2.1 椭圆
第1课时 椭圆及其标准方程
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P32～P36的内容，回答下列问题．
(1)阅读教材P32“探究”的内容，思考下列问题：
①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？
提示：椭圆．
②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？
提示：是．其距离之和始终等于线段的长度．
(2)观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？
提示：．
(3)观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？
提示：．
2．归纳总结，核心必记
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
[问题思考]
(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段
F1F2;_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)如图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？
提示：a＝|PF2|，b＝|OP|，c＝|OF2|．
(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？
提示：a，b的值及焦点的位置．
[课前反思]
(1)椭圆的定义是： ；
(2)椭圆的标准方程是： ；
特点： ；
(3)在椭圆的标准方程中，a，b，c之间的关系是：
．
?讲一讲
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．
[尝试解答] ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a
?练一练
1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．
所以甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，当2a>|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．
2．已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
解析：选D 因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.
?讲一讲
2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程；
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．
[尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知
2a＝ ＋
＝2，
∴a＝.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意得解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴则
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴则
与a>b矛盾，故舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴
∴
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．
?练一练
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝＋＝10，2c＝6，
所以a＝5，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝26，2c＝10，
所以a＝13，c＝5.
所以b2＝a2－c2＝144.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
?讲一讲
3．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
[尝试解答] 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P 的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
(1)定义法：
用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(2)相关点法：
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
?练一练
4．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
解：由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.
∴|CM|＋|MA|＝4.又|AC|＝2，
∴M点的轨迹为椭圆．
由椭圆的定义知，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求轨迹方程为＋＝1.
?讲一讲
4．如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|，再代入三角形的面积公式求解．
[尝试解答] 由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|， ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|. ②
②代入①解得|PF1|＝.
∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝.
即△PF1F2的面积是.
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
?练一练
5．将本讲中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，求△PF1F2的面积．
解：由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°.
∴4＝16－3|PF1||PF2|.
∴|PF1||PF2|＝4.
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin 60°
＝×4×＝.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题．
2．对椭圆定义的理解易忽视“2a>2c”这一条件，是本节课的易错点．
平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)椭圆标准方程的求法，见讲2.
(2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3.
(3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.
课时达标训练（六）
[即时达标对点练]
题组1 椭圆的标准方程
1．已知方程 ＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(4，10) B．(7，10)
C．(4，7) D．(4，＋∞)
解析：选B 由题意知解得72．已知椭圆 ＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，
∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
解析：∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
题组2 与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是( )
A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1. ①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.
6．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，c＝4.但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题
7．椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3，
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．
解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4，0)和C(4，0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
答案：
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求点P坐标．
解：(1)由题意知，2c＝4，c＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±.
代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2，
∴点P坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
[能力提升综合练]
1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析：选D ∵a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于( )
A. B.
C. D．4
解析：选A 如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或 ＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或 ＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
4．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为( )
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：选B ∵，∴PF1⊥PF2.
∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c＝＝2.
∵b＝2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．
5．F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是________．
解析：∵|OF2|＝c，∴由已知得＝，
∴c2＝4，c＝2.
设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，
∴|x0|＝1，|y0|＝，代入椭圆方程得＋＝1.
∵a2＝b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，
即b4＝12，∴b2＝2.
答案：2
6．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．
解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.
又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
即F1(－5，0)，F2(5，0)．
则2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①
在△F1PF2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，
得即(－－x，－y)·(－x，－y)<0.
又y2＝1－，
所以x2<2，解得－所以点P横坐标的范围是.
第2课时 椭圆的简单几何性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P37～P40“探究”的内容，回答下列问题．
观察教材P38－图2.1－7，思考以下问题：
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)中x，y的取值范围各是什么？
提示：－a≤x≤a，－b≤y≤b．
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么？
提示：对称轴为x轴和y轴，对称中心为坐标原点(0，0)．
(3)椭圆＋＝1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么？
提示：与x轴的交点坐标为(±a，0)，与y轴的交点坐标为(0，±b)．
(4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？
提示：长轴为A1A2，短轴为B1B2.
(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？
提示：离心率e＝；0(6)如果保持椭圆的长半轴长a不变，改变椭圆的短半轴长b的值，你发现b的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？
提示：b越大，椭圆越圆；b越小，椭圆越扁．
(7)根据离心率的定义及椭圆中a，b，c的关系可知，
e＝＝＝＝，所以e越接近于1，则c越接近于a，从而b＝就越小；e越接近于0，则c越接近于0，从而b越接近于a.那么e的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？
提示：e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
2．归纳总结，核心必记
椭圆的简单几何性质
焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
续表
焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率
e＝(0[问题思考]
(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
(2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？
提示：点(a，0)，(－a，0)与焦点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为a＋c和a－c．
(3)如何用a，b表示离心率？
提示：由e＝得e2＝＝，
∴e＝ .
∴e＝ .
[课前反思]
(1)椭圆的几何性质： ；
(2)椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度的关系是：
．
?讲一讲
1．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[尝试解答] 将椭圆方程变形为＋＝1，
∴a＝3，b＝2.∴c＝＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6，2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离心率e＝＝.
解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
?练一练
1．求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)，
可转化为＋＝1.
∵m2<4m2，
∴>，
∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝.
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，.
离心率e＝＝＝.
?讲一讲
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；
(2)离心率e＝，焦距为12.
[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．
(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．
?练一练
2．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，3)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设标准方程为＋＝1(b>0)，
∵椭圆过点A(2，3)，∴＋＝1，b2＝10.
∴方程为＋＝1.
若椭圆的焦点在y轴上．
设椭圆方程为＋＝1(b>0)，
∵椭圆过点A(2，3)，∴＋＝1，b2＝.
∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由已知∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
?讲一讲
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.
[尝试解答] 由A(－a，0)，B(0，b)，
得直线AB的斜率为kAB＝，
故AB所在的直线方程为y－b＝x，即bx－ay＋ab＝0.
又F1(－c，0)，由点到直线的距离公式可得
d＝＝，
∴·(a－c)＝.
又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，
即8－14＋5＝0.∴8e2－14e＋5＝0.
解得e＝或e＝(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e＝.
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
?练一练
3．如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．
解：由已知可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则由题意可知P.
∵△PF1O∽△BOA，
∴＝.
∴＝，即b＝c，
∴a2＝2c2，
∴e＝＝.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率．
2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1.
(2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.
(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.
课时达标训练（七）
[即时达标对点练]
题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8
C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10，2b＝6，＝0.8.
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )
A．(±13，0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：选D 由题意知，其焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝.
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
题组2 由椭圆的几何性质求标准方程
4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 因为2a＝18，2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
5．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5 C．7 D．8
解析：选D 由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是66．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.则椭圆G的方程为_______________________．
解析：依题意可设椭圆G的方程为＋＝1，a>b>0，
半焦距为c，
∵椭圆G的离心为率为，
∴＝?c＝a.
∵椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，
∴2a＝12?a＝6.
∴c＝3，b＝＝3，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
题组3 椭圆的离心率
7．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 化为标准方程为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴e＝＝.
