2017-2018学年高中数学全一册教学案（打包15套）北师大版选修2-1

§1 命__题

命题的定义及形式
观察下列语句的特点：
①两个全等三角形的面积相等；
②y＝2x是一个增函数；
③请把门关上！
④y＝tan x的定义域为全体实数吗？
⑤若x>2 013，则x>2 014.
问题1：上述哪几个语句能判断为真？
提示：①②.
问题2：上述哪几个语句能判断为假？
提示：⑤.
问题3：上述哪几个语句不是命题？你知道是什么原因吗？
提示：③④.因为它们都不能判断真假．
问题4：语句⑤的条件和结论分别是什么？
提示：条件为“x>2 013”，结论为“x>2 014”．
1．命题
(1)可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．
(2)判断为真的语句叫作真命题；判断为假的语句叫作假命题．
2．命题的形式
数学中，通常把命题表示成“若p，则q”的形式，其中，p是条件，q是结论.
四种命题及其关系
观察下列四个命题：
①若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
②若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
③若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
④若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
问题1：命题①与命题②③④的条件和结论之间分别有什么关系？
提示：命题①的条件是命题②的结论，且命题①的结论是命题②的条件；
对于命题①③，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题①④，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
问题2：命题①④的真假性相同吗？命题②③的真假性相同吗？
提示：命题①④同为真，命题②③同为假．
1．四种命题
(1)互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题．
(2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．
(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．
(4)四种命题的条件、结论之间的关系如表所示：
命题
条件
结论
原命题
p
q
逆命题
q
p
否命题
p的否定
q的否定
逆否命题
q的否定
p的否定
2．四种命题间的关系
原命题和其逆否命题为互为逆否命题，否命题与逆命题为互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性相同．
1．判断一个语句是否为命题关键看它是否符合两个条件：一是可以判断真假，二是用文字或符号表述的语句．祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
2．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．
3．互为逆否命题的两个命题真假性相同．

命题的概念及真假判断
[例1]　判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
(2)一个正整数不是合数就是质数；
(3)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
(4)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；
(5)1＋2＋3＋…＋2 014；
(6)这盆花长得太好了！
[思路点拨]　根据命题的概念进行判断．
[精解详析]　(1)(5)(6)未涉及真假，都不是命题．
(2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．
(3)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．
(4)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．
[一点通]　
1．判断语句是否为命题的关键是看该语句是否能判断真假．
2．在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理证明，而要说明命题是假命题，只需举一个反例即可．
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是(　　)
A．红豆生南国　　　　　　　　 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.
答案：A
2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.
答案：B
3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数可被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称．
解：(1)若一个数是偶数，则它可以被2整除．真命题；(2)若一个函数为奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题.
四种命题及其关系
[例2]　分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
(4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.
[思路点拨]　找出命题的条件p和结论q.根据四种命题的条件和结论的关系写出其余三种命题．
[精解详析]　(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根．则q≥1，真命题．
(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
(4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．
否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．
逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．
[一点通]　
1．由原命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法：
(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．
2．原命题与其逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同．
4．有下列四个命题，其中真命题是(　　)
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形的四条边相等”的逆命题；③“若m≥2，则x2＋mx＋1＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
A．①②　　　　　　　　 B．②③
C．①③ D．③④
解析：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.真命题．②逆命题：四条边相等的四边形是正方形．假命题．③逆否命题：若方程x2＋mx＋1＝0无实根，则m<2.真命题．④原命题为假命题，逆否命题也为假命题．
答案：C
5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若α＋β＝，则sin α＝cos β；
(2)a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，则ab＝cd.
解：(1)逆命题：若sin α＝cos β，则α＋β＝；
否命题：若α＋β≠，则sin α≠cos β；
逆否命题：若sin α≠cos β，则α＋β≠.
(2)逆命题：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，则a＝c，b＝d；
否命题：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则ab≠cd；
逆否命题：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，则a≠c或b≠d.
6．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
解：(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．
否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.
逆否命题的应用
[例3]　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[思路点拨]　本题可直接写出其逆否命题判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．
[精解详析]　法一：其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.
所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，
故逆否命题为真命题．
法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥.
∵>1，∴a≥1.∴原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真．
[一点通]　
由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．
7．命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题是________(填“真”或“假”)命题．
解析：当m>0时，Δ＝1＋4m>0，
∴x2＋x－m＝0有实数根．
∴原命题为真，故其逆否命题为真．
答案：真
8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1时，
a2－4b2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确．
1．互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题的关系，是相对而言的，把其中一个命题叫作原命题时，另外三个命题分别是它的逆命题、否命题、逆否命题．
2．写四种命题时，大前提应保持不变．判断四种命题的真假时，可以根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同来判断．

1．命题“若x＞1，则x＞－1”的否命题是(　　)
A．若x＞1，则x≤－1　　　　 B．若x≤1，则x＞－1
C．若x≤1，则x≤－1 D．若x＜1，则x＜－1
解析：原命题的否命题是对条件“x＞1”和结论“x＞－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.
答案：C
2．给出下列三个命题：(　　)
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③“若x≠y，或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
解析：①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.
答案：B
3．(湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案：C
4．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是(　　)
A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
解析：逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
答案：B
5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是___________________________，q是___________________________．
答案：一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．
6．命题“若x2<4，则－2答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4　真
7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．
解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；
否命题：若直线l1与l2不平行， 则l1与l2相交；
逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．
8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
§2 充分条件与必要条件

充分条件与必要条件
古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．
设：
A：洛孝主动归还所拾银两．
B：洛孝无赖银之情．
C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．
D：洛孝所拾银子不是失主所丢．
问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？
提示：A，充分条件．
问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？
提示：D，必要条件．
充分条件和必要条件
如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p?q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.
充要条件
已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．
q：前年是2012年．
问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？
提示：是真命题，充分条件．
问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？
提示：是真命题，必要条件．
问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？
提示：充要条件，充要条件．
充要条件
(1)如果既有p?q，又有q?p，通常记作p?q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．
(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．
(4)若p?q，但q?/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(5)若p?/ q，且q?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．

充分条件、必要条件的判断
[例1]　下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝；
(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；
(3)p：a>b，q：2a>2b；
(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．
[思路点拨]　可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．
[精解详析]　(1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±，则p?/ q；若b＝，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．
(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p?/ q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)当a>b时，有2a>2b，即p?q，当2a>2b时，可得a>b，即q?p，故p是q的充要条件．
(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p?/ q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．
法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．
[一点通]　
充分必要条件判断的常用方法：
(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．
(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．
(3)集合法：
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.
①若A?B，则p是q的充分不必要条件；
②若B?A，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A?B且B?A，则p是q的既不充分又不必要条件．
1．设集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.
答案：D
2．对任意实数a，b，c给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中，真命题的序号是________．
解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a>b”不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③为假命题；④“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，④为真命题．
答案：②④
3．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)在△ABC中，p：sin A＞，q：A＞.
解：(1)因为|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)因为0＜A＜π时，sin A∈(0,1]，且A∈(0，]时，sin A单调递增，A∈[，π)时，sin A单调递减，所以sin A＞?A＞，但A＞?/ sin A＞.
所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
充要条件的证明和求解
[例2]　已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，
求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[思路点拨]　本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q＝－1推证数列{an}为等比数列和由数列{an}满足Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)为等比数列推证q＝－1.
[精解详析]　(充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．
(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，可知等比数列{an}的公比为p.
故＝＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．
[一点通]　
充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A是B的充要条件”中，A?B是充分性，B?A是必要性；在“A的充要条件是B”中，A?B是必要性，B?A是充分性．
4．不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是________．
解析：若x2－ax＋1>0的解集为R，则Δ＝a2－4<0，即－2又当a∈(－2,2)时，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集为R，故不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是－2答案：－25．等差数列{an}的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，则数列{Sn}为递增数列的充要条件是________．
解析：由Sn＋1＞Sn(n∈N＋)?(n＋1)a＋d＞na＋d(n∈N＋)?dn＋a＞0(n∈N＋)?d≥0且d＋a＞0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a＞0.
答案：d≥0且d＋a＞0
6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
∴必要性成立．
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：
ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的应用
[例3]　已知p：关于x的不等式＜x＜，q：x(x－3)＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[思路点拨]　求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．
[精解详析]　记A＝{x|＜x＜}，B＝
{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，
若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0＜x＜3}≠?，分两种情况讨论：
(1)若A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠?，即＜，解得m＞0，
要使A?B，应有
综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．
[一点通]　
将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．
7．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值．
解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分不必要条件，∴B ?A.
当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝.
所以m＝－或m＝.
8．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若x∈M是x∈N的充分条件，求a的取值范围．
解：由(x－a)2<1得
x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1又由x2－5x－24<0得－3∵x∈M是x∈N的充分条件，∴M?N，
∴解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是[－2,7]．
1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；
(1)若p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”及它的逆否命题都是真命题；
(2)若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；
(3)若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题．
2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．
1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．
答案：A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称?－＝1?m＝－2.
答案：A
3．已知命题p：“a，b，c成等差数列”，命题q：“＋＝2”，则命题p是命题q的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题p是命题q的必要不充分条件，故选A.
答案：A
4．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
5．直线l：x－y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋y2＝2有公共点的充要条件是________．
解析：直线l与圆C有公共点?≤?|m－1|≤2?－1≤m≤3.
答案：m∈[－1,3]
6．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件
②必要不充分条件
③充要条件
④既不充分也不必要条件
(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上为增函数”的________．
解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
答案：(1)③　(2)①
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠.
解：(1)△ABC中，∵b2＞a2＋c2，∴cos B＝＜0，
∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2＜a2＋c2.
∴p?q，q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p?/ q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件．
(4)转化为△ABC中sin A＝是A＝30°的什么条件．
∵A＝30°?sin A＝，但是sin A＝?/ A＝30°，
∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分条件．
即p是q的必要不充分条件．
8．求方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．
解：①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，不符合要求；
②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为
解得0所以ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0§3 全称量词与存在量词

全称量词与全称命题
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．
问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？
提示：任意一个，全部，每个．
问题2：上述词语都有什么含义？
提示：表示某个范围内的整体或全部．
全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．
(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.
存在量词与特称命题
观察语句①②：
①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；
②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．
提示：是，都为真命题．
问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？
提示：表示总体中“个别”或“一部分”．
问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？
提示：某些，有的，有些．
存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．
(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.
全称命题与特称命题的否定
观察下列命题：
①被7整除的整数是奇数；
②有的函数是偶函数；
③至少有一个三角形没有外接圆．
问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？
提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．
问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？
提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．
问题3：判断命题③的否定的真假．
提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．
全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．
2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．

全称命题与特称命题的判断
[例1]　判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)正四面体的各面都是正三角形；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
[思路点拨]　先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．
[精解详析]　(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；
(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．
[一点通]　
判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：
(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；
(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．
1．下列命题为特称命题的是(　　)
A．奇函数的图像关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
解析：A、B、C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A、B、C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.
答案：D
2．下列命题中，全称命题的个数是(　　)
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0个　　　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
答案：D
全称命题与特称命题的真假判断
[例2]　指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
[思路点拨]　本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．
[精解详析]　(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在x1＝0，x2＝π，x1(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．
[一点通]　
1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．
2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．下列命题的假命题是(　　)
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
解析：以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝2＋>0.故B为假命题．
答案：B
4．判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)对任意x∈R，都有x2－x＋1＞成立；
(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立；
(3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；
(4)存在x，y∈Z，使x＋y＝3成立．
解：(1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝2＋≥＞，所以该命题是真命题．
法二：x2－x＋1＞ ?x2－x＋＞0，由于Δ＝1－4×＝－1＜0，所以不等式x2－x＋1＞的解集是R，所以该命题是真命题．
(2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos(－)＝cos(－)＝cos＝，cos α－cos β＝cos－cos＝－0＝，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．
(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∈/ N，所以该命题是假命题．
(4)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题.
全称命题、特称命题的否定
[例3]　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图像都开口向下；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
[思路点拨]　先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．
[精解详析]　(1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数．
(4)是特称命题，且为真命题．
命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形．
[一点通]　
1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．
2．写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论．
5．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)
A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
解析：利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.
答案：C
6．若“对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，问题等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，有解得－1＜a＜0，故实数a的取值范围是(－1,0]
答案：(－1,0]
7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；
(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；
(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．
解析：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．
(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．
(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.
(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．
1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；
(2)改变量词；
(3)否定结论；
(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．

1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为(　　)
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：A
2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　)
A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立
B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立
D．对任意x∈R，f(x)≤0成立
解析：“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.
答案：A
3．下列命题为真命题的是(　　)
A．对任意x∈R，都有cos x＜2成立
B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立
C．对任意x＞0，都有3x＞3成立
D．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解
解析：A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1＜2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)＜0?0＜3x－1＜1?＜x＜，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，x－2＝0?x＝∈/ Q，所以D是假命题，故选A.
答案：A
4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是(　　)
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题
解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
答案：C
5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③　②④
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
8．(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题“存在实数x，使不等式sin x＋cos x>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．
解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵存在x∈R，使sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，).

全称量词与全称命题
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．
问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？
提示：任意一个，全部，每个．
问题2：上述词语都有什么含义？
提示：表示某个范围内的整体或全部．
全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．
(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.
存在量词与特称命题
观察语句①②：
①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；
②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．
提示：是，都为真命题．
问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？
提示：表示总体中“个别”或“一部分”．
问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？
提示：某些，有的，有些．
存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．
(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.
全称命题与特称命题的否定
观察下列命题：
①被7整除的整数是奇数；
②有的函数是偶函数；
③至少有一个三角形没有外接圆．
问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？
提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．
问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？
提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．
问题3：判断命题③的否定的真假．
提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．
全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．
2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．

全称命题与特称命题的判断
[例1]　判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)正四面体的各面都是正三角形；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
[思路点拨]　先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．
[精解详析]　(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；
(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．
[一点通]　
判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：
(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；
(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．
1．下列命题为特称命题的是(　　)
A．奇函数的图像关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
解析：A、B、C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A、B、C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.
答案：D
2．下列命题中，全称命题的个数是(　　)
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0个　　　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
答案：D
全称命题与特称命题的真假判断
[例2]　指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
[思路点拨]　本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．
[精解详析]　(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在x1＝0，x2＝π，x1(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．
[一点通]　
1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．
2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．下列命题的假命题是(　　)
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
解析：以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝2＋>0.故B为假命题．
答案：B
4．判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)对任意x∈R，都有x2－x＋1＞成立；
(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立；
(3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；
(4)存在x，y∈Z，使x＋y＝3成立．
解：(1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝2＋≥＞，所以该命题是真命题．
法二：x2－x＋1＞ ?x2－x＋＞0，由于Δ＝1－4×＝－1＜0，所以不等式x2－x＋1＞的解集是R，所以该命题是真命题．
(2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos(－)＝cos(－)＝cos＝，cos α－cos β＝cos－cos＝－0＝，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．
(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∈/ N，所以该命题是假命题．
(4)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题.
全称命题、特称命题的否定
[例3]　判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图像都开口向下；
(3)有些实数的绝对值是正数；
(4)某些平行四边形是菱形．
[思路点拨]　先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．
[精解详析]　(1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数．
(4)是特称命题，且为真命题．
命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形．
[一点通]　
1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．
2．写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论．
5．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)
A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
解析：利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.
答案：C
6．若“对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，问题等价于对任意x∈R，ax2－2ax－1＜0恒成立．当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，有解得－1＜a＜0，故实数a的取值范围是(－1,0]
答案：(－1,0]
7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；
(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；
(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．
解析：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．
(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．
(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.
(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．
1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；
(2)改变量词；
(3)否定结论；
(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．

1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为(　　)
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立
解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：A
2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　)
A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立
B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立
D．对任意x∈R，f(x)≤0成立
解析：“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.
答案：A
3．下列命题为真命题的是(　　)
A．对任意x∈R，都有cos x＜2成立
B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立
C．对任意x＞0，都有3x＞3成立
D．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解
解析：A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1＜2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)＜0?0＜3x－1＜1?＜x＜，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，x－2＝0?x＝∈/ Q，所以D是假命题，故选A.
答案：A
4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是(　　)
A．四个命题都是真命题
B．①②是全称命题
C．②③是特称命题
D．四个命题中有两个假命题
解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
答案：C
5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③　②④
6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
7．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)有的四边形没有外接圆；
(2)某些梯形的对角线互相平分；
(3)被8整除的数能被4整除．
解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．
(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．
(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
8．(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题“存在实数x，使不等式sin x＋cos x>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．
解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵存在x∈R，使sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，).
§4 逻辑联结词“且”“或”“非”

用逻辑联结词构成新命题
如图所示，有三种电路图．
问题1：甲图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合且q闭合．
问题2：乙图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合或q闭合．
问题3：丙图中什么情况下灯不亮？
提示：开关p不闭合．
用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题
(1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”．
(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．
(3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.
含逻辑联结词命题的真假
在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中，若开关p，q的闭合与断开分别对应着命题p，q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q，p或q，非p的真与假．
问题1：什么情况下，p且q为真命题？
提示：当p真，且q真时．
问题2：什么情况下，p或q为假命题？
提示：当p假，且q假时．
问题3：什么情况下，綈p为真命题？
提示：当p为假时．
含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
1．新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假；
2．新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真；
3．新命题綈p与命题p的真假相反．

