①p：x2>2 016，q：x2>2 015；
②p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，q：0
③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：log2a>log2b>0.
引申探究
例1(1)中p是q的必要条件的是________．
反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
类型二 充分条件与必要条件的应用
例2 已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m的取值范围．www.21-cn-jy.com
引申探究
若将本例条件变为q是p的必要条件，求正实数m的取值范围．
反思与感悟 (1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；p?q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A?B.2·1·c·n·j·y
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
跟踪训练2 已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
3．已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x)为奇函数的________条件是f(0)＝0.(填“充分”或“必要”)21教育网
4．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“，”的________条件．(填“充分”或“必要”)21·cn·jy·com
5．是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由．21·世纪*教育网
1．充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．21cnjy.com
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．www-2-1-cnjy-com
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．2-1-c-n-j-y
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 (1)真命题；(2)假命题．
思考2 命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能有结论b＝0.21*cnjy*com
梳理 p?q 充分条件 必要条件
知识点二
? ?/ 充分 必要 充分 必要
知识点三
思考 充分 必要
题型探究
例1 (1)①
解析 对①，p?q；②p?/ q；③p?/ q，故选①.
(2)②③
解析 ①q?/ p；②p：0≤a<1，故q?p；
③log2a>log2b>0?a>b>1，
∴q?p，故选②③.
引申探究 ①②
解析 ①x2－2x＋1＝0?x＝1，即q?p；
②?a与b无公共点，即q?p；
③q?/ p．故选①②.
跟踪训练1 B [∵?a>b，
?a∴ac>bc?/ a>b，而由a>b?/ ac>bc，
∴“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件，也不是必要条件，
故A，C错误．
又?a＝b，
?/ a＝b，
∴由ac＝bc?/ a＝b，
而由a＝b?ac＝bc，
∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故选B.]
例2 解 解不等式得p：－2≤x≤3，
当m>0时，q：2－3m≤x≤2＋3m，
由q是p的充分条件可得q?p，
从而?0所以正实数m的取值范围为(0，]．
引申探究 解 由p：－2≤x≤3，
q：2－3m≤x≤2＋3m(m>0)，
∵q是p的必要条件，∴p?q，
从而
解得m≥.
∴正实数m的取值范围为[，＋∞)．
跟踪训练2 解 ∵a<0，
解不等式得q：x<1＋a或x>1－a，
∵p是q的必要条件，∴q?p，
∴解得a≤－9.
故负实数a的取值范围是a≤－9.
当堂训练
1．A 2.A 3.必要 4.充分
5．解 由x2－x－2>0，
解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝.
由题意得B?A，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1?x2－x－2>0，
∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．
2.3 充要条件
学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．21教育网
知识点一 充要条件的概念
思考1 命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？21cnjy.com
思考2 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
梳理 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作______．此时，我们说，p是q的____________，简称____________________________________________________．
知识点二 充要条件的判断
1．由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件
若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：
原命题
逆命题
条件p与
结论q的关系
结论
真
假
p是q成立的充分不必要条件
假
真
p是q成立的必要不充分条件
真
真
p是q成立的充要条件
假
假
p是q成立的既不充分又不必要条件
由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
类型一 充要条件的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：sin α>sin β，q：α>β.
反思与感悟 充要条件的常用判断方法
(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．
(2)集合法：若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．
跟踪训练1 (1)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 探求充要条件
例2 求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件．
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 设a、b、c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件．2·1·c·n·j·y
命题角度2 充要条件的证明
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
反思与感悟 一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p?q.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
类型三 充分条件与必要条件的应用
例4 已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
反思与感悟 首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后，构建满足条件的不等式(组)求解．同时要注意命题的等价性的应用．
跟踪训练4 已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
1．“x2>2 017”是“x2>2 016”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．“a>b”是“a>|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论中正确的是( )
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；
②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；
③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．
A．③ B．①② C．①②③ D．①②③④
4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________．
5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．21世纪教育网版权所有
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．
思考2 因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．21·cn·jy·com
梳理 p?q 充分必要条件 充要条件
知识点二
1．p?q，但q?/ p q?p，但p?/ q p?q，q?p，即p?q p?/ q，q?/ p
题型探究
例1 解 (1)∵四边形的对角线互相平分?/ 四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，
a＋b＝0D?/a2＋b2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝成立时，可以推出x＝1或x＝2，21·世纪*教育网
∴p是q的充要条件．
(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．
跟踪训练1 (1)B [由x＞1?x＋2＞3?＜0，＜0?x＋2＞1?x＞－1，故“x＞1”是“＜0”成立的充分不必要条件．故选B.]
