§1 离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量
(1)掷一枚均匀的骰子，出现的点数．
(2)在一块地里种下10颗树苗，成活的棵数．
(3)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，所含红球的个数．
问题1：上述现象有何特点？
提示：各现象的结果都可以用数表示．
问题2：现象(3)中红球的个数x取什么值？
提示：x＝0,1,2,3,4.
问题3：掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上，其结果能用数字表示吗？
提示：可以，如用数1和0分别表示正面向上和反面向上．
1．随机变量
将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母X，Y来表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.
离散型随机变量的分布列
1．抛掷一枚均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数．
问题1：X的可能取值是什么？
提示：X＝1,2,3,4,5,6.
问题2：X取不同值时，其概率分别是多少？
提示：都等于.
问题3：试用表格表示X和P的对应关系．
提示：
X
1
2
3
4
5
6
P
问题4：试求概率和．
提示：其和等于1.
1．离散型随机变量的分布列的定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，(1)
或把上式列成表
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列．
2．离散型随机变量的性质
(1)pi＞0；(2)p1＋p2＋p3＋…＝1.
1．随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字随着试验结果的变化而变化，称为随机变量．
2．判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出．
3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概率．
随机变量的概念
[例1] 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.
[思路点拨] 把随机变量的取值一一列举出来，再说明每一取值与试验结果的对应关系．
[精解详析] (1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．
[一点通] 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．
1．下列变量中属于离散型随机变量的有________．
①在2 014张已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取一张，被取出的编号数为X；
②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；
③从2 014张已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X；
④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X；
⑤投掷一枚骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X.
解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量．④中X的取值为某一范围内的实数，无法全部列出，不是离散型随机变量．⑤中X的取值确定，是6，不是随机变量．
答案：①②③
2．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，设抽取次数为X，则X＝3表示的试验结果是________．
解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．
答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品
3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．
解：设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.
依题意得X＝x－y.
则－5≤X≤5，
即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
则X＞4?X＝5，表示x＝6，y＝1，
即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
离散型随机变量分布列的性质
[例2] 已知随机变量X的分布列：
X＝i
1
2
3
4
5
P(X＝i)
a
(1)求a；
(2)求P(X≥4)，P(2≤X＜5)．
[思路点拨] (1)利用分布列中所有概率和为1的性质求解．
(2)借助互斥事件概率求法求解．
[精解详析] (1)由＋＋a＋＋＝1，
得a＝.
(2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝，
P(2≤X＜5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋
＝.
[一点通] 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)p1＋p2＋…＝1，且pi＞0，i＝1,2，….
4．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a·i，i＝1,2,3，则a的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：由分布列的性质，知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝a·＋a·2＋a·3＝a＝1.∴a＝.
答案：D
5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4.求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
解：∵P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，
(1)P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝.
(2)P
＝P(X＝1或X＝2或X＝3)
＝1－P(X＝4)＝1－＝＝.
离散型随机变量的分布列
[例3] (10分)袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设X表示取出3个球中的最大号码，求X的分布列．
[思路点拨] 先确定X的所有可能取值，然后分别求出X取各值时的概率即可．
[精解详析] 根据题意，随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.
X＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P(X＝3)＝＝；?(2分)
X＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取．
所以，P(X＝4)＝＝； ?(4分)
X＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．
所以，P(X＝5)＝＝； ?(6分)
X＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．
所以，P＝(X＝6)＝＝. ?(8分)
所以，随机变量X的分布列为
X＝xi
3
4
5
6
P(X＝xi)
?(10分)
[一点通] (1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布列．
(2)求离散型随机变量X的分布列的步骤：首先确定X的所有可能的取值；其次，求相应的概率P(X＝xi)＝pi；最后列成表格的形式．
6．在射击的试验中，令X＝如果射中的概率为0.8，求随机变量X的分布列．
解：由P(X＝1)＝0.8，得P(X＝0)＝0.2.所以X的分布列为：
X＝xi
1 0
P(X＝xi)
0.8 0.2
7．(天津高考改编)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列．
解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
8．(湖南高考改编)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)求x，y的值；
(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X的分布列．
解： (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得
P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
X的分布列为
X
1
1.5
2
2.5
3
P
1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．
2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是( )
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色种数
解析：A，B不能一一列举，不是离散型随机变量，而C是常量，是个确定值，D可能取1,2,3，是离散型随机变量．
答案：D
2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是( )
A．25 B．10
C．9 D．5
解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
答案：C
3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝( )
A．3 B．4
C．10 D．不确定
解析：∵X等可能取1,2,3，…，n，
∴X的每个值的概率均为.
