2017-2018版高中数学全一册学案（打包33套）北师大版选修1-1

1 命题
学习目标　1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断．www.21-cn-jy.com
知识点一　命题的概念
思考1　给出下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②3＋6＝7；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④5能被4整除．
请你找出上述语句的特点．
　
　
梳理　(1)定义
可以__________、用文字或符号表述的语句叫作命题．
(2)分类
①真命题：__________的语句叫作真命题；
②假命题：__________的语句叫作假命题．
知识点二　命题的形式
思考1　你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？
　
　
思考2　“内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？
　
　
梳理　命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
由p能推出q，则为真命题．能举一反例即可确定为假命题．
知识点三　四种命题的概念
思考　给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
　
　
　
　
　
　
梳理　一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作__________．2-1-c-n-j-y
如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作__________．
如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作______________．
把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
知识点四　四种命题的关系及其真假判断
思考1　原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【来源：21cnj*y.co*m】
　
　
　
思考2　如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？
　
　
梳理　(1)四种命题的相互关系
(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是__________．
(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性__________．
类型一　命题的概念
例1　下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．21世纪教育网版权所有
其中是命题的是________．(填序号)
反思与感悟　一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．
其流程图如图：
跟踪训练1　下列语句中，是命题的为________．
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
类型二　四种命题及其相互关系
命题角度1　四种命题的概念
例2　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；
(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；
(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.
　
　
反思与感悟　四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练2　命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)21教育网
A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
命题角度2　四种命题的相互关系
例3　若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是(　　)21cnjy.com
A．互为逆命题 B．互为否命题
C．互为逆否命题 D．同一命题
反思与感悟　(1)判断四种命题之间四种关系的两种方法
①利用四种命题的定义判断；
②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
(2)要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．2·1·c·n·j·y
跟踪训练3　有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②一个实数不是正数就是负数；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
类型三　等价命题的应用
例4　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【出处：21教育名师】
引申探究
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．【版权所有：21教育】
反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．21教育名师原创作品
跟踪训练4　证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
　
　
　
　
　
1．下列语句是命题的是(　　)
A．2 014是一个大数
B．若两条直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗
D．a≤15
2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(　　)
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
4．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)21*cnjy*com
A．0 B．2 C．3 D．4
5．给出以下命题：
①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
其中为真命题的是________．
1．可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．21*cnjy*com
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变．
3．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定和结论q的否定；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假．
梳理　(1)判断真假　(2)①判断为真　②判断为假
知识点二
思考1　若两个角为内错角，则这两个角相等．
思考2　是命题，是假命题．
知识点三
思考　命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．21·世纪*教育网
梳理　互逆命题　互否命题　互为逆否命题
知识点四
思考1　互逆、互否、互为逆否．
思考2　原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．
梳理　(1)逆否　互逆　(2)逆否命题　(3)没有关系
题型探究
例1　(1)(3)(5)(8)
解析　本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．
跟踪训练1　①④
解析　②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．
例2　解　(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．
(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题．
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题．
(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题．
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题．
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．
跟踪训练2　B　[直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．]
例3　B　[已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．
命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，
命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，
∴r是p的逆否命题，
∴r是p的逆命题的否命题，故选B.]
跟踪训练3　1
解析　①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．
②实数0既不是正数，也不是负数，
所以原命题是假命题．
③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，
解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，
而x＝4>－3不是不等式的解，
故是假命题．
④“相等的角是同位角”，是假命题．
例4　解　方法一　原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?，判断如下：21·cn·jy·com
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题．
方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥≥1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究　
解　先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，【来源：21·世纪·教育·网】
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)
＝4a－7<0，
所以a<.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
跟踪训练4　证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．www-2-1-cnjy-com
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1
＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1
＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．
当堂训练
1．B　2.D　3.B　4.B　5.①③　
2．1　充分条件2．2　必要条件
学习目标　1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．21世纪教育网版权所有
知识点一　充分条件与必要条件的概念
给出下列命题：
(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；
(2)若ab＝0，则a＝0.
思考1　你能判断这两个命题的真假吗？
　
　
思考2　命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？
　
　
　
梳理　一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的__________，q是p的__________．
知识点二　充分条件与必要条件的判断
命题真假
若“p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p__________q
p __________q
条件关系
p是q的______条件
q是p的______条件
p不是q的____条件
q不是p的____条件
知识点三　充分条件、必要条件与集合的关系
思考　“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．
梳理　A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A?B
p是q的充分条件
q是p的必要条件
A?B
p是q的不充分条件
q是p的不必要条件
B?A
q是p的充分条件
p是q的必要条件
B?A
q是p的不充分条件
p是q的不必要条件
类型一　充分条件与必要条件的概念
例1　(1)判断下列说法中，p是q的充分条件的是______________________________．
①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
②已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，p：a与b无公共点，q：α∥β；
③设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．
(2)下列各题中，p是q的必要条件的是________．
①p：x2>2 016，q：x2>2 015；
②p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，q：0③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：log2a>log2b>0.
引申探究
例1(1)中p是q的必要条件的是________．
反思与感悟　充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1　 对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
类型二　充分条件与必要条件的应用
例2　已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m的取值范围．www.21-cn-jy.com
　
　
　
　
引申探究
若将本例条件变为q是p的必要条件，求正实数m的取值范围．
反思与感悟　(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；p?q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A?B.2·1·c·n·j·y
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
跟踪训练2　已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
　
　
　
　
1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是(　　)
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
3．已知函数f(x)的定义域为R，函数f(x)为奇函数的________条件是f(0)＝0.(填“充分”或“必要”)21教育网
4．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“，”的________条件．(填“充分”或“必要”)21·cn·jy·com
5．是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由．21·世纪*教育网
　
　
　
　
　
　
　
　
1．充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．21cnjy.com
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．www-2-1-cnjy-com
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．2-1-c-n-j-y

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　(1)真命题；(2)假命题．
思考2　命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能有结论b＝0.21*cnjy*com
梳理　p?q　充分条件　必要条件
知识点二
?　?/ 　充分　必要　充分　必要
知识点三
思考　充分　必要
题型探究
例1　(1)①
解析　对①，p?q；②p?/ q；③p?/ q，故选①.
(2)②③
解析　①q?/ p；②p：0≤a<1，故q?p；
③log2a>log2b>0?a>b>1，
∴q?p，故选②③.
引申探究　　①②
解析　①x2－2x＋1＝0?x＝1，即q?p；
②?a与b无公共点，即q?p；
③q?/ p．故选①②.
跟踪训练1　B　[∵?a>b，
?a∴ac>bc?/ a>b，而由a>b?/ ac>bc，
∴“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件，也不是必要条件，
故A，C错误．
又?a＝b，
?/ a＝b，
∴由ac＝bc?/ a＝b，
而由a＝b?ac＝bc，
∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故选B.]
例2　解　解不等式得p：－2≤x≤3，
当m>0时，q：2－3m≤x≤2＋3m，
由q是p的充分条件可得q?p，
从而?0所以正实数m的取值范围为(0，]．
引申探究　解　由p：－2≤x≤3，
q：2－3m≤x≤2＋3m(m>0)，
∵q是p的必要条件，∴p?q，
从而
解得m≥.
∴正实数m的取值范围为[，＋∞)．
跟踪训练2　解　∵a<0，
解不等式得q：x<1＋a或x>1－a，
∵p是q的必要条件，∴q?p，
∴解得a≤－9.
故负实数a的取值范围是a≤－9.
当堂训练
1．A　2.A　3.必要　4.充分
5．解　由x2－x－2>0，
解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝.
由题意得B?A，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1?x2－x－2>0，
∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．
2.3　充要条件
学习目标　1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．21教育网
知识点一　充要条件的概念
思考1　命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？21cnjy.com
　
思考2　若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
　
　
梳理　一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作______．此时，我们说，p是q的____________，简称____________________________________________________．
知识点二　充要条件的判断
1．由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件
若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：
原命题
逆命题
条件p与
结论q的关系
结论
真
假
p是q成立的充分不必要条件
假
真
p是q成立的必要不充分条件
真
真
p是q成立的充要条件
假
假
p是q成立的既不充分又不必要条件
由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
类型一　充要条件的判断
例1　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：sin α>sin β，q：α>β.
　
　
　
　
反思与感悟　充要条件的常用判断方法
(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．
(2)集合法：若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．
跟踪训练1　(1)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
类型二　充要条件的探求与证明
命题角度1　探求充要条件
例2　求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件．
　
　
　
反思与感悟　探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2　设a、b、c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件．2·1·c·n·j·y
　
　
　
　
命题角度2　充要条件的证明
例3　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
　
　
　
　
反思与感悟　一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p?q.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3　求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
　
　
　
　
　
类型三　充分条件与必要条件的应用
例4　已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
　
　
　
　
　
反思与感悟　首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后，构建满足条件的不等式(组)求解．同时要注意命题的等价性的应用．
跟踪训练4　已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
1．“x2>2 017”是“x2>2 016”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．“a>b”是“a>|b|”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论中正确的是(　　)
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；
②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；
③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．
A．③ B．①② C．①②③ D．①②③④
4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________．
5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
　
　
　
　
　
　
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．21世纪教育网版权所有

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．
思考2　因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．21·cn·jy·com
梳理　p?q　充分必要条件　充要条件
知识点二
1．p?q，但q?/ p　q?p，但p?/ q　p?q，q?p，即p?q　p?/ q，q?/ p
题型探究
例1　解　(1)∵四边形的对角线互相平分?/ 四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，
a＋b＝0D?/a2＋b2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝成立时，可以推出x＝1或x＝2，21·世纪*教育网
∴p是q的充要条件．
(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．
跟踪训练1　(1)B　[由x＞1?x＋2＞3?＜0，＜0?x＋2＞1?x＞－1，故“x＞1”是“＜0”成立的充分不必要条件．故选B.]
(2)C　[当x＝1，y＝－2时，x>y，
但x>|y|不成立；
因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y.
所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．]
例2　解　充分性：当0判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a
＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
所以a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
跟踪训练2　解　先由题意求出条件：
设α是两方程的公共根，显然α≠0，
则α2＋2aα＋b2＝0，①
α2＋2cα－b2＝0，②
①＋②，得2α2＋2α(a＋c)＝0，
∴α＝－(a＋c)．
代入①，得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，即a2＝b2＋c2，以上求条件的过程就是必要性的证明过程．www-2-1-cnjy-com
再证明充分性：∵a2＝b2＋c2，
∴方程x2＋2ax＋b2＝0，
可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
它的解为x1＝－(a＋c)，
x2＝c－a.
同理方程x2＋2cx－b2＝0可化为
x2＋2cx－a2＋c2＝0，
它的解为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.
∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．
综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2.
例3　证明　充分性：∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
跟踪训练3　证明　①充分性：
如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
例4　解　由3x＋m<0得，x<－.
∴p：A＝.
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q而q?/ p，∴A是B的真子集，
∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
跟踪训练4　B　[q：x<－1或x>2，
由题意知，{x|x≥k}?{x|x<－1或x>2}，
则k>2，∴k的取值范围是(2，＋∞)．]
当堂训练
1．A　2.B　3.D　4.m＝－4或m＝0
5．解　由3x＋m<0，得x<－，
∴p：A＝{x|x<－}．
由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q而q?/ p，
∴A?B，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
3．1　全称量词与全称命题3．2　存在量词与特称命题
学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．21世纪教育网版权所有
知识点一　全称量词与全称命题
思考　观察下列命题：
(1)每一个三角形都有内切圆；
(2)所有实数都有算术平方根；
(3)对一切有理数x,5x＋2还是有理数．
以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．
　
　
　
　
梳理
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
全称命题p
含有__________的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________________
判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在x∈M，p(x)不成立”．【来源：21cnj*y.co*m】
知识点二　存在量词与特称命题
思考　观察下列命题：
(1)有些矩形是正方形；
(2)存在实数x，使x>5.
(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.
以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．
　
　
　
梳理
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
特称命题
含有__________的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为________________
判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．【来源：21·世纪·教育·网】
类型一　识别全称命题与特称命题
例1　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(3)对任意a，b∈R，若a>b，则<；
(4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．
　
反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1　下列命题不是特称命题的是(　　)
A．有些实数的平方可以等于零
B．存在x<0，使x2<0
C．至少有一个三角函数的周期是2π
D．二次函数的图像都是抛物线
类型二　全称命题与特称命题的真假的判断
例2　判断下列命题的真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)存在一个函数，既是偶函数，又是奇函数．
　
　
　
　
引申探究
例2若将题中(2)(3)(4)改为
①对所有的实数，它的绝对值均不是正数；
②存在实数x1，x2，若x1③任意一个函数，都既是偶函数又是奇函数，判断其真假．
反思与感悟　(1)判断全称命题真假的方法
①要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真．
②要判断一个全称命题为假时，即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．21cnjy.com
(2)判断特称命题真假的方法
①要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真．
②要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假．
所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系．
跟踪训练2　判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．
(1)对任意x∈N,2x＋1是奇数．
(2)每一个平行四边形的对角线都互相平分．
(3)存在一个x∈R，使＝0.
(4)存在一组m，n的值，使m－n＝1.
(5)至少有一个集合A，满足A?{1,2,3}．
　
　
　
　
　
类型三　全称命题、特称命题的应用
例3　(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
　
　
　
　
　
反思与感悟　有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
跟踪训练3　(1)对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．
　
　
　
　
1．下列命题中特称命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1.2·1·c·n·j·y
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中，不是全称命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
3．下列含有量词的命题为真命题的是(　　)
A．所有四边形都有外接圆
B．有的等比数列的项为零
C．存在实数没有偶次方根
D．任何实数的平方都大于零
4．对任意的x∈[0，]，tan x≤m是真命题，则实数m的最小值为________．
5．将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题．
(1)相等的角是对顶角；
(2)sin x＋cos x<3.
　
　
　
1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．21·cn·jy·com
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．21教育网
3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．21·世纪*教育网

答案精析
问题导学
知识点一
思考　命题(1)(2)(3)分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．
命题(1)(3)是真命题，命题(2)是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题(2)为假命题．www-2-1-cnjy-com
梳理　全称量词　任意x∈M，p(x)
知识点二
思考　命题(1)(2)(3)分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题(1)(2)是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题(3)为假命题．
梳理　存在量词　存在x∈M，p(x)
题型探究
例1　解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，是全称命题．
(2)含有存在量词“有些”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，是特称命题．
跟踪训练1　D
例2　解　(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，故该命题是真命题．2-1-c-n-j-y
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，故该命题是真命题．
(3)存在x1＝0，x2＝π，x1(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数，又是奇函数，故该命题是真命题．
引申探究　解　①存在实数1，它的绝对值是正数，故该命题是假命题．
②因为当x∈时，函数y＝tan x是增加的，故存在x1，x2∈，若x1③如函数y＝x2＋1，它是偶函数，但不是奇函数，故该命题是假命题．
跟踪训练2　解　(1)是全称命题．因为对任意x∈N,2x＋1都是奇数，所以全称命题：“对任意x∈N,2x＋1是奇数”是真命题．21*cnjy*com
(2)是全称命题．由平行四边形的性质可知此命题是真命题．
(3)是特称命题．不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(4)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(5)是特称命题．存在A＝{3}，使A?{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
例3　解　(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，
∴实数a的取值范围为.
(2)∵对任意x∈R，p(x)是真命题．
∴对任意x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，
则∴a>1.
即a的取值范围是(1，＋∞)．
跟踪训练3　解　(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x
＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x
＝sin∈，
又存在x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
当堂训练
1．B　2.D　3.C　4.1
5．解　(1)存在相等的两个角是对顶角．
(2)对任意x∈R，sin x＋cos x<3.
3.3　全称命题与特称命题的否定
学习目标　1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点　全称命题与特称命题的否定
思考1　写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形；
②有些平行四边形是菱形．
　
　
思考2　对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？
　
思考3　对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？
　
梳理　(1)全称命题的否定是__________；
(2)特称命题的否定是__________；
(3)常见的命题的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
类型一　全称命题的否定
例1　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任意n∈Z，则n∈Q；
(2)等圆的面积相等，周长相等；
(3)偶数的平方是正数．
　
　
反思与感悟　(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．21世纪教育网版权所有
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
　
　
　
　
类型二　特称命题的否定
例2　写出下列特称命题的否定：
(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个素数含三个正因数．
　
　
　
反思与感悟　与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．
跟踪训练2　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
　
　
　
类型三　含有一个量词的命题的否定的应用
例3　已知命题p(x)：sin x＋cos x>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．21教育网
　
　
　
　
引申探究
若例3中“如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R，p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
反思与感悟　若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．21cnjy.com
　
　
　
　
　
1．全称命题“任意实数的平方是正数”的否定是(　　)
A．任意实数的平方是负数
B．任意实数的平方不是正数
C．有的实数的平方是正数
D．有的实数的平方不是正数
2．特称命题“有的素数是偶数”的否定是(　　)
A．有的素数不是偶数 B．有的素数是奇数
C．所有的素数都是偶数 D．所有的素数都不是偶数
3．下列命题的否定为假命题的是(　　)
A．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．任意x∈R，lg x＜1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．任意x∈R，sin2x＋cos2x＝1
4．若“存在x∈，sin xcos x>m”为假命题，则实数m的取值范围是________．
5．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)有些三角形的三条边相等；
(3)余弦值为负数的角是钝角．
　
　
　
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．www.21-cn-jy.com
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．