(2)C [当x＝1，y＝－2时，x>y，
但x>|y|不成立；
因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y.
所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．]
例2 解 充分性：当0判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a
＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
所以a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
跟踪训练2 解 先由题意求出条件：
设α是两方程的公共根，显然α≠0，
则α2＋2aα＋b2＝0，①
α2＋2cα－b2＝0，②
①＋②，得2α2＋2α(a＋c)＝0，
∴α＝－(a＋c)．
代入①，得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，即a2＝b2＋c2，以上求条件的过程就是必要性的证明过程．www-2-1-cnjy-com
再证明充分性：∵a2＝b2＋c2，
∴方程x2＋2ax＋b2＝0，
可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
它的解为x1＝－(a＋c)，
x2＝c－a.
同理方程x2＋2cx－b2＝0可化为
x2＋2cx－a2＋c2＝0，
它的解为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.
∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．
综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.
例3 证明 充分性：∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
跟踪训练3 证明 ①充分性：
如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
例4 解 由3x＋m<0得，x<－.
∴p：A＝.
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q而q?/ p，∴A是B的真子集，
∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
跟踪训练4 B [q：x<－1或x>2，
由题意知，{x|x≥k}?{x|x<－1或x>2}，
则k>2，∴k的取值范围是(2，＋∞)．]
当堂训练
1．A 2.B 3.D 4.m＝－4或m＝0
5．解 由3x＋m<0，得x<－，
∴p：A＝{x|x<－}．
由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q而q?/ p，
∴A?B，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
3．1 全称量词与全称命题3．2 存在量词与特称命题
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．21世纪教育网版权所有
知识点一 全称量词与全称命题
思考 观察下列命题：
(1)每一个三角形都有内切圆；
(2)所有实数都有算术平方根；
(3)对一切有理数x,5x＋2还是有理数．
以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．
梳理
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
全称命题p
含有__________的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________________
判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在x∈M，p(x)不成立”．【来源：21cnj*y.co*m】
知识点二 存在量词与特称命题
思考 观察下列命题：
(1)有些矩形是正方形；
(2)存在实数x，使x>5.
(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.
以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．
梳理
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
特称命题
含有__________的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为________________
判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．【来源：21·世纪·教育·网】
类型一 识别全称命题与特称命题
例1 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(3)对任意a，b∈R，若a>b，则<；
(4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．
反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1 下列命题不是特称命题的是( )
A．有些实数的平方可以等于零
B．存在x<0，使x2<0
C．至少有一个三角函数的周期是2π
D．二次函数的图像都是抛物线
类型二 全称命题与特称命题的真假的判断
例2 判断下列命题的真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)存在一个函数，既是偶函数，又是奇函数．
引申探究
例2若将题中(2)(3)(4)改为
①对所有的实数，它的绝对值均不是正数；
②存在实数x1，x2，若x1③任意一个函数，都既是偶函数又是奇函数，判断其真假．
反思与感悟 (1)判断全称命题真假的方法
①要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真．
②要判断一个全称命题为假时，即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．21cnjy.com
(2)判断特称命题真假的方法
①要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真．
②要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假．
所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系．
跟踪训练2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．
(1)对任意x∈N,2x＋1是奇数．
(2)每一个平行四边形的对角线都互相平分．
(3)存在一个x∈R，使＝0.
(4)存在一组m，n的值，使m－n＝1.
(5)至少有一个集合A，满足A?{1,2,3}．
类型三 全称命题、特称命题的应用
例3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
跟踪训练3 (1)对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．
1．下列命题中特称命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1.2·1·c·n·j·y
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
3．下列含有量词的命题为真命题的是( )
A．所有四边形都有外接圆
B．有的等比数列的项为零
C．存在实数没有偶次方根
D．任何实数的平方都大于零
4．对任意的x∈[0，]，tan x≤m是真命题，则实数m的最小值为________．
5．将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题．
(1)相等的角是对顶角；
(2)sin x＋cos x<3.