8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意，得或
当a－c＝9时，由b2＝9得a2－c2＝9＝(a－c)(a＋c)，
a＋c＝1，则a＝5，c＝－4(不合题意)．
当a＋c＝9时，解得故e＝.
9．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
解：如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥AF1.
又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c，
根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，
∴＝－1.
∴椭圆的离心率e为－1.
[能力提升综合练]
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( )
A. B. C．2 D．4
解析：选A 由题意可得2＝2×2，解得m＝.
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.B. C. D.
解析：选B 记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心率e＝＝＝＝.
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：选D
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________．
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
因此可设待求椭圆为＋＝1.
又b＝2，故m＝20，得＋＝1.
答案：＋＝1
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5，4)，∴＋＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
因为，所以MF1⊥MF2，
所以点M的轨迹是以O为圆心，c为半径的圆．
因为点M总在椭圆内部，所以c所以c2所以2c2答案：
7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点，求椭圆的标准方程．
解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
将点M，N代入上式，得
解得
此时椭圆的标准方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
将点M，N代入上式得
解得
因为a>b>0，所以舍去，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
8．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m>0，易知m>，∴a2＝m，b2＝.
∴c＝＝ .
由e＝，得 ＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)
[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？
名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r?相切；d>r?相离；d(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．
[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．
[思考3] 已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
?讲一讲
1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．
[尝试解答] 将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
当Δ＝0时，得m＝±，直线与椭圆相切；
当Δ>0时，得－当Δ<0时，得m<－或m>，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆的位置关系的方法
?练一练
1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 ＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
解：由消去y，整理得
(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
所以Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)，
因为直线与椭圆总有公共点，
所以Δ≥0对任意k∈R都成立，
因为m>0，
所以5k2≥1－m恒成立，
所以1－m≤0，
即m≥1.
又因为椭圆的焦点在x轴上，
所以0综上，1≤m<5，
即m的取值范围是[1，5)．
[思考1] 若直线l与圆C相交于点A，B，如何求弦长|AB|?
名师指津：(1)利用r2＝d2＋求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公式|AB|＝|x1－x2|求解．
[思考2] 若直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如何求|AB|的值？
名师指津：|AB|＝|x1－x2|．
?讲一讲
2．已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
[尝试解答] (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
由可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4，2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
(1)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝·
＝·，
或|AB|＝
＝·
＝·.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．
(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
?练一练
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 联立方程组
消去y得3x2＋4x－2＝0.
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝.
∴所求中点的坐标为.
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
解：∵e＝，∴b2＝a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为＋＝1.
?讲一讲
3．已知椭圆＋＝1的离心率e＝.
(1)若＝3，求椭圆方程；
(2)直线l过点C(－1，0)交椭圆于A、B两点，且满足：，试求△OAB面积的最大值．
[尝试解答] (1)由题意知解得a＝，c＝.
所以a2＝3，b2＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由e＝＝，及a2＝b2＋c2，得a2＝3b2，可设椭圆的方程为＋＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2),
由题意知直线l的斜率存在，则设l的方程为y＝k(x＋1)，
由
得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0，
且Δ＝12(3b2－1)k2＋12b2，
因为直线l交椭圆于A、B两点，且，
所以点C在椭圆内部，所以a>1，
所以3b2>1，所以Δ>0.所以x1＋x2＝.
因为，所以(x1＋1，y1)＝3(－1－x2，－y2)，
所以x1＝－4－3x2，
所以x2＋1＝－，所以|x1－x2|＝.
又O到直线l的距离为d＝，
所以S△ABO＝|AB|d＝|x1－x2|·d
＝＝≤，
所以当且仅当3|k|＝，即k＝±时，
S△ABO取得最大值.
解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
?练一练
4．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4距l最近，d＝＝，
切点为P.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是直线与椭圆位置关系的判断、直线与圆的相交弦问题，难点是与椭圆有关的最值问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直线与椭圆位置关系的判定方法，见讲1.
(2)弦长问题及中点弦问题的求解方法，见讲2.
(3)与椭圆有关的最值问题，见讲3.
课时达标训练（八）
[即时达标对点练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
解析：选A 因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1相交．
2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16 m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，
∴m>1且m≠3.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝.
答案：
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
题组3 与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
答案：
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6.
答案：6
8．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，
(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
(1)∵P(0，1)，
即b＝2，且B(3，1)．
∵B在椭圆上，
∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
＋＝1，解得a2＝.
∵a2>b2>0，
∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1＝>0，
∴所求t的取值范围是.
[能力提升综合练]
1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：选B 因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，即m2＋n2<4，
所以n2<4－m2，
则＋<＋＝1－m2<1.
所以点(m，n)在椭圆＋＝1内部，
故过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2] B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2 ] D．[4－，4＋]
解析：选A 方程可化为＋＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝2，b＝，所以
－≤m≤，
故4－2≤2m＋4≤2＋4.
3．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
4．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
答案：－1
5．已知椭圆G：＋y2＝1，过点(0，2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)O为坐标原点，求△OAB的面积．
解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)设l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
由l与圆x2＋y2＝1相切得＝1，
解得k＝±.
将y＝±x＋2代入x2＋4y2－4＝0，
得13x2±16x＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝2＝2
＝2＝.
又O到AB的距离d＝1.
∴S△OAB＝×|AB|×1＝.
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．
解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)．
由题设＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，
由
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即－2所以xP＝＝－，从而yP＝xP＋m＝，
所以kAP＝＝，
又|AM|＝|AN|，
所以AP⊥MN，
所以＝－1，解得m＝2，
所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.
第1课时 椭圆及其标准方程
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P32～P36的内容，回答下列问题．
(1)阅读教材P32“探究”的内容，思考下列问题：
①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？
提示：椭圆．
②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？
提示：是．其距离之和始终等于线段的长度．
(2)观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？
提示：．
(3)观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？
提示：．
2．归纳总结，核心必记
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
[问题思考]
(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段
F1F2;_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)如图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？
提示：a＝|PF2|，b＝|OP|，c＝|OF2|．
(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？
提示：a，b的值及焦点的位置．
[课前反思]
(1)椭圆的定义是： ；
(2)椭圆的标准方程是： ；
特点： ；
(3)在椭圆的标准方程中，a，b，c之间的关系是：
．
?讲一讲
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．
[尝试解答] ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a?练一练
1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若点P的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．
所以甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，当2a>|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．
2．已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
解析：选D 因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.
?讲一讲
2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程；
(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．
[尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知
2a＝ ＋
＝2，
∴a＝.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意得解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴则
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，
∴则
与a>b矛盾，故舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，
∴
∴
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．
?练一练
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝＋＝10，2c＝6，
所以a＝5，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝26，2c＝10，
所以a＝13，c＝5.
所以b2＝a2－c2＝144.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
?讲一讲
3．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
[尝试解答] 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P 的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
(1)定义法：
用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(2)相关点法：
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
?练一练
4．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
解：由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|.
∴|CM|＋|MA|＝4.又|AC|＝2，
∴M点的轨迹为椭圆．
由椭圆的定义知，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求轨迹方程为＋＝1.
