§1 变化的快慢与变化率
平均变化率
某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：
x(min)
0
10
20
30
40
50
60
y(℃)
39
38.7
38.5
38
37.6
37.3
36.8
问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？
提示：从20 min到30 min变化快．
问题2：如何刻画体温变化的快慢？
提示：用平均变化率．
问题3：平均变化率一定为正值吗？
提示：不一定．可正，可负，可为零．
平均变化率
(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.
其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.
(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
瞬时变化率
王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”
问题1：限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？
提示：不是，是指瞬时速度．
问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？
提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．
问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？
提示：有可能．
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
1.＝为平均变化率，其中Δx可正、可负，不能为零．
2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．
求平均变化率
[例1] 求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3－x
＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为：
＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.
当x0＝1，Δx＝时，
平均变化率的值为3×12＋3×1×＋()2＝.
[一点通]
求平均变化率的步骤是：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；
(3)求平均变化率＝.
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx＞0 B．Δx＜0
C．Δx≠0 D．Δx＝0
答案：C
2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．0.41 B．3
C．4 D．4.1
解析：＝＝4.1.
答案：D
3．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．
解：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)
＝－8Δx－2(Δx)2，
∴＝－8－2Δx.
即平均变化率为－8－2Δx.
求瞬时变化率
[例2] 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t s时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
[思路点拨] 本题可先求物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度，然后求当Δt趋于0时的瞬时速度．
[精解详析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
[一点通]
求函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，可以先求函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx处的平均变化率，再求当Δx趋于0时平均变化率的值，即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．
4．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A．1米/秒 B．－1米/秒
C．2米/秒 D．－2米/秒
解析：由＝＝＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒．
答案：B
5．求函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx－2＋2＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，趋于2.
所以函数y＝x2－3在x＝1时的瞬时变化率为2.
1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．
2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．
3．Δx趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．
1．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )
A．Δx＋ B．Δx－－2
C．Δx＋2 D．2＋Δx－
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝Δx＋2.
答案：C
2．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)内的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
解析：＝＝
＝＝6＋Δt.
答案：A
3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.
答案：C
4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )
A．①②③④ B．②①③④
C．②①④③ D．②④①③
解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.
答案：C
5．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．
解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，
Δx＝e2－e，
∴＝.
答案：
6．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．
解析：＝＝
＝－，当Δt趋于0时，＝－.
答案：－
7．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.
(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；
(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．
解：(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度：
＝＝－14.
故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；
(2)∵＝
＝
＝
＝－5·Δt－4，
∴当Δt趋于0时，趋于－4，
即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4 m/s.
8．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物休的初速度v0即求物体在t＝0的瞬时速度．
.∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴当Δt趋于0时，趋于－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12.
∴当Δt趋于0时，趋于－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
§2 导数的概念及其几何意义
导数的概念
一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)．
问题1：试求质点在前3秒内的平均速度．
提示：8米/秒．
问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度．
提示：＝＝14＋2Δt，当Δt→0时，→14，故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．
问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求函数值y关于x的平均变化率．
提示：＝.
问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？
提示：是．
导数的概念
1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝，当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数．
2．记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝li ＝li .
导数的几何意义
问题1：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？
提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．
问题2：当Δx变化时，直线如何变化？
提示：直线AB绕点A转动．
问题3：当Δx→0时，直线变化到哪里？
提示：直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置．
导数的几何意义
1．割线的定义：
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
2．切线的定义：
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．
3．导数的几何意义：
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
1．函数f(x)在点x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若li 存在，则函数y＝f(x)在点x0处就有导数．
2．f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
求函数在某点处的导数
[例1] 求函数y＝在x＝2处的导数．
[思路点拨] 由所给函数解析式求Δy＝f(Δx＋x0)－f(x0)；计算；求li .
[精解详析] ∵f(x)＝，
∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1
＝，
∴＝，
∴li ＝li ＝－1，∴f′(2)＝－1.
[一点通] 由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率＝；
③取极限，得导数f′(x0)＝.
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2＋Δx
C．2 D.1
解析：y＝x2在x＝1处的导数为：
f′(1)＝＝2.
答案：C
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)＝________.
解析：函数f(x)＝ax＋b在x＝1处的导数为f′(1)＝li ＝li ＝li ＝a，又f′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f(x)＝2x，有f(2)＝4.
