§1 椭__圆
1．1 椭圆及其标准方程
椭圆的定义
设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．
问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？
提示：相同．
问题2：这种游戏设计的原理是什么？
提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？
提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．
椭圆的定义
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆
焦点
两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点
焦距
两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距
集合语言
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|}
椭圆的标准方程
在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．
问题1：若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
问题2：若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则动点P的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a、b、c的关系
a2－b2＝c2
1．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，
当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上．
椭圆的标准方程
[例1] 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；
(2)a＋b＝8，c＝4；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a和b的值．
[精解详析] (1)焦点在y轴上，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)?
??
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有
解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有
解得舍去，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．
依题意有解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
[一点通]
求椭圆标准方程的一般步骤为：
1．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以即解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
答案：D
2．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为______________．
解析：由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
3．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B的椭圆的标准方程．
解：法一：若焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意，有解得a2＝4，b2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，同理这与a>b矛盾．
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将A，B坐标代入得
解得故所求椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的定义及应用
[例2] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，并结合余弦定理求解．
[精解详析] 由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①解得|PF1|＝，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝.
因此所求△PF1F2的面积是.
[一点通]
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求面积，这时可把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么( )
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值>|AB|时，点M轨迹才是椭圆．故p为q的必要不充分条件．
答案：B
5．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|AF2|＋|BF2|＝12，则|AB|＝________.
解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案：8
6．点P在椭圆＋y2＝1上，且PF1⊥PF2，求S△PF1F2.
解：∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，
又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，
∴|PF1||PF2|＝2，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝1.
与椭圆有关的轨迹问题
[例3] 已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
[思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆．
[精解详析] 如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC，
∴|AP|＝|CP|.
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，
∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
[一点通]
求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：
(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；
(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程．
7．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－，求顶点A的轨迹方程．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得
·＝－，化简整理，得＋＝1，
又A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y≠±6，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(y≠±6)．
8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径，
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝8,2c＝6，b＝＝，
∴M的轨迹方程是＋＝1.
1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解．
2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上．
3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．
1．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是( )
A．(±3,0) B．(±，0)
C．(±，0) D．(0，±)
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－ b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为(0，±)，故选 D.
答案：D
2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．4 D．1
解析：由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.
答案：A
3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，
又∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.
又c＝1，∴b2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：C
4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.
∴a＝.∴b＝＝.
答案：A
5．椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.
解析：椭圆方程可化为：x2＋＝1，
则a2＝－，b2＝1，又c＝2，
∴－－1＝4，∴k＝－1.
答案：－1
6．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|OP|＝________.
解析：由题意，|PF1|＋|PF2|＝6，两边平方得|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝36.因为|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2＋(2c)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)．所以4|OP|2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP|＝.
答案：
7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．
解：法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1.
则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|
＝＋
＝(2－)＋(2＋)
＝4，
∴a＝2，即a2＝12.
∴b2＝a2－c2＝12－4＝8.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，则
设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．
所求椭圆方程为＋＝1.
8．点P为椭圆＋y2＝1上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由题意知，a＝2，b＝1，c＝，|PF1|＋|PF2|＝4.①
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
即12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2得：|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16.③
由②③得：|PF1||PF2|＝.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60°＝××＝.
1．2 椭圆的简单性质
中国第一颗探月卫星－－“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是近地点200 km，远地点5 100 km的椭圆，地球半径约为6 371 km.
问题1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：?2a＝18 042 (km)．
问题2：此时椭圆的离心率为多少？
提示：∵a＝9 021，c＝2 450，
∴e＝＝0.271 6.
椭圆的简单性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图像
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：(0,0)
轴长
长轴长2a，短轴长2b
离心率
e＝∈(0,1)
1．椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
2．椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点F1(－c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离．
3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以＝，因此，当e越趋近于1时，越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．
椭圆的简单性质
[例1] 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式，用m表示出a，b，c，再由e＝，求出m的值，然后再求2a,2b，焦点坐标，顶点坐标．
[精解详析] 椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
∵m－＝＞0，
∴m＞，即a2＝m，b2＝.
∴c＝＝ .
由e＝，得 ＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为
F1，F2，
顶点坐标分别为
A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
[一点通] 求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则( )
A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等
解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4，故选D.
答案：D
2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )
A．(±1,0) B．(0，±1)
C．(±，0) D．(0，±)
解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.
答案：D
3．已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：把椭圆的方程化为标准方程＋＝1.
可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2；又得半焦距c＝＝＝.
因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－，0)，(，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e＝.
椭圆性质的简单应用
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)离心率e＝，短轴长为8；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[思路点拨] (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．
(2)画出图形，结合图形明确已知条件．
[精解详析] (1)设椭圆的标准方程为＋＝1
或＋＝1(a>b>0)．
由已知得e＝＝，2b＝8，
∴＝＝，b2＝80.
∴a2＝144.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
[一点通]
利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．
(3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b2＝a2－c2，e＝等．
4．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C.
D.
解析：因为点P在椭圆＋＝1的外部，
所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.
答案：B
5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程为____________．
解析：∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，
∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴＝.
∴c＝2，b2＝32－22＝5.
∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
6．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为4，短轴长为8，求椭圆的方程．
解：由题意得，解得
∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
椭圆的离心率
[例3] 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
[思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式，此题可利用kPF2＝kAB以及a2＝c2＋b2来建立a，c的关系．
[精解详析] 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，
直线PF1的方程为x＝－c，
代入方程＋＝1，得y＝±，
∴P.又PF2∥AB，∴kPF2＝kAB，
∴＝，即b＝2c.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴＝.
∴e2＝，即e＝，
所以椭圆的离心率为.
[一点通]
1．求椭圆离心率的方法：
(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解；
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成关于的方程，即为关于离心率e的方程，进而求解．
2．求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围．
7.如图，A，B，C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：∵∠ABC＝90°，∴|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，
∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2，又b2＝a2－c2，
∴a2－c2－ac＝0.
∴e2＋e－1＝0，e＝.
答案：A
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求准a，b.
2．求离心率e时，注意方程思想的运用．
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是( )
A．3 B．3或
C. D.或
解析：若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，
∴b＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.
若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，
∴m＝.
答案：B
2．(广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.故选 D.
答案：D
3．(新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c.
∴3a＝4c.∴e＝.
答案：C
4．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1,2]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.
答案：B
5．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：由题意2b>2c，即b>c，即>c，
∴a2－c2>c2，则a2>2c2.
