§1 从平面向量到空间向量
空间向量
小刚从学校大门口出发，向东行走100 m，再向北行走600 m，最后乘电梯上行20 m到达住处．
问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？
提示：是．
问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？
提示：用空间向量．
问题3：若设大门口向东行走100 m为a，再向北行走600 m为b，最后乘电梯上行20 m为c，则a，b，c夹角分别是多少？
提示：.
空间向量
(1)空间向量及其模的表示方法：
有向线段
字母
图示
表示
a或
模
||
||或|a|
(2)向量的夹角：
①定义：过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
②范围：[0，π]．
③当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b.
④当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b.
(3)特殊向量：
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
向量、直线、平面
如图，正方体ABCD－A′B′C′D′.
问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有哪些？
提示：，，，，，，，.
问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD垂直的向量有几个？
提示：8个．
向量、直线、平面
(1)方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 为直线l的方向向量．与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量．
(2)法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．
1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移．
2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面．
空间向量及有关概念
[例1] 给出以下命题：
①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
⑥空间中任意两个单位向量必相等．
其中，正确的命题序号是________．
[思路点拨] 用空间向量的有关概念进行判断．
[精解详析] 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．
[答案] ①②④⑤
[一点通]
与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念．两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关．
1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A．一个圆 B．两个孤立的点
C．一个球面 D．以上均不正确
解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．
答案：C
2．下列命题中正确的个数是( )
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；
③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．
答案：C
3．如图所示的长方体中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)写出向量的相反向量；
(3)写出与向量的模相等的向量；
(4)写出与向量平行的向量．
解：(1)与相等的向量有：，，.
(2)向量的相反向量有：，，，.
(3)与向量的模相等的向量有：，，，，，，.
(4)与向量平行的向量有：，，，，，，.
求空间向量的夹角
[例2] 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求(1)〈，〉，〈，〉，〈，〉．
(2)〈，〉，〈，〉．
[思路点拨] 按空间向量夹角的定义求解，空间向量a，b夹角范围是[0，π]．
[精解详析] (1)∵正方体ABCD－A′B′C′D′，
∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.
∴〈，〉＝0，〈，〉＝，〈，〉＝π.
(2)∵正方体ABCD－A′B′C′D′，∴AD∥BC.
∴〈，〉＝〈，〉＝.
连接AC，则△ACD′为等边三角形．
∴〈，〉＝.
[一点通]
与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈，〉＝，而〈，〉＝.
4．正四面体S－ABC中，E，F分别为SB，AB中点，则〈，〉＝________.
解析：如图所示，∵E，F为中点，
∴EF∥SA，而△SAC为正三角形，
∴∠SAC＝，
∴〈，〉＝.
答案：
5．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝，AA′＝1，AD＝，求〈，〉．
解：如图，连接A′C′，BC′.
∵＝，
∴∠BA′C′的大小就等于〈，〉．
由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中
A′B＝＝2，A′C′＝＝3，
BC′＝＝.
∴cos∠BA′C′＝＝.
∴∠BA′C′＝.即〈，〉＝.
直线的方向向量与平面的法向量
[例3] 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．
[思路点拨] (1)只要作出过F与DE平行的直线即可．
(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可．
[精解详析] (1)连接EF.
∵E，F分别是PC，PB的中点，
∴EF綊BC.又BC綊AD，
∴EF綊AD.
取AD的中点M，连接MF，
则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE.∴就是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.
又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.
∵DE?平面PCD，
∴DE⊥BC.
又PD＝CD，E为PC中点，
∴DE⊥PC.从而DE⊥平面PBC.
∴是平面PBC的一个法向量．
由(1)可知＝，
∴就是平面PBC的一个法向量．
[一点通]
直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．
6．直线的方向向量是( )
A．唯一的 B．相等的
C．平行的 D．相反的
解析：与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量．
答案：C
7．下列说法中不正确的是( )
A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
解析：A，B，C正确，而D中，若a∥b，虽然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．
答案：D
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点．
(1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量；
(2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量．
解：(1)如图所示，取BC中点F，
连EF，BC1，则EF∥BC1.
又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，
∴为直线AD1的方向向量．
(2)连B1C，则B1C⊥BC1.
又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.
∴B1C⊥面ABC1D1.
∴为平面ABC1D1的法向量．
1．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．
2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
3．平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线段也不一定在同一条直线上．
1．空间向量中，下列说法正确的是( )
A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等
B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同
C．如果两个向量平行， 并且它们的模相等，那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D正确．
答案：D
2．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若a是b的相反向量，则|a|＝|b|
C．如果两个向量平行，则这两向量相等
D．在四边形ABCD中，＝
解析：模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若＝，则四边形ABCD是平行四边形．
答案：B
3．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
解析：若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，即AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形．
答案：B
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是( )
A． B．
C． D．
解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥面ACC1A1，
故为平面ACC1A1的法向量．
答案：A
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以A1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量垂直的向量有________．
解析：A1B1⊥面BCC1B1，∴⊥；
A1D⊥AD1，而AD1∥BC1，∴⊥.
答案：
6．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则〈，〉＝________.
解析：连接DB，BC1，DC1，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
△BDC1为等边三角形．
∵E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，
∴EF∥BD，GH∥BC1.
∴〈，〉＝〈，〉＝60°.
答案：60°
7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1顶点为起点或终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与相反的向量；
(3)写出与平行的向量．
解：(1) ，，.
(2)，，，.
(3)，，，，，，.
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求〈，〉，〈，〉，〈，〉．
解：由题意知，六边形EFGHPQ为正六边形，所以〈，〉＝∠HPQ＝；〈，〉＝∠FGH＝；〈，〉等于∠QEF的补角，即〈，〉＝.
§2 空间向量的运算
空间向量的加减法
在射击时，为保证准确命中目标，要考虑风速、温度等因素．其中风速对射击的精准度影响最大．如某人向正北100 m远处的目标射击，风速为西风1 m/s.
问题1：射手能否直接瞄准目标射击？
提示：不能．
问题2：射手应怎样瞄准目标？
提示：瞄准方向为北偏西一定角度．
问题3：问题2的原因是什么？
提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的合成．
问题4：空间向量的加法与平面向量类似吗？
提示：类似，满足平行四边形法则．
空间向量的加减法
(1)空间向量的加法：
设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，以，为边作平行四边形，则对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b，如图．
(2)空间向量的减法：
a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量．
(3)空间向量加减法的运算律：
①结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
②交换律：a＋b＝b＋a.
空间向量的数乘
a为一空间向量．
问题1：空间向量a与一个实数λ的乘积为λa，λa是向量吗？
提示：是．
问题2：当λ＝0时，λa＝0对吗？
提示：不对，应为0.
问题3：若a与λa方向相反， λ的取值范围是什么？
提示：(－∞，0)．
空间向量的数乘
(1)定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.
(2)向量λa与a的关系：
λ的范围
方向关系
模的关系
λ＞0
方向相同
λa的模是a的模的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
λ＜0
方向相反
(3)空间向量的数乘运算律：
①交换律：λa＝aλ(λ∈R)；
②分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ∈R，μ∈R)；
③结合律：(λ μ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．
(4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
空间向量的数量积
设a，b，c是任意空间向量，类比平面向量的数量积，回答以下问题．
问题1：由a·b＝0，一定能推出a＝0或b＝0吗？
提示：不一定，也可能〈a，b〉＝.
问题2：由a·b＝a·c能得到b＝c吗？
提示：不一定．
问题3：(a·b)c＝a(b·c)成立吗？
提示：不一定．
空间向量的数量积
(1)空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b.