?讲一讲
4．如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|，再代入三角形的面积公式求解．
[尝试解答] 由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|， ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|. ②
②代入①解得|PF1|＝.
∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝.
即△PF1F2的面积是.
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
?练一练
5．将本讲中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，求△PF1F2的面积．
解：由已知a＝2，b＝，
得c＝＝＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 60°.
∴4＝16－3|PF1||PF2|.
∴|PF1||PF2|＝4.
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin 60°
＝×4×＝.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题．
2．对椭圆定义的理解易忽视“2a>2c”这一条件，是本节课的易错点．
平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)椭圆标准方程的求法，见讲2.
(2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3.
(3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.
课时达标训练（六）
[即时达标对点练]
题组1 椭圆的标准方程
1．已知方程 ＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(4，10) B．(7，10)
C．(4，7) D．(4，＋∞)
解析：选B 由题意知解得72．已知椭圆 ＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，
∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
解析：∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
题组2 与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是( )
A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1. ①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.
6．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，c＝4.但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题
7．椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3，
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．
解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4，0)和C(4，0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
答案：
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求点P坐标．
解：(1)由题意知，2c＝4，c＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±.
代入椭圆方程＋＝1，得x0＝±2，
∴点P坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
[能力提升综合练]
1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析：选D ∵a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于( )
A. B.
C. D．4
解析：选A 如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或 ＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或 ＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
4．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为( )
A．0 B．2 C．3 D．4
解析：选B ∵，∴PF1⊥PF2.
∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c＝＝2.
∵b＝2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．
5．F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是________．
解析：∵|OF2|＝c，∴由已知得＝，
∴c2＝4，c＝2.
设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，
∴|x0|＝1，|y0|＝，代入椭圆方程得＋＝1.
∵a2＝b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，
即b4＝12，∴b2＝2.
答案：2
6．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．
解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.
又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
即F1(－5，0)，F2(5，0)．
则2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①
在△F1PF2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，
得即(－－x，－y)·(－x，－y)<0.
又y2＝1－，
所以x2<2，解得－所以点P横坐标的范围是.
第2课时 椭圆的简单几何性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P37～P40“探究”的内容，回答下列问题．
观察教材P38－图2.1－7，思考以下问题：
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)中x，y的取值范围各是什么？
提示：－a≤x≤a，－b≤y≤b．
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么？
提示：对称轴为x轴和y轴，对称中心为坐标原点(0，0)．
(3)椭圆＋＝1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么？
提示：与x轴的交点坐标为(±a，0)，与y轴的交点坐标为(0，±b)．
(4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？
提示：长轴为A1A2，短轴为B1B2.
(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？
提示：离心率e＝；0(6)如果保持椭圆的长半轴长a不变，改变椭圆的短半轴长b的值，你发现b的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？
提示：b越大，椭圆越圆；b越小，椭圆越扁．
(7)根据离心率的定义及椭圆中a，b，c的关系可知，
e＝＝＝＝，所以e越接近于1，则c越接近于a，从而b＝就越小；e越接近于0，则c越接近于0，从而b越接近于a.那么e的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？
提示：e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
2．归纳总结，核心必记
椭圆的简单几何性质
焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
续表
焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)
离心率
e＝(0[问题思考]
(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？
提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
(2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？
提示：点(a，0)，(－a，0)与焦点F1(－c，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为a＋c和a－c．
(3)如何用a，b表示离心率？
提示：由e＝得e2＝＝，
∴e＝ .
∴e＝ .
[课前反思]
(1)椭圆的几何性质： ；
(2)椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度的关系是：
．
?讲一讲
1．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[尝试解答] 将椭圆方程变形为＋＝1，
∴a＝3，b＝2.∴c＝＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6，2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离心率e＝＝.
解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
?练一练
1．求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)，
可转化为＋＝1.
∵m2<4m2，
∴>，
∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝.
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，.
离心率e＝＝＝.
?讲一讲
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)；
(2)离心率e＝，焦距为12.
[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．
(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．
?练一练
2．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，3)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，
设标准方程为＋＝1(b>0)，
∵椭圆过点A(2，3)，∴＋＝1，b2＝10.
∴方程为＋＝1.
若椭圆的焦点在y轴上．
设椭圆方程为＋＝1(b>0)，
∵椭圆过点A(2，3)，∴＋＝1，b2＝.
∴方程为＋＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由已知∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
?讲一讲
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.
[尝试解答] 由A(－a，0)，B(0，b)，
得直线AB的斜率为kAB＝，
故AB所在的直线方程为y－b＝x，即bx－ay＋ab＝0.
又F1(－c，0)，由点到直线的距离公式可得
d＝＝，
∴·(a－c)＝.
又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，
即8－14＋5＝0.∴8e2－14e＋5＝0.
解得e＝或e＝(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e＝.
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
?练一练
3．如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．
解：由已知可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则由题意可知P.
∵△PF1O∽△BOA，
∴＝.
∴＝，即b＝c，
∴a2＝2c2，
∴e＝＝.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率．
2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1.
(2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.
(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.
课时达标训练（七）
[即时达标对点练]
题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8
C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10，2b＝6，＝0.8.
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )
A．(±13，0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：选D 由题意知，其焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝.
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
题组2 由椭圆的几何性质求标准方程
4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 因为2a＝18，2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
5．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5 C．7 D．8
解析：选D 由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是66．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.则椭圆G的方程为_______________________．
解析：依题意可设椭圆G的方程为＋＝1，a>b>0，
半焦距为c，
∵椭圆G的离心为率为，
∴＝?c＝a.
∵椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，
∴2a＝12?a＝6.
∴c＝3，b＝＝3，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
题组3 椭圆的离心率
7．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 化为标准方程为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴e＝＝.
8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意，得或
当a－c＝9时，由b2＝9得a2－c2＝9＝(a－c)(a＋c)，
a＋c＝1，则a＝5，c＝－4(不合题意)．
当a＋c＝9时，解得故e＝.
9．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
解：如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥AF1.
又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c，
根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，
∴＝－1.
∴椭圆的离心率e为－1.
[能力提升综合练]
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( )
A. B. C．2 D．4
解析：选A 由题意可得2＝2×2，解得m＝.
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.B. C. D.
解析：选B 记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心率e＝＝＝＝.
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：选D
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________．
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
因此可设待求椭圆为＋＝1.
又b＝2，故m＝20，得＋＝1.
答案：＋＝1
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5，4)，∴＋＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
因为，所以MF1⊥MF2，
所以点M的轨迹是以O为圆心，c为半径的圆．
因为点M总在椭圆内部，所以c所以c2所以2c2答案：
7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点，求椭圆的标准方程．
解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
将点M，N代入上式，得
解得
此时椭圆的标准方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
将点M，N代入上式得
解得
因为a>b>0，所以舍去，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
8．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m>0，易知m>，∴a2＝m，b2＝.
∴c＝＝ .