∴<，∴0
答案：
6．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
解析：∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，
∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，
∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
解：(1)依题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝，∴＝，∴b2＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝9，
因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
解：如图，∵·＝0，
∴AF2⊥F1F2，
∵椭圆的离心率e＝＝，
∴b2＝a2，设A(x，y)(x>0，y>0)，
由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(x，y)代入椭圆方程得＋＝1，
∴y＝.∵△AOF2的面积为2，
∴S△AOF2＝c·＝2，
而＝，∴b2＝8，a2＝2b2＝16，
故椭圆的标准方程为：＋＝1.
§2 抛_物_线
2．1 抛物线及其标准方程
抛物线的定义
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？
提示：线段DA的长．
问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？
提示：线段DC的长．
问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？
提示：相等．
抛物线的定义
定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线
焦点
定点F
准线
定直线l
抛物线的标准方程
已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．
A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；
l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．
提示：y2＝12x. 向右．
问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：y2＝－12x. 向左．
问题3：到定点C和定直线l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：x2＝12y. 向上．
问题4：到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：x2＝－12y. 向下．
抛物线的标准方程
图像
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)
x＝－
y2＝－2px(p＞0)
x＝
x2＝2py(p＞0)
y＝－
x2＝－2py(p＞0)
y＝
1．平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的集合是抛物线，定点F不在定直线上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．
求抛物线的焦点坐标和准线方程
[例1] 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．
(1)y＝x2；(2)x＝ay2(a≠0)．
[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p.再写出焦点坐标和准线方程．
[精解详析] (1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，
∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上．
(2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，
∴2p＝.
①当a>0时，＝，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－；
②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－.
综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左．
[一点通]
1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p值．
2．抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标，准线x＝－，不必讨论a的正负．
1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(4,0) D．(－4,0)
解析：由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.
答案：A
2．(北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
答案：2 x＝－1
求抛物线的标准方程
[例2] 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.
[思路点拨] 确定p的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．
[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，∵过点(－3,2)，
∴4＝－2p1(－3)或9＝2p2·2.
∴p1＝或p2＝.
故所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
当焦点为(4,0)时，＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，＝|－2|，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.
故所求的抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y.
(3)由题意知，抛物线标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)且p＝3，∴抛物线标准方程为x2＝6y或x2＝－6y.
[一点通]
求抛物线标准方程的方法有：
(1)定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程．
(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
3．(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则拋物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
解析：由准线方程x＝－2，可知拋物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.
答案：B
4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(－5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是________．
解析：因为点(－5,2)在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y2＝－2px，把(－5,2)代入得p＝2，故所求方程为y2＝－4x.
答案：y2＝－4x
5．已知焦点在x轴上，且抛物线上横坐标为3的点A到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．
解：由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－.
∵A到焦点的距离为5，∴A到准线的距离也是5，
即3－＝5，解得p＝4.
故所求的抛物线标准方程为y2＝8x.
抛物线标准方程的实际应用
[例3] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由．
[思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．
[精解详析] 建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
当x＝3时，y＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．
代入得2p＝3，故抛物线方程为x2＝－3y.
已知集装箱的宽为3 m，
当x＝时，y＝－，而桥高为5 m，
所以5－＝4>4.
故卡车可通过此隧道．
[一点通]
1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．
6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m时，水面宽10 m，抛物线的方程可能是( )
A．x2＝－y B．x2＝－y
C．x2＝－y D．x2＝－y
解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则P(5，－6)在抛物线上．
∴25＝－2p(－6)，∴p＝.
∴抛物线方程为x2＝－y.
答案：A
7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－.
∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
1．确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
2．求抛物线标准方程的方法：
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．
1．抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A．(0，－4) B．(0，－2)
C．(－，0) D．(－，0)
解析：抛物线方程可化成x2＝－8y，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B.
答案：B
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．4 B．2
C．6 D．8
解析：∵a2＝6，b2＝2，
∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.
椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，p＝4.
答案：A
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A. B．－
C．8 D．－8
解析：由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－.
答案：B
4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
答案：A
5．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．
解析：因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.
答案：
6．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________．
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，故焦点F到抛物线准线的距离等于4.
答案：4
7．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．
(1)求焦点在直线2x－y＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)已知抛物线方程为2x2＋5y＝0，求其焦点和准线方程．
(3)已知抛物线方程为y＝mx2(m≠0)，求其焦点坐标及准线方程．
解：(1)直线2x－y＋5＝0与坐标轴的交点为，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y2＝－10x，x2＝20y.
其对应准线方程分别是x＝，y＝－5.
(2)抛物线方程即为x2＝－y，焦点为，准线方程：y＝.
(3)抛物线方程即为x2＝y(m≠0)，焦点为，准线方程y＝－.
8.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是，4＋＝5，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
则FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以N.
2.2 抛物线的简单性质
太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．
问题1：抛物线有几个焦点？
提示：一个．
问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？
提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．
问题3：抛物线有对称中心吗？
提示：没有．
问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？
提示：有；1条．
抛物线的简单性质
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图像
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
通径
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|＝2p
1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
3．抛物线的离心率是确定的，e＝1；
4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为.
利用抛物线性质求标准方程
[例1] 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程．
[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长等于2，可知交点纵坐标为±.
[精解详析] 如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
则|y1|＋|y2|＝2，
即y1－y2＝2.
由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.
将y1＝代入x2＋y2＝4得x＝±1，
∴点(1，)，(－1，)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上．
∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)，p＝.
故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
[一点通]
由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p的值，其主要步骤为：
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以＝3，p＝6.又因为对称轴是y轴，所以抛物线标准方程为x2＝±12y.
答案：C
2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB为等边三角形，且边长为1.∴A.
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴＝2p·，∴p＝，
∴抛物线方程为y2＝x，
同理，当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，方程为y2＝－x.
答案：C
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边所在的直线方程是y＝2x，求此抛物线的方程．
解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y＝－x.
由得三角形的一顶点为，
由得三角形的另一个顶点为(8p，－4p)，
由已知，得2＋(－4p－p)2＝(2)2.
解得p＝.故所求抛物线的方程为y2＝x.
抛物线的定义及性质的应用
[例2] 若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，求动点M的轨迹方程．
[思路点拨] “点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝0为准线的抛物线．
[精解详析] 如图，设点M的坐标为(x，y)．
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．
根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且＝4，即p＝8.
因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为：y2＝16x.
[一点通]
由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理．即：若p(x0，y0)是抛物线y2＝2px上任意一点，则p到焦点F的距离为|PF|＝x0＋(称为焦半径)．
4．平面上点P到定点(0，－1)的距离比它到y＝2的距离小1，则点P轨迹方程为________．
解析：由题意，即点P到(0，－1)距离与它到y＝1距离相等，即点P是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x2＝－4y.
