2017-2018版高中数学全一册学案（打包25套）北师大版选修2-3

1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
学习目标　1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．21教育名师原创作品

知识点一　分类加法计数原理(加法原理)
第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．【来源：21cnj*y.co*m】
思考1　该志愿者从上海到天津的方案可分几类？
　
思考2　这几类方案中各有几种方法？
　
思考3　该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？
　
梳理　分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝__________种方法．
知识点二　分步乘法计数原理(乘法原理)
李娜为备战网球公开赛，需从北京到A城进行封闭式训练，中途要在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有6列动车．21世纪教育网版权所有
思考1　李娜从北京到A城需要经过几个步骤？
　
思考2　李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？
　
梳理　分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．
类型一　分类加法计数原理
例1　在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
　
　
　
反思与感悟　(1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．21·cn·jy·com
(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路
跟踪训练1　设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆的有(　　)www.21-cn-jy.com
A．6个 B．8个
C．12个 D．16个
类型二　分步乘法计数原理
例2　(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远3个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？
　
　
　
　
反思与感悟　在运用分步乘法计数原理解决问题时，应首先弄清分步的主体是什么，再根据主体进行分步，最后根据分步乘法计数原理进行解题．2·1·c·n·j·y
跟踪训练2　从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________．www-2-1-cnjy-com
类型三　两个计数原理的应用
例3　如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．
　
　
　
反思与感悟　综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．21cnjy.com
跟踪训练3　如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
　
　
1．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为(　　)
A．20 B．10 C．5 D．24
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．7 B．12 C．64 D．81
3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(　　)2-1-c-n-j-y
A．56 B．65
C. D．6×5×4×3×2
4．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.【版权所有：21教育】
A
B
C
D
5．如图，A→C有________种不同的走法．
1．使用两个原理解题的本质
―→―→
―→―→
2．“分类”“分步”的注意点
(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　两类，即乘飞机、坐火车．
思考2　第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．
思考3　　共有7＋6＝13(种)不同的方法．
梳理　m1＋m2＋…＋mn
知识点二
思考1　2个．
思考2　7×6＝42(种)．
梳理　m1×m2×…×mn
题型探究
例1　解　方法一　一个两位数由十位数字和个位数字组成，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能．
一个两位数的个位数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，把这样的两位数分成10类．
第一类：当个位数字为0时，十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个满足条件的两位数．21教育网
第二类：当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8个满足条件的两位数．
第三类：当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条件的两位数．
以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数的个数分别为6,5,4,3,2,1,0.21·世纪*教育网
由分类加法计数原理，满足条件的两位数有
9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45(个)．
故个位数字小于十位数字的两位数共有45个．
方法二　考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．
在总共90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…99，共9个；另有10,20,30，…，90，共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置；其余90－18＝72个两位数，按“ab”与“ba”进行一一对应，则每一个“个位数字小于十位数字的两位数”就与另一个“十位数字小于个位数字的两位数”对应，故其中“个位数字小于十位数字的两位数”有72÷2＝36(个)．【出处：21教育名师】
故满足条件的两位数的个数为9＋36＝45，即个位数字小于十位数字的两位数共有45个．
跟踪训练1　A
例2　解　(1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．21*cnjy*com
(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是4名同学中的某一人，有4种可能的情况，于是共有4×4×4＝64(种)可能的情况．
跟踪训练2　100
例3　解　方法一　分为两类：
第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×3＝36(种)；
第二类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48(种)．
共有36＋48＝84(种)．
方法二　分为四步：
第一步：考虑A，有4种；
第二步：考虑B，有3种；
第三步：考虑C，有两类：一是A与C相同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．
共有4×3×(1×3＋2×2)＝84(种)．
跟踪训练3　解　由题意，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．21*cnjy*com
当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.
若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．
由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法．
由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种)．
当堂训练
1．B　2.B　3.A　4.108　5.6
第1课时　排列与排列数公式
学习目标　1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．
知识点一　排列的定义
思考1　若A，B，C三名同学排成一行照相，有哪些站法？请列举出来．
　
　
思考2　ABC与ACB是同一种站法吗？
　
　
梳理　排列的定义
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫作____________________________________________的一个排列．21世纪教育网版权所有
知识点二　排列数及排列数公式
思考1　从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？
　
　
思考2　从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种不同排法？
　
梳理　排列数
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示
排列数公式
乘积式
A＝______________________
阶乘式
A＝______________________
排列数的性质
A＝________；A＝________；0！＝1
类型一　排列的概念
例1　下列问题是排列问题的为________．
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除；
⑤10个车站，站与站间的车票．
　
　
　
反思与感悟　判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1　判断下列问题是否为排列问题．
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
　
　
　
　
类型二　列举法解决排列问题
例2　从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数，写出所得到的所有的三位数．
　
　
　
　
反思与感悟　在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素为首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．
跟踪训练2　A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．21教育网
　
　
　
类型三　排列数及其应用
命题角度1　由排列数公式进行化简与求值
例3　计算下列各题：
(1)A；(2)；(3).
　
　
　
　
反思与感悟　(1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数．www.21-cn-jy.com
(2)利用排列数公式进行计算时可利用连乘形式也可利用阶乘形式．当A中m已知且较小时用连乘形式，当m较大或为参数时用阶乘形式．2·1·c·n·j·y
(3)应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系．解题时的常用变式21·世纪*教育网
①n！＝n(n－1)！.
②A＝nA.
③n·n！＝(n＋1)！－n！.
④＝－.
跟踪训练3　(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋，且n<55)＝________；
(2)计算2A＋A＝________.
命题角度2　与排列数有关的方程、不等式的求解
引申探究
把本例的方程改为不等式“A<140A”，求它的解集．例4　解方程A＝140A.
　
　
　
反思与感悟　利用排列数公式展开即得到关于x的方程(或不等式)，但由于x存在于排列数中，故应考虑排列数对x的制约，避免出现增根．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练4　不等式A<6A的解集为(　　)
A．[2,8] B．[2,6]
C．(7,12) D．{8}
1．20×19×18×…×9等于(　　)
A．A B．A C．A D．A
2．下列问题中属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．
A．①④ B．①②
C．④ D．①③④
3．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　　)
A．6个 B．10个
C．12个 D．16个
4．已知A＝30，则x＝________.
5．从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；
(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．www-2-1-cnjy-com
　
　
　
1．判断一个问题是否是排列问题的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．21·cn·jy·com
2．关于排列数的两个公式
(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N＋，m≤n”的运用．2-1-c-n-j-y

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　ABC，BCA，CAB，ACB，CBA，BAC.
思考2　不是．
梳理　一定顺序　从n个不同的元素中任意取出m个元素．
知识点二
思考1　4×3×2＝24(个)．
思考2　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种．
梳理　所有排列的个数　A
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　
(n，m∈N＋，m≤n)　n！　1
题型探究
例1　①③④⑤
跟踪训练1　解　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．21*cnjy*com
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．
例2　解　画出下列树形图，如下图．
由上面的树形图知，所有的三位数为
123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，共24个三位数．21cnjy.com
跟踪训练2　解　因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．【来源：21cnj*y.co*m】
所以符合题意的所有排列是
BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.
例3　解　(1)A＝10×9×8＝720.
(2)
＝
＝＝
＝.
(3)＝·(n－m)！·＝1.
跟踪训练3　(1)A　(2)72
例4　解　根据题意，原方程等价于
即
整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N＋)，
解得x＝3(x＝?N＋，舍去)．
引申探究
解　由A<140A知x≥3且x∈N＋，
由排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)<140x·(x－1)(x－2)，
解得3因为x∈N＋，所以x＝4或x＝5.
所以不等式的解集为{4,5}．
跟踪训练4　D
当堂训练
1．A　2.A　3.C　4.6
5．解　(1)组成三位数分三个步骤：
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．
由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数．
画出下列树状图：
由树状图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.
(2)直接画出树状图：
由树状图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.
第2课时　排列的应用
学习目标　1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．21*cnjy*com

知识点　排列及其应用
1．排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N＋，m≤n)＝.
A＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.
2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
类型一　无限制条件的排列问题
例1　(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
　
　
　
　
反思与感悟　典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用分步乘法计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？21·cn·jy·com
　
　
　
类型二　排队问题
命题角度1　元素“相邻”与“不相邻”问题
例2　3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法．
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
　
　
　
　
反思与感悟　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
跟踪训练2　排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
(3)5个歌唱节目中A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻，则排列的方法有多少种？
　
　
　
命题角度2　定序问题
例3　7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
　
　
　
　
反思与感悟　这类问题的解法是采用分类法．n个不同元素的全排列有A种排法，m个不同元素的全排列有A种排法．因此A种排法中，关于m个元素的不同分法有A类，而且每一种分类的排法数是一样的．当这m个元素顺序确定时，共有种排法．
跟踪训练3　7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？2·1·c·n·j·y
　
　
　
命题角度3　特殊元素与特殊位置问题
例4　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
　
　
　
　
反思与感悟　“在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．21教育网
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．【来源：21·世纪·教育·网】
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．21·世纪*教育网
跟踪训练4　某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？
　
　
　
类型三　数字排列问题
例5　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)能被5整除的五位数；
(2)能被3整除的五位数；
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项．
　
　
　
　
反思与感悟　数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0.(2)有无重复数字．(3)奇偶数．(4)某数的倍数．(5)大于(或小于)某数．2-1-c-n-j-y
跟踪训练5　(1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有多少个？
(2)由0,1,2,3,4,5六个数字组成的六位数中，数字1排在奇数位上的数有多少个？(注：本题中提到的“奇数位”按从最高位开始从左到右依次为奇数位、偶数位来理解)
　
　
　
　
1．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　)
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
2．有6道选择题，答案分别为A，B，C，D，D，D，在安排题目顺序时，要求3道选D的题目任意两道不相邻，则不同的排列方法种数为(　　)21cnjy.com
A．72 B．144 C．288 D．36
3．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一种画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，那么不同的陈列方式的种数为(　　)21*cnjy*com
A．AAA B．AAA C．AAA D．AA
4．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．【来源：21cnj*y.co*m】
5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共________个．【版权所有：21教育】
求解排列问题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
答案精析
知识梳理
知识点
1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　　n(n－1)(n－2)…2·1　n！　1
题型探究
类型一
例1　解　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法．21教育名师原创作品
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．
跟踪训练1　解　第1类：挂1面旗表示信号，有A种不同的方法；
第2类：挂2面旗表示信号，有A种不同的方法；
第3类：挂3面旗表示信号，有A种不同的方法．
根据分类加法计数原理，得可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．
例2　解　(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知共有A·A·A＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法．www.21-cn-jy.com
(4)先排男生有A种排法．让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法．
跟踪训练2　解　(1)先排歌唱节目有A种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A·A＝43 200(种)方法．
(2)先排舞蹈节目有A种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A·A＝2 880(种)方法．(3)将AB捆绑一起，CDE也捆绑一起，应用捆绑法共有AAA＝8 640(种)方法．
例3　解　(1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法．
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法．
跟踪训练3　解　7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法，所以共有2·＝420(种)不同的站法．
例4　解　(1)方法一　把同学作为研究对象．
第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有A种．
第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A种排法．
由分类加法计数原理，共有A＋4×A＝2 160(种)排法．
方法二　把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法．
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法．
由分步乘法计数原理，可得共有A·A＝2 160(种)排法．
方法三　(间接法)：即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种；甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)．www-2-1-cnjy-com
(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法．
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，有A·A＝1 800(种)方法．
(3)把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法．
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1 200(种)方法．
(4)用间接法．
总的可能情况是A种，减去甲在首位的A种，再减去乙在末位的A种．注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次A种，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法．
跟踪训练4　解　6门课总的排法是A，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A种排法；数学排在最后一节，有A种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A种排法．因此符合条件的排法有A－2A＋A＝504(种)．
例5　解　(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数．
(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个．【出处：21教育名师】
故能被3整除的五位数有A＋AA＝216(个)．
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A个数，
∴240 135的项数是A＋3A＋1＝193，
即240 135是数列的第193项．
跟踪训练5　解　(1)第一类，首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．
第一步：把1,3,5三个数排列在奇数位上，有A种方法．
第二步：把0,2,4三个数排列在偶数位上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，可得首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有A·A＝36(个)．
第二类，首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数．
第一步：把1,3,5三个数排列在偶数位上，有A种方法．
第二步：把0,2,4三个数排列在奇数位上，有2×A种方法．
根据分步乘法计数原理，可得首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位数有A×2×A＝24(个)．
根据分类加法计数原理可得满足条件的六位数共有36＋24＝60(个)．
(2)第一类，当数字“1”在首位时，其他数字不受限制，其排列方法有A种，所以当数字“1”在首位时，满足条件的六位数共有A＝120(个)．
第二类，当数字“1”不在首位时，根据数字“1”只能在奇数位上，数字“1”的位置只能在千位或十位，有2种选择，数字“0”不能在首位，有4种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法有A种，所以当数字“1”不在首位时，满足条件的六位数共有2×4×A＝192(个)．
根据分类加法计数原理，可得满足条件的六位数共有120＋192＝312(个)．
当堂训练
1．C　2.B　3.A　4.240　5.240
第1课时　组合与组合数公式
学习目标　1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．2·1·c·n·j·y
知识点一　组合的定义
思考　①从3,5,7,11中任取两个数相除；
②从3,5,7,11中任取两个数相乘．
以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？
　
　
梳理　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点二　组合数与组合数公式
　从3,5,7,11中任取两个数相除，
思考1　如何用分步乘法计数原理求商的个数？
　
　
思考2　你能得出C的计算公式吗？
　
梳理
组合数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.
组合数公式
乘积形式
C＝＝________________
阶乘形式
C＝________________
性质
C＝____________
C＝____________＋____________
备注
n，m∈N＋，且m≤n，规定C＝________
类型一　组合概念的理解
例1　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？
(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？
　
　
　
　
反思与感悟　判断一个问题是否是组合问题的流程
跟踪训练1　给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题．
　
　
　
类型二　组合数公式及性质的应用
命题角度1　有关组合数的计算与证明
例2　(1)计算C－C·A；
(2)求证：C＝C.
　
　
　
反思与感悟　(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
(3)计算时常利用的组合数的两个性质
①C＝C.②C＝C＋C.
跟踪训练2　(1)计算C＋C＝________.
(2)计算C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A．C B．C
C．C－1 D．C－1
命题角度2　含组合数的方程或不等式
例3　(1)已知－＝，求C＋C；
(2)解不等式：C>C.
　
　
反思与感悟　与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．21世纪教育网版权所有
跟踪训练3　解方程3C＝5A.
　
　
　
　
　
类型三　简单的组合应用题
例4　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
　
　
　
　
反思与感悟　解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
跟踪训练4　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
　
　
　
1．下列四个问题属于组合问题的是(　　)
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
2．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是(　　)
A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q?M
C．M?Q D．M∩Q＝{1,4}
3．满足方程Cx2－x16＝C的x值为(　　)
A．1,3,5，－7 B．1,3 C．1,3,5 D．3,5
4．不等式CA．3C．n＝3,4,5 D．n＝3,4,5,6,7
5．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)21cnjy.com
1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．21·cn·jy·com
2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式等问题，一是要注意组合数本身的意义及未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C时，若m>，通常使用C＝C转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C＝C＋C.