由e＝，得 ＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)
[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？
名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r?相切；d>r?相离；d(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．
[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．
[思考3] 已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？
名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
?讲一讲
1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．
[尝试解答] 将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.
当Δ＝0时，得m＝±，直线与椭圆相切；
当Δ>0时，得－当Δ<0时，得m<－或m>，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆的位置关系的方法
?练一练
1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 ＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
解：由消去y，整理得
(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
所以Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)，
因为直线与椭圆总有公共点，
所以Δ≥0对任意k∈R都成立，
因为m>0，
所以5k2≥1－m恒成立，
所以1－m≤0，
即m≥1.
又因为椭圆的焦点在x轴上，
所以0综上，1≤m<5，
即m的取值范围是[1，5)．
[思考1] 若直线l与圆C相交于点A，B，如何求弦长|AB|?
名师指津：(1)利用r2＝d2＋求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公式|AB|＝|x1－x2|求解．
[思考2] 若直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如何求|AB|的值？
名师指津：|AB|＝|x1－x2|．
?讲一讲
2．已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
[尝试解答] (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
由可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4，2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
(1)弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
所以|AB|＝
＝·
＝·，
或|AB|＝
＝·
＝·.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．
(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
?练一练
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 联立方程组
消去y得3x2＋4x－2＝0.
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝.
∴所求中点的坐标为.
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
解：∵e＝，∴b2＝a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为＋＝1.
?讲一讲
3．已知椭圆＋＝1的离心率e＝.
(1)若＝3，求椭圆方程；
(2)直线l过点C(－1，0)交椭圆于A、B两点，且满足：，试求△OAB面积的最大值．
[尝试解答] (1)由题意知解得a＝，c＝.
所以a2＝3，b2＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由e＝＝，及a2＝b2＋c2，得a2＝3b2，可设椭圆的方程为＋＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2),
由题意知直线l的斜率存在，则设l的方程为y＝k(x＋1)，
由
得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0，
且Δ＝12(3b2－1)k2＋12b2，
因为直线l交椭圆于A、B两点，且，
所以点C在椭圆内部，所以a>1，
所以3b2>1，所以Δ>0.所以x1＋x2＝.
因为，所以(x1＋1，y1)＝3(－1－x2，－y2)，
所以x1＝－4－3x2，
所以x2＋1＝－，所以|x1－x2|＝.
又O到直线l的距离为d＝，
所以S△ABO＝|AB|d＝|x1－x2|·d
＝＝≤，
所以当且仅当3|k|＝，即k＝±时，
S△ABO取得最大值.
解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
?练一练
4．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4距l最近，d＝＝，
切点为P.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是直线与椭圆位置关系的判断、直线与圆的相交弦问题，难点是与椭圆有关的最值问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)直线与椭圆位置关系的判定方法，见讲1.
(2)弦长问题及中点弦问题的求解方法，见讲2.
(3)与椭圆有关的最值问题，见讲3.
课时达标训练（八）
[即时达标对点练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
解析：选A 因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1相交．
2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16 m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，
∴m>1且m≠3.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝.
答案：
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
题组3 与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
答案：
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6.
答案：6
8．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，
(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
(1)∵P(0，1)，
即b＝2，且B(3，1)．
∵B在椭圆上，
∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
＋＝1，解得a2＝.
∵a2>b2>0，
∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1＝>0，
∴所求t的取值范围是.
[能力提升综合练]
1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数( )
A．至多一个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：选B 因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，即m2＋n2<4，
所以n2<4－m2，
则＋<＋＝1－m2<1.
所以点(m，n)在椭圆＋＝1内部，
故过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是( )
A．[4－2，4＋2] B．[4－，4＋]
C．[4－2，4＋2 ] D．[4－，4＋]
解析：选A 方程可化为＋＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝2，b＝，所以
－≤m≤，
故4－2≤2m＋4≤2＋4.
3．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
4．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
答案：－1
5．已知椭圆G：＋y2＝1，过点(0，2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)O为坐标原点，求△OAB的面积．
解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)设l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
由l与圆x2＋y2＝1相切得＝1，
解得k＝±.
将y＝±x＋2代入x2＋4y2－4＝0，
得13x2±16x＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝2＝2
＝2＝.
又O到AB的距离d＝1.
∴S△OAB＝×|AB|×1＝.
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．
解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)．
由题设＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，
由
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即－2所以xP＝＝－，从而yP＝xP＋m＝，
所以kAP＝＝，
又|AM|＝|AN|，
所以AP⊥MN，
所以＝－1，解得m＝2，
所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.
2.2 双曲线
第1课时 双曲线及其标准方程
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P45～P48的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P45－图2.2－1，思考下列问题：
①在点M移动的过程中，的值发生变化吗？
提示：不变.＝|FF2|．
②动点M的轨迹是什么？
提示：双曲线．
(2)利用教材P46－图2.2－2所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？
提示：设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由＝2a，可得－＝1，令b2＝c2－a2，则双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
2．归纳总结，核心必记
(1)双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
[问题思考]
(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
提示：双曲线的一支．
(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？
提示：①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
(3)如何判断方程－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点位置？
提示：若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(4)方程＋＝1表示哪种曲线呢？
提示：当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．
(5)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系有什么区别？
提示：在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．
[课前反思]
(1)双曲线的定义是：
；
(2)双曲线的标准方程是：
；
(3)如何由双曲线方程确定焦点的位置？
．
[思考] 要求双曲线的标准方程，应确定哪些条件？
名师指津：(1)确定焦点的位置；(2)确定a和b的值．
?讲一讲
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
[尝试解答] (1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以解得(舍去)．
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
将P、Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．
∵P、Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．
?练一练
1．求满足下列条件的双曲线方程：
(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)和；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
解：(1)由已知可设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)法一：设双曲线方程为－＝1.
由题意易求得c＝2.
又双曲线过点(3，2)，
∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，
∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为－＝1(－4将点(3，2)代入得k＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1.
?讲一讲
2．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[尝试解答] 双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得＝2a＝6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
?练一练
2．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
?讲一讲
3．如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[尝试解答] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，
sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
所以2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
因为a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝6，
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
?练一练
3．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是双曲线的定义及标准方程的求法，难点是双曲线定义的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)双曲线标准方程的求法，见讲1；
(2)利用双曲线的定义解决与焦点有关的三角形问题，见讲2；
(3)求与双曲线有关的轨迹问题，见讲3.
3．双曲线定义中＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.这是本节课的两个易错点．
课时达标训练（九）
[即时达标对点练]
题组1 双曲线的标准方程
1．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3B．4 C．3 D．4
解析：选D 由双曲线－＝1可知，
a＝，b＝，c2＝a2＋b2＝12.
∴c＝2，∴焦距为2c＝4.
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或 －＝1
D.－＝0或 －＝0
解析：选C 由于焦点所在轴不确定，
∴有两种情况．
又∵a＝5，c＝7，
∴b2＝72－52＝24.
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－1，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B 依题意，应有m＋1>0，即m>－1.
4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
题组2 双曲线定义的应用
5．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
6．双曲线 －＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是( )
A．17 B．7 C．7或17 D．2或22
解析：选D 依题意及双曲线定义知，＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.