答案：x2＝－4y
5．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．
解：将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
设P(x0，y0)，则y0＝2，
∴x0＝2.
故P点坐标为(2,2)．
与焦点弦有关的问题
[例3] 已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l过抛物线焦点F与抛物线交于A，B两点．
求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[思路点拨] 解答本题可设出A，B两点坐标，并用A，B的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．
[精解详析] 设直线l与抛物线两交点A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则中点M.
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p.
设圆心M到准线x＝－的距离为d，
则d＝＋＝，
∴d＝，
即圆心到准线x＝－的距离等于圆的半径．
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[一点通]
1．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．
2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，则①|AB|＝x1＋x2＋p，②x1·x2＝，y1y2＝－p2.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|的值为( )
A．10 B．8
C．6 D．4
解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝
x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
答案：B
7．(江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析：如图，直线MF的方程为＋＝1，
即x＋2y－2＝0.设直线MF的倾斜角为α，则tan α＝－.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以＝＝sin α＝.
答案：C
1．抛物线y2＝2px上的点P(x0，y0)到焦点F的距离(焦半径)：|PF|＝x0＋.
2．若过抛物线y2＝2px的焦点的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p(焦点弦公式)．当AB⊥x轴时，AB为通径且|AB|＝2p.
3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用．
1．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．2或－2
解析：由题意知抛物线方程可设为x2＝－2py(p＞0)，则＋2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.
答案：C
2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
3．(新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，
所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.
答案：C
4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
答案：B
5．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．
解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则F.
∴|y|＝＝＝|a|.
由于通径长为6，即2|a|＝6，
∴a＝±3.∴抛物线方程为y2＝±6x.
答案：y2＝±6x
6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)．
解析：由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．
又∵它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．
而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.
答案：②⑤
7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．
解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准抛物线方程为x＝－.
∵M在抛物线上，
∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即
∴ ＝ ＝3.
解得：p＝1，y0＝±2，
∴抛物线方程为y2＝2x.
∴点M(2，±2)，根据两点间距离公式有：
|OM|＝＝2.
8．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2、y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m2，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝.
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．故实数m的值为－8.
§3 双_曲_线
3．1 双曲线及其标准方程
双曲线的定义
2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．
问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？
提示：|MB|－|MA|＝340×3＝1 020(m)．
问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？
提示：始终满足|MB|－|MA|＝1 020.
双曲线的定义
定义
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线
焦点
定点F1，F2叫作双曲线的焦点
焦距
两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距
集合语言
P＝{M|＝2a,0＜2a＜|F1F2|}
双曲线的标准方程
上述问题中，设|AB|＝1 600＝2c, ||MA|－|MB||＝1 020＝2a.
问题1：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？
提示：(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
问题2：若以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？
提示：(c2－a2)y2－a2x2＝a2(c2－a2)．
双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图像
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)；F2(c,0)
F1(0，－c)；F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1．双曲线定义中＝2a(0<2a<|F1F2|)，不要漏掉绝对值符号．当2a＝|F1F2|时，表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．c2＝a2＋b2与椭圆中的a2＝b2＋c2不同．
双曲线的标准方程
[例1] 根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
[思路点拨] 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．
[精解详析] (1)法一：(待定系数法)
由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程得
－＝1，又a2＋b2＝9，
解得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
法二：(定义法)
由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，
则2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
即双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：若焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
所以解得
若焦点在y轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
同理有
解得(不合题意，舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法：
(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．
(2)用待定系数法，具体步骤如下：
1．已知椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意知椭圆C1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有a2＋b2＝9，且2a＝4.
∴a2＝4，b2＝5，故选A.
答案：A
2．已知双曲线经过点P(3,2)和点Q(－6，7)，求该双曲线的标准方程．
解：设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，又双曲线过P，Q两点，
∴解得
故所求双曲线标准方程为－＝1.
3．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．
解：因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，
A点的坐标为(，4)或(－，4)，
设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
所以
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
曲线类型的判定
[例2] 已知曲线C：＋＝1(t≠0，t＝±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
[思路点拨] 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论．
[精解详析] (1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；
当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
当|t|<1时，双曲线C的方程为－＝1，
∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．
[一点通]
方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示椭圆的充要条件为A>0，B>0，且A≠B；表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的．
4．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和a＝5时，P点的轨迹是( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
解析：由题意，|F1F2|＝10，当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6＜10，此式中没有加绝对值，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点沿x轴向右的一条射线．
答案：C
5．若方程－＝1表示双曲线，则实数m满足( )
A．m≠1且m≠－3 B．m ＞1
C．m＜－或m＞ D．－3＜m＜1
解析：因为方程－＝1表示双曲线，而m2＋1＞0恒成立，所以m2－3＞0，解得m＜－或m＞，故选C.
答案：C
双曲线的定义及应用
[例3] 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[思路点拨] 欲求△F1PF2的面积，可考虑用|PF1||PF2|sin∠F1PF2求解，只要求出∠F1PF2的正弦值即可．而△F1PF2的三边中，|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．
[精解详析] 由双曲线方程－＝1，
可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，
将此式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[一点通]
双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正弦、余弦定理，同时要注意整体代换思想的应用．
6．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
所以|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2c＝2，
又因为∠F1PF2＝60°，所以在△F1PF2中利用余弦定理可知：
|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝4，故选B.
答案：B
7．在△ABC中，|BC|＝2且sin C－sin B＝sin A，求点A的轨迹方程．
解：以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．设A(x，y)，由sin C－sin B＝sin A及正弦定理可得
|AB|－|AC|＝|BC|＝1<2＝|BC|，
∴点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵2a＝1,2c＝2，∴a＝，c＝1，
∴b2＝c2－a2＝，∴双曲线方程为4x2－＝1.
∵|AB|－|AC|＝1>0，∴x>，
∴点A的轨迹方程是4x2－＝1.
1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．
2．用待定系数法求双曲线的标准方程的关键是判断焦点所在的位置．
1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1或21 B．14或36
C．2 D．21
解析：设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.
答案：D
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则由
解得
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案：A
3．k<2是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：∵k<2?方程＋＝1表示双曲线，
而方程＋＝1表示双曲线?(4－k)(k－2)<0?k<2或k>4?/ k<2.
答案：A
4．设P为双曲线x2－＝1上的 一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C．12 D．24
解析：由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2.由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0.
∴三角形PF1F2为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
答案：B
5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
6．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝x上，则C的方程为________．
解析：点P(2,1)在直线y＝x上，则1＝，a＝2b ①.
双曲线的焦距为10，则有a2＋b2＝52，将①代入上式可得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的方程为－＝1.