答案精析
问题导学
知识点一
思考　①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．
梳理　为一组
知识点二
思考1　第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA＝12.
思考2　因为A＝CA，所以C＝＝6.
梳理
所有组合的个数　C　
　　C　C　C　1
题型探究
例1　解　(1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．
(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．
(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．
(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．
跟踪训练1　(1)(3)　(2)(4)
例2　(1)解　原式＝C－A
＝－7×6×5
＝210－210＝0.
(2)证明　因为右边＝C
＝·
＝＝C，
左边＝C，所以左边＝右边，所以原式成立．
跟踪训练2　(1)5 150　(2)C
例3　解　(1)∵－＝，
∴－
＝，
即－
＝.
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
∵0≤m≤5，∴m＝2，
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
(2)由C>C，得
??
又n∈N＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
跟踪训练3　解　原式可变形为3C＝5A，
即
＝5(x－4)(x－5)，
所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.
所以x＝11或x＝－2(舍去负根)．
经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.
例4　解　(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC＝＝21.21教育网
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35.
跟踪训练4　解　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C＝45(种)．
(2)从6名男教师中选2名有C种选法，从4名女教师中选2名有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法CC＝90(种)．www.21-cn-jy.com
当堂训练
1．C　2.D　3.B　4.D
5．140
第2课时　组合的应用
学习目标　1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．

知识点　组合应用题的解法
1．无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答．
2．有限制条件的组合应用题的解法
常用解法有：直接法、间接法．可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类．21教育网
类型一　有限制条件的组合问题
例1　去年7月23日，某铁路线发生特大交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
　
　
　
反思与感悟　(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
跟踪训练1　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？www-2-1-cnjy-com
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员．
　
　
　
　
类型二　与几何有关的组合应用题
例2　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.2-1-c-n-j-y
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．21教育名师原创作品
(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．
跟踪训练2　空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　)
A．205 B．110 C．204 D．200
类型三　分组、分配问题
命题角度1　不同元素分组、分配问题
例3　有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分成三组，每组都是2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
　
　
　
　
反思与感悟　分组、分配问题的求解策略
常见形式
处理方法
非均匀不编号分组
n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)
均匀不编号分组
将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为(其中A为非均匀不编号分组中的分法数)．如果再有k组均匀组应再除以A
非均匀编号分组
n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A·A
均匀编号分组
n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为·A
跟踪训练3　某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法的种数为(　　)21世纪教育网版权所有
A．24 B．48 C．96 D．114
命题角度2　相同元素分配问题
例4　将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，
求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
　
　
　
　
反思与感悟　相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．21cnjy.com
跟踪训练4　有10个运动员名额，分给班号分别为1,2,3的3个班．
(1)每班至少有1个名额，有多少种分配方案？
(2)每班至少有2个名额，有多少种分配方案？
(3)每班的名额不能少于其班号数，有多少种分配方案？
(4)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
　
　
　
　
　
1．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　)www.21-cn-jy.com
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有(　　)2·1·c·n·j·y
A．210种 B．420种
C．56种 D．22种
3．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
4．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有(　　)21·世纪*教育网
A．25个 B．36个
C．100个 D．225个
5．要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选，则有________种不同选法．21*cnjy*com
1．无限制条件的组合应用题的解题步骤
(1)判断．(2)转化．(3)求值．(4)作答．
2．有限制条件的组合应用题的分类
(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．
(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．【来源：21cnj*y.co*m】
(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．

答案精析
题型探究
例1　解　(1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90(种)抽调方法．【版权所有：21教育】
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
方法一　(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有CC种选法；
②选3名外科专家，共有CC种选法；
③选4名外科专家，共有CC种选法．
根据分类加法计数原理，共有
CC＋CC＋CC＝185(种)抽调方法．
方法二　(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，若选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有【出处：21教育名师】
C－CC－C＝185(种)抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”和“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有CC种选法；
③有2名外科专家参加，有CC种选法．
所以共有C＋CC＋CC＝115(种)抽调方法．
跟踪训练1　解　(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120(种)选法．21*cnjy*com
(2)方法一　(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246(种)选法．
方法二　(间接法)：不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，故不选女队长时共有C－C种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．
例2　解　(1)方法一　可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．
方法二　可作三角形C－C＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．
跟踪训练2　A
例3　解　(1)分三步：先选一本有C种选法，再从余下的5本中选两本有C种选法，最后余下的三本全选有C种选法．由分步乘法计数原理知，分配方式共有C·C·C＝60(种)．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360(种)．
(3)先分三组，有CCC种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种)．
(4)在(3)的基础上再分配即可，共有分配方式·A＝90(种)．
跟踪训练3　D
例4　解　(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)．
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种插法，故共有C·C＝40(种)．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．
先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．21·cn·jy·com
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，
如||00||0000|，有C种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种插法．
故共有C·(C＋C)＝30(种)．
跟踪训练4　解　(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙，在9个空隙中选2个位置插入隔板，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插板方法对应一种分法，共有C＝36(种)分法．下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个．
(2)因为要求每班至少2个名额，和第(1)小问中的要求不一样，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为7个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照第(1)小问的方法，可得有C＝15(种)分法．下图是其中的一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是3＋1＝4(个)，2＋1＝3(个)，2＋1＝3(个)．
(3)2班、3班分别先给1个和2个名额，此时问题转化为7个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C＝15(种)分法．下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是0＋3＝3(个)，2＋1＝3(个)，2＋2＝4(个)．
(4)增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为13个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照第(1)小问的方法，可得有C＝66(种)分法．下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是3－1＝2(个)，6－1＝5(个)，4－1＝3(个)．
当堂训练
1．A　2.A　3.C　4.D　5.756
4 简单计数问题
学习目标　1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．【来源：21·世纪·教育·网】

知识点一　两个计数原理
1．分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________种方法．
2．分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成. 【来源：21cnj*y.co*m】
知识点二　排列
1．排列
从n个________的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的________排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．21教育名师原创作品
2．排列数
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作____________
排列数公式
乘积式
A＝____________
阶乘式
A＝________________________
排列数的性质
A＝________；A＝________，0！＝1
知识点三　组合
1．组合
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．www.21-cn-jy.com
2．组合数
(1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．2·1·c·n·j·y
(2)组合数公式
组合数公式
乘积形式
C＝＝______________
阶乘形式
C＝
备注
n，m∈N＋，且m≤n，规定C＝________
特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法
一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．
2．解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略
(1)特殊元素优先安排的策略．
(2)正难则反，等价转化的策略．
(3)相邻问题捆绑处理的策略．
(4)不相邻问题插空处理的策略．
(5)定序问题除法处理的策略．
(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略．
(7)平均分组问题，除法处理的策略．
(8)构造模型的策略．
类型一　两个计数原理的应用
命题角度1　“类中有步”的计数问题
例1　电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．
反思与感悟　用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：
具体意义如下：
从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．21·世纪*教育网
所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练1　现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) 21*cnjy*com
A．24种 B．30种 C．36种 D．48种
命题角度2　“步中有类”的计数问题
例2　有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)21世纪教育网版权所有
反思与感悟　用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：
从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．21*cnjy*com
其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．
完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.
以上给出了处理步中有类问题的一般方法．
跟踪训练2　如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有(　　)
A．11 B．12 C．20 D．21
类型二　排列与组合的综合应用
命题角度1　不同元素的排列、组合问题
例3　有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
　
　
　
反思与感悟　(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)解排列、组合综合问题时的注意点
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．
跟踪训练3　从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？
　
　
　
命题角度2　含有相同元素的排列、组合问题
例4　今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的方法．
　
　
反思与感悟　针对对部分元素相同的n个不同元素进行排列的问题，有两种解决方法：(1)先把这些元素看作全不相同的元素进行排列，再设法消去相同元素的顺序．(2)从位置进行分析，因为位置全不相同，可以分别给相同的每一类元素找位置．
跟踪训练4　为减轻学生经济负担且又能满足学生求知要求，某班级利用班费买了4本相同的数学资料书、3本相同的外语资料书、2本相同的物理资料书作为班级图书供同学们学习使用．现有8人去借阅图书，每人只能借阅一本，则有多少种借阅方法？
　
　
　
　
1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳的不同的选择方式有(　　)
A．24种 B．14种
C．10种 D．9种
2．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的可能结果有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为(　　)
A．(34,34) B．(43,34)
C．(34,43) D．(A，A)
3．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有(　　)
A．72个 B．120个
C．240个 D．360个
4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．21教育网
5．已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．【版权所有：21教育】
1．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．21cnjy.com
2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．
3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．【出处：21教育名师】

答案精析
知识梳理
知识点一
1．m1＋m2＋…＋mn
2．m1×m2×…×mn
知识点二
1．不同　顺序
2．A　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　(n，m∈N＋，m≤n)　n！　1
知识点三
2．(1)所有组合的个数　C
(2)　1
题型探究
例1　28 800
解析　在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果．21·cn·jy·com
跟踪训练1　D
例2　264
跟踪训练2　D
例3　解　分三类：
第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种．
第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种．
第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法种数为C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432.
跟踪训练3　解　(1)五位数中不含数字0.
第1步，选出5个数字，共有CC种选法．
第2步，排成偶数——先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法．
所以N1＝C·C·A·A.
(2)五位数中含有数字0.
第1步，选出5个数字，共有C·C种选法．
第2步，排顺序又可分为两小类：
①末位排0，有A·A种排列方法；
②末位不排0.这时末位数有C种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有A种排法，其余3个数字则有A种排法．2-1-c-n-j-y
所以N2＝C·C(A·A＋A·A)．
所以符合条件的偶数个数为
N＝N1＋N2＝CCAA＋CC(AA＋AA)
＝4 560.
例4　1 260
跟踪训练4　解　第一类：剩下的一本书是数学资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为3,3,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC＝560(种)．
第二类：剩下的一本书是外语资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,2,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC＝420(种)．
第三类：剩下的一本书是物理资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,3,1的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC＝280(种)．
根据分类加法计数原理，可得借阅方法共有560＋420＋280＝1 260(种)．
当堂训练
1．B　2.C　3.C　4.36　5.90
5.1　二项式定理
学习目标　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．21cnjy.com
知识点　二项式定理
思考1　我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．【版权所有：21教育】
　
　
思考2　上述两个等式的右侧有何特点？
　
　
思考3　能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N＋)的展开式吗？
　
　
梳理　二项式定理
二项式定理
公式(a＋b)n＝____________________，称为二项式定理
二项展开式
等号右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式
二项式系数
各项的系数____________________叫作二项式系数
二项式通项
式中________________叫作二项展开式的第r＋1项，又叫作二项式通项
在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.
类型一　二项式定理的正用、逆用
例1　(1)求(3＋)4的展开式．
　
　
　
引申探究
将本例(1)改为求(2x－)5的展开式．
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
　
　
　
　
反思与感悟　(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.21·cn·jy·com
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1　化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
　
　
　
　
　
类型二　二项展开式通项的应用
命题角度1　二项式系数与项的系数
例2　已知二项式(3－)10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
(2)求展开式第4项的系数；
(3)求第4项．
　
　
　
　
反思与感悟　(1)二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．21世纪教育网版权所有
(2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.21教育网
跟踪训练2　已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
　
　
　
　
命题角度2　展开式中的特定项
例3　已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
　
　
　
　
反思与感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1.
②求含xr的项(或xpyq的项)．
③求常数项．
④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．2·1·c·n·j·y
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3　(1)若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋)n的二项展开式的常数项是________．【来源：21·世纪·教育·网】
1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是(　　)
A．28 B．56
C．112 D．224
2．二项式(x＋)12的展开式中的常数项是(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
3．已知5的展开式中含的项的系数为30，则a等于(　　)
A．－6 B．－3 C．3 D．6
4．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC的值为(　　)
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
5．(＋)n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．
　
　
　
　
求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．www-2-1-cnjy-com

答案精析
问题导学
知识点
思考1　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
思考2　(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
思考3　能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N＋)．
梳理　Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn　C(r＝0,1,2，…，n)
Can－rbr
题型探究
例1　(1)解　方法一　(3＋)4＝(3)4＋C(3)3()＋C(3)2()2＋C(3)()3＋C()4＝81x2＋108x＋54＋＋.2-1-c-n-j-y
方法二　(3＋)4＝()4＝
(1＋3x)4＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.21*cnjy*com
(2)解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.【来源：21cnj*y.co*m】
引申探究
解　方法一　(2x－)5＝C(2x)5－C(2x)4·＋C(2x)3·()2－C(2x)2·()3＋C(2x)·()4－C·()5＝32x5－80x2＋－＋－.21·世纪*教育网
方法二　(2x－)5＝[(2x3－1)]5＝－(1－2x3)5＝－[1－C(2x3)＋C(2x3)2－C(2x3)3＋C(2x3)4－C(2x3)5]＝－＋－＋－80x2＋32x5.【出处：21教育名师】
跟踪训练1　解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.21教育名师原创作品
例2　解　(3－)10的展开式的通项是Tr＋1＝C(3)10－r(－)r＝
C310－r(－)r·(r＝0,1,2，…，10)．
(1)展开式的第4项(r＝3)的二项式系数为C＝120.
(2)展开式的第4项的系数为
C37(－)3＝－77 760.
(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77 760.
跟踪训练2　解　(1)因为T3＝
C()n－22＝4C，
T2＝C()n－1＝－2C，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，n＝9.
(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝
C()9－rr＝(－2)rC，
所以＝3，r＝1，
所以第二项为含x3的项，T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
例3　解　通项公式为
Tr＋1＝C(－3)r
＝C(－3)r.
(1)∵第6项为常数项，∴当r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，
令＝t(t∈Z)，
则10－2r＝3t，即k＝5－t.
∵r∈Z，∴t应为偶数．
令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
跟踪训练3　(1)1　(2)160
当堂训练
1．C　2.D　3.A　4.C
5．解　由题意知，C＝C.
∴n＝17.
∴Tr＋1＝C·2r·＝C·2r·.
由－＝1，解得r＝9.
∴Tr＋1＝C·x4·29·x－3，
即T10＝C·29·x.
其一次项系数为C·29.
5.2　二项式系数的性质
学习目标　1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．【来源：21·世纪·教育·网】

知识点　二项式系数的性质
(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
思考1　同一行中，系数有什么规律？
　
　
思考2　相邻两行，系数有什么规律？
　
　
　
梳理　“杨辉三角”蕴含的规律
(1)在同一行中，每行两端都是1.
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质C＝C＋C.www-2-1-cnjy-com
(3)与首末两端“____________”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性，即C＝________.21*cnjy*com
特别提醒：
1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质
(1)C＝C.
(2)C＝C＋C.
2．从二项式系数表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.21世纪教育网版权所有
类型一　与杨辉三角有关的问题
例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．【版权所有：21教育】
　
引申探究
本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？
反思与感悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
跟踪训练1　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.21教育名师原创作品
类型二　求展开式的系数和
例2　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练2　在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
　
　
　
　
　
类型三　二项式系数性质的应用
例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)展开式中系数的最大项的求法
求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项．21教育网
跟踪训练3　已知(x2－)n展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求(x2－)n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．21·世纪*教育网
　
　
　
　
1．(1＋2x)10的展开式中各项系数的和为(　　)
A．310 B．210 C．－1 D．1
2．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
3．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
4．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．
5．已知(1－x)8的展开式，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最小的项．
　
　
　
　
1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．
2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0、1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．21cnjy.com
3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．
(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}．

答案精析
问题导学
知识点
思考1　两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等．
思考2　在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
梳理　(3)等距离　C
题型探究
例1　解　由题意及杨辉三角的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…＋9)
＝C＋＝164.
引申探究
解　S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…＋11)www.21-cn-jy.com
＝C＋＝286＋65＝351.
跟踪训练1　34
例2　解　(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①
∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，可得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②
与①联立相减得
a1＋a3＋…＋a99
＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.2-1-c-n-j-y
(5)∵Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，
∴a2k－1<0(k∈N＋)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
跟踪训练2　解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得
a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即所有奇数项系数之和为.
例3　解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.2·1·c·n·j·y
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的项，它们分别为T3＝C()3·(3x2)2＝90x6，T4＝C()2·(3x2)3＝270.【出处：21教育名师】
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
即∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4，
∴展开式中系数最大的项为
T5＝C(3x2)4＝405.
跟踪训练3　解　2n－27＝128，n＝8，
(x2－)8的通项Tr＋1＝C(x2)8－r·(－)r
＝(－1)rCx16－3r.
当r＝4时，展开式中的系数最大，即T5＝70x4为展开式中的系数最大的项；当r＝3或5时，展开式中的系数最小，即T4＝－56x7，T6＝－56x为展开式中的系数最小的项．
当堂训练
1．A　2.C　3.B　4.－15
5．解　(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大，该项为T5＝C(－x)4＝70x4.21·cn·jy·com
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定．由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为
T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5.
习题课 二项式定理
学习目标　1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题． 21cnjy.com
1．二项式定理及其相关概念
二项式定理
公式(a＋b)n＝__________________________________，称为二项式定理
二项式系数
二项式通项
Tr＋1＝________________
二项式定理的特例
(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性：________________.
(2)性质：C＝________＋________.
(3)二项式系数的最大值：_____________________________________________________
____________________.
(4)二项式系数之和C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝________，所用方法是__________．
类型一　二项式定理的灵活应用
命题角度1　两个二项式积的问题
例1　(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.21·cn·jy·com
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.
反思与感悟　两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
跟踪训练1　(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(　　)
A．－40 B．－20
C．20 D．40
命题角度2　三项展开式问题
例2　5的展开式中的常数项是________．
反思与感悟　三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．
跟踪训练2　求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数．
　
　
命题角度3　整除和余数问题
例3　今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　)
A．一 B．二 C．三 D．四
反思与感悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
跟踪训练3　设a∈Z，且0≤a<13，若512 015＋a能被13整除，则a＝________.
类型二　二项式系数的综合应用
例4　已知(＋2x)n.
(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
　
　
反思与感悟　解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．www.21-cn-jy.com
跟踪训练4　已知n展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.
　
　
　
　
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)
A．30 B．20
C．15 D．10
2.3的展开式中常数项为(　　)
A．－8 B．－12
C．－20 D．20
3．当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(　　)
A．0 B．2
C．7 D．8
4．已知5的展开式中含的项的系数为30，则a等于(　　)
A. B．－
C．6 D．－6
5．若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________.
1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
2．三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．
3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．
4．求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入．
5．确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质．