答案精析
问题导学
知识点
思考1　答案　①并非所有的矩形都是平行四边形．
②每一个平行四边形都不是菱形．
思考2　不能．
思考3　不能．
梳理　(1)特称命题　(2)全称命题
(3)不是　不都是　≤　一个也没有
至少有两个　存在x∈A使p(x)为假
题型探究
例1　解　(1)存在n∈Z，使n?Q，这是假命题．
(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
跟踪训练1　解　(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(3)存在x∈Z，x2的个位数字等于3.
例2　解　(1)任意x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)所有的三角形都不是等边三角形．
(3)每一个素数都不含三个正因数．
跟踪训练2　解　(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．21·cn·jy·com
(3)命题的否定：
“任意x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
例3　解　∵sin x＋cos x
＝sin(x＋)>m，
若p(x)为真命题，则m<－.
∵p(x)为假命题，m≥－，①
由q(x)为真命题，则Δ＝m2－4<0，
即－2由①②可得－≤m<2.
引申探究　解　由例3知p(x)为真命题时，m<－，
q(x)为真命题时，－2由题意知p(x)与q(x)两命题有一真一假，
当p(x)为真，q(x)为假时，
得m≤－2.
当p(x)为假，q(x)为真时，
得－≤m<2.
所以m的取值范围是
(－∞，－2]∪[－，2)．
跟踪训练3　解　在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，2·1·c·n·j·y
　即
即
∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是－3当堂训练
1．D　2.D　3.D　4.[，＋∞)
5．解　(1)这一命题可表述为对任意的实数m，
方程x2＋mx－1＝0必有实数根．
其否定：存在一个实数m，
使方程x2＋mx－1＝0没有实数根，
因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
故为假命题．
(2)由于存在量词“有些”的否定的表述为“所有”，
因此，原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．
(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．
4．1　逻辑联结词“且”4．2　逻辑联结词“或”
学习目标　1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．www.21-cn-jy.com
知识点一　含有逻辑联结词“且”“或”的命题
思考1　观察下面三个命题：①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？21*cnjy*com
　
思考2　观察下面三个命题：①3>2，②3＝2，③3≥2，它们之间有什么关系？
　
梳理　(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．
知识点二　含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假
思考1　你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p、q的真假有关系吗？
　
思考2　你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p、q的真假有关系吗？
　
　
梳理　(1)含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：
①“p且q”形式命题：当命题p、q都是________时，p且q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是__________时，p且q是假命题．21世纪教育网版权所有
②“p或q”形式命题：当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是__________；当p、q两个命题都是假命题时，p或q是__________．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)命题真假判断的表格如下：
p
q
p且q
p或q
真
真
真
假
假
真
假
假
类型一　含有“且”“或”命题的构成
命题角度1　简单命题与复合命题的区分
例1　指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
　
　
　
　
　
反思与感悟　不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．21教育网
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．
跟踪训练1　分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)3是质数或合数；
(2)他是运动员兼教练员．
　
　
　
　
命题角度2　用逻辑联结词构造新命题
例2　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
　
　
　
　
反思与感悟　(1)用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．2·1·c·n·j·y
(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
第一步：确定两个简单命题p，q；
第二步：分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p且q”“p或q”．
跟踪训练2　分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题：
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，q：方程x2＋4x＋1＝0的两个根的绝对值相等；21cnjy.com
(3)p：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
　
　
　
类型二　“p或q”和“p且q”形式命题的真假判断
例3　分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”形式的新命题的真假．
(1)p：2>2，q：2＝2；
(2)p：?是{0}的真子集，q：0∈?；
(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．
　
　
　
反思与感悟　判断p且q与p或q形式的命题真假的步骤
(1)首先判断命题p与q的真假；
(2)对于p且q，“一假则假，全真则真”，
对于p或q，只要有一个为真，则p或q为真，全假为假．
跟踪训练3　分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．
(1)p：是无理数，q：π不是无理数；
(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
　
　
　
类型三　“p或q”与“p且q”的应用
例4　已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的解集是?，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
　
　
　
　
　
反思与感悟　由p或q为真知p、q中至少一真；由p且q为假知p、q中至少一假．因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况进行讨论．21·世纪*教育网
跟踪训练4　已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上是增加的．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．
　
　
　
　
　
1．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则(　　)www-2-1-cnjy-com
A．p真q假 B．p且q为真
C．p或q为假 D．p假q真
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．“p为真命题”是“p且q为真命题”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为“________________________”．
5．已知p：<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_____________．
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2-1-c-n-j-y
2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”“p或q”的真假．
p且q为真?p和q同时为真，
p或q为真?p和q中至少有一个为真．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　命题③是将命题①②用“且”联结得到的．
思考2　命题③是将命题①②用“或”联结得到的．
梳理　(1)p且q　(2)p或q
知识点二
思考1　①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p且q也为真命题．
思考2　①是真命题；②是假命题；③是真命题．若p、q一真一假，则p或q为真命题．
梳理　(1)①真命题　假命题　②真命题　假命题　(2)真　真　假　真　假　真　假　假
题型探究
例1　解　(1)是p且q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p或q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p或q形式命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
跟踪训练1　解　(1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数．
(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员．
例2　解　(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
跟踪训练2　解　(1)p或q：π是无理数或e不是无理数；
p且q：π是无理数且e不是无理数；
(2)p或q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根或两个根的绝对值相等；
p且q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根且两个根的绝对值相等；
(3)p或q：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任意一个内角；
p且q：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任意一个内角．
例3　解　(1)∵p：2>2，是假命题，
q：2＝2，是真命题，
∴命题“p或q”是真命题；“p且q”是假命题．
(2)∵p：?是{0}的真子集，是真命题；
q：0∈?，是假命题，
∴命题“p或q”是真命题；
“p且q”是假命题．
(3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，是假命题，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，21·cn·jy·com
∴命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．
跟踪训练3　解　(1)∵p真，q假，
∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q真，
∴“p或q”为真，“p且q”为真．
(3)∵p假，q假，
∴“p或q”为假，“p且q”为假．
例4　解　由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根，
∴解得m>2，
则p：m>2.
∵方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无解，
∴Δ＝16(m－2)2－16<0即1则q：1∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p与q一真一假．
当p为真，q为假时，
得m≥3.
当p为假，q为真时，
得1综上所述，m的取值范围是
(1,2]∪[3，＋∞)．
跟踪训练4　解　∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3
＝[x＋(a2－a)]2－a2，在[－2，＋∞)上是增加的，
∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，
解得a≤－1或a≥2，
即p：a≤－1或a≥2.
由不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，得
或a＝0，即或a＝0，
解得0≤a<4，∴q：0≤a<4.
∵p且q假，p或q真，
∴p与q一真一假．
∴p真q假或p假q真，
即
或
∴a≤－1或a≥4或0≤a<2.
∴实数a的取值范围是
(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．
当堂训练
1．D　2.D　3.B 4．x>5或x＝5 5．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
4.3　逻辑联结词“非”
学习目标　1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．
知识点一　命题的否定
思考1　观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？2·1·c·n·j·y
　
　
思考2　你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与綈p的真假有关系吗？
　
　
梳理　(1)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作__________，读作“非p”或“__________”．“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是__________；若p是假命题，则綈p必是__________．21·cn·jy·com
(2)逻辑联结词中“非”与生活中的“非”含义一致，表示“否定”“问题的反面”等，若把p看作集合A，则綈p就是集合A的补集．2-1-c-n-j-y
知识点二　命题的否定与否命题的区别
思考　已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定．
　
　
梳理　(1)命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键．解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．21*cnjy*com
(2)注意常见词语的否定形式：
正面词语
等于(＝)
大于(＞)
小于(＜)
能
是
都(全)是
任意的
任意两个
所有
否定词语
正面词语
至多
一个
至少有一个
至多
n个
p或q
p且q
否定词语
非p或非q
类型一　命题的否定
命题角度1　命题的否定的概念
例1　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值是－且最大值是1；
(2)100是10或20的倍数．
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)对命题“p且q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p或q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“且”．
(2)命题p与命题p的否定綈p的真假相反．
跟踪训练1　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：三角形的内角和等于180°；
(2)p：美国总统奥巴马是2009年度诺贝尔和平奖获得者．
　
　
　
　
命题角度2　命题的否定与否命题
例2　写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．
(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.
　
　
　
　
　
反思与感悟　原命题是“若A，则B”，其否定是“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题是“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论．21世纪教育网版权所有
跟踪训练2　写出下列命题的否定和命题的否命题．
(1)若a>b，则a－2>b－2；
(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上．
　
　
　
　
类型二　命题否定的综合应用
例3　设命题p：函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集只有一个子集．若“p或q”为真，“綈p或綈q”也为真，求实数a的取值范围．21cnjy.com
　
　
　
　
　
反思与感悟　由真值表可判断p或q、p且q、綈p命题的真假，反之，由p或q，p且q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3　已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．21·世纪*教育网
　
　
　
　
　
1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是(　　)
A．p或q为真，p且q为真，綈p为假
B．p或q为真，p且q为假，綈p为真
C．p或q为假，p且q为假，綈p为假
D．p或q为真，p且q为假，綈p为假
2．若p是真命题，q是假命题，则(　　)
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A．(綈p)或(綈q) B. p或(綈q)
C．(綈p)且(綈q) D．p且q
4．已知命题p：|x＋1|>2，命题q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．若命题p：2n－1是奇数，n∈Z，q：2n＋1是偶数，n∈Z.则p，q，綈p，綈q，p且(綈p)，p或(綈p)，p且(綈q)，p或(綈q)，綈p且(綈q)，(綈p)或(綈q)中真命题的个数是________．21教育网
1．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集?UP.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真．
2．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　命题q是对命题p的否定，“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等．
思考2　①p为真命题，q为假命题；②p为真命题，q为假命题．若p为真命题，则綈p为假命题．
梳理　(1)綈p　p的否定　假命题
真命题
知识点二
思考　命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．www.21-cn-jy.com
梳理　(2)不等于(≠)　不大于(≤)　不小于(≥)　不能　不是　不都(全)是　某个　某两个　某些　至少两个　一个也没有　至少有(n＋1)个　非p且非qwww-2-1-cnjy-com
题型探究
例1　解　(1)命题是“p且q”的形式，其中p：x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值是－；q：x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最大值是1.p真，q假，该命题的否定是“x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值不是－或最大值不是1”，这是“綈p或綈q”形式的复合命题，因为綈p假，綈q真，所以“綈p或綈q”为真命题．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)命题是“p或q”的形式，其中p：“100是10的倍数”；q：“100是20的倍数”．它的否定形式为“綈p且綈q”，即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题．
跟踪训练1　解　(1)綈p：三角形的内角和不等于180°.
因为p为真，故綈p为假．
(2)綈p：美国总统奥巴马不是2009年度诺贝尔和平奖获得者．
因为p为真，故綈p为假．
例2　解　(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；
命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．
(2)命题的否定：若x2－3x－10＝0，则x≠－2且x≠5，为假命题；
命题的否命题：若x2－3x－10≠0，则x≠－2且x≠5，为真命题．
跟踪训练2　解　(1)命题的否定：
若a>b，则a－2≤b－2；
否命题：若a≤b，则a－2≤b－2.
(2)命题的否定：到圆心的距离等于半径的点不在圆上；否命题：到圆心的距离不等于半径的点不在圆上．
例3　解　当命题p是真命题时，
应有a>1；
当命题q是真命题时，关于x的方程
x2＋2x＋loga＝0无解，
所以Δ＝4－4loga<0，
解得1由于“p或q”为真，所以p和q中至少有一个为真，
又“綈p或綈q”也为真，所以綈p和綈q中至少有一个为真，
即p和q中至少有一个为假，
故p和q中一真一假．
p假q真时，a无解；
p真q假时，a≥.
综上所述，实数a的取值范围是a≥.
跟踪训练3　解　命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?
解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或
由于?
解得0因为“p或q”与“綈q”同时为真命题，
即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
当堂训练
1．D　2.D　3.A　4.A　5.6
第一章 常用逻辑用语
1　解逻辑用语问题的三绝招
1．化为集合——理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：www.21-cn-jy.com
①A是B的充分条件，即A?B.(如图1)
②A是B的必要条件，即B?A.(如图2)
③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)
　　
图1　　　　 　　图2　　　　　　图3
④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1　“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)21·世纪*教育网
解析　设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A、B，则A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“A?B，B?A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要条件．2-1-c-n-j-y
答案　既不充分又不必要
2．抓住量词——对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．【版权所有：21教育】
例2　(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．21教育名师原创作品
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．
解析　(1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.
(2)将命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述a≤－1或2≤a≤4.
答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．2·1·c·n·j·y
3．等价转化——提高速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．21*cnjy*com
例3　设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．
分析　“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A??RB出发解题．
解　设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合．
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于r，
∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，∴r的取值范围为0点评　若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．
2　命题的否定与否命题辨与析
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．
1．否命题与命题的否定的概念
设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．
例1　写出下列命题的否命题及否定：
(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；
(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．
分析　问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题．
解　(1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”．
写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”．www-2-1-cnjy-com
写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”．
(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”．
否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；
命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”．
2．否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．
例2　写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析　依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．
解　(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.
3　走出逻辑用语中的误区
误区1　所有不等式、集合运算式都不是命题
例1　判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
(1)x＋2>0；(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；(4)A?A∪B.
错解　(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．
剖析　(1)中含有未知数x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；21·cn·jy·com
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?A∪B＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?A∪B成立，故(4)为真命题．
正解　(2)、(4)是命题，且都为真命题．
误区2　原命题为真，其否命题必为假
例2　判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；
(2)若a2>b2，则a>b.
错解　(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析　否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．21cnjy.com
正解　(1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3　搞不清谁是谁的条件
例3　使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x>3 B．x>4
C．x>2 D．x∈{1,2,3}
错解　由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，
又x>2D?/x>3，因此选C.
剖析　若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，pD?/q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0D?/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.21*cnjy*com
正解　B
误区4　用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例4　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”．
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”．
错解　(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析　(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解　(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区5　不能正确否定结论
例5　p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．
错解　綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
剖析　命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．
正解　綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．
误区6　对含有一个量词的命题否定不完全
例6　已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一　綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二　綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析　该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．21教育网
正解　綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区7　忽略了隐含的量词
例7　写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图像关于y轴对称．
错解　(1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图像不关于y轴对称．
剖析　以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．
正解　(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．