答案：－＝1
7．已知双曲线C1：x2－＝1.求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程．
解：双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
8．若双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|⊥|PF2|，求此双曲线的方程．
解：∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.
则b2＝c2－a2＝20.
故所求的双曲线方程为－＝1.
3．2 双曲线的简单性质
如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心(ADNEC)．阿布扎比是阿联酋的首都，这个双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心．它的形状就像一条双曲线．
这是双曲线在建筑学上的应用，要想让双曲线更多更好的为生活、工作所应用，我们必须研究双曲线的性质．
问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？
提示：坐标轴；原点．
问题2：双曲线的离心率越大，双曲线就越开阔吗？
提示：是．离心率越大，越大，双曲线就越开阔．
双曲线的性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图像
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
对称性
对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
渐近线
±＝0或y＝± x
±＝0或y＝±x
离心率
e＝(e＞1)
1椭圆有四个顶点，而双曲线有两个顶点．
2．双曲线有两条渐近线，双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)．
3．双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2＝a2＋b2.
双曲线的简单性质
[例1] 求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．
[思路点拨] 先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．
[精解详析] 将双曲线方程4x2－y2＝4化为标准方程x2－＝1，
∴a＝1，b＝2，∴c＝.
因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－，0)，F2(，0)；
实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2；
离心率e＝＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±2x.
[一点通]
由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式－＝1，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为a2，b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案．
1．(福建高考)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B.
C．1 D.
解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.
答案：B
2．求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
解：把方程化为－＝1，
∴a＝4，b＝3，c＝5.
∴实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
焦点坐标(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
利用双曲线的性质求双曲线方程
[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)实轴长为16，离心率为；
(2)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
[思路点拨] 由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值．
[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2，
解得c＝10，a＝8，b＝6，
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为：－y2＝1.
[一点通]
根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法．首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．
3．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且它的离心率为，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝50 B．x2－y2＝24
C．x2－y2＝－50 D．x2－y2＝－24
解析：因为双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，分别为(0，－4)和(0,4)，因为双曲线的离心率为，所以＝＝，所以a＝2，b＝2，所以双曲线的方程为y2－x2＝24，即x2－y2＝－24.
答案：D
4．(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过P(，2)，求双曲线方程；
(2)求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)的双曲线方程．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意可得?
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝.
－＝1，解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
求双曲线的离心率
[例3] 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．
[思路点拨] 确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．
[精解详析] 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，由于在双曲线中c>b，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以＝tan 30°，c＝b，所以a＝b，离心率e＝＝＝.
[一点通]
双曲线－＝1(a>0，b>0)中有三类特殊点：焦点(±c,0)、顶点(±a,0)、虚轴的两个端点(0，±b)．求双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a，c的关系．在用几何图形给出的问题中，要善于利用几何图形的性质分析解决．
5．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是( )
A．－3 B.
C．3 D．－
解析：双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－.
答案：D
6．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,3) B．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|(当P为双曲线右顶点时取等号)，
∴6a≥2c.∴≤3.
又e>1，∴1答案：B
7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．
解析：如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．
|F1N|＝c，|NF2|＝c.
又∵|NF1|－|NF2|＝2a，
即c－c＝2a.∴e＝＝＝＋1.
答案：＋1
1．由已知双曲线的方程求双曲线的性质时，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错．
2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手．
3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A>0，B>0且A≠B时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线．
1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：C
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：双曲线标准方程为：y2－＝1，
∴a2＝1，b2＝－.
由题意b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.
答案：A
3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由方程组得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：B
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意，得|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|MF1|＝c.
由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝c＝2a，所以e＝＝.
答案：B
5．双曲线＋＝1的离心率为e，e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
解析：由题意知k<0，且a＝2，c＝，
∴1<<2，解得－12答案：(－12,0)
6．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
解析：设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，所以|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝－|PF′|＋|MF|－|FN|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
答案：－1
7．根据以下条件，求双曲线的标准方程．
(1)过P(3，－)，离心率为；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2即a2＝b2.①
又过点P(3，－)有：－＝1，②
由①②得：a2＝b2＝4，
双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
同理有：a2＝b2，③
－＝1，④
由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．
综上所述，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆方程＋＝1，
知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，
半焦距c1＝＝，
所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．
因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设条件及双曲线的性质，有
解得
即双曲线方程为－y2＝1.
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.
法二：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
§4 曲线与方程
4．1 曲线与方程
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．
问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？
提示：相等．
问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上吗？
提示：不一定．
问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y＝±x.
方程的曲线、曲线的方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．
判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
曲线与方程的概念的理解
[例1] (1)判断点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值．
[思路点拨] 由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．
[精解详析] (1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
把点B(－3，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点C(，2)的坐标代入x2＋y2＝25，得()2＋(2)2＝25，满足方程，但因为横坐标不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点M(m，)，N在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，×＝n2(n2－1)，解得m＝±，n＝±或±.
[一点通]
1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．
(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；
(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．
2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：点M在曲线y2＝4x上，若点M(x0，y0)，则y＝4x0，不能得出y0＝－2；若点M(x0，y0)满足方程y＝－2，则y0＝－2，∴y＝4x0，故为必要不充分条件．
答案：B
2．判断下列结论的正误，并说明理由．
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝0；
(2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x＝0.
解：(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3，
∴结论不正确．
(2)∵到x轴距离为2的点的轨迹方程是y＝±2，
∴结论错误．
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．
(4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0(－3≤y≤0)，
∴结论错误.
由方程确定曲线
[例2] (1)方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？
(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
[思路点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析．
[精解详析] (1)由方程(x＋y－1)＝0可得：
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)，
(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，
而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴∴
∴方程表示的图形为点A(1，－1)．
[一点通]
曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．
3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是( )
解析：原方程可化为
或或
或
作出其曲线为D.
答案：D
4．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是( )
A．一个点
B．两条互相平行的直线
C．两条互相垂直的直线
D．两条相交但不垂直的直线
解析：∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，
∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，
∴2x＋1＝±(y－1)，
∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．
答案：D
5．方程＝表示的曲线为( )
A．两条线段 B．两条直线
C．两条射线 D．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.
∴有y＝|x|，|x|≤1.
∴曲线表示两条线段，故选A.
答案：A
求曲线的方程
[例3] 如图已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，求动点P的轨迹方程．
[思路点拨] 本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后由·＝·得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可得P的轨迹方程．
[精解详析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，＝(x＋1,0)，＝(2，－y)，＝(x－1，y)，＝(－2，y)，
由·＝·，
∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即动点P的轨迹方程为y2＝4x.