(2)运算律：
①交换律：a·b＝b·a；
②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
③λ(a·b)＝(λa)·b (λ∈R)．
(3)常见结论：
①|a|＝；
②a⊥b ?a·b＝0；
③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
(4)对任意一个非零向量，把叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a同方向．
与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算有如下特点：
(1)空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结果仍是一个向量．
(2)空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．
(3)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行．
(4)空间向量数量积运算的结果是一个实数．
空间向量的线性表示
[例1] 已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：
(1) ＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
[思路点拨] 要确定等式＝＋x＋y中x，y的值，就是看怎样用，，来表示，同理要确定(2)中的x，y的值，只需把用，，表示出来即可．
[精解详析] (1)如图．
∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
[一点通]
空间向量的线性运算即为向量的加减、数乘运算．在进行向量的线性运算时，应注意结合图形的特点，利用三角形法则、平行四边形法则及数乘运算的运算律来进行化简、计算．要特别注意把某些向量平移后转化为同一平面内进行相关计算．
1．如图，已知空间四边形ABCD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A. B．3
C．3 D．2
解析：－＋＝＋(－)＝＋＝＋2＝3.
答案：B
2．设E，F是长方体ABCD－A1B1C1D1中AC，A1D的中点，若向量＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：∵＝＋
＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－＋，
∴x＝－，y＝0，z＝.
∴x＋y＋z＝0.
3.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列表达式．
(1) ＋；
(2)＋；
(3)＋＋；
(4)＋＋＋＋.
解：(1)＋＝.
(2)＋＝(＋)＝＝.
(3)＋＋＝＋＝.
(4)＋＋＋＋＝0.
共线向量
[例2] 如图，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF＝2FB，CG＝2GD.求证：与为共线向量．
[思路点拨] 要证与共线，根据共线向量定理只要证明＝λ即可．
[精解详析] ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝－
＝－
＝(－)
＝.
又∵CF＝2FB，CG＝2GD，∴＝，＝.
∴＝－
＝－
＝(－)
＝.
∴＝.∴＝.
∴与为共线向量．
[一点通]
1．判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
2．共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．
4．与共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若与共线，则∥，此时AB与CD可能平行也可能为同一直线；而若AB∥CD，则必有与共线．故选B.
答案：B
5．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
解：＝－＝e1－4e2
又＝2e1＋ke2，
A，B，D三点共线，∴＝λ，
即2e1＋ke2＝λe1－4λe2.
∵e1，e2是不共线向量，
∴∴k＝－8.
6.如图所示，已知ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
解：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－.
∴＝＋2＋＝2(＋＋)．
∴＝2.
∴∥，即与共线.
空间向量的数量积及应用
[例3] 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
[思路点拨] 要证OG⊥BC，只需证·＝0，关键是把，用一组已知向量，，表示出来．
[精解详析] 如图，连接ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|，
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，
＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2cos θ－|a|2cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥.
∴OG⊥BC.
[一点通]
1．向量的数量积是一个实数，只要知道|a|，|b|及cos〈a，b〉即可用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
2．常用a·b＝0证明a⊥b，这是向量数量积的重要应用．
3．常用cos〈a，b〉＝求两向量夹角余弦值，这是向量数量积的另一个重要应用．
7．设|a|＝1，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，则(2a＋b)2＝( )
A．2 B．12
C．2 D．4
解析：(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2cos 120°＋4＝4.
答案：D
8．已知非零向量a，b不平行，且|a|＝|b|，则a＋b与a－b的位置关系是________．
解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
∴(a＋b)⊥(a－b)．
答案：垂直
9.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点．
求下列向量的数量积：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
解：(1)在空间四边形ABCD中，||＝||＝a，且〈，〉＝60°，所以·＝a·acos 60°＝a2.
(2)||＝a，||＝a，〈，〉＝60°，
所以·＝a2cos 60°＝a2.
(3)||＝a，||＝a，又∥，〈，〉＝π，
所以·＝a2cos π＝－a2.
(4)因为||＝a，||＝a，∥，
所以〈，〉＝〈，〉＝60°.
所以·＝a2cos 60°＝a2.
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．
2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量积为零．
3．灵活地应用向量的数量积公式是解决空间求模、夹角的关键．
1．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，则下列与向量相等的表达式是( )
A．－a＋b＋c B．－a－b＋c
C．a－b－c D．a＋b－c
解析：＝＋＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c.
答案：D
2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．±1 D．2
解析：a·b＝(2i－j＋k)(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
答案：A
3．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则＋(＋)＝( )
A． B．
C． D.
解析：＋(＋)＝＋＝.
答案：A
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝·＝·＝0，则△BCD为( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：＝＋，＝＋，＝＋，
∴cos〈，〉＝
＝＞0，∴〈，〉为锐角，
同理cos〈，〉＞0，∴∠BCD为锐角，
cos〈，〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．
答案：B
5．如图，?ABCD的对角线AC和BD交于点E，P为空间任意一点，若＋＋＋＝x，则x＝________.
解析：过E作MN∥AB分别交BC，AD于点M，N.
∴＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝2(＋)＝4.
答案：4
6．设a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝________.
解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
∴|c|＝ ＝
＝＝.
答案：
7．在四面体O－ABC中，棱OA，OB，OC两两互相垂直，且||＝1，||＝2，||＝3，G为△ABC的重心，求·(＋＋)的值．
解：∵＝＋＝＋(＋)
＝(＋＋)．
∴·(＋＋)＝(＋＋)2
＝(||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·)＝(1＋4＋9)＝.
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使〈，〉＝60°，求B，D间的距离．
解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理，·＝0.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋＋2＋2·＋2·＋2·
＝＋＋＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉
＝4.
∴||＝2，即B，D间的距离为2.
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3．1 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理
空间向量的标准正交分解与坐标表示
学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m，后向南15 m，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．
问题1：e1，e2，e3有什么关系？
提示：两两垂直．
问题2：假定每层楼高为3 m，请把面试地点用向量p表示．
提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.
标准正交基与向量坐标
(1)标准正交基：
在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．
(2)标准正交分解：
设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，叫作a的标准正交分解．
(3)向量的坐标表示：
在a的标准正交分解中三元有序实数(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．
(4)向量坐标与投影：
①i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影．
②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．
③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影.
空间向量基本定理
空间中任给三个向量a，b，c.
问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？
提示：它们不共面时．
问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？
提示：可以．
如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.
其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．
a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．
空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底．
空间向量的坐标表示
[例1] 如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.
(1)写出C′的坐标，给出关于i，j，k的分解式；
(2)求的坐标．
[思路点拨] (1)C′的坐标(也是的坐标)，即为C′在x轴、y轴、z轴正方向上的投影，即|OD|，|OB||OA′|.
(2)写出关于i，j，k的分解式，即可求得的坐标．
[精解详析] (1)∵AB＝3，BC＝4，AA′＝6，
∴C′的坐标为(4,3,6)．
∴＝(4,3,6)＝4i＋3j＋6k.
(2)＝－.
∵＝＋＝4i＋6k，
∴＝－＝－＋＋＝4i－3j＋6k，
∴＝(4，－3,6)．
[一点通]
1．建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系．
2．若表示向量的坐标，只要写出向量关于i，j，k的标准正交分解式，即可得坐标．
1．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则的坐标为________．
解析：显然D为原点，设E1(x，y，z)，
易知x＝1，y＝，z＝1，
∴＝.
答案：
2．已知点A的坐标是(1,2，－1)，且向量与向量关于坐标平面xOy对称，向量与向量关于x轴对称，求向量和向量的坐标．
解：如图，过A点作AM⊥平面xOy于M，则直线AM过点C，且CM＝AM，则点C的坐标为(1,2,1)，此时＝(1,2,1)，该向量与＝(1,2，－1)关于平面xOy对称．
过A点作AN⊥x轴于N，则直线AN过点B，且BN＝AN，则B(1，－2,1)，此时＝(1，－2,1)，该向量与关于x轴对称．
3.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
解：(1)∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]
＝－－－＝－4k－2i－j.
∴＝(－2，－1，－4)．
(2)∵＝－＝－(＋)
＝－－＝2j－4i－4k.