答案精析
知识梳理
1．Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn　C(r＝0,1，…，n)　Can－rbr(k＝0,1，…n)
2．(1)C＝C　(2)C　C
(3)当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即＝最大．21世纪教育网版权所有
(4)2n　赋值法
题型探究
例1　(1)120　(2)－1
解析　(1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
∴x2的系数为C＋aC，
则10＋5a＝5，解得a＝－1.
跟踪训练1　D
例2　　
跟踪训练2　解　(x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C(x2＋3x)4－C(x2＋3x)3·4＋C(x2＋3x)2·42－C(x2＋3x)·43＋C·44，21教育网
显然，上式中只有第四项中含x的项，所以展开式中含x的项的系数是－C·3·43＝－768.
例3　A
跟踪训练3　1
例4　解　(1)由已知得2C＝C＋C，
即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.
当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，
∵T4＝C()4(2x)3＝x3，T5＝C()3(2x)4＝70x4，
∴第四项的系数是，第五项的系数是70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C()7×27＝3 432.
(2)由C＋C＋C＝79，即n2＋n－156＝0.
得n＝－13(舍去)或n＝12.
设Tr＋1项的系数最大，
∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，
由
解得9.4≤r≤10.4.
∵0≤r≤n，r∈N＋，∴r＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项，
即T11＝()12·C·410·x10＝16 896x10.
跟踪训练4　解　依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．
依题意得C(2x)4(xlg x)4＝1 120，
化简得x4(1＋lg x)＝1，
所以x＝1或4(1＋lg x)＝0，
故所求x的值为1或.
当堂训练
1．C　2.C　3.C　4.D　5.128
第一章 计数原理
1　两个计数原理的灵活应用
计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观．下面通过典例来说明．
一、列举法
例1　某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有(　　)
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
解析　依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解．
若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；
若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；
若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；
若买8个鼠标，则可买键盘3个；
若买9个鼠标，则可买键盘3个．
根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9种．故选C.
答案　C
点评　本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得．列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律．
二、树形图法
例2　用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
解　编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码，如图．
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．
三、列表法
例3　四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？
解　把四个人分别编号①、②、③、④，对应写的贺年卡编号分别为1,2,3,4，将4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：
四个人
取贺年卡的方法
①
2
2
2
3
3
3
4
4
4
②
1
3
4
1
4
4
1
3
3
③
4
4
1
4
1
2
2
1
2
④
3
1
3
2
2
1
3
2
1
方法编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
由表格可知，共有9种不同的方法．
点评　本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算．借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决．21*cnjy*com
四、直接法
例4　已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl和NaOH分子？【版权所有：21教育】
解　因为HCl由两种元素构成，所以分两步完成：
第1步：选择氢元素，共有3种．
第2步：选择氯元素，共有2种．
由分步乘法计数原理得共有6种HCl分子．
同理，对于NaOH而言，分三步完成．
第1步：选择钠元素，有3种选法．
第2步：选择氧元素，有4种选法．
第3步：选择氢元素，有3种选法．
由分步乘法计数原理知共有3×4×3＝36(种)NaOH分子．
点评　当问题情景中的规律明显，已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题．
2　排列、组合的破解之术
排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法原理计算就可．说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路．下面就来谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！
一、特殊元素——优先法
对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑．
例1　将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1解析　由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1答案　30
二、相邻问题——捆绑法
把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”一起排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上排列．
例2　记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
解析　先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步乘法计数原理可得，不同的排法有A·A·C＝960(种)．
答案　B
三、不相邻问题——插空法
某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．
例3　五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有(　　)
A．48种 B．192种
C．240种 D．288种
解析　(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A种排法，而女生可互换位置，所以共有A×A种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A×A(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列种数为A×A－A×A＝192.
答案　B
四、至多至少问题——间接法
对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数．21·cn·jy·com
例4　从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
解析　从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有CA种，故共有A－CA＝36(种)选法．
答案　 36
五、多类元素组合——分类取出
当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．
例5　如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有____________种(用数字作答)．
解析　如果用两种颜色，则有C种颜色可以选择，涂法有2种．如果用3种颜色涂色，有C种颜色可以选择，涂法有C·C(C＋1)＝18(种)．
所以，不同涂色种数为C·2＋C·18＝390(种)．
答案　390
六、排列、组合混合——先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列．
例6　某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
解析　首先把5个班分成4组，即2,1,1,1，有种方法．然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A种方法．由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有·A＝240(种)．
答案　240
3　正方体中的计数问题
在解决关于正方体的排列、组合问题时，要善于利用几何性质，借助图形帮助思考，这对解决问题将起到事半功倍的效果．下面举例说明：
例1　从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(　　)
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
解析　从正方体的6个面中任取3个面共有C种不同选法，其中3个面均相邻的选法共有8种(此时三个面共有一个顶点)，故符合题意的选法共有C－8＝12(种)．
答案　B
变式训练1　正方体的一条对角线与它的12条棱组成的异面直线共有________对．
答案　6
例2　连接正方体任意两个顶点的直线中异面直线有____________________________对．
解析　确定一对异面直线需要四个不共面的点，而四个不共面的点可以构成一个四面体，而一个四面体有三对异面直线，因此“异面直线的对数＝3×四面体数”，由于以正方体的顶点为顶点的四面体共有58个，所以共有异面直线3×58＝174(对)．
答案　174
变式训练2　过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条，其中异面直线有(　　)
A．18对 B．24对 C．30对 D．36对
答案　D
例3　从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为(　　)
A．56 B．52 C．48 D．40
解析　由于正方体的各个面都是矩形，而1个矩形有4个直角三角形，因此有对应关系“直角三角形数＝4×矩形数”，正方体共有12个矩形的面，所以直角三角形共有4×12＝48(个)．【来源：21·世纪·教育·网】
答案　C
变式训练3　从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中正三角形的个数为________．
答案　8
4　“隔板法”在计数问题中的妙用
“隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决．下面剖析一下隔板法适用条件，并选择几个实例来加以说明．
一、隔板法的适用条件
排列、组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列、组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中(n≥m)，每个对象至少有一个元素．这类问题必须满足三个条件：①小球必须相同；②盒子必须不同；③每个盒子至少有一个小球．当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法．
二、隔板法的实际应用
应用1　20个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？21cnjy.com
解　如右图，用“0”表示小球，0000|00000000|00000000
在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有C＝171种放法．21·世纪*教育网
点评　解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可．
应用2　方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的正整数解有多少个？
解　该问题转化为：将方程左边的x1、x2、x3、x4看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球．这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？这样，类似应用1可知，所以共有C＝969(种)．
点评　不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n(n，m∈N＋，n≥m)的正整数解个数问题可以转化为“将n个相同元素分给m个不同对象(n≥m)，每个对象至少有一个元素”的模型，进而采用隔板法求解．【来源：21cnj*y.co*m】
整体概括：通过对隔板法的应用，可得下列结论：
结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，从n－1个间隔中，选出m－1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝C.【出处：21教育名师】
结论2：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，某些组允许落空，则可将m－1个隔板和n个元素排成一排，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝C.
试一试
1．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解　(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有C＝20(种)．
(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120(种)放入方式．
2．将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，共有多少种不同的分配方案？
解　先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个．
利用“隔板法”可知，共有C＝15(种)不同的分配方案．
3．某市教委准备在当地的9所重点中学中选派12名优秀青年教师参加在职培训，每所学校至少一个名额，求不同的分配方案的种数．
解　从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分堆”，将一种分配方法和一个组合建立一一对应，实际问题化归为组合数求解．该事件的实质为将12个相同的元素分成9堆，每一堆至少一个元素，“隔板法分堆”，即在12个相同元素构成的11个空中插入8个隔板，其方法有C＝165(种)．
5　排列、组合中的数学思想
一、分类讨论思想
例1　如果一个三位正整数形如“a1a2a3”，满足a1A．240 B．204
C．729 D．920
解题提示　本题中的三位正整数，要求中间一位数字最大，需根据中间数字所有可能的情况分类讨论；另外要注意首位与个位上的数字允许重复．
解析　由题意知：a1≠0，a2≥2.下面只需对a2＝2，a2＝3，…，a2＝9分别进行讨论，并求其值后求和．当a2＝2时，a1，a3只能从0,1中取，a1只能取1，a3可取0,1，排出“a1a2a3”共有2种；当a2＝3时，a1从1,2中任取一个有C种，a3从0,1,2中任取一个有C种，所以共有C·C种；当a2＝4时，a1从1,2,3中任取一个有C种，a3从0,1,2,3中任取一个有C种，所以共有C·C种；…；当a2＝9时，a1从1,2,3，…，8中任取一个有C种，a3从0,1,2，…，8中任取一个有C种，共有C·C种．综上，可得组合成所有的凸数个数为2＋C·C＋C·C＋C·C＋C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝240.
答案　A
点评　本题中分类的标准非常明确，即中间数字的取值情况．对于分类标准明确、分类情况多的题目，要有耐心逐个求解，最后求和．正确地进行求解运算也是求解此类题目的一个关键点．
例2　从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不重复的数字分别作为a、b、c的值构成二次函数y＝ax2＋bx＋c.试问：
(1)共可组成多少个不同的二次函数？
(2)在这些二次函数图像中，以y轴为对称轴的有多少条？经过原点且顶点在第一或第三象限的有多少条？
解题提示　二次函数要求a≠0，可以优先考虑a的取值；也可以用排除法．结合顶点在第一象限或第三象限对a，b，c的符号要求进行分析是解决第(2)问的关键．
解　(1)方法一　因为y＝ax2＋bx＋c是二次函数，所以a≠0.因此，可从－3，－2，－1,1,2,3,4中选取一个排在a的位置上，有C种选法．b，c的取值没有特殊要求，所以从剩余的6个非零元素加上0共7个元素中选取两个有C种选法，再把它们排在b，c的位置上有A种排法．由分步乘法计数原理共有C·C·A＝7××2＝294(个)不同的二次函数．
方法二　利用排除法，从所有情况中去掉“0”排在a位置的情况．
C·A－C·A＝×3×2×1－×2＝294(个)不同的二次函数．
(2)当对称轴为y轴时，b＝0，这样的抛物线有A＝42(条)．
当抛物线过原点时，c＝0，抛物线的顶点为.
①当顶点在第一象限时，有故这样的抛物线有A·A＝12(条)；
②当顶点在第三象限时，有故这样的抛物线有A＝12(条)．
故经过原点且顶点在第一或第三象限的共有24条．
点评　当排列、组合问题与相关数学问题背景联系在一起时，要注意结合数学背景对涉及的字母a，b，c的要求，合理地转化为a，b，c的直接要求，再进行分类．实际问题数学化，文字表述代数化是解决实际背景问题的常规思想方法．2-1-c-n-j-y
二、数形结合思想
例3　以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为(　　)
A．76 B．78 C．81 D．84
解题提示　将圆的一般方程化为标准方程，画出图形，结合图形从所有情况中去掉三点共线的情况．
解析　本题是一个综合问题，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝3.如图，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C－8＝76.
答案　A
点评　整点个数的计算，三点共线情况的寻找都需要我们在平面直角坐标系下正确画出本题中的圆以及与整点共线有关的8条直线．与几何图形探求有关的组合问题，画出相关图形，结合图形求解是解决此类题目常用的方法．2·1·c·n·j·y
三、转化与化归思想
例4　某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(　　)
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
解析　设买单片软件x件，盒装磁盘y盒，则命题转化为不等式组(x，y∈N)的解的个数，不难求得(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)为其解，所以不同的选购方式共有7种．
答案　C
点评　本题若直接列举讨论，情况较复杂，根据题目条件设出相关变量x，y，列出不等式组缩小讨论范围，简化了求解过程．
例5　如图①，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有(　　)
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
解析　如图②，构造三棱锥A－BCD，四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．
由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．从六条棱中任取三条棱的不同取法有C种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C－4＝16(种)．
答案　C
点评　本题根据问题特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰、简洁明快.
6　排列、组合问题错解分类剖析
排列、组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错．本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析．
一、没有理解两个基本原理出错
排列、组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列、组合问题的前提．
例1　从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有________种．
误解　因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法．
错因分析　误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法．
正解　由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C种方法；第二步是在组装计算机中任意选取3台，有C种方法，据乘法原理共有C·C种方法．同理，完成第二类办法中有C·C种方法．据加法原理完成全部的选取过程共有C·C＋C·C＝350(种)方法．
例2　在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况的种数为(　　)
A．A B．43 C．34 D．C
误解　把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.
错因分析　误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式．
正解　四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3＝34(种)，故选C.
说明　本题还有同学这样误解，甲、乙、丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得43，这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能．
二、判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合．
例3　有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
误解　因为是8个小球的全排列，所以共有A种方法．
错因分析　误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．
正解　8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有C＝56(种)排法．
三、重复计算出错
在排列、组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误．
例4　某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有多少种？www.21-cn-jy.com
误解　第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列．共有：CCA＝1 260.
错因分析　这里是均匀分组问题．比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了．
正解　＝630(种)．
四、遗漏某些情况出错
在排列、组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况而出错．
例5　用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的比1 000大的奇数共有(　　)
A．36个 B．48个
C．66个 D．72个
误解　如图，最后一位只能是1或3，有两种取法，
1,3
又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中间两个位置有A种排法，共有2×3×A＝36(个)．
错因分析　误解只考虑了四位数的情况，而比1 000大的奇数还可能是五位数．
正解　任一个五位的奇数都符合要求，共有2×3×A＝36(个)，再由前面分析知满足题意的四位数和五位数共有72个，选D.
五、忽视题设条件出错
在解决排列、组合问题时，一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或漏解．
例6　如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种(以数字作答)．
误解　先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有C·2·A＝12(种)，由乘法原理共有4×12＝48(种)．
错因分析　据报道，在高考中有很多考生填了48种．这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务．
正解　当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时，从4种颜色中选取3种有C种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理知有C×3×2＝24(种)．综上，共有48＋24＝72(种)方法．
例7　已知ax2－b＝0是关于x的一元二次方程，其中a、b∈{1,2,3,4}，求解集不同的一元二次方程的个数．
误解　从集合{1,2,3,4}中任意取两个元素作为a、b，方程有A个，当a、b取同一个数时方程有1个，共有A＋1＝13(个)．
错因分析　误解中没有注意到题设中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于和同解、和同解，故要减去2个．
正解　由分析，共有13－2＝11(个)解集不同的一元二次方程．
六、未考虑特殊情况出错
在排列、组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错．
例8　现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是(　　)
A．1 024种 B．1 023种
C．1 536种 D．767种
误解　因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有210－1＝1 023(种)，故选B.
错因分析　这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况．
正解　除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有28×3－1＝767(种)，故选D.
七、题意的理解偏差出错
例9　现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法的种数为(　　)
A．A·A B．A－A·A
C．A·A D．A－A
误解　除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有A种方法，这样共有A·A种排法，选A.
错因分析　误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况．“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻．
正解　在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，
即A－A·A，故选B.
排列、组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列、组合学好．
7　用五种意识求解二项式问题
在历年高考中都有涉及二项式定理的试题，本文总结了五种解题意识，旨在强化同学们解此类问题的目的性及方向性，避免低效性和盲目性，使解题能力得以提高．
一、通项意识
凡涉及到展开式的项及其系数问题，常是先写出其通项公式Tr＋1＝Can－rbr，再根据题意进行求解．因此通项意识是解二项式问题的首选意识．
例1　若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n为________．
解析　展开式的通项为Tr＋1＝C(2x3)n－rr
＝C·2n－r.
令3n－＝0，得r＝，
∵r∈N＋且r≤n，∴n必须能被7整除，
∴满足条件的最小正整数n＝7.
答案　7
二、方程意识
已知展开式中若干项系数的关系，求指数n及二项式中参数的值等，可借助展开式中的通项，根据题意建立方程解决．
例2　已知9展开式中x3的系数为，则常数a＝________.
解析　Tr＋1＝C9－rr
＝ (－1)r，依题意，有r－9＝3，解得r＝8.
故含x3的项为第9项，其系数为(－1)82－4Ca＝，
即a＝，解得a＝4.
答案　4
三、特殊化意识
在求展开式中的各系数之和及某些组合数之和时，有意识地对未知数试取某些特殊值是一种非常有效的方法．
例3　若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析　a3＝1，a2＋a3·C(－2)＝0，∴a2＝6.
答案　B
点评　解决本题也可令x3＝[(x－2)＋2]3，利用展开式求解．
四、转化意识
转化意识是高考重点考查的内容之一．在二项式定理的有关问题中，主要表现在单项式和三项式转化配凑为二项式来求解；多个二项式的积的某项系数问题转化为乘法分配律问题．
例4　(1＋2x2)(x－)8的展开式中常数项为________．(用数字作答)
解析　(1＋2x2)8＝8＋2x28，
∴常数项为C×x4(－x－1)4＋2x2Cx3(－x－1)5，
即70－2×56＝－42.
答案　－42
五、应用意识
应用是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、求组合数及求余数等问题．
例5　若C＝C (n∈N＋)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于(　　)21教育名师原创作品
A．81 B．27
C．243 D．729
解析　由题知，2n＋6＝n＋2或2n＋6＋n＋2＝20，
得n＝－4(舍)或n＝4.
此时令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.
答案　A
8　二项式定理中易混概念辨析
在学习二项式定理时，极易忽略一些条件或混淆一些概念，下面对解题中常见的错误加以剖析，以提高同学们的警惕性．21*cnjy*com
一、项与项的系数
(a＋b)n的展开式中的第r＋1项是Can－rbr(注意a，b可以是实数，还可以是代数式)，而第r＋1项的系数是对应单项式中的数字因数．
例1　(x－1)10的展开式中的第6项的系数是(　　)
A．Cx5 B．－Cx5
C．C D．－C
解析　因为(x－1)10的展开式的第6项是
T6＝Cx10－5(－1)5＝－Cx5，
故第6项的系数是－C.
答案　D
二、项的系数与项的二项式系数
(a＋b)n的展开式中的第r＋1项的二项式系数是C(r＝0,1,2，…，n)，仅与n，r有关；而第r＋1项的系数不是二项式系数C，但有时这个系数与二项式系数相等．注意二项式系数C一定为正，而对应项的系数有时可能为负．
例2　(x3＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数是______，第4项的系数是________．
解析　因为(x3＋2x)7的展开式的第4项是
T4＝C(x3)4(2x)3，
故该项的二项式系数是C＝35，
该项的系数是23C＝280.
答案　35　280
三、各项的二项式系数和与各项的系数和
设a，b为常数，则(ax＋b)n的展开式中各项的二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.
在(ax＋b)n的展开式中令x＝1，则得(ax＋b)n的展开式中各项的系数和为(a＋b)n.
例3　在(1－2x)7的展开式中，各项的二项式系数和为______；各项的系数和为______；各项系数的绝对值之和为______．
解析　各项的二项式系数和为27＝128；
令x＝1，则得各项的系数和为(1－2)7＝－1；
令x＝－1，则得各项系数的绝对值之和为
(1＋2)7＝2 187.
答案　128　－1　2 187
四、奇(偶)数项系数与奇(偶)次项系数
例4　(1－x)6的展开式中，x的奇次项系数之和是(　　)
A．32 B．－32
C．0 D．－64
错解　∵(1－x)6＝C－Cx＋Cx2－…＋Cx6，
∴奇次项系数之和为C＋C＋C＋C＝32，故选A.
错因剖析　混淆了奇数项系数与奇次项系数的概念，误以为是奇数项系数之和，从而导致错误．
正解　∵(1－x)6＝C－Cx＋Cx2－…＋Cx6，
∴奇次项系数之和为－C－C－C＝－32，故选B.
答案　B
五、颠倒公式(a＋b)n中a，b的顺序
例5　若n展开式中，第3项是常数，则中间项是第几项？
错解　T3＝C··n－2＝C·，因为第3项是常数，所以令＝0，解得n＝.由于n为自然数，所以此题无解．21世纪教育网版权所有
错因剖析　此题并不是无解．二项式(a＋b)n与(b＋a)n全部展开项是相同的，只是前后顺序颠倒而已；但具体涉及到二项展开式的某一项时就不一定相同了，因为二项展开式的项是按照(a＋b)n第一个数a的降幂排列的，不可随意颠倒a，b的顺序，如(a＋b)n的第r＋1项是Can－rbr，(b＋a)n的第r＋1项是Cbn－rar，因此要注意项数与顺序的关系．
正解　T3＝C··2＝C·，因为第3项是常数，所以令＝0，解得n＝8.
故展开式总共有9项，中间项是第5项
第一章 计数原理
学习目标　1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会利用两种原理解决一些实际问题.2.理解排列数和组合数公式的推导过程，掌握排列组合在实际问题中的应用.3.掌握二项式定理和二项展开式的性质． 【来源：21·世纪·教育·网】
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类方案中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________种方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．
3．排列数与组合数公式及性质
排列与排列数
组合与组合数
公式
排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…____________＝____________
组合数公式C＝__________＝________________________＝____________
性质
当m＝n时，A为全排列；A＝n！；0！＝________
C＝C＝1；
C＝____________；
C＋C＝____________
备注
n，m∈N＋，且m≤n
4.二项式定理
(1)二项式定理的内容：
(a＋b)n＝_______________________________________________________.
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，r∈{0,1,2，…，n}．
(3)二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
②若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数相等且最大．
③C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
类型一　数学思想方法在求解计数问题中的应用
命题角度1　分类讨论思想
例1　有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法．21·cn·jy·com
　
　
　
　
反思与感悟　解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)；(2)总数要完备(保证不遗漏)．
跟踪训练1　从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)2-1-c-n-j-y
命题角度2　“正难则反”思想
例2　设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1A．78 B．76 C．83 D．84
反思与感悟　对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考．
跟踪训练2　由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．
类型二　排列与组合的综合应用
例3　在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【版权所有：21教育】
　
　
　
　
反思与感悟　排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合．对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列．对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏．在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净．21·世纪*教育网
跟踪训练3　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生：
(2)某女生一定要担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不但任数学课代表．
　
　
　
　
　
　
类型三　二项式定理及其应用
命题角度1　二项展开式的特定项问题
例4　已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1)求展开式中的所有有理项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项；
(3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值．
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．www-2-1-cnjy-com
(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．【来源：21cnj*y.co*m】
(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．21教育名师原创作品
(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．
(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．
跟踪训练4　已知n的展开式的倒数第三项的系数为45.
　
　
　
　
　
　
　
　
命题角度2　二项展开式的“赋值”问题
例5　若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a2；
(2)求a1＋a2＋…＋a10；
(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．
跟踪训练5　若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．21cnjy.com
1．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有(　　)2·1·c·n·j·y
A．24种 B．36种
C．48种 D．60种
2．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)
A．1 B．±1
C．2 D．±2
3．某校一社团共有10名成员，从周一到周五每天安排两人值日．若甲、乙必须排在同一天，且丙、丁不能排在同一天，则不同的安排方案有(　　)21*cnjy*com
A．21 600种 B．10 800种
C．7 200种 D．5 400种
4．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.
5．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)21*cnjy*com
1．排列与组合
(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的．
(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题的考虑途径
①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．
②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配．
2．二项式定理
(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．
(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1，…，n)，其中二项式系数是C，而不是C，这是一个极易错点．
(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法．

