1 命题（一）
学习目标 1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.21教育网
知识点一 命题的概念
思考1 在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？
思考2 依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题.
①三角形外角和为360°；
②连接A、B两点；
③计算3－2的值；
④过点A作直线l的垂线；
⑤在三角形中，大边一定对的角也大吗？
梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题.
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题.
(3)分类
命题
知识点二 命题的结构
思考1 在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？
思考2 完成下列题目：
(1)命题“等角的补角相等”：题设是________，结论是________.
(2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果______________，那么___________”.
梳理 (1)数学中，通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是________，q是________.
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.
类型一 命题的判断
例1 (1)下列语句为命题的是( )
A.x－1＝0 B.2＋3＝8
C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________.
①一个数不是正数就是负数；
②梯形是不是平面图形呢？
③22 015是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}中的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
反思与感悟 判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)语句表述的结构可以判断真假.含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题.21cnjy.com
跟踪训练1 给出下列语句，其中不是命题的有________.
①是无限循环小数；
②x2－3x＋2＝0；
③当x＝4时，2x>0；
④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
⑤一个数不是奇数就是偶数；
⑥2030年6月1日上海会下雨.
类型二 命题真假的判断
例2 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的是________.
引申探究
1.本例中命题④变为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
2.本例中命题④改为：若·＝0，则△ABC是________三角形.
反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可.21·cn·jy·com
跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.
A.1 B.2 C.3 D.4
类型三 命题结构形式解读
例3 将下列命题写成“若p，则q”的形式.
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根.
跟踪训练3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
(2)负数的立方是负数；
(3)已知x，y为整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
2.下列命题是真命题的为( )
A.若a>b，则<
B.若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C.若|x|
D.若a＝b，则＝
3.命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________________.21世纪教育网版权所有
4.命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________.www.21-cn-jy.com
5.命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围.
1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2·1·c·n·j·y
2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.【来源：21·世纪·教育·网】
提醒：完成作业 第一章 §1(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 对事情做出正确或不正确的判断的句子叫作命题.
思考2 根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题.
知识点二
思考1 命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.
思考2 (1)等角的补角 相等
(2)一个数是实数 它的平方是非负数
梳理 (1)条件 结论
题型探究
例1 (1)B (2)①④
跟踪训练1 ②④⑥
例2 ①③④
引申探究
1.解 不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形.21·世纪*教育网
2.直角
跟踪训练2 C
例3 解 (1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除.
(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根.
跟踪训练3 解 (1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题.
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题.
(3)已知x，y为整数，若y＝x－5，
则y＝－3，x＝2.是假命题.
当堂训练
1.D 2.C 3.(－∞，0)∪(0,1)
4.(－∞，－4]∪[4，＋∞)
5.解 “3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论.
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.
1 命题（二）
学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.
知识点一 四种命题的概念
思考 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫作命题的逆命题？
梳理
名称
阐释
互为逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__________，那么我们把这样的两个命题叫作互为逆命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的________.
互为否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的________和结论的________，我们把这样的两个命题叫作互为否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的__________.
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的__________.
知识点二 四种命题间的相互关系
思考 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？
梳理 (1)四种命题间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
假
假
真
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性____关系.
知识点三 逆否证法与反证法
1.逆否证法
由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.21cnjy.com
2.反证法
(1)反证法的步骤：
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.
(2)反证法导出结果的几种情况：
①导出命题p的否定为真，即与原命题的条件矛盾；
②导出q为真，即与假设“命题q的否定为真”矛盾；
③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；
④导出自相矛盾的命题.
3.反证法与逆否证法的联系
(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.
(2)起步相同：都是从否定结论出发(入手)；
(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.
4.反证法与逆否证法的区别
(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出否定条件；
(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.
类型一 四种命题的关系及真假判断
命题角度1 四种命题的写法
例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等.
反思与感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.
命题角度2 四种命题的真假判断
例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.
反思与感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题.
原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.
在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.
跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④ B.①③④
C.②③④ D.①④
类型二 等价命题的应用
例3 证明：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.21世纪教育网版权所有
反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别.21·世纪*教育网
跟踪训练3 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
类型三 反证法的应用
例4 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 (1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
(2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：
原词
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
都是
至多有一个
至多有n个
至少有一个
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
至少有两个
至少有(n＋1)个
一个也没有
跟踪训练4 设a，b，c∈Z，且a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数.
