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湘教版数学九年级下册2.7 正多边形与圆教学设计
课题 2.7 正多边形与圆. 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 (一)知识目标1.了解正多边形与圆的有关概念；会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形．会通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出所需的正多边形2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形．3.会进行有关圆与正多边形的计算．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形． (二)能力训练点在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题． (三)情感目标通过正多边形与圆的关系学习，培养学生学习主动性和积极性.
重点 掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会运用正多边形和圆的有关知识画正多边形.
难点 会进行有关圆与正多边形的计算.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1创设情境你会背圆周率吗？你能背出几位？你知道古代是用什么方法计算圆周率？我国魏晋时期的数学家刘徽创造了用“割圆术”求圆周率的方法，在数学史上占有重要的地位。刘徽是怎样“割圆”的呢？2.想一想：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？小结：每个多边形的各边都相等，各内角也相等 1.积极思考，主动抢答2..认真观察、积极思考，组内交流， 1.通过回顾，调动学生学习新课的热情，为学习正多边形与圆做准备.2.设置情景，导入新课，引起学生学习的新知的兴趣.
讲授新课 一、正多边形1.讲解概念：象这样各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么这个正多边形叫做正n边形.2.辨析概念：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？学生回答后，教师总结：正多边形必须满足两个条件：①各边相等的多边形. ②各内角相等的多边形.3.描述概念（1）如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？小结：由于在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，因此可以用量角器将圆心角n等分，从而使圆n等分，依次连接各等分点，可得到一个正n边形.（2）已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.二、正多边形与圆的关系1. 正多边形与圆的有关概念将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.正多边形的半径：外接圆的半径.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心.正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.（正多边形的内切圆的半径）（2）正多边形与圆的有关计算正多边形的中心角：正多边形的每个内角：若一个正多边形的半径为r，边心距为h，边长为a，周长为L，面积为S,则：L=na三、例题精讲例1已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正方形. 1.合作交流，探索理解概念，2.积极参加学习活动中，探索新知的应用.并动手画，小组内交流.3.小组合作，积极展示4.自主探究，合作交流5.积极参予，合作交流 1.学习有关概念2.进一步理解概念.3.及时小结4.突破难点5.精典示范
随堂演练 1.如图，这些正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？2.完成下面的表格：3.正六边形ABCDEF内接与⊙O ，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是（ ）A. B.2 C.2 D. 2 小组合作，人从过关，分组展示 巩固、应用新学的知识.
拓展提升 如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ． 自学、互学、小组合作学习. 进一步巩固新知识，提升能力.
课堂小结 认真回顾，思考并积极回答， 系统化本节知识要点
板书 1.正多边形：2.正多边形与圆的关系： 给学生留下学习的参照
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2.7 正多边形与圆
湘教版 九年级下
创设情景
你会背圆周率吗？你能背出几位？
你知道古代是用什么方法计算圆周率？
创设情景
我国魏晋时期的数学家刘徽创造了用“割圆术”求圆周率的方法，在数学史上占有重要的地位。刘徽是怎样“割圆”的呢？
正多边形
导入新知
割圆术用到正多边形，那什么是正多边形？
观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
导入新知
象这样各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
正三角形
正方形
三条边相等，
三个角相等（60°）
四条边相等，
四个角相等（90°）
每个多边形的各边都相等，各内角也相等.
新知讲解
各角都相等
各边都相等
正多边形必须满足两个条件：
①各边相等的多边形.
②各内角相等的多边形.
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
它们都不是正四边形.
新知讲解
正多边形可以创造出许多美丽的图案，那如何画一个正多边形呢？
新知讲解
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE是正五边形吗？
同理可证：
解：
∴ AB=BC=CD=DE=EA.
∠B=∠C=∠D=∠E.
∴ ∠A=∠B.
∴ 五边形ABCDE是圆内接正五边形.
·
A
B
C
D
E
O
由于在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，因此可以用量角器将圆心角n等分，从而使圆n等分，依次连接各等分点，可得到一个正n边形.
·
A
B
C
D
E
O
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的内角相等）
多边形是正多边形
新知讲解
新知讲解
已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.
O
A
C
D
F
B
E
r
作法：
（1）作⊙O的任意直径BE,分别以B，E为圆心，以r为半径作弧，与⊙O分别相交于点A，C和D，F.
（2）依次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA， 则六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.
新知讲解
将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
正多边形与圆的关系
轴对称图形
新知讲解
正多边形的有关概念：
正多边形的中心：
正多边形的外接圆的圆心
正多边形的半径：
外接圆的半径.
正多边形的中心角：
正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
（正多边形的内切圆的半径）
新知讲解
正多边形的有关计算公式：
正多边形的每个内角：
正多边形的中心角：
若一个正多边形的半径为r，边心距为h，边长为a，周长为L，面积为S,则：
L=na
新知讲解
例1 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正方形.
O
作法：
（1）作直径AC与BD，使AC⊥BD.
（2）依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形.
D
B
A
C
新知讲解
如图，这些正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
图中一正多边形都是轴对称图形，其中正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
新知讲解
利用圆绕圆心旋转任意角度，所得图形都与自身重合这一性质，可得出：
一个正n边形，绕它的中心旋转 所得图形与这个正n边形重合，从而当n为偶数时，正n边形绕它的中心旋转180°，所得图形与这个正n边形重合，因此正n边形（ n为偶数）也是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.
新知讲解
正多边 形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60 °
120 °
120 °
90 °
90 °
90 °
120 °
60 °
60 °
完成下面的表格：
1.正六边形ABCDEF内接与⊙O ，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是（ ）
A.
B.2
C.
D.
巩固提升
解：已知正六边形的周长是12，可得BC=2，
连接OB、OC，可得BOC=60° ，所以△BOC为等边三角形，
所以OB=BC=2，
即⊙O 的半径是2，
故选B.
巩固提升
巩固提升
2.如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ．
分析：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE2=EG EB，可得22=x（x+2），解方程即可．
巩固提升
解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
故答案为：
课堂小结
1、各边都相等．
2、各角都相等．
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流.
谢谢
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