利用逻辑联结词构造新命题
[例1]　分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题．
(1)p：6是自然数；q：6是偶数．
(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．
(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．
[思路点拨]　先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．
[精解详析]　(1)p或q：6是自然数或是偶数．
p且q：6是自然数且是偶数．
綈p：6不是自然数．
(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．
p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．
綈p：菱形的对角线不相等．
(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．
p且q：3是9的约数且是18的约数．
綈p：3不是9的约数．
[一点通]　
用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．
1．给出下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有(　　)
A．1个　　　　 B．2个　　　　
C．3个　　　　 D．4个
解析：①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”，共有3个命题①③④使用逻辑联结词，故选C.
答案：C
2．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示(　　)
A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环
B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环
D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环
解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.
答案：B
3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，
q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
解：(1)“p或q”：π是无理数或e不是无理数；
“p且q”：π是无理数且e不是无理数．
(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．
(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角．
4．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q.
(1)菱形的对角线互相垂直平分；
(2)2是4和6的约数；
(3)x＝1不是不等式x2－5x＋6>0的解．
解：(1)是“p且q”形式的命题．其中p：菱形的对角线互相垂直．q：菱形的对角线互相平分．
(2)是“p且q”形式的命题，其中p：2是4的约数；q：2是6的约数．
(3)是“綈p”形式的命题，其中p：x＝1是不等式x2－5x＋6>0的解．
含逻辑联结词的命题的真假判断
[例2]　指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假．
(1)p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解；
(2)p：x2＋1≥1，q：3＞4；
(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等；
(4)p：1∈{1,2}，q：{1}?{1,2}．
[思路点拨]　要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p，q的真假判断命题的真假．
[精解详析]　(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；
(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；
(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真；
(4)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．
[一点通]　
判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：
(1)确定命题的形式；
(2)判断构成该命题的两个命题的真假；
(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断．
5．若綈p或q是假命题，则(　　)
A．p且q是假命题　　　　　　　 B．p或q是假命题
C．p是假命题 D．綈q是假命题
解析：由于綈p或q是假命题，则綈p与q均是假命题，所以p是真命题，綈q是真命题，所以p且q是假命题，p或q是真命题，故选A.
答案：A
6．设命题p：函数y＝cos的最小正周期为2π；命题q：函数y＝tan x的图像关于直线x＝对称，则(　　)
A．p为真 B．綈q为假
C．p且q为真 D．p或q为假
解析：函数y＝cos的最小正周期T＝＝π，所以p为假命题；函数y＝tan x的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q为假命题，所以綈q为真，p且q为假，p或q为假，故选D.
答案：D
含逻辑联结词的命题真假的应用
[例3]　已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
[思路点拨]　“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q中必一真一假；可分p真q假，p假q真两种情况处理．
[精解详析]　由题意知，p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，
则p为真时，∴m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则q为真时，Δ＝16(m－2)2－4×4<0，
即1①若p真q假，则
∴m≥3.
②若p假q真，则
∴1综上所述，m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
[一点通]　
根据p，q的真假求参数的取值范围时，要充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特别注意“p假”时，一般不从綈p为真求参数的取值范围，而利用补集的思想，求“p真”时参数的集合的补集．
7．若命题“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0成立”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：该命题p的否定是綈p：“任意x∈R，x2＋(a－1)x＋1＞0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1＞0的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3，所以实数a的取值范围是(－1,3)．
答案：(－1,3)
8．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，
所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2.
函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a＞1，即a＜1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
①若p真q假，则∴1≤a＜2.
②若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是指两个中至少选一个．
2．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件又否定结论，要注意二者的区别．

1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则(　　)
A．p是真命题，q是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题
D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题
解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.
答案：C
2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∈/?，下列说法正确的是(　　)
A．p且q为假命题　　　　　　 B．p或q为假命题
C．非p为真命题 D．非q为假命题
解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.
答案：D
3．命题“若a?A，则b∈B”的否定是(　　)
A．若a?A，则b?B B．若a?A，则b∈B
C．若a∈A，则b?B D．若b?A，则a∈B
解析：命题的否定只否定其结论，为：若a?A，则b?B.故应选A.
答案：A
4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是(　　)
A．綈p B．綈p或q
C．綈q且p D．q
解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.
答案：C
5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集?UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.
答案：p且q　p或q　非p
6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是________．
解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
∵綈p为假，则p为真，
即函数在(－∞，4]上为减函数，
∴－(a－1)≥4，即a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p且綈q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)．
(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.
法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．
法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．
8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．
p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，
∴a≥4或a≤－4；
q为真命题时，对称轴x＝－≤3，
∴a≥－12.
当p真q假时，得a<－12；
当p假q真时，得－4综上所述，a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．
[对应学生用书P14]
一、命题
1．命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题．感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题．
2．四种命题：
原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．
正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．
二、充分条件与必要条件
1．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定．
若“p?q”，且“p?/ q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；
若“p?q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；
若“p?/ q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．
2．利用集合关系判断充分必要条件：
若A?B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件；
若A＝B，则x∈A与x∈B互为充要条件；
若A?B且B?A，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件．
三、全称量词与存在量词
1．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题为假．
四、逻辑联结词
1．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p或q”“p且q”“非p”．
2．含逻辑联结词的命题的真假判断：
“p或q”中有真为真，其余为假；“p且q”中有假为假，其余为真．
3．命题的否定与否命题的区别：
否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．
　
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中是假命题的是(　　)
A．等边三角形的三个内角均为60°
B．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数
C．集合A＝{0,1}的真子集有3个
D．若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根
解析：对于A，由平面几何知识可知A是真命题；对于B，取x＝，y＝－可知x＋y＝0是有理数，显然x，y都是无理数，故B是假命题；对于C，集合A＝{0,1}的所有真子集是?，{0}，{1}，共有3个，故C是真命题；对于D，由b≤－1知Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b＞0，所以D是真命题，故选B.
答案：B
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．
答案：A
3．命题p：对任意x∈R，都有x2－2x＋2≤sin x成立，则命题p的否定是(　　)
A．不存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
B．存在x∈R，使x2－2x＋2≥sin x成立
C．存在x∈R，使x2－2x＋2＞sin x成立
D．对任意x∈R，都有x2－2x＋2＞sin x成立
解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.
答案：C
4．命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.
答案：C
5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数
解析：命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．
答案：B
6．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；
③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．
那么(　　)
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
解析：①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.
答案：A
7．已知条件p：＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
解析：不等式＜0的解集为{x|x＜－2}，则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p?/ q，q?綈p，故选C.
答案：C
8．命题“对任意x∈[1,2]，都有x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4　　　　　　　　 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
解析：∵任意x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.
答案：C
9．已知命题p：任意x∈R，使x2－x＋<0；命题q：存在x∈R，使sin x＋cos x＝，则下列判断正确的是(　　)
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：∵任意x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立，
∴命题p假，綈p真；
又sin x＋cos x＝sin，当sin＝1时，sin x＋cos x＝，
∴q真，綈q假．
答案：D
10．以下判断正确的是(　　)
A．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题
B．命题“任意x∈N，x3＞x”的否定是“存在x∈N，x3＞x”　
C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
解析：∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“任意x∈N，x3＞x”的否定为“存在x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，
当最小正周期T＝π时，有＝π，
∴|a|＝1?/ a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．“对顶角相等”的否定为__________________，否命题为______________________．
解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
答案：对顶角不相等　若两个角不是对顶角，则它们不相等
12．已知角A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“cos A＝”的________条件．
解析：因为角A可能为锐角或为钝角，因此由“sin A＝”不一定得到“cos A＝”，但“cos A＝”一定能得到“sin A＝”，故“sin A＝”是“cos A＝”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
13．已知命题p：任意x∈R，ax2－2x－3＜0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是________．
解析：綈p：存在x∈R，ax2－2x－3≥0.当a＝0时，存在x≤－，使ax2－2x－3≥0；当a＞0时，显然存在实数x，使ax2－2x－3≥0；当a＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a≥0，即有－≤a＜0.综上所述：a≥－.
答案：
14．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p或綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．
上述结论中，正确结论的序号是________．
解析：∵p真，q真，∴p且q真，p或綈q真，綈p或q真，綈p或綈q假．
答案：①③④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．
解：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
∴B?A.
当B＝?时，得a＝0；
当B≠?时，则当B＝{1}时，得a＝1；
当B＝{2}时，得a＝.
综上所述：实数a组成的集合是.
16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题，并判断真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．
(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．
解：(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分，
綈p：平行四边形的对角线不一定相等．
由于p假q真，所以“p或q”真，“p且q”假，“綈p”真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．
p且q：方程x2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．
綈p：方程x2－16＝0的两根的符号相同．
由于p真q真，所以“p或q”，“p且q”为真，“綈p”为假．
17．(本小题满分12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．
解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2.方程有两个大于1的实根就是函数f(x)与x轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，
即??k<－2.
所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
18．(本小题满分14分)给定p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，
则“a＝0”或“a>0且a2－4a<0”．
解得0≤a<4.
若关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，
则Δ＝1－4a≥0，得a≤.
因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
则p，q有且仅有一个为真命题，
故“綈p且q”为真命题，或“p且綈q”为真命题，
则或
解得a<0或所以实数a的取值范围是∪.
§1 椭__圆
1．1　椭圆及其标准方程

椭圆的定义
设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．
问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？
提示：相同．
问题2：这种游戏设计的原理是什么？
提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？
提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．
椭圆的定义
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆
焦点
两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点
焦距
两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距
集合语言
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|}
椭圆的标准方程
在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．
问题1：若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
问题2：若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则动点P的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a、b、c的关系
a2－b2＝c2
1．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，
当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之焦点在y轴上．

椭圆的标准方程
[例1]　写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；
(2)a＋b＝8，c＝4；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[思路点拨]　求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a和b的值．
[精解详析]　(1)焦点在y轴上，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)?
??
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有
解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有
解得舍去，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．
依题意有解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
[一点通]　
求椭圆标准方程的一般步骤为：
1．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以即解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
答案：D
2．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为______________．
解析：由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
3．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B的椭圆的标准方程．
解：法一：若焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意，有解得a2＝4，b2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，同理这与a>b矛盾．
故所求椭圆方程为＋y2＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将A，B坐标代入得
解得故所求椭圆方程为＋y2＝1.
椭圆的定义及应用
[例2]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[思路点拨]　因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，并结合余弦定理求解．
[精解详析]　由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①解得|PF1|＝，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝.
因此所求△PF1F2的面积是.
[一点通]　
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求面积，这时可把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(　　)
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值>|AB|时，点M轨迹才是椭圆．故p为q的必要不充分条件．
答案：B
5．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|AF2|＋|BF2|＝12，则|AB|＝________.
解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案：8
6．点P在椭圆＋y2＝1上，且PF1⊥PF2，求S△PF1F2.
解：∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，
又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，
∴|PF1||PF2|＝2，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝1.
与椭圆有关的轨迹问题
[例3]　已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
[思路点拨]　P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆．
[精解详析]　如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC，
∴|AP|＝|CP|.
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4，
∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
[一点通]　
求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：
(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；
(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程．
7．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－，求顶点A的轨迹方程．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得
·＝－，化简整理，得＋＝1，
又A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y≠±6，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(y≠±6)．
8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径，
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝8,2c＝6，b＝＝，
∴M的轨迹方程是＋＝1.
1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解．
2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上．
3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．

1．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±3,0)　　　　　　　　 B．(±，0)
C．(±，0) D．(0，±)
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－ b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为(0，±)，故选 D.
答案：D
2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5 B．6
C．4 D．1
解析：由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.
答案：A
3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，
又∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.
又c＝1，∴b2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：C
4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.
∴a＝.∴b＝＝.
答案：A
5．椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.
解析：椭圆方程可化为：x2＋＝1，
则a2＝－，b2＝1，又c＝2，
∴－－1＝4，∴k＝－1.
答案：－1
6．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|OP|＝________.
解析：由题意，|PF1|＋|PF2|＝6，两边平方得|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝36.因为|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2＋(2c)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)．所以4|OP|2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP|＝.
答案：
7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．
解：法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1.
则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2|
＝＋
＝(2－)＋(2＋)
＝4，
∴a＝2，即a2＝12.
∴b2＝a2－c2＝12－4＝8.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，则
设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．
所求椭圆方程为＋＝1.
8．点P为椭圆＋y2＝1上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由题意知，a＝2，b＝1，c＝，|PF1|＋|PF2|＝4.①
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
即12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.②
①2得：|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16.③
由②③得：|PF1||PF2|＝.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60°＝××＝.
1．2　椭圆的简单性质

中国第一颗探月卫星－－“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是近地点200 km，远地点5 100 km的椭圆，地球半径约为6 371 km.
问题1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：?2a＝18 042 (km)．
问题2：此时椭圆的离心率为多少？
提示：∵a＝9 021，c＝2 450，
∴e＝＝0.271 6.
椭圆的简单性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图像
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：(0,0)
轴长
长轴长2a，短轴长2b
离心率
e＝∈(0,1)
1．椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
2．椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点F1(－c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离．
3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以＝，因此，当e越趋近于1时，越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2＋y2＝a2.所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．

椭圆的简单性质
[例1]　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[思路点拨]　将椭圆方程化为标准形式，用m表示出a，b，c，再由e＝，求出m的值，然后再求2a,2b，焦点坐标，顶点坐标．
[精解详析]　椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
∵m－＝＞0，
∴m＞，即a2＝m，b2＝.
∴c＝＝ .
由e＝，得 ＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为
F1，F2，
顶点坐标分别为
A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
[一点通]　求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　)
A．C1与C2顶点相同　　　 B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等
解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4，故选D.
答案：D
2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是(　　)
A．(±1,0) B．(0，±1)
C．(±，0) D．(0，±)
解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.
答案：D
3．已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：把椭圆的方程化为标准方程＋＝1.
可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2；又得半焦距c＝＝＝.
因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－，0)，(，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e＝.
椭圆性质的简单应用
[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)离心率e＝，短轴长为8；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[思路点拨]　(1)焦点的位置不确定，可设标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．
(2)画出图形，结合图形明确已知条件．
[精解详析]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1
或＋＝1(a>b>0)．
由已知得e＝＝，2b＝8，
∴＝＝，b2＝80.
∴a2＝144.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
[一点通]　
利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．
(3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b2＝a2－c2，e＝等．
4．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A.
B.∪
C.
D.
解析：因为点P在椭圆＋＝1的外部，
所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.
答案：B
5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程为____________．
解析：∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，
∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴＝.
∴c＝2，b2＝32－22＝5.
∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
6．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为4，短轴长为8，求椭圆的方程．
解：由题意得，解得
∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
椭圆的离心率
[例3]　如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
[思路点拨]　求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式，此题可利用kPF2＝kAB以及a2＝c2＋b2来建立a，c的关系．
[精解详析]　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，
直线PF1的方程为x＝－c，
代入方程＋＝1，得y＝±，
∴P.又PF2∥AB，∴kPF2＝kAB，
∴＝，即b＝2c.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴＝.
∴e2＝，即e＝，
所以椭圆的离心率为.
[一点通]　
1．求椭圆离心率的方法：
(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解；
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成关于的方程，即为关于离心率e的方程，进而求解．
2．求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围．
7.如图，A，B，C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵∠ABC＝90°，∴|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，
∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2，又b2＝a2－c2，
∴a2－c2－ac＝0.
∴e2＋e－1＝0，e＝.
答案：A
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求准a，b.
2．求离心率e时，注意方程思想的运用．

1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．3或
C. D.或
解析：若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，
∴b＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.
若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，
∴m＝.
答案：B
2．(广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.故选 D.
答案：D
3．(新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c.
∴3a＝4c.∴e＝.
答案：C
4．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[1,2]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.
答案：B
5．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：由题意2b>2c，即b>c，即>c，
∴a2－c2>c2，则a2>2c2.
∴<，∴0答案：
6．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
解析：∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，
∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，
∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
解：(1)依题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝，∴＝，∴b2＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝9，
因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
解：如图，∵·＝0，
∴AF2⊥F1F2，
∵椭圆的离心率e＝＝，
∴b2＝a2，设A(x，y)(x>0，y>0)，
由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(x，y)代入椭圆方程得＋＝1，
∴y＝.∵△AOF2的面积为2，
∴S△AOF2＝c·＝2，
而＝，∴b2＝8，a2＝2b2＝16，
故椭圆的标准方程为：＋＝1.
§2 抛_物_线
2．1　抛物线及其标准方程

抛物线的定义
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？
提示：线段DA的长．
问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？
提示：线段DC的长．
问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？
提示：相等．
抛物线的定义
定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线
焦点
定点F
准线
定直线l
抛物线的标准方程
已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．
A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；
l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．
提示：y2＝12x.　向右．
问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：y2＝－12x.　向左．
问题3：到定点C和定直线l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：x2＝12y.　向上．
问题4：到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？
提示：x2＝－12y.　向下．
抛物线的标准方程
图像
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)
x＝－
y2＝－2px(p＞0)
x＝
x2＝2py(p＞0)
y＝－
x2＝－2py(p＞0)
y＝
1．平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的集合是抛物线，定点F不在定直线上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．