由题意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，
∴n＝10.
答案：C
4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为
( )
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
解析：Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝.
答案：A
5．随机变量Y的分布列如下：
Y＝yi
1
2
3
4
5
6
P(Y＝yi)
0.1
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则(1)x＝________；(2)P(Y＞3)＝________；
(3)P(1＜Y≤4)＝________.
解析：(1)由i＝1，∴x＝0.1.
(2)P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)
＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.
(3)P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)
＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55.
答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.55
6．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，其中C为常数，则P(X≥2)＝________.
解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，∴C＝.
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
答案：
7．若离散型随机变量X的分布列为：
X＝xi
0
1
P(X＝xi)
9a2－a
3－8a
，求常数a及相应的分布列．
解：由离散型随机变量的性质得
解得a＝，或a＝(舍)．
所以随机变量X的分布列为：
X＝xi
0
1
P(X＝xi)
8．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设X＝m2，求X的分布列．
解：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以X＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝.
故X的分布列为
X＝i
0
1
4
9
P(X＝i)
§2 超几何分布
超几何分布
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数．
问题1：X可能取哪些值？
提示：0,1,2.
问题2：“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)的值呢？
提示：任取2件产品中恰有1件次品．
P(X＝1)＝.
问题3：如何求P(X＝k)？(k＝0,1,2)
提示：P(X＝k)＝.
超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件是次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
(1)超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝①(k≤l，l是n和M中较小的一个)．
(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式①求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．
利用超几何分布公式求概率
[例1] 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n＝5，这5个球中红球的个数X是一个离散型随机变量，X服从超几何分布．
[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布．
由公式得P(X＝4)＝＝≈0.0295，
所以获一等奖的概率约为2.95%.
[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M，N，n，k的取值．
1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝＝.
答案：B
2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为________(即定义中的N，M，n)的超几何分布．
答案：10,3,5
3．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．
解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
超几何分布的分布列
[例2] (10分)从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2)．
[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．
[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布．其中N＝8，M＝3，n＝3，
?(2分)
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
?(8分)
从而随机变量X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
?(10分)
[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．
4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)
解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝＝.
(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X
1
2
3
P
5．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；
(2)用Y表示新录用员工的月工资，求Y的分布列．
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)．
则X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
4
P(X＝k)
(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500.
则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝，
P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝，
则Y的分布列为
Y＝k
2 100
2 800
3 500
P(Y＝k)
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较明显的两部分组成．
2．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出随机变量X取k时的概率P(X＝k)，从而列出随机变量X的分布列．
1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：设X表示2名代表中有甲的个数，X的可能取值为0,1，
由题意知X服从超几何分布，其中参数为N＝6，M＝1，n＝2，
则P(X＝1)＝＝.
答案：B
2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：黑球的个数X服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P(X ≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
答案：A
3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则是表示的概率是( )
A．P(X＝2) B．P(X＝3)
C．P(X≤2) D．P(X≤3)
解析：6人中“三好生”的人数X服从超几何分布，其中参数为N＝12，M＝5，n＝6，所以P(X＝3)＝.
答案：B
4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为( )
A. B.
C．1－ D.
解析：设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数．
则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.
答案：D
5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．
解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为＝.
答案：
6．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．
解析：由题意知小张抽到选择题数X服从超几何分布(N＝10，M＝6，n＝4)，
小张抽到选择题至少2道的概率为：
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
答案：
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列．
解：由题意知，旧球个数X的所有可能取值为3,4,5,6.
则P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，P(X＝6)＝＝＝.
所以X的分布列为
X＝i
3
4
5
6
P(X＝i)
8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列．
解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X＝k
0
1
P(X＝k)
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y＝k
0
10
20
50
60
P(Y＝k)
§3 条件概率与独立事件
条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}．
问题1：试求P(A)，P(B)，P(A∩B)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格概率．
提示：若用A|B表示上述事件，则A|B发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
问题3：如何理解问题2?
提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B发生的条件下事件A发生．
问题4：试探求P(B)，P(A∩B)，P(A|B)间的关系．
提示：P(A|B)＝.
条件概率
(1)概念
事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．
(2)公式
P(A|B)＝(其中，A∩B也可记成AB)．
(3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝.