∴＝(－4,2，－4)．
向量a在b上的投影
[例2] 如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′.
(1)求向量在上的投影；
(2)是单位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量在上的投影．
[思路点拨] a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，只要求出|a|及〈a，b〉即可．
[精解详析] (1)法一：向量在上的投影为||cos〈，〉，
又正方体棱长为1，
∴|CA′|＝＝，∴||＝，
∠DCA′即为与的夹角，在Rt△A′CD中，
cos∠A′CD＝＝，
∴在上的投影为
||cos〈，〉＝·＝1.
法二：在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
DC⊥AD，〈，〉＝∠DCA′.
∴在上的投影为：
||cos〈，〉＝||cos∠DCA′＝||＝1.
(2)与的夹角为180°－∠A′CD，
∴在上的投影为
||cos(180°－∠A′CD)＝－||cos∠D′CA＝－1.
[一点通]
1．求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a与b的夹角，最后计算|a|cos〈a，b〉，即为向量a在向量b上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．
2．在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈，〉与〈，〉是不同的，其和为π.
4．已知i，j，k为标准正交基，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，
∴|a|cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)·i＝1.
答案：A
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，则向量在向量上的投影为________．
解析：在上的投影为||cos〈，〉，
而||＝＝2，
在Rt△AD1C1中，cos∠D1AC1＝＝，
∴||cos〈，〉＝2.
答案：2
空间向量基本定理及其简单应用
[例3] 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
[思路点拨] 要证明四点共面只需证明可用，表示即可；第(2)问中求x＋y＋z只需先把用，，表示出来，求出x，y，z，再求x＋y＋z.
[精解详析] (1)证明：＝＋，
又＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝＋，
∴＝，
∴＝＋，
∴A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－
＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－AB＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝.
∴x＋y＋z＝.
[一点通]
1．空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a，b，c构成的向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
2．利用空间的一个基底a，b，c可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a，b，c，不能再有其他向量．
6．O，A，B，C为空间四边形的四个顶点，点M，N分别是边OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，且a，b，c表示为( )
A.(c＋b－a) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(a＋b＋c)
解析：＝＋＝－＋(＋)＝(＋－)＝(b＋c－a)．
答案：A
7．已知e1，e2，e3是空间中不共面的三个向量，且a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝α a＋β b＋γ c，则α＋2β＋γ＝________.
解析：∵a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝α a＋β b＋γ c，
∴e1＋2e2＋3e3＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，
∴解得
∴α＋2β＋γ＝0.
答案：0
8．如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示如下向量：
(1) ；
(2) (G在B1D1上且＝)．
解：(1)＝－＝＋－＝－a＋b＋c.
(2)＝＋，
又＝＝(＋)
＝(－)＝(c－b)，
∴＝a－b＋c.
1．空间任一点P的坐标的确定：过P作面xOy的垂线，垂足为P′.在平面xOy中，过P′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|＝|P′C|，|y|＝|AP′|，|z|＝|PP′|.
2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量e1，e2，e3都不是0.
3．空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示．
4．点A(a，b，c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别为(a，－b，－c)，(－a，b，－c)，(－a，－b，c)；它关于xOy面、xOz面、yOz面、原点对称点的坐标分别为(a，b，－c)，(a，－b，c)，(－a，b，c)，(－a，－b，－c)．
1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．
答案：C
2．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝，b＝，c＝，＝x a＋y b＋z c，则( )
A．x＝2，y＝1，z＝ B．x＝2，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝1 D．x＝，y＝，z＝
解析：＝＋＝＋(＋A′D′―→)＝2a＋b＋c.
答案：A
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则在上的投影为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
∴| |＝，||＝，||＝.
∴△AB1C是等边三角形．
∴在上的投影为||cos〈，〉＝×cos 60°＝.
答案：B
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b－c D．－a＋b＋c
解析：＝＋＝＋(＋)
＝c＋(－＋＋)
＝c－a＋(－c)＋b
＝－a＋b＋c.
答案：D
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则在上的投影是________．
解析：在上的投影为||cos〈，〉，
在△ABC1中，
cos∠BAC1
＝＝＝＝，
又||＝.
∴||cos 〈·〉＝×＝－2.
答案：－2
6．在三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：如图，＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－＋－)．
＝＋＋
＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
7．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出，，，，，，的坐标表示．
解：∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
∴A(1,0,0), B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．
∴＝(1,0,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，＝
(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,1)．
8．如下图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底i，j，k表示向量，.
解：∵G是△PDC的重心，
∴＝＝(＋)
＝(＋＋＋＋)
＝(－k＋j－k＋i＋j)＝i＋j－k，
＝＋＋
＝－i＋k＋i＋j－k
＝－i＋j＋k.
3．3 空间向量运算的坐标表示
2014年2月，济青高速临沂段发生交通事故，一辆中型车严重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救．为防止救援造成的二次伤害，现从3个方向用力拉动驾驶室门，这3个力两两垂直，其大小分别为|F1|＝300 N，|F2|＝200 N，|F3|＝200 N.
问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？
提示：(300,200,200)．
问题2：驾驶室门受到的合力有多大？
提示：|F|＝500 N.
空间向量的坐标运算
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)；
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
(5)a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
(6)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；
(7)|a|＝＝；
(8)cos〈a，b〉＝＝ .
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
1．空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐标，数量积的运算是实数．
2．利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹角、向量的平行与垂直等问题．
空间向量的坐标运算
[例1] 已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，a·b.
[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．
[精解详析] 2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，
3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)，
a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.
[一点通]
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，那么向量a－b＋2c＝( )
A．(0,1,2) B．(4，－5,5)
C．(－4,8，－5) D．(2，－5,4)
解析：a－b＋2c＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝(－4,8，－5)．
答案：C
2．已知A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求P点坐标，使
(1)＝(－)；
(2)＝(－)．
解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．
(1)＝(6,3，－4)＝，
则P点坐标为；
(2)设P为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)＝(－)＝，
所以x＝5，y＝，z＝0，
即P点坐标为.
3．已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量c：
(1)a·c＝0；(2)|c|＝10；(3)c与向量b＝(1,0,0)垂直．
解：设c＝(x，y，z)，
由三个条件得
解得或
∴c＝(0,4，2)或(0，－4，－2)．
用坐标运算解决向量的平行与垂直问题
[例2] 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．
[思路点拨] 写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组，求解．
[精解详析] 法一：设M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则
＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．
∵⊥，∴·＝0，
∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，
即x－y－z＝0.①
又∵∥，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，
即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②
由①②得x＝，y＝，z＝.
∴M.
法二：设＝λ＝(－aλ，aλ，aλ)，
∴＝＋＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)
＝(－aλ，aλ－a，aλ)．
∵BM⊥AC1，
∴·＝0
即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝，
∴＝，
＝＋＝.
∴M点坐标(，，)．
[一点通]
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b为非零向量)，则a∥b?x1＝λx2，且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0时，必有a∥b，必要时应对b是否为0进行讨论．
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
4．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.
答案：A
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是DC的中点，求证：AD⊥D1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F.
∴＝(－1,0,0)，＝.
∴·＝(－1,0,0)·＝0.
∴AD⊥D1F.
6．已知a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．
(1)a∥b；(2)a⊥b.
解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，
∴x＝0，满足a∥b；
②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，
此时a不平行b，∴x≠1.
③当x≠0且x≠1时，
由a∥b?＝＝??x＝2.
综上所述，当x＝0或2时，a∥b.
(2)∵a⊥b?a·b＝0
?(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0
?1－x2－3x2＋1－x2＝0，
解得x＝±.
用空间向量的坐标运算解决夹角与距离问题
[例3] 直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉的值．
[思路点拨] CA，CB，CC1两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．
[精解详析] 以C为原点，以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，＝(1，－1,1)，
∴||＝.