求抛物线的焦点坐标和准线方程
[例1]　指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．
(1)y＝x2；(2)x＝ay2(a≠0)．
[思路点拨]　首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p.再写出焦点坐标和准线方程．
[精解详析]　(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，
∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.抛物线开口向上．
(2)抛物线方程的标准形式为y2＝x，
∴2p＝.
①当a>0时，＝，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－；
②当a<0时，＝－，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是x＝－.
综合上述，当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为，准线方程为x＝－.a>0时，开口向右；a<0时，开口向左．
[一点通]　
1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p值．
2．抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标，准线x＝－，不必讨论a的正负．
1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是(　　)
A．(0,2)　　　　　　　　 B．(0，－2)
C．(4,0) D．(－4,0)
解析：由抛物线的方程为x2＝8y知，抛物线的焦点在y轴上，所以2p＝8，＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.
答案：A
2．(北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
答案：2　x＝－1
求抛物线的标准方程
[例2]　求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.
[思路点拨]　确定p的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．
[精解详析]　(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，∵过点(－3,2)，
∴4＝－2p1(－3)或9＝2p2·2.
∴p1＝或p2＝.
故所求的抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
当焦点为(4,0)时，＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，＝|－2|，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.
故所求的抛物线的方程为y2＝16x或x2＝－8y.
(3)由题意知，抛物线标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)且p＝3，∴抛物线标准方程为x2＝6y或x2＝－6y.
[一点通]　
求抛物线标准方程的方法有：
(1)定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程．
(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
3．(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则拋物线的方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
解析：由准线方程x＝－2，可知拋物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.
答案：B
4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(－5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是________．
解析：因为点(－5,2)在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y2＝－2px，把(－5,2)代入得p＝2，故所求方程为y2＝－4x.
答案：y2＝－4x
5．已知焦点在x轴上，且抛物线上横坐标为3的点A到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．
解：由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－.
∵A到焦点的距离为5，∴A到准线的距离也是5，
即3－＝5，解得p＝4.
故所求的抛物线标准方程为y2＝8x.
抛物线标准方程的实际应用
[例3]　某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由．
[思路点拨]　可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．
[精解详析]　建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
当x＝3时，y＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．
代入得2p＝3，故抛物线方程为x2＝－3y.
已知集装箱的宽为3 m，
当x＝时，y＝－，而桥高为5 m，
所以5－＝4>4.
故卡车可通过此隧道．
[一点通]　
1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．
6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m时，水面宽10 m，抛物线的方程可能是(　　)
A．x2＝－y B．x2＝－y
C．x2＝－y D．x2＝－y
解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则P(5，－6)在抛物线上．
∴25＝－2p(－6)，∴p＝.
∴抛物线方程为x2＝－y.
答案：A
7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
∵每4米需用一根支柱支撑，
∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.
由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－.
∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．
1．确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
2．求抛物线标准方程的方法：
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．

1．抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　)
A．(0，－4)　　　　　　　　 B．(0，－2)
C．(－，0) D．(－，0)
解析：抛物线方程可化成x2＝－8y，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B.
答案：B
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A．4 B．2
C．6 D．8
解析：∵a2＝6，b2＝2，
∴c2＝a2－b2＝4，c＝2.
椭圆的右焦点为(2,0)，∴＝2，p＝4.
答案：A
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　)
A. B．－
C．8 D．－8
解析：由y＝ax2，得x2＝y，＝－2，a＝－.
答案：B
4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
答案：A
5．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．
解析：因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.
答案：
6．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________．
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，故焦点F到抛物线准线的距离等于4.
答案：4
7．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．
(1)求焦点在直线2x－y＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)已知抛物线方程为2x2＋5y＝0，求其焦点和准线方程．
(3)已知抛物线方程为y＝mx2(m≠0)，求其焦点坐标及准线方程．
解：(1)直线2x－y＋5＝0与坐标轴的交点为，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y2＝－10x，x2＝20y.
其对应准线方程分别是x＝，y＝－5.
(2)抛物线方程即为x2＝－y，焦点为，准线方程：y＝.
(3)抛物线方程即为x2＝y(m≠0)，焦点为，准线方程y＝－.
8.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是，4＋＝5，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
则FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以N.
2.2　抛物线的简单性质

太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．
问题1：抛物线有几个焦点？
提示：一个．
问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？
提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．
问题3：抛物线有对称中心吗？
提示：没有．
问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？
提示：有；1条．
抛物线的简单性质
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图像
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
通径
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|＝2p
1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
3．抛物线的离心率是确定的，e＝1；
4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为.

利用抛物线性质求标准方程
[例1]　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程．
[思路点拨]　因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长等于2，可知交点纵坐标为±.
[精解详析]　如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
则|y1|＋|y2|＝2，
即y1－y2＝2.
由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.
将y1＝代入x2＋y2＝4得x＝±1，
∴点(1，)，(－1，)分别在抛物线y2＝2px，y2＝－2px上．
∴3＝2p或3＝(－2p)×(－1)，p＝.
故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
[一点通]　
由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p的值，其主要步骤为：
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝±3y　　　　　　　　 B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以＝3，p＝6.又因为对称轴是y轴，所以抛物线标准方程为x2＝±12y.
答案：C
2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)
A．y2＝x　　　　　　　　 B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB为等边三角形，且边长为1.∴A.
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴＝2p·，∴p＝，
∴抛物线方程为y2＝x，
同理，当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，方程为y2＝－x.　
答案：C
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边所在的直线方程是y＝2x，求此抛物线的方程．
解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y＝－x.
由得三角形的一顶点为，
由得三角形的另一个顶点为(8p，－4p)，
由已知，得2＋(－4p－p)2＝(2)2.
解得p＝.故所求抛物线的方程为y2＝x.
抛物线的定义及性质的应用
[例2]　若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，求动点M的轨迹方程．
[思路点拨]　“点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝0为准线的抛物线．
[精解详析]　如图，设点M的坐标为(x，y)．
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．
根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且＝4，即p＝8.
因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为：y2＝16x.
[一点通]　
由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理．即：若p(x0，y0)是抛物线y2＝2px上任意一点，则p到焦点F的距离为|PF|＝x0＋(称为焦半径)．
4．平面上点P到定点(0，－1)的距离比它到y＝2的距离小1，则点P轨迹方程为________．
解析：由题意，即点P到(0，－1)距离与它到y＝1距离相等，即点P是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x2＝－4y.　
答案：x2＝－4y
5．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．
解：将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
设P(x0，y0)，则y0＝2，
∴x0＝2.
故P点坐标为(2,2)．
与焦点弦有关的问题
[例3]　已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l过抛物线焦点F与抛物线交于A，B两点．
求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[思路点拨]　解答本题可设出A，B两点坐标，并用A，B的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．
[精解详析]　设直线l与抛物线两交点A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则中点M.
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p.
设圆心M到准线x＝－的距离为d，
则d＝＋＝，
∴d＝，
即圆心到准线x＝－的距离等于圆的半径．
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
[一点通]　
1．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．
2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，则①|AB|＝x1＋x2＋p，②x1·x2＝，y1y2＝－p2.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|的值为(　　)
A．10 B．8
C．6 D．4
解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝
x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
答案：B
7．(江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝(　　)
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析：如图，直线MF的方程为＋＝1，
即x＋2y－2＝0.设直线MF的倾斜角为α，则tan α＝－.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以＝＝sin α＝.
答案：C
1．抛物线y2＝2px上的点P(x0，y0)到焦点F的距离(焦半径)：|PF|＝x0＋.
2．若过抛物线y2＝2px的焦点的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p(焦点弦公式)．当AB⊥x轴时，AB为通径且|AB|＝2p.
3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用．

1．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为(　　)
A．4　　　　　　　　 B．－2
C．4或－4 D．2或－2
解析：由题意知抛物线方程可设为x2＝－2py(p＞0)，则＋2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.
答案：C
2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A.　　　　 B．1　　　　
C.　　　　 D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
3．(新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，
由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，
所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.
答案：C
4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
答案：B
5．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．
解析：设抛物线的方程为y2＝2ax，则F.
∴|y|＝＝＝|a|.
由于通径长为6，即2|a|＝6，
∴a＝±3.∴抛物线方程为y2＝±6x.
答案：y2＝±6x
6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)．
解析：由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．
又∵它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．
而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤.
答案：②⑤
7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．
解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，准抛物线方程为x＝－.
∵M在抛物线上，
∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即
∴ ＝ ＝3.
解得：p＝1，y0＝±2，
∴抛物线方程为y2＝2x.
∴点M(2，±2)，根据两点间距离公式有：
|OM|＝＝2.
8．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若|AB|＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
解：由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2、y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1·x2＝m2，y1·y2＝m(x1＋x2)＋x1·x2＋m2＝8m.
(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝.
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．故实数m的值为－8.
§3 双_曲_线
3．1　双曲线及其标准方程

双曲线的定义
2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．
问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？
提示：|MB|－|MA|＝340×3＝1 020(m)．
问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？
提示：始终满足|MB|－|MA|＝1 020.
双曲线的定义
定义
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线
焦点
定点F1，F2叫作双曲线的焦点
焦距
两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距
集合语言
P＝{M|＝2a,0＜2a＜|F1F2|}
双曲线的标准方程
上述问题中，设|AB|＝1 600＝2c, ||MA|－|MB||＝1 020＝2a.
问题1：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？
提示：(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
问题2：若以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？
提示：(c2－a2)y2－a2x2＝a2(c2－a2)．
双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图像
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)；F2(c,0)
F1(0，－c)；F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1．双曲线定义中＝2a(0<2a<|F1F2|)，不要漏掉绝对值符号．当2a＝|F1F2|时，表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．c2＝a2＋b2与椭圆中的a2＝b2＋c2不同．

双曲线的标准方程
[例1]　根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
[思路点拨]　用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．
[精解详析]　(1)法一：(待定系数法)
由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程得
－＝1，又a2＋b2＝9，
解得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
法二：(定义法)
由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，
则2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
即双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：若焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
所以解得
若焦点在y轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
同理有
解得(不合题意，舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
[一点通]　求双曲线标准方程的常用方法：
(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．
(2)用待定系数法，具体步骤如下：
1．已知椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意知椭圆C1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有a2＋b2＝9，且2a＝4.
∴a2＝4，b2＝5，故选A.
答案：A
2．已知双曲线经过点P(3,2)和点Q(－6，7)，求该双曲线的标准方程．
解：设所求双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，又双曲线过P，Q两点，
∴解得
故所求双曲线标准方程为－＝1.
3．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．
解：因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，
A点的坐标为(，4)或(－，4)，
设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
所以
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
曲线类型的判定
[例2]　已知曲线C：＋＝1(t≠0，t＝±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
[思路点拨]　方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论．
[精解详析]　(1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；
当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
当|t|<1时，双曲线C的方程为－＝1，
∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．
[一点通]　
方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示椭圆的充要条件为A>0，B>0，且A≠B；表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的．
4．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和a＝5时，P点的轨迹是(　　)
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
解析：由题意，|F1F2|＝10，当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6＜10，此式中没有加绝对值，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点沿x轴向右的一条射线．
答案：C
5．若方程－＝1表示双曲线，则实数m满足(　　)
A．m≠1且m≠－3 B．m ＞1
C．m＜－或m＞ D．－3＜m＜1
解析：因为方程－＝1表示双曲线，而m2＋1＞0恒成立，所以m2－3＞0，解得m＜－或m＞，故选C.
答案：C
双曲线的定义及应用
[例3]　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[思路点拨]　欲求△F1PF2的面积，可考虑用|PF1||PF2|sin∠F1PF2求解，只要求出∠F1PF2的正弦值即可．而△F1PF2的三边中，|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．
[精解详析]　由双曲线方程－＝1，
可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，
将此式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.
如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[一点通]　
双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正弦、余弦定理，同时要注意整体代换思想的应用．
6．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　　 B．4　　　　
C．6　　　　 D．8
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
所以|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2c＝2，
又因为∠F1PF2＝60°，所以在△F1PF2中利用余弦定理可知：
|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝4，故选B.
答案：B
7．在△ABC中，|BC|＝2且sin C－sin B＝sin A，求点A的轨迹方程．
解：以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．设A(x，y)，由sin C－sin B＝sin A及正弦定理可得
|AB|－|AC|＝|BC|＝1<2＝|BC|，
∴点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵2a＝1,2c＝2，∴a＝，c＝1，
∴b2＝c2－a2＝，∴双曲线方程为4x2－＝1.
∵|AB|－|AC|＝1>0，∴x>，
∴点A的轨迹方程是4x2－＝1.
1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．
2．用待定系数法求双曲线的标准方程的关键是判断焦点所在的位置．

1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　)
A．1或21　　　　　　　　 B．14或36
C．2 D．21
解析：设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.
答案：D
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则由
解得
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案：A
3．k<2是方程＋＝1表示双曲线的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：∵k<2?方程＋＝1表示双曲线，
而方程＋＝1表示双曲线?(4－k)(k－2)<0?k<2或k>4?/ k<2.
答案：A
4．设P为双曲线x2－＝1上的 一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　)
A．6 B．12
C．12 D．24
解析：由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2.由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0.
∴三角形PF1F2为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
答案：B
5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
6．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝x上，则C的方程为________．
解析：点P(2,1)在直线y＝x上，则1＝，a＝2b　①.
双曲线的焦距为10，则有a2＋b2＝52，将①代入上式可得b2＝5，从而a2＝20，故双曲线C的方程为－＝1.
答案：－＝1
7．已知双曲线C1：x2－＝1.求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程．
解：双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，设双曲线C2的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则解得
所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1.
8．若双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|⊥|PF2|，求此双曲线的方程．
解：∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.
则b2＝c2－a2＝20.
故所求的双曲线方程为－＝1.
3．2　双曲线的简单性质

如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心(ADNEC)．阿布扎比是阿联酋的首都，这个双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心．它的形状就像一条双曲线．
这是双曲线在建筑学上的应用，要想让双曲线更多更好的为生活、工作所应用，我们必须研究双曲线的性质．
问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？
提示：坐标轴；原点．
问题2：双曲线的离心率越大，双曲线就越开阔吗？
提示：是．离心率越大，越大，双曲线就越开阔．
双曲线的性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图像
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
对称性
对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
渐近线
±＝0或y＝± x
±＝0或y＝±x
离心率
e＝(e＞1)
1椭圆有四个顶点，而双曲线有两个顶点．
2．双曲线有两条渐近线，双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)．
3．双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2＝a2＋b2.

双曲线的简单性质
[例1]　求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．
[思路点拨]　先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．
[精解详析]　将双曲线方程4x2－y2＝4化为标准方程x2－＝1，
∴a＝1，b＝2，∴c＝.
因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－，0)，F2(，0)；
实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2；
离心率e＝＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±2x.
[一点通]　
由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式－＝1，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为a2，b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案．
1．(福建高考)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．1 D.
解析：双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.
答案：B
2．求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
解：把方程化为－＝1，
∴a＝4，b＝3，c＝5.
∴实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
焦点坐标(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
利用双曲线的性质求双曲线方程
[例2]　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)实轴长为16，离心率为；
(2)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
[思路点拨]　由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值．
[精解详析]　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2，
解得c＝10，a＝8，b＝6，
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为：－y2＝1.
[一点通]　
根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法．首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．
3．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且它的离心率为，则该双曲线的方程为(　　)
A．x2－y2＝50 B．x2－y2＝24
C．x2－y2＝－50 D．x2－y2＝－24
解析：因为双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，分别为(0，－4)和(0,4)，因为双曲线的离心率为，所以＝＝，所以a＝2，b＝2，所以双曲线的方程为y2－x2＝24，即x2－y2＝－24.
答案：D
4．(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过P(，2)，求双曲线方程；
(2)求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)的双曲线方程．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意可得?
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝.
－＝1，解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
求双曲线的离心率
[例3]　已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．
[思路点拨]　确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．
[精解详析]　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，由于在双曲线中c>b，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以＝tan 30°，c＝b，所以a＝b，离心率e＝＝＝.
[一点通]　
双曲线－＝1(a>0，b>0)中有三类特殊点：焦点(±c,0)、顶点(±a,0)、虚轴的两个端点(0，±b)．求双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a，c的关系．在用几何图形给出的问题中，要善于利用几何图形的性质分析解决．
5．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是(　　)
A．－3 B.
C．3 D．－
解析：双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－.
答案：D
6．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1,3) B．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|(当P为双曲线右顶点时取等号)，
∴6a≥2c.∴≤3.
又e>1，∴1答案：B
7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．
解析：如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．
|F1N|＝c，|NF2|＝c.
又∵|NF1|－|NF2|＝2a，
即c－c＝2a.∴e＝＝＝＋1.
答案：＋1
1．由已知双曲线的方程求双曲线的性质时，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错．
2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手．
3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A>0，B>0且A≠B时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线．

1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　　　　 B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：C
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：双曲线标准方程为：y2－＝1，
∴a2＝1，b2＝－.
由题意b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.
答案：A
3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由方程组得a＝2，b＝2.
∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：B
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意，得|F1F2|＝2c，|MF2|＝c，|MF1|＝c.
由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝c＝2a，所以e＝＝.
答案：B
5．双曲线＋＝1的离心率为e，e∈(1,2)，则k的取值范围是________．
解析：由题意知k<0，且a＝2，c＝，
∴1<<2，解得－12答案：(－12,0)
6．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
解析：设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，所以|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝－|PF′|＋|MF|－|FN|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
答案：－1
7．根据以下条件，求双曲线的标准方程．
(1)过P(3，－)，离心率为；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2即a2＝b2.①
又过点P(3，－)有：－＝1，②
由①②得：a2＝b2＝4，
双曲线方程为－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
同理有：a2＝b2，③
－＝1，④
由③④得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．
综上所述，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆方程＋＝1，
知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，
半焦距c1＝＝，
所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．
因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设条件及双曲线的性质，有
解得
即双曲线方程为－y2＝1.
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.
法二：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
§4 曲线与方程
4．1　曲线与方程