答案：4
3．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，
＝＝1＋，
∴＝＝2，
从而f′(1)＝2.
求曲线的切线方程
[例2] 已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．
[思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程．
[精解详析] 因为
＝＝5＋3Δx，
当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
所以切线方程为y－2＝5(x－1)，
即5x－y－3＝0.
[一点通] 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
4．曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B.
C．1 D.2
解析：f′(1)＝li
＝li ＝li (2＋Δx)＝2.
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
因为y＝2x－1与坐标轴的交点为(0，－1)，，
所以所求三角形的面积为S＝×1×＝.
答案：A
5．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．
解：∵点(－2，－1)在曲线y＝上，
∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝在x＝－2处的导数．
∴k＝f′(－2)＝li
＝li ＝li
＝－，
∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
导数几何意义的综合应用
[例3] 已知抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
[精解详析] 设点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx趋于零时，趋于4x0.
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴切线的斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴切线的斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴切线的斜率为8，
即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．
[一点通] 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．
6．曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)，
∵Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)
＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx，
∴＝2x＋Δx－3.
∴f′(x)＝li ＝li (2x＋Δx－3)＝2x－3.
由f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝，
代入曲线方程得y0＝－.
所以点P坐标为.
答案：
7．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义，易得f′(1)＝，由切线方程得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
8．求经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．
解：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由y′＝li
＝li
＝li ＝－.
故所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．
由点(2,0)在所求的直线上，得xy0＝2－x0，
再由P(x0，y0)在曲线y＝上，得x0y0＝1，
联立可解得x0＝1，y0＝1，
所以直线方程为x＋y－2＝0.
求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．
1．函数y＝f(x)＝1－3x在x＝2处的导数为( )
A．－3 B．－2
C．－5 D.－1
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－3Δx，＝－3，Δx趋于0时，趋于－3.
答案：A
2．抛物线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程为( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D.x＋y－1＝0
解析：f′(2)＝li
＝li ＝1，
∴过点(2,1)的切线方程为y－1＝1·(x－2)，
即x－y－1＝0.故选A.
答案：A
3.已知曲线C：y＝x3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C相切的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定
解析：由y＝x3得＝＝＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，则y′＝li[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，由3x2＝3，得x＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C相切的直线，故选B.
答案：B
4．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由图像易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA答案：B
5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P坐标为________．
解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
6.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li ＝________.
解析：由导数的概念和几何意义知，li ＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
7．已知点P(2，－1)在曲线f(x)＝上．求：
(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
解：(1)将P(2，－1)的坐标代入f(x)＝，得t＝1，
∴f(x)＝.
∴f′(2)＝
＝
＝＝1，
曲线在点P处的切线斜率为1.
(2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
8．求与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线方程？
解：设切点为P(x0，y0)，可得所求切线的斜率
k＝li ＝li (2x0＋Δx)＝2x0，
又直线x＋2y＋1＝0的斜率为－，由所求切线与该直线垂直得(2x0)·＝－1，
得x0＝1，则y0＝x＝1，
所以所求切线的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
§3 计算导数
对于函数y＝－x2＋2.
问题1：试求f′(1)，f′.
提示：f′(1)＝li
＝li (－2－Δx)＝－2.
f′＝li
＝li (1－Δx)＝1.
问题2：求f′(x0)的值．
提示：f′(x0)＝li ＝li (－2x0－Δx)＝－2x0.
问题3：利用f′(x0)可求f′(1)和f′吗？
提示：可以．只要令x0＝1，x0＝－.
问题4：若x0是一变量x，则f′(x)还是常量吗？
提示：因f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，其值随自变量x而改变．
1．导函数
若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝li ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，简称为导数．
2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数
导函数
函数
导函数
y＝c (c是常数)
y′＝0
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝xα(α为实数)
y′＝αxα－1
y＝cos x
y′＝－sin_x
y＝ax (a>0，a≠1)
y′＝axln_a特别地(ex)′＝ex
y＝tan x
y′＝
y＝loga x (a>0，a≠1)
y′＝特别地(ln x)′＝
y＝cot x
y′＝－
1．f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f′(x)的一个函数值．
2．对公式y＝xα的理解：
(1)y＝xα中，x为自变量，α为常数；
(2)它的导数等于指数α与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立．
利用导函数定义求导数
[例1] 求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．
[思路点拨] 先用导函数的定义求f′(x)，再将x＝3代入即可得f′(3)．
[精解详析] f′(x)＝li
＝li
＝li (2x＋Δx＋5)＝2x＋5.