1.命题“若綈p，则q”的逆否命题为( )
A.若p，则綈q B.若綈q，则綈p
C.若綈q，则p D.若q，则p
2.下列命题为真命题的是( )
A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
3.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________.
4.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.21教育网
5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假.
写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.
若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.21·cn·jy·com
提醒：完成作业 第一章 §1(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互为逆命题.2·1·c·n·j·y
梳理 结论和条件 逆命题 否定 否定
否命题 结论的否定和条件的否定
逆否命题
知识点二
思考 原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.
梳理 (2)真 真 假 真 真 假 假
假 ①相同 ②没有
题型探究
例1 解 (1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.
(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.
逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.
否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.
逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.
(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.
跟踪训练1 解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.
例2 解 (1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题.
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.
(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.
跟踪训练2 B
例3 证明 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，a，b∈R，若a＋b<0，www.21-cn-jy.com
则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题.
∴原命题为真命题.
跟踪训练3 证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.2-1-c-n-j-y
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1
＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.
例4 证明 假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c
＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
因此a，b，c中至少有一个大于0.
跟踪训练4 证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.
∴a2＋b2为偶数，而c2为奇数，
∴a2＋b2≠c2与a2＋b2＝c2矛盾.
∴假设不成立，原命题成立.
当堂训练
1.C 2.A
3.若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1 4.4
5.解 (1)命题p的否命题为：“若ac<0，
则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.
(2)命题p的否命题是真命题.
判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题.
2 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
知识点一 充分条件与必要条件
“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：p?q，读作“p推出q”.此时我们称p是q的________条件，同时，我们称q是p的______条件.
若p?q，但q?p，称p是q的__________条件，若q?p，但p?q，称p是q的________条件.www.21-cn-jy.com
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？www-2-1-cnjy-com
梳理 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的__________条件，简称充要条件.【来源：21cnj*y.co*m】
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件.
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度1 在常见数学问题中的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；
(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.
反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法：(1)定义法；(2)等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；(3)集合法，P是Q的充分不必要条件?集合P?Q，P是Q的必要不充分条件?集合P?Q，P是Q的充要条件?集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件?集合P?Q，且P?Q；(4)传递法，对于较复杂的关系，常用?，?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0(2)p：|x－2|<3，q：<－1；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4)p：q：
命题角度2 在实际问题中的判断
例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？
反思与感悟 “充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.无法判断
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求
例3 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.【版权所有：21教育】
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由.21教育名师原创作品
命题角度2 充要条件的证明
例4 已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1.21世纪教育网版权所有
反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”?“结论”，必要性需要证明“结论”?“条件”.【出处：21教育名师】
跟踪训练4 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例5 已知函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.2-1-c-n-j-y
(1)求A；
(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围.
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)若p是q的充分不必要条件，则M?N，若p是q的必要不充分条件，则N?M，若p是q的充要条件，则M＝N；21cnjy.com
(3)根据集合的关系列不等式(组)；
(4)求出参数的范围.
跟踪训练5 设A＝{y|y＝，x∈R}，B＝{y|y＝x＋m，x∈[－1,1]}，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________.
1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.设命题p：x2－3x＋2<0，q：≤0，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________.21·cn·jy·com
5.“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件.
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：2·1·c·n·j·y
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论.
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.
提醒：完成作业 第一章 §2
答案精析
§2 充分条件与必要条件
问题导学
知识点一
充分 必要 充分不必要 必要不充分
知识点二
思考 因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件.21*cnjy*com
梳理 (1)充分必要
题型探究
例1 解 (1)∵a＋b＝0?a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0?a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等?四边形是矩形；
四边形是矩形?四边形的对角线相等，
∴p是q的必要不充分条件.
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝；
x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p是q的充要条件.
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，
则Δ＝1＋4m<0，
即m<－.∵m<－1?m<－；
m<－?m<－1，
∴p是q的充分不必要条件.
(5)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件.
跟踪训练1 解 (1)当a＝0时，1>0满足题意；
当a≠0时，由可得0故p是q的必要不充分条件.
(2)易知p：－1所以p是q的充要条件.
(3)因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件.
(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，有即p?q.
但?
比如，当α＝1，β＝5时，
而α<2，
所以q?p，所以p是q的充分不必要条件.
例2 解 如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件.