(2)依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝3，||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
[一点通]
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
7．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，求与的夹角．
解：＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
||＝＝，||＝＝，
·＝2－3－6＝－7，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
解：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.
(1)证明：＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵＝－(0,1,1)＝，
∴||＝.
又∵·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)∵F，H，
∴＝.
∴||＝ ＝.
故FH的长为.
1．空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、夹角的坐标表示都类似于平面向量，要类比记忆与理解．
2．空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直角坐标系，然后利用有关公式求解．要注意总结在长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直角坐标系的规律．
3．利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式可求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题．
1．下列各组向量中不平行的是( )
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
解析：对D中向量g，h，＝≠，故g，h不平行．
答案：D
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝( )
A．4 B．－4
C. D．－6
解析：∵a＋b＝(－2,1,3＋x)且(a＋b)⊥c，
∴－2－x＋6＋2x＝0，∴x＝－4.
答案：B
3．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|＝( )
A. B.
C. D.
解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，
又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝××＝ ，所以＝－λ.
解得λ2＝，所以|a|＝ ＝.
答案：C
4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则||＝( )
A．2 B.
C. D．2
解析：由题意可得B(2,0,0)，E(0,1,1)，则＝(－2,1,1)，||＝.
答案：C
5．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
解析：因为(ka－b)⊥b，
所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，
解得k＝7.
答案：7
6．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线， 则p＝________，q＝________.
解析：由A，B，C三点共线，则有与共线，即＝λ.
又＝(1，－1,3)，＝(p－1，－2，q＋4)，
所以所以
答案：3 2
7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，问是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立？若存在，求x，y的值．
解：∵＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)．
假设存在x，y∈R满足条件，
由已知得(－1,0,2)＝x(－1,1,0)＋y(0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y,2y)＝(－x，x－y,2y)，
∴?即存在实数x＝1，y＝1使结论成立．
8．如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，||＝2，||＝3，||＝2，E为BC的中点．
(1)求与所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求O1D的长．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)由已知得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，
所以＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
(2)因为⊥，∥，而C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
所以?
所以D，所以O1D＝||＝.
§4 用向量讨论垂直与平行
已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.
问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？
提示：u1∥u2∥n1.
问题2：若l1⊥l2，l1∥π2呢？
提示：u1⊥u2，u1⊥n2.
问题3：若π1∥π2，则n1，n2有什么关系？
提示：n1∥n2.
1．空间中平行、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，则
线线平行
l∥m?a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥π1?a⊥n1?a·n1＝0
面面平行
π1∥π2?n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)
线线垂直
l⊥m?a·b＝0
线面垂直
l⊥π1?a∥n1?a＝kn1(k∈R)
面面垂直
π1⊥π2?n1⊥n2 ?n1·n2＝0
2.三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．
3．面面垂直的判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．
第一课时 空间向量与平行关系
由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系
[例1] (1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；
③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
(2)设n1，n2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据下列条件判断π1，π2的位置关系：
①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－)；
②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)；
③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．
(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断π和l的位置关系：
①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；
③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．
[思路点拨] 本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．
[精解详析] (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b.∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直．
∴l1与l2的位置关系是相交或异面(不垂直)．
(2)①∵n1＝(1，－1,2)，n2＝，
∴n1·n2＝3－2－1＝0.
∴n1⊥n2，∴π1⊥π2.
②∵n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)，
∴n1＝－n2，
∴n1∥n2.∴π1∥π2.
③∵n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)，
∴n1与n2既不共线，也不垂直．
∴平面π1和π2相交(不垂直)．
(3)①∵n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴n·a＝－6＋8－2＝0.
∴n⊥a.
∴直线l和平面π的位置关系是l?π或l∥π.
②∵n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴n＝－a.
∴n∥a.∴l⊥π.
③∵n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，
∴n和a既不共线，也不垂直．
∴l与π斜交．
[一点通]
用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．
1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A．l∥π B．l?π
C．l⊥π D．l?π或l∥π
解析：当a·b＝0时，l?π或l∥π.
答案：D
2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，则能使l∥α的是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，则a⊥n，
∴a·n＝0.
只有D中a·n＝0.
答案：D
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.
证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，则E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)．
∴＝(0,1，－1)，
＝(0,1，－1)．
∴＝.∴∥.
又∵G?EF，∴EF∥GH.
用空间向量证明线面平行问题
[例2] 如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OA＝OP，OP⊥平面ABC.求证：OD∥平面PAB.
[思路点拨] 思路：一证明与平面PAB的法向量垂直．思路二：证明OD与面PAB内某一直线平行．
[精解详析] 法一：因为AB＝BC，O为AC的中点，所以OB⊥AC，OA＝OB＝OC，如图，建立空间直角坐标系，设OA＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a，0,0)，P(0,0，a)，D，
所以＝.
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)．
则
由于＝(a,0，－a)，＝(－a，a,0)，
所以
令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)，所以·n＝－＋＝0，所以⊥n，因为OD不在平面PAB内，所以OD∥平面PAB.
法二：因为O，D分别是AC，PC的中点，
所以＝－＝－＝，所以∥，即OD∥AP，OD?平面PAB，PA?面PAB，所以OD∥平面PAB.
[一点通]
用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．
求证：MN∥平面RSD.
证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
∴＝，＝，＝.
∴∥.
∵M?RS.∴MN∥RS.
又RS?平面RSD，MN?平面RSD，
∴MN∥平面RSD.
法二：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c，
∴＝，∴∥，
又∵R?MN，∴MN∥RS.
又RS?平面RSD，MN?平面RSD，
∴MN∥平面RSD.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·＝0且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.∴MN ∥平面A1BD.
法二：∵＝－C1M―→＝－
＝(－)＝，∴∥.
又DA1?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
用空间向量证明面面平行
[例3] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD.
[思路点拨] 本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[精解详析] 法一：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．
取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，连AG，QK，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)．
∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－1,1,4)，
＝(－1,1,4)．
可见＝，＝，∴MN∥EF，AG∥QK.
又MN?平面EFBD，AG?平面EFBD.
∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.
又MN∩AG＝G，
∴平面AMN∥平面EFBD.
法二：由法一得＝(－2,0,4)，＝(2,2,0)，＝(0,2,4)，＝(2,2,0)．
设平面AMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
即
令x1＝1，则n1＝.
设平面BDEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
即
令x2＝1，则n2＝(1，－1，)．
∴n1＝n2.
∴平面AMN∥平面BDEF.
[一点通]
用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
6.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
求证：平面EGF∥平面ABD.
证明：如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由条件知B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E (0,0,3)，F(0,1,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，G.
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，＝，＝(0,1,1)．
法一：∵·＝0，·＝0＋4－4＝0，
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.
因BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
又·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，
所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.
法二：设平面EGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．
设平面ABD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即令y＝1，则n2＝(0,1，－1)．
所以n1＝n2.所以平面EGF∥平面ABD.
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，
＝(2,0,0)，＝(0,2,1)
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)∵＝(2,0,0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，得
得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
1．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中已知的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
2．用空间向量处理平行问题的常用方法：
(1)线线平行转化为直线的方向向量平行．
(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．
(3)面面平行转化为平面法向量的平行．
1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
解析：∵l1∥l2，设a＝λb，
∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
∴x＝6，y＝.
答案：D
2．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为，则m＝( )
A．－8 B．－5
C．5 D．8
解析：∵l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．
∴2＋＋2＝0，m＝－8.
答案：A
3．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6,6)，则( )
A．π1∥π2 B．π1⊥π2
C．π1，π2相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：∵n1＝－n2，∴n1∥n2，∴π1∥π2.
答案：A
4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
A．－ B．6
C．－6 D.
解析：∵α∥β，
∴α的法向量与β的法向量也互相平行，
∴＝＝，∴λ＝6.