1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．21·cn·jy·com
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．21教育网
3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．21·世纪*教育网
答案精析
问题导学
知识点一
思考 命题(1)(2)(3)分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．
命题(1)(3)是真命题，命题(2)是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题(2)为假命题．www-2-1-cnjy-com
梳理 全称量词 任意x∈M，p(x)
知识点二
思考 命题(1)(2)(3)分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题(1)(2)是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题(3)为假命题．
梳理 存在量词 存在x∈M，p(x)
题型探究
例1 解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，是全称命题．
(2)含有存在量词“有些”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，是特称命题．
跟踪训练1 D
例2 解 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，故该命题是真命题．2-1-c-n-j-y
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，故该命题是真命题．
(3)存在x1＝0，x2＝π，x1(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数，又是奇函数，故该命题是真命题．
引申探究 解 ①存在实数1，它的绝对值是正数，故该命题是假命题．
②因为当x∈时，函数y＝tan x是增加的，故存在x1，x2∈，若x1③如函数y＝x2＋1，它是偶函数，但不是奇函数，故该命题是假命题．
跟踪训练2 解 (1)是全称命题．因为对任意x∈N,2x＋1都是奇数，所以全称命题：“对任意x∈N,2x＋1是奇数”是真命题．21*cnjy*com
(2)是全称命题．由平行四边形的性质可知此命题是真命题．
(3)是特称命题．不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(4)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(5)是特称命题．存在A＝{3}，使A?{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
例3 解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，
∴实数a的取值范围为.
(2)∵对任意x∈R，p(x)是真命题．
∴对任意x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，
则∴a>1.
即a的取值范围是(1，＋∞)．
跟踪训练3 解 (1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x
＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x
＝sin∈，
又存在x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
当堂训练
1．B 2.D 3.C 4.1
5．解 (1)存在相等的两个角是对顶角．
(2)对任意x∈R，sin x＋cos x<3.
3.3 全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点 全称命题与特称命题的否定
思考1 写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形；
②有些平行四边形是菱形．
思考2 对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？
思考3 对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？
梳理 (1)全称命题的否定是__________；
(2)特称命题的否定是__________；
(3)常见的命题的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任意n∈Z，则n∈Q；
(2)等圆的面积相等，周长相等；
(3)偶数的平方是正数．
反思与感悟 (1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．21世纪教育网版权所有
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定：
(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个素数含三个正因数．
反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
类型三 含有一个量词的命题的否定的应用
例3 已知命题p(x)：sin x＋cos x>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．21教育网
引申探究
若例3中“如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R，p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
反思与感悟 若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．21cnjy.com
1．全称命题“任意实数的平方是正数”的否定是( )
A．任意实数的平方是负数
B．任意实数的平方不是正数
C．有的实数的平方是正数
D．有的实数的平方不是正数
2．特称命题“有的素数是偶数”的否定是( )
A．有的素数不是偶数 B．有的素数是奇数
C．所有的素数都是偶数 D．所有的素数都不是偶数
3．下列命题的否定为假命题的是( )
A．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．任意x∈R，lg x＜1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．任意x∈R，sin2x＋cos2x＝1
4．若“存在x∈，sin xcos x>m”为假命题，则实数m的取值范围是________．
5．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)有些三角形的三条边相等；
(3)余弦值为负数的角是钝角．
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．www.21-cn-jy.com
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形．
②每一个平行四边形都不是菱形．
思考2 不能．
思考3 不能．
梳理 (1)特称命题 (2)全称命题
(3)不是 不都是 ≤ 一个也没有
至少有两个 存在x∈A使p(x)为假
题型探究
例1 解 (1)存在n∈Z，使n?Q，这是假命题．
(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
跟踪训练1 解 (1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(3)存在x∈Z，x2的个位数字等于3.
例2 解 (1)任意x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)所有的三角形都不是等边三角形．
(3)每一个素数都不含三个正因数．
跟踪训练2 解 (1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．21·cn·jy·com
(3)命题的否定：
“任意x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
例3 解 ∵sin x＋cos x
＝sin(x＋)>m，
若p(x)为真命题，则m<－.