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
[一点通] 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；
(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(3)当Δx趋于0时，得到导函数
f′(x)＝ .
1．利用导数定义求f(x)＝1的导函数，并求f′(2)，f′(3)．
解：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0，＝0.
Δx趋于0时，趋于0.
所以f′(x)＝0.
所以有f′(2)＝0，f′(3)＝0.
2．求函数y＝的导函数．
解：Δy＝－，
＝＝，
所以y′＝ ＝ ＝.
利用导数公式求导数
[例2] 求下列函数的导数．
(1)y＝x13，(2)y＝，(3)y＝log3x，(4)y＝ .
[思路点拨] (1)(3)直接套用公式，(2)(4)先将分式、根式转化为幂的形式，再求解．
[精解详析] (1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；
(2)y′＝()′＝(x)′＝x＝x；
(3)y′＝(log3x)′＝；
(4)y′＝′＝(x－)′
＝－x＝－x.
[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
3．函数y＝sin的导数是________．
解析：y＝sin＝cos x，所以y′＝－sin x.
答案：－sin x
4．若f(x)＝x2－ex，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝2x－ex，∴f′(－1)＝－2－e－1.
答案：－2－e－1
5．求下列函数的导数：
(1)y＝x2 014；(2)y＝；(3)y＝5x；(4)y＝.
解：(1)y′＝(x2 014)′＝2 014x2 013；
(2)y′＝′＝－9x－4；
(3)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(4)y′＝()′＝′＝
导数的综合应用
[例3] 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[精解详析] 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，
即f′(x0)＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，
即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
[一点通] 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解．
6．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标是( )
A. B.或
C. D.
解析：由y′＝－＝－4，得x＝±，
故点P的坐标为或.
答案：B
7．曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．
解析：由联立得交点为(1,1)，
而′＝－；(x2)′＝2x，∴斜率分别为：－1和2，
∴切线方程为：y－1＝－(x－1)，
及y－1＝2(x－1)．
令y＝0得与x轴交点为(2,0)及，
∴S△＝·×1＝.
答案：
8．已知直线y＝kx是y＝ln x的一条切线，求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝ln x，∴y′＝.∴f′(x0)＝＝k.
∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝ln x上，
∴把k＝代入①式得y0＝1，
再把y0＝1代入②式求出x0＝e.
∴k＝＝.
1．f′(x0)与f′(x)的异同：
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值.
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
2．在应用正余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：
(1)对于公式(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．
(2)对于公式(ln x)′＝和(ex)′＝ex很好记，但对于公式(logax)′＝和(ax)′＝axln a的记忆就较难，特别要注意ln a所在的位置．
1．设函数f(x)＝cos x，则′＝( )
A．0 B．1
C．－1 D.以上均不正确
解析：注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A.
答案：A
2．下列各式中正确的是( )
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x D.(3x)′＝3x·ln 3
解析：由(logax)′＝，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln 3可知D正确．
答案：D
3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值是( )
A．－4 B．4
C．±4 D.不确定
解析：f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.
答案：B
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D.－1
解析：因为y′＝2ax，
所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.
又由题设条件知切线的斜率为2，
即2a＝2，即a＝1，故选A.
答案：A
5．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．
解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.
因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，
即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.
答案：1或－
6．正弦曲线y＝sin x(x∈(0,2π))上切线斜率等于的点为________________．
解析：∵y′＝(sin x)′＝cos x＝，
∵x∈(0,2π)，
∴x＝或.
答案：或
7．求与曲线y＝f(x)＝在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．
解：∵y＝，
∴y′＝()′＝(x)′＝x.
∴f′(8)＝·8＝.
即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为.
∴适合条件的直线的斜率为－3.
从而适合条件的直线方程为y－8＝－3(x－4)．
即3x＋y－20＝0.
8．求下列函数的导数：
(1)y＝log2x2－log2x；
(2)y＝－2sin .
解：(1)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
(2)y＝－2sin
＝2sin
＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝cos x.
§4 导数的四则运算法则
导数的加法与减法法则
已知f(x)＝x，g(x)＝x2.
问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？
提示：f′(x)＝1，g′(x)＝2x.