答案：B
5．已知两直线l1与l2的方向向量分别为v1＝(1，－3，－2)，v2＝(－3,9,6)，则l1与l2的位置关系是________．
解析：∵v2＝－3v1，
∴l1∥l2或l1与l2重合．
答案：平行或重合
6．若平面π1的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，则y＋z＝________.
解析：∵π1∥π2，∴n1∥n2.∴＝＝.
∴y＝1，z＝－4.
∴y＋z＝－3.
答案：－3
7.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
证明：直线MN∥平面OCD.
证明：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，
P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.
＝，
＝，
＝.
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
即取z＝，
解得n＝(0,4，)．
∵·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0，∴⊥n.
又MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD.
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，
＝(－1,0,1)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·＝0，n·＝0，得
所以x＝z，y＝z.
取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．而B1F?平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE?·n＝0?(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0?2(t－1)＋1＝0?t＝?F为C1D1的中点．
这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.
第二课时 空间向量与垂直关系
用空间向量证明线线垂直
[例1] 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点，在DD1上存在一点N，使MN⊥DC1，试确定N点位置．
[思路点拨] 本题中DA，DC，DD1两两垂直，故可以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．可设出点N坐标后利用方程·＝0，进行求解．
[精解详析] 建立空间直角坐标系，如图．
则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，∴＝(0,2,3)．
设点N(0,0，h)，
则＝.
∵MN⊥DC1，则·＝·(0,2,3)＝－4＋3h＝0.
∴h＝，则N.
故N点在DD1上且|DN|＝时，有MN⊥DC1.
[一点通]
用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a，b的数量积为零，即a·b＝0.若图形易于建立空间直角坐标系，则可用坐标法进行证明，否则可用基向量分别表示a，b后进行证明．
1．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.
求证：AD⊥BM.
证明：因为平面ADM⊥平面ABCM，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点，∴AD＝DM，取AM的中点O，连接OD，则DO⊥平面ABCM，取AB的中点N，连接ON，则ON⊥AM，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，根据已知条件，得
A，B，M，D，则＝，＝(0，－，0)，所以·＝0，故AD⊥BM.
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，BB1＝，M为CC1中点，求证：AM⊥BA1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(1,0,0)，A(0，，0)，B1(0,0，)，A1(0，，)，C1(1，0，)．
∵M为CC1的中点，
∴M.
∴＝，＝(0，，)．
∴·＝1×0－3＋×＝0.
∴⊥，即AM⊥BA1.
用空间向量证明线面垂直
[例2] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
[思路点拨] 欲证B1O⊥平面PAC，只需证明与平面PAC内的两条相交直线都垂直，与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．
[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0，2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)．
于是＝(1,1,2)，
＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．由于·＝－2＋2＝0，·＝－2＋2＝0.
所以OB1⊥AC，OB1⊥AP.
又AC?面PAC，AP?面PAC，且AC∩AP＝A，
所以OB1⊥平面PAC.
[一点通]
用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理．
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．
求证：EF⊥平面B1AC.
证明：建立如图所示坐标系，令正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1，1,1)，C(0,1,0)，E，F，则＝(0,1,1)，＝(－1,1,0)，
＝.
法一：令平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
得：令y＝1得
n＝(1,1，－1)＝－2＝－2，
∴n∥，
∴EF⊥平面B1AC.
法二：∵＝，＝(0，－1，－1)，＝(－1,0，－1)，
又·＝0，·＝0，
∴EF⊥B1A，EF⊥B1C
又B1C∩B1A＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
4．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，
∴＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，BA1―→＝(－1,2，)．
∵·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，
∴⊥，⊥.
即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.
又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.
用空间向量证明面面垂直
[例3] 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.
[思路点拨] 本题可建立空间坐标系后，证明面BEF内某一直线的方向向量为面ABC的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直．
[精解详析] 建立空间直角坐标系如图，设AB＝a，则BD＝a，于是A(0,0，a)，B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F，
法一：可得＝，＝(0,0，a)，＝，
∴·＝0，·＝0.
即EF⊥AB，EF⊥BC.
又AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC.
又EF?平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF.
法二：∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.
又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∴＝为平面ABC的一个法向量．
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，即(x，y，z)·＝0.
∴x＝y.
由n· 0，即(x，y，z)·＝0，
有ay＋z＝0，∴z＝－y.
取y＝1，得n＝(1,1，－)．
∵n·＝(1,1，－)·＝0，
∴n⊥.∴平面BEF⊥平面ABC.
[一点通]
用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直．
5．已知：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：平面DEA⊥平面A1FD1.
证明：建立空间直角坐标系如图．
令DD1＝2，则有D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2，0,2)，F(0,1,0)，E(2,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面DEA，平面A1FD1的法向量，则n1⊥，n1⊥.
∴∴
令y1＝－1，得n1＝(0，－1,2)．同理可得n2＝(0,2,1)．
∴n1·n2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知n1⊥n2.
∴平面DEA⊥平面A1FD1.
6.如图，ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1.
证明：法一：取AB1的中点M，
则＝＋＋.
又因为＝＋＋，
两式相加，得2＝＋＝＋，
由于2·＝(＋)·＝0，
2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
所以DM⊥AA1，DM⊥AB，
又AA1∩AB＝A，
所以DM⊥平面ABB1A1，而DM?平面AB1D.
所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.
法二：如图建立空间直角坐标系，取AB的中点E，连接CE，由题意知CE⊥平面ABB1A1.
由图知，C(0，a,0)，E，B1(0,0，a)，D，A，
∴＝，＝，
＝.
设平面AB1D的法向量n＝(x，y，z)，
则
即
令y＝1，则n＝(，1,2)．
又·n＝a－a＝0，∴⊥n.
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
垂直问题包括：直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断；直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单．
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．不确定
解析：∵直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，
∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0.
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
答案：B
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面π的法向量为n＝(－3,0，－6)，则( )
A．l∥π B．l⊥π
C．l?π D．l与π斜交
解析：a＝－n，∴a∥n，∴l⊥π.
答案：B
3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD等于( )
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，PA＝a.
则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
∵BF⊥PE，∴·＝0，解得y＝，则F点坐标为，
∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.
答案：B
4．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则向量＝( )
A. B.
C. D.
解析：·＝3＋5－2z＝0，故z＝4，由·＝x－1＋5y＋6＝0，且BP―→·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.＝.
答案：A
5．已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，若c⊥d，则m＝________.
解析：∵c＝a－2b，
∴c＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)，
∵d＝ma－b，
∴d＝m(1,2,3)－(1,0,1)＝(m－1,2m,3m－1)．
又c⊥d，∴c·d＝0，
即(－1,2,1)·(m－1,2m,3m－1)＝0，
即1－m＋4m＋3m－1＝0，∴m＝0.
答案：0
6．在直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，E.
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心．
故点G的坐标为，
且＝，＝.
∴＝2，则PA∥EG.
又EG ?平面EDB且PA?平面EDB.
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，
＝，
故·＝0＋－＝0.
∴PB⊥DE，
又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
∴PB⊥平面EFD.
8.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1,1,0)．
∴＝(0,0，)，＝(1,1,0)，
＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由
得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由
得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
§5 夹角的计算
第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
问题1：直线AC和BD的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？
提示：，[0，π]．
问题2：直线AC与BD的夹角与〈，〉有什么关系？
提示：当0≤〈，〉≤时，它们相等；
当<〈，〉≤π时，直线AC与BD的夹角为π－〈，〉．
问题3：上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈，〉有什么关系？为什么？
提示：α＝π－〈，〉，因为图中两平面夹角(即为直线BD与CA的夹角)为锐角，而〈，〉为钝角，所以α＝π－〈，〉．
问题4：若n1，n2分别为两个平面π1，π2的法向量，则π1与π2的夹角θ与〈n1，n2〉有什么关系？
提示：当0≤〈n1，n2〉≤时，θ＝〈n1，n2〉；
当<〈n1，n2〉≤π时，θ＝π－〈n1，n2〉．
1．两直线的夹角
当两条直线l1与l2共面时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角．
2．异面直线l1与l2的夹角
(1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，则直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角．
(2)计算：设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；
当<〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．
3．平面间的夹角
(1)定义：平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
(2)计算：已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，
当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1和π2的夹角等于〈n1，n2〉；
当<〈n1，n2〉≤π时，平面π1和π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．
1．求空间角时，要注意角的范围．
(1)异面直线夹角范围是；
(2)两平面夹角范围是.