7．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－s B.(m－s)
C．m2－s2 D.－
解析：选A 不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得
解得
则|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－s.
题组3 与双曲线有关的轨迹问题
8．已知动圆M过定点B(－4，0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>0) B.－＝1(x<0)
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C 设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4，0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4，2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，故轨迹方程是－＝1.
9．△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1[能力提升综合练]
1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值是( )
A．1 B．－1 C. D．－
解析：选B 原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1.
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2 C．1或 D．1
解析：选D 由于a>0，03．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B. C. D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B 由题意可设双曲线方程为－＝1，
又由中点坐标公式可得P(，4)，
∴－＝1，解得a2＝1.
5．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当14或t<1时， 曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则14.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4; ③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴14.
答案：②③④
6．若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．
解析：由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，
∴|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13.
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18.
答案：18
7．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
解：设点P为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，
整理，得x＋y＝25. ①
∵P(x0，y0)在双曲线上，∴－＝1. ②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则有
解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos ∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
第2课时 双曲线的简单几何性
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P49～P53的内容，回答下列问题．
类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？
提示：双曲线的范围、对称性、顶点坐标和离心率．
2．归纳总结，核心必记
(1)双曲线的简单几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性
质
焦点
(±c，0)
(0，±c)
焦距
2c
2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：x轴和y轴，中心：(0，0)
顶点
(±a，0)
(0，±a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
[问题思考]
(1)如何用a，b表示双曲线的离心率？
提示：e＝＝＝．
(2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度．那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？
提示：e＝＝，当e越大时，双曲线开口越大；当e越小，接近于1时，双曲线开口越小．
(3)双曲线－＝1与－＝1的渐近线有什么关系？
提示：双曲线－＝1与－＝1的渐近线相同．
(4)等轴双曲线的离心率为何值？
提示：e＝＝＝，即等轴双曲线的离心率为．
[课前反思]
(1)双曲线的几何性质有哪些？
；
(2)等轴双曲线的定义：
．
?讲一讲
1．求双曲线9x2－16y2＋144＝0的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
[尝试解答] 把方程9x2－16y2＋144＝0化为标准方程为－＝1.
由此可知，半实轴长a＝3，半虚轴长b＝4，c＝＝＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0，5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.双曲线的草图如图所示．
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
?练一练
1．求双曲线4y2－9x2＝－4的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．
解：将双曲线方程化成标准方程－＝1，
可知半实轴长a＝＝，
半虚轴长b＝＝1.
于是有c＝＝＝，
所以焦点坐标为，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
双曲线的草图如图所示.
?讲一讲
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
[尝试解答] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
所以a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)∵所求双曲线与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，
∴设所求双曲线方程为x2－2y2＝λ.
又双曲线过点M(2，－2)，则
22－2·(－2)2＝λ，即λ＝－4.
∴所求双曲线方程为－＝1.
(1)根据双曲线几何性质求标准方程时，常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．
(2)如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2－ny2＝1(m，n同号)，然后由条件求m，n.
(3)与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为－＝λ(λ≠0)，然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程．
?练一练
2．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝；
(2)虚轴长为12，离心率为.
解：(1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，
∴c2＝a2＋b2＝5.
∵e＝，
∴e2＝＝＝，解得λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
?讲一讲
3．(1)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 ( )
A. B．2
C. D.
(2)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
[尝试解答] (1)不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，
∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
(2)如图所示，
不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.
[答案](1)D (2)2＋
求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a，c.计算e＝；
(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解．
?练一练
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解：设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，
则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
∴＝2c，∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，∴－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
?讲一讲
4．已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)．
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
[尝试解答] (1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，
联立消去y，得3x2＋2x－2＝0.
设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
则|AB|＝
＝
＝·＝×＝.
(2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
∴解得0∵双曲线的离心率e＝＝，
∴e>且e≠.
即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.
?练一练
4．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点，则k的值等于________．
解析：由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.①
直线与双曲线只有一个公共点，
则①式只有一个解．
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式只有一个解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得k＝±，
故k的值为±1或±.
答案：±1或±
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是双曲线几何性质的求法，难点是直线与双曲线的位置关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)由双曲线的标准方程研究几何性质，见讲1；
(2)由双曲线的几何性质求标准方程，见讲2；
(3)双曲线离心率的求法，见讲3.
3．直线与双曲线有一个公共点有两种情况：(1)直线与双曲线相切；(2)直线与双曲线的渐近线平行．这也是本节课的易错点．
4．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
课时达标训练（十）
[即时达标对点练]
题组1 根据双曲线的标准方程研究几何性质
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：选A 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，
∴－＝b2＝4，
∴m＝－.
2．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A 由－＝0，得y2＝x2，即y＝±x.
3．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝＝a，于是e＝＝.
题组2 由双曲线的几何性质求标准方程
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 由题意知c＝4，焦点在x轴上，所以＋1＝e2＝4，所以＝，又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为－＝1.
5．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.
6．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程．
解：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6?λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.
题组3 求双曲线的离心率
7．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C．4 D.
解析：选D 由双曲线的定义知，
(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，
所以4a2＝b2－3ab，即－3·＝4，
解得＝4(－1舍去)．
因为双曲线的离心率e＝＝，
所以e＝，故选D.
8．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________．
解析：依题意知，F1(－c，0)，F2(c，0)，
不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，
所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得
－＝1，又c2＝a2＋b2，所以－＝1，
整理得e4－8e2＋4＝0，
解得e2＝4＋2(e2＝4－2<1舍去)，
所以e＝＋1.
答案：＋1
题组4 直线与双曲线的位置关系
9．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选B ∵双曲线方程为x2－＝1，故P(1，0)为双曲线右顶点，∴过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
10．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
解析：由得x2－(kx＋2)2＝6.
则(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．
则得－答案：
[能力提升综合练]
1．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )
解析：选C 直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，可排除A、B、D，若a>0，b<0，C符合．
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝2 B．x2－y2＝
C．x2－y2＝1 D．x2－y2＝
解析：选A 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y＝±x，焦点到渐近线的距离＝，∴c＝2.∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C 因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝
±x.又离心率为e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
4．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：选C 双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设直线AB：y＝2x与椭圆C1的一个交点为C(第一象限的交点)，则|OC|＝，
∵tan ∠COx＝2，∴sin ∠COx＝，cos ∠COx＝，
则C的坐标为，
代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.
∵5＝a2－b2，∴b2＝.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由题可得直线的斜率为，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，只要≥，∴e2＝1＋≥4.
答案：[2，＋∞)
6．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：
两式作差得，＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
答案：－＝1
7．双曲线－＝1(0解：由l过两点(a，0)，(0，b)，
设l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
16－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
因为e＝，有e＝.故e＝或e＝2.
因为0，所以离心率e为2.
8．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(a，b，m，n>0，且a>b)，
则
解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2，
所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，
所以cos ∠F1PF2
＝＝，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2
＝×10×4×＝12.