4　解“逻辑”问题需强化三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．【来源：21cnj*y.co*m】
例1　证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
证明　命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，
则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，
则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．
由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.
∵原命题的逆否命题是真命题，
∴原命题也是真命题．
故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．21世纪教育网版权所有
分析　将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解　解不等式x2－8x－20>0，
得p：A＝{x|x>10或x<－2}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，
得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q，但qD?/p，说明A?B.
于是有或，解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3　已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析　函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，【来源：21·世纪·教育·网】
Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，
知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；
若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．
答案　(1,2)
点评　若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．【出处：21教育名师】
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4　设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A?B?对任意x∈A，都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
分析　画出表示A?B的Venn图进行判断．
解析　画出Venn图，如图1所示，则A?B?存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．
A?B?B?A不成立的反例如图2所示．同理可得B?A?A?B不成立．故③是假命题．
综上知，真命题的序号是④.
答案　④
第一章 常用逻辑用语
学习目标　1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．21世纪教育网版权所有
知识点一　四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．
知识点二　充分条件、必要条件的判断方法
1．直接利用定义判断：即若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)
2．利用等价命题的关系判断：p?q的等价命题是綈q?綈p，即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．21·cn·jy·com
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
知识点三　全称命题与特称命题
1．全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．
(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
知识点四　简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．
p
q
綈p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
类型一　四种命题及其关系
例1　写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．21教育网
　
反思与感悟　(1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论．
②逆命题：把原命题的条件和结论交换．
否命题：把原命题中条件和结论分别否定．
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．
(2)命题真假的判断方法：直接法、间接法
跟踪训练1　下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.www.21-cn-jy.com
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
类型二　充分条件与必要条件
命题角度1　充分条件与必要条件的判断
例2　(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
反思与感悟　条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系判断．
跟踪训练2　使a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．a2>b2>0 B．>0
C．ln a>ln b>0 D．xa>xb且x>0.5
命题角度2　充分条件与必要条件的应用
例3　设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
　
反思与感悟　利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．2·1·c·n·j·y
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3　已知p：2x2－9x＋a<0，q：2　
　
　
　
　
类型三　逻辑联结词与量词的综合应用
例4　已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4　已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
　
　
　
　
　
1．给出命题：若函数y＝f(x)为对数函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)2-1-c-n-j-y
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知p：0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)21*cnjy*com
A．p且q B．(綈p)且(綈q)
C．(綈p)且q D．p且(綈q)
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
5．(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？
(2)若p：|3x－4|>2，q：>0，则綈p是綈q的什么条件？
　
　
　
　
　
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p，则q”，则该命题的否命题是“若綈p，则綈q”；命题的否定为“若p，则綈q”．【来源：21cnj*y.co*m】
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．【出处：21教育名师】
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．

答案精析
知识梳理
知识点一
若p，则q　若q，则p　若綈p则綈q
若綈q，则綈p
题型探究
例1　解　逆命题：若x＝2且y＝－1，
则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0，真命题．
跟踪训练1　B　[正确的为①③.]
例2　(1)B　(2)C
解析　(1)∵x2－3x>0?/ x>4，
x>4?x2－3x>0，
故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．
(2)∵a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，
∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．
跟踪训练2　C　[设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，即有“p?a>b>0，a>b>0D?/p”．21cnjy.com
A选项中，a2>b2>0D?/a>b>0，有可能是aB选项中，loga>logb>0?0b>0，故B不符合条件；
C选项中，ln a>ln b>0?a>b>1?a>b>0，而a>b>0D?/a>b>1，符合条件；
D选项中，xa>xb且0x>1时a>b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件．]
例3　解　(1)由x2－4ax＋3a2<0得
(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a当a＝1时，1即p为真命题时，实数x的取值范围是1由
解得
即2所以q为真时，
实数x的取值范围是2若p且q为真，则?2所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)方法一　 綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q且綈qD?/綈p.
设綈p：A＝{x|x≤a或x≥3a}，
綈q：B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是(1,2]．
方法二　∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
则{x|2∴解得1∴实数a的取值范围是(1,2]．
跟踪训练3　解　∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件，
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则解得a≤9，
∴实数a的取值范围是(－∞，9]．
例4　[e,4]
解析　p：a≥e，q：a≤4，
∵p且q为真命题，∴p与q均为真，
则e≤a≤4.
跟踪训练4　解　由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时
≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，
即函数y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．
当堂训练
1．D　2.A　3.D　4.(－∞，0]
5．解　(1)∵两条直线的斜率互为负倒数，
∴两条直线互相垂直，∴p?q.
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴qD?/p.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)解不等式|3x－4|>2，得
p：{x|x>2或x<}，
∴綈p：{x|≤x≤2}．
解不等式>0，得
q：{x|x<－1或x>2}．
∴綈q：{x|－1≤x≤2}．
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
1 变化的快慢与变化率
学习目标　1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．
知识点一　函数的平均变化率
观察图形，回答下列问题：
思考1　函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？
　
　
　
　
思考2　怎样理解自变量的增量、函数值的增量？
　
　
　
　
梳理　平均变化率
(1)定义式：＝________________.
(2)实质：___________________________________________之比．21教育网
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的__________________________________________．www-2-1-cnjy-com
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)图像上的两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的________．2-1-c-n-j-y
知识点二　瞬时变化率
思考1　物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？
　
　
　
思考2　如何描述物体在某一时刻的运动状态？
　
　
梳理　要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋Δt)内的平均速度＝________________，然后Δt趋于0，得到物体在t0时刻的____________．
类型一　函数的平均变化率
命题角度1　求函数的平均变化率
例1　求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？【来源：21cnj*y.co*m】
　
　
　
　
反思与感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．【出处：21教育名师】
命题角度2　平均变化率的几何意义
例2　过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．21*cnjy*com
　
　
　
　
　
反思与感悟　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图像上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝＝.
跟踪训练2　(1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)21·cn·jy·com
A．v甲>v乙
B．v甲C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
(2)过曲线y＝f(x)＝图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________．
类型二　求函数的瞬时变化率
例3　以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)求瞬时速度的步骤
①求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
②求平均速度v＝；
③当Δt趋于0时，平均速度趋于瞬时速度．
(2)求当Δx无限趋近于0时的值
①在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算；
②求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
跟踪训练3　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．2·1·c·n·j·y
　
　
　
　
　
1．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数(　　)21世纪教育网版权所有
A．在x0处的变化率
B．在区间[x0，x1]上的平均变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　)
A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2
3．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为(　　)21·世纪*教育网
A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4
4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．
5．设函数f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小．21*cnjy*com
　
　
　
　
1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．
2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　(1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．21cnjy.com
(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然．
思考2　(1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对于x1的“增加量”．
(2)函数值的增量：用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，也表示为f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”．www.21-cn-jy.com
(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.【版权所有：21教育】
梳理　(1)　(2)函数值的改变量与自变量的改变量　(3)快慢　(4)斜率
知识点二
思考1　不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．21教育名师原创作品
思考2　可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．
梳理　　瞬时速度
题型探究
例1　解　在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1跟踪训练1　(1)Δx　(2)　
解析　(1)＝
＝
＝Δx.
(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为
＝＝.
由函数f(x)的图像知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
＝＝.
例2　解　割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)
＝Δx＋(Δx)2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
跟踪训练2　(1)B　(2)
解析　(1)设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.
因为kAC(2)当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，
故－2＋Δy＝＝－，
故kPQ＝＝.
例3　解　因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
所以＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
跟踪训练3　解　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝
＝＝4a＋aΔt，
当Δt趋于0时，趋于4a，
∴4a＝8，得a＝2.
当堂训练
1．B　2.B　3.B　4.
5．解　函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为
k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；
当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为
k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；
当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为
k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，
所以k12 导数的概念及其几何意义
学习目标　1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点一　导数的概念
思考1　平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？
　
　
　
梳理　
定义式
＝____________________
记法
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的________________
知识点二　导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．21教育网
思考1　割线PPn的斜率kn是多少？
　
　
思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
　
　
　
梳理　(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为________的切线．21cnjy.com
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________________________________________________________________.
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________________．
类型一　利用定义求导数
例1　求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
　
　
　
反思与感悟　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪训练1　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
　
　
　
类型二　求切线方程
命题角度1　求在某点处的切线方程
例2　已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
　
　
　
　
　
反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
命题角度2　曲线过某点的切线方程
例3　求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．
　
　
　
　
　
反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0)；
(2)建立方程f′(x0)＝；
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练3　求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．
　
　
　
　
类型三　导数的几何意义的综合应用
例4　已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．
　
　
　
　
　
引申探究　
若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？
反思与感悟　导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．21·cn·jy·com
跟踪训练4　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
　
　
　
　
　
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)www.21-cn-jy.com
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
2．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于(　　)
A．45° B．60°
C．135° D．120°
3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)
A．－4 B．3
C．－2 D．1
4．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
5．求曲线y＝在点处的切线方程．
　
　
　
　
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)．21世纪教育网版权所有
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．【来源：21·世纪·教育·网】

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．2·1·c·n·j·y
梳理　 　f′(x0)瞬时变化率
知识点二
思考1　割线PPn的斜率
kn＝.
思考2　kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理　(1)点P处
(2)li ＝f′(x0)
(3)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
题型探究
例1　解　∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)
＝3(Δx)2＋4Δx，
∴＝＝3Δx＋4，
∴f′(1)＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.
跟踪训练1　解　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝ ，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，21·世纪*教育网
于是f′(2)＝
＝ (－Δx－1)＝－1.
例2　解　(1)k＝li
＝
＝
＝ (4＋2Δx)＝4，
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
跟踪训练2　－3
解析　
＝
＝ (4＋Δx)＝4，
曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，
即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
例3　解　设切线在抛物线上的切点为(x0，x)，
∵
＝ (x0＋Δx)＝x0.
∴＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，
即切线过抛物线y＝x2上的点(7，)，(1，)，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程．
跟踪训练3　解　
＝
＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]
＝2－3x2.
设切点坐标为(x0,2x0－x)．
∴切线方程为y－2x0＋x
＝(2－3x)(x－x0)．
又∵切线过点(－1，－2)，
∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，
即2x＋3x＝0，
∴x0＝0或x0＝－.
∴切点坐标为(0,0)或.
当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2，
切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
当切点坐标为时，
切线斜率为－，
切线方程为y＋2＝－(x＋1)，
即19x＋4y＋27＝0.
综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为
2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.
例4　解　因为f′(x0)＝
＝ (Δx＋2x0)＝2x0，
g′(x0)＝
＝[(Δx)2＋3x0Δx＋3x]
＝3x，
k1＝2x0，k2＝3x，
因为切线互相垂直，所以k1k2＝－1，
即6x＝－1，解得x0＝－.
引申探究　解　由例4知，f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝3x，
k1＝2x0，k2＝3x，由题意知2x0＝3x，得x0＝0或.
跟踪训练4　解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵
＝ ＝3x2－4x，
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为(－，)或(2,3)．
当切点为(－，)时，
有＝4×(－)＋a，a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为(－，)；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
当堂训练
1．C　2.C　3.D　4.2
5．解　因为 ＝ ＝ ＝－.
所以这条曲线在点处的切线斜率为－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，
即x＋4y－4＝0.
3 计算导数
学习目标　1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数．
知识点一　导函数
思考　对于函数f(x)，如何求f′(1)、f′(x)？f′(x)与f′(1)有何关系？
　
　
　
梳理　如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为________，f′(x)＝________________________________________________________________________，
则f′(x)是______________，称f′(x)为f(x)的________，通常也简称为________．
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
知识点二　导数公式表
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝________
y＝xα (α为实数)
y′＝________
y＝ax (a>0，a≠1)
y′＝________
y＝ex
y′＝________
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝________
y＝ln x
y′＝________
y＝sin x
y′＝________
y＝cos x
y′＝________
y＝tan x
y′＝________
y＝cot x
y′＝－
类型一　利用导函数求某点处的导数
例1　求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)．
　
　
　
　
　
反思与感悟　f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值．计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值f′(x0)．21教育网
跟踪训练1　求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)，求f′(2)．
　
　
　
　
　
类型二　导数公式表的应用
例2　求下列函数的导数．
(1)y＝sin ；(2)y＝x；(3)y＝log3x；
(4)y＝；(5)y＝5x.
　
　
　
　
　
反思与感悟 　对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导．21cnjy.com
跟踪训练2　求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)(1＋)＋；
(2)y＝2cos2－1.
　
　
　
　
　
类型三　导数公式的综合应用
命题角度1　利用导数公式求解切线方程
例3　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．21·cn·jy·com
　
　
　
　
引申探究
若例3条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上；
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练3　过原点作曲线y＝ex的切线，那么切点的坐标为________，切线的斜率为________．21世纪教育网版权所有
命题角度2　利用导数公式求参数
例4　已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值等于(　　)
A．e B．－e C. D．－
反思与感悟　解决此类问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值．www.21-cn-jy.com
　
　
　
　
　
1．下列结论：
①(sin x)′＝cos x；②(x)′＝x；
③(log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．质点的运动方程是s＝(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为(　　)
A．－4×3－4 m/s B．－3×3－4 m/s
C．－5×3－5 m/s D．－4×3－5 m/s
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
4．在曲线y＝上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．
5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归．
2．有些函数可先化简再求导．
如求y＝1－2sin2的导数．
因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．

答案精析
问题导学
知识点一
思考　f′(1)＝ .
f′(x)＝ .
f′(1)可以认为把x＝1代入导数f′(x)得到的值．
梳理　f′(x)　 　关于x的函数　导函数　导数
知识点二
0　αxα－1　axln a　ex　　
cos x　－sin x　
题型探究
例1　解　∵f′(x)
＝
＝
＝ (－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，
即f′(x)＝－2x＋3，
∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，
f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.
跟踪训练1　解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝＋5－
＝，
∴＝，
∴f′(x)＝ ＝
＝－.
∴f′(2)＝－.
例2　解　(1)y′＝0.
(2)因为y＝x＝x，
所以y′＝(x)′＝x＝.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)因为y＝＝＝tan x，
所以y′＝(tan x)′＝.
(5)y′＝(5x)′＝5xln 5.
跟踪训练2　解　(1)∵y＝(1－)(1＋)＋
＝＋＝＝x－，
∴y′＝－x－.
(2)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
例3　解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点为(x0，y0)，
由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线与PQ垂直，
所以2x0＝－1，即x0＝－.
所以切点为(－，)．
所以所求切线方程为
y－＝(－1)(x＋)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究　解　因为y′＝(x2)′＝2x，
设切点为M(x0，y0)，
由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，
所以2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M(，)．
所以所求切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
跟踪训练3　(1，e)　e
解析　设切点坐标为(x0，ex0)．
∵(ex)′＝ex，
∴过该点的直线的斜率为ex0，
∴所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
∵切线过原点，
∴－ex0＝－x0ex0，解得x0＝1.
∴切点坐标为(1，e)，斜率为e.
例4　C　[y′＝(ln x)′＝.
设切点坐标为(x0，y0)，
则切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y＝＋ln x0－1.
∵直线y＝kx过原点，
∴ln x0－1＝0，得x0＝e，∴k＝.]
跟踪训练4　设两曲线的交点为(x0，y0)，
由题意知，f′(x0)＝g′(x0)，
即x0－＝，
即a＝x0，①
∵点(x0，y0)为两曲线的交点，
∴＝aln x0，②
由①②可得x0＝e2，
将x0＝e2代入①得a＝.
当堂训练
1．C　2.D　3.
4．(，2)或(－，－2)　5.e2
4．1　导数的加法与减法法则
学习目标　1.理解导数的加法、减法法则.2.运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数．
知识点　导数的加法与减法法则
思考1　怎样求函数f(x)＝x＋x2的导函数？
　
　
思考2　将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则，请写出来．
　
　
梳理　两个函数和(差)的导数等于________________的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝______________，[f(x)－g(x)]′＝______________.21世纪教育网版权所有
类型一　利用导数的加法与减法法则求导
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝4cos x－3sin x；
(2)y＝x2＋tan x；
(3)y＝.
　
　
　
　
反思与感悟　对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．21教育网
跟踪训练1　(1)求下列函数的导数：
①y＝2x＋；
②y＝(＋1)(－1)；
(2)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，求f′(0)．
　
　
　
　
　
类型二　求导法则的逆向应用
例2　已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．21·cn·jy·com
　
　
　
反思与感悟　待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．21cnjy.com
跟踪训练2　设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．www.21-cn-jy.com
　
　
　
　
　
类型三　导数的加法与减法法则的应用
例3　已知函数f(x)＝x3＋x－16.求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
引申探究
直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
反思与感悟　解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：
(1)切点坐标满足曲线方程；
(2)切点坐标满足对应切线的方程；
(3)切线的斜率是函数在此切点处的导数值．
跟踪训练3　已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
1．已知f(x)＝x－5＋3sin x，则f′(x)等于(　　)
A．－5x－6－3cos x B．x－6＋3cos x
C．－5x－6＋3cos x D．x－6－3cos x
2．设f(x)＝sin x－cos x，则f(x)在x＝处的导数f′等于(　　)
A. B．－ C．0 D.
3．设函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)
A. B. C. D.
4．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________．
5．若函数f(x)＝e－x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
导数的加法与减法法则的应用
对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．2·1·c·n·j·y
(1)对于有限个函数的和(差)进行求导，都可用求导法则．
(2)在求导之前，应对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量．
(3)对根式求导时，要先化成指数幂的形式．