2．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．
求异面直线的夹角
[例1] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．
[思路点拨] 要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．
[精解详析] 以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．
又∵∠PDA＝30°，
∴AP＝AD·tan 30°＝2a·＝a，
AE＝AD·sin 30°＝2a·＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.
∴P，E.
(1)证明：＝，
＝，
∴·＝0＋a2－a2＝0.
∴⊥，∴BE⊥PD.
(2)＝，＝(－a，a,0)．
则cos〈，〉＝＝＝，
即AE与CD的夹角的余弦值为.
[一点通]
1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a，b〉．但两异面直线的夹角范围是，所以当〈a，b〉∈时，两异面直线的夹角应为π－〈a，b〉．
2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解．
1．把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形ABCD的中心，则折起后，∠EOF的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2.
则F，E，
∴＝，＝，
∴cos∠EOF＝cos〈，〉
＝＝－，
∴∠EOF＝120°.
答案：C
2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC的夹角．
解：法一：以A点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设B(1,0,0)，则C(1,1,0)，A1(0,0,1)，
∴＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)，
∴cos〈，〉＝
＝＝－.
∴〈，〉＝120°.故AC与BA1的夹角为60°.
法二∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，·＝0，
∴·＝－a2.
又∵＝||·||·cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴〈，〉＝120°.
故异面直线BA1与AC的夹角为60°.
3.如右图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值．
解：(1)如右图建立空间直角坐标系，
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
在Rt△PAD中，由AD＝2，∠PAD＝60°得PD＝2，
∴P(0,0,2)．
(2)由(1)得＝(2,0，－2)，＝(－2，－3,0)，
∴cos〈，〉＝
＝＝－.
故异面直线PA与BC夹角的余弦值为.
求两平面的夹角
[例2] 如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值．
[思路点拨] 建立空间直角坐标系，利用法向量进行求解．
[精解详析] 如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)，＝(0，－1,1)．
设平面PAB的法向量为
m＝(x，y，z)，
则即
∴
∴
令x＝1，得m＝(1，－，0)，
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则
即
∴
∴
令y′＝1，∴n＝(0,1,1)．
∴cos〈m，n〉＝＝－.
而平面PAB与平面PBC夹角∈
∴平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.
[一点通]
求两平面的夹角有两种方法：
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
4．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA夹角的余弦值．
解：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SAB的一个法向量是＝.设n＝(x，y，z)是面SCD的一个法向量，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0.
又＝，＝，
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0.
∴y＝－x，且z＝x.
∴n＝，
取x＝1，得n＝.
∴cos〈，n〉＝＝＝.
∴平面SCD与平面SBA夹角的余弦值为.
5．(陕西高考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
解： (1)证明：法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝AA1＝，
∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．
由＝，易得B1(－1,1,1)．
∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，＝(－1,0,1)，
∴·＝0，·＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，
又BB1∩BD＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.
又四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.
又OA1是AC的中垂线，
∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA＋A1C2，
∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.
又BB1∥AA1，
∴A1C⊥BB1.又BB1∩BD＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
(2)设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，
∴∴
取n＝(0,1，－1)，
由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，
∴cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
又0≤θ≤，∴θ＝.
用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系：
(1)当cos〈a，b〉<0时，cos θ＝－cos〈a，b〉，
当cos〈a，b〉≥0时，cos θ＝cos〈a，b〉，即cos θ＝|cos〈a，b〉|.
(2)当cos〈n1，n2〉≥0时，cos φ＝cos〈n1，n2〉，
当cos〈n1，n2〉<0时，cos φ＝－cos〈n1，n2〉，即cos φ＝|cos〈a，b〉|.
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则异面直线EF和CD的夹角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则E，F，
＝，＝(0,1,0)．
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝135°，
所以异面直线EF和CD的夹角是45°.
答案：B
2.(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，
C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，
＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
3．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，
C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
答案：D
4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为( )
A．60° B．70°
C．80° D．90°
解析：设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝ .于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是α与β的夹角．
答案：D
5．平面π1的一个法向量n1＝(1,2，－1)，平面π2的一个法向量n2＝(2，－2，－2)，则平面π1与π2夹角的正弦值为________．
解析：n1·n2＝2－4＋2＝0，∴n1⊥n2，∴〈n1，n2〉＝，即α与β垂直，
∴sin〈n1，n2〉＝1.
答案：1
6．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0.
故AB1与BM的夹角为90°.
答案：90°
7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.求平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值．
解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，所以＝.
由AD＝3可知DE＝3，AF＝，
则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．
所以＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则n＝(4,2，)．由题意知AC⊥平面BDE，
所以为平面BDE的法向量，＝(3，－3,0)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
故由题意知平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值为.
8．如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值．
解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1的夹角的大小为θ.
由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值为.
第二课时 直线与平面的夹角
在上节研究的山体滑坡问题中，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC和BD，直线BD与地面ACD的夹角为φ.
问题1：φ与〈，〉有什么关系？
提示：φ＝π－〈，〉．
问题2：φ与〈，n〉有何关系？(n为地面法向量)
提示：φ＝－〈，n〉或φ＝〈，n〉－，即sin φ＝|cos〈，n〉|.
直线与平面的夹角
(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．
(2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为.
(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0.
(4)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l与α的夹角为θ，则，
当〈a，n〉≤时，θ＝－〈a，n〉；
当〈a，n〉>时，θ＝〈a，n〉－.
即sin〈a，n〉＝|cos〈a，n〉|.
(1)直线与平面夹角范围是；
(2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s、平面的法向量n的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos〈s，n〉|.
求直线与平面的夹角
[例1] (新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C的夹角的正弦值．
[思路点拔]
(1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．
[精解详析] (1)如图，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)，
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即
可取n＝(，1，－1)，
故cos?n，?＝＝－.
所以A1C与平面BB1C1C的夹角的正弦值为.
[一点通]
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线l与平面α所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－.
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC81与平面ABCD夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，C1(0,1,1)，C(0，1,0)，
而CC1⊥面ABCD，
∴AC1在底面ABCD的射影为AC.
又＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，
∴AC1与平面ABCD夹角的余弦值
cos θ＝|cos〈，〉|＝.
答案：D
2．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C夹角的正弦值为________．
解析：取B1C1中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝BB1＝2，则A1(－，0,0)，C1(0,1,0)，A(－，0,2)，O(0,0,0)，＝(，0,0)，为面BB1C1C的法向量，＝(，1，－2)，
∴sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.
答案：
3.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN的夹角．
解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，
S.
(1)证明：＝，＝，
因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.
(2) ＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则a·＝0，a·＝0，
即
令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因为|cos〈a，〉|＝＝，
所以SN与平面CMN的夹角为45°.
存在性问题
[例2] 如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1.另一个侧面ABC是等边三角形．点A在底面BCD上的射影为H.
(1)以D点为原点建立空间直角坐标系，并求A，B，C的坐标；
(2)求平面BAC与平面DAC的夹角的余弦值．
(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD的夹角为30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．
[思路点拨] (1)建立坐标系，证明·＝0.
(2)求两平面法向量的夹角．
(3)先假设存在点E满足条件，再建立关于点E的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论．
[精解详析] (1)由题意AB＝AC＝，∴BC＝.
则△BDC为等腰直角三角形．
连接BH，CH，∴DB⊥BH，CH⊥BH.
∴四边形BHCD为正方形，以DC为y轴，DB为x轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(1,1,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)．
(2)设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，
则由n1⊥知：n1·＝－x＋y＝0.