2.3 抛物线
第1课时 抛物线及其标准方程
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P56～P59的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P56－图2.3－1，点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹．
①M的轨迹是什么形状？
提示：抛物线．
②|MH|与|MF|之间有什么关系？
提示：相等．
③抛物线上任意一点M到点F和直线l的距离都相等吗？
提示：都相等．
(2)观察教材P57－图2.3－2，直线l的方程为x＝－，定点F的坐标为，设M(x，y)，根据抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，则M点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝2px(p>0)．
2．归纳总结，核心必记
(1)抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
续表
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
[问题思考]
(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
提示：不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于定直线的一条直线，l不过定点F时，点的轨迹是抛物线．
(2)到定点A(3，0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？
提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y2＝12x．
(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？
提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其焦点坐标为，则＝2，故p＝4.所以抛物线的标准方程是y2＝8x．
[课前反思]
(1)抛物线的定义是：
；
(2)抛物线的焦点和准线的定义是：
；
(3)抛物线的标准方程是什么？其对应的抛物线的开口方向有什么特点？焦点坐标和准线方程又是什么？
．
[思考1] 抛物线的标准方程有哪几种类型？
名师指津：y2＝2px(p>0)；y2＝－2px(p>0)；x2＝2py(p>0)；x2＝－2py(p>0)．
[思考2] 抛物线方程中p的几何意义是什么？
名师指津：p的几何意义是：焦点到准线的距离．
[思考3] 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？
名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p，利用焦点坐标及准线的定义求解．
?讲一讲
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0; (3)y2＝ax(a>0)．
[尝试解答] (1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)由a>0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．
?练一练
1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．
解：把抛物线方程y＝ax2化成标准方程x2＝y.
当a>0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－；
当a<0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－.
综上知，所求抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－.
[思考1] 抛物线标准方程有什么特点？
名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项．
[思考2] 如何求抛物线的标准方程？
名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p的值．
?讲一讲
2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6，6);
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[尝试解答] (1)∵点M(－6，6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.
∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)，
∴抛物线的焦点是F(2，0)，
∴＝2，
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
求抛物线标准方程的两种方法
(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．
(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n的值．
?练一练
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝－1;
(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.
解：(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.
(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则焦点坐标为，准线为x＝－，
则焦点到准线的距离是＝p＝3，
因此所求的抛物线的标准方程是y2＝6x.
?讲一讲
3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
[尝试解答] 如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴＝|AB|＝3＋＝.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2，∴P点坐标为(2，2)．
(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．
?练一练
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．
由图可知， 当点P，A(0，2)，和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小．所以最小距离d＝＝.
?讲一讲
4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
[尝试解答] 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为，
由点B在抛物线上，
得＝－2p，
所以p＝，
所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
欲使卡车通过隧道，应有－|y|＝－>3.
解得a>12.21，或a<－0.21(舍去)．
∵a取整数，
∴a的最小值为13.
在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．
?练一练
4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？
解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，
所以抛物线的方程为x2＝－5y，
点A(－4，y0)在抛物线上，
所以16＝－5y0，即y0＝－，
所以OA的长为5－＝1.8(m)．
所以管柱OA的长为1.8 m.
—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；
(2)求抛物线的标准方程，如讲2；
(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.
3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．
课时达标训练（十一）
[即时达标对点练]
题组1 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
解析：选B 由y＝4x2，得x2＝y，故抛物线开口向上，且焦点坐标为.
2．抛物线y＝－的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2 C．x＝ D．y＝4
解析：选B 由y＝－，得x2＝－8y，故抛物线开口向下，其准线方程为y＝2.
3．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C．|a| D．－
解析：选B ∵2p＝|a|，∴p＝.∴焦点到准线的距离是.
题组2 求抛物线的标准方程
4．焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝20x B．x2＝20y
C．y2＝x D．x2＝y
解析：选B 由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
5．顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
解析：选C 设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
题组3 抛物线定义的应用
6．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线 y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
7．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点F的距离为9，则点P的坐标为( )
A．(7，±) B．(14，±)
C．(7，±2) D．(－7，±2)
解析：选C 由y2＝8x，得抛物线的准线方程为x＝－2，因P点到焦点的距离为9，故P点的横坐标为7.由y2＝8×7，得y＝±2，即P(7，±2)．
8．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解：如图．
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋＝0的距离．
d＝＝1.
题组4 抛物线方程的实际应用
9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100＝－2p×(－4)，
2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.
由图知，AB是最长的支柱之一，
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84(米)，
即最长支柱的长为3.84米．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
解：如图所示，
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
[能力提升综合练]
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.
2．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6 C. D.
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.
3．动点到点(3，0)的距离比它到直线 x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析：选D 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：选C ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，解得p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案：
6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，4)．
设P(x0，4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
答案：8
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，即p＝4.
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
8．已知圆C的方程x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
解：设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，
∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5.
即|PC|＝|x|＋5.
当点P在y轴右侧时，即x>0，
则|PC|＝x＋5，
故点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，
则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，即x<0，
则|PC|＝－x＋5，
此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x<0)．
故点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．
第2课时 抛物线的简单几何性质
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P60～P63的内容，回答下列问题．
类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的下列性质：
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的范围是什么？
提示：x≥0，y∈R．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴是什么？是否存在对称中心？
提示：对称轴为x轴，不存在对称中心．
(3)抛物线的顶点坐标有几个？顶点坐标是什么？
提示：只有一个顶点坐标(0，0)．
(4)抛物线的离心率是多少？
提示：e＝1．
2．归纳总结，核心必记
抛物线的几何性质
类型
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图象
性
质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
离心率
e＝1
开口
方向
向右
向左
向上
向下
[问题思考]
在同一坐标系下画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，试分析影响抛物线开口大小的量是什么？
提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
[课前反思]
(1)抛物线的范围是：
；
(2)抛物线具有怎样的对称性？其对称轴是什么？
；
(3)抛物线的顶点坐标和离心率分别是：
．
?讲一讲
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
[尝试解答] 椭圆的方程可化为＋＝1，
其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
?练一练
1．已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
解：因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
[思考] 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？
名师指津：x0＋__－x0__y0＋__－y0__x1＋x2＋p__p－x1－x2__y1＋y2＋p__p－y1－y2．
?讲一讲
2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
[尝试解答] 设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3，
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ ·＝.
(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
?练一练
2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F.
所以直线l的方程为y＝.
联立消去y，得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p.
∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
[思考1] 若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切吗？
名师指津：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
[思考2] 如何判断点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系？
名师指津：(1)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)内部?y<2px0；
(2)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上 ?y＝2px0；
(3)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)外部?y>2px0．
?讲一讲
3．设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．
[尝试解答] 联立方程组消去y，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
若k≠0，方程k2x2＋(2k－4)x＋1＝0为一元二次方程．
∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
(1)当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切，
(2)当Δ>0，即k<1时，l与C相交，
(3)当Δ<0，即k>1时，l与C相离．
若k＝0，直线l方程为y＝1，显然与抛物线C交于.