独立事件
有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝{从甲箱里摸出白球}，B＝{从乙箱里摸出白球}．
问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
提示：不影响．
问题2：试求P(A)，P(B)，P(AB)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝.
问题3：P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
提示：P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
问题4：P(B|A)与P(B)相等吗？
提示：相等，由P(B|A)＝＝，可得P(B|A)＝P(B)．
独立事件
(1)概念：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．
(2)推广：若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P(B|A)，其值不一定等于P(B)．
2．事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．
条件概率
[例1] 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．
求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率，
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
[思路点拨] 由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．
[精解详析] 记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1,2.
(1)取两次，两次都取得一等品的概率，
P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝.
(2)取两次，第二次取得一等品，则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，
则P(A2)＝P(A2)＋P(A1A2)＝×＋×＝.
(3)取两次，已知第二次取得一等品，
则第一次取得二等品的概率为P(|A2)＝＝＝.
[一点通] 求条件概率一般有两种方法：
一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．
二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．
1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
解析：P(B)＝，P(A∩B)＝，P(A|B)＝＝＝.
答案：C
2．已知P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________.
解析：∵P(A|B)＝，
∴P(AB)＝P(A|B)P(B)＝×＝.
答案：
3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是
P(A|B)＝＝≈0.67.
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是
P(B|A)＝＝＝0.60.
独立事件的判断
[例2] 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[思路点拨] 先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分别求出A，B所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)．
[精解详析] (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为.
∵A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
∴P(A)P(B)＝≠P(AB)．
∴事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立，
从而事件A与B是相互独立的．
[一点通] (1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
4．若A与B相互独立，则下面不是相互独立事件的是( )
A．A与 B．A与
C.与B D.与
解析：当A，B相互独立时，A与，与B以及与都是相互独立的，而A与是对立事件，不相互独立．
答案：A
5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立．
解：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事件.
独立事件的概率
[例3] (10分)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大？
[思路点拨] 若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立．
[精解详析] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. ?(3分)
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. ?(5分)
(2)三人都不合格的概率：
P0＝P()＝P()P()P()＝××＝. ?(7分)
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××
＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
结合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有1人合格的概率最大． ?(10分)
[一点通] (1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．
6．先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为________．
答案：
7．(北京高考改编)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．
则C＝A∪B，A，B独立．
根据投篮统计数据，P(A)＝，P(B)＝.
P(C)＝(A)＋P(B)
＝×＋×
＝.
所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.
8．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第一次取出的2 个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第一次取出的2 个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率．
解：记“第一次取出的2 个球都是白球”事件为A，“第二次取出的2个球都是红球”为事件B，“第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球”为事件C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝·＝·＝.
故第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.
故第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率是.
1．计算条件概率要明确：
(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；
(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．
2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系
名称
区别
联系
定义
事件个数
互斥事件
在一次试验中不能同时发生的事件
两个或两个以上
①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；
②两事件独立，则不一定互斥(或对立)；
③两事件互斥(或对立)，则不相互独立
对立事件
在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件
两个
独立事件
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个或两个以上
1．抛掷一颗骰子一次，A表示事件：“出现偶数点”，B表示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是( )
A．相互互斥事件
B．相互独立事件
C．既相互互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不独立事件
解析：A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，所以A与B是相互独立事件．
答案：B
2．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知：P(AB)＝，P(B|A)＝，
∴P(A)＝＝＝.
答案：B
3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由条件概率公式，得
P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：D
4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A. B.
C. D.
解析：设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.又A，B相互独立，则，也相互独立，则P( )＝P()P()＝×＝，故至少有一项合格的概率为P＝1－P( )＝.
答案：D
5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
解析：甲、乙两人都未能解决为
＝×＝，
问题得到解决就是至少有1 人能解决问题．
∴P＝1－＝.
答案：
6．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，
B＝{选出的4个球中最大号码为6}，依题意可知
n(A)＝C＝84，n(AB)＝C＝6，
∴P(B|A)＝＝＝.
答案：
7．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
解：“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A，“从1号箱中取出的是红球”为事件B.
P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
(1)P(A|B)＝＝，
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
8．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对密码的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对密码的概率．
解：(1)设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)，则事件A＝A1＋(1A2)表示不超过2次就按对密码．
因为事件A1与1A2互斥，由概率加法公式，得
P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.
(2)用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件，
则A|B＝A1|B＋(1A2)|B.
∴P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)
＝＋＝.