跟踪训练2 A
例3 解 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求.
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.21·世纪*教育网
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是即
∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
跟踪训练3 解 是充要条件.
充分性：当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1
＝n2＋2n.a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3适合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N＋)，
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列.
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件.
必要性：∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件.
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件.
例4 证明 ①充分性：若点P满足＝x＋y，其中x，y∈R，
且x＋y＝1，消去y，得
＝x＋(1－x)＝x(－)＋，
∴－＝x(－)，
即＝x.
∴点P在直线AB上，即点P在直线l上.
②必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，
使得＝t＝t(－)，
∴＝＋＝＋t－t
＝(1－t)＋t.
令1－t＝x，t＝y，则＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1.
跟踪训练4 证明 ①充分性：
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，21教育网
即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.
例5 解 (1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0，
化简整理得(x＋1)(x－1)≥0，
解得x≤－1或x≥1，
∴A＝{x|x≤－1或x≥1}.
(2)要使g(x)有意义，
则(x－a－1)(2a－x)>0，
即(x－a－1)(x－2a)<0，
又∵a<1，∴a＋1>2a，
∴B＝{x|2a∵p是q的必要不充分条件，∴B?A，
∴2a≥1或a＋1≤－1，
解得≤a<1或a≤－2.
∴a的取值范围为(－∞，－2]∪[，1).
跟踪训练5 (，)
当堂训练
1.A 2.A 3.B 4.(－∞，－3] 5.充要
3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.www-2-1-cnjy-com
知识点一 全称量词、全称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
梳理 (1)概念
短语“______”“每一个”“任何”“__________”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作__________.
(2)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.2-1-c-n-j-y
知识点二 存在量词、特称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m∈Z，m>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)
梳理 (1)概念
短语“________”“__________”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作__________.21cnjy.com
(2)特称命题真假判定
要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.21*cnjy*com
类型一 全称命题与特称命题的判断
命题角度1 全称命题与特称命题的不同表述
例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：
(1)全称命题：任意x∈N，p(x)；
(2)特称命题：存在x∈N，p(x).
反思与感悟 全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”)
命题角度2 全称命题与特称命题的识别
例2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是特称命题.
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；
(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
(4)对于数列，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.
类型二 全称命题与特称命题的真假的判断
例3 判断下列命题的真假.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；
(5)任意x∈R，x2－3x＋2＝0；
(6)存在x∈R，x2－3x＋2＝0.
反思与感悟 要判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.21世纪教育网版权所有
要判定特称命题“存在x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题.
跟踪训练3 判断下列命题的真假：
(1)有一些奇函数的图像过原点；
(2)存在x∈R,2x2＋x＋1<0；
(3)任意x∈R，sin x＋cos x≤.
类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围
例4 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围.
(1)命题p(x)：x＋1>x；
(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；
(3)命题p(x)：sin x>cos x.
反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.21教育网
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.
跟踪训练4 若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围.www.21-cn-jy.com
1.下列命题中，不是全称命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
2.命题p：存在x∈N，x3A.p假q真 B.p真q假
C.p假q假 D.p真q真
3.已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )【版权所有：21教育】
A.a≥0 B.a<0 C.b≤0 D.b>1
4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B.存在实数x，使sin x＝
C.对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
5.特称命题“存在x0∈R，|x0|＋2≤0”是________命题.(填“真”或“假”)
1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词.
2判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假.21·cn·jy·com
3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假.21·世纪*教育网
提醒：完成作业 第一章 §3 3.1～3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.【出处：21教育名师】
(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.
梳理 (1)所有 任意一条 全称命题
知识点二
思考 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.21教育名师原创作品
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
梳理 (1)有些 至少有一个 特称命题
题型探究
例1 解 (1)全称命题：
①对所有的自然数x,2x是偶数；
②对一切的自然数x,2x是偶数；
③对每一个自然数x,2x是偶数；
④任选一个自然数x,2x是偶数；
⑤凡自然数x，都有2x是偶数.
(2)特称命题：
①存在一个自然数x，使得2x是偶数；
②至少有一个自然数x，使得2x是偶数；
③对有些自然数x，使得2x是偶数；
④对某个自然数x，使得2x是偶数；
⑤有一个自然数x，使得2x是偶数.
跟踪训练1 特称
例2 解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.
跟踪训练2 解 (1)全称命题. (2)特称命题. (3)特称命题. (4)特称命题.