[一点通]
1．求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法)．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．
2．直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法．
6．已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0)
D．y＝(x≠±1)
解析：设动点P的坐标为(x，y)，则kPA＝(x≠－1)，
kPB＝(x≠1)．
∵kPA·kPB＝－1，
∴·＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．
答案：B
7．已知△ABC的两个顶点A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
解：设△ABC的重心G(x，y)，C(x0，y0)，
则即
∵点C在y＝3x2－1上，
∴y0＝3x－1，即3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
整理得y＝9x2＋12x＋3.
∴△ABC的重心G的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.
8．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．
解：设点C的坐标为(x，y)，
∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点，
∴|AB|＝|AC|
又∵|AB|＝＝2，
∴|AC|＝＝2，
∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.
又∵点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线，
∴x≠－2且x≠10，
∴点C的轨迹方程为
(x－4)2＋(y－2)2＝40(x≠－2且x≠10)．
1．理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意：
(1)曲线上点的坐标都是方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．
1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C.＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析：考察每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A，B，C中各对曲线的x与y的取值范围不一致．
答案：D
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P为(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得 ＝2，
即(x－2)2＋y2＝4，∴点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π.
答案：B
3．方程x2＋xy＝x的曲线是( )
A．一个点 B．一个点和一条直线
C．一条直线 D．两条直线
解析：x2＋xy＝x，即x2＋xy－x＝0，
∴x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.
故方程表示两条直线．
答案：D
4．已知点A(0，－1)，点B是抛物线y＝2x2＋1上的一动点，则线段AB的中点M满足的方程为( )
A．y＝2x2 B．y＝4x2
C．y＝6x2 D．y＝8x2
解析：设B(x0，y0)，M(x，y)．
∵M是AB的中点，
∴x＝，y＝，得x0＝2x，y0＝2y＋1.
又∵B(x0，y0)在抛物线y＝2x2＋1上，∴y0＝2x＋1，
即2y＋1＝2(2x)2＋1，因此y＝4x2，故M满足的方程为y＝4x2.
答案：B
5．在△ABC中，已知A(2,0)，B(－1,2)，点C在直线2x＋y－3＝0上移动．则△ABC的重心G满足的方程为________．
解析：设△ABC的重心G的坐标为(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，则
∴
∵ 点C在直线2x＋y－3＝0上，故有6x＋3y－7＝0，
又∵重心G不在AB上，故x≠，y≠，
∴重心G满足的方程为6x＋3y－7＝0(x≠)．
答案：6x＋3y－7＝0(x≠)
6．方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中正确的命题是________．
解析：当4－k＝k－1，即k＝时表示圆，命题①不正确；显然k＝∈(1,4)，∴命题②不正确；若曲线C为双曲线，则有(4－k)(k－1)<0，即k<1或k>4，故命题③正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4－k>k－1>0，解得1答案：③④
7．已知直角三角形ABC，∠C为直角，A(－1,0)，B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．
解：设C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．
∵∠C为直角，
∴⊥，即·＝0，
即(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得
x2＋y2＝1.
∵A，B，C三点要构成三角形，
∴A，B，C不共线，∴y≠0，
∴C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
8．设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥.当点P在y轴上运动时， 求N点的轨迹C的方程．
解：∵＝2，故P为MN中点．
又∵⊥，P在y轴上，F为(1,0)．
故M在x轴的负方向上，设N(x，y)(x>0)，
则M(－x,0)，P(0，)，
∴＝(－x，－)，
＝(1，－)．
又∵⊥，故·＝0，
即－x＋＝0，∴y2＝4x(x>0)．
即N点的轨迹C的方程为y2＝4x(x>0)．
4．2 & 4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上点M(x，y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线x＝的距离比是常数e.
问题1：若F(4,0)，l：x＝，e＝，则点M的轨迹方程是什么？轨迹呢？
提示：＋＝1，椭圆．
问题2：若F(5,0)，l：x＝，e＝，则点M的轨迹方程是什么？轨迹呢？
提示：－＝1，双曲线．
圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.
当0当e>1时，圆锥曲线是双曲线；
当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．
直线与圆锥曲线的交点
问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？
提示：正确．
问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？
提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点．
问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线－＝1仅有一个交点？
提示：3条．
曲线的交点
设曲线C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．
圆锥曲线共同特征的应用
[例1] 曲线上的点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到直线l：x＝的距离之比是常数，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P使|PF|＝5.
[思路点拨] (1)可由|MF|与d(d为M到l：x＝的距离)比为，列出M(x，y)满足的关系，进而求出曲线的方程．
(2)由|PF|＝5，可得P到l的距离为4，从而可求得P的坐标．
[精解详析] (1)设d是点M到定直线l的距离，根据题意，曲线上的点M满足＝，
由此得＝，
即 ＝，
两边平方整理得－＝1.
(2)设P(x，y)到l的距离为d，由|PF|＝5，得d＝4.
即＝4，解得x＝或x＝－.
由于|x|≥4，故x＝－不合题意，舍去．
由x＝得y＝±.
∴点P的坐标为.
[一点通]
圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．
1.抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
解析：由抛物线定义：
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3.
答案：A
2．已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．
解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2.
∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.
设P到右准线l的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋D.
当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小，如图．
把y＝2代入＋＝1，
得x＝(负值舍去)，
即P为所求的点.
直线与圆锥曲线的交点
[例2] 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
[思路点拨] 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m的范围．
[精解详析] 法一：由于椭圆的焦点在x轴上，知
0又∵直线与椭圆总有公共点，
∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上，
∴＋≤1，即m≥1，
故m的取值范围是m∈[1,5)．
法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x轴上知0由
得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
又直线与椭圆有公共点，
∴上述方程的Δ≥0对一切k都成立，
即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，
亦即5k2≥1－m对一切k都成立，
∴1－m≤0，即m≥1，故m的取值范围是m∈[1,5)．
[一点通]
解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．
3．已知直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支相交于不同两点，则k的取值范围是________．
解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0 ①，直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以解得－＜k＜－1.
答案：
4．求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
解：①若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
②若直线的斜率存在，设方程为y＝kx＋1，
由得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0，当k＝0时，解得y＝1，
即直线y＝1与抛物线只有一个公共点．
当k≠0时，由Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得k＝.
即直线y＝x＋1与抛物线只有一个公共点．
综上所述，所求直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
中点弦、弦长问题
[例3] 过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
[思路点拨] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程求得A，B的坐标，根据两点间的距离公式求|AB|.
[精解详析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①
显然x1≠x2，故由①得
kAB＝＝－.
因为点P是AB的中点，所以有
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②
把②代入①得kAB＝，故AB的直线方程是
y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由消去y得3x2＋6x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝
＝·
＝ ·＝.
[一点通]
1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.