答案精析
问题导学
知识点
思考1　根据导数定义
Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－(x＋x2)
＝Δx＋2x·Δx＋(Δx)2.
∴＝1＋2x＋Δx，∴ ＝1＋2x，
即f′(x)＝1＋2x，
可以看出(x＋x2)′＝x′＋(x2)′.
思考2　[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
梳理　这两个函数导数　f′(x)＋g′(x)　f′(x)－g′(x)
题型探究
例1　解　(1)y′＝(4cos x－3sin x)′
＝(4cos x)′－(3sin x)′
＝－4sin x－3cos x.
(2)y′＝(x2＋tan x)′＝(x2)′＋(tan x)′＝2x＋.
(3)∵y＝
＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
跟踪训练1　解　(1)①y′＝(2x＋)′
＝2xln 2＋x－
＝2xln 2＋.
②∵y＝(＋1)＝－＋，
∴y′＝(－)′＋′
＝－x－－x－
＝－.
(2)∵f′(x)＝[2xf′(1)＋x2]′
＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，即f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，f′(x)＝－4＋2x，
∴f′(0)＝－4.
例2　解　由f′(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，
f′(x)代入关于x的方程得
x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，
又该方程对一切x∈R恒成立，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
跟踪训练2　解　∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，
即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，
Δ＝12－4c＝0，即c＝，
∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.
例3　解　可判定点(2，－6)在曲线
y＝f(x)上．
因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即13x－y－32＝0.
引申探究　解　设切点(x0，x＋x0－16)，
∵f′(x0)＝3x＋1，
由题意可得3x＋1＝，
即x＝－8，
得x0＝－2，∴切点(－2，－26)，
f′(x0)＝f′(－2)＝13，
则直线l的方程为13x－y＝0.
跟踪训练3　解　因为f′(x)＝2x＋1，
f′(1)＝3，
所以l1的方程为y＝3x－3.
设l2与曲线的切点为(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.
由l1⊥l2得2b＋1＝－，b＝－，
所以l2的方程为y＝－x－.
由得
所以直线l1与l2的交点为
A，
l1，l2与x轴交点的坐标分别为B(1,0)，C.
故所求三角形的面积为
S＝××＝.
当堂训练
1．C　2.A　3.D　4.14　5.(2，＋∞)
4.2　导数的乘法与除法法则
学习目标　1.理解导数的乘法与除法法则.2.将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题．
知识点　导数的乘法与除法法则
思考　设函数y＝f(x)在x0处的导数为f′(x0)，g(x)＝x2，怎样用导数定义求y＝f(x)g(x)＝x2f(x)在x0处的导数？21cnjy.com
　
　
梳理　一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝________________________________________________________________________；
′＝________________________.
特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝________.
类型一　利用导数运算法则求导数
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝＋；
(3)y＝；(4)y＝xsin x－.
　
　
　
　
　
反思与感悟　解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)y＝axsin x，其中a>0且a≠1；(2)y＝.
　
　
　
　
类型二　导数运算法则的简单应用
例2　已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．www.21-cn-jy.com
引申探究
已知函数f(x)＝＋，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．21教育网
(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键．
跟踪训练2　若函数f(x)＝exsin x，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)
A. B．0 C．钝角 D．锐角
1．函数y＝的导数是(　　)
A. B.
C. D.
2．函数y＝x3cos x的导数是(　　)
A．3x2cos x＋x3sin x B．3x2cos x－x3sin x
C．3x2cos x D．－x3sin x
3．曲线y＝f(x)＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为(　　)
A．x＋3y－3＝0 B．3x－y＋1＝0
C．3x＋y－1＝0 D．x－3y＋3＝0
4．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.
5．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a的值为________．
求函数的导数要准确把函数拆分为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式展开运算．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．21·cn·jy·com

答案精析
问题导学
知识点
思考　经计算得：
y＝x2f(x)在x0处的导数为xf′(x0)＋2x0f(x0)．
梳理　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　　kf′(x)
题型探究
例1　解　(1)因为y＝x3＋x－＋＝x3＋x－＋sin x·x－2，
所以y′＝(x3＋x－＋sin x·x－2)′＝3x2－x－＋cos x·x－2＋(－2x－3)sin x＝3x2－＋－.2·1·c·n·j·y
(2)因为y＝＋＝＝－2，
所以y′＝(－2)′＝＝.
(3)y′＝′＝′＋′＝＋
＝＝.
(4)y′＝(xsin x)′－′＝sin x＋xcos x－.
跟踪训练1　解　(1)y′＝(axsin x)′
＝(ax)′sin x＋ax(sin x)′＝axln asin x＋axcos x＝ax(sin xln a＋cos x)．
(2)y′＝′＝＝＝.
例2　解　f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即
解得
所以a＝1，b＝1.
引申探究　解　f′(1)＝－，
又f(1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
跟踪训练2　C　[f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，
则f′(4)＝e4(sin 4＋cos 4)，
∵sin 4<0，cos 4<0，∴f′(4)<0.
故选C.]
当堂训练
1．B　2.B　3.B　4.0　1　5.－2
第三章 变化率与导数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　利用导数的几何意义解题
1．求参数
例1　设曲线y＝f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
解析　根据导数的定义，＝
＝＝2a＋aΔx，当Δx无限趋近于0时，2a＋aΔx无限趋近于2a，即f′(1)＝2a.又由曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，得2a＝2，即a＝1.www.21-cn-jy.com
答案　1
2．求倾斜角
例2　求曲线y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角．
分析　要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k，再根据斜率k＝tan α，求出倾斜角α.
解　设曲线y＝f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为α.
＝
＝＝(Δx)2－1，
当Δx无限趋近于0时，(Δx)2－1无限趋近于－1，
即tan α＝f′(1)＝－1.
因为α∈[0，π)，所以α＝.故切线的倾斜角为.
评注　切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围．
3．求曲线的切线
例3　求在点P处与曲线y＝x3相切的切线方程．
分析　要求直线在点P处的切线方程，需求得过点P的切线的斜率k，然后根据点斜式可求得切线方程．
解　因为点P在曲线y＝x3上，Δy＝(2＋Δx)3－×23＝4Δx＋2(Δx)2＋(Δx)3，
所以＝4＋2Δx＋(Δx)2，
当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于4，即k＝4.
故所求的切线方程为y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.
评注　求在点P处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程．
4．求切点的坐标
例4　若曲线y＝f(x)＝x3＋1在点P处的切线的斜率为3，求点P的坐标．
分析　要求点P的坐标，可设点P的坐标为(x0，x＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得．
解　设点P的坐标为(x0，x＋1)，
因为＝＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，当Δx无限趋近于0时，上式无限趋近于3x，所以3x＝3.解得x0＝±1.
故点P的坐标是(1,2)或(－1,0)．
评注　值得注意的是切点P的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.
2　利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．21世纪教育网版权所有
1．已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．
例1　曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析　由f′(x)＝3x2－6x，知在点(1，－1)处的斜率k＝f′(1)＝－3.所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选B.21·cn·jy·com
答案　B
2．已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2　求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1，或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－(－＋1)＝(－2)(x＋)，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－，)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．
3．已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例3　求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝－.
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，
得－＝－(2－x0)．
解得x0＝1，y0＝＝1，即x＋y－2＝0.
点评　点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．2·1·c·n·j·y
4．求两条曲线的公切线
例4　已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
分析　设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．【来源：21·世纪·教育·网】
解　设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－x＋4x2－4)．由C1：y＝x2，得y′＝2x，21·世纪*教育网
则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x，由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，
则与C2相切于点Q的切线方程为
y＝－2(x2－2)x＋x－4.
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)
且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评　公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　导数运算中的常见错误
1．对f′(x0)与f′(x)理解有误
例1　已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为(　　)
A．0 B．－4 C．－2 D．2
错解　由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0.
所以f′(0)＝0.故选A.
错因分析　解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f′(1)是常数．21教育网
正解　由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1)．
所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)．所以f′(1)＝－2.
从而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.故选B.
2．切点位置的确定有误
例2　求过点P(1,0)且与曲线f(x)＝x3－x相切的直线的方程．
错解　由题意知点P(1,0)在曲线上．
因为f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
错因分析　点P(1,0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P(1,0)当作切点显然是错误的．求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P处的切线方程(一定是以点P为切点)；(2)曲线过点P的切线方程(无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点)．
正解　设切点为(x0，x－x0)，
则过该点的切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)．
由切线过点P(1,0)得：0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，
整理得2x－3x＋1＝0.
即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.
所以切线方程为2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
3．对切线定义的理解有误
例3　已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y＝4x－4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．
错解　由于直线y＝4x－4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点．
错因分析　“切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．21cnjy.com
正解　由消去y整理得：
x3－12x＋16＝0，即(x－2)(x2＋2x－8)＝0.
所以(x－2)2(x＋4)＝0，解得x＝2或x＝－4.
所以交点的坐标为(2,4)，(－4，－20)，
所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．
第三章 变化率与导数
学习目标　1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．2·1·c·n·j·y
知识点一　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的________________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________________，即f′(x0)＝ ＝________________________.
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处____________，在点P处的切线方程为________________________．21·世纪*教育网
知识点二　导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为________，f′(x)＝li ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为________．21*cnjy*com
知识点三　基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c是常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为实数)
f′(x)＝________
f(x)＝sin x
f′(x)＝________
f(x)＝cos x
f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝________
f(x)＝ex
f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝________
f(x)＝ln x
f′(x)＝________
f(x)＝tan x
f′(x)＝________
f(x)＝cot x
f′(x)＝________
知识点四　导数的运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝________________
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝________________
积的导数
[f(x)g(x)]′＝________________
商的导数
′＝
类型一　利用导数的定义解题
例1　利用导数的定义求函数y＝的导数．
　
　
　
　
反思与感悟　(1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx趋于0的方式，函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比趋于一个固定的值．21·cn·jy·com
即＝ .
(2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．
跟踪训练1　已知s(t)＝t＋，求li .
　
　
　
类型二　导数的几何意义
例2　函数y＝f(x)的图像如图，下列数值的排序正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0反思与感悟　导数的几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找“切点”，应注意：
(1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标；
(2)切点既在曲线上又在切线上，因此可用切线方程求切点坐标；
(3)若已知点不在曲线上，则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要方法．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.则a的值是________．21cnjy.com
类型三　导数的计算
例3　求下列函数的导数：
(1)y＝x2－ln x＋ax＋π；
(2)y＝3＋4；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝.
　
　
　
　
　
反思与感悟　有关导数的计算应注意以下两点
(1)熟练掌握公式：
熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．
(2)注意灵活化简：
当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3　求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝.
　
　
　
　
　
　
类型四　导数的综合应用
例4　设函数f(x)＝a2x2(a>0)，若函数y＝f(x)图像上的点到直线x－y－3＝0距离的最小值为，求a的值．21教育网
　
　
　
　
　
反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4　已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．2-1-c-n-j-y
　
　
　
1．自由落体的物体在t＝4 s时的瞬时速度是指(　　)
A．在第4秒末的速度
B．在第4秒始的速度
C．在第3秒至第4秒的平均速度
D．在第4秒始到第4秒末之间的任何时刻的速度
2．已知函数f(x)＝x22x，则f′(2)等于(　　)
A．16＋ln 2 B．16＋8ln 2
C．8＋16ln 2 D．16＋16ln 2
3．若函数y＝f(x)＝x3，且f′(a)＝3，则a等于(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．不存在
4．若直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
5．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．21世纪教育网版权所有
1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用．
2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．
3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．

答案精析
知识梳理
知识点一
1．瞬时变化率　f′(x0)

2．切线的斜率　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
知识点二
f′(x)　导数
知识点三
αxα－1　cos x　－sin x　axln a　ex　　　－
知识点四
f′(x)＋g′(x)　f′(x)－g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
题型探究
例1　解　y′＝
＝
＝
＝
＝
＝.
跟踪训练1　解　∵ ＝s′(5)，
又s′(t)＝1－，
∴ ＝s′(5)
＝1－＝.
例2　B　[过点(2，f(2))和点(3，f(3))的割线的斜率k＝＝
＝f(3)－f(2)，
又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知0跟踪训练2　1　[∵f′(0)＝a，
∴y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为
y－2＝ax，
由题意知x＝－2时，y＝0，可得a＝1.]
例3　解　(1)y′＝(x2－ln x＋ax＋π)′
＝(x2)′－(ln x)′＋(ax)′＋π′
＝2x－＋axln a.
(2)y′＝(3＋4)′
＝(3)′＋(4)′
＝(3·x)′＋(4·x)′
＝4x＋6x
＝4＋6.
(3)因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
所以y′＝3x2＋12x＋11.
(4)y′＝′
＝
＝
＝－.
跟踪训练3　解　(1)∵y＝3x－x＋5－9x－，
∴y′＝′－x′＋5′－′
＝x－1＋x－
＝－1.
(2)∵y＝＝＝cos x－sin x，
∴y′＝(cos x－sin x)′＝(cos x)′－(sin x)′＝－sin x－cos x.
例4　解　因为f(x)＝a2x2，
所以f′(x)＝2a2x，
令f′(x)＝2a2x＝1，
得x＝，此时y＝，
则点到直线x－y－3＝0的距离为，
即＝，
解得a＝或.
跟踪训练4　解　设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，www.21-cn-jy.com
由题意知kAB＝.
∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1)．
当堂训练
1．A　2.D　3.C　4.ln 2－1　5.－4
1．1　椭圆及其标准方程
学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．www.21-cn-jy.com
知识点一　椭圆的定义
思考1　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？
　
　
思考2　在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？
　
　
梳理　把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
知识点二　椭圆的标准方程
思考1　椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？
　
　
思考2　椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?
　
　
梳理　
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
a，b，c的关系
类型一　求椭圆的标准方程
命题角度1　焦点位置已知求椭圆的方程
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝；
(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．
　
　　
　
反思与感悟　用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．21·cn·jy·com
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)；
(2)焦点在x轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)．
　
　
　
命题角度2　焦点位置未知求椭圆的方程
例2　求经过(2，－)和两点的椭圆的标准方程．
　
　
　
　
　
反思与感悟　如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，再解答．2·1·c·n·j·y
跟踪训练2　求经过A(0,2)和B(，)两点的椭圆的标准方程．
　
　
　
　
　
类型二　椭圆方程中参数的取值范围
例3　“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是(　　)
A．1C．2反思与感悟　(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．
(2)＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练3　已知x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x轴上的椭圆．求α的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
　
类型三　椭圆定义的应用
例4　如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．21教育网
引申探究　
在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．
跟踪训练4　
已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积．
　
　
　
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．21·世纪*教育网
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.www-2-1-cnjy-com
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．21世纪教育网版权所有