∵p(x)为假命题，m≥－，①
由q(x)为真命题，则Δ＝m2－4<0，
即－2由①②可得－≤m<2.
引申探究 解 由例3知p(x)为真命题时，m<－，
q(x)为真命题时，－2由题意知p(x)与q(x)两命题有一真一假，
当p(x)为真，q(x)为假时，
得m≤－2.
当p(x)为假，q(x)为真时，
得－≤m<2.
所以m的取值范围是
(－∞，－2]∪[－，2)．
跟踪训练3 解 在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，2·1·c·n·j·y
即
即
∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是－3当堂训练
1．D 2.D 3.D 4.[，＋∞)
5．解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m，
方程x2＋mx－1＝0必有实数根．
其否定：存在一个实数m，
使方程x2＋mx－1＝0没有实数根，
因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
故为假命题．
(2)由于存在量词“有些”的否定的表述为“所有”，
因此，原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．
(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．
4．1 逻辑联结词“且”4．2 逻辑联结词“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．www.21-cn-jy.com
知识点一 含有逻辑联结词“且”“或”的命题
思考1 观察下面三个命题：①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？21*cnjy*com
思考2 观察下面三个命题：①3>2，②3＝2，③3≥2，它们之间有什么关系？
梳理 (1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．
知识点二 含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假
思考1 你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p、q的真假有关系吗？
思考2 你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p、q的真假有关系吗？
梳理 (1)含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：
①“p且q”形式命题：当命题p、q都是________时，p且q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是__________时，p且q是假命题．21世纪教育网版权所有
②“p或q”形式命题：当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是__________；当p、q两个命题都是假命题时，p或q是__________．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)命题真假判断的表格如下：
p
q
p且q
p或q
真
真
真
假
假
真
假
假
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．21教育网
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．
跟踪训练1 分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)3是质数或合数；
(2)他是运动员兼教练员．
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
反思与感悟 (1)用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．2·1·c·n·j·y
(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
第一步：确定两个简单命题p，q；
第二步：分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p且q”“p或q”．
跟踪训练2 分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题：
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，q：方程x2＋4x＋1＝0的两个根的绝对值相等；21cnjy.com
(3)p：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．【来源：21·世纪·教育·网】
类型二 “p或q”和“p且q”形式命题的真假判断
例3 分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”形式的新命题的真假．
(1)p：2>2，q：2＝2；
(2)p：?是{0}的真子集，q：0∈?；
(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．
反思与感悟 判断p且q与p或q形式的命题真假的步骤
(1)首先判断命题p与q的真假；
(2)对于p且q，“一假则假，全真则真”，
对于p或q，只要有一个为真，则p或q为真，全假为假．
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．
(1)p：是无理数，q：π不是无理数；
(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
类型三 “p或q”与“p且q”的应用
例4 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的解集是?，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
反思与感悟 由p或q为真知p、q中至少一真；由p且q为假知p、q中至少一假．因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况进行讨论．21·世纪*教育网
跟踪训练4 已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上是增加的．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．
1．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则( )www-2-1-cnjy-com
A．p真q假 B．p且q为真
C．p或q为假 D．p假q真
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．“p为真命题”是“p且q为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为“________________________”．
5．已知p：<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_____________．
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2-1-c-n-j-y
2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”“p或q”的真假．
p且q为真?p和q同时为真，
p或q为真?p和q中至少有一个为真．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 命题③是将命题①②用“且”联结得到的．
思考2 命题③是将命题①②用“或”联结得到的．
梳理 (1)p且q (2)p或q
知识点二
思考1 ①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p且q也为真命题．
思考2 ①是真命题；②是假命题；③是真命题．若p、q一真一假，则p或q为真命题．
梳理 (1)①真命题 假命题 ②真命题 假命题 (2)真 真 假 真 假 真 假 假
题型探究
例1 解 (1)是p且q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p或q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p或q形式命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
跟踪训练1 解 (1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数．
(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员．
例2 解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
跟踪训练2 解 (1)p或q：π是无理数或e不是无理数；
p且q：π是无理数且e不是无理数；
(2)p或q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根或两个根的绝对值相等；
p且q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根且两个根的绝对值相等；
(3)p或q：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任意一个内角；
p且q：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任意一个内角．
例3 解 (1)∵p：2>2，是假命题，
q：2＝2，是真命题，
∴命题“p或q”是真命题；“p且q”是假命题．
(2)∵p：?是{0}的真子集，是真命题；
q：0∈?，是假命题，
∴命题“p或q”是真命题；
“p且q”是假命题．
(3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，是假命题，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，21·cn·jy·com
∴命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．
跟踪训练3 解 (1)∵p真，q假，
∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q真，
∴“p或q”为真，“p且q”为真．
(3)∵p假，q假，
∴“p或q”为假，“p且q”为假．
例4 解 由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根，
∴解得m>2，
则p：m>2.