例3 解 (1)真命题.
(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数.
(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示.
(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.
(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立.
(6)真命题，x＝2或1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立.
跟踪训练3 解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题.2·1·c·n·j·y
(2)该命题是特称命题.
∵2x2＋x＋1＝2(x＋)2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称命题.
∵sin x＋cos x＝sin(x＋)≤恒成立，
∴对任意实数x，sin x＋cos x≤都成立，故该命题是真命题.
例4 解 (1)∵x＋1>x，
∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R.
(2)∵x2－5x＋6>0，
∴(x－2)(x－3)>0，
∴x>3或x<2.
(3)∵sin x>cos x，
∴2kπ＋跟踪训练4 解 由方程x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4，即－2由方程x2＋2ax＋2＝0无实根，
可知a2－2<0，即a2<2，即－由方程x2－ax＋4＝0无实根，
可知a2－16<0，即a2<16，即－4∴当a2<2，即－∴当a≤－或a≥时，三个方程中至少有一个方程有实根.
故a的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞).
当堂训练
1.D 2.A 3.B 4.A 5.假
3.3 全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.理解全称命题与特称命题的否定的意义.2.会对全称命题与特称命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.2-1-c-n-j-y
知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法.
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)任意x∈R，x2－2x＋1≥0.
梳理 写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定.
全称命题的否定是______命题.
知识点二 特称命题的否定
思考 尝试写出下面特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x∈R，x2＋1<0.
梳理 写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定.
特称命题的否定是______命题.
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：存在x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
类型三 特称命题、全称命题的综合应用
例3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围.
反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.21世纪教育网版权所有
跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.
1.已知a>0且a≠1，命题“存在x>1，logax>0”的否定是( )
A.存在x≤1，logax>0 B.存在x>1，logax≤0
C.任意x≤1，logax>0 D.任意x>1，logax≤0
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：任意x∈A,2x∈B，则命题p的否定是( )21cnjy.com
A.任意x∈A,2x?B B.任意x?A,2x?B
C.存在x?A,2x∈B D.存在x∈A,2x?B
3.命题“对任意一个实数x，都有>0”的否定是____________________.
4.由命题“存在x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.21·cn·jy·com
5.已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”.若命题p的否定与q均为真命题，求实数m的取值范围.
1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”.
2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.www.21-cn-jy.com
3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：【来源：21·世纪·教育·网】
原词语
否定词语
原词语
否定词语
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有(n－1)个
小于
不小于
至多有n个
至少有(n＋1)个
任意的
某个
能
不能
所有的
某些
等于
不等于
提醒：完成作业 第一章 §3 3.3
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)存在x∈R，x2－2x＋1<0.
梳理 (2)特称
知识点二
思考 (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：21教育网
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)任意x∈R，x2＋1≥0.
梳理 (2)全称
题型探究
例1 解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
跟踪训练1 解 (1)其否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)其否定：有些自然数的平方不是正数.
(3)其否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)其否定：存在实数x，使得x2＋1<0.
例2 解 (1)其否定：任意x>1，x2－2x－3≠0(假).
(2)其否定：所有的素数都不是奇数(假).
(3) 其否定：所有的平行四边形都是矩形(假).
跟踪训练2 解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.为假命题.21·世纪*教育网
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.www-2-1-cnjy-com
(3)命题的否定是“任意x，y∈Z，x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.21*cnjy*com
例3 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
跟踪训练3 (1)证明 当a＝－3时，
f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立，
∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
∴即
解得a≤－，
即实数a的取值范围是(－∞，－].
当堂训练
1.D 2.D
3.存在一个实数x，使得2x＋4≤0 4.1
5.解 由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以命题p的否定为“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，所以－34.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.21·世纪*教育网
知识点一 “且”
思考 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.21*cnjy*com
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“______”.当p，q都是真命题时，p且q是______命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是______命题.21世纪教育网版权所有
我们将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.
(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.
(3)
我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p且q的真与假.
知识点二 “或”
思考 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.21教育网
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“______”.21·cn·jy·com
(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是______命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是______命题.【来源：21cnj*y.co*m】
我们将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：
p
q
p或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.
(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x?B，也可以是x?A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.【出处：21教育名师】
(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p或q的真与假.
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题.
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.21cnjy.com
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题.
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.