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．
思考2　笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．
梳理　常数(大于|F1F2|)
知识点二
思考1　椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
思考2　只有当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，满足条件的点不存在．2-1-c-n-j-y
梳理　F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　c2＝a2－b2
题型探究
例1　解　(1)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，
代入①，得4b2－b2＝6，解得b2＝2，
∴a2＝8.
又∵焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
由椭圆的定义可得
2a＝＋
，
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　由题意可设椭圆的标准方程为
＋＝1，
将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得
＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练1　解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋
＝2，
即a＝.又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，
∴
∴
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
例2　解　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将点(2，－)，代入，
得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练2　解　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴
解得
这与a>b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴
解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1，
综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.
例3　A　[要使方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
则m应满足
解得1∵A选项中{m|1故选A.]
跟踪训练3　解　x2sin α＋y2cos α＝1，
可化为＋＝1，
由题意知
解得0<α<.
∴α的取值范围是.
例4　解　在椭圆＋＝1中，a＝，
b＝2，
∴c＝＝1.
又∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，①
由余弦定理知，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4，②21cnjy.com
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|
＝20，③
③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4－12.
引申探究　解　由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为|PB|＋|PF2|＋|BF2|
＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝4a＝4.
跟踪训练4　解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1.
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|
＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.
解得|PF1|＝.
所以△PF1F2的面积S＝·|PF1|·|F1F2|＝××2＝，
即△PF1F2的面积是.
当堂训练
1．D　2.B　3.C　4.＋x2＝1　5.48
1.2　椭圆的简单性质(一)
学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．21教育网
知识点一　椭圆的简单性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，
C2：＋＝1.
思考1　怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
　
　　
　
思考2　椭圆具有对称性吗？
　
　
思考3　椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？
　
　
梳理　
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
焦点
焦距
|F1F2|＝2c(c＝)
|F1F2|＝2c(c＝)
范围
对称性
关于____________________对称
顶点
轴
长轴长________，短轴长________
知识点二　椭圆的离心率
思考　观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
　
　
　
　
梳理　(1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．
(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近1，椭圆越______，当e越接近______，椭圆就越接近圆．21cnjy.com
类型一　椭圆的简单性质
引申探究　
已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．21世纪教育网版权所有
　
　
　
　
　
　
　
类型二　求椭圆的离心率
命题角度1　与焦点三角形有关的离心率问题
例2　设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1 (a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.www.21-cn-jy.com
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝ 求解．
跟踪训练2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．【来源：21·世纪·教育·网】
命题角度2　利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例3　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
反思与感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．21*cnjy*com
跟踪训练3　若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
类型三　利用椭圆的简单性质求方程
例4　求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为(0，－)，该点与最近的焦点的距离为－；【来源：21cnj*y.co*m】
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法．2-1-c-n-j-y
跟踪训练4　椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
　
　
　
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)【出处：21教育名师】
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
2.如图，已知直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是(　　)
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
4．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．
5. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
　
　
　
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．21·cn·jy·com
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0)．2·1·c·n·j·y
思考2　有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
思考3　C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；
C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
梳理　F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　|x|≤a，|y|≤b　|x|≤b，|y|≤a　x轴、y轴和原点　(±a,0)，(0，±b)　(0，±a)，(±b,0)　2a　2b
知识点二
思考　如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0梳理　(1)离心率　(2)(0,1)　扁　0
题型探究
例1　解　已知方程化成标准方程为
＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，
四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．
引申探究　解　把椭圆的方程化为标准方程＋＝1，
可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，
短半轴长b＝2.
又得半焦距c＝＝＝.
所以椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－，0)，(，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e＝＝.
跟踪训练1　解　椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，
B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m>4时，长轴长和短轴长分别为，4，
焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，
顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2,0)，B2(2,0)．
例2　解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，
|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·
|BF2|·cos∠AF2B，即(4k)2
＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，
所以椭圆E的离心率e＝＝.
跟踪训练2　－1
例3　(1)
解析　直线AB：x＝c，代入＋＝1，
得y＝±，
∴A(c，)，B(c，－)．
∴kBF1＝＝＝－，
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，则y＝－，
∴D(0，－)，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝
＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)[，1)
解析　椭圆＋＝1(a>b>0)，
－b≤y≤b.
由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，
则c≥b，即c2≥b2，
所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0所以e的取值范围是[，1)．
跟踪训练3　
解析　由题意知2a＋2c＝2(2b)，
即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得
5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
例4　解　(1)由题意知a＝，
a－c＝－，
则c＝.
所以b2＝a2－c2＝5，
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由e＝＝，得c＝a，
又2b＝8，a2＝b2＋c2，
所以a2＝144，b2＝80，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
跟踪训练4　解　∵椭圆过点(3,0)，
∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
当堂训练
1．D　2.D　3.B　4.[4－2，4＋2]
5．解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∵e＝＝＝，∴a＝12，
从而b2＝a2－c2＝128，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由已知得
∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
1.2　椭圆的简单性质(二)
学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考1　判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．
　
思考2　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？21教育网
　
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考1　直线与椭圆有几种位置关系？
　
思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？
　
　
　
知识点三　直线与椭圆的相交弦
思考　若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？
　
　
梳理　弦长公式：(1)|AB|＝＝|x1－x2|＝；
(2)|AB|＝ |y1－y2|＝ .
注：直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．21cnjy.com
类型一　直线与椭圆的位置关系
命题角度1　直线与椭圆位置关系的判断
例1　直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
反思与感悟　直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点．
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点．
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．
跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．www.21-cn-jy.com
　
　
　
命题角度2　距离的最值问题
例2　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
　
　
　
反思与感悟　此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．21·世纪*教育网
跟踪训练2　已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使点P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．www-2-1-cnjy-com
　
　
　
　
　
　
类型二　弦长及中点弦问题
例3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
　
　
　
　
反思与感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练3　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．21·cn·jy·com
　
　
　
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
　
　
　
　
　
引申探究　
在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练4　椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为.2-1-c-n-j-y
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为y＝kx＋(k>0)，若O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．21*cnjy*com
　
　
　
　
1．经过椭圆＋＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．16
2．经过椭圆＋＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．2·1·c·n·j·y
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，
且|MN|＝，求直线l的方程．
　
　
　
　
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外．
思考2　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
知识点二
思考1　有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．
思考2　联立消去y得关于x的一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
知识点三
思考　有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．21世纪教育网版权所有
题型探究
例1　A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练1　解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.
整理得x2＋2kx＋1＝0.
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围为
∪.
例2　解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4距l最近，
d＝＝＝，
切点为P.
跟踪训练2　解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
联立方程
得9y2－2ay＋a2－8＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线方程为
x－y＋3＝0，
最小距离为d＝＝.
由得
即P点坐标为(－，)．
例3　解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.
(2)当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，则其方程为
y－2＝k(x－4)．
联立消去y得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
跟踪训练3　解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，
∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，
代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|
＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，
可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，
∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
例4　解　(1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝＝＝
＝ ＝.
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
引申探究　解　可求得O到AB的距离d＝，
又|AB|＝，
∴S△AOB＝|AB|·d＝··＝ ≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，等号成立，
此时m＝±∈[－，]．
∴所求直线的方程为x－y±＝0.
跟踪训练4　解　(1)已知椭圆的离心率为，不妨设c＝t，a＝2t，
即b＝t，其中t>0，
又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，
因此·2t·t＝，
解得t＝1，则椭圆的方程为＋＝1.
(2)联立
整理得(4k2＋3)x2＋8kx＝0.
解得x1＝0或x2＝－.
∵k>0，
∴|AB|＝|x1－x2|＝|－|＝·，
原点O到直线l的距离为d＝.
∴S△OAB＝··＝＝≤＝，
当且仅当4k＝，即k＝时，
△OAB面积的最大值为.
当堂训练
1．B　2.D　3.B　4.x－2y＋3＝0
5．解　设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得
(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)(－)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
2.1　抛物线及其标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一　抛物线的定义
思考1　如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？21世纪教育网版权所有
　
　
　
　
思考2　抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
　
　
梳理　(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离________的点的集合叫作抛物线．21cnjy.com
(2)焦点：________.
(3)准线：________.
知识点二　抛物线的标准方程
思考1　抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
　
　
思考2　抛物线标准方程的特点？
　
　
　
　
思考3　已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
　
　
　
梳理　抛物线的标准方程有四种类型
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦点坐标
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
类型一　抛物线定义的解读
例1　方程＝表示的曲线是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．抛物线
反思与感悟　根据式子的几何意义 ，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1　若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是________．【来源：21·世纪·教育·网】
类型二　抛物线的标准方程及求解
命题角度1　抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
例2　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；(4)y＝ax2(a≠0)．
　
　
　
　
　
引申探究
1．将例2(4)的方程改为y2＝ax(a≠0)结果如何？
2．将例2(4)的方程改为x2＝ay(a≠0)，结果如何？
反思与感悟　如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．2·1·c·n·j·y
跟踪训练2　已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p为(　　)
A．2 B．1
C. D.
命题角度2　求抛物线的标准方程
例3　求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5.
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．21·世纪*教育网
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练3　根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)焦点为(－2,0)；
(2)焦点到准线的距离是4；
(3)过点(1,2)．
　
　
　
　
　
　
类型三　抛物线在实际生活中的应用
例4　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？2-1-c-n-j-y
　
　
　
　
反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练4　某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．【出处：21教育名师】
　
　
　
1．抛物线y2＋x＝0的开口(　　)
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
2．抛物线y2＝8x的焦点坐标和准线方程分别为(　　)
A．(1,0)，x＝－1 B．(2,0)，x＝－2
C．(3,0)，x＝－3 D．(4,0)，x＝－4
3．已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．x2＝－3y D．x2＝－6y
4．抛物线x2＝8y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为________．
5．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝－3；
(2)抛物线与椭圆＋＝1的一个焦点相同．
　
　
　
　
　
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点坐标为F(，0)，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y＝－.21教育网
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.【版权所有：21教育】

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．21*cnjy*com
思考2　不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线．
梳理　(1)相等　(2)点F　(3)直线l
知识点二
思考1　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．
思考2　(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.21教育名师原创作品
思考3　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
题型探究
例1　D　[
＝，
它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离，且点F(－3,1)不在直线上．21*cnjy*com
根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．]
跟踪训练1　抛物线
解析　由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x.【来源：21cnj*y.co*m】
例2　解　(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为(－，0)，
准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0化为x2＝－y，
知抛物线开口向下，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为(0，－)，
准线方程为y＝.
(3)将y＝4x2化为x2＝y，
知抛物线开口向上，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为(0，)，
准线方程为y＝－.
(4)抛物线方程y＝ax2可化为x2＝y，
当a>0时，2p＝，p＝，
故焦点坐标是(0，)，
准线方程是y＝－.
当a<0时，2p＝－，p＝－，
故焦点坐标是(0，)，
准线方程是y＝－.
综上，抛物线y＝ax2的焦点坐标(0，)，
准线方程为y＝－.
引申探究
1．焦点是(，0)，准线方程是x＝－.
2．焦点是(0，)，准线方程是y＝－.
跟踪训练2　A　[注意到抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
曲线x2＋y2－6x－7＝0，
即(x－3)2＋y2＝16，
它表示圆心为(3,0)，半径为4的圆．
由题意得＝4.
又p>0，因此有＋3＝4，
解得p＝2，故选A.]
例3　解　(1)当抛物线的焦点在x轴上且过点(－3,2)时，
可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
把(－3,2)代入得22＝－2p×(－3)，
∴p＝，
∴所求抛物线方程为y2＝－x.
当抛物线的焦点在y轴上且过点(－3,2)时，
可设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，
把(－3,2)代入得(－3)2＝2p×2，
∴p＝，
∴所求抛物线方程为x2＝y.
综上，所求抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，－2)，
故抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)，
当抛物线的焦点为(4,0)时，
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∵＝4，∴p＝8，
∴抛物线方程为y2＝16x.
当抛物线的焦点为(0，－2)时，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵－＝－2，∴p＝4，
∴抛物线方程为x2＝－8y.
综上，所求抛物线方程为y2＝16x或
x2＝－8y.
(3)设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为
y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．
则由抛物线的定义得
|AF|＝＝5，
∵点A在抛物线上，
∴(－3)2＝2pm，
从而可得p＝±1或p＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
跟踪训练3　解　(1)焦点在x轴的负半轴上，
＝2，即p＝4.
所以抛物线的方程是y2＝－8x.
(2)p＝4，抛物线的方程有四种形式：
y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.
(3)方法一　点(1,2)在第一象限，要分两种情形讨论：
当抛物线的焦点在x轴上时，
设抛物线的方程为y2＝2px (p>0)，
则22＝2p·1，解得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x；
当抛物线的焦点在y轴上时，
设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，
则12＝2p·2，解得p＝，
∴抛物线方程为x2＝y.
方法二　设所求抛物线的标准方程为
y2＝mx或x2＝ny，
将点(1,2)代入，得m＝4，n＝，
故所求的方程为y2＝4x或x2＝y.
例4　解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故21·cn·jy·com
p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
跟踪训练4　解　如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一．
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84，
即最长支柱的长为3.84米．
当堂训练
1．C　2.B　3.D　4.8
5．解　(1)准线方程为y＝－3，
则＝3，p＝6，
所以抛物线的标准方程为x2＝12y.
(2)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(1,0)，
F2(－1,0)，
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
2.2　抛物线的简单性质(一)
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．www-2-1-cnjy-com
知识点一　抛物线的简单性质
思考1　类比椭圆、双曲线的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？【来源：21cnj*y.co*m】
　
　
　
思考2　参数p对抛物线开口大小有何影响？
　
　
　
梳理　
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
离心率
e＝______
知识点二　焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p>0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
类型一　抛物线简单性质的应用
例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．21世纪教育网版权所有
　
　
　
　
引申探究　
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是_____________________________________________________．
反思与感悟　把握三个要点确定抛物线简单性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
　
　
类型二　抛物线的焦点弦问题
例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
　
　
　
反思与感悟　(1)抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．
①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋；
②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0；
③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋；
④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0
(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
跟踪训练2　 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为_____________________________________________________．
类型三　与抛物线有关的最值问题
例3　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)．求|PB|＋|PF|的最小值．
　
　
　
反思与感悟　抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．21cnjy.com
跟踪训练3　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为(　　)21·cn·jy·com
A. B．2
C. D.
1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)
A. B．p C．2p D．无法确定
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．12
3．已知抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)
A．8 B．16 C．32 D．61
5．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．2·1·c·n·j·y
　
　
　
　
　
　
　
1．讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2-1-c-n-j-y
2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．21*cnjy*com

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．
思考2　因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．
梳理　(0,0)　1
题型探究
例1　解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F(，0)．直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为
(，m)，(，－m)，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以·||·2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究　4p2
解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，
所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
跟踪训练1　解　设抛物线的方程为
y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．
因为点P到对称轴距离为6，
所以y0＝±6.
因为点P到准线距离为10，
所以|x0＋|＝10.①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②
由①②，得或
或或
所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
例2　解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为
y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5.
而|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，21教育网
所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
跟踪训练2　x＋y－1＝0或x－y－1＝0
解析　∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意．
所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得
x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
即＝6，解得k＝±1.
所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
例3　解　(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.www.21-cn-jy.com
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.因为2>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|.21·世纪*教育网
所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|
＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
跟踪训练3　A　[如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|
＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，
则当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．
又A(0,2)，F(，0)，
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|
＝ ＝.]
当堂训练
1．C　2.B　3.B　4.B
5．解　如图OAB为正三角形，设|AB|＝a，则OD＝a，
∴A(a，)代入y2＝2px，
即＝2p×a，
解得a＝4p.
∴正三角形的边长为4p.
2.2　抛物线的简单性质(二)
学习目标　1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点　直线与抛物线的位置关系
思考1　直线与抛物线有哪几种位置关系？
　
　
思考2　若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
　
　
梳理　直线与抛物线的位置关系与公共点个数．
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴____________，此时直线与抛物线有________个公共点．
类型一　直线与抛物线的位置关系
例1　已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？21世纪教育网版权所有
　
　
　
反思与感悟　直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
跟踪训练1　设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是(　　)21cnjy.com
A．[－，] B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
类型二　弦长与中点弦问题
例2　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.21·cn·jy·com
　
　
　
　
反思与感悟　中点弦问题解题策略两方法
跟踪训练2　已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．www.21-cn-jy.com
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
　
　
　
类型三　抛物线中的定点(定值)问题
例3　在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．21教育网
　
　
　
　
　
　
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)2·1·c·n·j·y
A. B.
C. D.
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．8
C．16 D．32
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上任意一点，若·＝－4，则点A的坐标为________．21·世纪*教育网
5．已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．www-2-1-cnjy-com
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程；
(3)求弦AB的长．
　
　
　
　
　
　
　
　
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．2-1-c-n-j-y

