2.2.1 平行四边形的性质同步练习

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2.2.1 平行四边形的性质同步练习
　 班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1．两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形,平行四边形ABCD记作 ABCD．
2．平行四边形的对边相等,对角相等．
3．夹在平行线间的平行线段相等．
4．平行四边形的对角线互相平分．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2．在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD长的取值范围是（ ）
A. AD＞1 B. AD＜9 C. 1＜AD＜9 D. AD＞10
3．如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A. 8.3 B. 9.6 C. 12.6 D. 13.6
4．□ABCD的周长为36 cm，AB= EMBED Equation.DSMT4 BC，则较长边的长为（ ）
A. 15 cm B. 7.5 cm C. 21 cm D. 10.5 cm
5．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为4，□ABCD的周长为28，则BC的长度为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
6．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对边相等
7．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=54°，则∠BCE的度数为（　　）

A. 54° B. 36° C. 46° D. 126°
8．如图，在 ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交AD于点E．连接CE，则△CDE的周长为（ ）
A. 3 B. 5 C. 8 D. 11
9．如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是(　　) ①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．
A. ①和④ B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
10．如图所示,在 ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边△ABE,△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CG,CF,则下列结论不一定正确的是( 　)
A. △CDF≌△EBC B. ∠CDF=∠EAF C. CG⊥AE D. △ECF是等边三角形
二、填空题
11．和直线l距离为8 cm的直线有______条.
12．如图，平行四边形ABCD中，AC=4cm，BC=5cm，CD=3cm，则 ABCD的面积__．
13．如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_____，△AOD≌△_____．
14．在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.
15．如图所示，在 ABCD中，E为AD中点，CE交BA的延长线于F，若BC=2AB，∠FBC=70°，则∠EBC的度数为__度．
16．如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_______．
三、解答题
17．如图所示，已知□ABCD，对角线AC、BD相交于点O，EF是过点O的任一直线，交AD于点E，交BC于F，试说明OE与OF之间的关系，并说明理由．
18．如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
19．19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF .
20．已知 ABCD的周长为36cm，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F.若AE＝2cm，AF＝4cm.求 ABCD的各边长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
求证：BE=DG
22．已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交线段AE于F.
（1）如图1，若AE=AD，ADC=60, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;
（2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；
23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF平分∠ABE，EF=2，BF=4，求平行四边形ABCD的面积．
参考答案
1．B
【解析】解：如图， ABCD中，AC，DB分别分得△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，
又对角线互相平分得到△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，所以有4对．
故选B．
2．C
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分得：两条对角线的一半分别是5，4．再根据三角形的三边关系，得：1＜AD＜9．故选C．
3．B
【解析】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF=OE=1.3．∵ ABCD的周长=（4+3）×2=14
∴四边形BCEF的周长=× ABCD的周长+2.6=9.6．故选B．
4．D
【解析】解：∵ ABCD的周长=2（AB+BC）=36，∴AB+BC=18．∵AB=BC，∴BC=10.5．
故选D．
5．D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC．
∵△BOC与△AOB的周长之差为4，∴BC-AB=4．
∵平行四边形ABCD的周长为28，∴BC+AB=14，∴AB=5，BC=9．故选D．
6．C
【解析】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，∴平行四边形不一定具有的性质是C选项．故选C．
7．B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠EAD=54°，
∴∠B=∠EAD=54°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE=90°-54°=36°．
故选B.
8．C
【解析】根据平行四边形的性质，
∴AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴△CDE的周长为：CD+AD=5+3=8，
故选C.
9．D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，故①成立；
AD∥BC，故③成立；
利用排除法可得②与④不一定成立，
∵当四边形是菱形时，②和④成立。
故选D.
10．C
【解析】A.在平行四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BC，
∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，
∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
在△CDF和△EBC中，
DF=BC,
∠CDF=∠EBC,
CD=EB,
∴△CDF≌△EBC（SAS），
故A正确；
B.在平行四边形ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，
故B正确；
C. .当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABG=30°，
∴∠ABC=180°-30°=150°，
∵∠ABC=150°无法求出，
故C错误；
D. 同理可证△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EC=CF=EF，
∴△ECF是等边三角形，
故D正确；
故选C.