(1)0≤2；
(2)30是5的倍数，也是6的倍数.
类型二 “p且q”和“p或q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p或q”“p且q”的真假.
(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交.
反思与感悟 形如p或q，p且q，命题的真假根据真值表判定.如：
p
q
p且q
p或q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.
(1)p：是无理数，q：π不是无理数；
(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根.
类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例4 设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：关于x的不等式3x－9x(1)如果p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.
反思与感悟 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.2·1·c·n·j·y
跟踪训练4 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.
1.已知命题p、q，若p为真命题，则( )
A.p且q必为真 B.p且q必为假
C.p或q必为真 D.p或q必为假
2.命题“xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0 B.x≠0或y≠0
C.x、y至少有一个不为0 D.不都是0
3.已知p：函数y＝sin x的最小正周期为，q：函数y＝sin 2x的图像关于直线x＝π对称，则p且q是________命题.(填“真”或“假”)2-1-c-n-j-y
4.已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减少的；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增加的，若p且q为真，则实数a的取值范围是________.【版权所有：21教育】
5.已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围.
1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论.
2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假.(1)“p且q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p或q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真.21教育名师原创作品
提醒：完成作业 第一章 §4 4.1～4.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.21*cnjy*com
梳理 (1)p且q 真 假
知识点二
思考 命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p或q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q, 即两者中至少要有一个.
梳理 (1)p或q (2)真 假
题型探究
例1 解 (1)是p且q形式命题.
其中p：向量有大小，q：向量有方向.
(2)是p或q形式命题.
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.
(3)是p或q形式命题.
其中p：2>2，q：2＝2.
跟踪训练1 p且q
例2 解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
跟踪训练2 解 (1)此命题为“p或q”形式的命题，其中
p：0<2；q：0＝2.
(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中
p：30是5的倍数；
q：30是6的倍数.
例3 解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假.
(2)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真.
跟踪训练3 解 (1)∵p真q假，
∴“p或q”为真，“p且q”为假.
(2)∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真.
(3)∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假.
例4 解 (1)若命题p为真命题，
则ax2－x＋a>0对x∈R恒成立.
当a＝0时，－x>0，不合题意；
当a≠0时，可得
即∴a>2.
(2)令y＝3x－9x＝－(3x－)2＋.
由x>0，得3x>1，∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0).
若命题q为真命题，则a≥0.
由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假.
当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤2.
∴满足条件的a的取值范围是{a|0≤a≤2}.
跟踪训练4 解 对于命题p：由a2x2＋ax－2＝0，
得(ax＋2)(ax－1)＝0，
显然a≠0，∴x＝－或x＝，
∵x∈[－1,1]，
故|－|≤1或||≤1，即|a|≥1.
∴p为假时得|a|<1.
对于命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
由Δ＝4a2－8a＝0，得a＝0或a＝2.
∴q为假时得a≠0且a≠2.
又命题“p或q”为假，即p与q都为假命题，
∴a的取值范围是(－1,0)∪(0,1).
当堂训练
1.C 2.A 3.假 4.[－2，)
5.解 若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图像开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假.
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解.
所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).
4.3 逻辑联结词“非”
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别.
知识点一 逻辑联结词“非”
思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？
(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根.
(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数.
梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题p________，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“________”.21世纪教育网版权所有
(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是____命题；若p是假命题，则綈p必是____命题.
知识点二 “p且q”与“p或q”的否定
1.对复合命题“p且q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“____”.对复合命题“p或q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“____”.
复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：
(1)确定复合命题的构成形式；
(2)判断其中各简单命题的真假；
(3)利用真值表判断复合命题的真假.
2.语句“a∈A或a∈B”的否定形式是“____________”，语句“a∈A且a∈B”的否定形式是“__________”.对有些不含“且”“或”的命题进行否定，要注意准确把握该命题的含义，然后进行否定，如“>0”的含义是“有意义且>0”，故其否定应为“无意义或≤0”，即“x＝0或<0”.21教育网
知识点三 命题的否定与否命题
思考 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？21·cn·jy·com
梳理 (1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定.
①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；
②p与“非p”的真假必须相反；
③“非p”必须包含p的所有对立面.
(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定.
类型一 綈p命题及构成形式
例1 写出下列命题的否定形式.
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
反思与感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p且q”的否定是“綈p或綈q”等.21cnjy.com
跟踪训练1 写出下列命题的否定形式.