§4二项分布
某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题．
问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？
提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)．
问题2：X＝0表示何意义？求其概率．
提示：X＝0表示3次都没投中，只有C＝1种情况，P(X＝0)＝C3.
问题3：X＝2呢？
提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C＝3种情况，每种情况发生的可能性为2·.
从而P(X＝2)＝C2·.
二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；
(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；
(3)各次试验是相互独立的．
用X表示这n次试验中成功的次数，则
P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．
1．P(X＝k)＝C·pk(1－p)n－k.这里n为试验次数，p为每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立．
服从二项分布的随机变量的概率计算
[例1] 在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：
(1)全部活到70岁的概率；
(2)有2个活到70岁的概率；
(3)有1个活到70岁的概率．
[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分布公式可求．
[精解详析] 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1,2,3)．
(1)P(X＝3)＝C·0.63·(1－0.6)0＝0.216；
即全部活到70岁的概率为0.216.
(2)P(X＝2)＝C·0.62·(1－0.6)＝0.432.
即有2个活到70岁的概率为0.432.
(3)P(X＝1)＝C·0.6·(1－0.6)2＝0.288.
即有1个活到70岁的概率为0.288.
[一点通] 要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；
(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；
(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：由题意，出现正面的次数X～B，
∴出现3个正面1个反面的概率为P(X＝3)＝C×3×＝.
答案：D
2．甲每次投资获利的概率是p＝0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：
(1)有5次获利的概率；
(2)6次都获利的概率．
解：用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B(6,0.8)，且
(1)P(X＝5)＝C0.85(1－0.8)≈0.39，
他5次获利的概率约等于0.39.
(2)P(X＝6)＝C0.86≈0.26.
他6次都获利的概率约等于0.26.
3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C2＋C3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)＝P(B1)＋P(B2)
＝C2·C3＋C3·C3
＝＋＝.
服从二项分布的随机变量的分布列
[例2] (12分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数．求
(1)随机变量X的分布列；
(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
[思路点拨] 求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率．
[精解详析] (1)由题意X～B，
则P(X＝0)＝C03＝， ?(3分)
P(X＝1)＝C12＝， ?(4分)
P(X＝2)＝C21＝， ?(5分)
P(X＝3)＝C30＝. ?(6分)
∴X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)
?(8分)
(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”．因此有
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. ?(12分)
[一点通] 解决这类问题一般步骤：
(1)判断所述问题是否是相互独立试验；(2)建立二项分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列．
4．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于( )
A．C2× B．C2×
C.2× D.2×
解析：P(X＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P(X＝3)＝2×.
答案：C
5．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．
解：由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，
P(X＝0)＝C×0.952＝0.902 5；
P(X＝1)＝C×0.05×0.95＝0.095；
P(X＝2)＝C×0.052＝0.002 5.
因此，次品数X的分布列如下：
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
0.902 5
0.095
0.002 5
6．射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分．某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运动员进行2轮比赛．
(1)求该运动员得4分的概率为多少？
(2)若该运动员所得分数为X，求X的分布列．
解：(1)记“运动员得4分”为事件A，
则P(A)＝×××＝.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝P(X＝4)＝，
P(X＝1)＝P(X＝3)
＝C3＋C3＝，
P(X＝2)＝4＋4＋422＝.
∴X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
4
P(X＝k)
1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．
2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项Tk＋1＝C(1－p)n－kpk，可见P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．
1．若X～B，则P(X＝2)＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵X～B，
∴P(X＝2)＝C24＝.
答案：D
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝.所以1－p＝，p＝.
答案：A
3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：至少有2次击中目标包含以下情况：
只有2次击中目标，此时概率为
C×0.62×(1－0.6)＝，
3次都击中目标，此时的概率为C×0.63＝，
∴至少有2次击中目标的概率为＋＝.
答案：A
4．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X，若甲先投，则P(X＝k)等于( )
A．0.6k－1×0.4 B．0.24k－1×0.76
C．0.4k－1×0.6 D．0.76k－1×0.24
解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，
则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76.
所以P(X＝k)的概率是前k－1轮两人均未中，第k轮时至少有一人中，则P(X＝k)＝0.24k－1×0.76.
答案：B
5．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
∴P(X≥1)＝1－P(X<1)
＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2
＝1－(1－p)2.
由P(X≥1)＝，得1－(1－p)2＝，
结合0
答案：
6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________．
解析：每粒种子的发芽概率为，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：C22＝.
