1 命题（一）
学习目标 1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.21教育网
知识点一 命题的概念
思考1 在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？
思考2 依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题.
①三角形外角和为360°；
②连接A、B两点；
③计算3－2的值；
④过点A作直线l的垂线；
⑤在三角形中，大边一定对的角也大吗？
梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题.
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题.
(3)分类
命题
知识点二 命题的结构
思考1 在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？
思考2 完成下列题目：
(1)命题“等角的补角相等”：题设是________，结论是________.
(2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果______________，那么___________”.
梳理 (1)数学中，通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是________，q是________.
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.
类型一 命题的判断
例1 (1)下列语句为命题的是( )
A.x－1＝0 B.2＋3＝8
C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________.
①一个数不是正数就是负数；
②梯形是不是平面图形呢？
③22 015是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}中的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
反思与感悟 判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)语句表述的结构可以判断真假.含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题.21cnjy.com
跟踪训练1 给出下列语句，其中不是命题的有________.
①是无限循环小数；
②x2－3x＋2＝0；
③当x＝4时，2x>0；
④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
⑤一个数不是奇数就是偶数；
⑥2030年6月1日上海会下雨.
类型二 命题真假的判断
例2 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的是________.
引申探究
1.本例中命题④变为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
2.本例中命题④改为：若·＝0，则△ABC是________三角形.
反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可.21·cn·jy·com
跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.
A.1 B.2 C.3 D.4
类型三 命题结构形式解读
例3 将下列命题写成“若p，则q”的形式.
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根.
跟踪训练3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
(2)负数的立方是负数；
(3)已知x，y为整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
2.下列命题是真命题的为( )
A.若a>b，则<
B.若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C.若|x|
D.若a＝b，则＝
3.命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________________.21世纪教育网版权所有
4.命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________.www.21-cn-jy.com
5.命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围.
1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2·1·c·n·j·y
2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.【来源：21·世纪·教育·网】
提醒：完成作业 第一章 §1(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 对事情做出正确或不正确的判断的句子叫作命题.
思考2 根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题.
知识点二
思考1 命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.
思考2 (1)等角的补角 相等
(2)一个数是实数 它的平方是非负数
梳理 (1)条件 结论
题型探究
例1 (1)B (2)①④
跟踪训练1 ②④⑥
例2 ①③④
引申探究
1.解 不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形.21·世纪*教育网
2.直角
跟踪训练2 C
例3 解 (1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除.
(2)若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根.
跟踪训练3 解 (1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题.
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题.
(3)已知x，y为整数，若y＝x－5，
则y＝－3，x＝2.是假命题.
当堂训练
1.D 2.C 3.(－∞，0)∪(0,1)
4.(－∞，－4]∪[4，＋∞)
5.解 “3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论.
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.
1 命题（二）
学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.
知识点一 四种命题的概念
思考 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫作命题的逆命题？
梳理
名称
阐释
互为逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__________，那么我们把这样的两个命题叫作互为逆命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的________.
互为否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的________和结论的________，我们把这样的两个命题叫作互为否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的__________.
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________，我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的__________.
知识点二 四种命题间的相互关系
思考 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？
梳理 (1)四种命题间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
假
假
真
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性____关系.
知识点三 逆否证法与反证法
1.逆否证法
由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.21cnjy.com
2.反证法
(1)反证法的步骤：
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.
(2)反证法导出结果的几种情况：
①导出命题p的否定为真，即与原命题的条件矛盾；
②导出q为真，即与假设“命题q的否定为真”矛盾；
③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；
④导出自相矛盾的命题.
3.反证法与逆否证法的联系
(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.
(2)起步相同：都是从否定结论出发(入手)；
(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.
4.反证法与逆否证法的区别
(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出否定条件；
(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.
类型一 四种命题的关系及真假判断
命题角度1 四种命题的写法
例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等.
反思与感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.
命题角度2 四种命题的真假判断
例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.
反思与感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题.
原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.
在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.
跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④ B.①③④
C.②③④ D.①④
类型二 等价命题的应用
例3 证明：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.21世纪教育网版权所有
反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别.21·世纪*教育网
跟踪训练3 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
类型三 反证法的应用
例4 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 (1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
(2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：
原词
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
都是
至多有一个
至多有n个
至少有一个
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
至少有两个
至少有(n＋1)个
一个也没有
跟踪训练4 设a，b，c∈Z，且a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数.
1.命题“若綈p，则q”的逆否命题为( )
A.若p，则綈q B.若綈q，则綈p
C.若綈q，则p D.若q，则p
2.下列命题为真命题的是( )
A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
3.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________.
4.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.21教育网
5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假.
写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.
若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.21·cn·jy·com
提醒：完成作业 第一章 §1(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互为逆命题.2·1·c·n·j·y
梳理 结论和条件 逆命题 否定 否定
否命题 结论的否定和条件的否定
逆否命题
知识点二
思考 原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.
梳理 (2)真 真 假 真 真 假 假
假 ①相同 ②没有
题型探究
例1 解 (1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.
(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.
逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.
否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.
逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.
(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.
跟踪训练1 解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.
例2 解 (1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题.
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.
(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.
跟踪训练2 B
例3 证明 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，a，b∈R，若a＋b<0，www.21-cn-jy.com
则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题.
∴原命题为真命题.
跟踪训练3 证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.2-1-c-n-j-y
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1
＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.
例4 证明 假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c
＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
因此a，b，c中至少有一个大于0.
跟踪训练4 证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.
∴a2＋b2为偶数，而c2为奇数，
∴a2＋b2≠c2与a2＋b2＝c2矛盾.
∴假设不成立，原命题成立.
当堂训练
1.C 2.A
3.若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1 4.4
5.解 (1)命题p的否命题为：“若ac<0，
则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.
(2)命题p的否命题是真命题.
判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题.
2 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
知识点一 充分条件与必要条件
“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：p?q，读作“p推出q”.此时我们称p是q的________条件，同时，我们称q是p的______条件.
若p?q，但q?p，称p是q的__________条件，若q?p，但p?q，称p是q的________条件.www.21-cn-jy.com
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？www-2-1-cnjy-com
梳理 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的__________条件，简称充要条件.【来源：21cnj*y.co*m】
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件.
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度1 在常见数学问题中的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；
(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.
反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法：(1)定义法；(2)等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；(3)集合法，P是Q的充分不必要条件?集合P?Q，P是Q的必要不充分条件?集合P?Q，P是Q的充要条件?集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件?集合P?Q，且P?Q；(4)传递法，对于较复杂的关系，常用?，?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0(2)p：|x－2|<3，q：<－1；
(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(4)p：q：
命题角度2 在实际问题中的判断
例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？
反思与感悟 “充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.无法判断
类型二 充要条件的探求与证明
命题角度1 充要条件的探求
例3 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？
反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.【版权所有：21教育】
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由.21教育名师原创作品
命题角度2 充要条件的证明
例4 已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1.21世纪教育网版权所有
反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”?“结论”，必要性需要证明“结论”?“条件”.【出处：21教育名师】
跟踪训练4 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.
类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)
例5 已知函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.2-1-c-n-j-y
(1)求A；
(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围.
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤：
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)若p是q的充分不必要条件，则M?N，若p是q的必要不充分条件，则N?M，若p是q的充要条件，则M＝N；21cnjy.com
(3)根据集合的关系列不等式(组)；
(4)求出参数的范围.
跟踪训练5 设A＝{y|y＝，x∈R}，B＝{y|y＝x＋m，x∈[－1,1]}，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________.
1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.设命题p：x2－3x＋2<0，q：≤0，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________.21·cn·jy·com
5.“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件.
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：2·1·c·n·j·y
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论.
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.
提醒：完成作业 第一章 §2
答案精析
§2 充分条件与必要条件
问题导学
知识点一
充分 必要 充分不必要 必要不充分
知识点二
思考 因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件.21*cnjy*com
梳理 (1)充分必要
题型探究
例1 解 (1)∵a＋b＝0?a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0?a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵四边形的对角线相等?四边形是矩形；
四边形是矩形?四边形的对角线相等，
∴p是q的必要不充分条件.
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝；
x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p是q的充要条件.
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，
则Δ＝1＋4m<0，
即m<－.∵m<－1?m<－；
m<－?m<－1，
∴p是q的充分不必要条件.
(5)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件.
跟踪训练1 解 (1)当a＝0时，1>0满足题意；
当a≠0时，由可得0故p是q的必要不充分条件.
(2)易知p：－1所以p是q的充要条件.
(3)因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件.
(4)由根据同向不等式相加、相乘的性质，有即p?q.
但?
比如，当α＝1，β＝5时，
而α<2，
所以q?p，所以p是q的充分不必要条件.
例2 解 如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件.
跟踪训练2 A
例3 解 (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合要求.
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.21·世纪*教育网
①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是即∴a<0.
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是即
∴0综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
跟踪训练3 解 是充要条件.
充分性：当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1
＝n2＋2n.a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3适合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N＋)，
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列.
故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件.
必要性：∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件.
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件.
例4 证明 ①充分性：若点P满足＝x＋y，其中x，y∈R，
且x＋y＝1，消去y，得
＝x＋(1－x)＝x(－)＋，
∴－＝x(－)，
即＝x.
∴点P在直线AB上，即点P在直线l上.
②必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，
使得＝t＝t(－)，
∴＝＋＝＋t－t
＝(1－t)＋t.
令1－t＝x，t＝y，则＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1.
跟踪训练4 证明 ①充分性：
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，21教育网
即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.
例5 解 (1)要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0，
化简整理得(x＋1)(x－1)≥0，
解得x≤－1或x≥1，
∴A＝{x|x≤－1或x≥1}.
(2)要使g(x)有意义，
则(x－a－1)(2a－x)>0，
即(x－a－1)(x－2a)<0，
又∵a<1，∴a＋1>2a，
∴B＝{x|2a∵p是q的必要不充分条件，∴B?A，
∴2a≥1或a＋1≤－1，
解得≤a<1或a≤－2.
∴a的取值范围为(－∞，－2]∪[，1).
跟踪训练5 (，)
当堂训练
1.A 2.A 3.B 4.(－∞，－3] 5.充要
3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.www-2-1-cnjy-com
知识点一 全称量词、全称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
梳理 (1)概念
短语“______”“每一个”“任何”“__________”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作__________.
(2)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.2-1-c-n-j-y
知识点二 存在量词、特称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m∈Z，m>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)
梳理 (1)概念
短语“________”“__________”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作__________.21cnjy.com
(2)特称命题真假判定
要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.21*cnjy*com
类型一 全称命题与特称命题的判断
命题角度1 全称命题与特称命题的不同表述
例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：
(1)全称命题：任意x∈N，p(x)；
(2)特称命题：存在x∈N，p(x).
反思与感悟 全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”)
命题角度2 全称命题与特称命题的识别
例2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是特称命题.
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；
(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
(4)对于数列，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.
类型二 全称命题与特称命题的真假的判断
例3 判断下列命题的真假.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；
(5)任意x∈R，x2－3x＋2＝0；
(6)存在x∈R，x2－3x＋2＝0.
反思与感悟 要判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.21世纪教育网版权所有
要判定特称命题“存在x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题.
跟踪训练3 判断下列命题的真假：
(1)有一些奇函数的图像过原点；
(2)存在x∈R,2x2＋x＋1<0；
(3)任意x∈R，sin x＋cos x≤.
类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围
例4 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围.
(1)命题p(x)：x＋1>x；
(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；
(3)命题p(x)：sin x>cos x.
反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.21教育网
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.
跟踪训练4 若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围.www.21-cn-jy.com
1.下列命题中，不是全称命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
2.命题p：存在x∈N，x3A.p假q真 B.p真q假
C.p假q假 D.p真q真
3.已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )【版权所有：21教育】
A.a≥0 B.a<0 C.b≤0 D.b>1
4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B.存在实数x，使sin x＝
C.对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
5.特称命题“存在x0∈R，|x0|＋2≤0”是________命题.(填“真”或“假”)
1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词.
2判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假.21·cn·jy·com
3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假.21·世纪*教育网
提醒：完成作业 第一章 §3 3.1～3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.【出处：21教育名师】
(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等.
梳理 (1)所有 任意一条 全称命题
知识点二
思考 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.21教育名师原创作品
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
梳理 (1)有些 至少有一个 特称命题
题型探究
例1 解 (1)全称命题：
①对所有的自然数x,2x是偶数；
②对一切的自然数x,2x是偶数；
③对每一个自然数x,2x是偶数；
④任选一个自然数x,2x是偶数；
⑤凡自然数x，都有2x是偶数.
(2)特称命题：
①存在一个自然数x，使得2x是偶数；
②至少有一个自然数x，使得2x是偶数；
③对有些自然数x，使得2x是偶数；
④对某个自然数x，使得2x是偶数；
⑤有一个自然数x，使得2x是偶数.
跟踪训练1 特称
例2 解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.
跟踪训练2 解 (1)全称命题. (2)特称命题. (3)特称命题. (4)特称命题.
例3 解 (1)真命题.
(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数.
(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示.
(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.
(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立.
(6)真命题，x＝2或1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立.
跟踪训练3 解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x是奇函数，其图像过原点，故该命题是真命题.2·1·c·n·j·y
(2)该命题是特称命题.
∵2x2＋x＋1＝2(x＋)2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称命题.
∵sin x＋cos x＝sin(x＋)≤恒成立，
∴对任意实数x，sin x＋cos x≤都成立，故该命题是真命题.
例4 解 (1)∵x＋1>x，
∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R.
(2)∵x2－5x＋6>0，
∴(x－2)(x－3)>0，
∴x>3或x<2.
(3)∵sin x>cos x，
∴2kπ＋跟踪训练4 解 由方程x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4，即－2由方程x2＋2ax＋2＝0无实根，
可知a2－2<0，即a2<2，即－由方程x2－ax＋4＝0无实根，
可知a2－16<0，即a2<16，即－4∴当a2<2，即－∴当a≤－或a≥时，三个方程中至少有一个方程有实根.
故a的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞).
当堂训练
1.D 2.A 3.B 4.A 5.假
3.3 全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.理解全称命题与特称命题的否定的意义.2.会对全称命题与特称命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.2-1-c-n-j-y
知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法.
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)任意x∈R，x2－2x＋1≥0.
梳理 写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定.
全称命题的否定是______命题.
知识点二 特称命题的否定
思考 尝试写出下面特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x∈R，x2＋1<0.
梳理 写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定.
特称命题的否定是______命题.
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：存在x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
类型三 特称命题、全称命题的综合应用
例3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围.
反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.21世纪教育网版权所有
跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.
1.已知a>0且a≠1，命题“存在x>1，logax>0”的否定是( )
A.存在x≤1，logax>0 B.存在x>1，logax≤0
C.任意x≤1，logax>0 D.任意x>1，logax≤0
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：任意x∈A,2x∈B，则命题p的否定是( )21cnjy.com
A.任意x∈A,2x?B B.任意x?A,2x?B
C.存在x?A,2x∈B D.存在x∈A,2x?B
3.命题“对任意一个实数x，都有>0”的否定是____________________.
4.由命题“存在x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.21·cn·jy·com
5.已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”.若命题p的否定与q均为真命题，求实数m的取值范围.
1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”.
2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.www.21-cn-jy.com
3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：【来源：21·世纪·教育·网】
原词语
否定词语
原词语
否定词语
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有(n－1)个
小于
不小于
至多有n个
至少有(n＋1)个
任意的
某个
能
不能
所有的
某些
等于
不等于
提醒：完成作业 第一章 §3 3.3
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)存在x∈R，x2－2x＋1<0.
梳理 (2)特称
知识点二
思考 (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：21教育网
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)任意x∈R，x2＋1≥0.
梳理 (2)全称
题型探究
例1 解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
跟踪训练1 解 (1)其否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)其否定：有些自然数的平方不是正数.
(3)其否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4)其否定：存在实数x，使得x2＋1<0.
例2 解 (1)其否定：任意x>1，x2－2x－3≠0(假).
(2)其否定：所有的素数都不是奇数(假).
(3) 其否定：所有的平行四边形都是矩形(假).
跟踪训练2 解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.为假命题.21·世纪*教育网
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.www-2-1-cnjy-com
(3)命题的否定是“任意x，y∈Z，x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.21*cnjy*com
例3 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
跟踪训练3 (1)证明 当a＝－3时，
f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立，
∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
∴即
解得a≤－，
即实数a的取值范围是(－∞，－].
当堂训练
1.D 2.D
3.存在一个实数x，使得2x＋4≤0 4.1
5.解 由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以命题p的否定为“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，所以－34.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.21·世纪*教育网
知识点一 “且”
思考 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.21*cnjy*com
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“______”.当p，q都是真命题时，p且q是______命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是______命题.21世纪教育网版权所有
我们将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下：
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题“p且q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.