(1)p：y ＝ sin x 是周期函数；
(2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集；
(4)p：5不是75的约数.
类型二 命题的否定的真假应用
例2 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围.
反思与感悟 由真值表可判断p或q、p且q、綈p命题的真假，反之，由p或q，p且q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p且q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为________.2·1·c·n·j·y
1.已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)或q B.p且q
C.(綈p)且(綈q) D.(綈p)或(綈q)
2.若p是真命题，q是假命题，则( )
A.p且q是真命题 B.p或q是假命题
C.綈p是真命题 D.綈q是真命题
3.“a≥5且b≥2”的否定是________.
4.给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________.【来源：21·世纪·教育·网】
①命题“p且q”为真； ②命题“p或q”为假；
③命题“p或綈q”为真； ④命题“p且綈q”为真.
5.分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题的真假.
(1)p：2>2，q：2＝2；
(2)p：?是{0}的真子集，q：0∈?；
(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根.
1.若原命题为“若A，则B”，则其否定为“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题为“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论.21·世纪*教育网
2.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”.
3.“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论.否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假.www-2-1-cnjy-com
提醒：完成作业 第一章 §4 4.3
答案精析
问题导学
知识点一
思考 两组命题中，命题q都是命题p的否定.
“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则綈p对应集合A在全集U中的补集?UA.
梳理 (1)全盘否定 p的否定
(2)假 真
知识点二
1.或 且
2.a?A且a?B a?A或a?B
知识点三
思考 命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；
命题p的否定：平行四边形的对角线不相等.
命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定.2-1-c-n-j-y
题型探究
例1 解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形.
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
跟踪训练1 解 (1) 綈p：y ＝ sin x不是周期函数.
(2) 綈p：3≥2.
(3) 綈p：空集不是集合A的子集.
(4) 綈p：5是75的约数.
例2 解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?，
解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，
等价于a＝0或
由于?
解得0所以0≤a<4.
因为“p或q”与“綈q”同时为真命题，
即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1].
跟踪训练2 {x|－1当堂训练
1.D 2.D 3.a<5或b<2
4.③④
5.解 (1)∵p：2>2，是假命题，q：2＝2，是真命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是真命题.
(2)∵p：?是{0}的真子集，是真命题，q：0∈?，是假命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是假命题.
(3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有公共点，是假命题，
q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是真命题.
第一章 常用逻辑用语
1 怎样解逻辑用语问题
1.利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法.本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下：
(1)A是B的充分条件，即A?B.
(2)A是B的必要条件，即B?A.
(3)A是B的充要条件，即A＝B.
(4)A是B的既不充分又不必要条件，
即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素.
或
例1 设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S?T”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)【来源：21cnj*y.co*m】
解析 T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}.所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
2.抓住量词，对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药.【出处：21教育名师】
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________.
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________.
解析 (1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1].
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1).
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4].
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢.www.21-cn-jy.com
3.挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真.21*cnjy*com
例3 设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围.
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”.设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A??RB出发解题.
解 设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2＋y2＝r2外的点的集合.
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等
于r，∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，∴r的取值范围为(0，].
点评 若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法.
2 辨析命题的否定与否命题
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别.
1.否命题与命题的否定的概念
设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定.所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论.“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.
例1 写出下列命题的否命题及否定：
(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；
(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加.
分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题.
解 (1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”.
写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”.21·cn·jy·com
写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”.
(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”.
否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；
命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”.
点评 如果所给命题是“若A，则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题.如果不是“若A，则B”的形式，则需要先将其改写成“若A，则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题.
2.否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假.但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真.这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准.
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假.
解 (1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”.
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”.
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假.
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”.
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”.
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.
3 判断条件四策略
1.应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.判断时的关键是分清条件与结论.
例1 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，
所以pD/?q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
2.利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 依题意，有A?B?C?D且A?B?C?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件.www-2-1-cnjy-com
答案 必要不充分
3.利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件.21*cnjy*com
例3 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________.
解析 设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p?q，但q?p，故P?Q，
所以或解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞).
答案 [9，＋∞)
4.等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p?q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q?綈p，从而得到p?q.
例4 已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 因为p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，
所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1.
因为綈p?綈q，但綈q?綈p，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件.
答案 充分不必要
4 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假.
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?(A∪B).
错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题.