答案精析
知识梳理
1．m1＋m2＋…＋mn
2．m1×m2×…×mn
3．(n－m＋1)　　　　　C　C
4．(1)Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn (n∈N＋)
题型探究
例1　解　分四类
第一类：3个只会左舷的人全不选，有CCC＝200(种)；
第二类：3个只会划左舷的人中只选1人，有CCC＝1 050(种)；
第三类：3个只会划左舷的人中只选2人，有CCC＝840(种)；
第四类：3个只会划左舷的人全选，有CC＝84(种)，
所以共有200＋1 050＋840＋84＝2 174(种)选法．
跟踪训练1　60
例2　C
跟踪训练2　30
例3　解　(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A＝24(种)方法．
根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．
(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840(种)方法．21教育网
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序．
(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132(种)排列．www.21-cn-jy.com
跟踪训练3　解　(1)先选后排．课代表的选法有CC＋CC种，排列方法有A种，所以满足题意的选法有(CC＋CC)A＝5 400(种)．
(2)除去该女生后，即相当于剩余的7名学生选4名担任4门学科的课代表，有A＝840(种)选法．
(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C种选法，排列方法有CA，所以选法共有CCA＝3 360(种)．
(4)先从除去该男生和女生的6人中选出3人，有C种选法，该男生的安排方法有C种，其余3人全排，有A种选法，因此满足题意的选法共有CCA＝360(种)．
例4　解　(1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，解得n＝10，
因为通项Tr＋1＝C()10－rr
＝(－2)rC，r＝0,1,2，…，10.
当5－为整数时，r可取0,6，
于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440.
(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，则
解得又因为r∈{1,2,3，…，9}，
所以r＝7，
当r＝7时，T8＝－15 360x－，
又因为当r＝0时，T1＝x5，
当r＝10时，
T11＝(－2)10＝1 024，
所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360.
(3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C
＝
＝
＝＝.
跟踪训练4　解　已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C＝45，即C＝45，得n2－n＝90，解得n＝－9(舍去)或n＝10.21世纪教育网版权所有
(1)通项Tr＋1＝C()10－r()r＝C(0≤r≤10，r∈N)，
令－＋＝3，得r＝6.
故含有x3的项是第7项，
T7＝Cx3＝210x3.
(2)∵10的展开式共11项，
∴系数最大项是第6项，T6＝C()5·()5＝252.
例5　解　(1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
a2是展开式中x2的系数，
∴a2＝C(－1)5C(－2)3＋C(－1)4C·(－2)4＋C(－1)3C(－2)5＝800.
(2)令x＝1，代入已知式可得，
a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3)令x＝－1可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，
再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，
把这两个等式相乘可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.
跟踪训练5　5
当堂训练
1．D　2.C　3.B　4.364　5.300
1.1　回归分析 1.2　相关系数
学习目标　1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.掌握建立线性回归模型的步骤．21·世纪*教育网
知识点一　线性回归方程
思考　(1)什么叫回归分析？
(2)回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？
　
梳理　(1)平均值的符号表示
假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，在统计上，用表示一组数据x1，x2，…，xn的平均值，即＝______＝________；用表示一组数据y1，y2，…，yn的平均值，即＝______________＝______________.【版权所有：21教育】
(2)参数a，b的求法
b＝＝____________＝____________，a＝________.
知识点二　相关系数
思考1　给出n对数据，按照公式求出的线性回归方程，是否一定能反映这n对数据的变化规律？
　
思考2　怎样通过相关系数刻画变量之间的线性相关关系？
　
　
梳理　(1)相关系数r的计算公式
r＝ .
(2)相关系数r的取值范围是________，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越接近0，变量之间的线性相关程度越低．21*cnjy*com
(3)当r>0时，b________0，称两个变量正相关；
当r<0时，b________0，称两个变量负相关；
当r＝0时，称两个变量线性不相关．
类型一　概念的理解和判断
例1　有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
③通过回归方程y＝bx＋a可以估计观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
跟踪训练1　下列关系中，是相关关系的是________．(填序号)
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
类型二　回归分析
命题角度1　求线性回归方程
例2　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
　
　
　
　
　
跟踪训练2　某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：【出处：21教育名师】
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求样本点的中心；(2)画出散点图；(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．
　
　
　
　
　
命题角度2　线性回归分析与回归模型构建
例3　某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)(元)与日销售量y(台)之间有如下关系：21教育名师原创作品
x
35
40
45
50
y
56
41
28
11
(1)画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系；
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(2)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
　
　
跟踪训练3　某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5
(1)求年推销金额y对工作年限x的线性回归方程；
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
　
　
类型三　相关系数的计算与应用
例4　现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：21世纪教育网版权所有
学生号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？
　
　
　
跟踪训练4　下面的数据是从年龄在40岁到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)，以及每天花在看电视上的平均时间x(小时)．
看电视的平均时间x
4.4
4.6
2.7
5.8
0.2
4.6
心脏功能水平y
52
53
69
57
89
65
(1)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r；
(2)求心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；
(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏功能水平．
　
　
　
　
1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t)的几组对应数据：www.21-cn-jy.com
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为(　　)
A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5
2．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点(　　)
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A.(2,3) B．(1.5,4) C．(2.5,4) D．(2.5,5)
3．一唱片公司欲知打歌费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得如下的资料：i＝28，＝303.4，i＝75，＝598.5，iyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为________．21·cn·jy·com
4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．2·1·c·n·j·y
5．已知x、y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
(1)分别计算：、、x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4、x＋x＋x＋x；
(2)已知变量x与y线性相关，求出回归方程．
　
　
　
　
　
回归分析的步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量．
(2)画出确定好的自变量和因变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋a)．
(4)按一定规则估计回归方程中的参数．

答案精析
问题导学
知识点一
思考　(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．
(2)不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．www-2-1-cnjy-com
梳理　(1)　i　
i　(2)　　－b
知识点二
思考1　如果数据散点图中的点都大致分布在一条直线附近，这条直线就能反映这n对数据的变化规律，否则求出的方程没有实际意义．【来源：21·世纪·教育·网】
思考2　|r|值越接近1，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越接近0，变量之间的线性相关程度越低；当r＝0时，两个变量线性不相关．21*cnjy*com
梳理　(2)[－1,1]　(3)>　<
题型探究
例1　C
跟踪训练1　②④
例2　解　(1)散点图如图．
(2)因为iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
所以b＝＝＝0.7，
a＝－b＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4.【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练2　解　(1)＝6，≈79.86，样本点的中心为
(6,79.86)．
(2)散点图如下：
(3)因为iyi＝3 487，＝280，
所以b＝
＝≈4.75.
a＝－b≈51.36，
所以y＝4.75x＋51.36.
例3　解　(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．
(2)因为＝×(35＋40＋45＋50)＝42.5，
＝×(56＋41＋28＋11)＝34.
iyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410.
＝352＋402＋452＋502＝7 350.
所以b＝＝
＝≈－3.
a＝－b＝34－(－3)×42.5＝161.5.
所以线性回归方程为y＝161.5－3x.
(3)依题意，有P＝(161.5－3x)(x－30)
＝－3x2＋251.5x－4 845
＝－3(x－)2＋－4 845.
所以当x＝≈42时，P有最大值，约为426元．即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．
跟踪训练3　解　(1)设所求的线性回归方程为y＝a＋bx，
则b＝＝＝0.5，a＝－b＝0.4.
∴年推销金额y对工作年限x的线性回归方程为
y＝0.4＋0.5x.
(2)当x＝11时，y＝0.4＋0.5×11＝5.9(万元)，
∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
例4　解　＝(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
iyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73 796.
所以相关系数
r＝≈0.750 6.
由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．
跟踪训练4　解　n＝6，＝(4.4＋4.6＋…＋4.6)≈3.716 7，
＝(52＋53＋…＋65)≈64.166 7，
－62＝(4.42＋4.62＋…＋4.62)－6×3.716 72≈19.766 8，
－62＝(522＋532＋…＋652)－6×64.166 72≈964.807 7，
iyi－6 ＝(4.4×52＋4.6×53＋…＋4.6×65)－6×3.716 7×64.166 7≈－124.630 2.21教育网
(1)心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相关系数：
r＝≈－0.902 5.
(2)b＝≈－6.305 0，a＝－b≈87.600 5，心脏功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程为y＝87.600 5－6.305 0x.21cnjy.com
由(1)知y与x之间有较强的线性关系，所以这个方程是有意义的．
(3)将x＝3代入线性回归方程y＝87.600 5－6.305 0x，可得y≈68.7，即平均每天看电视3小时，心脏功能水平约为68.7.2-1-c-n-j-y
当堂训练
1．A　2.C
3．0.3　4.1.818 2
5．解　(1)＝＝1.5，＝＝4，
x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，
x＋x＋x＋x＝02＋12＋22＋32＝14.
(2)b＝＝2，
a＝－b ＝4－2×1.5＝1，
故线性回归方程为y＝2x＋1.
1.3　可线性化的回归分析
学习目标　1.理解回归分析的基本思想.2.通过可线性化的回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．

知识点一　常见的可线性化的回归模型
幂函数曲线____________，指数曲线____________．
倒指数曲线____________，对数曲线____________．
知识点二　可线性化的回归分析
思考1　有些变量间的关系并不是线性相关关系，怎样确定回归模型？
　
思考2　如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？
　
梳理　在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系．在某些情况下可以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系．21cnjy.com
类型一　给定函数模型，求回归方程
例1　在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝Ae (b<0)表示．现测得试验数据如下：2·1·c·n·j·y
xi
0.05
0.06
0.25
0.31
0.07
0.10
yi
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
xi
0.38
0.43
0.14
0.20
0.47
yi
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
试求y对x的回归方程．
　
跟踪训练1　在试验中得到变量y与x的数据如下表：
x
0.066 7
0.038 8
0.033 3
0.027 3
0.022 5
y
39.4
42.9
41.0
43.1
49.2
由经验知，y与之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程，当x0＝0.038时，预测y0的值．www.21-cn-jy.com
　
　
　
　
类型二　选取函数模型，求回归方程
例2　下表所示是一组试验数据：
x
0.5
0.25
0.125
0.1
y
64
138
205
285
360
(1)作出散点图，并猜测y与x之间的关系；
(2)利用所得的函数模型，预测x＝10时y的值．
　
　
　
　
反思与感悟　实际问题中非线性相关的函数模型的选取
(1)采集数据，画出散点图．
(2)根据散点图中点的分布状态，选取所有可能的函数类型．
(3)作变量代换，将函数转化为线性函数．
(4)作出线性相关的散点图，或计算线性相关系数r，通过比较选定函数模型．
(5)求回归直线方程，并检查．
(6)作出预报．
跟踪训练2　对两个变量x，y取得4组数据(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：21·cn·jy·com
甲　y＝0.1x＋1，
乙　y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
丙　y＝－0.8·0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．
　
　
　
1．指数曲线y＝3e－2x的图像为图中的(　　)
2．对于指数曲线y＝aebx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为(　　)21·世纪*教育网
A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx
C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx
3．在一次试验中，当变量x的取值分别为1，，，时，变量y的值分别为2,3,4,5，则y与的回归方程为(　　)2-1-c-n-j-y
A．y＝＋1 B．y＝＋3
C．y＝2x＋1 D．y＝x－1
4．某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关系，模型为y＝aebx，确定这个函数解析式为________________．21*cnjy*com
月份x/月
1
2
3
4
5
6
人数y/人
52
61
68
74
78
83
1．对于具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决．
2．建立回归模型的步骤
(1)确定研究对象，明确变量关系．
(2)画出散点图，观察变量之间的关系．
(3)由经验确定回归方程的类型．
(4)按一定规则估计回归方程中的参数．