2．直线y＝kx＋b与曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)．
5．已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线l经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b＞0)，
由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，
则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线l的方程为y＝x－2，
联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝6.
6．已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．
解：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P为弦AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又∵A，B在椭圆上，
∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴＝＝－，即kAB＝－.
∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下：
(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．
(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB|＝ |x1－x2|＝ ·|y1－y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．
(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
[对应课时跟踪训练(二十一)]
1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：点(2,4)位于抛物线y2＝8x上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．
答案：B
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)
解析：由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，
则解得
由＋＝1表示椭圆知，m＞0且m≠3.
综上可知，m的取值范围是m＞1且m≠3.
答案：B
3．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．
答案：B
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，
所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：B
5．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________．
解析：法一：显然直线AB存在斜率，
设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB方程为y－1＝k(x－2)，由
得(3－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－4＝0，
∴x1＋x2＝＝4，∴k＝6.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
y1＋y2＝2，且x－＝1，x－＝1.
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝.
显然x1－x2≠0，
∴＝＝6，即kAB＝6.
答案：6
6．已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x＝3的距离的比为，则动点M的轨迹方程为________．
解析：设M(x，y)，则＝，
∴3(x－1)2＋3y2＝(x－3)2.
∴2x2＋3y2＝6.
∴所求方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离．
解：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|，
由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y＝(x－2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去x得y2＝8?y2－6y－16＝0?y1＝8，y2＝－2.
∴|AB|＝ |y1－y2|＝，
由抛物线的定义知：|PQ|＝|AB|＝.
8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积．
解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.
∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，
联立消去y得5x2＋6x－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝
＝＝＋1
＝，
∴中点坐标为M.
(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，
|AB|＝·＝，
∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，
△ABF2的周长＝4a＝4.
[对应学生用书P66]
一、圆锥曲线的定义
1．椭圆：
平面内到两定点F1，F2距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合．
2．抛物线：
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合．
3．双曲线：
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零小于|F1F2|)的点的集合．
圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
二、圆锥曲线的标准方程与简单性质
1．圆锥曲线的标准方程：
椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程．根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式．
2．圆锥曲线的简单几何性质：
(1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件．
(2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴．
(3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点．
(4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程也不同．
(5)圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转化是解题的重要依据．
三、轨迹方程的问题
求轨迹方程的几种常用方法：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义，则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．
四、直线与圆锥曲线位置关系
1．直线与圆锥曲线位置关系问题是高考热点，涉及直线与圆锥曲线中的弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值、定点、定值等问题．
2．这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的判别式以及根与系数的关系相结合，与函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合，解决方法主要是通过解方程组，转化为一元方程，与中点弦有关的问题也可用“点差法”，解决问题的过程中，要注意“整体代换”思想的应用．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
解析：抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(－2,0)．
答案：B
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：因为椭圆的长轴长2a是短轴长2b的倍，所以a＝b，则c＝＝b，所以椭圆的离心率e＝＝＝.
答案：B
3．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
解析：当顶点为(±4,0)时， 对于双曲线，a＝4，c＝8，b＝4，则双曲线的标准方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，对于双曲线，a＝3，c＝6，b＝3，则双曲线的标准方程为－＝1.
答案：C
4．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：直线l与x轴交于(－2,0)，与y轴交于(0,1)．由题意知c＝2，b＝1，
∴a＝，∴e＝＝.
答案：D
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x＝－.
∴3－＝4，∴p＝2.
答案：C
6．一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：圆C的方程即(x－3)2＋y2＝1，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.
∵圆P与圆O外切而与圆C内切，
∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，又|OC|＝3，
∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
答案：A
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，
则c又e∈(0,1)，∴e∈.
答案：C
8．两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是2，且a>b，则双曲线－＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知解得a＝5，b＝4，
∴c＝＝＝.
∴双曲线的离心率e＝＝.
答案：D
9．(浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
解析：设焦点F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
答案：B
10．(浙江高考)如图F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
答案：D
11．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．
解析：由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(，0)，设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．若曲线＋＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是________．
解析：∵k＋5>k－2，∴当k＋5>k－2>0时，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．此时c2＝(k＋5)－(k－2)＝7，焦点坐标为(0，±)．
当k＋5>0>k－2时，方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线．此时c2＝(k＋5)＋(2－k)＝7焦点坐标为(0，±)．
答案：(0，±)
13．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________．
解析：据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，
则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，
∴等边三角形的边长为4，其面积为4.
答案：4
14．以下是关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|||－|||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP―→＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于③④，显然成立．
答案：③④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足·－y2＋8＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C ，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
解：(1)由题意可知，＝(－x,4－y)，＝(－x，－2－y)，
∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0，∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由整理得x2－2x－4＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，
∵kOC·kOD＝·＝
＝
＝＝－1，
∴OC⊥OD.
16．(本小题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
解：由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c，0)，
则M点的横坐标为c.
∴M点的坐标为.
∴＝，
＝.
∴·＝c2.
由已知得c2＝2，∴c＝2.
又在Rt△MF1F2中，
|F1F2|＝4，|MF2|＝，
∴|MF1|＝＝3.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.
∴a＝2.∴b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
17．(本小题满分12分)(陕西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，
即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
设AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．
18．(本小题满分14分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解：(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－，
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
第三章 圆锥曲线与方程
高考七大高频考点例析[对应学生用书P68]
命题及其关系
考查方式
以四种命题、逻辑联结词为主要内容．考查四种命题之间的关系及含有逻辑联结词的命题的真假，主要以选择题、填空题为主，属容易题．
备考指要
1.要掌握互为逆否的两个命题是等价的，对某些命题的判断可以转化为判断其逆否命题．
2.命题p∨q中，p，q有真则真；命题p∧q中，p，q有假则假.
[例1] (2012·重庆高考)命题“若p则q”的逆命题是( )
A．若q则p B．若綈p则綈q
C．若綈q则綈p D．若p则綈q
[解析] 根据逆命题的概念可知，“若p则q”的逆命题为“若q则p”．
[答案] A
1．设集合A＝{x|－2－a0}，p：1∈A，q：2∈A.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(0,1)∪[2，＋∞)
C．(1,2] D．[1,2]
解析：若p为真，则－2－a<11.
若q为真，则－2－a<22.
依题意，得p假q真，或p真q假．
即或∴1答案：C
2．(天津高考)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：命题①由球的体积公式可知，一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，正确；命题②两组数据的平均数相等，若其离散程度不同，则它们的标准差也不相等，故该命题错误；命题③圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，与圆x2＋y2＝的半径相等，故直线与圆相切，该命题正确．
答案：C
充分条件与必要条件
考查方式
充分条件，必要条件可以与各章内容相结合，是历年高考考查的热点之一，题型主要以选择题，填空题为主．
备考指要
1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性．
(1)若“p?q”，且“p?/q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”．
(2)若“p?q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；
2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命题的等价性进行判断.