∵方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无解，
∴Δ＝16(m－2)2－16<0即1则q：1∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p与q一真一假．
当p为真，q为假时，
得m≥3.
当p为假，q为真时，
得1综上所述，m的取值范围是
(1,2]∪[3，＋∞)．
跟踪训练4 解 ∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3
＝[x＋(a2－a)]2－a2，在[－2，＋∞)上是增加的，
∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，
解得a≤－1或a≥2，
即p：a≤－1或a≥2.
由不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，得
或a＝0，即或a＝0，
解得0≤a<4，∴q：0≤a<4.
∵p且q假，p或q真，
∴p与q一真一假．
∴p真q假或p假q真，
即
或
∴a≤－1或a≥4或0≤a<2.
∴实数a的取值范围是
(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．
当堂训练
1．D 2.D 3.B 4．x>5或x＝5 5．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
4.3 逻辑联结词“非”
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．
知识点一 命题的否定
思考1 观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？2·1·c·n·j·y
思考2 你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与綈p的真假有关系吗？
梳理 (1)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作__________，读作“非p”或“__________”．“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是__________；若p是假命题，则綈p必是__________．21·cn·jy·com
(2)逻辑联结词中“非”与生活中的“非”含义一致，表示“否定”“问题的反面”等，若把p看作集合A，则綈p就是集合A的补集．2-1-c-n-j-y
知识点二 命题的否定与否命题的区别
思考 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定．
梳理 (1)命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键．解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．21*cnjy*com
(2)注意常见词语的否定形式：
正面词语
等于(＝)
大于(＞)
小于(＜)
能
是
都(全)是
任意的
任意两个
所有
否定词语
正面词语
至多
一个
至少有一个
至多
n个
p或q
p且q
否定词语
非p或非q
类型一 命题的否定
命题角度1 命题的否定的概念
例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值是－且最大值是1；
(2)100是10或20的倍数．
反思与感悟 (1)对命题“p且q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p或q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“且”．
(2)命题p与命题p的否定綈p的真假相反．
跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：三角形的内角和等于180°；
(2)p：美国总统奥巴马是2009年度诺贝尔和平奖获得者．
命题角度2 命题的否定与否命题
例2 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．
(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.
反思与感悟 原命题是“若A，则B”，其否定是“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题是“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论．21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 写出下列命题的否定和命题的否命题．
(1)若a>b，则a－2>b－2；
(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上．
类型二 命题否定的综合应用
例3 设命题p：函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集只有一个子集．若“p或q”为真，“綈p或綈q”也为真，求实数a的取值范围．21cnjy.com
反思与感悟 由真值表可判断p或q、p且q、綈p命题的真假，反之，由p或q，p且q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．21·世纪*教育网
1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是( )
A．p或q为真，p且q为真，綈p为假
B．p或q为真，p且q为假，綈p为真
C．p或q为假，p且q为假，綈p为假
D．p或q为真，p且q为假，綈p为假
2．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)或(綈q) B. p或(綈q)
C．(綈p)且(綈q) D．p且q
4．已知命题p：|x＋1|>2，命题q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．若命题p：2n－1是奇数，n∈Z，q：2n＋1是偶数，n∈Z.则p，q，綈p，綈q，p且(綈p)，p或(綈p)，p且(綈q)，p或(綈q)，綈p且(綈q)，(綈p)或(綈q)中真命题的个数是________．21教育网
1．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集?UP.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真．
2．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 命题q是对命题p的否定，“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等．
思考2 ①p为真命题，q为假命题；②p为真命题，q为假命题．若p为真命题，则綈p为假命题．
梳理 (1)綈p p的否定 假命题
真命题
知识点二
思考 命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．www.21-cn-jy.com
梳理 (2)不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不能 不是 不都(全)是 某个 某两个 某些 至少两个 一个也没有 至少有(n＋1)个 非p且非qwww-2-1-cnjy-com
题型探究
例1 解 (1)命题是“p且q”的形式，其中p：x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值是－；q：x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最大值是1.p真，q假，该命题的否定是“x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值不是－或最大值不是1”，这是“綈p或綈q”形式的复合命题，因为綈p假，綈q真，所以“綈p或綈q”为真命题．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)命题是“p或q”的形式，其中p：“100是10的倍数”；q：“100是20的倍数”．它的否定形式为“綈p且綈q”，即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题．
跟踪训练1 解 (1)綈p：三角形的内角和不等于180°.