答案精析
问题导学
知识点
思考1　三种：相离、相切、相交．
思考2　不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
梳理　两　一　没有　平行或重合　一
题型探究
例1　解　由方程组
消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
(1)若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1)．
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点．
(2)若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3)若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1.
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点．
跟踪训练1　C　[准线方程为x＝－2，
Q(－2,0)．
设l：y＝k(x＋2)，
由
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1,1]．]
例2　解　方法一　由题意易知直线方程的斜率存在，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．
由
得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝ ＝.
方法二　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率k＝3，
故所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝ ·
＝.
跟踪训练2　解　(1)由C1方程可知
F(0,1)，
∵F也是椭圆C2的一个焦点，
∴a2－b2＝1，
又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图像都关于y轴对称，
∴易得C1与C2的公共点的坐标为
(±，)，
∴＋＝1，
又∵a2－b2＝1，∴a2＝9，b2＝8，
∴C2的方程为＋＝1；
(2)如图，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
D(x4，y4)，
∵与同向，
且|AC|＝|BD|，
∴＝，∴x1－x2＝x3－x4，
∴(x1＋x2)2－4x1x2
＝(x3＋x4)2－4x3x4，
设直线l的斜率为k，则l的方程：
y＝kx＋1，
由可得x2－4kx－4＝0，
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
由
得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
由根与系数的关系可得
x3＋x4＝－，x3x4＝－，
又∵(x1＋x2)2－4x1x2
＝(x3＋x4)2－4x3x4，
∴16(k2＋1)＝＋，
化简得16(k2＋1)＝，
∴(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，
即直线l的斜率为±.
例3　解　(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
因为·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2,0)．
跟踪训练3　证明　方法一　设kAB＝k(k≠0)．
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
即直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得
xC＝.
∴kBC＝
＝
＝
＝
＝－.
∴直线BC的斜率为定值．
方法二　设B(y，y1)，C(y，y2)，
则kBC＝＝.
∵kAB＝＝，
kAC＝＝，
由题意得kAB＝－kAC，
∴＝－，则y1＋y2＝－4，
则kBC＝－，为定值．
当堂训练
1．B　2.A　3.B　4.(1，±2)
5．解　(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，
所以＝1，p＝2，
所以所求抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)
＝4(x2－x1)，
所以＝2.
所以所求直线AB的方程为
y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
(3)
得y2－2y－6＝0，y1＋y2＝2，
y1y2＝－6，
|AB|＝
＝×＝.
3．1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．21cnjy.com
知识点一　双曲线的定义
思考1　如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？www.21-cn-jy.com
　
　
思考2　已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
(1)|－|＝6；
(2)－＝6.
　
　
　
　
梳理　把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作________________，两个焦点之间的距离叫作________________．2-1-c-n-j-y
知识点二　双曲线的标准方程
思考1　双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
　
　
　
　
　
思考2　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？
　
　
　
　
　
　
类型一　双曲线的定义及应用
命题角度1　双曲线中的焦点三角形问题
例1　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
引申探究
本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．21·世纪*教育网
反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．
跟踪训练1　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2等于(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A. B. C. D.
命题角度2　由双曲线定义求轨迹方程
例2　已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，B(－1,0)，C(1,0)，求满足sin C－sin B＝sin A的顶点A的轨迹．【出处：21教育名师】
　
　
　
　
反思与感悟　定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．
(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
跟踪训练2　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)21教育网
A.－＝1(x≥) B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
类型二　求双曲线的标准方程
例3　求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)，且焦点在坐标轴上．
　
　
　
　
反思与感悟　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．21世纪教育网版权所有
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练3　根据条件求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．
　
　
　
　
　
类型三　由双曲线标准方程求参数
例4　已知曲线－＝1.
(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标．
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线．进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，则当mn>0时表示双曲线．且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．21·cn·jy·com
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
跟踪训练4　已知方程－＝1表示双曲线，并且焦距为10，求实数m的值．
　
　
　
　
　
　
1．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)2·1·c·n·j·y
A．4 B．8 C．24 D．48
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)
A. B．1或－2
C．1或 D．1
4．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A．m>－1 B．m<－1
C．m>3 D．－15．与椭圆x2＋5y2＝5共焦点且过点(，1)的双曲线的方程为________．
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．www-2-1-cnjy-com
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.21*cnjy*com
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．【版权所有：21教育】
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．【来源：21·世纪·教育·网】
思考2　(1)∵|－|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，21教育名师原创作品
故点P的轨迹是双曲线．
(2)∵－表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|＝8，21*cnjy*com
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹是双曲线的右支．
梳理　双曲线的焦点　双曲线的焦距
知识点二
思考1　双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．
思考2　以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.
题型探究
例1　(1)4a＋2m　(2)16
解析　(1)由双曲线的定义，
知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为
|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理，得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究解　由双曲线方程知
a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
＝(2c)2＝100.②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.
跟踪训练1　C　[由双曲线的定义得
|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，
|F1F2|＝4，
在△F1PF2中由余弦定理：
cos ∠F1PF2＝
＝＝.]
例2　解　如图所示，
∵sin C－sin B
＝sin A，
∴根据正弦定理
＝
＝，
得c－b＝a＝×2＝1，
即|AB|－|AC|＝1<|BC|.
∴点A的轨迹符合双曲线的定义．
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(不包括点A在BC上的情况)．
跟踪训练2　A　[设动圆M的半径为r，则由已知得
|MC1|＝r＋，
|MC2|＝r－，
所以|MC1|－
|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
所以|C1C2|＝8，所以2<|C1C2|，
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支，
因为a＝，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝14，
所以点M的轨迹方程是
－＝1(x≥)．]
例3　解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的方程为－＝1.
方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．
因为双曲线过点(－2，)，
所以－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
因为点P(3，)，Q(－，5)在双曲线上，
所以
解得
故所求双曲线方程为－＝1.
跟踪训练3　解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍)．
∴b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为
F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知
解得
故双曲线的方程为－＝1.
例4　解　(1)当曲线为椭圆时，
依题意得
解得m<0，即m的取值范围为(－∞，0)．
此时，椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0)．
(2)当曲线为双曲线时，
依题意得(16－m)m>0，
解得0此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0)．
跟踪训练4　解　∵2c＝10，∴c＝5.
当m>0时，
方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，
a2＝16m，b2＝9m，
由c2＝a2＋b2，得25＝16m＋9m，
故m＝1；
当m<0时，方程－＝1可化为－＝1，
表示焦点在y轴上的双曲线，
∴a2＝－9m，b2＝－16m，由c2＝a2＋b2，
得25＝－16m－9m，∴m＝－1.
故实数m的值为1或－1.
当堂训练
1．B　2.C　3.D　4.A　5.－y2＝1
3.2　双曲线的简单性质
学习目标　1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．2·1·c·n·j·y
知识点一　双曲线的简单性质
思考　类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线
－＝1(a>0，b>0)的哪些性质？
梳理
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
对称性
对称轴：________
对称中心：______
对称轴：________
对称中心：______
顶点坐标
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二　双曲线的离心率
思考1　如何求双曲线的渐近线方程？
　
　
思考2　椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？21世纪教育网版权所有
　
　
　
梳理　双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的　　　　，其取值范围是________．e越大，双曲线的张口________．www.21-cn-jy.com
知识点三　双曲线的相关概念
1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
类型一　由双曲线方程研究其性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
　
　
　
反思与感悟　由双曲线的方程研究其性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
　
　
　
类型二　由双曲线的简单性质求标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
　
　
　
　
反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤
①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；
②设双曲线的标准方程；
③根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；
④求出a，b，写出方程．
(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；
(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
　
　
　
类型三　与双曲线有关的离心率问题
命题角度1　求双曲线离心率的值
例3　设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　　　　B.
C.　　　　　　　D．3
引申探究
例3条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，结果如何？【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟　求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a，c，再计算e＝.
(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e＝ 求解．
跟踪训练3　双曲线－＝1(0　
　
　
　
　
　
　
　
命题角度2　求双曲线离心率的取值范围
例4　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围．2-1-c-n-j-y
　
　
　
　
　
反思与感悟　求离心率的取值范围技巧
(1)根据条件建立a，b，c的不等式．
(2)通过解不等式得或的取值范围，求得离心率的取值范围．
跟踪训练4　已知F1，F2是双曲线－＝1(a，b>0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为(　　)21教育网
A．(1，＋∞) B．(＋1，＋∞)
C．(1，＋1) D．(1，)
1．双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的(　　)
A．焦点相同 B．顶点相同
C．实轴与长轴相同 D．短轴与虚轴相同
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．－4 B．－3
C．2 D．1
3．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(　　)21·cn·jy·com
A. B．2
C. D．3
4．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．21·世纪*教育网
1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．21*cnjy*com
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．【来源：21cnj*y.co*m】

答案精析
问题导学
知识点一
思考　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
梳理　x≥a或x≤－a　y≥a或y≤－a　坐标轴　原点　坐标轴　原点
A1(－a,0)，A2(a,0)　A1(0，－a)，A2(0，a)
知识点二
思考1　将方程－＝1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线．【出处：21教育名师】
思考2　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.【版权所有：21教育】
当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．
梳理　离心率　(1，＋∞)　越大
题型探究
例1　解　将9y2－4x2＝－36变形为
－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；
焦点坐标为(－，0)，(，0)；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
跟踪训练1　解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x.
例2　解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝，
且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6?λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
将点(2，－2)代入双曲线方程，
得λ＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练2　解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故所求双曲线的标准方程为
－＝1.
(2)由e2＝，得＝，
设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1.②
将(3,9)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
将(3,9)代入②，得k＝9.
故所求双曲线方程为－＝1.
(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
例3　B　[考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a，
而|PF1|＋|PF2|＝3b，
两式等号左右两边平方后相减，
得|PF1|·|PF2|＝.
又已知|PF1|·|PF2|＝ab，
∴ab＝，得＝(负值舍去)．
∴该双曲线的离心率e＝＝ ＝ ＝.]
引申探究　解　作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF1⊥PF2及∠PF1F2＝30°，求出a，c的关系式．21cnjy.com
设点P在双曲线右支上．
∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，
且∠PF1F2＝30°，
∴|PF2|＝c，|PF1|＝c.
又点P在双曲线的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
跟踪训练3　解　依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，
得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴32－10×＋3＝0，
解得＝或＝3.
又∵0∴e＝ ＝2.
例4　解　由C与l相交于两个不同点，
知方程组
有两组不同的实根，
消去y并整理得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
所以
解得0又双曲线的离心率e＝＝ ，
所以e>且e≠.
即离心率e的取值范围为
(，)∪(，＋∞)．
跟踪训练4　B　[由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，
又直线AB与x轴垂直，
所以|AF2|＝|BF2|，
故∠AF2B为钝角．
所以有>2c，即2ac解得e∈(1＋，＋∞)．
故选B.]
当堂训练
1．A　2.A　3.B　4.D　5.y＝±x
第二章 圆锥曲线与方程
　　　　　　　　　　　　　　　　1　椭圆的定义在解题中的妙用
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．
1．求最值
例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．2 B.
C. D．5
解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　C
2．求动点坐标
例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．
解析　设椭圆上的动点为P，
由椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
由
解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为P(±3,0)．
答案　(±3,0)
点评　由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，
由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.www.21-cn-jy.com
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　解抛物线问题的五个技巧
1．设而不求，整体处理
例1　已知抛物线y2＝－8x的弦PQ被点A(－1,1)平分，求弦PQ所在的直线方程．
解　设弦PQ的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有y＝－8x1，y＝－8x2.
两式相减，
得y－y＝－8(x1－x2)，
即(y1＋y2)(y1－y2)＝－8(x1－x2)．
∵A是PQ的中点，
∴y1＋y2＝2，
即y1－y2＝－4(x1－x2)．
∴＝－4，kPQ＝＝－4.
故弦PQ所在的直线的方程为y－1＝－4(x＋1)，
即4x＋y＋3＝0.
2．巧用定义求最值
例2　定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，记AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离．2-1-c-n-j-y
解　如图，AA′⊥l，MN⊥l，BB′⊥l，
l为抛物线y2＝x的准线，
由抛物线方程y2＝x，
知2p＝1，＝.
设点M到y轴的距离为d，
d＝|MN|－.
由抛物线的定义，知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|.
因为AA′，BB′，MN都垂直于准线，
所以AA′∥MN∥BB′，
所以MN是梯形AA′B′B的中位线．
于是|MN|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|AF|＋|BF|)．
若AB不过焦点，则由三角形的性质，
得|AF|＋|BF|>|AB|；
若AB过焦点F，
则|MN|＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝.
所以当AB过F时|MN|最小，此时d也最小，
d＝|MN|－＝－＝.
故点M到y轴的最短距离为.
3．巧设抛物线的方程
例3　抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且被直线y＝x＋1所截得的弦长为，求此抛物线的方程．
解　设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，则有
消去y，整理得x2＋(2－a)x＋1＝0.
设所截得的弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个实根．
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝a－2，x1x2＝1.
由弦长公式，知·＝，
即＝，
解得a＝－1或a＝5.
所以所求抛物线的方程为y2＝－x或y2＝5x.
4．巧设弦所在的直线的方程
例4　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2.2·1·c·n·j·y
证明　当直线的斜率为0时，直线不会与抛物线有两个交点．
因为抛物线的焦点为，
所以可设过焦点的直线方程为x－＝my，
即x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2－2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得y1y2＝－p2.
5．巧设抛物线上的点的坐标
例5　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(P在x轴上方)作两条直线分别交抛物线于A，B两点．当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB的斜率是非零常数．
证明　设P，A，B，
由kPA＝－kPB，得＝－.
整理，得y1＋y2＝－2y0.
kAB＝＝＝－(y0≠0)．
所以直线AB的斜率是非零常数．
　　　　　　　　　　　　　　　　　3　巧用抛物线的焦点弦
如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，过A、M、B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则有以下重要结论：21·世纪*教育网
(1)以AB为直径的圆必与准线相切；
(2)|AB|＝2(x0＋)(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p；
(4)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，
即x1x2＝，y1y2＝－p2；
(5)A1F⊥B1F；
(6)A、O、B1三点共线；
(7)＋＝.
证明　当直线AB的斜率不存在，
即与x轴垂直时，|FA|＝|FB|＝p，
∴＋＝＋＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为
y＝k，并代入y2＝2px，
∴2＝2px，即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.
设A(xA，yA)、B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝.
∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋，
∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，
|FA|·|FB|＝
＝xAxB＋(xA＋xB)＋
＝(xA＋xB＋p)．
∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，
即＋＝.
点评　该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况．
例　设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.www-2-1-cnjy-com
解析　设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，
又F(1,0)．
由＋＋＝0知
(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||
＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案　6
　　　　　　　　　　　　　　4　解析几何中的定值与最值问题解法辨析
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．21*cnjy*com
例1　已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．【出处：21教育名师】
证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，
∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，
∴＝.
∵a2＝3b2，
∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c.
联立
得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，
则由＝λ＋μ，
得
代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2　已知抛物线y2＝2px (p>0)上有两个动点A、B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列．求证：线段AB的垂直平分线经过定点(x0＋p,0)．
证明　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由抛物线定义，知
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋.
因为|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，
所以2|MF|＝|AF|＋|BF|，
即x0＝.
设AB的中点为(x0，t)，t＝.
则kAB＝＝＝＝.
所以线段AB的垂直平分线方程为
y－t＝－(x－x0)，
即t[x－(x0＋p)]＋py＝0.
所以线段AB的垂直平分线过定点(x0＋p,0)．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解，非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．【来源：21·世纪·教育·网】
例3　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(2,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．【版权所有：21教育】
解析　设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(5,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝6，
∴|PF|＋|PA|＝6＋|PF′|＋|PA|，
∴要使|PF|＋|PA|最小，
只需|PF′|＋|PA|最小即可，
|PF′|＋|PA|最小需P、F′、A三点共线，
最小值即6＋|F′A|＝6＋＝11.
答案　11
点评　“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．21*cnjy*com
例4　已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为
(2)如图，由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，
即k＝±1时，·取得最小值16.
　　　　　　　　　　　　　　　5　圆锥曲线中存在探索型问题的解法
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．下面仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助同学们复习．
1．常数存在型问题
例1　直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称？请说明理由．21教育网
分析　先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．21·cn·jy·com
解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB中点坐标为.
依题设有＝2·，
即y1＋y2＝2(x1＋x2)，①
又A，B在直线y＝ax＋1上，
∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立
得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝，④
把④代入③，得(2－a)·＝2，解得a＝，
∴kAB＝，而kl＝2，
∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
分析　假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．21cnjy.com
解　(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p) (p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，
∴p2＋p2＝8，
解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，
由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)
使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3　试问是否能找到一条斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21教育名师原创作品
分析　假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解　设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由
得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.
∵AP⊥MN，
∴＝－ (k≠0)，
故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)
＝9(1＋3k2)·(1－k2)>0，
得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6　圆锥曲线中的易错点剖析
1．忽视定义中的条件而致误
例1　平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
错解　根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，故选A.
错因分析　在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF1|＋|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本题中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
正解　因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案　D
2．忽视标准方程的特征而致误
例2　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.
∴m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为
y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解．
正解　由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
3．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而失分
例3　正方形ABCD的A，B两点在抛物线y＝x2上，另两点C，D在直线y＝x－4上，求正方形的边长．
错解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
错因分析　在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2－x－b＝0的判别式Δ>0，以此来限制b的取舍．
正解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，
∵Δ＝1＋4b>0，∴b>－.
∴b＝2或b＝6都满足Δ>0，
∴b＝2或b＝6.
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
第二章 圆锥曲线与方程
学习目标　1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
知识点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的集合
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
知识点二　椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．21世纪教育网版权所有
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan .
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
知识点三　双曲线及渐近线的设法技巧
1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝______________；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝__________.21教育网
2．如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为__________________．
知识点四　求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．21cnjy.com
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
知识点五　三法求解离心率
1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．21·cn·jy·com
2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．www.21-cn-jy.com
知识点六　直线与圆锥曲线位置关系
1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．www-2-1-cnjy-com
2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
类型一　圆锥曲线定义的应用
例1　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．2-1-c-n-j-y
　
　
　
　
　
　
引申探究
将本例的条件|PF1|·|PF2|＝32改为|PF1|∶|PF2|＝1∶3，求△F1PF2的面积．
反思与感悟　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1　已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)21*cnjy*com
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化
类型二　圆锥曲线的性质及其应用
例2　(1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．【版权所有：21教育】
反思与感悟　有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决．21*cnjy*com
跟踪训练2　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
类型三　直线与圆锥曲线的位置关系
例3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
　
　
　
　
　
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练3　如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．2·1·c·n·j·y
　
　
　
　
　
　
1．双曲线x2－＝1的离心率大于的充要条件是(　　)
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)【出处：21教育名师】
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)21教育名师原创作品
A. B.
C. D.
5．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________．
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题．21·世纪*教育网