答案精析
问题导学
知识点一
y＝axb　y＝aebx　y＝a　y＝a＋bln x
知识点二
思考1　首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系．这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．21世纪教育网版权所有
思考2　可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．21教育网
题型探究
例1　解　由题意知，对于给定的公式y＝A(b<0)两边取自然对数，得ln y＝ln A＋，与线性回归方程相对照可以看出，只要取u＝，v＝ln y，a＝ln A，就有v＝a＋bu.
这是v对u的线性回归方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a.题目中所给的数据由变换u＝，v＝ln y，变为如下表所示的数据.【来源：21·世纪·教育·网】
ui
20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
vi
－2.303
－1.966
0
0.113
－1.470
－0.994
ui
2.632
2.326
7.143
5.000
2.128
vi
0.174
0.223
－0.528
－0.236
0.255
可求得b≈－0.146，a≈0.548，
∴v＝0.548－0.146u.
把u和v转换回来，可得ln y＝0.548－.
∴y＝＝e0.548·≈1.73，
∴回归曲线方程为y＝1.73.
跟踪训练1　解　令z＝，则y＝a＋bz，由已知数据制成下表：
z＝
14.992 5
25.773 2
30.030 0
36.630 0
44.444
y
39.4
42.9
41.0
43.1
49.2
计算得＝30.373 9，＝43.120 0，
ziyi＝6 693.002 6，
z＝5 107.859 8.
∴5 ＝6 548.612 8,52＝4 612.869 0.
于是有b＝＝
≈0.291 7.
∴a＝－b≈34.26.
∴y与x之间的回归曲线方程是y＝34.26＋.
当x0＝0.038时，y0≈41.94，即y0的值约为41.94.
例2　解　(1)散点图如图所示，从散点图可以看出y与x不具有线性相关关系．
根据已有知识发现样本点分布在函数y＝＋a的图像的周围，其中a，b为待定参数，令x′＝，y′＝y，由已知数据制成下表：www-2-1-cnjy-com
序号i
x′i
y′i
x′
y′
x′iy′i
1
2
64
4
4 096
128
2
4
138
16
19 044
552
3
6
205
36
42 025
1 230
4
8
285
64
81 225
2 280
5
10
360
100
129 600
3 600
∑
30
1 052
220
275 990
7 790
′＝6，′＝210.4，
故x′－5(′)2＝40，
y′－5(′)2＝54 649.2，
r＝≈0.999 7，
由于r非常接近于1，
∴x′与y′具有很强的线性关系，计算知，
b≈36.95，a＝210.4－36.95×6＝－11.3，
∴y′＝－11.3＋36.95x′，
∴y对x的回归曲线方程为y＝－11.3.
(2)当x＝10时，y＝－11.3＝－7.605.
跟踪训练2　解　甲模型，当x＝1时，y＝1.1；当x＝2时，y＝1.2；
当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.4.
乙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1.2；
当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.3.
丙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1.2；
当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.35.
观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际．
当堂训练
1．B　2.A　3.A
4．y＝e3.910 3＋0.090 5x
解析　设u＝ln y，c＝ln a，得u＝c＋bx，
则u与x的数据关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
u＝ln y
3.95
4.11
4.22
4.30
4.36
4.42
由上表，得xi＝21，ui＝25.36，
x＝91，u＝107.339，
xiui＝90.35，
＝3.5，＝4.227，
∴b＝＝≈0.090 5.
c＝－b＝4.227－0.090 5×3.5＝3.910 3，
∴y＝e3.910 3＋0.090 5x
2　独立性检验
学习目标　1.理解2×2列联表，并会依据列联表判断两个变量是否独立.2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想． 21cnjy.com
知识点一　2×2列联表
思考　某教育行政部门大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表：2·1·c·n·j·y
体育
文娱
合计
男生
210
230
440
女生
60
290
350
合计
270
520
790
如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？
　
　
　
梳理　设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格．
B1
B2
总计
A1
a
b
A2
c
d
总计
n＝________
其中，a表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据，b表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据；c表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据；d表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．21教育网
知识点二　统计量
χ2＝________________________.
(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)
知识点三　独立性检验
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B________；
当χ2>2.706时，有__________的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>3.841时，有__________的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>6.635时，有__________的把握判定变量A，B有关联．
类型一　2×2列联表和统计量χ2
例1　某企业为了更好地了解设备改造与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件，请根据数据，列出2×2列联表，并说明可以用本列表研究什么问题？21·cn·jy·com
　
　
　
　
反思与感悟　2×2列联表将文字语言转换为图表语言，使问题更为清晰，可为进一步研究问题作充分的准备．
跟踪训练1　已知药物效果与动物试验列联表如下所示：
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服药
20
30
50
总计
30
75
105
则χ2≈________.(结果保留3位小数)
类型二　独立性检验的方法
例2　研究人员选取170名青年男、女大学生作为样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的题目上肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？用独立性检验的方法判断．【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
　
　
　
反思与感悟　独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．
跟踪训练2　为了研究人的性别与患色盲是否有关系，某研究所进行了随机调查，发现在调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试问人的性别与患色盲有关系吗？21·世纪*教育网
　
　
　
　
1．当χ2>3.841时，认为事件A与事件B(　　)
A．有95%的把握有关 B．有99%的把握有关
C．没有理由说它们有关 D．不确定
2．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校中学生中随机抽取了300名学生，得到如下列联表：21世纪教育网版权所有
喜欢数学
不喜欢数学
总计
男
37
85
122
女
35
143
178
合计
72
228
300
你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系的把握有(　　)
A．0 B．95% C．99% D．100%
3．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系时，你认为应该收集哪些数据？
　
　
4．2014年世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：www.21-cn-jy.com
不喜欢西班牙队
喜欢西班牙队
总计
高于40岁
p
q
50
不高于40岁
15
35
50
总计
a
b
100
若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为，则有超过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．www-2-1-cnjy-com
5．某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系．
　
　
　
1．独立性检验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．若χ2值较大，则拒绝假设，认为两个事件有关．2-1-c-n-j-y
2．独立性检验的步骤
(1)画列联表．
(2)计算χ2.
(3)将得到的χ2值和临界值比较，下结论．

答案精析
问题导学
知识点一
思考　可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断．
梳理　a＋b　c＋d　a＋c　b＋d　a＋b＋c＋d　A1　B1　A1　B2　A2　B1　A2　B2
知识点二
知识点三
有关联　90%　95%　99%
题型探究
例1　解　根据题意列出2×2列联表如下：
产品
设备　　　
合格
不合格
总计
设备改造前
36
49
85
设备改造后
65
30
95
总计
101
79
180
通过研究此2×2列联表可以研究设备改造对产品合格率是否有影响．
跟踪训练1　6.109
解析　χ2＝≈6.109.
例2　解　根据题目所给数据建立如下2×2列联表：
肯定
否定
总计
男生
22
88
110
女生
22
38
60
总计
44
126
170
根据2×2列联表中的数据，得χ2＝≈5.622>3.841，
所以有95%的把握认为性别与态度有关系．
跟踪训练2　解　由题意列出2×2列联表：
患色盲
未患色盲
总计
男性
39
441
480
女性
6
514
520
总计
45
955
1 000
由公式得χ2＝≈28.225.
因为28.225＞6.635，
所以有99%的把握认为人的性别与患色盲有关系．
当堂训练
1．A　2.B
3．女正教授人数、男正教授人数、女副教授人数、男副教授人数
4．95%
5．解　(1)2×2列联表如下所示：
赞同
不赞同
总计
老教师
10
10
20
青年教师
24
6
30
总计
34
16
50
(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”．
由公式，得χ2＝≈4.963<6.635，
所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关．
第三章 统计案例
　　　　1　回归分析与独立性检验的理解与加深
一、回归分析
1．线性回归方程y＝bx＋a，其中：
b＝＝，a＝－b.
(注：b＝主要方便计算，其中(xi，yi)为样本数据，(，)为样本点的中心)
公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势．
2．样本相关系数的具体计算公式：
r＝
＝
公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱．当r的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关．
(2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关．
散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况．
相关系数r是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠．
二、独立性检验
(一)基础概念的梳理与理解
1．分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种．像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种．
2．两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的．
3．2×2列联表：列出的两个分类变量A和B，它们的取值分别为{A1，A2}和{B1，B2}的样本频数表称为2×2列联表(如表1)．
表1
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
(二)独立性检验的基本思想
从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法．
1．基本思想与图形的联系
假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：≈?|ad－bc|＝0.
构造随机变量χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)(此公式如何记忆，其特点是什么？结合2×2列联表理解)21教育网
显然所构造的随机变量与|ad－bc|的大小具有一致性．
2．独立性检验的思想方法
如果χ2的值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果χ2的值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的．其思想方法类似于数学上的反证法．21*cnjy*com
3．得到χ2的值常与以下几个临界值加以比较：
如果χ2>2.706，就有90%的把握认为两分类变量A和B有关系；如果χ2>3.841，就有95%的把握认为两分类变量A和B有关系；如果χ2>6.635，就有99%的把握认为两分类变量A和B有关系；如果χ2≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量A和B有关系．
像这种利用随机变量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.【来源：21cnj*y.co*m】
2　回归分析题目击破
一、基本概念
函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
例1　下列变量之间的关系是相关关系的是________．
(1)正方形的边长与面积之间的关系；
(2)水稻产量与施肥量之间的关系；
(3)人的身高与年龄之间的关系；
(4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．
分析　两变量之间的关系有两种：函数关系和带有随机性的相关关系．
解析　(1)是函数关系；(2)不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；(3)既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．
答案　(2)(4)
点评　该例主要考查对变量相关关系概念的掌握．
二、线性回归方程
设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，这条直线就叫作回归直线．
例2　假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：
(1)回归方程y＝a＋bx；
(2)估计使用年限10年时，维修费用是多少？
分析　因为y对x呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题．
解　(1)制表
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
x
4
9
16
25
36
90
＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3
于是有b＝＝1.23，
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
∴回归方程为y＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，
即估计使用10年时维修费用约是12.38万元．
点评　已知y对x呈线性相关关系，无须进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验．
三、非线性回归问题
分析非线性回归问题的具体做法是：
(1)若问题中已给出经验公式，这时可以将解释变量进行变换(换元)，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．21cnjy.com
(2)若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图像作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，将问题化为线性回归分析问题来解决．2·1·c·n·j·y
下面举例说明非线性回归分析问题的解法．
例3　某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，表中是这次抽查中所得到的各企业的人均资本x(单位：万元)与人均产值y(单位：万元)的数据：【出处：21教育名师】
人均资本x/万元
3
4
5.5
6.5
7
8
9
10.5
11.5
14
人均产值y/万元
4.12
4.67
8.68
11.01
13.04
14.43
17.50
25.46
26.66
45.20
(1)设y与x之间具有近似关系y≈axb (a，b为常数)，试根据表中数据估计a和b的值；
(2)估计企业人均资本为16万元时的人均产值(精确到0.01)．
解　(1)在y≈axb的两边取常用对数，可得lg y≈lg a＋blg x，设lg y＝z，lg a＝A，lg x＝X，则z≈A＋bX.
相关数据计算如图所示．
人均资本x/万元
3
4
5.5
6.5
7
人均产出y/万元
4.12
4.67
8.68
11.01
13.04
X＝lg x
0.477 12
0.602 06
0.740 36
0.812 91
0.845 1
z＝lg y
0.614 9
0.669 32
0.938 52
1.041 79
1.115 28
人均资本x/万元
8
9
10.5
11.5
14
人均产出y/万元
14.43
17.5
25.46
26.66
45.2
X＝lg x
0.903 09
0.954 24
1.021 19
1.060 7
1.146 13
z＝lg y
1.159 27
1.243 04
1.405 86
1.425 86
1.655 14
由公式(1)可得
由lg a＝－0.215 5，
得a≈0.608 8，
即a，b的估计值分别为0.608 8和1.567 7.
(2)由(1)知y＝0.608 8x1.567 7.
样本数据及回归曲线的图形如图所示．
当x＝16时，y＝0.608 8×161.567 7≈47.01(万元)，故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元．21世纪教育网版权所有
3　巧解非线性回归问题
如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想．21·cn·jy·com
一、案例分析
例　一个昆虫的某项指标和温度有关，现收集了7组数据如下表：
温度x/℃
2
3
4
5
6
7
8
某项指标y
5.790
6.810
8.199
10.001
12.190
14.790
17.801
试建立某项指标y关于温度x的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果．
分析　根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型．
解　画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y＝Bx2＋A的周围．www.21-cn-jy.com
令X＝x2，则变换后的样本点应该分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周围．
由已知数据可得变换后的样本数据表：
X
4
9
16
25
36
49
64
某项指标y
5.790
6.810
8.199
10.001
12.190
14.790
17.801
计算得到线性回归方程为y＝0.199 94X＋4.999 03.
用x2替换X，得某项指标y关于温度x的回归方程y＝0.199 94x2＋4.999 03.
计算得r≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．
点评　本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图像相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决．【来源：21·世纪·教育·网】
二、知识拓展
常见的非线性函数转换方法：
(1)幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值)
解决方案：对y＝axm两边取常用对数，有lg y＝lg a＋mlg x，令u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为u＝mv＋lg a，其中m，lg a为常数，该式表示u，v的线性函数．
(2)指数型函数y＝c·ax(a，c>0，且a≠1)
解决方案：对y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg c＋xlg a，令u＝lg y，则原式可变为u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c为常数，该式表示u，x的线性函数．与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg y代替了y.【版权所有：21教育】
(3)反比例函数y＝(k>0)
解决方案：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数．
(4)二次函数y＝ax2＋c
解决方案：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数．
(5)对数型函数y＝clogax
解决方案：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数.
4　判断两个分类变量的关系
本章的重点是用独立性检验的基本思想对两个分类变量作出明确的判断，下面通过典例剖析如何判断两个分类变量的关系．21教育名师原创作品
例　某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：21*cnjy*com
积极支持企业改革
不太赞成企业改革
合计
工作积极
54
40
94
工作一般
32
63
95
合计
86
103
189
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
分析　首先由已知条件确定a、b、c、d、n的数值，再利用公式求出χ2的值，最后根据χ2值分析结果．
解　由题目中表的数据可知，
χ2＝
＝≈10.759.
因为10.759>6.635，所以有99%的把握说员工“工作积极”与“积极支持企业改革”有关，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．
点评　在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱；在判断两个分类变量的关系的可靠性时一般利用随机变量来确定；把计算出的χ2的值与临界值作比较，确定出“A与B有关系”的把握．21·世纪*教育网
5　独立性检验思想的应用
在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题．在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验思想做出合理的推断．
所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，利用公式计算χ2的值，比较与临界值的大小关系来判定事件A与B是否有关的问题．其基本步骤如下：
(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量；
(2)根据样本数据制作列联表；
(3)计算统计量χ2，并查表分析．当χ2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系．
下面举例说明独立性检验思想在解决实际问题中的应用．
例　为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56人，患慢性气管炎且吸烟的有43人，未患慢性气管炎但吸烟的有162人．根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大程度上有关系？
解　根据所给样本数据得到如下2×2列联表：
患慢性气管炎
未患慢性气管炎
总计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
总计
56
283
339
由列联表可以粗略估计出：有吸烟者中，有20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大．www-2-1-cnjy-com
根据列联表中的数据，得到
χ2＝≈7.469>6.635.
所以有99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．
点评　通过计算检验随机变量χ2，可以比较精确地给出这种判断的可靠程度．先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略．2-1-c-n-j-y
第三章 统计案例
学习目标　1.能通过相关系数判断两变量间的线性相关性.2.掌握建立线性回归模型的步骤.3.理解条件概率的定义及计算方法.4.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.5.掌握利用独立性检验解决一些实际问题．21世纪教育网版权所有

知识点一　线性回归分析
1．线性回归方程
在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝____________＝____________，a＝____________.其中＝____________，＝____________.21·世纪*教育网
2．相关系数
(1)相关系数r的计算公式
r＝ .
(2)相关系数r的取值范围是________，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．
(3)当r>0时，b________0，称两个变量正相关；
当r<0时，b________0，称两个变量负相关；
当r＝0时，称两个变量线性不相关．
知识点二　独立性检验
1．2×2列联表
设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格
B1
B2
总计
A1
a
b
A2
c
d
总计
n＝________
其中，a表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据，b表示变量A取 ______，且变量B取________时的数据；c表示变量A取 __________，且变量B取 ________时的数据；d表示变量A取________，且变量B取________时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．2·1·c·n·j·y
2．统计量
χ2＝____________________.
3．独立性检验
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
当χ2>2.706时，有________的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>3.841时，有________的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>6.635时，有________的把握判定变量A，B有关联．
类型一　线性回归分析
例1　某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如表所示：
年份201x(年)
0
1
2
3
4
人口数y(十万)
5
7
8
11
19
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)据此估计2018年该城市人口总数．
　
　
　
　
反思与感悟　解决回归分析问题的一般步骤
(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．
(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．www.21-cn-jy.com
(3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．
跟踪训练1　在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：
x(元)
14
16
18
20
22
y(件)
12
10
7
5
3
且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．
　
　
　
类型二　独立性检验思想与应用
例2　为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
6
女生
10
合计
48
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(不用写计算过程)
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．
　
　
　
　
反思与感悟　独立性检验问题的求解策略
χ2统计量法：通过公式
χ2＝
先计算统计量，再用以下结果对变量的独立性进行判断．
(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的．
(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联．
(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联．
(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
跟踪训练2　某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．21教育网
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；
(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
50岁以上
总计
(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？
　
　
　
　
　
　
1．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程y＝bx＋a中，b(　　)21cnjy.com
A．在(－1,0)内 B．等于0
C．在(0,1)内 D．在[1，＋∞)内
2．已知线性回归方程中斜率的估计值为1.23，回归方程过点(4,5)，则线性回归方程为(　　)
A．y＝1.23x＋0.08 B．y＝0.08x＋1.23
C．y＝1.23x＋4 D．y＝1.23x＋5
3．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：21·cn·jy·com
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到χ2≈9.643，则以下说法正确的是(　　)
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
4．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：
种子处理
种子未处理
总计
生病
32
101
133
不生病
61
213
274
总计
93
314
407
根据以上数据可得出(　　)
A．种子是否经过处理与是否生病有关
B．种子是否经过处理与是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关
5．对于线性回归方程y＝bx＋a，当x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时，对应的y的估计值是22，那么，该线性回归方程是________，根据线性回归方程判断当x＝________时，y的估计值是38.【来源：21·世纪·教育·网】
1．建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确变量．
(2)画出散点图，观察它们之间的关系．
(3)由经验确定回归方程的类型．
(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．
2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．