因为p为真，故綈p为假．
(2)綈p：美国总统奥巴马不是2009年度诺贝尔和平奖获得者．
因为p为真，故綈p为假．
例2 解 (1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；
命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．
(2)命题的否定：若x2－3x－10＝0，则x≠－2且x≠5，为假命题；
命题的否命题：若x2－3x－10≠0，则x≠－2且x≠5，为真命题．
跟踪训练2 解 (1)命题的否定：
若a>b，则a－2≤b－2；
否命题：若a≤b，则a－2≤b－2.
(2)命题的否定：到圆心的距离等于半径的点不在圆上；否命题：到圆心的距离不等于半径的点不在圆上．
例3 解 当命题p是真命题时，
应有a>1；
当命题q是真命题时，关于x的方程
x2＋2x＋loga＝0无解，
所以Δ＝4－4loga<0，
解得1由于“p或q”为真，所以p和q中至少有一个为真，
又“綈p或綈q”也为真，所以綈p和綈q中至少有一个为真，
即p和q中至少有一个为假，
故p和q中一真一假．
p假q真时，a无解；
p真q假时，a≥.
综上所述，实数a的取值范围是a≥.
跟踪训练3 解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?
解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或
由于?
解得0因为“p或q”与“綈q”同时为真命题，
即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
当堂训练
1．D 2.D 3.A 4.A 5.6
第一章 常用逻辑用语
1 解逻辑用语问题的三绝招
1．化为集合——理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：www.21-cn-jy.com
①A是B的充分条件，即A?B.(如图1)
②A是B的必要条件，即B?A.(如图2)
③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)
图1 图2 图3
④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1 “x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)21·世纪*教育网
解析 设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A、B，则A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“A?B，B?A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要条件．2-1-c-n-j-y
答案 既不充分又不必要
2．抓住量词——对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．【版权所有：21教育】
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．21教育名师原创作品
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．
解析 (1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.
(2)将命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述a≤－1或2≤a≤4.
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．2·1·c·n·j·y
3．等价转化——提高速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．21*cnjy*com
例3 设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A??RB出发解题．
解 设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合．
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于r，
∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，∴r的取值范围为0点评 若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．
2 命题的否定与否命题辨与析
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．
1．否命题与命题的否定的概念
设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．
例1 写出下列命题的否命题及否定：
(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；
(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．
分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题．
解 (1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”．
写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”．www-2-1-cnjy-com
写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”．
(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”．
否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；
命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”．
2．否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．
解 (1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.
3 走出逻辑用语中的误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
(1)x＋2>0；(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；(4)A?A∪B.
错解 (1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．
剖析 (1)中含有未知数x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；21·cn·jy·com
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?A∪B＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?A∪B成立，故(4)为真命题．
正解 (2)、(4)是命题，且都为真命题．
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；
(2)若a2>b2，则a>b.
错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．21cnjy.com
正解 (1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>3 B．x>4
C．x>2 D．x∈{1,2,3}
错解 由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，
又x>2D?/x>3，因此选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，pD?/q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0D?/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.21*cnjy*com
正解 B
误区4 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例4 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”．
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”．
错解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区5 不能正确否定结论
例5 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．
错解 綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．
正解 綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．
误区6 对含有一个量词的命题否定不完全
例6 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．21教育网
正解 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区7 忽略了隐含的量词
例7 写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图像关于y轴对称．
错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图像不关于y轴对称．
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．
正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．
4 解“逻辑”问题需强化三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．【来源：21cnj*y.co*m】
例1 证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，
则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，
则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．
由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.