在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．
问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？
提示：相等．
问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上吗？
提示：不一定．
问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y＝±x.
方程的曲线、曲线的方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．
判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．

曲线与方程的概念的理解
[例1]　(1)判断点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值．
[思路点拨]　由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．
[精解详析]　(1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
把点B(－3，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点C(，2)的坐标代入x2＋y2＝25，得()2＋(2)2＝25，满足方程，但因为横坐标不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点M(m，)，N在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，×＝n2(n2－1)，解得m＝±，n＝±或±.
[一点通]　
1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．
(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；
(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．
2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：点M在曲线y2＝4x上，若点M(x0，y0)，则y＝4x0，不能得出y0＝－2；若点M(x0，y0)满足方程y＝－2，则y0＝－2，∴y＝4x0，故为必要不充分条件．
答案：B
2．判断下列结论的正误，并说明理由．
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝0；
(2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x＝0.
解：(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3，
∴结论不正确．
(2)∵到x轴距离为2的点的轨迹方程是y＝±2，
∴结论错误．
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．
(4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0(－3≤y≤0)，
∴结论错误.
由方程确定曲线
[例2]　(1)方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？
(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
[思路点拨]　由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析．
[精解详析]　(1)由方程(x＋y－1)＝0可得：
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)，
(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，
而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴∴
∴方程表示的图形为点A(1，－1)．
[一点通]　
曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．
3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是(　　)
解析：原方程可化为
或或
或
作出其曲线为D.
答案：D
4．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是(　　)
A．一个点
B．两条互相平行的直线
C．两条互相垂直的直线
D．两条相交但不垂直的直线
解析：∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，
∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，
∴2x＋1＝±(y－1)，
∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．
答案：D
5．方程＝表示的曲线为(　　)
A．两条线段 B．两条直线
C．两条射线 D．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.
∴有y＝|x|，|x|≤1.
∴曲线表示两条线段，故选A.
答案：A
求曲线的方程
[例3]　如图已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，求动点P的轨迹方程．
[思路点拨]　本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后由·＝·得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可得P的轨迹方程．
[精解详析]　设点P(x，y)，则Q(－1，y)，＝(x＋1,0)，＝(2，－y)，＝(x－1，y)，＝(－2，y)，
由·＝·，
∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即动点P的轨迹方程为y2＝4x.
[一点通]　
1．求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法)．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．
2．直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法．
6．已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是(　　)
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0)
D．y＝(x≠±1)
解析：设动点P的坐标为(x，y)，则kPA＝(x≠－1)，
kPB＝(x≠1)．
∵kPA·kPB＝－1，
∴·＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．
答案：B
7．已知△ABC的两个顶点A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
解：设△ABC的重心G(x，y)，C(x0，y0)，
则即
∵点C在y＝3x2－1上，
∴y0＝3x－1，即3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
整理得y＝9x2＋12x＋3.
∴△ABC的重心G的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.
8．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．
解：设点C的坐标为(x，y)，
∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点，
∴|AB|＝|AC|
又∵|AB|＝＝2，
∴|AC|＝＝2，
∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.
又∵点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线，
∴x≠－2且x≠10，
∴点C的轨迹方程为
(x－4)2＋(y－2)2＝40(x≠－2且x≠10)．
1．理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意：
(1)曲线上点的坐标都是方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．

1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是(　　)
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C.＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析：考察每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A，B，C中各对曲线的x与y的取值范围不一致．
答案：D
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为(　　)
A．π　　　　　　　　　 B．4π
C．8π D．9π
解析：设P为(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得 ＝2，
即(x－2)2＋y2＝4，∴点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π.
答案：B
3．方程x2＋xy＝x的曲线是(　　)
A．一个点 B．一个点和一条直线
C．一条直线 D．两条直线
解析：x2＋xy＝x，即x2＋xy－x＝0，
∴x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.
故方程表示两条直线．
答案：D
4．已知点A(0，－1)，点B是抛物线y＝2x2＋1上的一动点，则线段AB的中点M满足的方程为(　　)
A．y＝2x2 B．y＝4x2
C．y＝6x2 D．y＝8x2
解析：设B(x0，y0)，M(x，y)．
∵M是AB的中点，
∴x＝，y＝，得x0＝2x，y0＝2y＋1.
又∵B(x0，y0)在抛物线y＝2x2＋1上，∴y0＝2x＋1，
即2y＋1＝2(2x)2＋1，因此y＝4x2，故M满足的方程为y＝4x2.
答案：B
5．在△ABC中，已知A(2,0)，B(－1,2)，点C在直线2x＋y－3＝0上移动．则△ABC的重心G满足的方程为________．
解析：设△ABC的重心G的坐标为(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，则
∴
∵ 点C在直线2x＋y－3＝0上，故有6x＋3y－7＝0，
又∵重心G不在AB上，故x≠，y≠，
∴重心G满足的方程为6x＋3y－7＝0(x≠)．
答案：6x＋3y－7＝0(x≠)
6．方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能是圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中正确的命题是________．
解析：当4－k＝k－1，即k＝时表示圆，命题①不正确；显然k＝∈(1,4)，∴命题②不正确；若曲线C为双曲线，则有(4－k)(k－1)<0，即k<1或k>4，故命题③正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4－k>k－1>0，解得1答案：③④
7．已知直角三角形ABC，∠C为直角，A(－1,0)，B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．
解：设C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．
∵∠C为直角，
∴⊥，即·＝0，
即(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得
x2＋y2＝1.
∵A，B，C三点要构成三角形，
∴A，B，C不共线，∴y≠0，
∴C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
8．设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥.当点P在y轴上运动时， 求N点的轨迹C的方程．
解：∵＝2，故P为MN中点．
又∵⊥，P在y轴上，F为(1,0)．
故M在x轴的负方向上，设N(x，y)(x>0)，
则M(－x,0)，P(0，)，
∴＝(－x，－)，
＝(1，－)．
又∵⊥，故·＝0，
即－x＋＝0，∴y2＝4x(x>0)．
即N点的轨迹C的方程为y2＝4x(x>0)．
4．2 & 4.3　圆锥曲线的共同特征　直线与圆锥曲线的交点

圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上点M(x，y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线x＝的距离比是常数e.
问题1：若F(4,0)，l：x＝，e＝，则点M的轨迹方程是什么？轨迹呢？
提示：＋＝1，椭圆．
问题2：若F(5,0)，l：x＝，e＝，则点M的轨迹方程是什么？轨迹呢？
提示：－＝1，双曲线．
圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.
当0当e>1时，圆锥曲线是双曲线；
当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．
直线与圆锥曲线的交点
问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？
提示：正确．
问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？
提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点．
问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线－＝1仅有一个交点？
提示：3条．
曲线的交点
设曲线C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的坐标．
1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数e.
2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．