(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.
(3)
我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p且q的真与假.
知识点二 “或”
思考 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.21教育网
梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“______”.21·cn·jy·com
(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p或q是______命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是______命题.【来源：21cnj*y.co*m】
我们将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下：
p
q
p或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.
(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x?B，也可以是x?A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.【出处：21教育名师】
(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p或q的真与假.
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题.
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.21cnjy.com
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题.
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
反思与感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.
(1)0≤2；
(2)30是5的倍数，也是6的倍数.
类型二 “p且q”和“p或q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p或q”“p且q”的真假.
(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交.
反思与感悟 形如p或q，p且q，命题的真假根据真值表判定.如：
p
q
p且q
p或q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.
(1)p：是无理数，q：π不是无理数；
(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根.
类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例4 设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：关于x的不等式3x－9x(1)如果p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.
反思与感悟 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.2·1·c·n·j·y
跟踪训练4 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.
1.已知命题p、q，若p为真命题，则( )
A.p且q必为真 B.p且q必为假
C.p或q必为真 D.p或q必为假
2.命题“xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0 B.x≠0或y≠0
C.x、y至少有一个不为0 D.不都是0
3.已知p：函数y＝sin x的最小正周期为，q：函数y＝sin 2x的图像关于直线x＝π对称，则p且q是________命题.(填“真”或“假”)2-1-c-n-j-y
4.已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减少的；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增加的，若p且q为真，则实数a的取值范围是________.【版权所有：21教育】
5.已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围.
1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论.
2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假.(1)“p且q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p或q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真.21教育名师原创作品
提醒：完成作业 第一章 §4 4.1～4.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.21*cnjy*com
梳理 (1)p且q 真 假
知识点二
思考 命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p或q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q, 即两者中至少要有一个.
梳理 (1)p或q (2)真 假
题型探究
例1 解 (1)是p且q形式命题.
其中p：向量有大小，q：向量有方向.
(2)是p或q形式命题.
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.
(3)是p或q形式命题.
其中p：2>2，q：2＝2.
跟踪训练1 p且q
例2 解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
跟踪训练2 解 (1)此命题为“p或q”形式的命题，其中
p：0<2；q：0＝2.
(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中
p：30是5的倍数；
q：30是6的倍数.
例3 解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假.
(2)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真.
跟踪训练3 解 (1)∵p真q假，
∴“p或q”为真，“p且q”为假.
(2)∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真.
(3)∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假.
例4 解 (1)若命题p为真命题，
则ax2－x＋a>0对x∈R恒成立.
当a＝0时，－x>0，不合题意；
当a≠0时，可得
即∴a>2.
(2)令y＝3x－9x＝－(3x－)2＋.
由x>0，得3x>1，∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0).
若命题q为真命题，则a≥0.
由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假.
当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤2.
∴满足条件的a的取值范围是{a|0≤a≤2}.
跟踪训练4 解 对于命题p：由a2x2＋ax－2＝0，
得(ax＋2)(ax－1)＝0，
显然a≠0，∴x＝－或x＝，
∵x∈[－1,1]，
故|－|≤1或||≤1，即|a|≥1.
∴p为假时得|a|<1.
对于命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
由Δ＝4a2－8a＝0，得a＝0或a＝2.
∴q为假时得a≠0且a≠2.
又命题“p或q”为假，即p与q都为假命题，
∴a的取值范围是(－1,0)∪(0,1).
当堂训练
1.C 2.A 3.假 4.[－2，)
5.解 若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图像开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p且q为假，p或q为真，得p假q真或p真q假.
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解.
所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).
4.3 逻辑联结词“非”
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别.
知识点一 逻辑联结词“非”
思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？
(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根.
(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数.
梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题p________，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“________”.21世纪教育网版权所有
(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是____命题；若p是假命题，则綈p必是____命题.
知识点二 “p且q”与“p或q”的否定
1.对复合命题“p且q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“____”.对复合命题“p或q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“____”.
复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：
(1)确定复合命题的构成形式；
(2)判断其中各简单命题的真假；
(3)利用真值表判断复合命题的真假.
2.语句“a∈A或a∈B”的否定形式是“____________”，语句“a∈A且a∈B”的否定形式是“__________”.对有些不含“且”“或”的命题进行否定，要注意准确把握该命题的含义，然后进行否定，如“>0”的含义是“有意义且>0”，故其否定应为“无意义或≤0”，即“x＝0或<0”.21教育网
知识点三 命题的否定与否命题
思考 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？21·cn·jy·com
梳理 (1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定.
①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；
②p与“非p”的真假必须相反；
③“非p”必须包含p的所有对立面.
(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定.
类型一 綈p命题及构成形式
例1 写出下列命题的否定形式.
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
反思与感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p且q”的否定是“綈p或綈q”等.21cnjy.com
跟踪训练1 写出下列命题的否定形式.
(1)p：y ＝ sin x 是周期函数；
(2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集；
(4)p：5不是75的约数.
类型二 命题的否定的真假应用
例2 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围.
反思与感悟 由真值表可判断p或q、p且q、綈p命题的真假，反之，由p或q，p且q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p且q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为________.2·1·c·n·j·y
1.已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)或q B.p且q
C.(綈p)且(綈q) D.(綈p)或(綈q)
2.若p是真命题，q是假命题，则( )
A.p且q是真命题 B.p或q是假命题
C.綈p是真命题 D.綈q是真命题
3.“a≥5且b≥2”的否定是________.
4.给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________.【来源：21·世纪·教育·网】
①命题“p且q”为真； ②命题“p或q”为假；
③命题“p或綈q”为真； ④命题“p且綈q”为真.
5.分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题的真假.
(1)p：2>2，q：2＝2；
(2)p：?是{0}的真子集，q：0∈?；
(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根.
1.若原命题为“若A，则B”，则其否定为“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题为“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论.21·世纪*教育网
2.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”.
3.“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论.否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假.www-2-1-cnjy-com
提醒：完成作业 第一章 §4 4.3
答案精析
问题导学
知识点一
思考 两组命题中，命题q都是命题p的否定.
“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则綈p对应集合A在全集U中的补集?UA.
梳理 (1)全盘否定 p的否定
(2)假 真
知识点二
1.或 且
2.a?A且a?B a?A或a?B
知识点三
思考 命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；
命题p的否定：平行四边形的对角线不相等.
命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定.2-1-c-n-j-y
题型探究
例1 解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形.
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
跟踪训练1 解 (1) 綈p：y ＝ sin x不是周期函数.
(2) 綈p：3≥2.
(3) 綈p：空集不是集合A的子集.
(4) 綈p：5是75的约数.
例2 解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?，
解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，
等价于a＝0或
由于?
解得0所以0≤a<4.
因为“p或q”与“綈q”同时为真命题，
即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1].
跟踪训练2 {x|－1当堂训练
1.D 2.D 3.a<5或b<2
4.③④
5.解 (1)∵p：2>2，是假命题，q：2＝2，是真命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是真命题.
(2)∵p：?是{0}的真子集，是真命题，q：0∈?，是假命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是假命题.
(3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有公共点，是假命题，
q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，
∴命题p或q是真命题，p且q是假命题，綈p是真命题.
第一章 常用逻辑用语
1 怎样解逻辑用语问题
1.利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法.本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下：
(1)A是B的充分条件，即A?B.
(2)A是B的必要条件，即B?A.
(3)A是B的充要条件，即A＝B.
(4)A是B的既不充分又不必要条件，
即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素.
或
例1 设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S?T”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)【来源：21cnj*y.co*m】
解析 T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S?T；反之，若S?T，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}.所以“a＝1”是“S?T”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
2.抓住量词，对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药.【出处：21教育名师】
例2 (1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________.
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________.
解析 (1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1].
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1).
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4].
答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢.www.21-cn-jy.com
3.挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真.21*cnjy*com
例3 设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围.
分析 “q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”.设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A??RB出发解题.
解 设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2＋y2＝r2外的点的集合.
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等
于r，∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，∴r的取值范围为(0，].
点评 若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法.
2 辨析命题的否定与否命题
否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别.
1.否命题与命题的否定的概念
设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定.所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论.“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.
例1 写出下列命题的否命题及否定：
(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；
(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加.
分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题.
解 (1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”.
写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”.21·cn·jy·com
写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”.
(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”.
否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；
命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”.
点评 如果所给命题是“若A，则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题.如果不是“若A，则B”的形式，则需要先将其改写成“若A，则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题.
2.否命题与命题的否定的真假
从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假.但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真.这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准.
例2 写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析 依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假.
解 (1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”.
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”.
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假.
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”.
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”.
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.
3 判断条件四策略
1.应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.判断时的关键是分清条件与结论.
例1 设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，
所以pD/?q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件.
答案 必要不充分
2.利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 依题意，有A?B?C?D且A?B?C?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件.www-2-1-cnjy-com
答案 必要不充分
3.利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法.若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件.21*cnjy*com
例3 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________.
解析 设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p?q，但q?p，故P?Q，
所以或解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞).
答案 [9，＋∞)
4.等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p?q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q?綈p，从而得到p?q.
例4 已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析 因为p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，
所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1.
因为綈p?綈q，但綈q?綈p，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件.
答案 充分不必要
4 例析逻辑用语中的常见误区
误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假.
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?(A∪B).
错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题.
剖析 (1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题.21·世纪*教育网
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题.
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?(A∪B)＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题.
(4)A为A∪B的子集，故A?(A∪B)成立，故(4)为真命题.
正解 (2)(4)是命题，且都为真命题.
误区2 原命题为真，其否命题必为假
例2 判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.
错解 (1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题.
剖析 否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断.【来源：21·世纪·教育·网】
正解 (1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题.
误区3 搞不清谁是谁的条件
例3 使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x>3 B.x>4
C.x>2 D.x∈{1,2,3}
错解 由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，又x>2?x>3，因此选C.
剖析 若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，p?q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.21cnjy.com
正解 B
误区4 考虑问题不周
例4 如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
错解 判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.2·1·c·n·j·y
剖析 判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断.对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件.【版权所有：21教育】
正解 B
误区5 用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5 (1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”.21教育名师原创作品
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”.
错解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.
剖析 (1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件.
正解 (1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.
误区6 不能正确否定结论
例6 p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”.
错解 綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根.
剖析 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”.
正解 綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根.
误区7 对含有一个量词的命题否定不完全
例7 已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一 綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析 该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定.
正解 綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区8 忽略了隐含的量词
例8 写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图像关于y轴对称.
错解 (1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图像不关于y轴对称.
剖析 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题.对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意.
正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称.
5 解“逻辑”问题的三意识
1.转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明.21世纪教育网版权所有
例1 证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析 本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.
证明 命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”.由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题.故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.21教育网
例2 命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围.2-1-c-n-j-y
分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题.
解 设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}
＝{x|3aB＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}.
因为q是p的必要不充分条件，
所以p?q，qD?/p，由A?B得
或即a≤－4或－≤a<0.
所以实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－，0).
2.简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断.
例3 已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x在R上是减少的.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.
分析 先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围.
解析 函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假.若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).
答案 (1,2)
点评 若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围.
3.反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法.
例4 设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________.
①AB?对任意x∈A，都有x?B；
②AB?A∩B＝?；
③AB?BA；
④AB?存在x∈A，使得x?B.
分析 画出表示AB的Venn图进行判断.
解析 画出Venn图，如图1所示，则AB ?存在x∈A，使得x?B，故①②是假命题，④是真命题.
A?B?BA不成立的反例如图2所示.同理可得B?A?AB不成立.故③是假命题.
综上知，真命题的序号是④.
答案 ④
第一章 常用逻辑用语
学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.【来源：21·世纪·教育·网】
知识点一 命题及其关系
1.判断一个语句是否为命题，关键是：
(1)为__________；
(2)能__________.
2.互为逆否关系的两个命题的真假性________.
3.四种命题之间的关系如图所示.
知识点二 充分条件、必要条件和充要条件
1.定义
“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：p?q，读作“p推出q”.此时我们称p是q的充分条件，同时我们称q是p的必要条件.
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.21·cn·jy·com
2.特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的______条件；
(2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的______条件.即若p?q，q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.21·世纪*教育网
知识点三 简单的逻辑联结词与量词
1.常见的逻辑联结词有“____”“____”“____”.
2.短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词.
3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词.
4.含有全称量词的命题叫作______命题，含有存在量词的命题叫作______命题.
类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究
命题角度1 充分条件与必要条件的再探究
例1 设甲、乙、丙三个命题，若①甲是乙的充要条件；②丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则( )21*cnjy*com
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
反思与感悟 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.
如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果.
则p?q易表述为以下几种说法：
p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；
q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.
跟踪训练1 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )
A.a2>b2>0 B.a>b>0
C.ln a>ln b>0 D.xa>xb且x>0.5
命题角度2 充要条件的再探究
例2 设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1,2,3…)，证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…).
反思与感悟 利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿漏掉其中一个方面.
跟踪训练2 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.{an}是等比数列
B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
类型二 等价转化思想的应用
例3 已知c>0，设p：函数y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围.【出处：21教育名师】
反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.【版权所有：21教育】
跟踪训练3 已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围.
类型三 分类讨论思想的应用
例4 已知关于x的方程(m∈Z)：
mx2－4x＋4＝0， ①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0， ②
求方程①和②的根都是整数的充要条件.
反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的思想方法之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想.21cnjy.com
跟踪训练4 已知p：≥2；q：x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围.
1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
2.已知命题p：任意x∈R，x3＜x4；命题q：存在x∈R，sin x－cos x＝－，则下列命题中为真命题的是( )2·1·c·n·j·y
A.p且q B.(綈p)且q
C.p且(綈q) D.(綈p)且(綈q)
3.已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是________.(填序号)www.21-cn-jy.com
4.对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
5.(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？
(2)若p：|3x－4|>2，q：>0，则綈p是綈q的什么条件？
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.www-2-1-cnjy-com
2.判断命题真假的步骤
??
3.命题p且q，p或q，綈p的真假判断，如下表：
p
q
綈p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
4.全称命题与特称命题的否定
命题
命题的否定
任意x∈M，p(x)
存在x∈M，綈p(x)
存在x∈M，p(x)
任意x∈M，綈p(x)
注意：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
(2)命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论.21世纪教育网版权所有
提醒：完成作业 第一章 章末复习课
答案精析
知识梳理
知识点一
1.(1)陈述句 (2)判断真假
2.相同
知识点二
2.(1)必要 (2)充分
知识点三
1.且 或 非
4.全称 特称
题型探究
例1 A
跟踪训练1 C
例2 证明 必要性：设{an}是公差为d1的等差数列，
则bn＋1－bn＝(an＋1－an＋3)－(an－an＋2)＝(an＋1－an)－(an＋3－an＋2)＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…)成立.21教育网
又cn＋1－cn＝(an＋1－an)＋2(an＋2－an＋1)＋3(an＋3－an＋2)＝d1＋2d1＋3d1＝6d1(常数)(n＝1,2,3，…)，2-1-c-n-j-y
∴数列{cn}为等差数列.
充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…).
∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2， ①
∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4. ②
①－②得cn－cn＋2＝(an－an＋2)＋2(an＋1－an＋3)＋3(an＋2－an＋4)＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2.
∵cn－cn＋2＝(cn－cn＋1)＋(cn＋1－cn＋2)＝－2d2，
∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2， ③
同理有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2. ④
④－③得
(bn＋1－bn)＋2(bn＋2－bn＋1)＋3(bn＋3－bn＋2)＝0. ⑤
∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0，bn＋3－bn＋2≥0，
∴由⑤得bn＋1－bn＝0(n＝1,2,3，…).
由此不妨设bn＝d3(n＝1,2,3，…)，则an－an＋2＝d3(常数).
由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2＝4an＋2an＋1－3d3，
从而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－3d3＝4an＋1＋2an－5d3.
两式相减得cn＋1－cn＝2(an＋1－an)－2d3，
因此an＋1－an＝(cn＋1－cn)＋d3
＝d2＋d3(常数)(n＝1,2,3，…)，
∴数列{an}是等差数列.
跟踪训练2 D
例3 解 函数y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的?0不等式x＋|x－2c|>1的解集为R
?函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
∵x＋|x－2c|＝
∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，
∴2c>1，得c>.
如果p真q假，则
解得0如果q真p假，则解得c≥1.
∴c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞).
跟踪训练3 解 (1)由命题p：(x＋1)·(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.
命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
∵p是q的充分条件，
∴[－1,5]?[1－m,1＋m)，
∴解得m>4，
∴实数m的取值范围为(4，＋∞).