综上所述，当k＝1时，l与C相切；当k<1时，l与C相交；当k>1时，l与C相离．
研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论．
?练一练
3．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．
证明：设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x，
由题意知k≠0.
由解得或
即点A的坐标为，
同样由解得点B的坐标为(2k2，－2k)．
故AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，
当x＝2时，恒有y＝0.
故直线过定点P(2，0)．
———————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是抛物线的几何性质和焦点弦问题，难点是直线与抛物线的位置关系．
2．在研究直线与抛物线的位置关系时，直线与抛物线只有一个公共点，包括相交和相切两种情况，这是本节课的一个易错点．
3．本节课要重点掌握的规律方法
(1)抛物线的焦点弦问题，见讲2；
(2)直线与抛物线的位置关系，见讲3.
4．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
课时达标训练（十二）
[即时达标对点练]
题组1 抛物线的几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
2．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.
题组2 抛物线的焦点弦问题
3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16
C．32 D．64
解析：选B 由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，
得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，
即x2－12x＋4＝0.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
解析：选B kOA·kOB＝＝·＝，
根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，
故kOA·kOB＝＝－4.
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
6．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
答案：
题组3 直线与抛物线的位置关系
7．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
解析：选C ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1，0)．
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
8．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B．[－2，2]
C．[－1，1] D．[－4，4]
解析：选C 准线x＝－2，Q(－2，0)，
设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，即交点为(0，0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1，1]．
9．在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解：法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝＝
＝，
当y0＝1时，dmin＝，
∴P.
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，
∴m＝.
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为.
10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．
解：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又|AF|＝3，
∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3.
∴F到准线距离p＝|FC|＝.
∴y2＝3x.
[能力提升综合练]
1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A. B．p
C．2p D．无法确定
解析：选C 当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：选B 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．90°
C．60° D．120
解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1.
又∠AA1F＝∠A1FO，
所以∠AFA1＝∠A1FO，
同理∠BFB1＝∠B1FO.
于是∠AFA1＋∠BFB1
＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1，
故∠A1FB1＝90°.
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由得x2－5x＋4＝0，
∴x＝1或x＝4.
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4， ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
解析：抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得|x|＝ .要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
答案：6
7．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．
(1)证明：y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)求＋的值．
解：(1)证明：过焦点F的直线AB的方程为y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.由韦达定理得y1y2＝－p2.
又y＝2px1，y＝2px2，
∴x1x2＝·＝＝.
当直线AB的方程为x＝时，x1x2＝，y1＝p，
y2＝－p，∴y1y2＝－p2.
(2)设直线AB：y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
|AF|·|BF|＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝(x1＋x2)＋
＝(x1＋x2＋p)＝，
即|AF|＋|BF|＝·|AF|·|BF|，
∴＋＝.
当直线AB的方程为x＝时，
x1＝x2＝，y1＝p，y2＝－p，
∴|AF|＝|BF|＝p，∴＋＝.
8．如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由?A1，
由?A2，
同理可得B1，B2，
所以＝
＝2p1
＝
＝2p2，
所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，
所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
故＝.
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：
(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
(2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
[典例1] (1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
(2)若F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于________．
解析：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，
则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由已知，得a2＝16，b2＝9，c2＝25，
所以a＝4，c＝5.
由于点M在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|，
则M在右支上，
根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8，
又|MF1|＝5|MF2|，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2，
而|F1F2|＝2c＝10，
则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N，
则F1N⊥MF2，且|F1N|＝＝3，
从而S△MF1F2＝×2×3＝3.
答案：(1)＋＝1 (2)3
[对点训练]
1．抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )
A．x1，x2，x3成等差数列 B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列
解析：选A 如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，
由抛物线定义得，
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3，
∴选A.
2．若点M(2，1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，
那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，|BM|＝＝，
所以(|AM|＋|AC|)min＝8－.
答案：8－
1.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等．
2．求离心率的值或取值范围的主要方法有：
(1)定义法：利用a，b，c之间的关系以及e＝，知道a，b，c中任意两个可求e.
(2)方程法：建立a与c的齐次关系式，可求离心率e.
(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
[典例2] 已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
解析：选D 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
∴椭圆焦点(±，0)，
双曲线焦点(±，0)，
∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，即|m|＝2|n|.
又双曲线渐近线为y＝±·x，
将|m|＝2|n|代入上式，得y＝±x.
[典例3] 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝，求椭圆离心率e的范围．
解：△F1PF2中，∠F1PF2＝，由椭圆定义及余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
即4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|.
故4a2－4c2＝3|PF1||PF2|≤3＝3a2，由此可得离心率e∈.
[对点训练]
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A．2 B. C. D.
解析：选C 双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意有·＝－1，故＝1，
所以＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.
4．椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F′，则△FAB的周长|FA|＋|AB|＋|FB|≤|FA|＋|F′A|＋|FB|＋
|F′B|＝4a.所以4a＝12，a＝3，e＝＝.
答案：
5．如图，已知椭圆C1的中心为原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：＋＝1，C2：＋＝1，其中a＞b＞0.
设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A，B.
当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝＝＝.
(2)t＝0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，
即＝，
解得t＝－＝－·a.
因为|t|＜a，又0＜e＜1，
所以＜1，
解得＜e＜1.
所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；当＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN.
1.直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，内容涉及直线与圆锥曲线的公共点的个数、弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值等问题，题型主要以解答题的形式出现，这类问题综合性较强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合，突出考查函数与方程、数形结合、化归、分类讨论等数学思想方法的应用，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力及计算能力．
2．解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式Δ来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化．
[典例4] 已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解：(1)由已知得，c＝2，＝.
解得a＝2.
又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝＝－，
y0＝x0＋m＝，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1，
解得m＝2，此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.
此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
[对点训练]
6．直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则k的取值范围是________．
解析：数形结合得k≥1或k≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
7．已知直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值．
解：联立方程
①当a＝0时，此方程组恰有一组解
②当a≠0时，消去x，得y2－y－1＝0.
(ⅰ)若＝0，即a＝－1，
方程变为一元一次方程－y－1＝0.
方程组恰有一组解
(ⅱ)若≠0，即a≠－1，
令Δ＝0，得1＋＝0，可解得a＝－，
这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述，当a＝0，－1，－时，直线与曲线y2＝ax只有一个公共点.
1.圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明．
2．圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决．
[典例5] 如图所示，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．
(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值；
(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；
(3)若直线l：y＝kx＋m与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)证明：设点P的坐标为(x，y)，
令f(x)＝|PF1|2＝(x＋c)2＋y2.
又点P在椭圆C上，
故满足＋＝1，
则y2＝b2－x2.
代入f(x)得，
f(x)＝(x＋c)2＋b2－x2＝x2＋2cx＋a2，
则其对称轴方程为x＝－，
由题意，知－＜－a恒成立，
∴f(x)在区间[－a，a]上单调递增．
∴当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值．
(2)由已知与(1)得：a＋c＝3，a－c＝1，
∴a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(3)证明：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
则Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，
即3＋4k2－m2＞0，
x1＋x2＝－，x1·x2＝.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2，0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
即＋＋＋4＝0.