圆锥曲线共同特征的应用
[例1]　曲线上的点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到直线l：x＝的距离之比是常数，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P使|PF|＝5.
[思路点拨]　(1)可由|MF|与d(d为M到l：x＝的距离)比为，列出M(x，y)满足的关系，进而求出曲线的方程．
(2)由|PF|＝5，可得P到l的距离为4，从而可求得P的坐标．
[精解详析]　(1)设d是点M到定直线l的距离，根据题意，曲线上的点M满足＝，
由此得＝，
即 ＝，
两边平方整理得－＝1.
(2)设P(x，y)到l的距离为d，由|PF|＝5，得d＝4.
即＝4，解得x＝或x＝－.
由于|x|≥4，故x＝－不合题意，舍去．
由x＝得y＝±.
∴点P的坐标为.
[一点通]　
圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．
1.抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
解析：由抛物线定义：
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3.
答案：A
2．已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．
解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2.
∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.
设P到右准线l的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋D.
当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小，如图．
把y＝2代入＋＝1，
得x＝(负值舍去)，
即P为所求的点.
直线与圆锥曲线的交点
[例2]　若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
[思路点拨]　几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m的范围．
[精解详析]　法一：由于椭圆的焦点在x轴上，知
0又∵直线与椭圆总有公共点，
∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上，
∴＋≤1，即m≥1，
故m的取值范围是m∈[1,5)．
法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x轴上知0由
得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
又直线与椭圆有公共点，
∴上述方程的Δ≥0对一切k都成立，
即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，
亦即5k2≥1－m对一切k都成立，
∴1－m≤0，即m≥1，故m的取值范围是m∈[1,5)．
[一点通]　
解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．
3．已知直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支相交于不同两点，则k的取值范围是________．
解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0　①，直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以解得－＜k＜－1.
答案：
4．求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
解：①若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
②若直线的斜率存在，设方程为y＝kx＋1，
由得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0，当k＝0时，解得y＝1，
即直线y＝1与抛物线只有一个公共点．
当k≠0时，由Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，得k＝.
即直线y＝x＋1与抛物线只有一个公共点．
综上所述，所求直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
中点弦、弦长问题
[例3]　过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
[思路点拨]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB的方程，再联立方程求得A，B的坐标，根据两点间的距离公式求|AB|.　
[精解详析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①
显然x1≠x2，故由①得
kAB＝＝－.
因为点P是AB的中点，所以有
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②
把②代入①得kAB＝，故AB的直线方程是
y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由消去y得3x2＋6x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝
＝·
＝ ·＝.
[一点通]　
1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.
2．直线y＝kx＋b与曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)．
5．已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线l经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b＞0)，
由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，
则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1.
(2)由题意可知直线l的方程为y＝x－2，
联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝6.
6．已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．
解：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵P为弦AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又∵A，B在椭圆上，
∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴＝＝－，即kAB＝－.
∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下：
(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．
(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB|＝ |x1－x2|＝ ·|y1－y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．
(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
[对应课时跟踪训练(二十一)]　
1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条　　　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．4条
解析：点(2,4)位于抛物线y2＝8x上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．
答案：B
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)
解析：由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，
则解得
由＋＝1表示椭圆知，m＞0且m≠3.
综上可知，m的取值范围是m＞1且m≠3.
答案：B
3．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．
答案：B
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析：抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，
所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
答案：B
5．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________．
解析：法一：显然直线AB存在斜率，
设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB方程为y－1＝k(x－2)，由
得(3－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－4＝0，
∴x1＋x2＝＝4，∴k＝6.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
y1＋y2＝2，且x－＝1，x－＝1.
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝.
显然x1－x2≠0，
∴＝＝6，即kAB＝6.
答案：6
6．已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x＝3的距离的比为，则动点M的轨迹方程为________．
解析：设M(x，y)，则＝，
∴3(x－1)2＋3y2＝(x－3)2.
∴2x2＋3y2＝6.
∴所求方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离．
解：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|，
由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y＝(x－2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去x得y2＝8?y2－6y－16＝0?y1＝8，y2＝－2.
∴|AB|＝ |y1－y2|＝，
由抛物线的定义知：|PQ|＝|AB|＝.
8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积．
解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.
∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，
联立消去y得5x2＋6x－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝
＝＝＋1
＝，
∴中点坐标为M.
(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，
|AB|＝·＝，
∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，
△ABF2的周长＝4a＝4.
[对应学生用书P66]
一、圆锥曲线的定义
1．椭圆：
平面内到两定点F1，F2距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合．
2．抛物线：
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合．
3．双曲线：
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零小于|F1F2|)的点的集合．
圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
二、圆锥曲线的标准方程与简单性质
1．圆锥曲线的标准方程：
椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程．根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式．
2．圆锥曲线的简单几何性质：
(1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件．
(2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴．
(3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点．
(4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程也不同．
(5)圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转化是解题的重要依据．
三、轨迹方程的问题
求轨迹方程的几种常用方法：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义，则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．
四、直线与圆锥曲线位置关系
1．直线与圆锥曲线位置关系问题是高考热点，涉及直线与圆锥曲线中的弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值、定点、定值等问题．
2．这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的判别式以及根与系数的关系相结合，与函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合，解决方法主要是通过解方程组，转化为一元方程，与中点弦有关的问题也可用“点差法”，解决问题的过程中，要注意“整体代换”思想的应用．
　
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)
A．(2,0)　　　　　　　　 B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
解析：抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(－2,0)．
答案：B
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为椭圆的长轴长2a是短轴长2b的倍，所以a＝b，则c＝＝b，所以椭圆的离心率e＝＝＝.
答案：B
3．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
解析：当顶点为(±4,0)时， 对于双曲线，a＝4，c＝8，b＝4，则双曲线的标准方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，对于双曲线，a＝3，c＝6，b＝3，则双曲线的标准方程为－＝1.
答案：C
4．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：直线l与x轴交于(－2,0)，与y轴交于(0,1)．由题意知c＝2，b＝1，
∴a＝，∴e＝＝.
答案：D
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
解析：由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x＝－.
∴3－＝4，∴p＝2.
答案：C
6．一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：圆C的方程即(x－3)2＋y2＝1，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.
∵圆P与圆O外切而与圆C内切，
∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，又|OC|＝3，
∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
答案：A
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
解析：由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，
则c又e∈(0,1)，∴e∈.
答案：C
8．两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是2，且a>b，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意知解得a＝5，b＝4，
∴c＝＝＝.
∴双曲线的离心率e＝＝.
答案：D
9．(浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)
A．3 B．2
C. D.
解析：设焦点F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
答案：B
10．(浙江高考)如图F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
答案：D
11．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．
解析：由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(，0)，设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
12．若曲线＋＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是________．
解析：∵k＋5>k－2，∴当k＋5>k－2>0时，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．此时c2＝(k＋5)－(k－2)＝7，焦点坐标为(0，±)．
当k＋5>0>k－2时，方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线．此时c2＝(k＋5)＋(2－k)＝7焦点坐标为(0，±)．
答案：(0，±)
13．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________．
解析：据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，
则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，
∴等边三角形的边长为4，其面积为4.
答案：4
14．以下是关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|||－|||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP―→＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于③④，显然成立．
答案：③④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足·－y2＋8＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C ，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
解：(1)由题意可知，＝(－x,4－y)，＝(－x，－2－y)，
∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0，∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由整理得x2－2x－4＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，
∵kOC·kOD＝·＝
＝
＝＝－1，
∴OC⊥OD.
16．(本小题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．
解：由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c，0)，
则M点的横坐标为c.
∴M点的坐标为.
∴＝，
＝.
∴·＝c2.
由已知得c2＝2，∴c＝2.
又在Rt△MF1F2中，
|F1F2|＝4，|MF2|＝，
∴|MF1|＝＝3.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.
∴a＝2.∴b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
17．(本小题满分12分)(陕西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，
即x2－3x－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
设AB的中点坐标＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．
18．(本小题满分14分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解：(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2 .
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－，
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，
所以S＝≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
第三章 圆锥曲线与方程
高考七大高频考点例析[对应学生用书P68]
命题及其关系
考查方式
　　以四种命题、逻辑联结词为主要内容．考查四种命题之间的关系及含有逻辑联结词的命题的真假，主要以选择题、填空题为主，属容易题．
备考指要
　　1.要掌握互为逆否的两个命题是等价的，对某些命题的判断可以转化为判断其逆否命题．
2.命题p∨q中，p，q有真则真；命题p∧q中，p，q有假则假.
[例1]　(2012·重庆高考)命题“若p则q”的逆命题是(　　)
A．若q则p　　　　　　 B．若綈p则綈q
C．若綈q则綈p D．若p则綈q
[解析]　根据逆命题的概念可知，“若p则q”的逆命题为“若q则p”．
[答案]　A
1．设集合A＝{x|－2－a0}，p：1∈A，q：2∈A.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(0,1)∪[2，＋∞)
C．(1,2] D．[1,2]
解析：若p为真，则－2－a<11.
若q为真，则－2－a<22.
依题意，得p假q真，或p真q假．
即或∴1答案：C
2．(天津高考)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号是(　　)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：命题①由球的体积公式可知，一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的，正确；命题②两组数据的平均数相等，若其离散程度不同，则它们的标准差也不相等，故该命题错误；命题③圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，与圆x2＋y2＝的半径相等，故直线与圆相切，该命题正确．
答案：C
充分条件与必要条件
考查方式
　　充分条件，必要条件可以与各章内容相结合，是历年高考考查的热点之一，题型主要以选择题，填空题为主．
备考指要
　　1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性．
(1)若“p?q”，且“p?/q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”．
(2)若“p?q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；
2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命题的等价性进行判断.
[例2]　(浙江高考)已知函数f(x)＝Acos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　f(x)是奇函数?φ＝＋kπ，k∈Z；φ＝?f(x)是奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．
[答案]　B
3．命题p∶2x≥x，命题q∶x2≥－x，则命题p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：命题p∶A＝[0，＋∞)，命题q∶B＝[0，＋∞)∪(－∞，－1]．故A?B，所以p是q的充分不必要条件．
答案：A
4．(山东高考)给定两个命题p，q.若綈 p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为綈 p是q的必要而不充分条件，所以綈q是p的必要而不充分条件，即p是綈q的充分而不必要条件．
答案：A
全称量词与存在量词
考查方式
　　主要考查全称命题与特称命题的真假判断，以及含有一个量词的命题的否定，题型主要是选择题、填空题．
备考指要
　　1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．
2.特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x，使p(x)成立即可．否则，这一特称命题为假．
3.全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．
4.注意命题的否定与否命题的区别.
[例3]　命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)
A．存在x∈R，都有x2<0
B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x∈R，都有x2≥0
D．不存在x∈R，使得x2<0
[解析]　由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在x∈R，使得x2<0.
[答案]　A
5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
答案：B
6．(辽宁高考改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是(　　)
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0”．
答案：C
利用空间向量解决平行、垂直问题
考查方式
　　空间向量是高考的重要内容之一，尤其是在立体几何的解答题中．建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面位置关系，特别是平行与垂直关系是高考必考内容之一，属中、低档题，难度不大．
备考指要
　　利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中的关于平行和垂直的定理，再通过向量的运算来解决．建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标是解题的关键.
[例4]　如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．
(1)求证：AC⊥PB；
(2)求证：PB∥平面AEC.
[证明]　(1)建立空间直角坐标系如图．
设AC＝a，PA＝b，则有A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(a,0,0)，P(0,0，b)，
∴＝(a,0,0)，＝(0，b，－b)，从而·＝0.
∴AC⊥PB.
(2)连接BD，与AC相交于O，连接EO.
由已知得D(a，－b,0)，E，O，
∴＝.
又＝(0，b，－b)，∴＝2，∴PB∥EO，
又PE?平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC.
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长．求证：EF∥平面BB1C1C.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
则E，F，
故＝，
又＝(0,1,0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，
而·＝(0,1,0)·＝0，
∴⊥.
又E?平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.
8.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为EC的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
证明：由题意易知AD，CD，ED两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，
C(0,4,0)，E(0,0,2)．
(1)∵M是CE的中点，
∴M(0,2,1)，
∴＝(－2,0,1)．
由题意知CD⊥平面ADEF，
∴＝(0,4,0)是平面ADEF的一个法向量．
∴·＝0.
又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.
(2)＝(2,2,0)，＝(0,0,2)．
设n＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量．
则
即令x＝1，
∴n＝(1，－1,0)是平面BDE的一个法向量，
同理，求得平面BEC的一个法向量n0＝(1,1,2)，
∵n·n0＝1×1＋(－1)×1＋0＝0，
∴平面BDE⊥平面BEC.
利用空间向量求空间角、距离
考查方式
　　利用空间向量求两条异面直线的夹角，直线与平面的夹角以及两平面的夹角与距离是高考的重点和热点，主要以解答题为主，为中档题，每年必考．
备考指要
　　利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可．
1.若两条异面直线的方向向量为a，b，夹角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|.
2.直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面的夹角θ，sin θ＝|cos〈u，n〉|.
3.两平面的法向量为n1，n2，两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
4.平面α的法向量为n，P∈α，A?α，为直线PA的方向向量，A到平面α的距离为d，d＝.
[例5]　如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连接CE并延长交AD于F.
(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
[解]　(1)在△ABD中，因为点E是BD的中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，
故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝.
因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，
从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，
所以∠FED＝∠FEA，
故EF⊥AD，AF＝FD.又PG＝GD，所以FG∥PA.
又PA⊥平面ABCD，
所以GF⊥AD，又EF∩GF＝F，故AD⊥平面CFG.
(2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝.
设平面BCP的法向量n1＝(1，y1，z1)，
则即
解得即n1＝.
设平面DCP的法向量n2＝(1，y2，z2)，
则即
解得
即n2＝(1，，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos θ＝＝＝.
9．(陕西高考)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3,0)，A(0,0，)，E，
∴＝，＝(1,0,0)，
∴与夹角的余弦值为
cos〈，〉＝＝＝.
10．(上海高考)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，A′A＝1，证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．
解：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A(1,0,1)，B(1,2,1)，C(0,2,1)，C′(0,2,0)，D′(0,0,0)．
则＝(1,0,1)，＝(0,2,1)，
设平面D′AC的法向量n＝(u，v，w)，由n⊥，n⊥，
得n·＝0，n·＝0，即
解得u＝2v，w＝－2v，取v＝1，得平面D′AC的一个法向量n＝(2,1，－2)．
因为＝(－1,0，－1)，所以n·＝0，
所以n⊥.
又BC′?平面D′AC，所以BC′∥平面D′AC.
由＝(1,0,0)，得点B到平面D′AC的距离d＝＝＝，所以直线BC′到平面D′AC的距离为.
圆锥曲线的定义与性质
考查方式
　　主要考查椭圆、抛物线、双曲线的简单性质、待定系数法求圆锥曲线方程，圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考热点，双曲线的渐近线也是高考重要内容，选择题、填空题、解答题都有可能出现．
备考指要
　　对于圆锥曲线的有关问题．“回归定义”是一种重要解题策略，应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合思想、方程思想的应用.
[例6]　(辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
[解析]　在三角形ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF，又|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，解得|BF|＝8.在三角形ABF中，|AB|2＝102＝82＋62＝|BF|2＋|AF|2，故三角形ABF为直角三角形．
设椭圆的右焦点为F′，连接AF′，BF′，根据椭圆的对称性，四边形AFBF′为矩形，则其对角线|FF′|＝|AB|＝10，且|BF|＝|AF′|＝8，即焦距2c＝10，又根据椭圆的定义，得|AF|＋|AF′|＝2a，所以2a＝|AF|＋|AF′|＝6＋8＝14.故离心率e＝＝＝.
[答案]　
11．(新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：由题意知：F，准线方程为x＝－，
则由抛物线的定义知，xM＝5－，
设以MF为直径的圆的圆心为，
所以圆的方程为2＋2＝，
又因为过点(0,2)，所以yM＝4，
又因为点M在C上，所以16＝2p，
解得p＝2或p＝8，
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
答案：C
12．(浙江高考)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝，
∵tan∠COx＝2，
∴sin∠COx＝，cos∠COx＝，
则C的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴b2＝.
答案：C
直线与圆锥曲线的位置关系
考查方式
　　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值定点、定值等问题，题型以解答题为主，这类题目综合性强，难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．
备考指要
　　处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立方程组消元法得到一元二次方程，要注意直线的斜率不存在的情形，分析解决这类问题，往往利用数形结合的思想，以及“设而不求”的方法，由于运算量较大，要注意运算结果的准确性.
[例7]　(陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
[解]　(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|.
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，
∴|O1M|＝ .
又|O1A|＝ ，
∴＝ .
化简得y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)如图，由题意，
设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝.①
x1x2＝.②
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
将①②代入③并整理得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b.此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，
即直线l过定点(1,0)．
13．已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1,3)，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知l的方程为y＝x＋2，代入C的方程并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝.
由M(1,3)为BD的中点知＝2，即b2＝3a2.
故c＝＝2a，e＝＝2.
答案：2
14．(陕西高考)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝，
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以
x＝，由＝2，
得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，　
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
15．(江西高考)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由P在椭圆上，得＋＝1.①
依题设知a＝2c，则b2＝3c2.②
将②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一：由题意可设AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)．③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12，并整理，得
(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
x1＋x2＝，x1x2＝.④
在方程③中令x＝4，得M的坐标为(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
注意到A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，
即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋
＝＋－
＝2k－·.⑤
将④代入⑤，得k1＋k2＝2k－·＝2k－1.
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．
法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，从而直线PM的斜率为k3＝，
联立得A，
则直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为k2＝，所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，故存在常数λ＝2符合题意．
模块综合检测
(时间 90分钟，满分 120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”．故应选 D.
答案：D
2．有下面三个判断，其中正确的个数是(　　)
①命题：“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；
②若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题；
③命题“对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a－b－1)成立”的否定是“存在a，b∈R，使a2＋b2≤2(a－b－1)成立”．
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：命题①的逆否命题为“设a，b ∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，命题为真．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，所以②错误．易知命题③错误．
答案：B
3．(陕西高考)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a，b为向量，设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝||a|·|b|cos θ |＝|a||b|从而得|cos θ|＝1，cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a∥b，反之也能够成立，为充分必要条件．
答案：C
4.＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)
A．± B.
C. D.
解析：设F1为椭圆＋＝1的左焦点，F2为右焦点，PF1与y轴的交点为M.
∵M是PF1的中点，∴MO∥PF2，∴PF2⊥x轴．
又半焦距c＝＝3，
∴设P(x，y)，则x＝3，
代入椭圆方程得＋＝1，解得y＝±.
∴M点纵坐标为±.
答案：A
5．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.
答案：D
6.已知正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A－BCD中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴·＝·＋·＝4，
||2＝＋·＋＝1－4＋16＝13.
||＝，同理||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
答案：A
7．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为(　　)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x＋y＋4＝0
解析：设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由y＝8x1，y＝8x2，
两式相减得：得(y1＋y2)·(y1－y2)＝8(x1－x2)，
又P(3,2)是AB的中点，∴y1＋y2＝4，
∴直线l的斜率k＝＝2，
∴直线l的方程为2x－y－4＝0.
答案：A
8．P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．7
C．6 D．5
解析：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则xy＝18，x2＋y2＝4c2，
故4a2＝(x－y)2＝4c2－36，
又＝，∴c＝5，a＝4，b＝3.
答案：B
9．在正棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，直线AC与平面A1BC的夹角为θ，平面ABC与平面A1BC的夹角为φ，则θ与φ的大小关系是(　　)
A．θ>φ B．θ<φ
C．θ＝φ D．大小不确定
解析：建立空间直角坐标系，如图．
则B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，＝(0,2,0)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(1，y，z)
则得y＝z＝，n＝(1，，)，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
又＝(0,0,2)是平面ABC的一个法向量，
∴cos φ＝|cos〈，n〉|＝＝，
sin φ＝＝>sin θ.∴φ>θ.
答案：B
10．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A．5 B．4
C．3 D．1
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵存在x∈R,2x2－3ax＋9＜0为假命题，
∴任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2 ]
12．设点O(0,0,0)，A(1，－2,3)，B(－1,2,3)，C(1,2，－3)，若与的夹角为θ，则cos θ＝________.
解析：＝(1，－2,3)，＝(2,0，－6)，
∴cos θ＝＝－.
答案：－
13．斜率为的直线与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
∴＞，即b＞a，∴b2＞3a2，∴c2－a2＞3a2，
∴e2－1＞3，∴e＞2.
答案：(2，＋∞)
14．(福建高考)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析：∠MF1F2是直线的倾斜角，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，所以△MF2F1是直角三角形，在Rt△MF2F1中，|F2F1|＝2c，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以e＝＝＝＝－1.
答案：－1
三、解答题
15．(本小题满分12分)已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：解不等式x2－8x－20＞0得p：A＝{x|x＞10或x＜－2}．
解不等式x2－2x＋1－a2＞0得q：B＝{x|x＞1＋a或x＜1－a，a＞0}．
依题意，p?q但q不能推出p，说明A?B.
于是，有解得0＜a≤3.
∴正实数a的取值范围是(0,3]．
16．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)如果l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)设|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)∵y2＝4x，∴F(1,0)，又∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，
由根与系数的关系得易得AB的中点，即圆心的坐标为(3,2)，
又|AB|＝x1＋x2＋p＝8，∴圆的半径r＝4，
∴所求的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.
(2)∵|FA|＝2|BF|，∴＝2，
而＝(x1－1，y1)，＝(1－x2，－y2)，
∴
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)·x＋k2＝0，
由根与系数的关系得
∵x1－1＝2(1－x2)，
∴或∴k＝±2，
∴直线l的方程为y＝±2(x－1)．
17．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.
(1)求平面A′FD与平面FDC的夹角的余弦值；
(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．
解：(1)取线段EF的中点H，连接A′H，
因为A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H?平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF.
如图建立空间直角坐标系，
则A′(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)．
故＝(－2,2,2)，＝(6,0,0)．
设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
所以
取z＝，则n＝(0，－2，)．
又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1)，
故cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角A′－FD－C的余弦值为.
(2)设FM＝x，则M(4＋x,0,0)，
因为翻折后，C与A′重合，所以CM＝A′M，
故(6－x)2＋82＋02＝(－2－x)2＋22＋(2)2，
得x＝，
经检验，此时点N在线段BC上．
所以FM＝.
18．(本小题满分14分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(－1，)在椭圆上，且·＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当·＝，求k的值．
解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，即m2＝k2＋1.
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ>0?k2>0?k≠0，x1＋x2＝－，
x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
·＝x1x2＋y1y2＝＝，
∴k＝±1.
§1 从平面向量到空间向量

空间向量
小刚从学校大门口出发，向东行走100 m，再向北行走600 m，最后乘电梯上行20 m到达住处．
问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？
提示：是．
问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？
提示：用空间向量．
问题3：若设大门口向东行走100 m为a，再向北行走600 m为b，最后乘电梯上行20 m为c，则a，b，c夹角分别是多少？
提示：.
空间向量
(1)空间向量及其模的表示方法：
有向线段
字母
图示
表示

a或
模
||
||或|a|
(2)向量的夹角：
①定义：过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
②范围：[0，π]．
③当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b.
④当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b.
(3)特殊向量：
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
向量、直线、平面
如图，正方体ABCD－A′B′C′D′.
问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有哪些？
提示：，，，，，，，.
问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD垂直的向量有几个？
提示：8个．
向量、直线、平面
(1)方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 为直线l的方向向量．与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量．
(2)法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．
1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移．
2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面．

空间向量及有关概念
[例1]　给出以下命题：
①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
⑥空间中任意两个单位向量必相等．
其中，正确的命题序号是________．
[思路点拨]　用空间向量的有关概念进行判断．
[精解详析]　以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．
[答案]　①②④⑤
[一点通]　
与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念．两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关．
1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　　)
A．一个圆　　　　　　　　　 B．两个孤立的点
C．一个球面 D．以上均不正确
解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．
答案：C
2．下列命题中正确的个数是(　　)
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；
③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．
答案：C
3．如图所示的长方体中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)写出向量的相反向量；
(3)写出与向量的模相等的向量；
(4)写出与向量平行的向量．
解：(1)与相等的向量有：，，.
(2)向量的相反向量有：，，，.
(3)与向量的模相等的向量有：，，，，，，.
(4)与向量平行的向量有：，，，，，，.
求空间向量的夹角
[例2]　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求(1)〈，〉，〈，〉，〈，〉．
(2)〈，〉，〈，〉．
[思路点拨]　按空间向量夹角的定义求解，空间向量a，b夹角范围是[0，π]．
[精解详析]　(1)∵正方体ABCD－A′B′C′D′，
∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.
∴〈，〉＝0，〈，〉＝，〈，〉＝π.
(2)∵正方体ABCD－A′B′C′D′，∴AD∥BC.
∴〈，〉＝〈，〉＝.
连接AC，则△ACD′为等边三角形．
∴〈，〉＝.
[一点通]　
与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈，〉＝，而〈，〉＝.
4．正四面体S－ABC中，E，F分别为SB，AB中点，则〈，〉＝________.
解析：如图所示，∵E，F为中点，
∴EF∥SA，而△SAC为正三角形，
∴∠SAC＝，
∴〈，〉＝.
答案：
5．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝，AA′＝1，AD＝，求〈，〉．
解：如图，连接A′C′，BC′.
∵＝，
∴∠BA′C′的大小就等于〈，〉．
由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中
A′B＝＝2，A′C′＝＝3，
BC′＝＝.
∴cos∠BA′C′＝＝.
∴∠BA′C′＝.即〈，〉＝.
直线的方向向量与平面的法向量
[例3]　如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．
[思路点拨]　(1)只要作出过F与DE平行的直线即可．
(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可．
[精解详析]　(1)连接EF.
∵E，F分别是PC，PB的中点，
∴EF綊BC.又BC綊AD，
∴EF綊AD.
取AD的中点M，连接MF，
则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE.∴就是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.
又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.
∵DE?平面PCD，
∴DE⊥BC.
又PD＝CD，E为PC中点，
∴DE⊥PC.从而DE⊥平面PBC.
∴是平面PBC的一个法向量．
由(1)可知＝，
∴就是平面PBC的一个法向量．
[一点通]　
直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．
6．直线的方向向量是(　　)
A．唯一的　　　　　　　　 B．相等的
C．平行的 D．相反的
解析：与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量．
答案：C
7．下列说法中不正确的是(　　)
A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
解析：A，B，C正确，而D中，若a∥b，虽然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．
答案：D
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点．
(1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量；
(2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量．
解：(1)如图所示，取BC中点F，
连EF，BC1，则EF∥BC1.
又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，
∴为直线AD1的方向向量．
(2)连B1C，则B1C⊥BC1.
又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.
∴B1C⊥面ABC1D1.
∴为平面ABC1D1的法向量．
1．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．
2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
3．平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线段也不一定在同一条直线上．