[例2] (浙江高考)已知函数f(x)＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] f(x)是奇函数?φ＝＋kπ，k∈Z；φ＝?f(x)是奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．
[答案] B
3．命题p∶2x≥x，命题q∶x2≥－x，则命题p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：命题p∶A＝[0，＋∞)，命题q∶B＝[0，＋∞)∪(－∞，－1]．故A?B，所以p是q的充分不必要条件．
答案：A
4．(山东高考)给定两个命题p，q.若綈 p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为綈 p是q的必要而不充分条件，所以綈q是p的必要而不充分条件，即p是綈q的充分而不必要条件．
答案：A
全称量词与存在量词
考查方式
主要考查全称命题与特称命题的真假判断，以及含有一个量词的命题的否定，题型主要是选择题、填空题．
备考指要
1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
2.特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x，使p(x)成立即可．否则，这一特称命题为假．
3.全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．
4.注意命题的否定与否命题的区别.
[例3] 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．存在x∈R，都有x2<0
B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x∈R，都有x2≥0
D．不存在x∈R，使得x2<0
[解析] 由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在x∈R，使得x2<0.
[答案] A
5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
答案：B
6．(辽宁高考改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0”．
答案：C
利用空间向量解决平行、垂直问题
考查方式
空间向量是高考的重要内容之一，尤其是在立体几何的解答题中．建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面位置关系，特别是平行与垂直关系是高考必考内容之一，属中、低档题，难度不大．
备考指要
利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中的关于平行和垂直的定理，再通过向量的运算来解决．建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标是解题的关键.
[例4] 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．
(1)求证：AC⊥PB；
(2)求证：PB∥平面AEC.
[证明] (1)建立空间直角坐标系如图．
设AC＝a，PA＝b，则有A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(a,0,0)，P(0,0，b)，
∴＝(a,0,0)，＝(0，b，－b)，从而·＝0.
∴AC⊥PB.
(2)连接BD，与AC相交于O，连接EO.
由已知得D(a，－b,0)，E，O，
∴＝.
又＝(0，b，－b)，∴＝2，∴PB∥EO，
又PE?平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC.
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长．求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
则E，F，
故＝，
又＝(0,1,0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，
而·＝(0,1,0)·＝0，
∴⊥.
又E?平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.
8.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为EC的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
证明：由题意易知AD，CD，ED两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，
C(0,4,0)，E(0,0,2)．
(1)∵M是CE的中点，
∴M(0,2,1)，
∴＝(－2,0,1)．
由题意知CD⊥平面ADEF，
∴＝(0,4,0)是平面ADEF的一个法向量．
∴·＝0.
又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.
(2)＝(2,2,0)，＝(0,0,2)．
设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量．
则
即令x＝1，
∴n＝(1，－1,0)是平面BDE的一个法向量，
同理，求得平面BEC的一个法向量n0＝(1,1,2)，
∵n·n0＝1×1＋(－1)×1＋0＝0，
∴平面BDE⊥平面BEC.
利用空间向量求空间角、距离
考查方式
利用空间向量求两条异面直线的夹角，直线与平面的夹角以及两平面的夹角与距离是高考的重点和热点，主要以解答题为主，为中档题，每年必考．
备考指要
利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可．
1.若两条异面直线的方向向量为a，b，夹角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|.
2.直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面的夹角θ，sin θ＝|cos〈u，n〉|.
3.两平面的法向量为n1，n2，两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
4.平面α的法向量为n，P∈α，A?α，为直线PA的方向向量，A到平面α的距离为d，d＝.
[例5] 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连接CE并延长交AD于F.
(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
[解] (1)在△ABD中，因为点E是BD的中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，
故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝.
因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，
从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，
所以∠FED＝∠FEA，
故EF⊥AD，AF＝FD.又PG＝GD，所以FG∥PA.
又PA⊥平面ABCD，
所以GF⊥AD，又EF∩GF＝F，故AD⊥平面CFG.
(2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝.
设平面BCP的法向量n1＝(1，y1，z1)，
则即
解得即n1＝.
设平面DCP的法向量n2＝(1，y2，z2)，
则即
解得
即n2＝(1，，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos θ＝＝＝.
9．(陕西高考)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3,0)，A(0,0，)，E，
∴＝，＝(1,0,0)，
∴与夹角的余弦值为
cos〈，〉＝＝＝.
10．(上海高考)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，A′A＝1，证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．
解：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A(1,0,1)，B(1,2,1)，C(0,2,1)，C′(0,2,0)，D′(0,0,0)．
则＝(1,0,1)，＝(0,2,1)，
设平面D′AC的法向量n＝(u，v，w)，由n⊥，n⊥，
得n·＝0，n·＝0，即
解得u＝2v，w＝－2v，取v＝1，得平面D′AC的一个法向量n＝(2,1，－2)．
因为＝(－1,0，－1)，所以n·＝0，
所以n⊥.
又BC′?平面D′AC，所以BC′∥平面D′AC.
由＝(1,0,0)，得点B到平面D′AC的距离d＝＝＝，所以直线BC′到平面D′AC的距离为.
圆锥曲线的定义与性质
考查方式
主要考查椭圆、抛物线、双曲线的简单性质、待定系数法求圆锥曲线方程，圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考热点，双曲线的渐近线也是高考重要内容，选择题、填空题、解答题都有可能出现．
备考指要
对于圆锥曲线的有关问题．“回归定义”是一种重要解题策略，应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合思想、方程思想的应用.
[例6] (辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
[解析] 在三角形ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF，又|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，解得|BF|＝8.在三角形ABF中，|AB|2＝102＝82＋62＝|BF|2＋|AF|2，故三角形ABF为直角三角形．
设椭圆的右焦点为F′，连接AF′，BF′，根据椭圆的对称性，四边形AFBF′为矩形，则其对角线|FF′|＝|AB|＝10，且|BF|＝|AF′|＝8，即焦距2c＝10，又根据椭圆的定义，得|AF|＋|AF′|＝2a，所以2a＝|AF|＋|AF′|＝6＋8＝14.故离心率e＝＝＝.
[答案]
11．(新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：由题意知：F，准线方程为x＝－，
则由抛物线的定义知，xM＝5－，
设以MF为直径的圆的圆心为，
所以圆的方程为2＋2＝，
又因为过点(0,2)，所以yM＝4，
又因为点M在C上，所以16＝2p，
解得p＝2或p＝8，
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
答案：C
12．(浙江高考)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝，
∵tan∠COx＝2，
∴sin∠COx＝，cos∠COx＝，
则C的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴b2＝.