剖析 (1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题.21·世纪*教育网
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题.
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?(A∪B)＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题.
(4)A为A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)为真命题.
正解 (2)(4)是命题，且都为真命题.
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.
错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题.
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断.【来源：21·世纪·教育·网】
正解 (1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题.
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x>3 B.x>4
C.x>2 D.x∈{1,2,3}
错解 由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，又x>2?x>3，因此选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，p?q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.21cnjy.com
正解 B
误区4 考虑问题不周
例4 如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
错解 判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.2·1·c·n·j·y
剖析 判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断.对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件.【版权所有：21教育】
正解 B
误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”.21教育名师原创作品
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”.
错解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.
剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件.
正解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.
误区6 不能正确否定结论
例6 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”.
错解 綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根.
剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”.
正解 綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根.
误区7 对含有一个量词的命题否定不完全
例7 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定.
正解 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区8 忽略了隐含的量词
例8 写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图像关于y轴对称.
错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图像不关于y轴对称.
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意.
正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称.
5 解“逻辑”问题的三意识
1.转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明.21世纪教育网版权所有
例1 证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”.由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题.故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.21教育网
例2 命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围.2-1-c-n-j-y
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题.
解 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}
＝{x|3aB＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}.
因为q是p的必要不充分条件，
所以p?q，qD?/p，由A?B得
或即a≤－4或－≤a<0.
所以实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－，0).
2.简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断.
例3 已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x在R上是减少的.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.
分析 先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围.
解析 函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假.若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围.
3.反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法.
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________.
①AB?对任意x∈A，都有x?B；
②AB?A∩B＝?；
③AB?BA；
④AB?存在x∈A，使得x?B.
分析 画出表示AB的Venn图进行判断.
解析 画出Venn图，如图1所示，则AB ?存在x∈A，使得x?B，故①②是假命题，④是真命题.
A?B?BA不成立的反例如图2所示.同理可得B?A?AB不成立.故③是假命题.
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
第一章 常用逻辑用语
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.【来源：21·世纪·教育·网】
知识点一 命题及其关系
1.判断一个语句是否为命题，关键是：
(1)为__________；
(2)能__________.
2.互为逆否关系的两个命题的真假性________.
3.四种命题之间的关系如图所示.
知识点二 充分条件、必要条件和充要条件
1.定义
“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：p?q，读作“p推出q”.此时我们称p是q的充分条件，同时我们称q是p的必要条件.
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.21·cn·jy·com
2.特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的______条件；
(2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的______条件.即若p?q，q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.21·世纪*教育网
知识点三 简单的逻辑联结词与量词
1.常见的逻辑联结词有“____”“____”“____”.
2.短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词.
3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词.
4.含有全称量词的命题叫作______命题，含有存在量词的命题叫作______命题.
类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究
命题角度1 充分条件与必要条件的再探究
例1 设甲、乙、丙三个命题，若①甲是乙的充要条件；②丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则( )21*cnjy*com
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
反思与感悟 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.
如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果.
则p?q易表述为以下几种说法：
p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；
q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.
跟踪训练1 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
A.a2>b2>0 B.a>b>0
C.ln a>ln b>0 D.xa>xb且x>0.5
命题角度2 充要条件的再探究
例2 设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1,2,3…)，证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…).
反思与感悟 利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿漏掉其中一个方面.
跟踪训练2 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.{an}是等比数列
B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
类型二 等价转化思想的应用
例3 已知c>0，设p：函数y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围.【出处：21教育名师】
反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.【版权所有：21教育】
跟踪训练3 已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围.
类型三 分类讨论思想的应用
例4 已知关于x的方程(m∈Z)：
mx2－4x＋4＝0， ①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0， ②
求方程①和②的根都是整数的充要条件.
反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的思想方法之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想.21cnjy.com
跟踪训练4 已知p：≥2；q：x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围.
1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
2.已知命题p：任意x∈R，x3＜x4；命题q：存在x∈R，sin x－cos x＝－，则下列命题中为真命题的是( )2·1·c·n·j·y
A.p且q B.(綈p)且q
C.p且(綈q) D.(綈p)且(綈q)
3.已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是________.(填序号)www.21-cn-jy.com
4.对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
5.(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？
(2)若p：|3x－4|>2，q：>0，则綈p是綈q的什么条件？
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.www-2-1-cnjy-com
2.判断命题真假的步骤
??