(2)∵m＝5，∴命题q：－4≤x<6.
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴命题p，q为一真一假.
当p真q假时，可得
解得x∈?.
当q真p假时，可得
解得－4≤x<－1或5故实数x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6).
例4 解 当m＝0时，方程①的根为x＝1，
方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.
当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1；
方程②有实数根的充要条件是
Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0?m≥－.
∴－≤m≤1.又∵m∈Z，
∴m＝－1或m＝1.
当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；
当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，
方程②为x2－4x－5＝0.
此时①和②均有整数根.
综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.
跟踪训练4 解 ∵p：≥2，
∴≤0，即1≤x<3.
又∵q：x2－ax≤x－a，
∴x2－(a＋1)x＋a≤0.
①当a<1时，a≤x≤1；
②当a＝1时，x＝1；
③当a>1时，1≤x≤a.
设q对应的集合为A，p对应的集合为B，
∵綈p是綈q的充分条件.∴?RB??RA，即A?B.
当a<1时，A?B，不合题意；
当a＝1时，A?B，符合题意；
当a>1时，1≤x≤a，要使A?B，
则1综上，实数a的取值范围为[1,3).
当堂训练
1.B 2.B 3.②③ 4.(－∞，0]
5.解 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线互相垂直，∴p?q.
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴q?p.
∴p是q的充分不必要条件.
(2)解不等式|3x－4|>2，
得p：{x|x>2或x<}，
∴綈p：{x|≤x≤2}.
解不等式>0，
得q：{x|x<－1或x>2}.
∴綈q：{x|－1≤x≤2}.
∴綈p是綈q的充分不必要条件.
1.1 椭圆及其标准方程(一)
学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.21cnjy.com
知识点一 椭圆的定义
思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
思考2 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？【来源：21·世纪·教育·网】
梳理 (1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于______(大于|F1F2|)的点的集合叫作______.这两个定点叫作椭圆的______，两焦点间的距离叫作椭圆的______.
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}.
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二 椭圆的标准方程
思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
思考2 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？
梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式
形式一：＋＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在______上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2.21·世纪*教育网
形式二：＋＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2.www-2-1-cnjy-com
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.2-1-c-n-j-y
类型一 椭圆的定义解读
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.【版权所有：21教育】
引申探究
若将本例中圆C的方程改为x2＋y2－6x－27＝0呢？
反思与感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
类型二 求椭圆的标准方程
命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程
例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程.
引申探究
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程.
反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).21教育网
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ).
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；21*cnjy*com
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).
命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程
例3 已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.【出处：21教育名师】
反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.21教育名师原创作品
跟踪训练3 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
类型三 椭圆中焦点三角形问题
例4 (1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积；21*cnjy*com
(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小.
反思与感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
跟踪训练4 (1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐标为(x0，y0)，求证：△PF1F2的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan.
(2)已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图).求△PF1F2的面积.
1.已知A(－5,0)，B(5,0).动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点
2.若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为( )
A.1 B.3 C.0 D.－2
3.已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上一点，则|PM|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________.21世纪教育网版权所有
4.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________.
5.求经过两点(2，－)，(－1，)的椭圆的标准方程.
1.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算.www.21-cn-jy.com
2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.
3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.【来源：21cnj*y.co*m】
提醒：完成作业 第三章 §1 1.1(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.
思考2 笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.
梳理 (1)常数 椭圆 焦点 焦距
知识点二
思考1 不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.
思考2 以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0).设P(x，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10, 所以＋＝10，即点P的轨迹方程为＋＝1.
梳理 (1)x轴
题型探究
例1 解 方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.
引申探究
解 设M(x，y)，据题意，圆C：(x－3)2＋y2＝36，
圆心C(3,0)，半径r＝6.
据题意，有|MC|＋|MP|＝r＝6＝|CP|.
故动点M的轨迹是线段CP.
跟踪训练1 ②
例2 解 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
依题意有
解得
由a>b>0知不合题意，故舍去.
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0).
依题意有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
引申探究
解 据题意可设其方程为＋＝1(λ>－9)，
又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得
λ＝11(λ＝－21舍去)，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
跟踪训练2 解 (1)设其标准方程为
＋＝1(a>b>0).
据题意2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
例3 解 据题意C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，
设M(x，y)，半径为R，
则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，
故|MC1|＋|MC2|＝10，
据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.2·1·c·n·j·y
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
跟踪训练3 解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2.即a＝.
由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴.
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2
＝，
∴c2＝，
∴b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
例4 解 (1)由椭圆的标准方程，
知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|
＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2
＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，21·cn·jy·com
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－).
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2
＝×16(2－)×＝8－4.
(2)由＋＝1，知a＝3，b＝，
∴c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2
＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
跟踪训练4 (1)证明 ＝|F1F2||y0|＝c|y0|.
在△PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a.
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2. ①
根据余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos α＝4c2. ②
①－②，得(1＋cos α)|PF1||PF2|＝2b2，
所以|PF1||PF2|＝.
根据三角形的面积公式，得S△PF1F2＝
|PF1||PF2|sin α＝··sin α＝b2·.
又因为＝
＝＝tan，
所以S△PF1F2＝b2tan.
(2)解 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1.
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.
解得|PF1|＝.
所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|
＝××2＝，
即△PF1F2的面积是.
当堂训练
1.C 2.A 3.10＋ 10－
4.(0，－)，(0，)
5.解 方法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
同理得a2＝4，b2＝8，此时a2综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1.1 椭圆及其标准方程(二)
学习目标 加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.
知识点 椭圆标准方程的认识与推导
思考1 椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？
思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.
梳理 (1)椭圆的标准方程的形式
焦点位置
形状、大小
焦点坐标
标准方程
焦点在x轴上
形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2c
F1(－c,0)，F2(c,0)
＋＝1(a>b>0)
焦点在y轴上
F1(0，－c)，F2(0，c)
＋＝1(a>b>0)
(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是____________.
(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为____________.
类型一 椭圆标准方程的确定
例1 求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置.21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)；
(2)焦点在y轴上，且经过两点(0,2)和(1,0).
类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹. 21教育网
引申探究
若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”，改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么？ 2·1·c·n·j·y
反思与感悟 如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为【来源：21·世纪·教育·网】
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1).
(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.
跟踪训练2 如图所示，B点坐标为(2,0)，P是以O为圆心的单位圆上的动点，∠POB的平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程. 21·世纪*教育网
1.若方程＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(，＋∞)
C.[1，＋∞) D.(－∞，1)
2.设B(－4,0)，C(4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为____________.www-2-1-cnjy-com
4.在椭圆＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________.
5.△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程.
1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
不同点
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
相同点
定义
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
a、b、c的关系
a2＝b2＋c2
2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式＋＝1类比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小).21cnjy.com
要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.
提醒：完成作业 第三章 §1 1.1(二)
答案精析
问题导学
知识点
思考1 标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上.
标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.
思考2 把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上.
思考3 (1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy. 21·cn·jy·com
(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).
(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为＋＝2a. ①
(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0). ②
(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫作椭圆的标准方程.
梳理 (2)A>0，B>0且A≠B
(3)a2＝b2＋c2
题型探究
例1 解 方法一 (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有
解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆的定义知：
2a＝ ＋ ＝2，
即a＝.
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求的椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴∴
∴所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
例2 解 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则x＝x0，y＝.因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4. ①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，
得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆.
引申探究
解 设M(x，y)，P(x0，y0)，
则x＋y＝4， (*)
代入(*)式得＋x2＝1.
故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.
跟踪训练2 解 由三角形角平分线性质得＝＝2.
∴＝2.
设Q(x，y)，P(x0，y0)，
则(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，
∴∴
又∵点P在单位圆x2＋y2＝1上.
∴()2＋(y)2＝1.
∴点Q的轨迹方程为＋y2＝1.
当堂训练
1.A 2.A 3.＋＝1 4.4
5.解 以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)，www.21-cn-jy.com
则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
1.2 椭圆的简单性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.21cnjy.com
知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标
思考1 观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？2-1-c-n-j-y
思考2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
梳理 椭圆的简单性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
____________(a>b>0)
____________(a>b>0)
图形
焦点坐标
对称性
关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤____，|y|≤____
|x|≤____，|y|≤____
长轴、短轴
长轴A1A2长为______，短轴B1B2长为______
知识点二 椭圆的离心率
思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？
梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝____________称为椭圆的离心率.
(2)对于＋＝1，b越小，对应的椭圆越____，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)21教育网
类型一 由椭圆方程研究其简单性质
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
引申探究
本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.
跟踪训练1 求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
类型二 椭圆的性质的简单应用
命题角度1 依据椭圆的性质求标准方程
例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程.
反思与感悟 此类问题应由所给的性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.21·cn·jy·com
跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
命题角度2 对称性问题
例3 讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.
反思与感悟 研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“－y”代替方程中的“y”，用“－x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.
跟踪训练3 曲线x2－2y＋1＝0的对称轴为( )
A.x轴 B.y轴
C.直线y＝x D.无法确定
类型三 椭圆的离心率的求解
例4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围.21世纪教育网版权所有
反思与感悟 求e的取值范围有以下几个步骤
(1)切入点：已知|k|≤，求e的取值范围，需建立关于e的不等式.
(2)思考点：①e与k有什么关系？②建立e与k的等量关系式；③利用B在椭圆上且为CF1的中点，构建关于e与k的等式；④如何求e的范围？先用e表示k，再利用|k|≤，求e的取值范围.【来源：21·世纪·教育·网】
(3)解题流程：先写出l的方程，求出B点的坐标，由点B在椭圆上，建立e与k的关系式，再求e的范围.
跟踪训练4 已知点P(m,4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为________.21·世纪*教育网
1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________________________________________________________________________.
4.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________.
5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________________________________________________________________________.
1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.www-2-1-cnjy-com
2.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.21*cnjy*com
3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.
4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
提醒：完成作业 第三章 §1 1.2(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
思考2 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).2·1·c·n·j·y
梳理 ＋＝1 ＋＝1
(±c,0) (0，±c) a b b a 2a 2b
知识点二
思考 用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.
梳理 (1) (2)扁
题型探究
例1 解 已知方程化成标准方程为
＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝ ＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3).
引申探究
解 由已知得椭圆标准方程为＋＝1，
于是a＝，b＝，c＝
＝.
∴长轴长2a＝，短轴长2b＝，
离心率e＝＝.
焦点坐标(－，0)和(，0)，
顶点坐标(±，0)，(0，±).
跟踪训练1 解 椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，长轴长2a＝18; 短轴长2b＝6；【来源：21cnj*y.co*m】
焦点坐标(0,6)，(0，－6)；
顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0).
离心率e＝＝.
例2 解 依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c，|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
跟踪训练2 解 (1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
依题意有
解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，
∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
例3 解 用“－y”代替方程x3y＋x2y2＋xy3＝1中的“y”，得－x3y＋x2y2－xy3＝1，它改变了原方程，因此方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线不关于x轴对称.
同理，方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线也不关于y轴对称.
而用“－x”代替原方程中的“x”，用“－y”代替原方程中的“y”，得(－x)3(－y)＋(－x)2(－y)2＋(－x)(－y)3＝1，即x3y＋x2y2＋xy3＝1，故方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于原点对称.www.21-cn-jy.com
跟踪训练3 B
例4 解 依题意得F1(－c,0)，
直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc).
因为点B为CF1的中点，
所以B(－，).
因为点B在椭圆上，
所以＋＝1，
即＋＝1.
所以＋＝1，
所以k2＝.
由|k|≤，得k2≤，
即≤，
所以2e4－17e2＋8≤0.
解得≤e2≤8.因为0所以≤e2<1，即≤e<1.
跟踪训练4
当堂训练
1.B 2.B
3.＋＝1
4.[4－2，4＋2]
5.(0，±)
1.2 椭圆的简单性质(二)
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.
知识点一 点与椭圆的位置关系
思考1 判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系.
思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？21教育网
梳理 设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二 直线与椭圆的位置关系
思考1 直线与椭圆有几种位置关系？
思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？
梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆______；若Δ＝0，则直线和椭圆______；若Δ<0，则直线和椭圆______.
(2)根与系数的关系及弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作______.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.21cnjy.com
(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.
例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.【来源：21·世纪·教育·网】
类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断
命题角度1 点与椭圆位置关系的判断
例1 已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为____________.
引申探究
若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？
反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.2-1-c-n-j-y
跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则( )
A.点(－3，－2)不在椭圆上 B.点(3，－2)不在椭圆上
C.点(－3,2)在椭圆上 D.以上都不正确
命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断
例2 (1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.www.21-cn-jy.com
反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点.
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点.
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点.
跟踪训练2 (1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )21世纪教育网版权所有
A.1 B.1或2 C.2 D.0
(2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B.－
C.± D.±
类型二 弦长及中点问题
例3 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.
引申探究
在本例中求弦AB的长.
反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.
跟踪训练3 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
反思与感悟 求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.21·世纪*教育网
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
跟踪训练4 已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值.21*cnjy*com
1.若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A.－
C.－22.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
3.已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________.【来源：21cnj*y.co*m】
4.若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________.
5.直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程.
1.直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝＝【出处：21教育名师】
＝·
＝
＝ ·(k为直线斜率).
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.
2.解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.www-2-1-cnjy-com
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.【版权所有：21教育】
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，
则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，
则
两式作差即得所求直线方程.
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.
提醒：完成作业 第三章 §1 1.2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外.
思考2 当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
知识点二
思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.
思考2 联立消去y得关于x的一元二次方程
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
梳理 (1)相交 相切 相离 (2)弦长
题型探究
例1 (－∞，－)∪(，＋∞)
引申探究
(－∞，－)∪(，＋∞)
跟踪训练1 C
例2 (1)A
(2)解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，2·1·c·n·j·y
解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
跟踪训练2 (1)C (2)C
例3 解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为
A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y).
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.21·cn·jy·com
引申探究
解 由上例得直线AB方程为x＋2y－4＝0.
联立方程组消去y并整理，得x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4，
得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，
故|AB|＝＝2.
跟踪训练3 解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一 设l的斜率为k，则其方程为
y－2＝k(x－4).
联立消去y得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
例4 解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
跟踪训练4 解 由||＝1，A(3,0)，
知点M在以A(3,0)为圆心，
1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则||＝
＝ ，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，
||min＝.
当堂训练
1.A 2.C 3.2
4.(－2,2)
5.解 设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，得
(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得
(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)(－)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
2.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题.
知识点一 抛物线的定义
思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
思考2 平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？
思考3 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？
梳理 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离______的点的集合叫作抛物线.点F叫作抛物线的______，直线l叫作抛物线的______.21·cn·jy·com
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).www.21-cn-jy.com
知识点二 抛物线的标准方程
思考 抛物线的标准方程有何特点？
梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：
y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).www-2-1-cnjy-com
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
(－，0)
x＝
x2＝2py(p>0)
(0，)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
(0，－)
y＝
类型一 抛物线的定义及理解
例1 (1)动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.以上都不对
(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)21教育网
反思与感悟 抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.
跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
类型二 抛物线标准方程及求解
命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
例2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1)y2＝40x；(2)4x2＝y；(3)3y2＝5x；(4)6y2＋11x＝0.
反思与感悟 根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.
跟踪训练2 若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________.
命题角度2 求解抛物线的标准方程
例3 根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)已知抛物线的准线方程是x＝－；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
反思与感悟 抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.21cnjy.com
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.2·1·c·n·j·y
跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.
类型三 抛物线在实际生活中的应用
例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？21·世纪*教育网
反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练4 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？
1.抛物线y＝x2的准线方程是( )
A.y＝－1 B.y＝－2
C.x＝－1 D.x＝－2
2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )2-1-c-n-j-y
A.4 B.－2
C.4或－4 D.12或－2
3.若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
4.过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________.
5.已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2,3)，则|MN|＋|MF|的最小值为________.21*cnjy*com
1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F(，0)，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y＝－.【来源：21cnj*y.co*m】
2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.【出处：21教育名师】
3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.
提醒：完成作业 第三章 §2 2.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 连接两定点所得线段的垂直平分线.
思考2 一条直线.
思考3 抛物线.
梳理 (1)相等 焦点 准线
知识点二
思考 (1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.【版权所有：21教育】
题型探究
例1 (1)C (2)抛物线
跟踪训练1 解 方法一 设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1，
两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝
方法二 由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，
由于点F(1,0)到y轴的距离为1，
故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，
故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为
y2＝
例2 解 (1)焦点坐标为(10,0)，准线方程为x＝－10.
(2)由4x2＝y得x2＝y.∵2p＝，
∴p＝.
∴焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.
(3)由3y2＝5x，得y2＝x.