答案：
7．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2)其中恰有3次击中目标的概率．
解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为
P1＝××××＝；
(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X～B(5，)，故所求其概率为
P(X＝3)＝C×3×2＝.
8．(四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列．
解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.
(2)由题意，P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以，随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
第一课时 离散型随机变量的均值
求离散型随机变量的均值
[例1] (重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX.
[思路点拨] (1)利用古典概型结合计数原理直接求解．
(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值．
[精解详析] 设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上知，X的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有EX＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列(有时可以省略)；
(4)利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出均值．
1．(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望EX＝( )
A. B．2
C. D．3
解析：EX＝1×＋2×＋3×＝＝.
答案：A
2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：
血型
A
B
AB
O
人数
8
7
3
2
(1)现从这20人中随机选出两人，求两人血型相同的概率；
(2)现有A血型的病人需要输血，从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血，记选出A血型的人数为X，求随机变量X的数学期望EX.
解：(1)从20人中选出两人的方法数为C＝190，
选出两人同血型的方法数为C＋C＋C＋C＝53，
故两人血型相同的概率是.
(2)X的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
X的分布列为
X
0
1
2
P
∴EX＝×0＋×1＋×2＝＝.
二项分布及超几何分布的均值
[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，求
(1)X的概率分布；
(2)X和Y的数学期望．
[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
[精解详析] (1)P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C3＝，
P(X＝2)＝C3＝，
P(X＝3)＝C3＝.
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
(2)由题意X～B，Y～B，
∴EX＝3×＝1.5，EY＝3×＝2.
[一点通] 如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则EX＝np；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则EX＝n，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
3．若随机变量X～B，EX＝2，则P(X＝1)等于________．
解析：由X～B∴EX＝n·＝2，
∴n＝4，∴P(X＝1)＝C13＝.
答案：
4．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX为________．
解析：由题意知随机变量X服从N＝7，M＝4，n＝3的超几何分布，则EX＝3×＝.
答案：
5．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望EX.
解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知EX＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝.
数学期望的实际应用
[例3] 某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？
[思路点拨] (1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解．
[精解详析] (1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则P(A)＝1－＝.
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为. ?(4分)
(2)设顾客抽奖的中奖次数为X，则X＝0,1,2,3，于是
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝××＝，
∴顾客中奖的数学期望
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5. ?(10分)
设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x≤180，解得x≤120，
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本． ?(12分)
[一点通] 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
6．(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．
由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝.
且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，于是
P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.
因P(X＝0)＝P( )＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.
故所求的X分布列为
X
0
100
120
220
P
数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.
7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．)
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为
E1＝400×0.3＝120(万元)；
②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，
损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)，
所以总费用为45＋40＝85(万元)；
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，
发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，
损失期望值为E3＝400×0.15＝60(万元)，
所以总费用为30＋60＝90(万元)；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，
则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，
发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，
损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，
所以总费用为75＋6＝81(万元)．
综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．
1．求随机变量的数学期望的方法步骤：
(1)写出随机变量所有可能的取值．
(2)计算随机变量取每一个值对应的概率．
(3)写出分布列，求出数学期望．
2．离散型随机变量均值的性质
①Ec＝c(c为常数)；
②E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)；
③E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数)．
1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8 B．0.83
C．3 D．2.4
解析：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，∴EX＝3×0.8＝2.4.
答案：D
2．已知离散型随机变量X的概率分布如下：
X
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量Y＝2X＋1，则Y的数学期望为( )
A．1.1 B．3.2
C．11k D．33k＋1
解析：由题意知，0.3＋3k＋4k＝1，
∴k＝0.1.EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，
∴EY＝E(2X＋1)＝2EX＋1＝2.2＋1＝3.2.
答案：B
3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X表示取出的球的最大号码，则EX＝( )
A．4 B．5
C．4.5 D．4.75
解析：X的取值为5,4,3.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
∴EX＝5×＋4×＋3×＝4.5.
答案：C
4．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知X可能为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝，EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，故选B.
答案：B
5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．
解析：设查得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N＝10，M＝3，n＝2.
∴EX＝n·＝2×＝.
答案：
6．某射手射击所得环数X的分布列如下
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知EX＝8.9，则y的值为________．
解析：由
解得y＝0.4.
答案：0.4
7．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
表一
工序
概率
产品
第一道工序
第二道工序
甲
0.8
0.85
乙
0.75
0.8
表二
等级
利润
产品
一等
二等
甲
5(万元)
2.5(万元)
乙
2.5(万元)
1.5(万元)
(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X，Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．
解：(1)P甲＝0.8×0.85＝0.68，
P乙＝0.75×0.8＝0.6.