问题2：试求Q(x)＝x＋x2的导数．
提示：因Δy＝Δx＋2xΔx＋(Δx)2，＝1＋2x＋Δx，当Δx→0时，f′(x)＝1＋2x.
问题3：Q(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数和．
问题4：对于任意函数f(x)，g(x)都满足(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)吗？
提示：满足．
导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x).
导数的乘法与除法法则
已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2.
问题1：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？
提示：不成立，因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3.
问题2：能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？
提示：能．因f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，(f(x)g(x))′＝5x4，有(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
问题3：对于其他函数还满足上述关系吗？
提示：满足．
导数的乘法与除法法则
(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
′＝.
(2)[kf(x)]′＝kf′(x)．
1．注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和；
的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方．
2．[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠.
3．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数之积．
利用导数的运算法则求导数
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x2＋log3x；
(3)y＝x2·sin x；
(4)y＝.
[思路点拨] 结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．
[精解详析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′
＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5.
(2)y′＝(x2＋log3x)′
＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(3)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′
＝2x·sin x＋x2·cos x.
(4)y′＝
＝＝.
[一点通] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
1．下列求导运算中正确的是( )
A.′＝1＋ B．(lg x)′＝
C．(ln x)′＝x D.(x2cos x)′＝－2xsin x
解析：′＝1－，故A错；(ln x)′＝，故C错；(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D错，故选B.
答案：B
2．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，
解得a＝.
答案：D
3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e
C. D.ln 2
解析：f′(x)＝x·＋ln x＝1＋ln x，
因为f′(x0)＝2，即1＋ln x0＝2，
所以ln x0＝1，x0＝e.
答案：B
4．求下列函数的导数．
(1)y＝3x2＋xcos x；
(2)y＝lg x－；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解：(1)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′
＝6x＋cos x－x·sin x.
(2)y′＝′＝(lg x)′－′＝＋.
(3)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)
＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝(x3＋6x2＋11x＋6)′
＝3x2＋12x＋11.
导数与曲线的切线问题
[例2] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
[精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为
k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为
y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
[一点通]
(1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：
(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，然后根据其他条件列方程，求出切点，再求切线方程．
5．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )
A．4 B．5
C．6 D.7
解析：由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′x＝2＝7，故选D.
答案：D
6．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( )
A. B.
C. D.
解析：因为y＝x3－1?y′＝3x2，y＝3－x2?y′＝－x，由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝，故选D.
答案：D
7．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )
A．y＝3x＋1 B．y＝－3x
C．y＝－3x＋1 D.y＝3x
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，
∴f(x)＝x3－3x，f′(0)＝－3，
∴所求切线方程为y＝－3x，故选B.
答案：B
8．已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．
解：f′(x)＝1－，由导数的几何意义得f′(2)＝3，
于是a＝－8.
由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，
可得f(2)＝2－＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
1．若f′(x)＝f(x)，且f(x)≠0，则f(x)＝( )
A．ax B．logax
C．ex D.e－x
答案：C
2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是( )
A．甲大 B．乙大
C．相等 D.无法比较
解析：v1＝s′1＝3t2－4t＋1，v2＝s′2＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．
答案：B
3．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D.(0，＋∞)
解析：设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2.
答案：B
4．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
解析：y′＝′＝
＝＝.
答案：A
5．函数y＝x的导数为________．
解析：y＝x＝x3＋1＋，y′＝3x2－.
答案：3x2－
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋?f′(e)＝－.
答案：－
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(＋1)；
(2)y＝xtan x；
(3)y＝x－sin cos ；
(4)y＝3ln x＋ax(a>0，且a≠1)．
解：(1)∵y＝·－＋－1＝－＋，
∴y′＝′＝－＋
＝－.
(2)y′＝(xtan x)′＝′
＝
＝＝.
(3)y′＝′＝′
＝1－cos x.
(4)y′＝(3ln x＋ax)′＝＋axln a.
8．设f(x)＝a·ex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
解：∵f(x)＝a·ex＋bln x，
∴f′(x)＝a·ex＋，
根据题意应有
解得
所以a，b的值分别是1,0.
§5 简单复合函数的求导法则
已知y＝(3x＋2)2，y＝sin.
问题1：这两个函数是复合函数吗？
提示：是复合函数．
问题2：试说明y＝(3x＋2)2如何复合的．
提示：令u＝g(x)＝3x＋2，则y＝u2，u＝3x＋2，y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2.