∵2p＝，∴p＝.
∴焦点坐标为(，0)，
准线方程为x＝－.
(4)由6y2＋11x＝0，得y2＝－x，故焦点坐标为(－，0)，准线方程为y＝.
跟踪训练2 2 x＝－1
例3 解 (1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0).
其准线方程为x＝－，由题意有－＝－，故p＝3.
因此标准方程为y2＝6x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝.【来源：21·世纪·教育·网】
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
跟踪训练3 解 设抛物线方程为
y2＝－2px(p>0)，
则焦点F，
由题意，得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，
m＝±2.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
例4 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，
得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
跟踪训练4 解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，21世纪教育网版权所有
所以16＝－5y0，即y0＝－，
所以OA的长为5－＝1.8(m).
所以管柱OA的长为1.8 m.
当堂训练
1.A 2.C 3.2 4.x2＝y 5.
2.2 抛物线的简单性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.21cnjy.com
知识点一 抛物线的范围
思考 观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物线与椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
梳理 抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈______________，y∈____________.
抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.
抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.
抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.
知识点二 四种形式的抛物线的简单性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F(，0)
F(－，0)
F(0，)
F(0，－)
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
知识点三 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.21·cn·jy·com
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有____个公共点；若Δ<0，直线与抛物线______公共点.2·1·c·n·j·y
当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有____个公共点.
类型一 依据抛物线的简单性质求标准方程
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.【来源：21·世纪·教育·网】
引申探究
将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.
反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程.2-1-c-n-j-y
类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题
例2 (1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.
(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________.【出处：21教育名师】
(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________.21·世纪*教育网
反思与感悟 (1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫作抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：【版权所有：21教育】
①抛物线y2＝2px(p>0)，|PF|＝|x0＋|＝＋x0；
②抛物线y2＝－2px(p>0)，|PF|＝|x0－|＝－x0；
③抛物线x2＝2py(p>0)，|PF|＝|y0＋|＝＋y0；④抛物线x2＝－2py(p>0)，|PF|＝|y0－|＝－y0.21教育名师原创作品
(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：21*cnjy*com
①y1·y2＝－p2，x1·x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
③S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；
④＋＝；
⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
类型三 抛物线综合问题
命题角度1 与抛物线有关的最值问题
例3 抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，求的最小值.21世纪教育网版权所有
反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.21*cnjy*com
(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.
跟踪训练3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.2 B.3 C. D.
命题角度2 定值或定点问题
例4 抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.
(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；
(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.
反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等.
跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点，·＝－4，求证：直线l必过一定点.
1.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A.－ B.－1 C.－ D.－
2.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B.3 C. D.
3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.www-2-1-cnjy-com
4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
5.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________.
1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
提醒：完成作业 第三章 §2 2.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)抛物线与椭圆相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.
(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
[0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0]
知识点三
两 一 没有 平行或重合 1
题型探究
例1 解 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3,
∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.
引申探究
解 由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F(，0)，直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为(，m)，(，－m)，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以·||·2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
跟踪训练1 解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，
得()2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
例2 (1)16 (2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0 (3)
跟踪训练2 解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，
所以直线l的方程为y＝.
联立消去y得
x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，21教育网
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
例3 解 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，
连接PA，
在Rt△PAN中，
sin∠PAN
＝，
当＝最小时，
sin∠PAN最小，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
此时，PA为抛物线的切线，
设PA的方程为y＝k(x＋1)，
联立
得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，
所以∠PAF＝∠NPA＝45°，
＝＝cos∠NPA＝.
跟踪训练3 A
例4 (1)证明 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋，x0为已知值.
由题意得x0＝，
∴线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，
其中t＝≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|?p＝0).
而kAB＝＝
＝＝，
故线段AB的垂直平分线的方程为y－t＝－(x－x0)，
即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p,0).
(2)解 由(1)知|MF|＝4，|OQ|＝6，得x0＋＝4，x0＋p＝6，联立解得p＝4，x0＝2.∴抛物线方程为y2＝8x.www.21-cn-jy.com
跟踪训练4 证明 设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
又∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又∵·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2,0).
当堂训练
1.C 2.A 3.8 4.2 5.8
3.1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.21世纪教育网版权所有
知识点一 双曲线的定义
思考 如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？21cnjy.com
梳理 (1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的______等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.__________叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的______.
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的______(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.【来源：21·世纪·教育·网】
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的______.
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是__________________.
知识点二 双曲线的标准方程
思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？
思考2 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
梳理 (1)两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
图形
焦点坐标
a，b，c的关系式
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在______上；若y2项的系数为正，那么焦点在______上.
(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝____________与椭圆中的b2＝________相区别.21·世纪*教育网
类型一 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题
例1 已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.www-2-1-cnjy-com
引申探究
本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.
(2)方法二：
利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系.21*cnjy*com
跟踪训练1 如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积.
命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程
例2 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4
C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
反思与感悟 双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线.【出处：21教育名师】
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为
①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系；
②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0).
③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.
④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.
跟踪训练2 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|－|PF2|＝的点P的轨迹为双曲线；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；
④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.
类型二 待定系数法求双曲线的标准方程
例3 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程.
反思与感悟 待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程.
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(3，)，Q(－，5)；
(3)与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，).
类型三 双曲线定义的综合运用
例4 已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有交点P，且有公共的焦点，且∠F1PF2＝2α，求证：tan α＝.
反思与感悟 (1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.21*cnjy*com
(2)双曲线与椭圆的比较如下表：
曲线
椭圆
双曲线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(|F1F2|＝2c,2a>2c)
|PF1|－|PF2|＝±2a(|F1F2|＝2c,2a<2c)
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
图形特征
封闭的连续曲线
分两支，不封闭，不连续
根据标准方程确定a，b的方法
以大小分a，b(如＋＝1中，9>4，则a2＝9，b2＝4)
以正负分a，b(如－＝1中，4>0，－9<0，则a2＝4，b2＝9)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2(a最大)
c2＝a2＋b2(c最大)
利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题.21教育名师原创作品
跟踪训练4 (1)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程.
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C：－＝1写出具有类似特殊的性质，并加以证明.
1.若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.11 B.9 C.5 D.3
2.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )2-1-c-n-j-y
A.4 B.8 C.24 D.48
3.已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为______________.21教育网
4.已知双曲线2x2－y2＝k(k≠0)的焦距为6，则k的值为________________.
5.已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________.
1.双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上.
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线.
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
2.求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.【版权所有：21教育】
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.www.21-cn-jy.com
提醒：完成作业 第三章 §3 3.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考 曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.
梳理 (1)绝对值 这两个定点 焦距 (2)两条射线 (3)一支 (4)线段F1F2的中垂线
知识点二
思考1 (1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得 －＝±2a. ①
(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).
令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). ②
(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程.(此步骤可省略)
思考2 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定.
梳理 (1)－＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2＝c221·cn·jy·com
(2)x轴 y轴 (4)c2－a2 a2－c2
题型探究
例1 解 由－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究
解 由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100， ②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以＝|PF1|·|PF2|＝16.
跟踪训练1 解 在△MF1F2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ. ①
∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2
＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|
＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|·(1－cos θ)，
∴|MF1|·|MF2|＝，
∴S△MF1F2＝|MF1|·|MF2|·sin θ
＝
＝＝.
例2 (1)A (2)x2－＝1(x≤－1)
跟踪训练2 ②④
例3 解 (1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)方法一 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意易求得c＝2.
又双曲线过点(3，2)，
∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，
∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线方程为－＝1.
方法二 设双曲线方程为－＝1(－4将点(3，2)代入得k＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1.
跟踪训练3 解 (1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍).
∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P(3，)，Q(－，5)均在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为(2，0)，(－2，0).依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝20.
又∵双曲线过点(3，)，
∴－＝1.
∴a2＝20－2，b2＝2.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
例4 证明 如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，对于双曲线有|r2－r1|＝2m，2·1·c·n·j·y
∴cos 2α＝
＝
＝＝＋1，
∴1－cos 2α＝.∴sin α＝.
则在△PF1F2中，对于椭圆有r1＋r2＝2a，
cos 2α＝
＝
＝＝－1，
∴1＋cos 2α＝，∴cos α＝ ，
∴tan α＝.
跟踪训练4 (1)解 椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的标准方程为－＝1.
由题意，知
解得
故双曲线的方程为－＝1.
(2)解 类似的性质如下：
若M，N为双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
其证明过程如下：
设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，
其中－＝1，即n2＝(m2－a2).
∴kPM＝，kPN＝.
又－＝1，即y2＝(x2－a2)，
∴y2－n2＝(x2－m2).
∴kPM·kPN＝＝.
故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
当堂训练
1.B 2.C
3.－＝1 4.－6或6 5.
3.2 双曲线的简单性质
学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.21教育名师原创作品
知识点一 双曲线的范围、对称性
思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？2·1·c·n·j·y
(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？
梳理 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈______________，y∈______.双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈____________，y∈________________.
(2)双曲线的对称轴为__________，对称中心为______.
知识点二 双曲线的顶点
思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？
梳理 双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为________，______；双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为______，______.
知识点三 渐近线与离心率
思考1 能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？
思考2 离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
梳理 (1)渐近线：直线__________叫作双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线.
(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比______，叫作双曲线的离心率，用e表示(e>1).
(3)双曲线的性质见下表：
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
类型一 已知双曲线的标准方程研究其简单性质
例1 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.www-2-1-cnjy-com
引申探究
将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答. 21*cnjy*com
反思与感悟 由双曲线的方程研究性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的性质.
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
类型二 由双曲线的性质确定标准方程
例2 求下列双曲线的标准方程.
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)过点(3,9)，离心率e＝.
反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2 (1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程.21·世纪*教育网
类型三 共轭双曲线与等轴双曲线
命题角度1 共轭双曲线
例3 已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.2-1-c-n-j-y
反思与感悟 双曲线－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线.(2)四个焦点共圆.(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x轴上，另一个在y轴上.
跟踪训练3 与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)的双曲线的共轭双曲线的方程为________.21*cnjy*com
命题角度2 等轴双曲线
例4 已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的方程.
反思与感悟 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.
(2)等轴双曲线的性质：①渐近线方程为y＝±x；②渐近线互相垂直；③离心率e＝.
(3)等轴双曲线的特征是a＝b，等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0).当λ>0时，双曲线的焦点在x轴上；当λ<0时，双曲线的焦点在y轴上.【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练4 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e为( )
A. B.2 C. D.
类型四 直线与双曲线的位置关系
命题角度1 直线与双曲线位置关系的判定与交点问题
例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；
(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；
(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值.
反思与感悟 研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组
的解的个数进行判断.
①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
Δ>0?直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.
通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l倾斜角).21世纪教育网版权所有
如图①，θ＝α时，直线l只与双曲线一支相交，交点只有一个；
如图②，θ>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；
如图③，θ<α时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个.
跟踪训练5 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于A，B两个不同的点.
(1)求双曲线的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值.
命题角度2 直线与双曲线的相交弦及弦长问题
例6 (1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长；
(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程.
反思与感悟 (1)利用弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式.
(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系.21·cn·jy·com
其具体解题思路如下：
设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|＝·.涉及弦长的问题，常常设而不求.
中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝.www.21-cn-jy.com
跟踪训练6 已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；【出处：21教育名师】
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
1.设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A.－4 B.－3 C.2 D.1
2.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
3.等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4.若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________.
5.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________.21教育网
双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.
提醒：完成作业 第三章 §3 3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a.
(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心.21cnjy.com
梳理 (1)(－∞，－a]∪[a，＋∞) R R (－∞，－a]∪[a，＋∞) (2)x轴、y轴 原点
知识点二
思考 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.
(2)是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.
梳理 (－a,0) (a,0) (0，－a)
(0，a)
知识点三
思考1 能，离心率e＝＝＝ .
思考2 有影响，因为e＝＝＝ ，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.【版权所有：21教育】
梳理 (1)y＝±x (2)
(3)y＝±x y＝±x
题型探究
例1 解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，
即y＝±x.
引申探究
解 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
跟踪训练1 解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
例2 解 (1)方法一 椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25).
∵双曲线过点(－2，)，
∴－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为
－＝1， ①
或－＝1， ②
把(3,9)代入①，得k＝－161与k>0矛盾，无解；
把(3,9)代入②，得k＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练2 解 (1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0).
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，
∴＝，
∴a2＝3b2. ①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，
即4a2b2＝3(a2＋b2). ②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
例3 解 由题意，设双曲线E的方程为
－＝t(t≠0).
∵点A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝t，
∴t＝－，
∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
故双曲线M的标准方程为－＝1.
跟踪训练3 －＝1
例4 解 设双曲线方程为x2－y2＝a2(a>0)，则它的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(a,0)，(－a,0)，
∴＝，∴a＝，∴双曲线的方程为x2－y2＝2.
跟踪训练4 A
例5 解 由
得(1－k2)x2＋2kx－5＝0. ①
(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.
∴
解得k>或k<－，
则k的取值范围为k>或k<－.
(2)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根.
∴
解得－(3)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解.
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得k＝±，
故k的值为±1或±.
跟踪训练5 解 (1)由
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， ①
由题意得得0又双曲线的离心率
e＝＝ ，
∴e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0,1)，
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
故x1＝x2.
又x1，x2是方程①的两个根，
∴x2＝－，x＝－.
又a>0，∴a＝.
例6 解 (1)由
得4x2－(x＋1)2－4＝0.
化简得3x2－2x－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2
＝，x1x2＝－.
故所截得的弦长d＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
(2)方法一 ∵该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y).
由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，
Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，
∴16k2<80，即|k|<，k≠±2，
且x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴x＝(x1＋x2)＝，
y＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1
＝.
由消去k，
得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).
方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，
则
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
∴＝，
即＝＝(k为直线AB的斜率)，
整理得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).
跟踪训练6 解 (1)若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l斜率存在.
故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx－2k＋1.
由消去y并化简，
得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0.
设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2).
当2－k2≠0，即k2≠2时，
有x1＋x2＝－.
又点P(2,1)是弦P1P2的中点，
∴－＝4，解得k＝4.
当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝56×5>0.
当k2＝2，即k＝±时，此时与渐近线的斜率相等，
即k＝±的直线l与双曲线不可能有两个交点.
综上可知，所求直线的方程为4x－y－7＝0.
(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
则有＝1，＝1，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
且
两式相减，得(2x－2x)－(y－y)＝0，
∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.
若直线Q1Q2垂直于x轴，
则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1,1)，
∴直线Q1Q2斜率存在，于是k＝＝2，
∴直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由得2x2－(2x－1)2＝2，
即2x2－4x＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.
∴直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.
当堂训练
1.A 2.C 3.D 4.(±，0)
5.y＝±x
4.1 曲线与方程(一)
学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.www.21-cn-jy.com
知识点一 曲线与方程的概念
思考1 设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？
(1){P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；
(2){P|PO＝3 cm}(O为定点).
思考2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
梳理 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：21·cn·jy·com
(1)____________都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在______上，
那么，这个方程叫作__________；这条曲线叫作__________.
知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读
思考1 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明.【来源：21·世纪·教育·网】
思考2 方程－＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？
梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.www-2-1-cnjy-com
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了__________关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.2-1-c-n-j-y
类型一 曲线与方程的概念理解与应用
命题角度1 曲线与方程的判定
例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )
A.方程f(x，y)＝0的曲线是C
B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C.f(x，y)＝0是曲线C的方程
D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.21cnjy.com
判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.
跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是( )21*cnjy*com
A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
命题角度2 曲线与方程的概念应用
例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.【出处：21教育名师】
跟踪训练2 写出方程(x＋y－1)＝0表示的曲线.
类型二 曲线与方程关系的应用
例3 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值.
反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.2·1·c·n·j·y
跟踪训练3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.
1.曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为( )
A.f(x－3，y)＝0 B.f(y＋3，x)＝0
C.f(y－3，x＋3)＝0 D.f(y＋3，x－3)＝0
2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x－y＝0对称
3.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为________.
4.若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B(，)，则a＝________，b＝________.
5.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________.
1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.
2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.
提醒：完成作业 第三章 §4 4.1(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 (1)线段AB的垂直平分线；
(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆.
思考2 y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.21世纪教育网版权所有
梳理 (1)曲线上点的坐标 (2)曲线 曲线的方程 方程的曲线
知识点二
思考1 不能.还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.【来源：21cnj*y.co*m】
思考2 方程－＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程－＝0的解.例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线.
梳理 (2)一一对应
题型探究
例1 B
跟踪训练1 D
例2 证明 ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.21·世纪*教育网
跟踪训练2 解 由方程(x＋y－1)＝0可得
或＝0.
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).