点睛：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
11．2
【解析】解：在同一平面上，和直线l距离为8cm的直线在直线L的两侧各有一条．故答案为：2．
点睛：本题考查了平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键．
12．12cm2
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3cm，
∵AC=4cm，BC=5cm，
∴AC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=×3×4=6cm2，
∴则ABCD的面积=2×6=12cm2.
13．△COD，△COB
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．故答案为：△COD，△COB．
14． 45° 135°
【解析】解：∵已知平行四边形ABCD，∴∠A=∠C，∠B+∠C=180°．
又∵∠A+∠C=270°，∴2∠C=270°，∠C=135°，∴∠B=180°-∠C=180°-135°=45°．
故答案为：∠C=135°，∠B=45°．
15．35
【解析】∵ABCD，
∴AB=CD，DC∥AB，
∴∠ECD=∠EFA,
∵DE=AE，∠DEC=∠AEF,
∴△DEC≌△AEF,
∴DC=AF,
∴AB=AF.
∵BC=2AB，AB=AF,
∴BC=BF,
∴△FBC为等腰三角形,
再由△DEC≌△AEF，得EC=EF,
∴∠EBC=∠EBF=∠CBF=×70°=35°.
16．24
【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝ (∠DAB＋∠CBA)＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5，
同理：PC＝CB＝5，
即AB＝DC＝DP＋PC＝10，
在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，
∴BP＝＝6，
,∴△APB的周长＝6＋8＋10＝24；
故答案为：24．
点睛：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
17．OE与OF相等.
【解析】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可．
试题解析：解：结论：OE=OF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．
在△AOE和△COF中， ∵∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，AO＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．
点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
18．见解析
【解析】试题分析：首先连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N，根据三角形面积关系，只要证明△EIN面积等于△GIF面积，即可解决问题．
试题解析：解：连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N．连接GN，GN就是所取直的小路．
证明：设GN交FE于点I．
∵EG∥FN，∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）．
把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．
点睛：此题考查的是等积变换，能根据题意作出辅助线，构造出面积相等的三角形是解答此题的关键．
19．证明见解析.
【解析】试题分析：根据已知条件易证∠ADE=∠CBF，AD=CB，由AAS证△ADE≌△CBF即可．
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中， EMBED Equation.DSMT4 ，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
20．AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm.
【解析】【试题分析】根据 ABCD的周长为36cm，得BC＋CD＝18；根据等面积法，得S ABCD＝BC·AE＝CD·AF，解得：BC＝2CD，两式联立方程组，，解得，根据平行四边形的对边相等，得AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm.
【试题解析】
∵ ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，又∵ ABCD的周长为36cm.即AB＋BC＋CD＋AD＝36，即BC＋CD＝18，又∵S ABCD＝BC·AE＝CD·AF，∴2BC＝4CD，即BC＝2CD，解方程组，得，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm.
21．见解答过程．
【解析】试题分析：根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG.
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE=DG；
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的性质与平移的基本性质（①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等）．
22．（1）CD=AF+BE.（2）（1）中的结论仍然成立.证明见解析.
【解析】试题分析：(1)、利用截长补短法可以得出线段之间的关系；(2)、延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，根据平行四边形的性质得出△ABE和△DAG全等，从而得出DG=AB，根据角度之间的关系得出DG=GF，即CD=GF=AF+AG=AF+BE得出答案．
试题解析：(1)、CD=AF+BE．
(2)、解：（1）中的结论仍然成立．
证明：延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，
∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵ AE⊥BC于点E， ∴ ∠AEB=∠AEC=90， ∴∠AEB=∠DAG=90， ∴ ∠DAG=90，
∵ AE=AD， ∴ △ABE≌△DAG， ∴∠1=∠2， DG=AB， ∴∠GFD=90-∠3，
∵ DF平分∠ADC， ∴∠3=∠4，
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180-∠FAD-∠3=90-∠3， ∴∠GDF=∠GFD，∴ DG=GF.
∴ CD=GF=AF+AG= AF + BE， 即 CD = AF +BE．
23．（1）证明见解析（2）8
【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；
（2）由（1）知△ABE是等腰三角形，得出BF⊥AE，AF=2EF=4，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AE BF，即可得出结果．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）∵AB=BE，BF平分∠ABE，，
∴AF=2EF=4，BF⊥AE.
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
∠D=∠ECF ,
∠DAF=∠E,
AF=EF，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF=×4×4=8．
点睛：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质解决问题的关键．
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