问题3：试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数．
提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.
问题4：观察问题3中导数有何关系．
提示：y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)．
1．复合函数的概念
对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．
利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤：
(1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数．
(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数．
简单的复合函数求导
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝sin 3x；(2)y＝；
(3)y＝lg(2x2＋3x＋1)；
(4)y＝sin2.
[思路点拨] 先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解．
[精解详析] (1)设y＝sin u，u＝3x，
则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(3x)′＝cos u·3＝3cos 3x.
(2)设y＝u－，u＝1－2x2，
则y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x2)′
＝－u－·(－4x)
＝－(1－2x2) (－4x)＝2x(1－2x2) .
(3)设y＝lg u，u＝2x2＋3x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝(lg u)′·(2x2＋3x＋1)′
＝·(4x＋3)＝.
(4)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋.
则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2
＝2sin v·cos v·2＝2sin 2v＝2sin.
[一点通] 求复合函数导数的步骤：
①确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y＝f(u)，u＝g(x)；
②分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f′(u)，再求g′(x)．
③计算f′(u)·g′(x)，并把中间变量转化为自变量的函数．
整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．
1．函数y＝的导数是( )
A. B.
C．－ D.－
解析：∵y＝＝(3x－1)－2，
∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′
＝－6(3x－1)－3
＝－
答案：C
2．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．
解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f′(0)＝10.
答案：10
3．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝sin3x＋sin x3；(3)y＝.
解：(1)设y＝，u＝3－x，
则y′x＝y′u·u′x＝·(－1)＝－.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2·cos x3.
(3)设y＝u－4，u＝1－3x，
∴y′＝(u－4)′(1－3x)′＝(－4u－5)·(－3)＝12u－5
＝12(1－3x)－5.
复合函数导数的综合问题
[例2] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
[精解详析] 设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋.
由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cos x·＝cos.
将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h)．
它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
[一点通] 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
4．(新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝
( )
A．0 B．1
C．2 D.3
解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
答案：D
5．f(x)＝，且f′(1)＝1，则a的值为________．
解析：∵f′(x)＝·(ax－1)′＝，
∴f′(1)＝＝1.解得a＝2.
答案：2
6．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：∵y′＝a·eax，且y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴k＝2＝f′(0)＝a，即a＝2.
答案：2
7．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t.
(1)求汽水温度x在t＝1处的导数；
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x＝y－32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数．
解：x′＝－32e－2t.
(1)当t＝1时，x′＝－.
(2)y＝(x＋32)＝(16e－2t＋36)，
y′＝e－2t×(－2)＝－e－2t.
求复合函数的导数应处理好以下环节：
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
1．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D.y＝(2x＋3)4
解析：A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.
答案：A
2．函数y＝2的导数为( )
A．2 B．2
C．2· D.2·
解析：y′＝2′＝2·.
答案：C
3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
解析：y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
答案：B
4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )
A．20 mm B．400 mm
C. mm/min D. mm/min
解析：f′(t)＝·10＝，
∴f′(40)＝＝.
答案：D
5．若f(x)＝，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝(ex－e－x)，∴f′(0)＝0.
答案：0
6．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
解析：设切点为(x0，y0)，
则y0＝x0＋1，且y0＝ln(x0＋a)，
所以x0＋1＝ln(x0＋a)． ①
对y＝ln(x＋a)求导得y′＝，则＝1，
即x0＋a＝1. ②
②代入①可得x0＝－1，所以a＝2.
答案：2
7．设f(x)＝aex＋bln x2，且f′(1)＝e＋1，f′(－1)＝－1，求实数a，b的值．
解：f′(x)＝aex＋，
由已知得解得.
8．求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2－x＋1)4；
(2)y＝；
(3)y＝xln(1－x)．
解：(1)y′＝4(2x2－x＋1)3(2x2－x＋1)′
＝4(2x2－x＋1)3·(4x－1)．
(2)法一：设y＝u，u＝1－2x2，则
y′x＝y′u·u′x＝ (－4x)
＝－(1－2x2) (－4x)
＝2x(1－2x2)
＝ .
法二：y′＝′＝[(1－2x2) ]′
＝－(1－2x2) ·(1－2x2)′
＝2x(1－2x2) ＝ .
(3)y′＝x′ln(1－x)＋x[ln(1－x)]′
＝ln(1－x)＋x·
＝ln(1－x)－.