例3 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上.
(2)∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴2＋(－m－1)2＝10.解得m＝2或m＝－.21教育网
跟踪训练3 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－22＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是.
当堂训练
1.D 2.C 3.两条相交直线 4.4 1
5.4个点
4.1 曲线与方程(二)
学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 21教育网
知识点一 坐标法的思想
思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？
思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？
梳理 (1)坐标法：借助于______，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.
(2)解析几何研究的主要问题：
①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出__________.
②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究________.
知识点二 求曲线的方程的步骤
类型一 直接法求曲线的方程
例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.
引申探究
若将本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.
反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.21世纪教育网版权所有
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.
跟踪训练1 已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.21cnjy.com
类型二 代入法求解曲线的方程
例2 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程.
(4)化简、整理，得所求轨迹方程.
跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.21·cn·jy·com
类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点
例3 过点M(1,2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.www.21-cn-jy.com
反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.2·1·c·n·j·y
跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.【来源：21·世纪·教育·网】
1.曲线y＝与xy＝2的交点是( )
A.(1,1)
B.(2,2)
C.直角坐标系内的任意一点
D.不存在
2.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是( )
3.直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________________.
4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________.www-2-1-cnjy-com
5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.2-1-c-n-j-y
求解轨迹方程常用方法
(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或代入法.21*cnjy*com
(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.
(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.21·世纪*教育网
提醒：完成作业 第三章 §4 4.1(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.
思考2 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准.
梳理 (1)坐标系 (2)①表示曲线的方程 ②曲线的性质
知识点二
有序实数对(x，y) P＝{M|p(M)}
p(M) f(x，y)＝0 f(x，y)＝0
方程的解
题型探究
例1 解 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
引申探究
解 据题意设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，
又|PA|＝，
故|y－8|＝2，
化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
跟踪训练1 解 设点P(x，y)，
由M(－1,0)，N(1,0)，
得＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2,0).
∴·＝2(x＋1)，
·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x).
于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于
即
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0).
例2 解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，
所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
跟踪训练2 解 如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y)，
作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线.
∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|.
又M是△ABC的外心，
∴M∈{M||MA|＝|MB|}.
而|MA|＝，
|MB|＝＝，
∴＝，
化简，得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.
例3 解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点.
设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
联立曲线方程，得
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0. ①
当此方程有两个不同的根，
即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka>0.
设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，
∴k＝2－a，
代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，
解得0又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.
∴a的取值范围是(0,2)∪(2，).
跟踪训练3 解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
整理得(x－)2＋y2＝.
∵点M应在圆内，
∴所求的轨迹为圆内的部分.
解方程组
得两曲线交点的横坐标为x＝，
故所求轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0≤x<).
当堂训练
1.D 2.D
3.x＋y－1＝0(x≠0，x≠1)
4.x＝
5.解 设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得所以
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，
即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.
4.2 圆锥曲线的共同特征
学习目标 1.理解椭圆、双曲线的第二定义.2.了解圆锥曲线的共同特征.3.会用圆锥曲线的统一定义解决问题.21世纪教育网版权所有
知识点一 椭圆的第二定义
思考 椭圆是如何定义的？(第一定义)
梳理 (1)定义：平面内到一个定点F(c,0)的距离与到一条定直线l：x＝(a＞c＞0)的距离之比为常数________的点的轨迹为椭圆(点F不在直线l上)，其标准方程为＋＝1(a＞b＞0).其中，定点F(c,0)为椭圆的右焦点，定直线x＝为椭圆的________，常数就是椭圆的______.2·1·c·n·j·y
(2)两点说明
①在上述定义中，只有当0＜e＜1时才表示椭圆.
②焦点与准线的对应关系：对于椭圆＋＝1(a＞b＞0)，左焦点F1(－c,0)对应的准线为直线x＝－，右焦点F2(c,0)对应的准线为直线x＝；对于椭圆＋＝1(a＞b＞0)，上焦点F2(0，c)对应的准线为直线y＝，下焦点F1(0，－c)对应的准线为直线y＝－.
知识点二 双曲线的第二定义
思考 双曲线的第一定义是什么？
梳理 (1)双曲线的第二定义内容
平面内到一个定点F(c,0)的距离与到一条定直线l：x＝(c＞a＞0)的距离之比为常数的点的轨迹为双曲线(点F不在直线l上)，其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).其中，定点F(c,0)是右焦点，定直线l：x＝是右准线，常数就是双曲线的离心率e.21·世纪*教育网
(2)两点说明
①在上述定义中，只有当e＞1时才表示双曲线.
②左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，对应焦点F1(－c,0)的准线方程为x＝－，对应焦点F2(c,0)的准线方程为x＝.2-1-c-n-j-y
知识点三 圆锥曲线的共同特征——统一定义
圆锥曲线上的点M到一个定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比为定值e.当0＜e＜1时，圆锥曲线是__________；当e＝1时，圆锥曲线是________；当e＞1时，圆锥曲线是________.此即为圆锥曲线的统一定义.21*cnjy*com
类型一 由圆锥曲线的共同特征确定曲线的形状及方程
例1 方程·＝|x＋y－2|表示的曲线是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.不能确定
反思与感悟 在圆锥曲线的共同特征中，曲线上的点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一常数，这本身就是一个几何关系.由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出曲线的方程.可以根据常数的大小(与1比较)来判断所求轨迹是什么曲线.21cnjy.com
跟踪训练1 已知动点M(x，y)到点F(－2，0)与到定直线x＝－6的距离之比为，求点M的轨迹方程.www.21-cn-jy.com
类型二 依据圆锥曲线的性质求其方程
例2 根据下列条件分别求椭圆的标准方程.
(1)经过点(－1，)，且一条准线为直线x＝5；
(2)两准线间的距离为，焦距为2.
反思与感悟 圆锥曲线的准线方程是圆锥曲线的一个几何性质，已知准线方程可得a，c之间的一个关系式，结合其他已知条件可求出圆锥曲线的标准方程.【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练2 已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，一条准线的方程为5y＋3＝0，求此双曲线的方程.【出处：21教育名师】
类型三 椭圆、双曲线的第二定义及应用
例3 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0，] B.(0，]
C.[－1,1) D.[，1)
反思与感悟 椭圆(双曲线)上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径.
(1)椭圆的焦半径公式
当椭圆的焦点在x轴上时，设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P(x0，y0)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.21·cn·jy·com
推导如下：由统一定义，得＝e(d1为点P到左准线的距离)，则|PF1|＝ed1＝e(x0＋)＝a＋ex0.【版权所有：21教育】
同理，得|PF2|＝a－ex0.
简记为：左“＋”右“－”.
同理可知，当椭圆的焦点在y轴上时，焦半径公式为|PF1|＝a＋ey0，|PF2|＝a－ey0(F1为下焦点，F2为上焦点).21教育名师原创作品
综上可知，过焦点的弦的弦长仅与焦点弦中点的横坐标有关.
(2)双曲线的焦半径公式
对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)(F1为左焦点，F2为右焦点)：
若点P(x1，y1)在左支上，则|PF1|＝－a－ex1，|PF2|＝a－ex1；
若点P(x1，y1)在右支上，则|PF1|＝a＋ex1，|PF2|＝－a＋ex1.
对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)(F1为下焦点，F2为上焦点)：
若点P(x1，y1)在下支上，则|PF1|＝－a－ey1，|PF2|＝a－ey1；
若点P(x1，y1)在上支上，则|PF1|＝a＋ey1，|PF2|＝－a＋ey1.
跟踪训练3 已知双曲线x2－3y2＝3上一点P到左，右焦点的距离之比为1∶2，求点P到右准线的距离.www-2-1-cnjy-com
1.椭圆＋y2＝1的准线方程为( )
A.x＝± B.x＝±
C.y＝± D.y＝±
2.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离心率是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.3 B.5 C. D.
3.如果双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是________.
4.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.21*cnjy*com
5.已知椭圆＋＝1上一点P到直线x＝的距离等于10，求它到点(8,0)的距离.
应用椭圆和双曲线的第二定义，解题时需要注意“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(0＜e＜1或e＞1)”，其中“定点”是指焦点，“定直线”是指相应准线.一定要注意“左焦点对应左准线，右焦点对应右准线”.
椭圆、双曲线的定义从不同的角度反映了椭圆、双曲线的特征，解题时要灵活运用.
一般地，如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第一定义，如果遇到有动点到一定点与一定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线的第二定义.
椭圆、双曲线的第二定义揭示了椭圆、双曲线上的点到焦点的距离与它到对应准线距离的关系，因此可以把椭圆、双曲线上一点到焦点的距离转化为到其准线的距离.
提醒：完成作业 第三章 §4 4.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.
梳理 (1) 右准线 离心率e
知识点二
思考 我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.双曲线定义中的“常数”常用2a(a＞0)表示，焦距常用2c(c＞0)表示.
知识点三
椭圆 抛物线 双曲线
题型探究
例1 C
跟踪训练1 解 由题意得
＝，
整理，得＋＝1，即为点M的轨迹方程.
例2 解 (1)因为椭圆的一条准线为直线x＝5，
所以椭圆的焦点在x轴上.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
根据题意，得
解得或
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)根据题意，得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
跟踪训练2 解 由题意得双曲线的准线方程为y＝－，渐近线方程为3x±4y＝0.
设双曲线的标准方程为－＝1.
根据题意，得
设a＝3k，b＝4k(k＞0)，则c＝5k，代入①，得a＝，b＝.
故所求双曲线的方程为－＝1.
例3 D
跟踪训练3 解 设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，
则
解得
设点P到右准线的距离为d，
则＝＝，∴d＝6，
即点P到右准线的距离为6.
当堂训练
1.B 2.D 3. 4.6
5.解 由椭圆的方程＋＝1，知a2＝100，b2＝36，则a＝10，c2＝a2－b2＝64，解得c＝8，故点(8,0)是椭圆的右焦点，直线x＝是椭圆的右准线，且离心率e＝＝.
设点P到点(8,0)的距离为d，则由椭圆的第二定义，得＝，解得d＝8.故点P到点(8,0)的距离为8.21教育网
4.3 直线与圆锥曲线的交点
学习目标 1.会求曲线的交点.2.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.3.理解弦长公式及其求解与应用.21cnjy.com
知识点一 两条曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线C1，C2，它们由如下方程确定：
C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0.
求曲线C1和C2的交点，即要求出这些交点的______.
设M(x0，y0)是曲线C1和C2的一个交点.因为点M在曲线C1上，所以它的坐标满足方程f(x，y)＝0；因为点M在曲线C2上，所以它的坐标也满足方程g(x，y)＝0.从而，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标.www.21-cn-jy.com
知识点二 直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的三种位置关系
当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个交点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有交点时，称直线与椭圆相离.21·cn·jy·com
2.直线与椭圆位置关系的判定
直线与椭圆位置关系的判定方法和直线与圆的位置关系的判定方法相同，即可以转化为直线与椭圆的方程所组成的方程组的求解问题，从而用代数方法来判断直线与椭圆的位置关系.
具体的步骤为：
(1)联立成方程组；
(2)消元，转化为一元二次方程；
(3)计算Δ＝b2－4ac.
当Δ＞0时，直线与椭圆相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与椭圆相切，有且只有一个交点；当Δ＜0时，直线与椭圆相离，没有交点.21*cnjy*com
知识点三 直线与双曲线的位置关系
已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0).
(1)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m.
将双曲线方程与直线方程联立成方程组，消去y，整理得(b2－a2k2)x2－2mka2x－a2(m2＋b2)＝0.(*)【版权所有：21教育】
当b2－a2k2＝0，即|k|＝时，若m＝0，则直线与双曲线的渐近线重合，直线与双曲线无交点，若m≠0，则直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点.
当b2－a2k2≠0，即|k|≠时，
①当|k|＞时，若方程(*)的判别式Δ＞0，则直线与双曲线的一支有两个不同的交点，相交，若Δ＝0，则直线与双曲线有且只有一个公共点，相切，若Δ＜0，则直线与双曲线没有交点，相离.21教育名师原创作品
②当|k|＜时，直线与双曲线的两支各交于一点.
(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为x＝n.
当|n|＞a时，直线与双曲线的一支交于两点；当|n|＝a时，直线与双曲线的一支切于顶点；当|n|＜a时，直线与双曲线无交点.21*cnjy*com
知识点四 直线与抛物线的位置关系
(1)当直线的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b，抛物线C：y2＝2px(p＞0).
由得ky2－2py＋2pb＝0.
当k＝0时，直线与x轴平行，与抛物线C只有一个交点(相交).
当k≠0时；①若Δ＝0，则直线与抛物线只有一个公共点，相切；②若Δ＞0，则直线与抛物线有两个交点，相交；③若Δ＜0，则直线与抛物线没有交点，相离.
(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为x＝n，抛物线方程为y2＝2px(p＞0).当n＝0时，直线与抛物线相切于原点；当n＜0时，直线与抛物线相离；当n＞0时，直线与抛物线相交于两点.
类型一 由直线与圆锥曲线的位置关系确定参数的值
例1 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围.
反思与感悟 求解直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用代数法，即将直线和圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数，得到关于x(或y)的一元二次方程，讨论其根的个数，从而知其交点的个数.21·世纪*教育网
跟踪训练1 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
(1)l与C无公共点？
(2)l与C有唯一公共点？
(3)l与C有两个不同的公共点？
类型二 直线与圆锥曲线的弦长问题
例2 过双曲线x2－＝1的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
反思与感悟 求解直线与圆锥曲线的弦长问题常用以下两种方法：
(1)求出交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式；
(2)利用弦长公式|AB|＝·.
跟踪训练2 已知一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线2x－y－4＝0所截的弦长为3，求抛物线的方程.2·1·c·n·j·y
类型三 中点弦问题
例3 椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2＝＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点坐标为(，0)，斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的中点H的坐标为(2，－1).
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设P为椭圆C2上一点，点M，N在椭圆C1上，且＝＋2.问：直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 解决中点弦问题主要有如下两种方法：
(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.www-2-1-cnjy-com
(2)“点差法”：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式.
跟踪训练3 过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程.
1.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|等于( )21世纪教育网版权所有
A. B.6 C.12 D.7
3.过椭圆＋＝1内一定点M(1,0)作弦，则弦中点的轨迹方程为__________________.
4.已知曲线C：y2＝2x，若C上存在相异两点关于直线l：y＝m(x－2)对称，则实数m的取值范围是________.2-1-c-n-j-y
5.已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？若存在，求出最小距离；若不存在，请说明理由.【出处：21教育名师】
在解决圆锥曲线上两点关于直线对称的问题时，这两点的连线就是圆锥曲线的弦，先求弦中点的轨迹方程，然后联立直线方程，求得中点坐标的表达式，再由中点在曲线内部构造出不等式，最后得出答案.【来源：21cnj*y.co*m】
处理有关弦的中点轨迹的问题时，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在直线上这一条件，结合中点坐标公式，寻找中点和端点坐标之间的联系，其中用端点的坐标表示直线的斜率是常用方法.
提醒：完成作业 第三章 §4 4.3
答案精析
问题导学
知识点一
坐标
题型探究
例1 解 由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
∴Δ＝4m2－4×5(m2－1)＝20－16m2.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，即20－16m2≥0.
∴－≤m≤.
故实数m的取值范围为[－，].
跟踪训练1 解 由题意，得l：y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得
(1－4k2)x2－16kx－20＝0. ①
当1－4k2≠0时，Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2).
(1)当即k＜－或k＞时，l与C无公共点.
(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，方程①只有一解；
当1－4k2≠0且Δ＝0，即k＝±时，方程①有两个相同的解.
故当k＝±或k＝±时，l与C有唯一公共点.
(3)当即－＜k＜且k≠±时，方程①有两个不同的解，
即此时l与C有两个不同的公共点.
例2 解 ∵双曲线x2－＝1的左焦点为F1(－2,0)，
∴直线方程为y＝(x＋2).
由消去y，得
8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝ ·＝3.
跟踪训练2 解 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).将y＝2x－4代入并整理，得4x2－(16＋a)x＋16＝0.21教育网
设此方程的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝4.
又∵抛物线被直线所截的弦长为3，
∴(3)2＝(1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[()2－16].
整理，得a2＋32a－144＝0，
∴a＝4或a＝－36.
故所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
例3 解 (1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
H(xH，yH)，则
∴
＝－·＝－·.
又∵直线l的斜率为1，点H的坐标为(2，－1)，
∴1＝－·，即a2＝2b2.
又∵a2－b2＝5，∴b2＝5，a2＝10，
∴椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).