∴7m2＋16km＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
且均满足3＋4k2－m2＞0.
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，
直线过定点(2，0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点.
综上，直线l过定点，定点坐标为.
[典例6] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，椭圆上两点A，B坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，若△ABF2的面积为，∠BF2A＝120°.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．
解：(1)由题意易知a＝2c，b＝c，
S△ABF2＝×(2c－c)×c＝c2＝，
所以c＝1，a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNO为等腰直角三角形，
所以|y1|＝|x1|，
又＋＝1，
解得|x1|＝＝，
即O到直线MN的距离d＝.
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，与椭圆＋＝1联立消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
所以x1＋x2＝－，
x1x2＝，
因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
所以(k2＋1)－＋m2＝0，
整理得7m2＝12(k2＋1)．
所以O到直线MN的距离d＝
＝＝.
综上，点O到直线MN的距离为定值．
[对点训练]
8．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当△ABC面积为最大值时，求直线l的方程．
解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1.
将点A(1，)代入方程，得＋＝1，
整理得a4－5a2＋4＝0，
解得a2＝4或a2＝1(舍去)，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设直线BC的方程为y＝x＋m，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
代入椭圆方程并化简，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)＞0，
可得m2＜8.(*)
又x1＋x2＝－m，x1x2＝，
故|BC|＝|x1－x2|＝.
又点A到BC的距离为d＝.
故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝，
当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足(*)式)，S取得最大值，
此时直线l的方程为y＝x±2.
在解决平面向量与解析几何的综合问题时，应注意以下两点：
一是注意在题目中，用向量表达式表述的题目条件的转化与翻译，能准确地将一些向量表达式表示的关系，在几何图形中反映出来．
二是善于用向量的方法和向量的运算解决几何问题，例如：证明直线的平行与垂直问题时，可以通过向量的共线和数量积运算解决，研究角的大小、范围问题时，可以通过数量积的坐标运算来实现等．
[典例7] 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M(－1，0)的直线l与椭圆交于P，Q两点．
(1)若直线l的斜率为1，且求椭圆的标准方程；
(2)若(1)中椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，问α为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
解：(1)由e＝，得＝，
即a2＝4b2，
故椭圆方程为x2＋4y2＝4b2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由，得y1＝－y2，
由消去x，得5y2－2y＋1－4b2＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
由此得b2＝1，a2＝4，
故椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得
x2＋4k2(x＋1)2＝4，即(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，
则
所以＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)
＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2
＝＝＜.
当直线l的斜率不存在，即α＝90°时，＝，
因此当α＝90°时，取得最大值，最大值为.
[对点训练]
9．如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|＝2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且.
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知 ，求证：λ1＋λ2为定值．
解：(1)法一：如图，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，
则F(0，1)，设动点P的坐标为(x，y)，则动点Q的坐标为(x，－1)，由，得动点P的轨迹方程为x2＝4y.
法二：所以，动点P的轨迹C是抛物线，以线段FM的中点为原点O，以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy，可得轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则N.
联立方程消去y，得x2－4kx－4＝0，
因为Δ＝(－4k)2＋16＞0，
所以
得，x1＋＝－λ1x1，
x2＋＝－λ2x2，
整理得，λ1＝－1－，λ2＝－1－，
λ1＋λ2＝－2－＝－2－·＝－2－·＝0.故λ1＋λ2为定值0.
一、选择题
1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，2) C. D．(0，1)
解析：选D 由x2＋ky2＝2，得＋＝1，
又∵椭圆的焦点在y轴上，
∴＞2，即0＜k＜1.
2．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 由＝得b＝a，
∴c＝＝＝a.
∴e＝＝.
3．抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离为4，则P到坐标原点的距离为( )
A．5 B．2 C．4 D.
解析：选B 抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由P到焦点的距离为4知，P到准线的距离为4，故P的横坐标xP＝2，y＝16，|PO|＝＝2.
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D 由题意得，点P到直线x＝－2的距离与它到点(2，0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．
5．设P是双曲线－＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6 C．7 D．8
解析：选C 双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：选A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k，2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k，2c＝3k，∴e＝.
7．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)(c＞0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设双曲线右焦点为M，∵OE⊥PF，∴在直角三角形OEF中，|EF|＝.
又，
∴E是PF的中点．∴|PF|＝2，
又O是FM的中点，
∴MP⊥FP，∴|PM|＝a，
又|PF|－|PM|＝2a，∴2－a＝2a，
∴离心率e＝＝.
8．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则△PF1F2最大内角的余弦值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B 由双曲线定义知|PF2|＝|PF1|±2a.所以|PF2|＝9或|PF2|＝1＜c－a＝2(舍去)．
又|F1F2|＝8，所以△PF1F2的最大内角为∠PF1F2，
cos∠PF1F2＝＝.
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
10．已知|AB―→|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0，0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0，0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为||＝3，所以x＋y＝9，即＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
解析：选C 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40，30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
12．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
解析：选A 由4x2＋y2＝64得＋＝1，c2＝64－16＝48，
∴c＝4，e＝＝.
∴双曲线中，c′＝4，e′＝＝.
∴a′＝c′＝6，b′2＝48－36＝12.
∴双曲线方程为－＝1，即y2－3x2＝36.
二、填空题
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4，0)，顶点(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)．
答案：＋＝1
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
答案：
15．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．
解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|AF1|＝|BF|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
答案：
16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点F重合，抛物线的准线与x轴交于点K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
解析：由题意得＝2，p＝4，抛物线方程为y2＝8x，K(－2，0)，设A(x0，y0)，|AF|＝a，x0＝a－2，
由|AK|＝a得a2＋y＝2a2，
又y＝8(a－2)，∴a2＝8(a－2)，解得a＝4.
由已知可得|y0|＝a＝4.
∴S△AFK＝×4×4＝8.
答案：8
三、解答题
17．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m＞0，n＞0)，
m＝a－4.因为＝，所以＝，
解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
18．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0
可简化为x2－5x＋4＝0.
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)
＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
19．如图所示，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，
已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
解：(1)由题设知，2a＝4，即a＝2，
将点代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝3，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)知A(－2，0)，B(0，)，
所以kPQ＝kAB＝，所以PQ所在直线方程为
y＝(x－1)，
由得8y2＋4y－9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，
y1·y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，
所以S△F1PQ＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝.
20．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
解：(1)由题意知＝，b＝1，综合a2＝b2＋c2，
解得a＝，
所以，椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，
由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，
x1x2＝，
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
21．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
解：(1)－y2＝1.
(2)消去y得，
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0?m2＋1＞3k2.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
因为AP⊥CD，
所以kAP＝＝＝－，
整理得3k2＝4m＋1.②
联立①②得m2－4m＞0，
所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，
所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.
故m的取值范围为∪(4，＋∞)．
22．已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点．C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，.
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)，
因为F 也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x2＝4y，
由此可知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
从而x3－x1＝x4－x2，即x3－x4＝x1－x2，于是(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－，⑤
将④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋.
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，
即直线l的斜率为±.