1．空间向量中，下列说法正确的是(　　)
A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等
B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同
C．如果两个向量平行， 并且它们的模相等，那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D正确．
答案：D
2．下列说法中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若a是b的相反向量，则|a|＝|b|
C．如果两个向量平行，则这两向量相等
D．在四边形ABCD中，＝
解析：模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若＝，则四边形ABCD是平行四边形．
答案：B
3．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形　　　　　　　　　 B．矩形
C．正方形 D．不确定
解析：若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，即AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形．
答案：B
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是(　　)
A． B．
C． D．
解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥面ACC1A1，
故为平面ACC1A1的法向量．
答案：A
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以A1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量垂直的向量有________．
解析：A1B1⊥面BCC1B1，∴⊥；
A1D⊥AD1，而AD1∥BC1，∴⊥.
答案：　
6．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则〈，〉＝________.
解析：连接DB，BC1，DC1，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
△BDC1为等边三角形．
∵E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，
∴EF∥BD，GH∥BC1.
∴〈，〉＝〈，〉＝60°.
答案：60°
7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1顶点为起点或终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与相反的向量；
(3)写出与平行的向量．
解：(1) ，，.
(2)，，，.
(3)，，，，，，.
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求〈，〉，〈，〉，〈，〉．
解：由题意知，六边形EFGHPQ为正六边形，所以〈，〉＝∠HPQ＝；〈，〉＝∠FGH＝；〈，〉等于∠QEF的补角，即〈，〉＝.
§2 空间向量的运算

空间向量的加减法
在射击时，为保证准确命中目标，要考虑风速、温度等因素．其中风速对射击的精准度影响最大．如某人向正北100 m远处的目标射击，风速为西风1 m/s.
问题1：射手能否直接瞄准目标射击？
提示：不能．
问题2：射手应怎样瞄准目标？
提示：瞄准方向为北偏西一定角度．
问题3：问题2的原因是什么？
提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的合成．
问题4：空间向量的加法与平面向量类似吗？
提示：类似，满足平行四边形法则．
空间向量的加减法
(1)空间向量的加法：
设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，以，为边作平行四边形，则对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b，如图．
(2)空间向量的减法：
a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量．
(3)空间向量加减法的运算律：
①结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
②交换律：a＋b＝b＋a.
空间向量的数乘
a为一空间向量．
问题1：空间向量a与一个实数λ的乘积为λa，λa是向量吗？
提示：是．
问题2：当λ＝0时，λa＝0对吗？
提示：不对，应为0.
问题3：若a与λa方向相反， λ的取值范围是什么？
提示：(－∞，0)．
空间向量的数乘
(1)定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.
(2)向量λa与a的关系：
λ的范围
方向关系
模的关系
λ＞0
方向相同
λa的模是a的模的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
λ＜0
方向相反
(3)空间向量的数乘运算律：
①交换律：λa＝aλ(λ∈R)；
②分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ∈R，μ∈R)；
③结合律：(λ μ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．
(4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
空间向量的数量积
设a，b，c是任意空间向量，类比平面向量的数量积，回答以下问题．
问题1：由a·b＝0，一定能推出a＝0或b＝0吗？
提示：不一定，也可能〈a，b〉＝.
问题2：由a·b＝a·c能得到b＝c吗？
提示：不一定．
问题3：(a·b)c＝a(b·c)成立吗？
提示：不一定．
空间向量的数量积
(1)空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b.
(2)运算律：
①交换律：a·b＝b·a；
②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
③λ(a·b)＝(λa)·b　(λ∈R)．
(3)常见结论：
①|a|＝；
②a⊥b ?a·b＝0；
③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
(4)对任意一个非零向量，把叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a同方向．
与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算有如下特点：
(1)空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结果仍是一个向量．
(2)空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．
(3)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行．
(4)空间向量数量积运算的结果是一个实数．

空间向量的线性表示
[例1]　已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：
(1) ＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
[思路点拨]　要确定等式＝＋x＋y中x，y的值，就是看怎样用，，来表示，同理要确定(2)中的x，y的值，只需把用，，表示出来即可．
[精解详析]　(1)如图．
∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
[一点通]　
空间向量的线性运算即为向量的加减、数乘运算．在进行向量的线性运算时，应注意结合图形的特点，利用三角形法则、平行四边形法则及数乘运算的运算律来进行化简、计算．要特别注意把某些向量平移后转化为同一平面内进行相关计算．
1．如图，已知空间四边形ABCD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　)
A. 　　　　　　　　 B．3
C．3 D．2
解析：－＋＝＋(－)＝＋＝＋2＝3.
答案：B
2．设E，F是长方体ABCD－A1B1C1D1中AC，A1D的中点，若向量＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：∵＝＋
＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－＋，
∴x＝－，y＝0，z＝.
∴x＋y＋z＝0.
3.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列表达式．
(1) ＋；
(2)＋；
(3)＋＋；
(4)＋＋＋＋.
解：(1)＋＝.
(2)＋＝(＋)＝＝.　
(3)＋＋＝＋＝.
(4)＋＋＋＋＝0.
共线向量
[例2]　如图，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF＝2FB，CG＝2GD.求证：与为共线向量．
[思路点拨]　要证与共线，根据共线向量定理只要证明＝λ即可．
[精解详析]　∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝－
＝－
＝(－)
＝.
又∵CF＝2FB，CG＝2GD，∴＝，＝.
∴＝－
＝－
＝(－)
＝.
∴＝.∴＝.
∴与为共线向量．
[一点通]　
1．判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
2．共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．
4．与共线是直线AB∥CD的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若与共线，则∥，此时AB与CD可能平行也可能为同一直线；而若AB∥CD，则必有与共线．故选B.
答案：B
5．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
解：＝－＝e1－4e2
又＝2e1＋ke2，
A，B，D三点共线，∴＝λ，
即2e1＋ke2＝λe1－4λe2.
∵e1，e2是不共线向量，
∴∴k＝－8.
6.如图所示，已知ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
解：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－.
∴＝＋2＋＝2(＋＋)．
∴＝2.
∴∥，即与共线.
空间向量的数量积及应用
[例3]　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
[思路点拨]　要证OG⊥BC，只需证·＝0，关键是把，用一组已知向量，，表示出来．
[精解详析]　如图，连接ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|，
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，
＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2cos θ－|a|2cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥.
∴OG⊥BC.
[一点通]　
1．向量的数量积是一个实数，只要知道|a|，|b|及cos〈a，b〉即可用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
2．常用a·b＝0证明a⊥b，这是向量数量积的重要应用．
3．常用cos〈a，b〉＝求两向量夹角余弦值，这是向量数量积的另一个重要应用．
7．设|a|＝1，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，则(2a＋b)2＝(　　)
A．2 B．12
C．2 D．4
解析：(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2cos 120°＋4＝4.
答案：D
8．已知非零向量a，b不平行，且|a|＝|b|，则a＋b与a－b的位置关系是________．
解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
∴(a＋b)⊥(a－b)．
答案：垂直
9.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点．
求下列向量的数量积：
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
解：(1)在空间四边形ABCD中，||＝||＝a，且〈，〉＝60°，所以·＝a·acos 60°＝a2.
(2)||＝a，||＝a，〈，〉＝60°，
所以·＝a2cos 60°＝a2.
(3)||＝a，||＝a，又∥，〈，〉＝π，
所以·＝a2cos π＝－a2.
(4)因为||＝a，||＝a，∥，
所以〈，〉＝〈，〉＝60°.
所以·＝a2cos 60°＝a2.
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．
2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量积为零．
3．灵活地应用向量的数量积公式是解决空间求模、夹角的关键．

1．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，则下列与向量相等的表达式是(　　)
A．－a＋b＋c　　　　　　　　 B．－a－b＋c
C．a－b－c D．a＋b－c
解析：＝＋＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c.
答案：D
2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(　　)
A．－2 B．－1
C．±1 D．2
解析：a·b＝(2i－j＋k)(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
答案：A
3．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则＋(＋)＝(　　)
A． B．
C． D.
解析：＋(＋)＝＋＝.
答案：A
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝·＝·＝0，则△BCD为(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：＝＋，＝＋，＝＋，
∴cos〈，〉＝
＝＞0，∴〈，〉为锐角，
同理cos〈，〉＞0，∴∠BCD为锐角，
cos〈，〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．
答案：B
5．如图，?ABCD的对角线AC和BD交于点E，P为空间任意一点，若＋＋＋＝x，则x＝________.
解析：过E作MN∥AB分别交BC，AD于点M，N.
∴＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝2(＋)＝4.
答案：4
6．设a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝________.
解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
∴|c|＝ ＝
＝＝.
答案：
7．在四面体O－ABC中，棱OA，OB，OC两两互相垂直，且||＝1，||＝2，||＝3，G为△ABC的重心，求·(＋＋)的值．
解：∵＝＋＝＋(＋)
＝(＋＋)．
∴·(＋＋)＝(＋＋)2
＝(||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·)＝(1＋4＋9)＝.
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使〈，〉＝60°，求B，D间的距离．
　　
解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理，·＝0.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋＋2＋2·＋2·＋2·
＝＋＋＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉
＝4.
∴||＝2，即B，D间的距离为2.
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3．1 & 3.2　空间向量的标准正交分解与坐标表示　空间向量基本定理

空间向量的标准正交分解与坐标表示
学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m，后向南15 m，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．
问题1：e1，e2，e3有什么关系？
提示：两两垂直．
问题2：假定每层楼高为3 m，请把面试地点用向量p表示．
提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.
标准正交基与向量坐标
(1)标准正交基：
在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．
(2)标准正交分解：
设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，叫作a的标准正交分解．
(3)向量的坐标表示：
在a的标准正交分解中三元有序实数(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．
(4)向量坐标与投影：
①i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影．
②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．
③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影.
空间向量基本定理
空间中任给三个向量a，b，c.
问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？
提示：它们不共面时．
问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？
提示：可以．
如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.
其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．
a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．
空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底．

空间向量的坐标表示
[例1]　如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.
(1)写出C′的坐标，给出关于i，j，k的分解式；
(2)求的坐标．
[思路点拨]　(1)C′的坐标(也是的坐标)，即为C′在x轴、y轴、z轴正方向上的投影，即|OD|，|OB||OA′|.
(2)写出关于i，j，k的分解式，即可求得的坐标．
[精解详析]　(1)∵AB＝3，BC＝4，AA′＝6，
∴C′的坐标为(4,3,6)．
∴＝(4,3,6)＝4i＋3j＋6k.
(2)＝－.
∵＝＋＝4i＋6k，
∴＝－＝－＋＋＝4i－3j＋6k，
∴＝(4，－3,6)．
[一点通]　
1．建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系．
2．若表示向量的坐标，只要写出向量关于i，j，k的标准正交分解式，即可得坐标．
1．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则的坐标为________．
解析：显然D为原点，设E1(x，y，z)，
易知x＝1，y＝，z＝1，
∴＝.
答案：
2．已知点A的坐标是(1,2，－1)，且向量与向量关于坐标平面xOy对称，向量与向量关于x轴对称，求向量和向量的坐标．
解：如图，过A点作AM⊥平面xOy于M，则直线AM过点C，且CM＝AM，则点C的坐标为(1,2,1)，此时＝(1,2,1)，该向量与＝(1,2，－1)关于平面xOy对称．
过A点作AN⊥x轴于N，则直线AN过点B，且BN＝AN，则B(1，－2,1)，此时＝(1，－2,1)，该向量与关于x轴对称．
3.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
解：(1)∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]
＝－－－＝－4k－2i－j.
∴＝(－2，－1，－4)．
(2)∵＝－＝－(＋)
＝－－＝2j－4i－4k.
∴＝(－4,2，－4)．
向量a在b上的投影
[例2]　如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′.
(1)求向量在上的投影；
(2)是单位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量在上的投影．
[思路点拨]　a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，只要求出|a|及〈a，b〉即可．
[精解详析]　(1)法一：向量在上的投影为||cos〈，〉，
又正方体棱长为1，
∴|CA′|＝＝，∴||＝，
∠DCA′即为与的夹角，在Rt△A′CD中，
cos∠A′CD＝＝，
∴在上的投影为
||cos〈，〉＝·＝1.
法二：在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
DC⊥AD，〈，〉＝∠DCA′.
∴在上的投影为：
||cos〈，〉＝||cos∠DCA′＝||＝1.
(2)与的夹角为180°－∠A′CD，
∴在上的投影为
||cos(180°－∠A′CD)＝－||cos∠D′CA＝－1.
[一点通]　
1．求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a与b的夹角，最后计算|a|cos〈a，b〉，即为向量a在向量b上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．
2．在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈，〉与〈，〉是不同的，其和为π.
4．已知i，j，k为标准正交基，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－1
C. D．－
解析：a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，
∴|a|cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)·i＝1.
答案：A
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，则向量在向量上的投影为________．
解析：在上的投影为||cos〈，〉，
而||＝＝2，
在Rt△AD1C1中，cos∠D1AC1＝＝，
∴||cos〈，〉＝2.
答案：2
空间向量基本定理及其简单应用
[例3]　如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
[思路点拨]　要证明四点共面只需证明可用，表示即可；第(2)问中求x＋y＋z只需先把用，，表示出来，求出x，y，z，再求x＋y＋z.
[精解详析]　(1)证明：＝＋，
又＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝＋，
∴＝，
∴＝＋，
∴A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－
＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－AB＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝.
∴x＋y＋z＝.
[一点通]　
1．空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a，b，c构成的向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
2．利用空间的一个基底a，b，c可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a，b，c，不能再有其他向量．
6．O，A，B，C为空间四边形的四个顶点，点M，N分别是边OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，且a，b，c表示为(　　)
A.(c＋b－a) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(a＋b＋c)
解析：＝＋＝－＋(＋)＝(＋－)＝(b＋c－a)．
答案：A
7．已知e1，e2，e3是空间中不共面的三个向量，且a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝α a＋β b＋γ c，则α＋2β＋γ＝________.
解析：∵a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝α a＋β b＋γ c，
∴e1＋2e2＋3e3＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，
∴解得
∴α＋2β＋γ＝0.
答案：0
8．如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示如下向量：
(1) ；
(2) (G在B1D1上且＝)．
解：(1)＝－＝＋－＝－a＋b＋c.
(2)＝＋，
又＝＝(＋)
＝(－)＝(c－b)，
∴＝a－b＋c.
1．空间任一点P的坐标的确定：过P作面xOy的垂线，垂足为P′.在平面xOy中，过P′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，C，则|x|＝|P′C|，|y|＝|AP′|，|z|＝|PP′|.　
2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量e1，e2，e3都不是0.
3．空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示．
4．点A(a，b，c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别为(a，－b，－c)，(－a，b，－c)，(－a，－b，c)；它关于xOy面、xOz面、yOz面、原点对称点的坐标分别为(a，b，－c)，(a，－b，c)，(－a，b，c)，(－a，－b，－c)．

1．在以下三个命题中，真命题的个数是(　　)
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．
A．0个　　　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
解析：③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．
答案：C
2．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝，b＝，c＝，＝x a＋y b＋z c，则(　　)
A．x＝2，y＝1，z＝ B．x＝2，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝1 D．x＝，y＝，z＝
解析：＝＋＝＋(＋A′D′―→)＝2a＋b＋c.
答案：A
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，则在上的投影为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
∴| |＝，||＝，||＝.
∴△AB1C是等边三角形．
∴在上的投影为||cos〈，〉＝×cos 60°＝.
答案：B
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b－c D．－a＋b＋c
解析：＝＋＝＋(＋)
＝c＋(－＋＋)
＝c－a＋(－c)＋b
＝－a＋b＋c.
答案：D
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则在上的投影是________．
解析：在上的投影为||cos〈，〉，
在△ABC1中，
cos∠BAC1
＝＝＝＝，
又||＝.
∴||cos 〈·〉＝×＝－2.
答案：－2
6．在三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：如图，＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－＋－)．
＝＋＋
＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
7．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出，，，，，，的坐标表示．
解：∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
∴A(1,0,0), B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．
∴＝(1,0,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，＝
(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,1)．
8．如下图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底i，j，k表示向量，.
解：∵G是△PDC的重心，
∴＝＝(＋)
＝(＋＋＋＋)
＝(－k＋j－k＋i＋j)＝i＋j－k，
＝＋＋
＝－i＋k＋i＋j－k
＝－i＋j＋k.
3．3　空间向量运算的坐标表示

2014年2月，济青高速临沂段发生交通事故，一辆中型车严重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救．为防止救援造成的二次伤害，现从3个方向用力拉动驾驶室门，这3个力两两垂直，其大小分别为|F1|＝300 N，|F2|＝200 N，|F3|＝200 N.
问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？
提示：(300,200,200)．
问题2：驾驶室门受到的合力有多大？
提示：|F|＝500 N.
空间向量的坐标运算
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)；
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
(5)a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
(6)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；
(7)|a|＝＝；
(8)cos〈a，b〉＝＝ .
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
1．空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐标，数量积的运算是实数．
2．利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹角、向量的平行与垂直等问题．