答案精析
知识梳理
知识点一
1.　
－b　xi　yi
2．(2)[－1,1]　(3)>　<
知识点二
1．a＋b　c＋d　a＋c　b＋d　a＋b＋c＋d　A1　B1　A1　B2　A2　B1　A2　B2
2.
3．90%　95%　99%
题型探究
例1　解　(1)散点图如图．
(2)因为＝＝2，
＝＝10，
xiyi＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，
x＝02＋12＋22＋32＋42＝30，
所以b＝＝3.2，
a＝－b ＝3.6.
所以线性回归方程为y＝3.2x＋3.6.
(3)令x＝8，则y＝3.2×8＋3.6＝29.2，
故估计2018年该城市人口总数为292万人．
跟踪训练1　解　＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
＝122＋102＋72＋52＋32＝327，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以b＝＝
＝－1.15，
所以a＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以y对x的线性回归方程为y＝－1.15x＋28.1.
例2　解　(1)列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合计
32
16
48
(2)由χ2＝≈4.286.
因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．
跟踪训练2　解　(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．
(2)2×2列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(3)χ2＝＝10>6.635，
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．
当堂训练
1．C　2.A　3.D　4.B
5．y＝x＋14　24
1 离散型随机变量及其分布列
学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质.3.会求简单的离散型随机变量的分布列． 21·cn·jy·com
知识点一　离散型随机变量
思考1　①掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
②在一块地里种下8颗树苗，成活的棵数．
以上两个现象有何特点？
　
思考2　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
　
　
梳理　(1)随机变量
将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于________，这种________称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如X，Y来表示．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能够__________，这样的随机变量称为离散型随机变量．
知识点二　离散型随机变量的分布列
思考　掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？21·世纪*教育网
　
　
梳理　(1)离散型随机变量的分布列的定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(X＝ai)＝________(i＝1,2，…)，①
或把上式列成表为
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
______
______
…
上表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
(2)离散型随机变量的性质
①____________.②____________.
类型一　随机变量的概念
例1　写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.
　
　
　
引申探究　若将本例(3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．
反思与感悟　解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1　下列是离散型随机变量的是(　　)
A．某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X
B．将一枚硬币抛掷三次，出现正面朝上的次数X
C．抛掷一枚六个面都是六个点的骰子，所得的点数X
D．某人上班路上所花的时间X
类型二　利用分布列的性质求事件概率
例2　设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X≥)；
(3)求P(　
　
　
　
　
　
反思与感悟　利用分布列及其性质解题时要注意两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练2　(1)下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列．
X
－1
0
1
P
试说明该同学的计算结果是否正确；
(2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
①求q的值；
②求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．
　
　
　
　
类型三　求离散型随机变量的分布列
命题角度1　利用两随机变量的关系求分布列
例3　已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．
　
　
　
　
　
反思与感悟　若随机变量X，Y满足关系式Y＝f(X)，则可由X的取值情况得出Y的取值情况，即可以把X的取值看成定义域，Y的取值看成值域，即可根据X的分布列，得出Y的分布列．21教育网
跟踪训练3　已知随机变量X的分布列为
X
1
2
…
n
…
P
…
…
求随机变量Y＝sinX的分布列．
　
　
　
　
　
　
命题角度2　利用排列组合求分布
例4　袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数；21世纪教育网版权所有
(2)求随机变量ξ的分布列．
引申探究　
若本例条件不变，试求甲取到白球的概率．
反思与感悟　求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．
(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．
跟踪训练4　北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
从中随机地选取5只．
(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；
(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列．21cnjy.com
　
　
　
　
1．下面给出四个随机变量：
①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；
③某网站未来1小时内的点击量；
④一天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为(　　)
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于(　　)
X
－1
0
1
P
a
b
c
A. B. C. D.
3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果错误的是(　　)
A．a＝0.1
B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4
D．P(X≤1)＝0.3
4．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)＝________.2-1-c-n-j-y
5．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
　
　
　
　
1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．21*cnjy*com
2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　各现象的结果都可以用数表示．
思考2　可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
梳理　　(1)一个数　对应
(2)一一列举出来
知识点二
思考　x＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
X
1
2
3
4
5
6
P
梳理　(1)pi　p1　p2　(2)①pi>0
②p1＋p2＋…＝1
题型探究
例1　解　(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1，2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．2·1·c·n·j·y
引申探究
解　设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.
依题意得X＝x－y.
则－5≤X≤5，
即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
则X>4?X＝5，表示x＝6，y＝1，
即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
跟踪训练1　B
例2　解　(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)∵P(X＝)＝k(k＝1,2,3,4,5)，
∴P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)当故P(跟踪训练2　解　(1)因为P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＋＝，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)①由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，
＋(1－2q)＋q2＝1，
所以q＝1－.
②P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
＝＋1－2＝－.
例3　解　由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，【出处：21教育名师】
所以η1的分布列为
η1
－1
－
0
1
P
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，www-2-1-cnjy-com
所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
跟踪训练3　解　由Y＝sinX，
得Y＝
P(Y＝－1)＝P(X＝3)＋P(X＝7)＋P(X＝11)＋…＝＋＋＋…＝，
P(Y＝0)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＋…＝＋＋＋…＝，
P(Y＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝5)＋P(X＝9)＋…＝＋＋＋…＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
－1
0
1
P
例4　解　(1)设袋中原有n个白球，由题意知
＝＝＝，
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
引申探究
解　因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.
跟踪训练4　解　(1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P＝＝＝.
(2)X的取值为100,80,60,40.
P(X＝100)＝＝，
P(X＝80)＝
＝，
P(X＝60)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝.
所以X的分布列为
X
100
80
60
40
P
当堂训练
1．C　2.D　3.C　4.
5．解　由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
2 超几何分布
学习目标　1.理解超几何分布的概念.2.掌握超几何分布的公式．
知识点　超几何分布
已知在10名学生中，有4名男生，现任选3人，用X表示选到的男生的人数．
思考1　X可能取哪些值？
　
　
　
思考2　“X＝2”表示的试验结果是什么？P(X＝2)的值呢？
　
　
　
思考3　如何求P(X＝k)(k＝0,1,2,3)?
　
　
　
梳理　超几何分步
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么2·1·c·n·j·y
P(X＝k)＝__________________(其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为____________的超几何分布．
特别提醒：(1)超几何分布，实质上就是有总数为N的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，则这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝(k≤l，l是n和M中较小的一个)．
(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据超几何分布的公式求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．【来源：21·世纪·教育·网】
类型一　超几何分布概念的理解
例1　从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数ξ的分布列，并求至少取得一件次品的概率．www.21-cn-jy.com
　
　
　
　
反思与感悟　解决此类问题的关键是判断所给问题是否属于超几何分布问题，而求其分布列的关键是求得P(ξ＝k)的组合关系式．21·世纪*教育网
跟踪训练1　高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．www-2-1-cnjy-com
　
　
　
　
　
　
类型二　求超几何分布的分布列
例2　某大学志愿者协会有6名男同学、4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
　
　
　
　
反思与感悟　解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式求解．当然，此类题目也可通过古典概型解决．2-1-c-n-j-y
跟踪训练2　端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
　
　
　
　
类型三　超几何分布的应用
例3　50张彩票中只有2张有奖，今从中任取n张，为了使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为多少？21*cnjy*com
　
　
　
反思与感悟　利用超几何分布的知识可以解决与概率有关的问题，其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型．在利用超几何分布的模型时，将实际问题与超几何分布的模型进行比较，认清实质，把问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析．
跟踪训练3　生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格．采购方接收该批产品的条件是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是多少？【来源：21cnj*y.co*m】
　
　
　
　
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X
B．从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中概率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的已摸次数
2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)【出处：21教育名师】
A．N＝15，M＝7，n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10
3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2)．【版权所有：21教育】
　
　
　
　
　
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品由较明显的两部分组成．
2．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出随机变量X取k时的概率P(X＝k)，从而列出随机变量X的分布列．21教育名师原创作品

答案精析
问题导学
知识点
思考1　0,1,2,3.
思考2　任选3人中恰有2人为男生，
P(X＝2)＝.
思考3　P(X＝k)＝.
梳理　　N，M，n
题型探究
例1　解　依题意得，ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.
ξ的可能取值为0,1,2，相应的概率依次为
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故至少取得一件次品的概率为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝.
跟踪训练1　解　若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分步．21教育网
由公式得P(X＝4)＝＝≈0.029 5，
所以获一等奖的概率约为2.95%.
例2　解　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
其分布列为
X
0
1
2
3
P
跟踪训练2　解　(1)设A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.21世纪教育网版权所有
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上可知，X的分布列为
X
0
1
2
P
例3　解　设随机变量X表示“抽出中奖彩票的张数”，则X服从参数为N＝50，M＝2，n的超几何分布，可得至少有一张中奖的概率为P(X≥1)＝＋>0.5，又n∈N＋，且n≤50，解得n≥15.21cnjy.com
所以n至少为15.
跟踪训练3　解　从50箱产品中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从参数为N＝50，M＝2，n＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱全合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率为21·cn·jy·com
P(X≤1)＝＋＝.
所以该批产品被接收的概率为.
当堂训练
1．B　2.A　3.B　4.D
5．解　由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3.
随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故随机变量X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
3 条件概率与独立事件
学习目标　1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 【版权所有：21教育】
知识点一　条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}
思考1　试求P(A)、P(B)、P(AB)．
　
　
思考2　任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．【出处：21教育名师】
　
　
思考3　P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系．
　
　
梳理　条件概率
(1)概念
事件B发生的条件下，A发生的概率，称为____________的条件概率，记为____________．
(2)公式
P(A|B)＝(其中，A∩B也可以记成AB)．
(3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝________________.
知识点二　独立事件
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．
思考1　事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
　
　
思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？
　
　
思考3　P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
　
　
梳理　独立事件
(1)概念：对两个事件A，B，如果____________________，则称A，B相互独立．
(2)推广：若A与B相互独立，则A与______，与______，与______也相互独立．
(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝________________________.
类型一　条件概率
例1　在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
　
　
　
　
　
反思与感悟　求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数；二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．21·cn·jy·com
跟踪训练1　盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．
求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率；
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，在第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
　
　
　
类型二　独立事件的判断
例2　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练2　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)21*cnjy*com
①A，B；②A，C；③B，C.
类型三　独立事件的概率
例3　在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．
　
　
　
　
反思与感悟　概率问题中的数学思想
(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．21教育名师原创作品
(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑概率加法公式，转化为互斥事件)还是分几步(考虑概率乘法公式，转化为相互独立事件)组成．21*cnjy*com
(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
跟踪训练3　甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率．
　
　
　
　
　
1．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)21cnjy.com
A．1－a－b B．1－ab
C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
2．抛掷红、蓝两个骰子，事件A＝“红骰子出现4点”，事件B＝“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P(A|B)为(　　)www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
3．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)
A．0.665 B．0.564
C．0.245 D．0.285
4．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
5．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大？
　
　
　
　
1．计算条件概率时应注意：(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约．(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．2·1·c·n·j·y
2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系
名称
区别
联系
定义
事件个数
互斥事件
在一次试验中不能同时发生的事件
两个或两个以上
①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立．
②两事件独立，则不一定互斥(或对立)．
③两事件互斥(或对立)，则不相互独立
对立事件
在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件
两个
独立事件
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个或两个以上

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
思考2　事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
思考3　P(A|B)＝.
梳理　(1)B发生时A发生　P(A|B)　(3)
知识点二
思考1　不影响．
思考2　P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
思考3　P(AB)＝P(A)·P(B)．
梳理　独立事件
(1)P(AB)＝P(A)P(B)　(2)　B　　P(A1)P(A2)…P(An)
题型探究
例1　解　设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.21教育网
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A＝20.
根据分步乘法计数原理，n(A)＝A×A＝12.于是P(A)＝＝＝.
(2)∵n(AB)＝A＝6，∴P(AB)＝＝＝.
(3)方法一　由(1)(2)可得在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝＝＝.【来源：21·世纪·教育·网】
方法二　因为n(AB)＝6，n(A)＝12，
所以P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练1　解　记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1,2.
(1)取两次，两次都取得一等品的概率，
P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝.
(2)取两次，第二次取得一等品，则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，
则P(A2)＝P(1A2)＋P(A1A2)＝×＋×＝.
(3)取两次，已知第二次取得一等品，
则第一次取得二等品的概率为P(1|A2)＝＝＝.
例2　解　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，21世纪教育网版权所有
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．21·世纪*教育网
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．www-2-1-cnjy-com
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
跟踪训练2　①②③
例3　解　(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
因为事件A与B相互独立，
所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝.2-1-c-n-j-y
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝＝，
因为X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P( )＝××＝，
P(X＝1)＝P(A )＋P(B)＋P( C)
＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
跟踪训练3　解　(1)设A，B，C分别为甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题意得
即
由①③得P(B)＝1－P(C)，
代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0，
解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)．
将P(C)＝代入②得，P(B)＝，
将P(B)＝代入①得，P(A)＝.
故甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
(2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，
则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)]·[1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为.
当堂训练
1．C　2.D　3.A　4.D
5．解　记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1，2,3)．
(1)三人都合格的概率
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
＝××＝.
(2)三人都不合格的概率
P0＝P( )＝P()P()P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率
P2＝P(AB )＋P(A C)＋P( B C)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
结合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有1人合格的概率最大．
4 二项分布
学习目标　1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．21世纪教育网版权所有
知识点　二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用X表示3次投篮投中的次数．21cnjy.com
思考1　若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几个可能的结果？
　
　
思考2　X＝2表示何意义？求P(X＝2)．
　
　
梳理　二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有____________的结果，可以分别称为“成功”和“失败”．
(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为________．
(3)各次试验是________的．
用X表示这n次试验中成功的次数，则
P(X＝k)＝________________________________.
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为___________．
类型一　利用二项分布求概率
例1　在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：2·1·c·n·j·y
(1)全部活到70岁的概率；
(2)有2个活到70岁的概率；
(3)有1个活到70岁的概率．
　
　
　
　
反思与感悟　要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的．(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的．(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变．(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．
跟踪训练1　甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
　
　
　
　
　
类型二　求二项分布的分布列
例2　现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列．www.21-cn-jy.com
　
　
　
　
　
反思与感悟　求二项分布的分布列的一般步骤
(1)判断所述问题是否是相互独立试验．
(2)建立二项分布模型．
(3)求出相应概率．
(4)写出分布列．
跟踪训练2　某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
　
　
　
　
　
　
类型三　二项分布的综合应用
例3　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.21·cn·jy·com
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
　
　
　
　
反思与感悟　对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．21·世纪*教育网
跟踪训练3　一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值．
　
　
　
　
1．下列随机变量X不服从二项分布的是(　　)
A．投掷一枚骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
2．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是(　　)
A. B.
C. D.
3．若随机变量X～B，则P(X＝2)等于(　　)
A.2×3 B.2×3
C．C23 D．C2×3
4．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)2-1-c-n-j-y
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
5．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列．【来源：21cnj*y.co*m】
　
　
　
1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．
2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第r＋1项Tr＋1＝C(1－p)n－rpr，可见P(X＝r)＝Cpr(1－p)n－r就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第r＋1项．21*cnjy*com

答案精析
问题导学
知识点
思考1　有2种结果：投中(成功)与未投中(失败)．
思考2　X＝2表示3次投篮中有2次投中，有C种情况，每种情况发生的可能性为0.82×0.2，所以P(X＝2)＝C×0.82×0.2.【出处：21教育名师】
梳理　(1)两个相互对立　(2)1－p
(3)相互独立　Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)　X～B(n，p)
题型探究
例1　解　设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1，2,3)．【版权所有：21教育】
(1)P(X＝3)＝C·0.63·(1－0.6)0＝0.216；
即全部活到70岁的概率为0.216.
(2)P(X＝2)＝C·0.62·(1－0.6)＝0.432.
即有2个活到70岁的概率为0.432.
(3)P(X＝1)＝C·0.6·(1－0.6)2＝0.288.
即有1个活到70岁的概率为0.288.
跟踪训练1　解　(1)甲恰好击中目标2次的概率为C3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C2＋C3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．www-2-1-cnjy-com
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C2·C3＋C3·C3
＝＋＝.
例2　解　(1)设事件A：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”．21教育名师原创作品
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C×0×2×＝，
P(X＝1)＝C×1×1×＋C0×2×＝，
P(X＝2)＝C×2×0×＋C1×1×＝，
P(X＝3)＝C×2×0×＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
跟踪训练2　解　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.21教育网
(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C30＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝C03＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
例3　解　(1)由ξ～B，则
P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－5＝.
跟踪训练3　解　由题设知，Cp2(1－p)2>.
∵p(1－p)>0，∴不等式化为p(1－p)>，
解得又∵6p∈N，∴6p＝3，即p＝.由＝，得n＝6.
当堂训练
1．B　2.D　3.D　4.A
5．解　可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X～B.
则P(X＝0)＝C05＝，
P(X＝1)＝C14＝，
P(X＝2)＝C23＝，
P(X＝3)＝C32＝，
P(X＝4)＝C41＝，
P(X＝5)＝C5＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
第1课时　离散型随机变量的均值
学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一　离散型随机变量的均值
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
思考1　任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？
　
　
思考2　X取上述值时，对应的概率分别是多少？
　
　
思考3　如何求每个西瓜的平均重量？
　
　
梳理　随机变量X的均值
(1)均值的定义
设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列为www.21-cn-jy.com
P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)，
则X的均值EX＝________________________.
(2)均值的意义
均值刻画的是随机变量X取值的“____________”．
知识点二　两种特殊随机变量的均值
1．当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其均值为________．
2．当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，它的均值EX＝________________.
类型一　离散型随机变量的均值
命题角度1　一般离散型随机变量的均值
例1　某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．21cnjy.com
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的分布列和均值；
(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．
　
　
　
反思与感悟　求随机变量X的均值的步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求EX.
跟踪训练1　在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？2·1·c·n·j·y
　
　
　
　
命题角度2　二项分布与超几何分布的均值
例2　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．21·世纪*教育网
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．
　
　
　
　
　
反思与感悟　如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则EX＝np；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX＝n，以上两个特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了烦琐的计算过程．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练2　一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的均值Eξ.2-1-c-n-j-y
　
　
　
类型二　均值的实际应用
例3　某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．21*cnjy*com
(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？
　
　
　
　
反思与感悟　处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．21·cn·jy·com
跟踪训练3　企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．21世纪教育网版权所有
　
　
　
　
1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38
2．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p
则Eξ的最大值为(　　)
A．1 B.
C. D．2
3．设随机变量X～B(40，p)，且EX＝16，则p等于(　　)
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX＝________.【来源：21cnj*y.co*m】
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．【版权所有：21教育】
(1)求ξ的分布列、均值；
(2)若η＝aξ＋4，Eη＝1，求a的值．
1．求随机变量的均值的步骤
(1)写出随机变量所有可能的取值．
(2)计算随机变量取每一个值时对应的概率．
(3)写出分布列，求出均值．
2．离散型随机变量均值的性质
(1)E(cX)＝cEX(c为常数)．
(2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)．
(3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数)．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　X＝5,6,7.
思考2　P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，
P(X＝7)＝.
思考3　＝5×＋6×＋7×.
梳理　(1)a1p1＋a2p2＋…＋arpr
(2)“中心位置”
知识点二
1．np
2．n
题型探究
例1　解　(1)X的可能取值为－300，－100，100,300.
P(X＝－300)＝0.23＝0.008，
P(X＝－100)＝C×0.8×0.22＝0.096，
P(X＝100)＝C×0.82×0.21＝0.384，
P(X＝300)＝0.83＝0.512，
所以X的分布列为
X
－300
－100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
所以EX＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180(分)．
(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0)
＝P(X＝100)＋P(X＝300)＝0.384＋0.512＝0.896.
跟踪训练1　解　设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意，可得X的分布列为21教育名师原创作品
X
0
5
25
100
P
所以EX＝0×＋5×＋25×＋100×＝0.2，
所以一张彩票的合理价格是0.2元．
例2　解　设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.
(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.
∴X～B(100,0.2)，
∴EX＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.
跟踪训练2　解　p＝，∴＝，
∴n＝5，∴5个球中有2个白球．
取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则Eξ＝＝＝.
例3　解　(1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则P(A)＝1－＝.
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为.
(2)设顾客抽奖的中奖次数为X，则X＝0,1,2,3，于是
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝.
P(X＝3)＝××＝，
∴顾客中奖的均值
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.
设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x≤180，解得x≤120，
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本．
跟踪训练3　解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．
由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．21教育网
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，于是P()＝P()P()＝×＝，【出处：21教育名师】
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.
因为P(X＝0)＝P( )＝×＝，
P(X＝100)＝P( F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E )＝×＝，
P(X＝220)＝P(E F)＝×＝，
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
EX＝0×＋100×＋120×＋220×
＝＝＝140.
当堂训练
1．A　2.B　3.D　4.
5．解　(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
ξ的均值为Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)Eη＝aEξ＋4＝1，又Eξ＝，
则a×＋4＝1，∴a＝－2.
第2课时　离散型随机变量的方差
学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．【来源：21cnj*y.co*m】