∵＝＋2，∴
又∵x＋2y＝10，
∴(x1＋2x2)2＋2(y1＋2y2)2＝10，
即x＋2y＋4(x＋2y)＋4x1x2＋8y1y2＝10，
又∵x＋2y＝2，x＋2y＝2，
∴10＋4x1x2＋8y1y2＝10，
即x1x2＋2y1y2＝0.
∴kOM·kON＝＝－.
跟踪训练3 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵M(2,1)为弦AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又∵A，B两点在椭圆上，
∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.
将两式相减，得x－x＋4(y－y)＝0，
∴＝－＝－，
∴kAB＝－.
故弦AB所在直线的方程是－(x－2)＝y－1，即x＋2y－4＝0.
当堂训练
1.C 2.C
3.4x2＋9y2－4x＝0
4.(－，)
5.解 由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交.
设直线m与椭圆相切且平行于直线l，
则直线m的方程可以设为4x－5y＋k＝0.
由方程组消去y，得
25x2＋8kx＋k2－225＝0.
令Δ＝0，得64k2－4×25×(k2－225)＝0，
解得k1＝25，k2＝－25.
由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的切点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0，直线m与直线l间的距离d＝＝，即最小距离为.
第三章 圆锥曲线与方程
学习目标 1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单性质，会利用简单性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.【来源：21·世纪·教育·网】
知识点一 三种圆锥曲线的定义、标准方程、简单性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内到两个定点F1，F2距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
e＝1
准线方程
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
知识点二 待定系数法求圆锥曲线标准方程
1.椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上.21cnjy.com
另外，与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0).21·世纪*教育网
2.抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.2-1-c-n-j-y
知识点三 直线与圆锥曲线有关的问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点.21*cnjy*com
2.直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或 ，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出.
类型一 圆锥曲线定义的应用
例1 已知点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________.21教育网
反思与感悟 应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论.
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( ) 【来源：21cnj*y.co*m】
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
类型二 圆锥曲线性质的应用
例2 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.21世纪教育网版权所有
反思与感悟 圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去.
跟踪训练2 双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A.2 B. C. D.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系问题
例3 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.
跟踪训练3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切.www.21-cn-jy.com
(1)求p的值；
(2)设l与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围.21·cn·jy·com
1.下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )
A.y＝与y2＝x B.y＝x与＝1
C.y2－x2＝0与|y|＝|x| D.y＝lg x2与y＝2lg x
2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )www-2-1-cnjy-com
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4.点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________.
5.直线y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为________.
1.离心率的几种求法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.2·1·c·n·j·y
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法.
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系.【出处：21教育名师】
2.圆锥曲线中的有关最值问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略
(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理.
(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用基本不等式等求解.
提醒：完成作业 第三章 章末复习课
答案精析
知识梳理
题型探究
例1 8－
跟踪训练1 D
例2
跟踪训练2 C
例3 解 (1)设椭圆的半焦距长为c，依题意有
∴b＝1.∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当AB⊥x轴时，|AB|＝.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知＝，得m2＝(k2＋1).
把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)
＝
＝
＝3＋＝3＋(k≠0)
≤3＋＝4.
当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立.
此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，
∴|AB|≤2，
当k＝0时，|AB|＝，
综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值
S＝×|AB|max×＝.
跟踪训练3 解 (1)因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，
所以圆的半径为p，即|FP|＝p，
所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1，
所以焦点F的坐标为(1,0)，从而p＝2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
线段AB的垂直平分线与x轴的交点D(x0,0)，
则由|DA|＝|DB|，y＝4x1，y＝4x2，
得(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y，
化简得x0＝＋2， ①
设直线AB的方程为x＝my－1，代入抛物线C的方程，
得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，
代入①得x0＝2m2＋1>3，
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).
当堂训练
1.C 2.A 3.B 4.2x－y－15＝0 5.3
1 从平面向量到空间向量
学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.【来源：21cnj*y.co*m】
知识点一 空间向量的概念
思考1 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
思考2 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？
梳理 空间向量的有关概念
(1)定义：在空间中，把既有______又有______的量，叫作空间向量.
(2)长度：空间向量的大小叫作向量的______或____.
(3)表示法
(4)自由向量：与向量的起点无关的向量.
知识点二 空间向量的夹角
思考 在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？
梳理 空间向量的夹角
(1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则________叫作向量a与向量b的夹角，记作______________.21教育名师原创作品
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝____
〈a，b〉是____
〈a，b〉是____
〈a，b〉是____
〈a，b〉＝____
(3)范围：____≤〈a，b〉≤____.
(4)空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝______，那么称a与b互相垂直，记作________.
知识点三 向量与直线、平面
1.向量与直线
与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示.
l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的______向量，显然，与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量______于该直线.
2.向量与平面
如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的________.
类型一 有关空间向量的概念的理解
例1 给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.1 B.2 C.3 D.4
反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.2-1-c-n-j-y
跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：【出处：21教育名师】
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量；
③试写出与向量相等的所有向量；
④试写出向量的所有相反向量.
类型二 求空间向量的夹角
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：
(1)〈，〉；
(2)〈，〉；
(3)〈，〉.
引申探究
在本例中，求〈，〉.
反思与感悟 求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向.www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 在正四面体ABCD中，〈，〉的大小为( )
A. B.
C. D.
类型三 直线的方向向量与平面法向量的理解
例3 已知正四面体A－BCD.
(1)过点A作出方向向量为的空间直线；
(2)过点A作出平面BCD的一个法向量.
反思与感悟 直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行.
给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.21cnjy.com
跟踪训练3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一个方向向量.21·世纪*教育网
1.下列命题中，正确的是( )
A.若|a|＝|b|，则a与b共线
B.若|a|＞|b|，则a＞b
C.若a＝b，则|a|＝|b|
D.若a≠b，则a与b不共线
2.以长方体ABCD－A1B1C1D1的任意两个顶点为起点和终点的向量中，能作为直线BB1的方向向量的个数为( )2·1·c·n·j·y
A.8 B.7 C.6 D.5
3.若把空间中所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形为________.
4.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱的长分别为1,2,3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量个数为________.21世纪教育网版权所有
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________.(填序号)
①；②；③；④.
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可.21教育网
给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.
提醒：完成作业 第二章 §1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
思考2 一定相同.因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同.www-2-1-cnjy-com
梳理 (1)大小 方向 (2)长度 模 (3)有向线段 || |a|
知识点二
思考 0或π.
梳理 (1)∠AOB 〈a，b〉 (2)0 锐角
直角 钝角 π (3)0 π (4) a⊥b
知识点三
1.方向 平行 2.法向量
题型探究
例1 B
跟踪训练1 B
(2)解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.21·cn·jy·com
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，，.
④向量的相反向量有，，，.
例2 解 (1)由题意知，＝，
∴〈，〉＝〈，〉.
又∵∠CAB＝，
故〈，〉＝.
(2)〈，〉＝π－〈，〉
＝π－＝.
(3)〈，〉＝〈，〉＝.
引申探究
解 如图，连接B1C，则B1C∥A1D，
且＝，连接AC，
在△ACB1中，因为AC＝AB1＝B1C，
故∠AB1C＝，
〈，〉＝〈，〉＝.
跟踪训练2 C
例3 解 (1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线. 21*cnjy*com
(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量.【版权所有：21教育】
跟踪训练3 解 取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM，则PM綊DC綊AB.所以四边形APMB为平行四边形，所以AP綊BM.又在四边形BQC1M中，BQ綊C1M，
所以四边形BQC1M为平行四边形，
所以BM綊C1Q，
所以AP∥C1Q，故为直线AP的一个方向向量.
当堂训练
1.C 2.A 3.球面 4.8 5.②③
2 空间向量的运算（一）
学习目标 1.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.2.了解向量加法的交换律和结合律.
知识点 空间向量的加减运算及运算律
思考1 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量
的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？
梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b
(2)空间向量的加法交换律
a＋b＝________，
空间向量的加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
类型一 向量式的化简
例1 如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量. 21世纪教育网版权所有
(1)－；
(2)＋＋.
引申探究
利用例1题图，化简＋＋＋.
反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.21cnjy.com
(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，＋＋＋＋＋＋＋＝0. www.21-cn-jy.com
(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b).
跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
类型二 用已知向量表示未知向量
例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知＝a，＝b，＝c.用向量a，b，c表示以下向量.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)；(2).
反思与感悟 将一个向量表示成n个向量的和或差，关键是根据向量的加减运算将向量进行拆分，一般可考虑从起点到终点构成封闭的回路进行运算.2·1·c·n·j·y
跟踪训练2 在例2中，若已知A1C1与B1D1的交点为M.请用a，b，c表示.
1.下列命题中，假命题是( )
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等
2.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋B1C1；④(＋)＋.其中运算的结果为的有________个.21教育网
5.化简：2＋2＋3＋3＋＝________.
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.21·世纪*教育网
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.www-2-1-cnjy-com
提醒：完成作业 第二章 §2(一)
答案精析
问题导学
知识点
思考1 如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.
思考2 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.21·cn·jy·com
梳理 (2)b＋a
题型探究
例1 解 (1)－＝－
＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量、如图所示.
引申探究
解 ＋＝，＋
＝，＋＝0.
故＋＋＋＝0.
跟踪训练1 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋).
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋
＝＋＝.
∴＋＋＝2.
例2 解 (1)＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
(2)＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
跟踪训练2 解 ∵＝＝－＝b－a.
又∵＝，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝c＋(b－a)
＝－a＋b＋c.
当堂训练
1.D 2.C 3.D 4.4 5.0
2 空间向量的运算（三）
学习目标 1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
知识点一 空间向量数量积的概念
思考1 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法. 21·cn·jy·com
思考2 在等边△ABC中，与的夹角是多少？
梳理 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b.www.21-cn-jy.com
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝____________
交换律
a·b＝________
分配律
a·(b＋c)＝________
知识点二 空间向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b?____________
②若a与b同向，则a·b＝__________；若反向，则a·b＝__________.
特别地，a·a＝__________或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝________________
④|a·b|≤|a|·|b|
类型一 空间向量数量积的运算
命题角度1 空间向量数量积的基本运算
例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.
(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).
反思与感悟 (1)如果已知a，b的模及a与b的夹角，则可直接代入数量积的公式计算.
(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )
A. B. C. D.4
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知在长方体ABCD—1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：www-2-1-cnjy-com
(1)·；(2)·；(3)·.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.21*cnjy*com
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(＋ )·(＋)；(2)|＋＋|.
类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角
例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法
跟踪训练3 已知PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的投影，l?α，且l⊥OA.2·1·c·n·j·y
求证：l⊥PA.
命题角度2 利用数量积求模(或距离)
例4 如图所示，在平行六面体ABCD—B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长. 21·世纪*教育网
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可.
跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离. 21cnjy.com
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练5 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________.【来源：21cnj*y.co*m】
1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于( )
A.14 B.
C.4 D.2
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.· B.·
C.· D.·
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
4.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.
1.空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，并结合运算律进行计算.
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.2-1-c-n-j-y
2.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
提醒：完成作业 第二章 §2(三)
答案精析
§2 空间向量的运算(三)
问题导学
知识点一
思考1 ∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝24－16.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.【出处：21教育名师】
思考2 120°.
梳理 (2)λ(a·b) b·a a·b＋a·c
知识点二
a·b＝0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2
题型探究
例1 (1)解 ①此命题不正确.
∵p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2
＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.
②此命题不正确.
∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|
＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，
|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.
③此命题正确.
∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]
＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b
＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，
且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，
∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直.
(2)解 ①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6.
②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2
＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2，
∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－)－4×16＝27－24－64＝－61.
跟踪训练1 C
例2 解 如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·
＝b·[(c－a)＋b]
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
(3)·＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
跟踪训练2 解 (1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－ 2)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.21世纪教育网版权所有
(2)|＋＋|
＝ ＝
＝＝.
例3 解 如图所示，
∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2.
∴·＝－a2.
又·＝||·||cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
又∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴〈，〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.
跟踪训练3
证明 如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，.
因为l⊥OA，
所以a·＝0.
因为PO⊥α，且l?α，所以l⊥PO，
因此a·＝0.
又因为a·＝a·(＋)
＝a·＋a·＝0，
所以l⊥PA.
例4 解 因为＝＋＋，
所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·).
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
所以2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为2＝||2，
所以||2＝23，||＝，
即AC1＝.
跟踪训练4 解 ∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，21教育网
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
例5 证明 因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·
＝||·||cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
跟踪训练5 45°
当堂训练
1.B 2.D 3.B 4. 5.
2 空间向量的运算（二）
学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.21教育网
知识点一 空间向量的数乘运算
思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
梳理 (1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：www.21-cn-jy.com
①|λa|＝__________.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向______；当λ＝0时，λa＝0.21·世纪*教育网
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律：
①λ(μa)＝______________；
②λ(a＋b)＝____________；
③(λ1＋λ2)a＝__________(拓展).
知识点二 共线向量与共面向量
思考1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.
思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？
梳理 (1)平行(共线)向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相__________
充要条件
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在实数λ，使__________
点P在直线l上的充要条件
存在实数t满足等式________________，在直线l上取向量＝a，则＝＋t______
向量a为直线l的____________
(2)共面向量
定义
平行于同一个______的向量
三个向量共面的充要条件
向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使__________
点P位于平面ABC内的充要条件
存在有序实数对(x，y)，使＝__________
对空间任一点O，有＝＋__________
类型一 向量共线问题
例1 如图所示，在正方体ABCD—B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.21·cn·jy·com
求证：E，F，B三点共线.
反思与感悟 判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.2·1·c·n·j·y
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？【来源：21·世纪·教育·网】
类型二 空间向量的数乘运算及应用
例2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：2-1-c-n-j-y
(1)；(2)；(3)＋.
引申探究
若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.21*cnjy*com
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
跟踪训练2 如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
类型三 空间向量共面问题
例3 如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面.
反思与感悟 (1)利用四点共面求参数
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.
(2)证明空间向量共面或四点共面的方法
①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.【来源：21cnj*y.co*m】
②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.【出处：21教育名师】
③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
跟踪训练3 (1)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面.【版权所有：21教育】
(2)如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.21教育名师原创作品
求证：①A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
②∥；
③＝k.
1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A.共面向量 .共线向量
C.不共面向量 .既不共线也不共面的向量
2.已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为( )
A.＝ .∥
C.||＝|| .||≠||
3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________.21世纪教育网版权所有
4.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是________.
5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.21*cnjy*com
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
1.四点P，A，B，C共面?对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.
2.＝＋x＋y称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
3.证明(或判断)三点A、B、C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点A、B、C共线.
4.空间上一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.
提醒：完成作业 第二章 §2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考 当λ>0时，λa和a方向相同；当λ<0时，当λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.www-2-1-cnjy-com
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
梳理 (1)①|λ||a| ②相反
(2)①(λμ)a ②λa＋λb ③λ1a＋λ2a
知识点二
思考1 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
思考2 正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.21cnjy.com
梳理 (1)平行或重合 a＝λb
＝＋ta 方向向量
(2)平面 唯一 p＝xa＋yb
x＋y x＋y
题型探究
例1 证明 设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，
＝(－)
＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋
＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.∴E，F，B三点共线.
跟踪训练1 解 设AC中点为G，连接EG，FG.
∴＝，＝.
又∵，，共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)，
∴与 ＋共线.
例2 解 (1)＝＋
＝(＋)＋
＝a＋c＋b.
(2)＝＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
(3)＋＝(＋＋)＋(＋)
＝＋＋＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
引申探究
解 ＝＋＝＋＋
＝a＋c＋b.
跟踪训练2 解 ＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝a＋[－a＋c＋(b－c)]
＝a＋b＋c.
例3 证明 因为＝＝＝＝k，
所以＝k，＝k，＝k，＝k.
由于四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋.
因此＝－＝k－k＝k＝k(＋)＝k(－＋－)
＝－＋－＝＋.
由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.
跟踪训练3 (1)解 ，，三个向量共面.
因为＝＋＋，
所以3＝＋＋，
化简，得(－)＋(－)＋(－)＝0，
即＋＋＝0，
即＝－－，
故，，共面.
(2)证明 ①∵＝＋m，
∴A、B、C、D四点共面.
∵＝＋m，∴E、F、G、H四点共面.
②∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)
＝k＋km＝k(＋m)
＝k，∴∥.
③＝＋＝k＋k＝k(＋)＝k.
当堂训练
1.A 2.B 3.－8 4.②④
5.解 (1)原式可变形为＝3－－.
∵3＋(－1)＋(－1)＝1，
∴点B与点P，A，M共面，
即点P与点A，B，M共面.
(2)原式为＝4－－.
∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，
∴点P与点A，B，M不共面.