(2)随机变量X，Y的分布列是
X
5
2.5
P
0.68
0.32
Y
2.5
1.5
P
0.6
0.4
EX＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，
EY＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.
所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．
8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
又P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
第二课时 离散型随机变量的方差
求随机变量的方差
[例1] 已知随机变量X的分布列为
X
0
1
x
P
p
若EX＝，求DX的值．
[思路点拨] 解答本题可先根据i＝1求出p的值，然后借助EX＝求出x的取值，最后代入相应的公式求方差．
[精解详析] 由＋＋p＝1，得p＝.
又EX＝0×＋1×＋x＝，
∴x＝2.
∴DX＝2×＋2×＋2×
＝.
[一点通] 求离散型随机变量的方差的方法：
(1)根据题目条件先求分布列．
(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差．
1．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
解析：由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下
ξ
0
1
2
P
p
－p
由E(ξ)＝1，可得p＝，
所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝.
答案：
2．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
试求DX和D(2X－1)．
解：EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1
＝1.8.
所以DX＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.2X－1的分布列为
2X－1
－1
1
3
5
7
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
所以E(2X－1)＝2EX－1＝2.6.
所以D(2X－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
求实际问题的均值和方差
[例2] 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．
[思路点拨]
→ → →
[精解详析] X可能取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝××××1＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由定义知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.
DX＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.
[一点通] (1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤：
①理解X的意义，写出X可能取的全部值；
②求X取每个值时的概率；
③写X的分布列；
④求EX，DX.
(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，
则EX＝np，DX＝np(1－p)．
3．一批产品中次品率为，现在连续抽查4次，用X表示次品数，则DX等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵X～B，
∴DX＝np(1－p)＝4××＝.
答案：C
4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
求X的分布列，均值和方差．
解：由题意，得X的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
随机变量的均值和方差的实际应用
[例3] (10分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
[思路点拨] 解本题的关键是，一要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即数学期望，二要看出次品数的波动情况，即方差值的大小．根据数学期望与方差值判断两名工人的技术水平情况．
[精解详析] 工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为
EX＝0×＋1×＋2×＝0.7，
DX＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.?(4分)
工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为
EY＝0×＋1×＋2×＝0.7，
DY＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.?(4分)
由EX＝EY知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX＞DY，可见乙的技术比较稳定． ?(10分)
[一点通] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析．
5．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，且X，Y的分布列为
Y
1
2
3
P
0.3
b
0.3
X
1
2
3
P
a
0.1
0.6
求：(1)a，b的值；
(2)计算X，Y的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知
a＋0.1＋0.6＝1，
∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
(2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6
＝0.81，
DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3
＝0.6.
由于EX>EY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX>DY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势．
6．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：
第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利与亏损的概率均为.
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，也可能损失10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．
解：若按方案一执行，设收益为X万元，则其分布列为
X
4
－2
P
EX＝4×＋(－2)×＝1(万元)．
若按方案二执行，设收益为Y万元，则其分布列为
Y
2
0
－1
P
EY＝2×＋0×＋(－1)×＝1(万元)．
若按方案三执行，收益z＝10×4%×(1－5%)＝0.38(万元)，
∴EX＝EY >z.
又DX＝(4－1)2×＋(－2－1)2×＝9.
DY＝(2－1)2×＋(0－1)2×＋(－1－1)2×
＝.
由上知DX>DY，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．
∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．
1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．
2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．
1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为( )
A. B.
C. D.
解析：由X～B，∴DX＝3××＝.
答案：B
2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝(k＝1,2,3)，则D(3X＋5)＝( )
A．6 B．9
C．3 D．4
解析：EX＝(1＋2＋3)×＝2，
∵Y＝3X＋5可能取值为8,11,14，其概率均为，
∴EY＝8×＋11×＋14×＝11.
∴DY＝D(3X＋5)＝(8－11)2×＋(11－11)2×＋(11－14)2×＝6.
答案：A
3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．EX＝0，DX＝1
B．EX＝，DX＝
C．EX＝0，DX＝
D．EX＝，DX＝1
解析：EX＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，
DX＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.
答案：A
4．若随机变量X的分布列为P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝b.若EX＝，则DX等于( )
A. B.
C. D.
解析：由题意，得
∴a＝，b＝.