∵原命题的逆否命题是真命题，
∴原命题也是真命题．
故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．21世纪教育网版权所有
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解 解不等式x2－8x－20>0，
得p：A＝{x|x>10或x<－2}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，
得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q，但qD?/p，说明A?B.
于是有或，解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3 已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，【来源：21·世纪·教育·网】
Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，
知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；
若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．【出处：21教育名师】
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A?B?对任意x∈A，都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
分析 画出表示A?B的Venn图进行判断．
解析 画出Venn图，如图1所示，则A?B?存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．
A?B?B?A不成立的反例如图2所示．同理可得B?A?A?B不成立．故③是假命题．
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
第一章 常用逻辑用语
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．21世纪教育网版权所有
知识点一 四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．
知识点二 充分条件、必要条件的判断方法
1．直接利用定义判断：即若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)
2．利用等价命题的关系判断：p?q的等价命题是綈q?綈p，即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．21·cn·jy·com
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
知识点三 全称命题与特称命题
1．全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．
(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
知识点四 简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．
p
q
綈p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
类型一 四种命题及其关系
例1 写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．21教育网
反思与感悟 (1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论．
②逆命题：把原命题的条件和结论交换．
否命题：把原命题中条件和结论分别否定．
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．
(2)命题真假的判断方法：直接法、间接法
跟踪训练1 下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.www.21-cn-jy.com
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
类型二 充分条件与必要条件
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
例2 (1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系判断．
跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．a2>b2>0 B．>0
C．ln a>ln b>0 D．xa>xb且x>0.5
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例3 设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．2·1·c·n·j·y
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 已知p：2x2－9x＋a<0，q：2
类型三 逻辑联结词与量词的综合应用
例4 已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4 已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
1．给出命题：若函数y＝f(x)为对数函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )2-1-c-n-j-y
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知p：0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )21*cnjy*com
A．p且q B．(綈p)且(綈q)
C．(綈p)且q D．p且(綈q)
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
5．(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？
(2)若p：|3x－4|>2，q：>0，则綈p是綈q的什么条件？
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p，则q”，则该命题的否命题是“若綈p，则綈q”；命题的否定为“若p，则綈q”．【来源：21cnj*y.co*m】
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．【出处：21教育名师】
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．
答案精析
知识梳理
知识点一
若p，则q 若q，则p 若綈p则綈q
若綈q，则綈p
题型探究
例1 解 逆命题：若x＝2且y＝－1，
则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
跟踪训练1 B [正确的为①③.]
例2 (1)B (2)C
解析 (1)∵x2－3x>0?/ x>4，
x>4?x2－3x>0，
故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．
(2)∵a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，
∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．
跟踪训练2 C [设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，即有“p?a>b>0，a>b>0D?/p”．21cnjy.com
A选项中，a2>b2>0D?/a>b>0，有可能是aB选项中，loga>logb>0?0b>0，故B不符合条件；
C选项中，ln a>ln b>0?a>b>1?a>b>0，而a>b>0D?/a>b>1，符合条件；
D选项中，xa>xb且0x>1时a>b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件．]
例3 解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得
(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a当a＝1时，1即p为真命题时，实数x的取值范围是1由
解得
即2所以q为真时，
实数x的取值范围是2若p且q为真，则?2所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)方法一 綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q且綈qD?/綈p.
设綈p：A＝{x|x≤a或x≥3a}，
綈q：B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是(1,2]．
方法二 ∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
则{x|2∴解得1∴实数a的取值范围是(1,2]．
跟踪训练3 解 ∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件，
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则解得a≤9，
∴实数a的取值范围是(－∞，9]．
例4 [e,4]
解析 p：a≥e，q：a≤4，
∵p且q为真命题，∴p与q均为真，
则e≤a≤4.
跟踪训练4 解 由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时
≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，
即函数y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．
当堂训练
1．D 2.A 3.D 4.(－∞，0]
5．解 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数，
∴两条直线互相垂直，∴p?q.
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴qD?/p.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)解不等式|3x－4|>2，得
p：{x|x>2或x<}，
∴綈p：{x|≤x≤2}．
解不等式>0，得
q：{x|x<－1或x>2}．
∴綈q：{x|－1≤x≤2}．
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