知识点　离散型随机变量的方差
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
思考1　试求EX，EY.
　
　
思考2　能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？
　
　
思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？
　
　
梳理　(1)离散型随机变量的方差的含义
设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________．
(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系
方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周围．
(3)参数为n，p的二项分布的方差
当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)．
类型一　求离散型随机变量的方差
命题角度1　已知分布列求方差
例1　已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
　
　
　
　
　
反思与感悟　方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P
(1)求方差；
(2)设Y＝2η－Eη，求DY.
　
　
　
　
命题角度2　未知分布列求方差
例2　某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．21教育网
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤
①理解X的意义，写出X可能取的全部值．
②求X取每个值的概率．
③写X的分布列．
④求EX，DX.
(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
跟踪训练2　在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．www.21-cn-jy.com
　
　
　
　
　
类型二　方差的实际应用
例3　某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为和.2·1·c·n·j·y
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.【来源：21·世纪·教育·网】
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
　
　
　
　
反思与感悟　均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断．
跟踪训练3　甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．
　
　
　
　
　
　
1．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
则下列式子：①EX＝－；②DX＝；③P(X＝0)＝.其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1,2,3)，则D(3X＋5)等于(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4
3．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.21cnjy.com
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
4.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知EX＝EY，DX>DY，则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)21·世纪*教育网
5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.2-1-c-n-j-y
1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．
2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．【出处：21教育名师】

答案精析
问题导学
思考1　EX＝0×＋1×＋2×＝，
EY＝0×＋1×＋2×＝.
思考2　不能，因为EX＝EY.
思考3　方差．
梳理(1)平均偏离程度　均值　DX
(2)大　小
题型探究
例1　解　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2
0
1
P
(2)方法一　由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X的方差DX＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝.
方法二　由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
X2的均值EX2＝0×＋1×＝，
所以X的方差DX＝EX2－(EX)2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，
所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.
跟踪训练1　解　(1)∵Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴Dη＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，www-2-1-cnjy-com
(2)∵Y＝2η－Eη，
∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1 536.
例2　解　X可能的取值为0,1,2,3,4，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
DX＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.
跟踪训练2　解　X的可能取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝××××1＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由定义知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.
DX＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2.
例3　解　若按项目一投资，设获利X1万元，
则X1的分布列为
X1
300
－150
P
∴EX1＝300×＋(－150)×＝200(万元)．
DX1＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
若按项目二投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P
∴EX2＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．
DX2＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，
∴EX1＝EX2，DX1＜DX2，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
跟踪训练3　解　(1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a＋0.1＋0.6＝1，所以a＝0.3.
同理，0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4.
(2)Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.
Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势．21·cn·jy·com
当堂训练
1．C　2.A　3.　　4.乙
5．解　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，21*cnjy*com
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
Eξ＝0×＋1×＋3×＝1.
Dξ＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
6 正态分布
学习目标　1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题． 【来源：21cnj*y.co*m】
知识点　正态分布
1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝·exp，x∈(－∞，＋∞)，其中exp{g(x)}＝eg(x)，μ表示________，σ2(σ>0)表示________．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．【出处：21教育名师】
2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线________对称．
(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的__________．
(3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有________．2·1·c·n·j·y
类型一　正态曲线的图像的应用
例1　如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差．21教育名师原创作品
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．21*cnjy*com
跟踪训练1　设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的分布密度函数图像如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
类型二　利用正态分布的对称性求概率
例2　设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－15)．
　
引申探究　
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X反思与感悟　利用正态分布求概率的两个方法
(1)由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：www-2-1-cnjy-com
①P(Xa)；
②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．【版权所有：21教育】
跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)设X～N(6,1)，求P(4　
　
　
　
　
类型三　正态分布的应用
例3　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．21世纪教育网版权所有
跟踪训练3　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：21cnjy.com
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
　
　
　
　
　
1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　)21教育网
A．甲科总体的方差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的方差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
2．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于(　　)21·cn·jy·com
A．1 B．2
C．4 D．不能确定
3．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有(　　)21*cnjy*com
A．997人 B．972人
C．954人 D．683人
4．设X～N，则X落在(－3.5，－0.5)内的概率是(　　)
A．95.4% B．99.7%
C．4.6% D．0.3%
5．设随机变量X～N(0,1)，求P(X<0)，P(－2　
　
　
　
1．理解正态分布的概念和分布密度曲线的性质．
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用分布密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
①分布密度曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(Xa)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，
若b<μ，则P(X<μ－b)＝.

答案精析
知识梳理
知识点
1．均值　方差
2．(1)x＝μ　(2)“胖”“瘦”(3)①68.3%
②95.4%　③99.7%　0.3%
题型探究
例1　解　从给出的分布密度曲线可知它关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20.由＝，解得σ＝.
于是该正态分布的分布密度函数的解析式是
f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
跟踪训练1　A　[分布密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线．当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.]www.21-cn-jy.com
例2　解　因为X～N(1,22)，
所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＝P(μ－σ(2)因为P(3所以P(3＝[P(1－4＝[P(μ－2σ＝×(0.954－0.683)≈0.136.
(3)P(X>5)＝P(X<－3)＝[1－P(－3引申探究
解　因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的分布密度曲线关于x＝1对称．又P(X>c＋1)＝P(X跟踪训练2　(1)C
(2)解　由已知得μ＝6，σ＝1.
∵P(5P(4如图，由正态分布的对称性知，
P(4∴P(4＝×0.271≈0.136.
例3　解　由题可知μ＝110，σ＝20，
P(X>90)＝P(X－110>－20)＝P(X－μ>－σ)，
∵P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)
＝2P(X－μ<－σ)＋0.683＝1，
∴P(X－μ<－σ)＝0.159，
∴P(X>90)＝1－P(X－μ<－σ)
＝1－0.159＝0.841.
∴54×0.841≈45(人)，
即及格人数约为45.
∵P(X>130)＝P(X－110>20)＝P(X－μ>σ)，
∴P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)＝0.683＋2P(X－μ>σ)＝1，
∴P(X－μ>σ)≈0.159，即P(X>130)≈0.159.
∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人数约为8.
跟踪训练3　解　(1)∵X～N(20,4)，
∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
∴尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.4%.2-1-c-n-j-y
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5 000×2.15%≈107(个)．
当堂训练
1．A　2.C　3.C　4.B
5．解　对称轴为X＝0，故P(X<0)＝0.5，
P(－2第二章 概率
1　离散型随机变量的分布列的求法
对离散型随机变量分布列的考查是概率考查的主要形式，那么准确写出分布列显得至关重要．下面就谈一下如何准确求解离散型随机变量的分布列．21·世纪*教育网
一、弄清“随机变量的取值”
弄清“随机变量的取值”是第一步．确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能否取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．
例1　从4张编号1,2,3,4的卡片中任意取出两张，若ξ表示这两张卡片之和，请写出ξ的可能取值及此时ξ表示的意义．
分析　从编号1,2,3,4的四张卡片中取两张，ξ表示和，则首先弄清共有几种情况，再分别求和．
解　ξ的可能取值为3,4,5,6,7，其中ξ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．
二、弄清事件类型
计算概率前要确定事件的类型，同时正确运用排列与组合知识求出相应事件的概率．
例2　以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．
甲组　　　　　　乙组
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
分析　由茎叶图可知两组同学的植树棵数，则可得分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，两同学的植树总棵数的所有可能取值，由古典概型可求概率．
解　由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，
因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，
P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
三、注意验证随机变量的概率之和是否为1
通过验证概率之和是否为1，可以检验所求概率是否正确，还可以检验随机变量的取值是否出现重复或遗漏．
例3　盒中装有大小相同的10个小球，编号分别为0,1,2，…，9，从中任取1个小球，规定一个随机变量X，用“X＝x1”表示小球的编号小于5；“X＝x2”表示小球的编号等于5；“X＝x3”表示小球的编号大于5，求X的分布列．21世纪教育网版权所有
解　随机变量X的可能取值为x1，x2，x3，且
P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，P(X＝x3)＝.
故X的分布列为
X
x1
x2
x3
P
点评　概率分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的概率分布列是很重要的，为了保证它的准确性，我们可以利用i＝1进行检验．
2　独立事件与互斥事件辨析
相互独立事件与互斥事件是两个完全不同的概念，但同学们在学习过程中容易混淆这两个概念，而导致错误．下面结合例题加以分析帮助同学们正确区分这两个概念．
一、把握互斥事件中的“有一个发生”
求互斥事件有一个发生的概率，即互斥事件中的每一个事件发生都会使所求事件发生，应用的是互斥事件概率加法公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
例1　李老师正在写文章的时候，身边的电话突然响了起来．若电话响第1声时被接听的概率为0.1，响第2声时被接听的概率为0.15，响第3声时被接听的概率为0.5，响第4声时被接听的概率为0.22，那么在电话响前4声内被接听的概率是多少？
分析　在电话响前4声内李老师接电话的事件包括：打进的电话“响第1声时被接听”，“响第2声时被接听”，“响第3声时被接听”，“响第4声时被接听”这4个事件，而且只要有一个事件发生，其余的事件就不可能发生，从而求电话在响前4声内李老师接听的概率问题即为互斥事件有一个发生的概率问题．21教育名师原创作品
解　李老师在电话响前4声内接听的概率P＝0.1＋0.15＋0.5＋0.22＝0.97.
二、把握相互独立事件中的“同时发生”
相互独立事件即是否发生相互之间没有影响的事件．求相互独立事件同时发生的概率，应用的是相互独立事件的概率乘法公式21*cnjy*com
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
例2　甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中试跳成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
解　记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，i＝1,2,3.
依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai与Bi相互独立．
(1)“甲第三次试跳才成功”为事件 A3，
所以P( A3)＝P()P()P(A3)
＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
P(C)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.
所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
点评　本题考查事件的独立性，以及互斥事件和对立事件等知识，关键在于理解事件的性质，然后正确运用相应的概率公式加以求解．
归纳总结
1．对于事件A、B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B互相独立．
2．弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
3．理解并运用相互独立事件的性质．如果事件A与B相互独立，那么下列各对事件：A与，与B，与也都相互独立．
4．牢记公式的应用条件，准确、灵活地运用公式．
5．认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等.
3　概率易混点剖析
概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：
一、“非等可能”与“等可能”混同
例1　掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解　掷两枚骰子出现的点数之和2,3,4，…，12共11种基本事件，所以概率为P＝.
剖析　以上11种基本事件不是等可能的，如点数和为2只有(1，1)，而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P＝.www.21-cn-jy.com
正解　掷两枚骰子共有36种基本事件，点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种，所以所求概率P＝.【来源：21·世纪·教育·网】
二、“互斥”与“对立”混同
例2　把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上均不对
错解　A
剖析　本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C.【版权所有：21教育】
正解　C
三、“互斥”与“独立”混同
例3　甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解　设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C×0.82×0.2＋C×0.72×0.3＝0.825.
剖析　本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正解　设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是
P(AB)＝P(A)×P(B)
＝C×0.82×0.2×C×0.72×0.3≈0.169.
点评　上述例题错误的原因在于把两事件互斥与两事件相互独立混同．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有影响．它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的．
四、“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(AB)”混同
例4　袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解　记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，
所以P(C)＝P(B|A)＝＝.
剖析　本题错误在于P(AB)与P(B|A)的含义没有弄清，P(AB)表示在样本空间S中，A与B同时发生的概率；而P(B|A)表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
正解　P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)
＝×＝.