答案：C
直线与圆锥曲线的位置关系
考查方式
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值定点、定值等问题，题型以解答题为主，这类题目综合性强，难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．
备考指要
处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立方程组消元法得到一元二次方程，要注意直线的斜率不存在的情形，分析解决这类问题，往往利用数形结合的思想，以及“设而不求”的方法，由于运算量较大，要注意运算结果的准确性.
[例7] (陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
[解] (1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|.
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，
∴|O1M|＝ .
又|O1A|＝ ，
∴＝ .
化简得y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)如图，由题意，
设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝.①
x1x2＝.②
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
将①②代入③并整理得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b.此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，
即直线l过定点(1,0)．
13．已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1,3)，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知l的方程为y＝x＋2，代入C的方程并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝.
由M(1,3)为BD的中点知＝2，即b2＝3a2.
故c＝＝2a，e＝＝2.
答案：2
14．(陕西高考)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝，
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以
x＝，由＝2，
得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
15．(江西高考)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由P在椭圆上，得＋＝1.①
依题设知a＝2c，则b2＝3c2.②
将②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一：由题意可设AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)．③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12，并整理，得
(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x1＋x2＝，x1x2＝.④
在方程③中令x＝4，得M的坐标为(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
注意到A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，
即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋
＝＋－
＝2k－·.⑤
将④代入⑤，得k1＋k2＝2k－·＝2k－1.
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．
法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，从而直线PM的斜率为k3＝，
联立得A，
则直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为k2＝，所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，故存在常数λ＝2符合题意．
模块综合检测
(时间 90分钟，满分 120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”．故应选 D.
答案：D
2．有下面三个判断，其中正确的个数是( )
①命题：“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；
②若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题；
③命题“对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a－b－1)成立”的否定是“存在a，b∈R，使a2＋b2≤2(a－b－1)成立”．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：命题①的逆否命题为“设a，b ∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，命题为真．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，所以②错误．易知命题③错误．
答案：B
3．(陕西高考)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a，b为向量，设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝||a|·|b|cos θ |＝|a||b|从而得|cos θ|＝1，cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a∥b，反之也能够成立，为充分必要条件．
答案：C
4.＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．± B.
C. D.
解析：设F1为椭圆＋＝1的左焦点，F2为右焦点，PF1与y轴的交点为M.
∵M是PF1的中点，∴MO∥PF2，∴PF2⊥x轴．
又半焦距c＝＝3，
∴设P(x，y)，则x＝3，
代入椭圆方程得＋＝1，解得y＝±.
∴M点纵坐标为±.
答案：A
5．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.
答案：D
6.已知正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF夹角的余弦值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A－BCD中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴·＝·＋·＝4，
||2＝＋·＋＝1－4＋16＝13.
||＝，同理||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
答案：A
7．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为( )
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x＋y＋4＝0
解析：设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由y＝8x1，y＝8x2，
两式相减得：得(y1＋y2)·(y1－y2)＝8(x1－x2)，
又P(3,2)是AB的中点，∴y1＋y2＝4，
∴直线l的斜率k＝＝2，
∴直线l的方程为2x－y－4＝0.
答案：A
8．P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )
A．4 B．7
C．6 D．5
解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x2＋y2＝4c2，
故4a2＝(x－y)2＝4c2－36，
又＝，∴c＝5，a＝4，b＝3.
答案：B
9．在正棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，直线AC与平面A1BC的夹角为θ，平面ABC与平面A1BC的夹角为φ，则θ与φ的大小关系是( )
A．θ>φ B．θ<φ
C．θ＝φ D．大小不确定
解析：建立空间直角坐标系，如图．
则B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，＝(0,2,0)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(1，y，z)
则得y＝z＝，n＝(1，，)，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
又＝(0,0,2)是平面ABC的一个法向量，
∴cos φ＝|cos〈，n〉|＝＝，
sin φ＝＝>sin θ.∴φ>θ.
答案：B
10．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A．5 B．4
C．3 D．1
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵存在x∈R,2x2－3ax＋9＜0为假命题，
∴任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2 ]
12．设点O(0,0,0)，A(1，－2,3)，B(－1,2,3)，C(1,2，－3)，若与的夹角为θ，则cos θ＝________.
解析：＝(1，－2,3)，＝(2,0，－6)，
∴cos θ＝＝－.
答案：－
13．斜率为的直线与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
∴＞，即b＞a，∴b2＞3a2，∴c2－a2＞3a2，
∴e2－1＞3，∴e＞2.
答案：(2，＋∞)
14．(福建高考)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：∠MF1F2是直线的倾斜角，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，所以△MF2F1是直角三角形，在Rt△MF2F1中，|F2F1|＝2c，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以e＝＝＝＝－1.
答案：－1
三、解答题
15．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：解不等式x2－8x－20＞0得p：A＝{x|x＞10或x＜－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2＞0得q：B＝{x|x＞1＋a或x＜1－a，a＞0}．
依题意，p?q但q不能推出p，说明A?B.
于是，有解得0＜a≤3.
∴正实数a的取值范围是(0,3]．
16．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)如果l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)设|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)∵y2＝4x，∴F(1,0)，又∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，
由根与系数的关系得易得AB的中点，即圆心的坐标为(3,2)，
又|AB|＝x1＋x2＋p＝8，∴圆的半径r＝4，
∴所求的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.
(2)∵|FA|＝2|BF|，∴＝2，
而＝(x1－1，y1)，＝(1－x2，－y2)，
∴
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)·x＋k2＝0，
由根与系数的关系得
∵x1－1＝2(1－x2)，
∴或∴k＝±2，
∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．
17．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.
(1)求平面A′FD与平面FDC的夹角的余弦值；
(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．
解：(1)取线段EF的中点H，连接A′H，
因为A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H?平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF.
如图建立空间直角坐标系，
则A′(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)．
故＝(－2,2,2)，＝(6,0,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
所以
取z＝，则n＝(0，－2，)．
又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1)，
故cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角A′－FD－C的余弦值为.
(2)设FM＝x，则M(4＋x,0,0)，
因为翻折后，C与A′重合，所以CM＝A′M，
故(6－x)2＋82＋02＝(－2－x)2＋22＋(2)2，
得x＝，
经检验，此时点N在线段BC上．
所以FM＝.
18．(本小题满分14分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(－1，)在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝，求k的值．
解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，即m2＝k2＋1.
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0?k2>0?k≠0，x1＋x2＝－，
x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
·＝x1x2＋y1y2＝＝，
∴k＝±1.