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2 空间向量基本定理
学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.21·cn·jy·com
知识点一 空间向量基本定理
思考1 平面向量基本定理的内容是什么？
思考2 平面向量的基底唯一确定吗？
梳理 (1)空间向量基本定理
条件
三个______的向量e1，e2，e3和空间______向量a
结论
存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得__________
(2)基底
条件：三个向量e1，e2，e3______.
结论：__________________叫作空间的一个基底.
基向量：基底中的向量e1，e2，e3都叫作基向量.
知识点二 空间向量的坐标表示
思考1 平面向量的坐标是如何表示的？
思考2 基底不同，向量的坐标相同吗？
梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示
单位正交基底
有公共起点O的三个两两______的______向量，记作e1，e2，e3
空间直角坐标系
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以__________________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
空间向量的坐标表示
在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间中任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的____________，把i，j，k叫作____________.(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示
类型一 基底的概念
例1 若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？
反思与感悟 基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.www-2-1-cnjy-com
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.2-1-c-n-j-y
跟踪训练1 (1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )21*cnjy*com
A.2a B.2b
C.2a＋3b D.2a＋5c
(2)以下四个命题中正确的是________.
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；
③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.
类型二 用基底表示向量
例2 如图所示，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量. 21·世纪*教育网
(1)；(2)；(3)；(4).
反思与感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 如图所示，在空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c.试用向量a，b，c表示向量.www.21-cn-jy.com
类型三 空间向量的坐标表示
例3 在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标. 【来源：21·世纪·教育·网】
(1)，，；(2)，，.
引申探究
本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标.
反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3 在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为________.【来源：21cnj*y.co*m】
1.在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.【出处：21教育名师】
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )【版权所有：21教育】
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,12,10) D.(4,3,2)
3.若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为________.21教育名师原创作品
4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________.21*cnjy*com
5.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______.(用a，b，c表示)
1.基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.
2.在空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.
3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.
提醒：完成作业 第二章 §3 3.1～3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2·1·c·n·j·y
思考2 不唯一.
梳理 (1)不共面 任一 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 (2)不共面 e1，e2，e3
知识点二
思考1 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标.
设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点).21教育网
思考2 不相同.
梳理 垂直 单位 e1，e2，e3 标准正交分解 标准正交基
题型探究
例1 解 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.21cnjy.com
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面，
∴此方程组无解.
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面.
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底.
跟踪训练1 (1)D (2)②③
例2 解 连接AC，AD′.
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c).
(2)＝(＋)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋＝＋·(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c.
跟踪训练2 解 ∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，
∴＝(＋)，
＝＝×(＋)
＝(b＋c).
又＝＋＝＋，
＝－，
∴＝＋×(＋)－＝(＋＋)
＝(a＋b＋c).
∵＝－，
∴＝(b＋c)－(a＋b＋c)
＝－a.
例3 解 (1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋
＝，
＝－＝(＋)－(＋)＝－－
＝，
＝－＝＋－
＝－＝(1，－，0).
引申探究
解 ＝＋＝－＋
＝(－1,0，)，
＝＋＝＋(－)
＝－＋＝(－，1,0)，
＝＋＝(0，，).
跟踪训练3
当堂训练
1.C 2.A 3.，－1，－
4.(0,2,1) (2,2,1)
5.a＋b＋c
3.3 空间向量运算的坐标表示
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.21*cnjy*com
知识点一 空间向量的坐标运算
思考 设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？
梳理 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
减法
a－b
数乘
λa
数量积
a·b
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
模
|a|＝________
夹角
cos〈a，b〉＝
cos〈a，b〉＝
类型一 空间向量的坐标运算
例1 已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于( )
A.(2，－4,2) B.(－2,4，－2)
C.(－2,0，－2) D.(2,1，－3)
反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.
跟踪训练1 若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.21cnjy.com
类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
例2 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥.求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
引申探究
若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值.
反思与感悟 (1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程.
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
跟踪训练2 在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
类型三 空间向量的夹角与长度的计算
例3 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
反思与感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便在写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. 21世纪教育网版权所有
(1)求证：EF⊥DC；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
1.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A.(16,0,4) B.(8，－16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
2.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为( )
A.4 B.15 C.3 D.7
3.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是( )
A.(1,1,1) B.(－4,6，－2)
C.(2，－3,5) D.(－2，－3,5)
4.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A.1 B. C. D.
5.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________.
1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标.21教育网
2.两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则|AB|＝||＝ ＝.
3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.21·cn·jy·com
提醒：完成作业 第二章 §3 3.3
答案精析
问题导学
知识点一
思考 m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.【来源：21·世纪·教育·网】
梳理 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b321·世纪*教育网
知识点二
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |a|＝
题型探究
例1 A
跟踪训练1 2
例2 解 (1)因为＝(－2，－1,2)，
且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝
＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).
(2)因为a＝＝(1,1,0)，
b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
引申探究
解 由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，
ka＋2b＝(k－2，k,4).
因为(ka－b)⊥(ka＋2b)，
所以(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，
故所求k的值为－2或.
跟踪训练2
证明 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，2·1·c·n·j·y
B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，由中点性质得E，F，G，H.
(1)＝(1,0,1)，＝.
＝，
∵＝2， ·
＝1×＋0＋1×＝0，
∴∥，⊥，
即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)∵＝，
＝，＝，
∴·＝－＋0＝0，
·＝＋0－＝0，
∴⊥，⊥，
即A1G⊥DF，A1G⊥DE.
又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.
例3 (1)证明
建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，E，
C(0,1,0)，
F，
G.
所以＝，
＝， ＝，
＝.
因为·＝×＋×＋×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF.
(2)解 因为·＝×1＋×0＋(－)×＝，
||＝
＝，||＝ ＝，
所以cos〈，〉＝
＝＝.
(3)解 |CE|＝||
＝ ＝.
跟踪训练3 (1)证明 分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.www.21-cn-jy.com
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，，0)，F(，，)，P(0,0，a)，www-2-1-cnjy-com
∴·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，∴EF⊥DC.
(2)解 设点G(x,0，z)，
则G∈平面PAD，
且＝(x－，－，z－).
要使GF⊥平面PCB，只需GF⊥CB，GF⊥CP.
∵·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)＝a(x－)＝0，·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)2-1-c-n-j-y
＝＋a(z－)＝0，∴x＝，z＝0.
故点G的坐标为(，0,0).
即点G为AD的中点.
当堂训练
1.D 2.C 3.B 4.D 5.
4 用向量讨论垂直与平行（一）
学习目标 1.会用待定系数法求平面的法向量.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.21cnjy.com
知识点一 空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?________?a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥α?a⊥μ?__________
面面平行
α∥β?μ∥v?____________
知识点二 利用空间向量处理平行问题
思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.www.21-cn-jy.com
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
引申探究
若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
(3)列方程组：由列出方程组.
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量. 【来源：21·世纪·教育·网】
类型二 利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.21·cn·jy·com
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 21·世纪*教育网
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
2.已知直线l1的方向向量为a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量为b＝(－4，x，y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( )www-2-1-cnjy-com
A.6和－10 B.－6和10
C.－6和－10 D.6和10
3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A.(0，－3,1) B.(2,0,1)
C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)
4.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m为( )
A.－4 B.－6 C.－8 D.8
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________.
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).2·1·c·n·j·y
提醒：完成作业 第二章 §4(一)
答案精析
问题导学
知识点一
a∥b a·μ＝0 μ＝kv(k∈R)
知识点二
思考 (1)由直线方向向量的定义知，若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R).21教育网
(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.
(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.
题型探究
例1 解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则
D(0，，0)，E(0，，)，B(1,0,0)，
C(1，，0)，
于是＝(0，，)，＝(1，，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，).
引申探究
解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，
即为直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1).
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为n＝(0,1，).
跟踪训练1 解 因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB.
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).
由题意得F(0,0,0)，P(0,0，)，
D(－1，，0)，
C(0，，0)，E(0，，).
所以＝(0，，)，＝(－1，，0).
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z).
则即
所以令y＝2，则x＝，
z＝－2.
所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2).
例2 证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，21世纪教育网版权所有
F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1).
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即
得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2).
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥，n2⊥，
得
得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
跟踪训练2 解 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0).
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，
＝(0,2，－1).
∵∥，
∴y(－1)－2(z－1)＝0. ①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，
∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，
∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点，
∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
当堂训练
1.A 2.A 3.D 4.C
5.(1,1,1)(答案不唯一)
4 用向量讨论垂直与平行（二）
学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.21教育网
知识点一 向量法判断线线垂直
思考 若直线l1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？21·cn·jy·com
梳理 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______________?____________.www.21-cn-jy.com
知识点二 向量法判断线面垂直
思考 若直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？
梳理 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?__________________.21世纪教育网版权所有
知识点三 向量法判断面面垂直
思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？【来源：21cnj*y.co*m】
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?____________.
类型一 证明线线垂直
例1 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. 21cnjy.com
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.21·世纪*教育网
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
类型二 证明线面垂直
例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD.
反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
跟踪训练2 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC. www-2-1-cnjy-com
类型三 证明面面垂直
例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.21*cnjy*com
反思与感悟 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.【来源：21·世纪·教育·网】
1.下列命题中，真命题的个数为( )
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为( )
A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)
D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)
3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l?α D.l与α斜交
4.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )2-1-c-n-j-y
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.不能确定
5.已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是_____________________________.
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
提醒：完成作业 第二章 §4(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考 l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2.又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.21*cnjy*com
判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量与的坐标，若·＝0，则两直线垂直，否则不垂直.【出处：21教育名师】
(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.
梳理 a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
知识点二
思考 垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.21教育名师原创作品
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内.
(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.
梳理 a＝kμ(k∈R)
知识点三
思考 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
题型探究
例1 证明 设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得A，B，C，N，B1.∵M为BC中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0，
∴⊥，∴AB1⊥MN.
跟踪训练1 证明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则C(0,0,0)，
A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4,4)，
∴·＝0，∴AC⊥BC1.
例2 证明 如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0).
所以＝(1,2，－)，
＝(－1,2，)，
＝(－2,1,0).
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0，
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0，
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.
跟踪训练2 证明 如图建立空间直角坐标系，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，＝(1,0，－1)，2·1·c·n·j·y
＝(0,1，－1)，＝(1,1,1).·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PC.
又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.
例3 证明 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0，0，)，【版权所有：21教育】
故＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，
＝(－2,2,1)，＝(－2,0，).
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0).
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
则即
令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1,4).
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
跟踪训练3 证明 以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0,0，a)，则易得B(0,0，0)，C，D(0，a,0)，E，F(0，a，)，
故＝(0,0，－a)，＝.
设平面ABC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝1，
∴n1＝(1，－1,0)为平面ABC的一个法向量.
设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，
同理可得n2＝(1,1，－).
∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
当堂训练
1.C 2.B 3.B 4.C 5.α∥β
5 夹角的计算
学习目标 1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.【来源：21·世纪·教育·网】
知识点一 直线间的夹角
思考1 设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈a，b〉吗？
思考2 当两条直线平行时，它们的夹角是多少？
梳理 (1)共面直线的夹角
当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，]内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为__________.21*cnjy*com
(2)异面直线的夹角
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.21·cn·jy·com
两条异面直线的夹角的范围为________，当夹角为时，称这两条直线异面______.
综上，空间两条直线的夹角的范围是____________.
(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系
空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于____________；
当＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于____________.
知识点二 平面间的夹角
思考 若平面π1与平面π2平行，则它们的夹角是多少？
梳理 (1)平面间夹角的概念
如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.【出处：21教育名师】
由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是____________.
当夹角等于0时，两个平面______；当夹角等于时，两个平面互相______.
(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系
空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.
已知平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.
当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于__________________；当＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于__________________.【版权所有：21教育】
事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
知识点三 直线与平面的夹角
思考 若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？
梳理 (1)直线与平面夹角的概念
平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.
(2)直线与平面夹角的范围
如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是____.
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是____________.
由此可得，直线与平面夹角的范围是____________.
(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法
空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定.
设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ.
当0≤〈n，a〉≤时，θ＝__________________；
当＜〈n，a〉≤π时，θ＝__________________.
即sin θ＝|cos〈n，a〉|.
类型一 直线间的夹角求解
例1 已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－1,2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值.www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0，π]，而两条直线的夹角的范围是[0，]，所以这两者不一定相等，还可能互补.21*cnjy*com
由于任意两条直线的夹角θ∈[0，]，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|cos〈s1，s2〉|.
跟踪训练1 如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值.
类型二 求平面间的夹角
例2 如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值.
反思与感悟 利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)分别求出两平面的法向量；
(3)求出两个法向量的夹角；
(4)确定平面间夹角的大小.
跟踪训练2 如图，在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC. 21教育名师原创作品
(1)证明：SE＝2EB；
(2)求平面ADE与平面CDE夹角的大小.
类型三 直线与平面的夹角
例3 已知直线l的一个方向向量为s＝(1,0,0)，平面π的一个法向量为n＝(2,1,1)，求直线与平面夹角的正弦值.2-1-c-n-j-y
反思与感悟 注意公式sin θ＝|cos〈n，a〉|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错.21·世纪*教育网
跟踪训练3 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.
1.在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为( )
A. B.－
C. D.或－
2.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值是( )
A. B. C. D.
3.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD的夹角大小为________.2·1·c·n·j·y
4.已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1,2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2,0)，则两条直线夹角的余弦值为________.【来源：21cnj*y.co*m】
5.已知平面π1的一个法向量为n1＝(1，－1,3)，平面π2的一个法向量为n2＝(－1,0，－1)，求这两个平面夹角的余弦值.www.21-cn-jy.com
用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角.
提醒：完成作业 第二章 §5
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不一定.若l1，l2的方向向量的夹角为[0，]内的角时，l1与l2的夹角为〈a，b〉，否则为π－〈a，b〉.
思考2 0.
梳理 (1) (2)(0，] 垂直
[0，] (3) 〈s1，s2〉 π－〈s1，s2〉
知识点二
思考 0.
梳理 (1)[0，] 重合 垂直
(2)〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉
知识点三
思考 不一定.
梳理 (2)0 [0，]
(3)－〈n，a〉 〈n，a〉－
题型探究
例1 解 ∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0，
∴〈s1，s2〉＞90°，
∴直线l1与直线l2的夹角为π－〈s1，s2〉，
∴直线l1与直线l2夹角的余弦值为.
跟踪训练1 解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，
A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－).
∴|cos〈，〉|
＝
＝
＝.
∴异面直线A1B与AO1夹角的余弦值为.
例2 解 如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则S(0,0,1)，D(，0,0)，C(1,1,0)，B(0,1,0)，21世纪教育网版权所有
∴＝(，0，－1)，＝(1,1，－1).
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
∴∴
令z＝1，得n＝(2，－1,1).
易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1,0,0)，
∴cos〈，n〉＝＝.
设平面SAB与平面SCD的夹角为θ，则cos θ＝.
跟踪训练2 (1)证明 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，21cnjy.com
∴＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)，
＝(0,2,0).设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c).
由m⊥，m⊥，得
∴令b＝1，则m＝(1,1,1).
又设＝λ(λ＞0)，则E(，，)，
∴＝(，，).
设平面EDC的一个法向量为n＝(x，y，z).
由n⊥，n⊥，得
∴
令x＝2，则n＝(2,0，－λ).
由平面EDC⊥平面SBC，得m⊥n，
∴m·n＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2，
∴SE＝2EB.
(2)解 由(1)，知E，
∴＝(，，)，＝(－，，－)，∴·＝0，∴EC⊥DE.
取线段DE的中点F，则F(，，)，
∴＝(，－，－)，
∴·＝0，∴FA⊥DE.
∴向量与的夹角或其补角等于平面ADE与平面CDE的夹角.
计算得cos〈，〉＝＝－，
故平面ADE与平面CDE夹角的大小为60°.
例3 解 ∵cos〈s，n〉＝＝
＝＞0，∴〈s，n〉＜，
∴直线l与平面π的夹角θ＝－〈s，n〉，
∴sin θ＝sin(－〈s，n〉)＝cos〈s，n〉＝.
即直线与平面夹角的正弦值为.
跟踪训练3 解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 21教育网
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1).
∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1).
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角为β＝90°－θ，
故有sin θ＝cos β＝＝＝，
∵θ∈[0°，90°]，
∴cos θ＝＝.
当堂训练
1.A 2.A 3.30° 4.
5.解 ∵n1＝(1，－1,3)，n2＝(－1,0，－1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－＜0.
故这两个平面夹角的余弦值为|cos〈n1，n2〉|＝.
6 距离的计算
学习目标 1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念.2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.21·cn·jy·com
知识点一 点到直线的距离
1.点到直线的距离
因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题.2-1-c-n-j-y
如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点.