4　概率问题与其他知识的综合应用
由概率和其他知识整合的题目近年来频频出现在各类考试中，这类题目覆盖面广，综合性强，用到的数学思想和方法比较多，对能力要求较高，我们要给予充分关注，并注意总结解题方法．
一、概率与函数
例1　在多项飞碟运动中，允许运动员射击两次．运动员每一次射击命中碟靶的概率p与运动员离碟靶的距离s(米)成反比，且距离s(米)与碟靶飞行时间t(秒)满足s＝15(t＋1) (0≤t≤4)．现有一碟靶抛出后，某运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击命中的概率为0.8；如果他发现没有命中，则迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击，求此运动员命中碟靶的概率．2-1-c-n-j-y
解　设p＝ (k为常数)，则p＝ (0≤t≤4)，
依题意当t＝0.5时，p1＝0.8，则k＝18，所以p＝，
当t＝1时，p2＝0.6.故此人命中碟靶的概率为
p＝p1＋(1－p1)p2＝0.8＋(1－0.8)×0.6＝0.92.
点评　此题为条件概率问题(要注意第二次射击的前提)，两次射击可以理解为(有条件的)互斥事件．
二、概率与不等式
例2　某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，球袋中装有10个球，号码为n(1≤n≤10，n∈N＋)的球的重量为f(n)＝n2－9n＋21，现有两种摸球方案：①摸球1个，若球的重量小于该球的号码数，则中奖；②一次摸出两个球，若两球的重量相等，则中奖．试比较两种摸奖方案的中奖概率的大小．
解　方案①，球的重量小于号码数，即n2－9n＋21解得3中奖概率为p1＝0.3；
方案②，若第n号球与第m号球重量相等(n则有n2－9n＋21＝m2－9m＋21，
即(n－m)(m＋n－9)＝0，
故m＋n＝9 (n可取值1,2,3,4)，
中奖概率为p2＝＝.
显然p1>p2，即方案①的中奖概率大．
点评　解决此问题需要先求不等式的整数解(实际问题的要求)，再计算中奖概率．
三、概率与递推数列
例3　A、B两人拿两个骰子做抛掷游戏，规定：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原抛掷者继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数就由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为pn，求pn的表达式．
解　第n次由A掷有两种情况：
①第n－1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为pn－1；②第n－1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1－pn－1)．
故有pn＝pn－1＋(1－pn－1) (n≥2)，
即pn＝－pn－1＋ (n≥2)．
令pn＋x＝－(pn－1＋x)，整理可得x＝－，
故pn－＝－ (n≥2)，
又p1＝1，所以数列是以为首项，－为公比的等比数列，
于是pn－＝n－1，即pn＝＋n－1.
点评　弄清pn与pn－1的关系并建立递推关系式是问题获得解决的关键．
5　深析超几何分布与二项分布的关系
超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点．课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是次品，无返回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从超几何分布的．而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型．若将超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是次品，有返回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化．【出处：21教育名师】
超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解．在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的．下面通过几个例子说明一下两者的区别．
例1　从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数ξ的分布．
解　由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．
P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
点评　这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看成是二项分布问题，把事件发生的概率看作是0.4.
例2　甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3则甲赢，若最后一位出现6,7,8,9则乙赢，若最后一位出现4,5是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列．
解　由题意得：X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝C×0.63＝0.216，
P(X＝1)＝C×0.62×0.4＝0.432，
P(X＝2)＝C×0.6×0.42＝0.288，
P(X＝3)＝C×0.43＝0.064.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
点评　这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为X服从N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．
二项分布应满足独立重复试验：
①每一次试验中只有两种结果(要么发生，要么不发生)．
②任何一次试验中发生的概率都一样．
③每次试验间是相互独立的互不影响的．
6　三法求均值
均值是离散型随机变量的一个重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值的求解策略也有多种，下面通过实例来阐述．21*cnjy*com
方法一　利用定义求均值
根据定义求离散型随机变量的均值，首先要求分布列，然后利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
例1　一接待中心有A，B，C，D四部热线电话．已知某一时刻电话A，B占线的概率为0.5，电话C、D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的分布列和它的均值．
分析　先判断ξ的所有可能取值，再根据相应知识求概率．
解　由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，
P(ξ＝1)＝C×0.52×0.62＋C×0.4×0.6×0.52＝0.3，
P(ξ＝2)＝C×0.52×0.62＋C×0.52×C×0.4×0.6＋C×0.42×0.52＝0.37，
P(ξ＝3)＝C×0.52×C×0.4×0.6＋C×0.52×C×0.42＝0.2，
P(ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.
于是ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以Eξ＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.
点评　均值与分布列联系密切，正确地求出随机变量的分布列，是求均值的关键．解题时，确定随机变量ξ取哪些值及相应的概率，是利用定义求均值的重点．
方法二　利用公式求均值
有些离散型随机变量如果归结为超几何分布、二项分布等常见分布类型时就常使用公式法求均值：
(1)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np.
(2)若X服从超几何分布，则EX＝n.
例2　一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的均值．
解　根据题目所含白球数X服从参数N＝10，M＝5，n＝4的超几何分布，则EX＝＝＝2.
所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球．
点评　此题判断随机变量服从哪种分布是关键，再者要弄清公式中参数的含义．
方法三　利用性质求均值
对于aX＋b型的随机变量一般用性质E(aX＋b)＝aEX＋b来求解．
例3　某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为(　　)21教育网
A．100 B．200
C．300 D．400
解析　记“不发芽的种子数为ξ”，
则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，
而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.
答案　B
点评　解决此类问题的关键是找出变量与变量的内在联系，并正确套用性质．
7　正态分布的实际应用
正态分布是实际生活中应用十分广泛的一种概率分布，因此，我们要熟练掌握这种概率模型，并能灵活地运用它分析解决实际问题，其中分布密度曲线、几个特殊概率P(μ－σ正态分布重点要掌握分布密度曲线的性质，会利用几个特殊概率解决简单的问题，特别要注意数形结合思想在求概率中的运用．
例1　已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度X服从N(200,182)．
(1)计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；
(2)如果所用的材料在以98%的概率保证强度大于164，问这批材料是否符合这个要求？
分析　根据正态分布和正态曲线的性质分析求解．
解　(1)X～N(μ，σ2)，其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P(182又1＝P(X<182)＋P(182218)，
且由正态曲线的对称性可知，
P(X<182)＝P(X>218)，
∴P(X<182)＝(1－0.683)＝0.159.
∴P(X>182)＝1－P(X<182)
＝1－0.159＝0.841.
故所求的概率为0.841.
(2)由题意有P(X>164)＝0.98.
而164＝μ－2σ，
∴P(164又由正态曲线的对称性可知
P(X<164)＝P(X>236)，
且P(X<164)＋P(164236)＝1，
∴P(X>164)＝1－P(X<164)
＝0.977<0.98.
故这批材料不符合这个要求．
例2　已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45，0.052)，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到它们的尺寸如下：
27．34　27.49　27.55　27.23　27.40
27．46　27.38　27.58　27.54　27.68
请帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的．
分析　正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，所以对落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05)之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说．
解　有两个零件不符合落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05)内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的．21·cn·jy·com
8　用独立事件同时发生的概率讲“道理”
概率本身就来源于生活，又服务于生活．在日常生活中，我们经常会遇到有理说不清的情况，如果我们有时能准确合理的运用概率知识进行分析，通过严密的分析和详实准确的数据，往往不仅能把道理讲清，而且能把道理讲透，讲得让人“心服口服”．如果不信，我们下面就不妨用独立事件同时发生的概率来讲两个道理．2·1·c·n·j·y
道理1：我国的大教育家孔子曰：“三人行，必有我师焉”．能用概率知识诠释孔子的这句名言吗？
诠释：俗话说：“三百六十行，行行出状元．”我们不妨把一个人的才能分成360个方面．因为孔子是大学问家，我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99%，即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99%.另外两个人在任何一方面的才能不如孔子分别看作两个独立事件，则在任一行中，这两个人的才能均不超过孔子就成了概率中两个独立事件同时发生的模型，所以可能性是99%×99%＝98.01%.而在360行中，另外两人的才能均不超过孔子的可能性即为独立事件重复发生的概率，所以为(98.01%)360≈0.07%.反过来说，另外两人中有人的才能在某一方面超过孔子的可能性为1－(98.01%)360≈99.93%.也就是说，两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为99.93%.
从上面的分析可知，“三人行，必有我师”虽然是孔子自谦的话，但从实际情况来看，这句话是很有道理的．
道理2：小强和小明的家都在同一栋10层的小高层里，小强家在顶层，小强坚持认为由于小高层有底层到顶层的电梯，所以自己从电梯上楼到家的速度应该是相当快的．可是小明并不这样认为，但是又无法说服小强，只是一味地强调如果考虑每层都有人要上电梯，那么也要耽误很多时间，所以乘电梯也不一定很快．我们如何来帮助小明通过准确的数据来说服小强呢？
我们不妨设计这样一个问题：十层电梯从底层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
解　依题意，从底层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次．这些情况都是互斥关系，电梯每一层停的概率为，每种具体的情况实际上是独立事件重复发生的概率问题．
∴从底层到顶层停不少于3次的概率
P＝C36＋C45＋C54＋…＋C9＝(C＋C＋C＋…＋C)9
＝[29－(C＋C＋C)] 9＝(29－46)9＝.
设从底层到顶层停k次，则其概率为Ck9－k＝C9，
∴当k＝4或k＝5时，C最大，即C9最大，∴从底层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．【来源：21cnj*y.co*m】
通过上面的详实分析和准确数据，我们发现由于电梯至少停三次的概率较大，而且停4次或5次的可能性最大，因为每次电梯停下来开门、关门等都要耽误一定的时间，累计起来耽误的时间却是不少，所以小明的观念还是有一定的道理的．
生活中像这样的现象很多，表明上看起来都与概率无关，但是对于“数学人”来说，生活中的概率无处不在，关键就在于要善于将这些现象转化为概率模型，通过数学知识来进行定性和定量分析，达到“以理服人”的效果．
9　生活中的概率问题
在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力．在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等，我们常遇见一些概率问题．下面就我们现实生活中常见的一些概率问题进行一些简单的分析：
一、谁先谁后的问题
单位有六台旧麻将机将处理给单位员工，定价300元一台．结果有12位希望买一台．于是单位领导就写了十二张小纸条，其中有六张写着“恭喜购买成功”，另六张写着“谢谢你的配合，你购买不成功！”．再把纸条折好．然后叫十二位员工按先后顺序来抓．请问：这十二位员工拿中的概率是一样的吗？也就是说这种方法公平吗？最后一位员工是不是最划不来？
显然，对于第一个抓纸条的人来说，他从12张纸条中选一张，抽到“恭喜购买成功”的概率为.对于第二个抓纸条的人来说，可以分两种情况考虑：①第一个人抽中，他抽中的概率，②第一个人没有抽中，他抽中的概率，这两种情况是等概率事件，所以不管第一个人抽中还是没抽中，不影响第二个人抽中的概率．同样对于第三个人来说，他抽中的概率可以分成四种情况考虑：①一中，二中，他抽中的概率，②一中，二不中，他抽中的概率，③一不中，二中，他抽中的概率，④一不中，二不中，他抽中的概率，这四种情况是等概率事件，所以也不影响第三个人抽中的概率．由此可以类推，第四个人，第五个人等，抽中的概率都不受影响，所以这种方法是公平的，哪个人先抽，哪个人后抽，对个人来说，没有影响．
二、性别问题
你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清楚的听到有3个小孩的声音，但是，因为这3个小孩，年龄都很小，所以你不确定他们是男是女．
1．基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？
2．当然，你还是没有足够的讯息，确定所有3个小孩的性别．所以，你决定再找个理由，到隔壁敲了第二次门，很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？
3．如果，你第三次去敲了隔壁邻居的门，请问，你可以百分之百确定这3个性别的概率是多少？
对于这种问题，我们在平时的言谈中经常会遇到，一下子接触，感觉有点懵．其实这种问题认真分析的话也会感觉其中的乐趣.1.一个男孩开门，那么就会有两个小孩不知道性别，有四种可能，所以全是男孩的概率为.2.第二次敲门，21cnjy.com
又有一个男孩开门，就只有一个小孩不知道性别，有两种可能，所以全是男孩的概率为.3.第三次敲门，三个小孩都有可能开门，所以全是男孩的概率为.这种问题其实和抛硬币，掷骰子的问题大致相同，只是情境不同．
三、玩扑克牌中的出牌问题
在玩扑克牌中，我们经常会懊悔出错了牌，一手好牌就此浪费了．比如斗地主中，炸弹(四个相同的点数或双王)，三带一，连子，出现的概率很低，对子，单的概率很高，所以合理的安排出牌，胜利的次数就比较多．如果一个玩牌者经过计算，认定出牌A比出牌B获胜的概率大，那么它会出牌A，尽管出牌A也有招致失败的风险．
可见，在生活中，我们会遇到很多难题，当我们从概率的角度进行判断，然后作出决策时，完全有可能犯错误，不可能有绝对的把握正确．只是，我们总希望犯错误的概率小一些，能够使自己获得最高的成功率．把握住事件出现的概率，我们就很容易的做出判断解决问题．
四、生日相同的问题
如果一个班级有50位学生，那么其中至少有两位学生生日相同的概率是多少？
要直接计算50人中有至少2人生日相同比较困难．我们就先算出全部不同的概率．然后用1减去它就是至少有2人相同的概率了．我们可以这样考虑：随意找一位学生甲，他的生日可以是365(不考虑闰年)天中的任意一天，所以有365种可能，对于学生乙同样有365种可能，所以50位学生生日的情况就有36550种，生日不相同的情况，对于甲有365种可能，乙和甲不同就有364种，所以50位学生生日不同的情况有A种，所以生日不同的概率为，所以至少有两位学生生日相同的概率为1－.
该问题的概率较大，正说明一些看似巧合的现象其实极为平凡，这也有助于我们破除迷信，树立唯物主义的世界观．
第二章 概率
学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念.2.掌握超几何分布及二项分布，并能进行简单的应用，了解分布密度曲线的特点及表示的意义.3.理解条件概率与事件相互独立的概念.4.会计算简单的离散型随机变量的均值和方差，并能利用均值和方差解决一些实际问题． 【来源：21·世纪·教育·网】
一、离散型随机变量的分布列
1．定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
________________________①或把上式列成下表
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
2．求随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量X的取值．
(2)准确求出X取每一个值时的概率．
(3)列成表格的形式．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)________，i＝1,2，….
(2)________________．
二、条件概率与独立事件
1．A发生时B发生的条件概率为
P(B|A)＝.
2．对于两个事件A，B，如果________________，则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．21·世纪*教育网
3．求条件概率的常用方法
(1)定义：即P(B|A)＝________.
(2)借助古典概型公式P(B|A)＝________.
三、离散型随机变量的均值与方差
1．定义：一般地，设随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，an，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则EX＝________________叫作这个离散型随机变量X的均值．E(X－EX)2是(X－EX)2的均值，并称之为随机变量X的方差，记为________．www-2-1-cnjy-com
2．意义：均值刻画的是X取值的“中心位置”，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的____________．【出处：21教育名师】
四、超几何分布与二项分布
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．2·1·c·n·j·y
那么P(X＝k)＝________________(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布，其均值EX＝________.
2．二项分布
在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次独立重复试验中成功的次数，【来源：21cnj*y.co*m】
则P(X＝k)＝____________(k＝0,1,2，…，n)．
称为X服从参数为n，p的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．
五、正态分布
1．正态分布的分布密度函数为
f(x)＝exp{－}，－∞2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ类型一　条件概率的求法
例1　口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：
(1)第一次取出的是红球的概率是多少？
(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？
(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？
　
　
　
　
　
反思与感悟　条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法：(1)P(B|A)＝；(2)P(B|A)＝.在古典概型中，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数．
跟踪训练1　掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．
　
　
　
　
　
　
类型二　互斥、对立、独立事件的概率
例2　英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词，每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)．
(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；
(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和均值．
　
　
　
　
反思与感悟　(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．21教育网
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A＋B)＝1－P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
跟踪训练2　红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．2-1-c-n-j-y
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．
　
　
　
　
类型三　离散型随机变量的分布列、均值和方差
例3　某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．【版权所有：21教育】
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和均值．
　
　
　
　
　
反思与感悟　求离散型随机变量的均值与方差的步骤
跟踪训练3　某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．21教育名师原创作品
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的均值与方差．
　
　
　
　
　
类型四　正态分布
例4　某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)记住正态总体在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
跟踪训练4　已知X～N(－1，σ2)，若P(－3≤X≤－1)＝0.4，则P(－3≤X≤1)的值是________．21*cnjy*com
类型五　分类讨论数学思想方法的应用
例5　某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值；
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．
　
　
　
　
　
反思与感悟　解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想．
跟踪训练5　某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)．
　
　
　
　
1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为(　　)
A. B. C. D.
2．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)21cnjy.com
A. B. C. D.
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)21·cn·jy·com
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%)www.21-cn-jy.com
A．4.6% B．13.6%
C．27.2% D．31.7%
4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
5．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2，将这个小正方体抛掷2次，求向上的数之积的分布列和均值．
　
　
1．条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．
其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A∪B)＝1－P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用超几何分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．
对于正态分布问题，新课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布的分布密度函数．(2)理解分布密度曲线的性质．(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图像求相应的概率．

答案精析
知识梳理
知识点一
1．P(x＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，
3．(1)pi>0　(2)p1＋p2＋…＝1
知识点二
2．P(AB)＝P(A)P(B)
3．(1)
(2)
知识点三
1．a1p1＋a2p2＋…＋arpr　DX
2．平均程度越小
知识点四
1.　n
2．Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
题型探究
例1　解　记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．
(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个，
所以P(A)＝＝.
(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有4×3个，
所以P(AB)＝＝.
(3)利用条件概率的计算公式，
可得P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练1　解　设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.
方法一　P(A|B)＝＝＝.
方法二　“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，∴n(B)＝6.21*cnjy*com
“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n(AB)＝3.
∴P(A|B)＝＝＝.
例2　解　(1)设“英语老师抽到的4个单词中，至少有3个是后两天学习过的”为事件A，
由题意可得P(A)＝＝.
(2)由题意可得ξ可取0,1,2,3，
则P(ξ＝0)＝2×＝，
P(ξ＝1)＝C×××＋2×＝，
P(ξ＝2)＝2×＋C×××＝，
P(ξ＝3)＝2×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
故Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝2.2.
跟踪训练2　解　(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.由对立事件的概率公式，知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.
例3　解　(1)从10人中选出2人的选法共有C＝45(种)，
事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；
共有CC＋C＝15(种)，
∴事件A发生的概率P＝＝.
(2)X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＝1.
跟踪训练3　解　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.
(2)X的可能取值是1,2,3，
则P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
EX＝1×＋2×＋3×＝，DX＝E(X－EX)2＝×2＋
×2＋×2＝.
例4　解　∵考生成绩X～N(500,502 )，
∴μ＝500，σ＝50，
∴P(550＝(0.954－0.683)＝0.136，
∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.136＝340.
跟踪训练4　0.8
解析　由于X～N(－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x＝－1对称，所以
P(－3≤X≤1)＝2P(－3≤X≤－1)＝0.8.
例5　解　(1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)．
三个问题均答对，
得10＋10＋20＝40(分)．
三个问题一对两错，包括两种情况：
①前两个问题一对一错，第三个问题错，
得10＋0＋(－10)＝0(分)；
②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)．
三个问题两对一错，也包括两种情况：
①前两个问题对，第三个问题错，
得10＋10＋(－10)＝10(分)；
②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20＋10＋0＝30(分)．
故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.
P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016，
P(ξ＝0)＝C×0.2×0.8×0.4＝0.128，
P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256，
P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024，
P(ξ＝30)＝C×0.8×0.2×0.6
＝0.192，
P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.
所以ξ的分布列为
ξ
－10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384
所以Eξ＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24.
(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为
P(ξ≥0)＝1－P(ξ<0)＝1－0.016＝0.984.
跟踪训练5　解　(1)A直接感染一个人有2种情况，分别是A－B－C－D和A－B－，
概率是×＋×＝；
(2)A直接感染二个人有3种情况，分别是A－，A—，A—，概率是×＋×＋×＝；
(3)A直接感染三个人只有一种情况，概率是×＝.
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
当堂训练
1．D　[设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，则P(B|A)＝＝＝.故选D.]21世纪教育网版权所有
2．B　[设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P( )＝1－P()·P()·P()＝1－(1－)×(1－)×(1－)＝1－＝，故选B.]
3．B　[由正态分布的概率公式，知P(－3<ξ<3)＝0.683，P(－6<ξ<6)＝0.954，
故P(3<ξ<6)＝＝≈0.136＝13.6%，故选B.]
4.
解析　每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)＝，所以恰有2人申请A片区房源的概率为C·2·2＝.
5．解　设所得两数之和为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,4，
P(ξ＝0)＝2××＋2××＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝2××＝，
P(ξ＝4)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
4
P
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋4×＝.