空间向量的坐标运算
[例1]　已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，a·b.
[思路点拨]　空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．
[精解详析]　2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，
3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)，
a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.
[一点通]　
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，那么向量a－b＋2c＝(　　)
A．(0,1,2)　　　　　　　　 B．(4，－5,5)
C．(－4,8，－5) D．(2，－5,4)
解析：a－b＋2c＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝(－4,8，－5)．
答案：C
2．已知A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求P点坐标，使
(1)＝(－)；
(2)＝(－)．
解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．
(1)＝(6,3，－4)＝，
则P点坐标为；
(2)设P为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)＝(－)＝，
所以x＝5，y＝，z＝0，
即P点坐标为.
3．已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的向量c：
(1)a·c＝0；(2)|c|＝10；(3)c与向量b＝(1,0,0)垂直．
解：设c＝(x，y，z)，
由三个条件得
解得或
∴c＝(0,4，2)或(0，－4，－2)．
用坐标运算解决向量的平行与垂直问题
[例2]　如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．
[思路点拨]　写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组，求解．
[精解详析]　法一：设M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则
＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．
∵⊥，∴·＝0，
∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，
即x－y－z＝0.①
又∵∥，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，
即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②
由①②得x＝，y＝，z＝.
∴M.
法二：设＝λ＝(－aλ，aλ，aλ)，
∴＝＋＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)
＝(－aλ，aλ－a，aλ)．
∵BM⊥AC1，
∴·＝0
即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝，
∴＝，
＝＋＝.
∴M点坐标(，，)．
[一点通]　
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b为非零向量)，则a∥b?x1＝λx2，且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0时，必有a∥b，必要时应对b是否为0进行讨论．
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
4．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则a与b(　　)
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.
答案：A
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是DC的中点，求证：AD⊥D1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F.
∴＝(－1,0,0)，＝.
∴·＝(－1,0,0)·＝0.
∴AD⊥D1F.
6．已知a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．
(1)a∥b；(2)a⊥b.
解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，
∴x＝0，满足a∥b；
②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，
此时a不平行b，∴x≠1.
③当x≠0且x≠1时，
由a∥b?＝＝??x＝2.
综上所述，当x＝0或2时，a∥b.
(2)∵a⊥b?a·b＝0
?(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0
?1－x2－3x2＋1－x2＝0，
解得x＝±.
用空间向量的坐标运算解决夹角与距离问题
[例3]　直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉的值．
[思路点拨]　CA，CB，CC1两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．
[精解详析]　以C为原点，以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，＝(1，－1,1)，
∴||＝.
(2)依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝3，||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
[一点通]　
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
7．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，求与的夹角．
解：＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
||＝＝，||＝＝，
·＝2－3－6＝－7，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
解：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.
(1)证明：＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵＝－(0,1,1)＝，
∴||＝.
又∵·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)∵F，H，
∴＝.
∴||＝ ＝.
故FH的长为.
1．空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、夹角的坐标表示都类似于平面向量，要类比记忆与理解．
2．空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直角坐标系，然后利用有关公式求解．要注意总结在长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直角坐标系的规律．
3．利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式可求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题．

1．下列各组向量中不平行的是(　　)
A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)
解析：对D中向量g，h，＝≠，故g，h不平行．
答案：D
2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．－4
C. D．－6
解析：∵a＋b＝(－2,1,3＋x)且(a＋b)⊥c，
∴－2－x＋6＋2x＝0，∴x＝－4.
答案：B
3．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，
又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝××＝ ，所以＝－λ.
解得λ2＝，所以|a|＝ ＝.
答案：C
4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则||＝(　　)
A．2 B.
C. D．2
解析：由题意可得B(2,0,0)，E(0,1,1)，则＝(－2,1,1)，||＝.
答案：C
5．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
解析：因为(ka－b)⊥b，
所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，
解得k＝7.
答案：7
6．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线， 则p＝________，q＝________.
解析：由A，B，C三点共线，则有与共线，即＝λ.
又＝(1，－1,3)，＝(p－1，－2，q＋4)，
所以所以
答案：3　2
7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，问是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立？若存在，求x，y的值．
解：∵＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,2)．
假设存在x，y∈R满足条件，
由已知得(－1,0,2)＝x(－1,1,0)＋y(0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y,2y)＝(－x，x－y,2y)，
∴?即存在实数x＝1，y＝1使结论成立．
8．如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，||＝2，||＝3，||＝2，E为BC的中点．
(1)求与所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求O1D的长．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)由已知得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，
所以＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
(2)因为⊥，∥，而C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
所以?
所以D，所以O1D＝||＝.
§4 用向量讨论垂直与平行

已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.
问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的方向向量和法向量有什么关系？
提示：u1∥u2∥n1.
问题2：若l1⊥l2，l1∥π2呢？
提示：u1⊥u2，u1⊥n2.
问题3：若π1∥π2，则n1，n2有什么关系？
提示：n1∥n2.
1．空间中平行、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，则
线线平行
l∥m?a＝kb(k∈R)
线面平行
l∥π1?a⊥n1?a·n1＝0
面面平行
π1∥π2?n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)
线线垂直
l⊥m?a·b＝0
线面垂直
l⊥π1?a∥n1?a＝kn1(k∈R)
面面垂直
π1⊥π2?n1⊥n2 ?n1·n2＝0
2.三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．
3．面面垂直的判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．
第一课时　空间向量与平行关系

由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系
[例1]　(1)设a，b分别是两条不同直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；
③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
(2)设n1，n2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据下列条件判断π1，π2的位置关系：
①n1＝(1，－1,2)，n2＝(3,2，－)；
②n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)；
③n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)．
(3)设n是平面π的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断π和l的位置关系：
①n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
②n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；
③n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．
[思路点拨]　本题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．
[精解详析]　(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b.∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直．
∴l1与l2的位置关系是相交或异面(不垂直)．
(2)①∵n1＝(1，－1,2)，n2＝，
∴n1·n2＝3－2－1＝0.
∴n1⊥n2，∴π1⊥π2.
②∵n1＝(0,3,0)，n2＝(0，－5,0)，
∴n1＝－n2，
∴n1∥n2.∴π1∥π2.
③∵n1＝(2，－3,4)，n2＝(4，－2,1)，
∴n1与n2既不共线，也不垂直．
∴平面π1和π2相交(不垂直)．
(3)①∵n＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴n·a＝－6＋8－2＝0.
∴n⊥a.
∴直线l和平面π的位置关系是l?π或l∥π.
②∵n＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴n＝－a.
∴n∥a.∴l⊥π.
③∵n＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，
∴n和a既不共线，也不垂直．
∴l与π斜交．
[一点通]　
用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．
1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)
A．l∥π　　　　　　　　　 B．l?π
C．l⊥π D．l?π或l∥π
解析：当a·b＝0时，l?π或l∥π.
答案：D
2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，则能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，则a⊥n，
∴a·n＝0.
只有D中a·n＝0.
答案：D
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.
证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，则E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)．
∴＝(0,1，－1)，
＝(0,1，－1)．
∴＝.∴∥.
又∵G?EF，∴EF∥GH.
用空间向量证明线面平行问题
[例2]　如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，点O，D分别是AC，PC的中点，且OA＝OP，OP⊥平面ABC.求证：OD∥平面PAB.
[思路点拨]　思路：一证明与平面PAB的法向量垂直．思路二：证明OD与面PAB内某一直线平行．
[精解详析]　法一：因为AB＝BC，O为AC的中点，所以OB⊥AC，OA＝OB＝OC，如图，建立空间直角坐标系，设OA＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a，0,0)，P(0,0，a)，D，
所以＝.
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)．
则
由于＝(a,0，－a)，＝(－a，a,0)，
所以
令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)，所以·n＝－＋＝0，所以⊥n，因为OD不在平面PAB内，所以OD∥平面PAB.
法二：因为O，D分别是AC，PC的中点，
所以＝－＝－＝，所以∥，即OD∥AP，OD?平面PAB，PA?面PAB，所以OD∥平面PAB.
[一点通]　
用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．
求证：MN∥平面RSD.
证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
∴＝，＝，＝.
∴∥.
∵M?RS.∴MN∥RS.
又RS?平面RSD，MN?平面RSD，
∴MN∥平面RSD.
法二：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＋＝c－a＋b，
＝＋＋＝b－a＋c，
∴＝，∴∥，
又∵R?MN，∴MN∥RS.
又RS?平面RSD，MN?平面RSD，
∴MN∥平面RSD.
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·＝0且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.∴MN ∥平面A1BD.
法二：∵＝－C1M―→＝－
＝(－)＝，∴∥.
又DA1?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
用空间向量证明面面平行
[例3]　正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD.
[思路点拨]　本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[精解详析]　法一：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．
取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，连AG，QK，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)．
∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－1,1,4)，
＝(－1,1,4)．
可见＝，＝，∴MN∥EF，AG∥QK.
又MN?平面EFBD，AG?平面EFBD.
∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.
又MN∩AG＝G，
∴平面AMN∥平面EFBD.
法二：由法一得＝(－2,0,4)，＝(2,2,0)，＝(0,2,4)，＝(2,2,0)．
设平面AMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
即
令x1＝1，则n1＝.
设平面BDEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
即
令x2＝1，则n2＝(1，－1，)．
∴n1＝n2.
∴平面AMN∥平面BDEF.
[一点通]　
用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
6.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
求证：平面EGF∥平面ABD.
证明：如图所示，由条件知BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由条件知B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E (0,0,3)，F(0,1,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，G.
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，＝，＝(0,1,1)．
法一：∵·＝0，·＝0＋4－4＝0，
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD.
因BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
又·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0.
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，
所以B1D⊥平面EFG，可知平面EGF∥平面ABD.
法二：设平面EGF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．
设平面ABD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即令y＝1，则n2＝(0,1，－1)．
所以n1＝n2.所以平面EGF∥平面ABD.
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，
＝(2,0,0)，＝(0,2,1)
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)∵＝(2,0,0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，得
得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
1．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中已知的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
2．用空间向量处理平行问题的常用方法：
(1)线线平行转化为直线的方向向量平行．
(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直．
(3)面面平行转化为平面法向量的平行．

1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15　　　　　　　 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
解析：∵l1∥l2，设a＝λb，
∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
∴x＝6，y＝.
答案：D
2．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为，则m＝(　　)
A．－8 B．－5
C．5 D．8
解析：∵l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．
∴2＋＋2＝0，m＝－8.
答案：A
3．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6,6)，则(　　)
A．π1∥π2 B．π1⊥π2
C．π1，π2相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：∵n1＝－n2，∴n1∥n2，∴π1∥π2.
答案：A
4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)
A．－ B．6
C．－6 D.
解析：∵α∥β，
∴α的法向量与β的法向量也互相平行，
∴＝＝，∴λ＝6.
答案：B
5．已知两直线l1与l2的方向向量分别为v1＝(1，－3，－2)，v2＝(－3,9,6)，则l1与l2的位置关系是________．
解析：∵v2＝－3v1，
∴l1∥l2或l1与l2重合．
答案：平行或重合
6．若平面π1的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，则y＋z＝________.
解析：∵π1∥π2，∴n1∥n2.∴＝＝.
∴y＝1，z＝－4.
∴y＋z＝－3.
答案：－3
7.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
证明：直线MN∥平面OCD.
证明：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，
P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.
＝，
＝，
＝.
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
即取z＝，
解得n＝(0,4，)．
∵·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0，∴⊥n.
又MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD.
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，
＝(－1,0,1)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·＝0，n·＝0，得
所以x＝z，y＝z.
取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．而B1F?平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE?·n＝0?(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0?2(t－1)＋1＝0?t＝?F为C1D1的中点．
这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.
第二课时　空间向量与垂直关系

用空间向量证明线线垂直
[例1]　直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点，在DD1上存在一点N，使MN⊥DC1，试确定N点位置．
[思路点拨]　本题中DA，DC，DD1两两垂直，故可以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．可设出点N坐标后利用方程·＝0，进行求解．
[精解详析]　建立空间直角坐标系，如图．
则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，∴＝(0,2,3)．
设点N(0,0，h)，
则＝.
∵MN⊥DC1，则·＝·(0,2,3)＝－4＋3h＝0.
∴h＝，则N.
故N点在DD1上且|DN|＝时，有MN⊥DC1.
[一点通]　
用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a，b的数量积为零，即a·b＝0.若图形易于建立空间直角坐标系，则可用坐标法进行证明，否则可用基向量分别表示a，b后进行证明．
1．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.
求证：AD⊥BM.
证明：因为平面ADM⊥平面ABCM，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点，∴AD＝DM，取AM的中点O，连接OD，则DO⊥平面ABCM，取AB的中点N，连接ON，则ON⊥AM，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，根据已知条件，得
A，B，M，D，则＝，＝(0，－，0)，所以·＝0，故AD⊥BM.
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，BB1＝，M为CC1中点，求证：AM⊥BA1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(1,0,0)，A(0，，0)，B1(0,0，)，A1(0，，)，C1(1，0，)．
∵M为CC1的中点，
∴M.
∴＝，＝(0，，)．
∴·＝1×0－3＋×＝0.
∴⊥，即AM⊥BA1.
用空间向量证明线面垂直
[例2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
[思路点拨]　欲证B1O⊥平面PAC，只需证明与平面PAC内的两条相交直线都垂直，与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．
[精解详析]　如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，
则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0，2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)．
于是＝(1,1,2)，
＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．由于·＝－2＋2＝0，·＝－2＋2＝0.
所以OB1⊥AC，OB1⊥AP.
又AC?面PAC，AP?面PAC，且AC∩AP＝A，
所以OB1⊥平面PAC.
[一点通]　
用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理．
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．
求证：EF⊥平面B1AC.
证明：建立如图所示坐标系，令正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1，1,1)，C(0,1,0)，E，F，则＝(0,1,1)，＝(－1,1,0)，
＝.
法一：令平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
得：令y＝1得
n＝(1,1，－1)＝－2＝－2，
∴n∥，
∴EF⊥平面B1AC.
法二：∵＝，＝(0，－1，－1)，＝(－1,0，－1)，
又·＝0，·＝0，
∴EF⊥B1A，EF⊥B1C
又B1C∩B1A＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
4．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，
∴＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，BA1―→＝(－1,2，)．
∵·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，
∴⊥，⊥.
即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.
又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.
用空间向量证明面面垂直
[例3]　在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.
[思路点拨]　本题可建立空间坐标系后，证明面BEF内某一直线的方向向量为面ABC的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直．
[精解详析]　建立空间直角坐标系如图，设AB＝a，则BD＝a，于是A(0,0，a)，B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F，
法一：可得＝，＝(0,0，a)，＝，
∴·＝0，·＝0.
即EF⊥AB，EF⊥BC.
又AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC.
又EF?平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF.
法二：∵∠BCD＝90°，∴CD⊥BC.
又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∴＝为平面ABC的一个法向量．
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，即(x，y，z)·＝0.
∴x＝y.
由n· 0，即(x，y，z)·＝0，
有ay＋z＝0，∴z＝－y.
取y＝1，得n＝(1,1，－)．
∵n·＝(1,1，－)·＝0，
∴n⊥.∴平面BEF⊥平面ABC.
[一点通]　
用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直．
5．已知：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：平面DEA⊥平面A1FD1.
证明：建立空间直角坐标系如图．
令DD1＝2，则有D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2，0,2)，F(0,1,0)，E(2,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面DEA，平面A1FD1的法向量，则n1⊥，n1⊥.
∴∴
令y1＝－1，得n1＝(0，－1,2)．同理可得n2＝(0,2,1)．
∴n1·n2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知n1⊥n2.
∴平面DEA⊥平面A1FD1.
6.如图，ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1.
证明：法一：取AB1的中点M，
则＝＋＋.
又因为＝＋＋，
两式相加，得2＝＋＝＋，
由于2·＝(＋)·＝0，　
2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
所以DM⊥AA1，DM⊥AB，
又AA1∩AB＝A，
所以DM⊥平面ABB1A1，而DM?平面AB1D.
所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.
法二：如图建立空间直角坐标系，取AB的中点E，连接CE，由题意知CE⊥平面ABB1A1.
由图知，C(0，a,0)，E，B1(0,0，a)，D，A，
∴＝，＝，
＝.
设平面AB1D的法向量n＝(x，y，z)，
则
即
令y＝1，则n＝(，1,2)．
又·n＝a－a＝0，∴⊥n.
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
垂直问题包括：直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断；直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单．

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则(　　)
A．l1∥l2　　　　　　　　 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．不确定
解析：∵直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，
∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0.
∴a⊥b，∴l1⊥l2.
答案：B
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面π的法向量为n＝(－3,0，－6)，则(　　)
A．l∥π　　　　　　　　　　 B．l⊥π
C．l?π D．l与π斜交
解析：a＝－n，∴a∥n，∴l⊥π.
答案：B
3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD等于(　　)
A．1∶2 B．1∶1
C．3∶1 D．2∶1
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形边长为1，PA＝a.
则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
∵BF⊥PE，∴·＝0，解得y＝，则F点坐标为，
∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.
答案：B
4．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则向量＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：·＝3＋5－2z＝0，故z＝4，由·＝x－1＋5y＋6＝0，且BP―→·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.＝.
答案：A
5．已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，若c⊥d，则m＝________.
解析：∵c＝a－2b，
∴c＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)，
∵d＝ma－b，
∴d＝m(1,2,3)－(1,0,1)＝(m－1,2m,3m－1)．
又c⊥d，∴c·d＝0，
即(－1,2,1)·(m－1,2m,3m－1)＝0，
即1－m＋4m＋3m－1＝0，∴m＝0.
答案：0
6．在直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，E.
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心．
故点G的坐标为，
且＝，＝.
∴＝2，则PA∥EG.
又EG ?平面EDB且PA?平面EDB.
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，
＝，
故·＝0＋－＝0.
∴PB⊥DE，
又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
∴PB⊥平面EFD.
8.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1,1,0)．
∴＝(0,0，)，＝(1,1,0)，
＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由
得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由
得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，
∴n2＝.
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
§5 夹角的计算
第一课时　直线间的夹角、平面间的夹角