同理，由n1⊥知：n1·＝x＋z＝0.
可取n1＝(1,1，－1)．
同理，可求得平面ACD的一个法向量为n2＝(1,0，－1)．
则cos〈n1，n2〉＝＝＝，
即所求平面BAC与平面DAC的夹角的余弦值为.
(3)假设存在E满足条件，设＝x＝(x,0，x)(0≤x≤1)，则＝＋＝(0,1,0)＋(x,0，x)＝(x,1，x)，平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
∵ED与平面BCD的夹角为30°，
由图可知与n的夹角为60°，
所以cos〈，n〉＝＝＝cos60°＝.
则2x＝，解得x＝，即E，
||＝，||＝1.
故线段AC上存在点E(与C的距离为1)，使ED与平面BCD的夹角为30°.
[一点通]
解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确．若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在．
4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD与平面PAC的夹角为90°？若存在，确定P点位置；若不存在，说明理由．
解：如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，M，
假设存在P(0,0，x)(0≤x≤1)满足条件，
经检验，当x＝0时不满足要求，
当0则＝(1,0，－x)，＝(－1,1,0)，＝(－1，－1，－)．
设平面PAC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则由得
令x1＝1得y1＝1，z1＝，
即n＝(1,1，)．
由题意∥n，
由＝＝－＝－n，
得x＝2.
又0综上所述，棱DD1上不存在点P，使MD与平面PAC的夹角为90°.
5.(北京高考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求平面A1BC1与平面B1BC1的夹角的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)．
所以cos〈 n，m〉＝＝.
所以平面A1BC1与平面B1BC1的夹角的余弦值为.
(3)证明：设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且＝λ.
所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3,4)．
解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，
使得AD⊥A1B.
此时，＝λ＝.
计算直线l与平面α的夹角为θ.
(1)利用法向量计算θ的步骤如下：
(2)利用定义计算θ的步骤如下：
1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为( )
A. B．－
C．± D.
解析：cos〈a，μ〉＝＝＝，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝，cos θ＝.
答案：A
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA1＝3，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA1＝3，∴A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)．
而面BB1D1D的法向量为＝＝(－4,4,0)，∴BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值即为|cos〈，〉|＝
＝＝.
答案：C
3.如图所示，点P是△ABC所在平面外的一点，若PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，则点P在平面α上的投影P′是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：由于PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故点P′是△ABC的外心．
答案：B
4．(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
解析：法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝＝.
法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
答案：A
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．
解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量．
＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.
答案：
6.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为________．
解析：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，
则＝(，－，2)，＝(，1,2)，
设平面B1DC的法向量为
n＝(x，y,1)，由
解得n＝(－，1,1)．
又∵＝，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
答案：
7．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点．
求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值．
解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，
B(，0,0)，C1(0,1，)，
D.
易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝.
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
解得x＝－y，z＝－y.
故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.
8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C夹角的正弦值为，求k的值．
解：(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图．
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，
∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，
∴＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，
则由得
取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．
设AA1与平面AB1C的夹角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，
故所求k的值为1.
§6 距离的计算
点到直线的距离
如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．如图，作AA′⊥l，垂足为A′.
问题1：点A到直线l的距离与线段AA′的长度有何关系？
提示：相等．
问题2：若s0为s的单位向量，你能得出在s上的投影长吗？
提示：向量在s上的投影长为|||cos〈，s〉|＝||·＝＝|·|＝|·s0|.
问题3：设点A到直线l的距离为d，你能根据问题2的答案写出d的表达式吗？
提示：d＝|AA′|＝ .
点到直线的距离
设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量在s上的投影的大小为|·s0|，则点A到直线l的距离d＝ .
点到平面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′.
问题1：点A到平面π的距离d与线段AA′的长度有何关系？
提示：相等．
问题2：n0是n的单位向量，则向量在向量n上的投影大小是什么？与|AA′|相等吗？
提示：|·n0|，相等．
点到平面的距离
设n为过点P的平面的一个法向量，A是该平面外一定点，向量在n上的投影的大小为|·n0|，则点A到该平面的距离d＝|·n0|.
1．用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况灵活选择，原则是便于计算，s0是s的单位向量， s0＝.
2．用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和平面的斜线段的方向向量．
点到直线的距离
[例1] 如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点B到直线A′C的距离．
[思路点拨] 用点到直线的距离公式计算点B到直线A′C的距离 D.
[精解详析] 因为AB＝2，BC＝3，AA′＝4，
所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．
＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)．
＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．
所以在上的投影：
·＝(0，－3,0)·
＝(0，－3,0)·
＝0×＋(－3)×＋0×＝；
所以点B到直线A′C的距离为
d＝
＝ ＝.
[一点通]
1．用向量法求直线外一点A到直线l的距离的步骤
(1)确定直线l的方向向量s及s0；
(2)在l上找一点P，计算的长度；
(3)计算·s0的值；
(4)由公式d＝ 求解．
2．用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A1点作l的垂线，难在垂足的位置的确定)．
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在的直线间的距离为( )
A.a B．a
C.a D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．
∴＝(0，a，－a)，＝(－a,0，a)．
∴||＝a，||＝a.
∴点A1到BC1的距离d
＝
＝ ＝a.
答案：A
2．正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．
解：以D点为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．
设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1，0,2)，则＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)，||＝
＝，
·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
在上的投影长＝＝.
∴点A到EF的距离＝ ＝ ＝.
求点到平面的距离
[例2] 如图，已知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求A到平面SND的距离．
[思路点拨] 建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离．
[精解详析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4,0)，
∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴∴
∴n＝(2,1,1)．∵＝(0,0,2)．
∴A到平面SND的距离为＝＝.
[一点通]
用向量法求平面π外一点A到平面的距离的步骤：
(1)计算平面π的法向量n及n0；
(2)在平面π上找一点P，计算；
(3)由公式计算d＝|·n0|.
利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．
3．已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD＝AD＝1，则C到平面PAB的距离d＝( )
A．1 B.
C. D.
解析：以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
∴＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，＝(－1,1,0)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
∴即
令x＝1，则z＝1，∴n＝(1,0,1)．
∴d＝＝＝.
答案：C
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________．.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，
A1(0,0,1)，∴＝(，1，－1)，＝(0,2，－1)．
设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
则即令y＝3，则
n＝(，3,6)，n0＝.
又＝(0,0,1)，∴d＝|·n0|＝.
答案：
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解：建立空间直角坐标系如图，
则A(2,0,0)，E(0,2,1)，
F(1,0,2)，G(2,1,0)，
∴＝(0,1,0)，
＝(－2,1,1)，
＝(－1，－1,2)．
设n＝(x，y，z)是平面GEF的法向量，
点A到平面EFG的距离为d，
则
∴∴
令z＝1，
则n＝(1,1,1)，
∴d＝＝＝.
即点A到平面EFG的距离为.
1．空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．
2．空间一点A到直线l的距离的算法：
3．空间一点A到平面π的距离的算法：
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，则P(1,3，－2)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
解析：＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为＝＝.
答案：C
2．正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为( )
A.a B.a
C.a D.a
解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)．
∵点M在上且＝.
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.于是M.
∴||
＝
＝a.
答案：A
3.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为( )
A．6 B.
C. D.
解析：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1,1,4)．＝(0,2,0)，＝(1,1,2)，
∴·n＝0，且·n＝0.
∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．
∵＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.
答案：C
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：如图，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．
∴＝(2,2,0)，
＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，
则n⊥，n⊥，∴即
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
答案：C
5．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，
则有，解得n＝，
则d＝||＝＝.
答案：
6．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N.
∵E，F，M，N分别是棱的中点，
∴MN∥EF，A1E∥B1N.
∴平面A1EF∥平面B1NMD1.
∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．
设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，且n·＝0.
即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，且(x，y，z)·＝0.