答案精析
问题导学
知识点三
1．±x　±x
2.－＝λ(λ≠0)
题型探究
例1　解　由双曲线方程－＝1，
可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
由双曲线的定义，得
||PF1|－|PF2||＝6，
将此式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
＝×32×1＝16.
引申探究　解　由条件知
所以
所以cos ∠F1PF2＝
＝＝－.
所以sin ∠F1PF2＝，
所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2
＝×3×9×＝4.
即△F1PF2的面积为4.
跟踪训练1　B　[设P为双曲线右支上的一点．
对椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
|PF1|＋|PF2|＝2，
对双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，
|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|2＝(2c)2＝2(m＋n)，
而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2＝|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，故选B.]
例2　(1)A　(2)
解析　(1)a＞b＞0，
椭圆C1的方程为＋＝1，
C1的离心率为，
双曲线C2的方程为－＝1，
C2的离心率为.
∵C1与C2的离心率之积为，
∴·＝，
∴2＝，＝，
∴C2的渐近线方程为y＝±x，
即x±y＝0.
(2)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，
则只有∠AFB＝90°，如图，
则A(－1,2)应在双曲线上，
代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
跟踪训练2　D　[由椭圆可知
|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
∵四边形AF1BF2为矩形，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
∴2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，【来源：21·世纪·教育·网】
∴(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|＝12－4＝8，
∴|AF2|－|AF1|＝2.
因此对于双曲线C2有a＝，c＝，
∴C2的离心率e＝＝.]
例3　解　(1)由题意知，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为
(，)．
①当k≠0时，AB的中垂线方程为
y－＝－(x－)，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或.
跟踪训练3　解　(1)因为2c＝2，
所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，
所以b2＝1，a2＝2.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得
(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1.(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·<0，
即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
由＋<0，
得m2依题意且满足(*)得，m2<，
故实数m的取值范围是(－，)．
当堂训练
1．C　2.A　3.B　4.D　5.2x－y－15＝0
1．1　导数与函数的单调性
学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．www.21-cn-jy.com
知识点一　函数的单调性与导函数正负的关系
思考　观察下列各图，完成表格内容
函数及其图像
切线斜率k正负
导数正负
单调性
正
[1，＋∞)上单调______
R上单调________
负
(0，＋∞)上单调______
(0，＋∞)上单调______
(－∞，0)上单调______
梳理　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增加的．
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的．
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变化趋势
函数的单调性
>0
____0
____角
____
单调____
<0
____0
____角
____
单调____
知识点二　函数的变化快慢与导数的关系
思考　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？21教育网
　
　
　
　
　
　
　
梳理　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．
类型一　原函数与导函数的关系
例1　已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的(　　)
反思与感悟　(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．21cnjy.com
(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢．
跟踪训练1　已知y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是如图所示的(　　)
类型二　单调区间的求解及单调性证明
命题角度1　求函数的单调区间
例2　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
　
　
　
　
反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．
跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．
　
　
　
　
命题角度2　证明函数的单调性
例3　证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　利用导数证明不等式的一般步骤
(1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x)．
(2)求导：F′(x)＝f′(x)－g′(x)．
(3)判断函数的单调性．
(4)若F(x)在区间上的最小值大于等于0，则f(x)≥g(x)；若F(x)在区间上的最大值小于等于0，则f(x)≤g(x)．2·1·c·n·j·y
跟踪训练3　证明：函数f(x)＝在区间上是减少的．
　
　
　
　
　
　
类型三　含参数函数的单调性
例4　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
引申探究
试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
反思与感悟　(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．2-1-c-n-j-y
(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．21*cnjy*com
(3)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
　
　
　
　
　
1．f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
2．函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．[－，1]∪[2,3)
B．[－1，]∪[，]
C．(－，)∪[1,2]
D．(－，－1)∪[，]∪[，3]
3．若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
4．若函数y＝f(x)＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是________．
5．已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的．
　
　
　
　
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．21·cn·jy·com
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．

答案精析
问题导学
知识点一
思考　正　递增　正　正　递增　负　递减　负　负　递减　负　负　递减
梳理　(2)>　锐　上升　递增　<　钝　下降　递减
知识点二
思考　如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”．21世纪教育网版权所有
题型探究
例1　C　[由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
?
?
?
f′(x)
－
＋
－
由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图像在x轴下方．故选C.]
跟踪训练1　C　[由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：【来源：21·世纪·教育·网】
x
(－∞，0)
(0,2)
(2，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
?
?
?
由表可知f(x)在(－∞，0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C，故选C.]【来源：21cnj*y.co*m】
例2　解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－＝＝，
由x>0，解f′(x)>0，得x>.
由x<0，解f′(x)<0，得0∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
跟踪训练2　解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为
(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为
(－∞，2)和(2,3)．
例3　证明　由题意，得
f′(x)＝＝.
∵00，
∴f′(x)＝>0.
根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
跟踪训练3　证明　f′(x)＝，
又x∈，
则cos x<0，所以xcos x－sin x<0，
所以f′(x)<0，所以f(x)在上是减少的．
例4　[1，＋∞)
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．21·世纪*教育网
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究　解　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－，
当k≤0时，函数的单调递减区间为
(0，＋∞)；
当k>0时，函数的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
跟踪训练4　解　(1)f′(x)＝2x＋＝，
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f′(x)>0，
f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时，f′(x)＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
递减
递增
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；
单调递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2aln x，得
g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，
则h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)<0，x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，
h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故实数a的取值范围为{a|a≤－}．
当堂训练
1．D　2.A　3.A　4.(0，＋∞)
5．证明　y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)，
当a>1时，因为ln a>0，ax<1，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的；
当01，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的．
综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的．
1.2　函数的极值
学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一　函数极值的概念
函数y＝f(x)的图像如图所示．
思考1　函数在点x＝a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
　
思考2　f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
　
思考3　函数在x＝b点处的情况呢？
　
　
梳理　(1)如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．21教育网
(2)如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
知识点二　求函数y＝f(x)的极值的步骤
1．求出导数f′(x)．
2．解方程f′(x)＝0.
3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：21·cn·jy·com
(1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；
(2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；
(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．
类型一　判断与求解极值(点)
例1　判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由．
(1)f(x)＝x3＋4；(2)f(x)＝x3＋x2＋4x.
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)导数值为0的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件，而不是充分条件．www.21-cn-jy.com
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数f′(x)；
②求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；
③利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图像也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝＋3ln x.
　
　
　
　
　
　
类型二　已知函数极值求参数
例2　已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.21cnjy.com
引申探究
1．本例的其他条件不变，如果直线y＝k与函数图像有三个交点，求k的取值范围．
2．若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，b的值．2·1·c·n·j·y
反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
　
　
　
类型三　函数极值的综合应用
例3　函数f(x)＝x3－4x＋4的图像与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．21·世纪*教育网
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围．www-2-1-cnjy-com
　
　
　
　
　
1.已知函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)2-1-c-n-j-y
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为(　　)21*cnjy*com
A．a> B．a≥
C．a<且a≠0 D．a≤且a≠0
3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)
A．－4 B．－2 C．4 D．2
4．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.【来源：21cnj*y.co*m】
5．设f(x)＝(a>0)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)是单调函数，求a的取值范围．
　
　
　
　
　
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．【出处：21教育名师】
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．

答案精析
问题导学
知识点一
思考1　函数在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小．
思考2　f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
思考3　函数在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.【版权所有：21教育】
题型探究
例1　解　(1)f′(x)＝x2.
令f′(x)＝0，解得x＝0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
＋
f(x)
?
无极值
?
由上表可知，该函数无极值．
(2)因为f′(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3>0，
所以函数f(x)在R上为增函数，无极值．
跟踪训练1　解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值21
?
极小值－6
?
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值3
?
因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值．
例2　2　9
解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
且函数f(x)在x＝－1处有极值0.
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．21世纪教育网版权所有
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9
＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，
此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，
∴a＝2，b＝9.
引申探究
1．解　由例2知f(x)极小值＝f(－1)＝0，
f(x)极大值＝f(－3)＝4，
由图像可知当0直线y＝k与函数图像有三个交点．
2．解　f′(x)＝3x2＋6ax＋b＝0的两根为－3和－1，
则解得
跟踪训练2　解　(1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，
即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x－x2＋x(x>0)，
故f′(x)＝－－x＋1＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数f(x)取得极大值－ln 2.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
例3　(－，)
解析　∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－，
且f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上是增加的，在(－2,2)上是减少的．
根据函数单调性、极值情况，它的图像大致如图所示，
结合图像知－跟踪训练3　解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，
即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图像与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8
＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，4)
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
－m
?
－16－m
?
则函数g(x)的极大值为g()＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同交点，
得
解得－16当堂训练
1．B　2.C　3.D　4.－2
5．解　f′(x)＝.
(1)当a＝时，
f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
?
因此f(x)的极大值点为，极小值点为.
(2)由题意知ax2－2ax＋1＝0有两相等实根或无根，
当a＝0时，方程无根，符合题意，
当a≠0时，Δ＝(－2a)2－4a≤0，
得0综上可得实数a的取值范围为[0,1]．
2．1　实际问题中导数的意义
学习目标　1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题．
知识点　实际问题中导数的意义
思考　某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.21·cn·jy·com
(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？
(2)上述问题的实际意义是什么？
(3)W′(1)的实际意义是什么？
　
　
　
　
　
梳理　(1)在物理学中，通常称力在单位时间内________为功率，它的单位是________．功率是功关于________的导数．www-2-1-cnjy-com
(2)在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的________称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的________．
(3)在经济学中，通常把生产成本y关于________x的函数y＝f(x)的导函数称为____________．边际成本f′(x0)指的是当产量为 x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．
类型一　导数在物理学中的意义
例1　某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．
(1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．
　
　
　
　
反思与感悟　根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解．
跟踪训练1　某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，且y＝f(x)＝.
(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？
(2)求f′(27)，并解释它的实际意义．
　
　
　
　
　
　
　
类型二　导数在经济生活中的应用
例2　某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．21世纪教育网版权所有
　
　
　
　
　
　
引申探究
1．若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．
2．若本例的条件“C(x)＝x2＋60x＋2 050”变为“C(x)＝x2＋ax＋2 050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a的取值范围．www.21-cn-jy.com
　
反思与感悟　生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)中，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．2·1·c·n·j·y
跟踪训练2　已知某商品的成本函数为C(Q)＝100＋(Q为产品的数量)．
(1)求Q＝10时的总成本、平均成本及边际成本；
(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？
　
　
　
类型三　在日常生活中的应用
例3　一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数为y＝f(x)＝＋4.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．21cnjy.com
跟踪训练3　某年高考，某考生在参加数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2.21·世纪*教育网
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
　
　
　
　
　
　
1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较(　　)2-1-c-n-j-y
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
2．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即W＝W(t)，则W′(t0)表示(　　)
A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度
C．t＝t3时的位移 D．t＝t0时的功率
3．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义是__________________________________．
4．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为________．
5．某厂生产x吨产品获利y万元，y是x的函数，且函数为y＝f(x)＝－x2＋21x－100.
(1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(2)求f′(84)，并解释它的实际意义．
　
　
　
　
　
1．解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论．
2．解决实际问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．

答案精析
问题导学
思考　(1)＝＝11 J/s.
(2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，
W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J.
梳理　(1)做的功　瓦特　时间
(2)降雨量　导数　(3)产量　边际成本
题型探究
例1　解　(1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为
＝＝＝11 m/s.
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7 m/s，s′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.【来源：21·世纪·教育·网】
s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.21*cnjy*com
s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.【出处：21教育名师】
跟踪训练1　解　(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
＝＝ (m3/min)．
(2)f′(x)＝x－，于是f′(27)＝×27－＝ (m3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为【版权所有：21教育】
m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3.
例2　解　当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元．
此时总成本的平均改变量为
＝67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．
引申探究
1．解　因为C′(x)＝x＋60，
所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．
2．解　因为C′(x)＝x＋a，
所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，
即C′(75)＝×75＋a>97.5，
解得a>60.
跟踪训练2　解　(1)Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；
Q＝10时的平均成本
＝＝12.5.
边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本C′(Q)＝Q，
Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.
(2)由(1)得，平均成本
＝＝＋，
而＋≥2·＝10，
当且仅当＝，即Q＝20时，等号成立，
所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.
例3　解　(1)当x从1 h变到4 h时，
产量y从f(1)＝ g变到f(4)＝ g，
此时平均变化率为?＝＝ (g/h)，
它表示从1 h到4 h这段时间这个人平均每小时生产 g产品．
(2)f′(x)＝＋，于是
f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)，
分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.
跟踪训练3　解　(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题．
(2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，
f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．
当堂训练
1．D　2.D
3．36台/小时　10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
4．8
5．解　(1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．21*cnjy*com
(2)f′(x)＝－x＋21，于是f′(84)＝0，
f′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，
也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，
利润增加为0，即利润不变．
问题导学
思考　(1)＝＝11 J/s.
(2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，
W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J.
梳理　(1)做的功　瓦特　时间
(2)降雨量　导数　(3)产量　边际成本
题型探究
例1　解　(1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为
＝＝＝11 m/s.
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7 m/s，s′(2)＝4×2＋3＝11 m/s.21教育名师原创作品
s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.
s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.
跟踪训练1　解　(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
＝＝ (m3/min)．
(2)f′(x)＝x－，于是f′(27)＝×27－＝ (m3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的速度为
m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3.
例2　解　当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350元．
此时总成本的平均改变量为
＝67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．
引申探究
1．解　因为C′(x)＝x＋60，
所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．
2．解　因为C′(x)＝x＋a，
所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，
即C′(75)＝×75＋a>97.5，
解得a>60.
跟踪训练2　解　(1)Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；
Q＝10时的平均成本
＝＝12.5.
边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本C′(Q)＝Q，
Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.
(2)由(1)得，平均成本
＝＝＋，
而＋≥2·＝10，
当且仅当＝，即Q＝20时，等号成立，
所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.
例3　解　(1)当x从1 h变到4 h时，
产量y从f(1)＝ g变到f(4)＝ g，
此时平均变化率为?＝＝ (g/h)，
它表示从1 h到4 h这段时间这个人平均每小时生产 g产品．
(2)f′(x)＝＋，于是
f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)，
分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.
跟踪训练3　解　(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题．
(2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，
f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．
当堂训练
1．D　2.D
3．36台/小时　10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
4．8
5．解　(1)当x从4变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝19.5(万元/吨)，它表示产量从4吨增加到8吨的过程中，每增加1吨产量，利润平均增加19.5万元．21教育网
(2)f′(x)＝－x＋21，于是f′(84)＝0，
f′(84)表示当产量为84吨时，利润增加的速度为0，
也就是说当产量为84吨时，每多生产1吨产品，
利润增加为0，即利润不变．
2.2　最大值、最小值问题(一)
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点　函数的最大(小)值与导数
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．
思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值．
　
思考2　结合图像判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？21cnjy.com
　
思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
　
梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条____________的曲线，那么它必有最大值与最小值．21·cn·jy·com
(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；
②将函数y＝f(x)的________与________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．www.21-cn-jy.com
类型一　求函数的最值
命题角度1　不含参数的函数求最值
例1　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
　
　
　
　
　
反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．
　
　
　
　
　
命题角度2　含参数的函数求最值
例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
　
　
　
　
反思与感悟　由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练2　已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
　
　
　
　
类型二　由函数的最值求参数
例3　设函数f(x)＝ln x＋，m>0，求f(x)的最小值为2时m的值．
　
　
　
　
　
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．21世纪教育网版权所有
跟踪训练3　设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0　
　
　
　
类型三　与最值有关的恒成立问题
例4　已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．【来源：21·世纪·教育·网】
一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4　已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
5．设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)　
　
　
　
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2-1-c-n-j-y
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．