DX＝2×＋2×＝.
答案：D
5．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．
解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是，∴EX＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.
答案：8.5
6．变量X的分布列如下：
X＝k
－1
0
1
P(X＝k)
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若EX＝，则DX的值为________．
解析：由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c.
又∵a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.
又∵EX＝－a＋c＝，∴a＝，c＝.
∴DX＝2×＋2×＋2×
＝.
答案：
7．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．
解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)．
(2)X可能的取值为60,70,80，并且
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望为
EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为
DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7
＝44.
8．(浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝2·＋2·＋2·＝.
化简得解得a＝3c，b＝2c，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
*§6正态分布
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示均值，σ2(σ>0)表示方差．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．
2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)正态变量在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.
通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%.
1．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此可把正态分布记作N(μ，σ2)．
2．要正确理解μ，σ的含义．若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，即μ为随机变量X取值的均值，σ2为其方差．
正态曲线及性质
[例1] 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)．
[思路点拨] 首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解．
[精解详析] 因为X～N(1,22)，
所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683.
(2)因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，
所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]
＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]
＝(1－0.954)
＝0.023.
[一点通] 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知，
(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
1．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，则P(X＞4)＝( )
A. B.
C. D.
解析：由正态分布密度函数的性质可知，μ＝4是该函数图像的对称轴，∴P(X＜4)＝P(X＞4)＝.
答案：D
2．如图所示，是一个正态分布密度曲线．试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．
解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式为
f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
正态分布在实际生活中的应用
[例2] (8分)在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人？
[思路点拨]
―→―→―→
[精解详析] ∵X～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10.?(2分)
(1)P(70即成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954. ?(5分)
(2)P(80∴2 000×0.683＝1 366(人)．
即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有1 366人． ?(8分)
[一点通] 解答此类问题的关键有两个：
(1)熟记随机变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值；
(2)根据已知条件确定问题所在的区间，并结合三个特殊区间上的概率值求解．
3．一批电阻的阻值X服从正态分布N(1 000,52)(Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为( )
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂
D．甲电阻箱不可出厂，乙电阻箱可出厂
解析：∵X～N(1 000,52)，
∴μ＝1 000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.
∵1 011∈(985,1 015)，982?(985,1 015)．
∴甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂．
答案：C
4．(湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
求p0的值．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.)
解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，
P(700由正态分布的对称性，可得
p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(8005．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的学生占多少？
(2)成绩在80～90之间的学生占多少？
解：(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，如图所示，则μ＝70，σ＝10，P(70－10∴不及格的学生的比为
×(1－0.683)＝0.158 5，
即成绩不及格的学生占15.85%.
(2)成绩在80～90之间的学生的比为
[P(50＝×(0.954－0.683)＝0.135 5，
即成绩在80～90之间的学生占13.55%.
1．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计．
2．因为P(μ－3σ
设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则有
( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，μ1<μ2，σ1<σ2.
答案：A
2．已知X～N(0,62)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.6 D．0.8
解析：由正态分布曲线的性质知P(0≤X≤2)＝0.4，
∴P(－2≤X≤2)＝0.8，∴P(X>2)＝(1－0.8)＝0.1.
答案：A
3．在正常情况下，工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( )
A．70个 B．100个
C．30个 D．60个
解析：正态总体N(μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，因此不属于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.003，所以在一次正常的试验中，取10 000个零件时．不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为30个左右．
答案：C
4．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0A．0.021 5 B．0.723
C．0.215 D．0.64
解析：由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3,1)．
P(μ－3σP(μ－2σP(0∴P(0答案：A
5．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．
解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.所以k＝2.
答案：2
6．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.
解析：∵P(X>2)＝0.023，∴P(X<－2)＝0.023，
故P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝0.954.
答案：0.954
7．设X～N(0,1)．
(1)求P(－1(2)求P(0解：(1)X～N(0,1)时，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1，
所以P(－1(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正态曲线f(x)关于直线x＝0对称，所以
P(08．某厂生产的T型零件的外直径X～N(10,0.22)，一天从该厂上午、下午生产的T型零件中随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常．
解：∵X～N(10,0.22)，
∴μ＝10，σ＝0.2.
∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，
μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.
∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)，
∴该厂全天的生产状况是正常的．
第二章 概率
知识整合与阶段检测
[对应学生用书P37]
一、离散型随机变量的分布列
1．定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(x＝ai)＝Pi(i＝1,2，…)，①
或把上式列成下表
X＝ai
a1 a2 …
P(X＝ai)
p1 p2 …
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
2．求随机变量的分布列的步骤
①明确随机变量X的取值；②准确求出X取每一个值时的概率；③列成表格的形式．
[说明] 已知随机变量的分布列，则它在某范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi>0，i＝1,2，…；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1.
[说明] 分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据．
二、条件概率与独立事件
1．A发生时B发生的条件概率为
P(B|A)＝.
2．对于两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
3．求条件概率的常用方法
(1)定义：即P(B|A)＝.
(2)借助古典概型公式P(B|A)＝.
4．概率问题常常与排列组合相结合，求事件概率的关键是将事件分解成若干个子事件，然后利用概率加法(互斥事件求和)、乘法(独立事件同时发生)、除法(条件概率)来求解．
三、离散型随机变量的均值与方差
1．定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，an，这些值对应的概率是p1，p2，…，Pn，则EX＝a1p1＋a2p2＋…＋anpn叫作这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并称之为随机变量X的方差，记为DX.
2.意义：均值反映了离散型随机变量取值的平均取值水平，而方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
四、超几何分布及二项分布
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．
那么P(X＝k)＝(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布．其均值EX＝n.
2．二项分布
在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次试验中成功的次数
则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…n)．
称为X服从参数为n，P的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．
五、正态分布
1．正态分布的密度函数为
f(x)＝exp，－∞2．正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954；
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1．下列表格可以作为X的分布列的是( )
A.
X
0
1
3
P
a
1－a
B.
X
1
2
3
P
－
1
C.
X
－1
1
2
P
2a
a2＋2
D.
X
4
5
P
解析：根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D正确．
答案：D
2．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n，p的值分别是( )
A．50， B．60，
C．50， D．60，
解析：由得
答案：B
3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C. D.
解析：由正态分布密度曲线上的最高点知，＝，∴DX＝σ2＝.
答案：C
4．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A．0.9 B．0.2
C．0.7 D．0.5
解析：设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P(A ＋ B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.
答案：D
5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
解析：P(A)＝，P(AB)＝，由条件概率公式
P(B|A)＝＝＝.
答案：B
6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析：法一：由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
∵K，A1，A2相互独立，
∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.
∴系统正常工作的概率为P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.
法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.
答案：B
7．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，且P(X＞1)＝p，则P(－1＜X＜0)等于( )
A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
解析：由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由正态分布图可得P(－1＜X＜0)＝－P(X＜－1)＝－P(X＞1)＝－p.
答案：D
8．将1枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，则k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：设正面向上的次数为X，则X～B.
由题意知，C5＝C5.
∴k＋k＋1＝5.∴k＝2.
答案：C
9．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
解析：出海效益的均值为EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200元．
答案：B
10．(浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．
(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．
则( )
A．p1>p2，E(ξ1)B．p1E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)
D．p1解析：法一(特值法)：取m＝n＝3进行计算、比较即可．
法二(标准解法)：从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P(ξ＝0)＝＝P(ξ1＝1)，P(ξ＝1)＝＝P(ξ1＝2)，所以E(ξ1)＝1·P(ξ1＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝＋1，所以p1＝＝；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P(η＝0)＝＝P(ξ2＝1)，P(η＝1)＝＝P(ξ2＝2)，P(η＝2)＝＝P(ξ2＝3)，所以E(ξ2)＝1·P(ξ2＝1)＋2P(ξ2＝2)＋3P(ξ2＝3)＝＋1，所以p2＝＝，所以p1>p2，E(ξ1)答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数X的均值是2，则p＝________.
解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知X～B(6,1－p)，
所以EX＝6(1－p)＝2.解得p＝.
答案：
12．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
解析：正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．
∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，∴正态分布的数学期望就是1.
答案：1
13．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则X的数学期望EX＝________.
解析：随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝2.
n＝2，则EX＝2×＝.
答案：
14．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
解析：设X表示向上的数之积，
则P(X＝1)＝×＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝4)＝×＝，
P(X＝0)＝.
∴EX＝1×＋2×＋4×＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如下表所示.
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和X的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2.
∴X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性，得
P(A1)＝CP(X＝2)·P(X＝0)
＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09，
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
16．(本小题满分12分)(北京高考)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
17．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝；
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝；P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，即P(B|A)＝＝.
18．(本小题满分14分)(新课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．
解：(1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