第二章 变化率与导数
[对应学生用书P25]
一、导数的概念
1．函数在点x0处的导数
f′(x0)＝li ，Δx是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．
2．导函数
f′(x)＝li ，f′(x)为f(x)的导函数，不是一个常数．
二、导数的几何意义
1．f′(x0)是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，这是导数的几何意义．
2．求切线方程
常见的类型有两种：
一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
三、导数的运算
1．基本初等函数的导数
(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；
(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1；
(3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；
(4)f(x)＝logax，则f′(x)＝；
(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；
(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；
(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝；
(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－.
2．导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝.
3．复合函数的求导法则
设复合函数μ＝g(x)在点x处可导，y＝f(μ)在点μ处可导，则复合函数f(g(x))在点x处可导，且f′(x)＝f′(μ)·g′(x)，即yx′＝yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝，则f′＝( )
A．－ B．－
C．－8 D.－16
解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，
∴f′＝－2×－3＝－16.
答案：D
2．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1
解析：由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.
答案：A
3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )
A．在点x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
答案：C
4．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)＝( )
A．sin x B．cos x
C．cos α＋sin x D.2sin α＋cos x
解析：函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．
答案：A
5．曲线y＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )
A．3 B．2
C. D.
解析：y′＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2，
又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，
即y＝2x－，
切线和x轴，y轴交点为，.
故所求三角形的面积＝××＝，故选D.
答案：D
6．函数f(x)＝xsin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致为( )
解析：∵f(x)＝xsin x，∴f′(x)＝sin x＋xcos x，
∴f′(－x)＝－sin x－xcos x＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.
答案：C
7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝( )
A. B．2ln 3
C. D.
解析：∵f′(x)＝，∴f′(3)＝.
答案：D
8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0 B．2
C．1 D.－1
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，
所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.
答案：A
9．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝( )
A．a B．±a
C．－a D.a2
解析：因为y′＝＝＝，所以x－a2＝0，解得x0＝±a.
答案：B
10．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图像在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值是( )
A．4 B．2
C．2 D.
解析：函数的导数为f′(x)＝－eax·a，
所以f′(0)＝－e0·a＝－，
即在x＝0处的切线斜率k＝－，
又f(0)＝－e0＝－，所以切点为，
所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.
圆心到直线ax＋bx＋1＝0的距离d＝＝1，
即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，
所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，
即a＋b≤，所以a＋b的最大值是，选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.
解析：∵f(x)＝log3(x－1)，
∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，
∴f′(2)＝.
答案：
12．已知0解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝ .
由01，
故f′(x)答案：f′(x)13．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________________．
解析：f′(x)＝＋＝＋.当a＝2时，f′(0)＝＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.
答案：7x－4y－2＝0
14．曲线y＝f(x)＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________．
解析：f′(x)＝，由＝2，得x＝1，又f(1)＝0，所以与直线2x－y＋3＝0平行的切线的方程为y＝2(x－1)，则两直线间的距离，即曲线上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为d＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：
(1)y＝sin x＋；
(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；
(3)y＝x·e－x；
(4)y＝sin 2x.
解：(1)y′＝(sin x)′＋′＝cos x－.
(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′
＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)
＝9x2－2x＋6.
(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′
＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.
(4)y′＝(sin 2x)′＝×2·cos 2x＝cos 2x.
16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知
解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，
故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
此式对任意x都成立，所以
解得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.
17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，求：
(1)f(x)的表达式；
(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．
解：(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)，于是有
f′(a)＝a2＋3f′(a)?f′(a)＝－，
∴f(x)＝x3－x，
又f(a)＝，即a3－a3＝?a＝－1，
f(x)＝x3－x；
(2)由(1)知切点为，
切线的斜率f′(a)＝－，
∴切线方程为y－＝－(x＋1)，
即3x＋6y－4＝0.
18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积．
解：(1)f′(x)＝a－，
于是
解得或
因为a，b∈Z，故即f(x)＝x＋.
(2)由(1)知当x＝3时，f(3)＝，
f′(x)＝1－，f′(3)＝1－＝，
过点的切线方程为y－＝(x－3)，
即3x－4y＋5＝0.
切线与直线x＝1的交点为(1,2)，
切线与直线y＝x的交点为(5,5)，
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．
从而所围三角形的面积为×|5－1|×|2－1|＝2.