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，
令x＝2，则y＝－2，z＝1.
∴n＝(2，－2,1)，n0＝.
∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|·n0|
＝＝.
答案：
7.如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别是AB和BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．
解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(0,0,1)，E，F，
∴＝，＝.
设n＝(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，则由得
令x＝1，则y＝1，z＝，
∴n＝.又∵＝(－1,0,1)，
∴d＝＝＝.
8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．
设n为平面AEC1F的法向量，
显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x，y,1)．
由得
即
∴n＝.
又＝(0,0,3)．
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
[对应学生用书P42]
一、空间向量的概念与运算
1．空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似，对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．
2．空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，其中加、减、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；数量积运算结果为实数，运用数量积可解决长度、夹角与距离等问题．
二、向量的坐标表示与运算和空间向量基本定理
1．选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，是空间向量基本定理的具体体现．
2．空间向量的坐标表示与运算是解决立体几何中的夹角、长度、距离等问题的关键，要熟记公式．
三、空间向量与平行和垂直
利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法为：
1．线线平行：
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
2．线线垂直：
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，利用a⊥b?a·b＝0.
3．线面平行：
用向量证明线面平行的方法主要有：
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(需说明直线不在平面内)；
(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量(需说明直线不在平面内)；
(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来(需说明直线不在平面内)．
4．线面垂直：
用向量证明线面垂直的方法主要有：
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．
5．面面平行：
(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
(2)证明一个平面内的两个不共线向量与另一平面平行．
6．面面垂直：
(1)证明两个平面的法向量互相垂直；
(2)证明一个平面内某直线的方向向量是另一平面的法向量．
四、空间向量与空间角
1．求两异面直线的夹角可利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线夹角θ的范围是，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．
故实质上应有cos θ＝|cos〈a，b〉|.
2．求线面角：
求直线与平面的夹角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的投影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面的夹角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面的夹角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.
3．求两平面间的夹角：
利用空间直角坐标系求得两个平面的法向量n1，n2，代入cos〈n1，n2〉＝
当cos〈n1，n2〉>0时，两平面的夹角为〈n1，n2〉，
当cos〈n1，n2〉<0时，两平面的夹角为π－〈n1，n2〉．
五、空间距离的计算
主要掌握点到直线的距离与点到平面的距离，利用直线的方向向量与平面的法向量求解．
1．若直线l的方向向量为s，s0＝，点P是直线l上的点，点A是直线外任一点，则点A到直线l的距离d＝ .
2．若n0为平面α的单位法向量，点P是平面α内一点，点A是平面α外一点，则点A到该平面的距离d＝|·n0|.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，若a∥b，则xz＝( )
A．－4 B．9
C．－9 D.
解析：∵a∥b，∴＝＝.
∴x＝6，z＝.∴xz＝9.
答案：B
2.如图所示，已知四面体ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则(＋＋)＝( )
A． B．
C． D．
解析：∵(＋＋)＝(＋)＝，
又∵＝，∴(＋＋)＝.
答案：C
3．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：∵·＝·＝·，
∴·(－)＝0，
即·＝0，
∴⊥.
同理·(－)＝0，
∴·＝0，∴⊥，
∴P是△ABC的垂心．
答案：D
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．则n·＝0，即(x，y，z)·(－1,1,0)＝0，
∴－x＋y＝0.
n·＝0，即(x，y，z)·(0，－1,1)＝0，
∴－y＋z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，与n平行的单位向量为或.
答案：D
5．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：设n＝(x，y,1)是平面ABC的一个法向量．
∵＝(－5，－1,1)，＝(－4，－2，－1)，
∴∴
∴n＝.
又＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.
答案：A
6．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，)，E，＝，＝(－1，－1，－)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴AE、SD夹角的余弦值为.
答案：C
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH的夹角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则E，F，G，H，
∴＝，＝，
cos〈·〉＝＝－.
∴EF与GH的夹角为60°.
答案：B
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则C1(1，1,1)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)．
∵＝(1,1,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴即为平面A1BD的法向量．
设BC1与面A1BD夹角为θ，又＝(0,1,1)，
则sin θ＝＝＝，
∴cos θ＝.
答案：C
9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A.a B.a
C.a D.a
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)．
∴＝(a，a,0)，＝，
＝.
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝2，得x＝－1，y＝1.
∴n＝(－1,1,2)，∴n0＝.
∴A1到平面BDM的距离为
d＝|·n0|＝＝a.
答案：A
10．三棱锥O－ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A. B.
C. D.
解析：∵＝＝(＋)
＝＋×
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
∴x＝，y＝，z＝.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若＝＋x＋y，则x－y＝________.
解析：如图，
∵＝＋，＝(＋)＝(＋)，
∴＝＋＋，
又＝＋x＋y，
∴x＝，y＝，即x－y＝－＝0.
答案：0
12．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为________．
解析：∵a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，
∴－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.
答案：5
13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为1，
∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,1)，
D1(0,0,1)，E.
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)．
∴n·＝0，且n·＝0，即(x，y，z)·(0,1,0)＝0，且(x，y，z)·(－1,0,1)＝0.
∴y＝0，且－x＋z＝0，令x＝1，则z＝1，
∴n＝(1,0,1)．
∴n0＝，又＝，
∴点E到平面ABC1D1的距离为|·n0|
＝＝.
答案：
14. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，C1(0,2,1)，A1(2,0,1)，
∴＝(－2,2,1)，＝(0,0,1)．
由长方体的性质知平面A1B1C1D1的法向量为＝(0，0,1)．
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,2)．求：
(1)a·b；
(2)a与b夹角的余弦值；
(3)确定λ，μ的值使得λa＋μb与z轴垂直，且(λa＋μb)·(a＋b)＝77.
解：(1)a·b＝(3,5，－4)·(2,1,2)＝3×2＋5×1＋(－4)×2＝3.
(2)∵|a|＝＝5，
|b|＝＝3.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(3)取z轴上的单位向量n＝(0,0,1)，a＋b＝(5,6，－2)．
依题意，得
即
化简整理，得解得
16．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：∵·＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB.又∵·＝－4＋4＋0＝0，
∴AP⊥AD.∵AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线，
∴AP⊥底面ABCD.
(2)设与的夹角为θ，
则cos θ＝
＝＝.
V＝||·||·sin θ·||
＝× ×＝16.
17．(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求A1到平面BCN的距离；
(2)求证：A1B⊥C1M.
解：如图，建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
设平面BCN的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(1，－1，1)，＝(0,1,0)，得取x＝1，得n＝(1,0，－1)．n0＝，则A1到平面BCN的距离为d＝|·n0|＝|－|＝.
(2)证明：依题意得C1(0,0,2)，M，
＝(－1,1，－2)，＝.
∵·＝－＋＋0＝0，
∴⊥.∴A1B⊥C1M.
18．(本小题满分14分)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′-BCDE，其中A′O＝.
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求平面A′CD与平面BCD的夹角的余弦值．
解：(1)证明：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC中，因为BC＝6，O为BC的中点，所以AC＝AB＝3，OC＝OB＝3.
如图，连接OD，在△OCD中，由余弦定理可得
OD＝ ＝.
在折叠后的图形中，因为A′D＝2，
所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥O D.
同理可证A′O⊥OE.又OD∩OE＝O，
所以A′O⊥平面BCDE.
(2)以点O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
则A′(0,0，)，C(0，－3,0)，D(1，－2,0)，所以＝(0,0，)，＝(0,3，)，＝(－1,2，)．设n＝(x，y，z)为平面A′CD的一个法向量，
则
令z＝，得n＝(1，－1，)，|n|＝＝.
由(1)知，＝(0,0，)为平面CDB的一个法向量，
又||＝，·n＝0×1＋0×(－1)＋×＝3，
所以cos 〈n，〉＝＝＝，
即平面A′CD与平面BCD的夹角的余弦值为.