作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小____________等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝__________________.【来源：21cnj*y.co*m】
2.点到直线的距离的算法框图
空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图.
知识点二 点到平面的距离
1.求点到平面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点.
作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度.
而向量在n上的投影的大小__________________等于线段AA′的______，所以点A到平面π的距离d＝____________.【出处：21教育名师】
2.点到平面的距离的算法框图
空间一点A到平面π的距离的算法框图，如图所示.
知识点三 直线到与它平行的平面的距离
如果一条直线平行于平面α，那么直线上的各点向平面α所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面α的距离均______.www-2-1-cnjy-com
一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离.
知识点四 两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的________.公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的__________.21教育网
两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的______.
类型一 求点到直线的距离
例1 如图，在空间直角坐标系中有棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离. 21*cnjy*com
反思与感悟 已知一点P和一个向量s确定的直线l，那么空间一点A到直线l的距离的算法步骤
(1)计算斜向量；
(2)计算在向量s上的投影·s0；
(3)根据勾股定理，计算d＝ .
点A到直线l的距离公式也可以写成d＝ .
求平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离.
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1三点的平面和平面ABC的交线为l. 2·1·c·n·j·y
(1)判断直线A1C1和l的位置关系，并加以证明；
(2)如果AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点A1到直线l的距离.
类型二 求点到平面的距离
例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.【版权所有：21教育】
反思与感悟 利用向量求点到平面的距离的一般步骤
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
跟踪训练2 已知点A(－1,1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1,1)，求点A到平面α的距离.21教育名师原创作品
类型三 求直线到与它平行的平面的距离
例3 在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，CC′的中点.
(1)求证：AD∥平面A′EFD′；
(2)求直线AD到平面A′EFD′的距离.
反思与感悟 求线面距离常转化为直线上的点到平面的距离.
跟踪训练3 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点.求直线A1B1与平面ABE的距离.
类型四 求两平行平面间的距离
例4 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离. 21cnjy.com
反思与感悟 求平行平面之间的距离常转化为求点到平面的距离.
跟踪训练4 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
1.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A.a B.a
C.a D.a
2.两平行平面α、β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )21*cnjy*com
A. B.
C. D.3
3.已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________.
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，高AA1为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________.
5.如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
1.由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离来求.
2.两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转化为点到平面的距离求解.
提醒：完成作业 第二章 §6
答案精析
知识梳理
知识点一
1.|·s0|
知识点二
1.|·n0| 长度 |·n0|
知识点三
相等
知识点四
公垂线 公垂线段 距离
题型探究
例1 解 如图，连接AF.
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∴A(2,0,0)，
E(0,2,1)，F(1,0,2).
∴直线EF的方向向量为＝(1，－2，1)，
取直线EF上一点F(1,0,2)，
∴点A(2,0,0)到直线EF上一点F(1,0,2)的向量为＝(－1,0,2)，
∴在上的投影为·＝，
∴点A到直线EF的距离为
d＝ ＝.
跟踪训练1 解 (1)A1C1∥l.
证明如下：
∵A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC.
又∵平面A1C1B∩平面ABC＝l，
∴l∥A1C1.
(2)如图，建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0)，C(4,3,0)，A1(0,0,1)，
C1(4,3,1).
∴＝(4,0，－1)，＝(4,3,0).
过点B作BH⊥A1C1，垂足为点H.
由(1)知，l∥A1C1，∴BH即为点A1到直线l的距离.
∵·＝16，
∴||＝＝，
∴||＝ ＝.
即点A1到直线l的距离为.
例2 解 建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可知G(0,0,2)，E(4，－2,0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，
∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，
＝(0，－2,0).
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z).
由得
∴
令y＝1，则n＝(－1,1，－3)，
故点B到平面EFG的距离为
d＝＝＝.
跟踪训练2 解 ∵＝(－1,1，－1)，
n＝(1，－1,1)，
∴点A到平面α的距离为d＝＝＝.
例3 (1)证明 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD′所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图. 21世纪教育网版权所有
由题意得＝(a,0,0)，
＝(a,0,0)，
∴DA∥D′A′.
∵D′A′?平面A′EFD′，AD?平面A′EFD′，
∴AD∥平面A′EFD′.
(2)解 由题意得D′(0,0，a)，F(0，a，)，
∴＝，＝.
设平面A′EFD′的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
不妨令z＝1，则n＝(0，，1).
∴在n上的投影的大小为
d＝＝a.
∴直线AD到平面A′EFD′的距离为a.
跟踪训练3 解 如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则www.21-cn-jy.com
A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0).
过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
∴B(1,2，0)，
∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1).
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴∴
∴令z＝1，得n＝(1,0,1).
∵＝(0,0,2)，
∴直线A1B1与平面ABE的距离为
d＝＝＝.
例4 解 如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，M(2,0,4)，【来源：21·世纪·教育·网】
A(4,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，
∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，
＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，
∴＝，＝，
∴EF∥MN，AM∥BF，
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
则
解得令z＝1，得x＝2，y＝－2，
则n＝(2，－2,1).又∵＝(0,4,0)，
∴在n上的投影为
＝＝－，
∴平面AMN与平面EFBD间的距离为d＝＝.
跟踪训练4 解 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A1(1,0,1)，21·世纪*教育网
B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0).
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1).
∴点D1到平面A1BD的距离为
d＝＝＝.
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
当堂训练
1.A 2.B 3. 4.
5.解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，
B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3).
设点F(0,0，z).
∵截面AEC1F为平行四边形，
∴＝，∴(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2，∴F(0,0,2)，
∴＝(－2，－4,2)，∴||＝2.
即BF的长为2.
(2)设平面AEC1F的一个法向量为n1＝(x，y,1)，
由
得
即
∴∴n1＝(1，－，1).
又∵＝(0,0,3)，
∴点C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
第二章 空间向量与立体几何
1 空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算.
第1层 用已知向量表示未知向量
例1 如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和. 【版权所有：21教育】
解 ＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋(－)
＝＋×(＋)
＝＋＋；
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋(－)
＝＋×(＋)
＝＋＋.
点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.
第2层 化简向量
例2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量. 21教育网
(1)＋＋；
(2)＋(＋)；
(3)－(＋).
解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋(＋)＝＋＋
＝＋＋＝.
(3)－(＋)
＝－＝.
、、如图所示.
点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则.
第3层 证明立体几何问题
例3 如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线. 21cnjy.com
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B、G、N三点共线.
2 空间向量易错点扫描
易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清
例1 “a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)21·世纪*教育网
错解 a·b<0?cos〈a，b〉＝<0?〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件.【来源：21cnj*y.co*m】
错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.
剖析 当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件.
正解 必要不充分
总结 a·b<0?a与b的夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0?a与b夹角为锐角或a与b方向相同.
易错点2 忽略两向量的夹角的定义
例2 如图所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长.
错解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，∴〈，〉＝120°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD＝6.
错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念.向量，的夹角与二面角α—AB—β的平面角互补，而不是相等.
正解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0.
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，
∴〈，〉＝180°－120°＝60°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
易错点3 判断是否共面出错
例3 已知O、A、B、C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a、b不能构成空间的一个基底的是( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.或
错解 a＝＋＋，b＝＋－，
相加得＋＝(a＋b)，
所以、都与a、b共面，不能构成空间的一个基底，故选D.
剖析 ＋＝(a＋b)，说明＋与a、b共面，但不能认为、都与a、b共面.
对A、B：设＝xa＋yb，
因为a＝＋＋，b＝＋－，
代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O、A、B、C四点不共面，
所以、、不共面，
所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，
此时，x、y不存在，所以a、b与不共面，
故a、b与可构成空间的一个基底.
同理a、b与也可构成空间的一个基底.
对C：因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a、b共面，故不能构成空间的一个基底.
正解 C
易错点4 混淆向量运算和实数运算
例4 阅读下列各式，其中正确的是( )
A.a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
B.a·b＝0?a＝0或b＝0
C.(a·b)·c＝a·(b·c)
D.·＝||||cos(180°－∠AOB)
错解 A(或B或C)
剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错.向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故A、C错误；a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，故B错误；·的夹角是180°－∠AOB.
正解 D
易错点5 忽略建系的前提
例5 四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE中点，试建立合理的坐标系，求、所成角的余弦值.2-1-c-n-j-y
错解 以A为坐标原点，以、、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝.
剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直.
正解 设AC、BD交于点O，则AC⊥BD.
因为F为CE中点，所以OF∥AE，
因为AE⊥平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，
以O为坐标原点，以、、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，
所以cos〈，〉＝.
易错点6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误
例6 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面ABD1与平面BD1C的夹角的大小.
错解 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1).
由题意知是平面ABD1的一个法向量，＝(－1,0，－1)，是平面BCD1的一个法向量，＝(0,1,1)，21世纪教育网版权所有
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为120°.
剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的取值范围.
正解 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1).
由题意知＝(－1,0，－1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量.
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝120°.
所以平面ABD1与平面BD1C夹角的大小为60°.
3 空间直角坐标系构建三策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如.
1.利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 已知在直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0).
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.
点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可.
2.利用线面垂直关系
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.
解 过B点作BP垂直于BB1交C1C于P点，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以BP⊥平面ABB1A1，
以B为原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图.
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C(，－，0)，C1(，，0)，E(，，0)，A1(0,2，).www-2-1-cnjy-com
点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便.本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口.
3.利用面面垂直关系
例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点.将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.
解 取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因为平面ABE的一个法向量为＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.
点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.【来源：21·世纪·教育·网】
4 用向量法研究“动态”立体几何问题
“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活.本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动.21教育名师原创作品
1.求解、证明问题
例1 在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(a,0，a)，C1(0，a，a).
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0).
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a).
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
2.定位问题
例2 如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.
解题提示 假设存在点M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝求出点M的坐标，若满足条件则存在.21·cn·jy·com
解 因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.
又DA⊥DC，所以DA，DG，DC两两互相垂直.如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).
因为点M在DG上，假设存在点
M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z).
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
则即令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量.
又＝(－1，－1，t)，直线BM与平面BEF所成的角为45°，所以sin 45°＝＝＝，
解得t＝－4±3.又0≤t≤1，
所以t＝3－4.
故在DG上存在点M(0,0,3－4)，且当DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.
点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果.
5 向量与立体几何中的数学思想
1.数形结合思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想.向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起.21*cnjy*com
例1 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1)证明：A1F∥平面B1CE；
(2)若E是棱AB的中点，求平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值；
(3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值.
(1)证明 因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，
所以A1F∥EC.又因为A1F?平面B1CE，
EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.
(2)解 因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，
所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2).
设平面A1ECF的法向量为m＝(x，y，z)，
由·m＝0，·m＝0，
得
令z＝1，得m＝(2，－2,1).
又因为平面DEC的法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
所以平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值为.
(3)解 过点F作FM⊥A1B1于点M，
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，
FM?平面A1B1C1D1，
所以FM⊥平面A1ABB1，
所以VB1－A1EF＝VF－B1A1E＝×S△A1B1E×FM
＝××FM＝FM.
因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合)，
所以当F与点D1重合时，三棱锥B1－A1EF的体积的最大值为.
2.转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决.将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题.这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要.
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.
(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2)求平面ADF与平面DFC夹角的余弦值.
分析 求平面与平面的夹角最常用的办法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小，但要注意平面与平面之间的夹角为锐角.
(1)证明 以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).
∵E为AB的中点，
∴E(1,1,0)，
∵D1F＝2FE，
∴＝＝(1,1，－2)＝(，，－)，
∴＝＋＝(0,0,2)＋(，，－)
＝(，，).
设n＝(x，y，z)是平面DFC的法向量，
则∴
取x＝1，得平面DFC的一个法向量为n＝(1,0，－1).
设p＝(x，y，z)是平面D1EC的法向量，
则∴
设平面ADF与平面DFC的夹角为0，取y＝1，得平面D1EC的一个法向量为p＝(1,1,1)，
∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，
∴平面DFC⊥平面D1EC.
(2)解 设q＝(x，y，z)是平面ADF的法向量，
则
∴
取y＝1，得平面ADF的一个法向量为q＝(0,1，－1)，
设平面ADF与平面DFC的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴平面ADF与平面DFC的夹角的余弦值为.
3.函数思想
例3 已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且c＝a＋tb，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2).问|c|能否取得最大值？若能，求出实数t的值及对应的向量b与c夹角的余弦值；若不能，请说明理由.2·1·c·n·j·y
分析 写出|c|关于t的函数关系式，再利用函数观点求解.
解 由题意知Δ≥0，得－4≤t≤－.
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝
＝ .
当t∈时，f(t)＝52＋是单调递减函数，∴ymax＝f(－4)，即|c|的最大值存在，
此时c＝(－5,1,11).b·c＝－27，|c|＝7.而|b|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解.
4.分类讨论思想
例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？【出处：21教育名师】
分析 由⊥，得PQ⊥QD，所以在平面ABCD内，点Q在以边AD为直径的圆上，若此圆与边BC相切或相交，则BC边上存在点Q，否则不存在.21*cnjy*com
解 假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD，连接AQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.
又＝＋且⊥，
∴·＝0，
即·＋·＝0.
又由·＝0，
∴·＝0，
∴⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又∵AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意.
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；
当0第二章 空间向量与立体几何
学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.
知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R
线面平行
l∥α?____________?____________
面面平行
α∥β?μ∥v?____________
线线垂直
l⊥m?______?______
线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R
面面垂直
α⊥β?μ⊥v?______
线线夹角
l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，cos θ＝______
线面夹角
l，α的夹角为θ(0≤θ≤)，sin θ＝______
面面夹角
α，β的夹角为θ(0≤θ≤)，cos θ＝______
知识点二 用坐标法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.21cnjy.com
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.www.21-cn-jy.com
(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.2-1-c-n-j-y
类型一 空间向量及其运算
例1 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：21*cnjy*com
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0.
其中正确结论的序号是________.
反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练1 如图，在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示.【出处：21教育名师】
类型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思与感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法
①转化为线线平行、线面平行处理.
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.
(5)证明线面垂直的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6)证明面面垂直的方法
①转化为证明线面垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.【来源：21·世纪·教育·网】
类型三 利用空间向量求角
例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
反思与感悟 用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.21世纪教育网版权所有
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.
跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点. 【版权所有：21教育】
(1)求证：GF∥平面ADE；
(2)求平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值.
1.已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，则＋(＋)等于( )
A. B. C. D.
2.若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是( )
A.－1 B.0 C.1 D.－2
3.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)与b＝(4,2－2m,2－2m)平行，则m＝________.
4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________.21·cn·jy·com
5.已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
求向量a与向量b的夹角的余弦值.
解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.21·世纪*教育网
提醒：完成作业 第二章 章末复习课
答案精析
知识梳理
知识点一
a⊥μ a·μ＝0 μ＝kv，k∈R a⊥b
a·b＝0 μ·v＝0
题型探究
例1 ③④
跟踪训练1 解 连接AN，
则＝＋.
由已知ABCD是平行四边形，
故＝＋＝a＋b，
又M分成的比为，
故＝－＝－(a＋b).
由已知，N分成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b).
于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)
＝(－a＋b＋c).
例2 证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.www-2-1-cnjy-com
设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E(0，，).
(1)＝(0，，)，＝(a，a,0).
设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝(1，－1，)，
因为·n＝(a,0，－b)·(1，－1，)＝0，
所以⊥n，故PC∥平面EBD.
(2)由题意得平面PDC的一个法向量为＝(0，a,0)，
又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b).
设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，
所以m＝(1,0，)，
因为·m＝(0，a,0)·(1,0，)＝0，
所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.
跟踪训练2 证明 如图，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则
E，
D1(0,0,1)，
A(1，0,0)，
F.
∴＝(1,0,0)＝，
＝，＝.
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，
由得
令y1＝1，得m＝(0,1，－2).
又由得
令z2＝1，得n＝(0,2,1).
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例3 解 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示，
(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，
所以AH＝10.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，＝(10,0,0)，2·1·c·n·j·y
＝(0，－6，8).
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，
则即所以可取n＝(0,4,3).又＝(－10,4,8)，故|cos〈n，〉|＝＝.
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.
跟踪训练3
方法一 (1)证明 如图，取AE的中点H，连接HG，HD.
又G是BE的中点，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(2)解 如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).
因为AB⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.21教育网
又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)，
由得
取z＝2，得n＝(2，－1,2).
从而|cos〈n，〉|＝＝＝，所以平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值为.
方法二 (1)证明 如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，
由M，F分别是AB，CD的中点，得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.
(2)同方法一.
当堂训练
1.A 2.D 3.1或3 4.x＋y＋z＝0
5.解 ∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