答案精析
问题导学
知识点
思考1　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2　存在，f(x)min＝f(a)，
f(x)max＝f(x3)．
思考3　不一定，也可能是区间端点的函数值．
梳理　(1)连续不断　(2)①极值　②各极值　端点　最大值　最小值
题型探究
例1　解　(1)因为f(x)＝2x3－12x，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，
f()＝＋，
f()＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值0；
当x＝2π时，f(x)有最大值π.
跟踪训练1　解　∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)
＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，
f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上是减少的，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值
f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值
f(5)＝－22e5.
例2　解　(1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，
f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上是增加的，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上是减少的，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)在上是减少的，
在上是增加的，
从而f(x)max＝
综上所述，
f(x)max＝
跟踪训练2　解　f′(x)＝－3x2＋3a
＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)在[0,1]上是减少的，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
由x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
①当0<<1，即0当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0，)
(，1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
2a
?
故f(x)max＝f()＝2a；
②当≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数
f(x)在[0,1]上是增加的，当x＝1时，
f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
例3　解　因为f′(x)＝(x>0)，
所以当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)在(0，m)上是减少的，
当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(m，＋∞)上是增加的，
所以当x＝m时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2.
即f(m)＝ln m＋＝2，
所以m＝e.
跟踪训练3　解　f′(x)＝－x2＋x＋2a，
令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
当x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)时，
f′(x)<0；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的．
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，
即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为
f(4)＝8a－＝－，
故a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为
f(2)＝.
例4　解　f′(x)＝＋ln x－1＝ln x＋，xf′(x)＝xln x＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a.21教育网
令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝－1.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；
当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是
g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.
综上可知，a的取值范围是.
跟踪训练4　解　由题意，知
f(1)＝－3－c.
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
所以对f(x)求导，得
f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·－12x3
＝x3(4aln x＋a－12)．
由题意，知f′(1)＝0，
即a－12＝0，得a＝12.
所以f′(x)＝48x3ln x(x＞0)，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；
当x＞1时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，
并且此极小值也是最小值．
所以要使f(x)≥－2c2(x＞0)恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可．
整理，得2c2－c－3≥0，
解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围是(－∞，－1]∪.
当堂训练
1．B　2.D　3.B　4.A
5．解　∵f′(x)＝6x2－18x＋12
＝6(x－1)(x－2)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值
f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为
f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，
有f(x)∴9＋8c9.
故c的取值范围为
(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
2.2　最大值、最小值问题(二)
学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点　生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．
类型一　几何中的最值问题
命题角度1　平面几何中的最值问题
例1　如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
　
　
　
　
　
反思与感悟　平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1　如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．21世纪教育网版权所有
　
　
　
　
　
命题角度2　立体几何中的最值问题
例2　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.21·世纪*教育网
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
　
　
　
反思与感悟　(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．www.21-cn-jy.com
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
跟踪训练2　把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？www-2-1-cnjy-com
　
　
　
　
　
类型二　实际生活中的最值问题
命题角度1　利润最大问题
例3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
　
　
　
　
反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：21*cnjy*com
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3　某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
　
　
　
　　
　
命题角度2　费用(用材)最省问题
例4　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．21cnjy.com
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
　
　
　
　
反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．2·1·c·n·j·y
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练4　据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？
　
　
　
　
　
　
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(　　)【版权所有：21教育】
A．6时 B．7时 C．8时 D．9时
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1件产品，成本增加100元，已知总收益R(元)与年产量x(件)的关系是R(x)＝则总利润P(x)最大时，每年生产的产品是(　　)21教育名师原创作品
A．100件 B．150件
C．200件 D．300件
4．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为________m时，容器的容积最大．21*cnjy*com
5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：
(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；
(2)与实际问题相联系；
(3)必要时注意分类讨论思想的应用．

答案精析
问题导学
知识点
1．优化问题
3．数学建模
题型探究
例1　解　设广告的高和宽分别为x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为x－20，，
其中x>20，y>25.
两栏面积之和为
2(x－20)·＝18 000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，
∴S′＝＋25
＝＋25.
令S′>0得x>140，
令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上是增加的，在(20,140)上是减少的，
∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．
跟踪训练1　解　设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图像的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)
＝16x－12x2＋2x3，
∴y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)．
令y′＝0，解得x＝2±，
∵0∵当00，函数是增加的；
当2－∴当x＝2－时，矩形的面积有最大值.
例2　解　(1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，
高为(30－x) cm，
所以包装盒侧面积为
S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×()2
＝8×225，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x
＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0令V′<0，得20所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.21教育网
跟踪训练2　解　设箱底边长为x，则箱高为h＝×(0＝ax2－x3(0则V′(x)＝ax－x2.
令V′(x)＝0，
解得x1＝0(舍)，x2＝a，
当x∈时，V′(x)>0；
当x∈时，V′(x)<0，
所以函数V(x)在x＝a处取得极大值，
这个极大值就是函数V(x)的最大值，
V＝a×2－×3
＝a3.
所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，
最大容积为a3.
例3　解　(1)因为当x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
跟踪训练3　解　(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．
由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.
若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)
＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)由(1)知，f′(x)＝－18x2＋252x－432，x∈[0,21]，
令f′(x)＝0，则x1＝2，x2＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9 072
?
极小值
?
极大值
?
∴x＝12时，f(x)取得极大值．
∵f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．
例4　解　(1)由题设知每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)
＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5(x＝－舍去)，
当00，
故x＝5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
即当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
跟踪训练4　解　(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，要耗油×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．21·cn·jy·com
(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得
h(x)＝·
＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减少的；
当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增加的．
所以当x＝80时，h(x)取到极小值为
h(80)＝11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，
所以它是最小值．
故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
当堂训练
1．C　2.C　3.D　4.1　5.160
第四章 导数应用
1　利用导数研究函数单调性常见题型
1．运用导数求函数的单调区间
利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，得单调区间．21·cn·jy·com
例1　求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
解　由已知，得当f′(x)＝(ex－1)(x＋1)＝0时，有x＝0或x＝－1.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>0时，f′(x)>0.
故f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．
点评　单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．www.21-cn-jy.com
例2　已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为________．
分析　先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f′(x)<0即可．
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x＋3－.
令f′(x)<0，即2x＋3－＝<0，
结合定义域知x>0，且2x2＋3x－2<0，解得0即函数f(x)的单调递减区间为(0，)．
答案　(0，)
点评　求解该类问题时要注意两点：①不要忽视定义域；②如有多个单调递增(减)区间，不要把这些区间取并集．2·1·c·n·j·y
2．证明不等式
例3　求证：当x>1时，ln x>－.
分析　可构造函数f(x)＝ln x－(－)，由于f(1)＝0，故若能证明f(x)为(1，＋∞)上的增函数，即证明在(1，＋∞)上，导函数f′(x)>0恒成立即可．21*cnjy*com
证明　令f(x)＝ln x－(－)，则有f(1)＝0.
因为f′(x)＝＋x＝>0，x∈(1，＋∞)，
所以函数f(x)为(1，＋∞)上的增函数，
又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，
即ln x>－.
点评　证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的一般方法：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F(x)>0在(a，b)内恒成立即可．2-1-c-n-j-y
3．求参数的取值范围
例4　已知函数f(x)＝x3－ax2＋1.
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，求实数a的取值范围．
分析　注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆．
解　(1)由f(x)的单调递减区间为(0,2)可知0与2是方程f′(x)＝3x2－2ax＝0的两根，
故有3×22－2a×2＝0，解得a＝3.
(2)因为函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，
所以f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)上恒成立，
即2a≥3x在区间(0,2)上恒成立．
因为x∈(0,2)，所以3x∈(0,6)，故2a≥6，即a≥3.
经验证a＝3时满足题意，故a的取值范围为[3，＋∞)．
点评　若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则有f′(x)≥0(f′(x)≤0)对x∈D恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解．也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解.21·世纪*教育网
2　巧用导数求极值
1．函数的极值点的判定方法
设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法是：(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．【出处：21教育名师】
2．极值常见题型详解
(1)利用导数求函数的极值
例1　求函数f(x)＝xln x的极值点．
解　f′(x)＝ln x＋1，x>0.
而f′(x)>0?ln x＋1>0?f′(x)<0?ln x＋1<0?0所以f(x)在(0，)上是减少的，
在(，＋∞)上是增加的．
所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
点评　求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可．【版权所有：21教育】
(2)含参数的极值问题
例2　设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，讨论函数f(x)的单调区间和极值．
解　由已知，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增加的，无极值；
②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增加的；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的．
所以当x＝时，f(x)有极大值，
极大值为f()＝ln －1＝－ln a－1.
综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，无极值；
当a>0时，f(x)的递增区间为(0，)，递减区间为(，＋∞)，极大值为－ln a－1，无极小值．21世纪教育网版权所有
点评　本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏．
(3)极值问题的逆向考查
例3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)
A．－ B．－2
C．－2或－ D．不存在
解析　由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
所以
解得或经检验
满足题意，所以＝－.故选A.
答案　A
点评　本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件．如果不满足，需要舍去．【来源：21·世纪·教育·网】
3　分类讨论思想在导数中的应用
分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？www-2-1-cnjy-com
1．按导数为零的根的大小来分类
例1　设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值．
解　f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，
解得x＝a或x＝.
当a>，即a>0，x∈(－∞，)时，f′(x)<0，
x∈(，a)时，f′(x)>0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a3，在x＝a处取得极大值0.
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
x∈(a，)时，f′(x)>0，x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a3，在x＝a处取得极小值0.
点评　本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类．【来源：21cnj*y.co*m】
2．按是否为二次函数来分类
例2　已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a≤)，讨论f(x)的单调性．
解　f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．
(1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)是减少的；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)是增加的．
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，
解得x1＝1，x2＝－1，
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
②当01>0，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的，
x∈(1，－1)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)是增加的，
x∈(－1，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的；
③当a<0时，－1<0<1，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)是减少的，
x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)是增加的．
综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上是减少的，
在(1，＋∞)上是增加的；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
当0点评　由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围．21教育网
3．按最值来分类
例3　设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
解　令g(x)＝f(x)－ax，
则g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以当a≤2时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax.
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln <0，x2＝ln >0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数．
所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(－∞，2]．
点评　本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论．
小结　通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤为：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论．21cnjy.com
第四章 导数应用
学习目标　1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题．21世纪教育网版权所有
知识点一　函数的单调性、极值与导数
1．函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的；如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的．21·世纪*教育网
2．函数的极值与导数
(1)极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时，__________，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；2-1-c-n-j-y
(2)极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，__________，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值．21*cnjy*com
知识点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．
2．将函数y＝f(x)的各极值与__________________________________________________
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
类型一　导数中的数形结合思想
例1　已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图像大致是(　　)【出处：21教育名师】
反思与感悟　研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．【版权所有：21教育】
跟踪训练1　函数f(x)＝ln x－x2的大致图像是(　　)
类型二　构造函数求解
命题角度1　比较函数值的大小
例2　已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)21*cnjy*com
A．a反思与感悟　本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．
跟踪训练2　设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
命题角度2　求解不等式
例3　定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)2ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
反思与感悟　根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)＝，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围．
跟踪训练3　函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
类型三　利用导数研究函数的极值与最值
例4　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．21cnjy.com
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4　已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图像关于原点成中心对称．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间及极值；
(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．
　
　
　
　
　
类型四　导数的综合应用
例5　已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．21教育名师原创作品
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．
跟踪训练5　(1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？
(2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
　
　
　
　
　
　
　
　
1．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图像如图所示，则x＋x等于(　　)
A. B.
C. D.
2．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a)
3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，则不可能正确的是(　　)2·1·c·n·j·y
4．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内是减少的，则实数a的取值范围为________．
5．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．【来源：21cnj*y.co*m】
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．

答案精析
知识梳理
知识点一
1．f′(x)>0　f′(x)<0
2．(1)f′(x)>0　f′(x)<0　(2)f′(x)<0　f′(x)>0
知识点二
1．极值
2．端点处函数值f(a)，f(b)
题型探究
例1　C　[当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，
排除A、B选项．
当10，
∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，
因此排除D.]
跟踪训练1　B　[函数f(x)＝ln x－
x2的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x＝
＝.
令f′(x)>0，得>0.
又因为x>0，所以(1＋x)(1－x)>0，
所以0同理，令f′(x)<0，解得x>1.
于是当0当x>1时，函数f(x)是减函数；
当x＝1时，f(x)＝－<0.结合以上特征可知应选B.]
例2　B　[令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数．
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∵f′(x)＋<0，
∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵∴g()∵g(x)是偶函数，
∴g(－)＝g()，g(ln )＝g(ln 2)，
∴g(－)故选B.]
跟踪训练2　C　[由条件，得[]′
＝<0，
∴在(a，b)上是减函数．
∴<<，
∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．]
例3　C　[设g(x)＝，
则g′(x)＝.
∵f(x)0，
即函数g(x)单调递增．
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)>g(0)．
∵函数g(x)单调递增，
∴x>0，即不等式的解集为(0，＋∞)，
故选C.]
跟踪训练3　B　[令g(x)＝f(x)－2x－4，∵f′(x)>2，
则g′(x)＝f′(x)－2>0.
又由g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
得g(x)>0，
即g(x)>g(－1)的解为x>－1，
∴f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．]
例4　解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.21·cn·jy·com
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得
f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
2
?
－2
?
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，
f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则　解得－2即实数c的取值范围为(－2,0]．
跟踪训练4　解　(1)∵函数f(x)的图像关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b
＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，
∴解得a＝1，b＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4.
令f′(x)<0，得－40，
得x<－4或x>4.
∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)．
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，
f(x)极小值＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上是减少的，在[4,5]上是增加的，f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，www.21-cn-jy.com
∴函数的最大值为－47，最小值为－128.
例5　解　(1)f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立，
即3x2－a≥0在R上恒成立．
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0<3x2<3，
所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上是减少的，
即a＝3符合题意，
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，且a的取值范围是[3，＋∞)．
跟踪训练5　解　(1)f′(x)＝12x2－a，
∵f(x)的单调递减区间为，
∴x＝±为f′(x)＝0的两个根，
∴a＝3.
(2)若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，
即12x2－a≥0在上恒成立，
∴a≤12x2在上恒成立，
∴a≤(12x2)min＝0.
当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．
∴a＝0符合题意．
若f(x)在上为单调减函数，
则f′(x)≤0在上恒成立，
即12x2－a≤0在上恒成立，
∴a≥12x2在上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(只有x＝±时f′(x)＝0)．
综上，a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
当堂训练
1．C　2.A　3.D　4.(－∞，)
5．[e，＋∞)