3.命题p且q，p或q，綈p的真假判断，如下表：
p
q
綈p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
4.全称命题与特称命题的否定
命题
命题的否定
任意x∈M，p(x)
存在x∈M，綈p(x)
存在x∈M，p(x)
任意x∈M，綈p(x)
注意：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
(2)命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论.21世纪教育网版权所有
提醒：完成作业 第一章 章末复习课
答案精析
知识梳理
知识点一
1.(1)陈述句 (2)判断真假
2.相同
知识点二
2.(1)必要 (2)充分
知识点三
1.且 或 非
4.全称 特称
题型探究
例1 A
跟踪训练1 C
例2 证明 必要性：设{an}是公差为d1的等差数列，
则bn＋1－bn＝(an＋1－an＋3)－(an－an＋2)＝(an＋1－an)－(an＋3－an＋2)＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…)成立.21教育网
又cn＋1－cn＝(an＋1－an)＋2(an＋2－an＋1)＋3(an＋3－an＋2)＝d1＋2d1＋3d1＝6d1(常数)(n＝1,2,3，…)，2-1-c-n-j-y
∴数列{cn}为等差数列.
充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…).
∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2， ①
∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4. ②
①－②得cn－cn＋2＝(an－an＋2)＋2(an＋1－an＋3)＋3(an＋2－an＋4)＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2.
∵cn－cn＋2＝(cn－cn＋1)＋(cn＋1－cn＋2)＝－2d2，
∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2， ③
同理有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2. ④
④－③得
(bn＋1－bn)＋2(bn＋2－bn＋1)＋3(bn＋3－bn＋2)＝0. ⑤
∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0，bn＋3－bn＋2≥0，
∴由⑤得bn＋1－bn＝0(n＝1,2,3，…).
由此不妨设bn＝d3(n＝1,2,3，…)，则an－an＋2＝d3(常数).
由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2＝4an＋2an＋1－3d3，
从而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－3d3＝4an＋1＋2an－5d3.
两式相减得cn＋1－cn＝2(an＋1－an)－2d3，
因此an＋1－an＝(cn＋1－cn)＋d3
＝d2＋d3(常数)(n＝1,2,3，…)，
∴数列{an}是等差数列.
跟踪训练2 D
例3 解 函数y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的?0不等式x＋|x－2c|>1的解集为R
?函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
∵x＋|x－2c|＝
∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，
∴2c>1，得c>.
如果p真q假，则
解得0如果q真p假，则解得c≥1.
∴c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞).
跟踪训练3 解 (1)由命题p：(x＋1)·(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.
命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
∵p是q的充分条件，
∴[－1,5]?[1－m,1＋m)，
∴解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞).
(2)∵m＝5，∴命题q：－4≤x<6.
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴命题p，q为一真一假.
当p真q假时，可得
解得x∈?.
当q真p假时，可得
解得－4≤x<－1或5故实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6).
例4 解 当m＝0时，方程①的根为x＝1，
方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.
当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1；
方程②有实数根的充要条件是
Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0?m≥－.
∴－≤m≤1.又∵m∈Z，
∴m＝－1或m＝1.
当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；
当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，
方程②为x2－4x－5＝0.
此时①和②均有整数根.
综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.
跟踪训练4 解 ∵p：≥2，
∴≤0，即1≤x<3.
又∵q：x2－ax≤x－a，
∴x2－(a＋1)x＋a≤0.
①当a<1时，a≤x≤1；
②当a＝1时，x＝1；
③当a>1时，1≤x≤a.
设q对应的集合为A，p对应的集合为B，
∵綈p是綈q的充分条件.∴?RB??RA，即A?B.
当a<1时，A?B，不合题意；
当a＝1时，A?B，符合题意；
当a>1时，1≤x≤a，要使A?B，
则1综上，实数a的取值范围为[1,3).
当堂训练
1.B 2.B 3.②③ 4.(－∞，0]
5.解 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线互相垂直，∴p?q.
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴q?p.
∴p是q的充分不必要条件.
(2)解不等式|3x－4|>2，
得p：{x|x>2或x<}，
∴綈p：{x|≤x≤2}.
解不等式>0，
得q：{x|x<－1或x>2}.
∴綈q：{x|－1≤x≤2}.
∴綈p是綈q的充分不必要条件.