山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
问题1：直线AC和BD的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？
提示：，[0，π]．
问题2：直线AC与BD的夹角与〈，〉有什么关系？
提示：当0≤〈，〉≤时，它们相等；
当<〈，〉≤π时，直线AC与BD的夹角为π－〈，〉．
问题3：上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈，〉有什么关系？为什么？
提示：α＝π－〈，〉，因为图中两平面夹角(即为直线BD与CA的夹角)为锐角，而〈，〉为钝角，所以α＝π－〈，〉．
问题4：若n1，n2分别为两个平面π1，π2的法向量，则π1与π2的夹角θ与〈n1，n2〉有什么关系？
提示：当0≤〈n1，n2〉≤时，θ＝〈n1，n2〉；
当<〈n1，n2〉≤π时，θ＝π－〈n1，n2〉．
1．两直线的夹角
当两条直线l1与l2共面时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角．
2．异面直线l1与l2的夹角
(1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，则直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角．
(2)计算：设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；
当<〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．
3．平面间的夹角
(1)定义：平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
(2)计算：已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，
当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1和π2的夹角等于〈n1，n2〉；
当<〈n1，n2〉≤π时，平面π1和π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．
1．求空间角时，要注意角的范围．
(1)异面直线夹角范围是；
(2)两平面夹角范围是.
2．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．

求异面直线的夹角
[例1]　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．
[思路点拨]　要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．
[精解详析]　以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．
又∵∠PDA＝30°，
∴AP＝AD·tan 30°＝2a·＝a，
AE＝AD·sin 30°＝2a·＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.
∴P，E.
(1)证明：＝，
＝，
∴·＝0＋a2－a2＝0.
∴⊥，∴BE⊥PD.
(2)＝，＝(－a，a,0)．
则cos〈，〉＝＝＝，
即AE与CD的夹角的余弦值为.
[一点通]　
1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a，b〉．但两异面直线的夹角范围是，所以当〈a，b〉∈时，两异面直线的夹角应为π－〈a，b〉．
2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解．
1．把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形ABCD的中心，则折起后，∠EOF的大小为(　　)
A．60°　　　　　　　　 B．90°
C．120° D．150°
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2.
则F，E，
∴＝，＝，
∴cos∠EOF＝cos〈，〉
＝＝－，
∴∠EOF＝120°.
答案：C
2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC的夹角．
解：法一：以A点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设B(1,0,0)，则C(1,1,0)，A1(0,0,1)，
∴＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)，
∴cos〈，〉＝
＝＝－.
∴〈，〉＝120°.故AC与BA1的夹角为60°.
法二∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，·＝0，
∴·＝－a2.
又∵＝||·||·cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴〈，〉＝120°.
故异面直线BA1与AC的夹角为60°.
3.如右图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值．
解：(1)如右图建立空间直角坐标系，
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．
在Rt△PAD中，由AD＝2，∠PAD＝60°得PD＝2，
∴P(0,0,2)．
(2)由(1)得＝(2,0，－2)，＝(－2，－3,0)，
∴cos〈，〉＝
＝＝－.
故异面直线PA与BC夹角的余弦值为.
求两平面的夹角
[例2]　如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值．
[思路点拨]　建立空间直角坐标系，利用法向量进行求解．
[精解详析]　如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)，＝(0，－1,1)．
设平面PAB的法向量为
m＝(x，y，z)，
则即
∴
∴
令x＝1，得m＝(1，－，0)，
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则
即
∴
∴
令y′＝1，∴n＝(0,1,1)．
∴cos〈m，n〉＝＝－.
而平面PAB与平面PBC夹角∈
∴平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.
[一点通]　
求两平面的夹角有两种方法：
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
4．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA夹角的余弦值．
解：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SAB的一个法向量是＝.设n＝(x，y，z)是面SCD的一个法向量，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0.
又＝，＝，
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0.
∴y＝－x，且z＝x.
∴n＝，
取x＝1，得n＝.
∴cos〈，n〉＝＝＝.
∴平面SCD与平面SBA夹角的余弦值为.
5．(陕西高考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
解： (1)证明：法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB＝AA1＝，
∴OA＝OB＝OA1＝1，
∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．
由＝，易得B1(－1,1,1)．
∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，＝(－1,0,1)，
∴·＝0，·＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，
又BB1∩BD＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.
又四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.
又OA1是AC的中垂线，
∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA＋A1C2，
∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.
又BB1∥AA1，
∴A1C⊥BB1.又BB1∩BD＝B，
∴A1C⊥平面BB1D1D.
(2)设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，
∴∴
取n＝(0,1，－1)，
由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，
∴cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
又0≤θ≤，∴θ＝.
用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系：
(1)当cos〈a，b〉<0时，cos θ＝－cos〈a，b〉，
当cos〈a，b〉≥0时，cos θ＝cos〈a，b〉，即cos θ＝|cos〈a，b〉|.
(2)当cos〈n1，n2〉≥0时，cos φ＝cos〈n1，n2〉，
当cos〈n1，n2〉<0时，cos φ＝－cos〈n1，n2〉，即cos φ＝|cos〈a，b〉|.

1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则异面直线EF和CD的夹角是(　　)
A．60°　　　　　　　　 B．45°
C．30° D．90°
解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则E，F，
＝，＝(0,1,0)．
所以cos〈，〉＝＝－，
所以〈，〉＝135°，
所以异面直线EF和CD的夹角是45°.
答案：B
2.(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，
C1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量＝(－2,2,1)，
＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
3．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，
C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
答案：D
4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为(　　)
A．60° B．70°
C．80° D．90°
解析：设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝ .于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是α与β的夹角．
答案：D
5．平面π1的一个法向量n1＝(1,2，－1)，平面π2的一个法向量n2＝(2，－2，－2)，则平面π1与π2夹角的正弦值为________．
解析：n1·n2＝2－4＋2＝0，∴n1⊥n2，∴〈n1，n2〉＝，即α与β垂直，
∴sin〈n1，n2〉＝1.
答案：1
6．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0.
故AB1与BM的夹角为90°.
答案：90°
7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.求平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值．
解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，所以＝.
由AD＝3可知DE＝3，AF＝，
则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．
所以＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则n＝(4,2，)．由题意知AC⊥平面BDE，
所以为平面BDE的法向量，＝(3，－3,0)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
故由题意知平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值为.
8．如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值．
解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1的夹角的大小为θ.
由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值为.
第二课时　直线与平面的夹角

在上节研究的山体滑坡问题中，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离分别为AC和BD，直线BD与地面ACD的夹角为φ.
问题1：φ与〈，〉有什么关系？
提示：φ＝π－〈，〉．
问题2：φ与〈，n〉有何关系？(n为地面法向量)
提示：φ＝－〈，n〉或φ＝〈，n〉－，即sin φ＝|cos〈，n〉|.
直线与平面的夹角
(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．
(2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为.
(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0.
(4)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l与α的夹角为θ，则，
当〈a，n〉≤时，θ＝－〈a，n〉；
当〈a，n〉>时，θ＝〈a，n〉－.
即sin〈a，n〉＝|cos〈a，n〉|.
(1)直线与平面夹角范围是；
(2)求直线与平面夹角θ时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s、平面的法向量n的夹角进行求解，但要注意sin θ＝|cos〈s，n〉|.

求直线与平面的夹角
[例1]　(新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C的夹角的正弦值．
[思路点拔]
(1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．
[精解详析]　(1)如图，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)，
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即
可取n＝(，1，－1)，
故cos?n，?＝＝－.
所以A1C与平面BB1C1C的夹角的正弦值为.
[一点通]　
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线l与平面α所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝或cos θ＝sin φ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－.
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC81与平面ABCD夹角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，C1(0,1,1)，C(0，1,0)，
而CC1⊥面ABCD，
∴AC1在底面ABCD的射影为AC.
又＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，
∴AC1与平面ABCD夹角的余弦值
cos θ＝|cos〈，〉|＝.
答案：D
2．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C夹角的正弦值为________．
解析：取B1C1中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝BB1＝2，则A1(－，0,0)，C1(0,1,0)，A(－，0,2)，O(0,0,0)，＝(，0,0)，为面BB1C1C的法向量，＝(，1，－2)，
∴sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.
答案：
3.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN的夹角．
解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，
S.
(1)证明：＝，＝，
因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.
(2) ＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则a·＝0，a·＝0，
即
令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因为|cos〈a，〉|＝＝，
所以SN与平面CMN的夹角为45°.
存在性问题
[例2]　如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1.另一个侧面ABC是等边三角形．点A在底面BCD上的射影为H.
(1)以D点为原点建立空间直角坐标系，并求A，B，C的坐标；
(2)求平面BAC与平面DAC的夹角的余弦值．
(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD的夹角为30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．
[思路点拨]　(1)建立坐标系，证明·＝0.
(2)求两平面法向量的夹角．
(3)先假设存在点E满足条件，再建立关于点E的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论．
[精解详析]　(1)由题意AB＝AC＝，∴BC＝.
则△BDC为等腰直角三角形．
连接BH，CH，∴DB⊥BH，CH⊥BH.
∴四边形BHCD为正方形，以DC为y轴，DB为x轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(1,1,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)．
(2)设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，
则由n1⊥知：n1·＝－x＋y＝0.
同理，由n1⊥知：n1·＝x＋z＝0.
可取n1＝(1,1，－1)．
同理，可求得平面ACD的一个法向量为n2＝(1,0，－1)．
则cos〈n1，n2〉＝＝＝，
即所求平面BAC与平面DAC的夹角的余弦值为.
(3)假设存在E满足条件，设＝x＝(x,0，x)(0≤x≤1)，则＝＋＝(0,1,0)＋(x,0，x)＝(x,1，x)，平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
∵ED与平面BCD的夹角为30°，
由图可知与n的夹角为60°，
所以cos〈，n〉＝＝＝cos60°＝.
则2x＝，解得x＝，即E，
||＝，||＝1.
故线段AC上存在点E(与C的距离为1)，使ED与平面BCD的夹角为30°.
[一点通]　
解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确．若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在．
4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD与平面PAC的夹角为90°？若存在，确定P点位置；若不存在，说明理由．
解：如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，M，
假设存在P(0,0，x)(0≤x≤1)满足条件，
经检验，当x＝0时不满足要求，
当0则＝(1,0，－x)，＝(－1,1,0)，＝(－1，－1，－)．
设平面PAC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则由得
令x1＝1得y1＝1，z1＝，
即n＝(1,1，)．
由题意∥n，
由＝＝－＝－n，
得x＝2.
又0综上所述，棱DD1上不存在点P，使MD与平面PAC的夹角为90°.
5.(北京高考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求平面A1BC1与平面B1BC1的夹角的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面B1BC1的法向量为m＝(3,4,0)．
所以cos〈 n，m〉＝＝.
所以平面A1BC1与平面B1BC1的夹角的余弦值为.
(3)证明：设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且＝λ.
所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3,4)．
解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，
使得AD⊥A1B.
此时，＝λ＝.
计算直线l与平面α的夹角为θ.
(1)利用法向量计算θ的步骤如下：
(2)利用定义计算θ的步骤如下：

1．已知直线l的一个方向向量为a＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l与平面α夹角的余弦值为(　　)
A.　　　　 B．－　　　　
C．±　　　　 D.
解析：cos〈a，μ〉＝＝＝，则直线l与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos〈a，μ〉|＝，cos θ＝.
答案：A
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为AA1＝3，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA1＝3，∴A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)．
而面BB1D1D的法向量为＝＝(－4,4,0)，∴BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值即为|cos〈，〉|＝
＝＝.
答案：C
3.如图所示，点P是△ABC所在平面外的一点，若PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，则点P在平面α上的投影P′是△ABC的(　　)
A．内心　　　　　　 B．外心
C．重心 D．垂心
解析：由于PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故点P′是△ABC的外心．
答案：B
4．(大纲全国卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1的夹角的正弦值等于(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝＝.
法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
答案：A
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．
解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量．
＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.
答案：
6.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为________．
解析：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D，
则＝(，－，2)，＝(，1,2)，
设平面B1DC的法向量为
n＝(x，y,1)，由
解得n＝(－，1,1)．
又∵＝，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
答案：
7．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点．
求直线AD和平面ABC1夹角的正弦值．
解：如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，
B(，0,0)，C1(0,1，)，
D.
易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，＝.
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
解得x＝－y，z＝－y.
故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
即直线AD和平面ABC1夹角的正弦值为.
8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．
(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；
(2)若直线AA1与平面AB1C夹角的正弦值为，求k的值．
解：(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图．
∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.
在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，
∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，
∴＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．
设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，
则由得
取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．
设AA1与平面AB1C的夹角为θ，则
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，
故所求k的值为1.
§6 距离的计算

点到直线的距离
如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．如图，作AA′⊥l，垂足为A′.
问题1：点A到直线l的距离与线段AA′的长度有何关系？
提示：相等．
问题2：若s0为s的单位向量，你能得出在s上的投影长吗？
提示：向量在s上的投影长为|||cos〈，s〉|＝||·＝＝|·|＝|·s0|.
问题3：设点A到直线l的距离为d，你能根据问题2的答案写出d的表达式吗？
提示：d＝|AA′|＝ .
点到直线的距离
设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量在s上的投影的大小为|·s0|，则点A到直线l的距离d＝ .
点到平面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′.
问题1：点A到平面π的距离d与线段AA′的长度有何关系？
提示：相等．
问题2：n0是n的单位向量，则向量在向量n上的投影大小是什么？与|AA′|相等吗？
提示：|·n0|，相等．
点到平面的距离
设n为过点P的平面的一个法向量，A是该平面外一定点，向量在n上的投影的大小为|·n0|，则点A到该平面的距离d＝|·n0|.
1．用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况灵活选择，原则是便于计算，s0是s的单位向量， s0＝.
2．用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和平面的斜线段的方向向量．

点到直线的距离
[例1]　如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点B到直线A′C的距离．
[思路点拨]　用点到直线的距离公式计算点B到直线A′C的距离 D.
[精解详析]　因为AB＝2，BC＝3，AA′＝4，
所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．
＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)．
＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．
所以在上的投影：
·＝(0，－3,0)·
＝(0，－3,0)·
＝0×＋(－3)×＋0×＝；
所以点B到直线A′C的距离为
d＝
＝ ＝.
[一点通]　
1．用向量法求直线外一点A到直线l的距离的步骤
(1)确定直线l的方向向量s及s0；
(2)在l上找一点P，计算的长度；
(3)计算·s0的值；
(4)由公式d＝ 求解．
2．用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A1点作l的垂线，难在垂足的位置的确定)．
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在的直线间的距离为(　　)
A.a　　　　　　　　 B．a
C.a D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．
∴＝(0，a，－a)，＝(－a,0，a)．
∴||＝a，||＝a.
∴点A1到BC1的距离d
＝
＝ ＝a.
答案：A
2．正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．
解：以D点为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．
设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1，0,2)，则＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)，||＝
＝，
·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
在上的投影长＝＝.
∴点A到EF的距离＝ ＝ ＝.　
求点到平面的距离
[例2]　如图，已知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求A到平面SND的距离．
[思路点拨]　建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离．
[精解详析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4,0)，
∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴∴
∴n＝(2,1,1)．∵＝(0,0,2)．
∴A到平面SND的距离为＝＝.
[一点通]　
用向量法求平面π外一点A到平面的距离的步骤：
(1)计算平面π的法向量n及n0；
(2)在平面π上找一点P，计算；
(3)由公式计算d＝|·n0|.
利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．
3．已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD＝AD＝1，则C到平面PAB的距离d＝(　　)
A．1　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
∴＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，＝(－1,1,0)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
∴即
令x＝1，则z＝1，∴n＝(1,0,1)．
∴d＝＝＝.
答案：C
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________．.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，
A1(0,0,1)，∴＝(，1，－1)，＝(0,2，－1)．
设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
则即令y＝3，则
n＝(，3,6)，n0＝.
又＝(0,0,1)，∴d＝|·n0|＝.
答案：
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解：建立空间直角坐标系如图，
则A(2,0,0)，E(0,2,1)，
F(1,0,2)，G(2,1,0)，
∴＝(0,1,0)，
＝(－2,1,1)，
＝(－1，－1,2)．
设n＝(x，y，z)是平面GEF的法向量，
点A到平面EFG的距离为d，
则
∴∴
令z＝1，
则n＝(1,1,1)，
∴d＝＝＝.
即点A到平面EFG的距离为.
1．空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．
2．空间一点A到直线l的距离的算法：
3．空间一点A到平面π的距离的算法：

1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，则P(1,3，－2)到α的距离为(　　)
A．10　　　　 B．3　　　　
C.　　　　 D.
解析：＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为＝＝.
答案：C
2．正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A.a B.a
C.a D.a
解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.
设M(x，y，z)．
∵点M在上且＝.
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.于是M.
∴||
＝
＝a.
答案：A
3.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为(　　)
A．6　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1,1,4)．＝(0,2,0)，＝(1,1,2)，
∴·n＝0，且·n＝0.
∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．
∵＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.
答案：C
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：如图，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．
∴＝(2,2,0)，
＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，
则n⊥，n⊥，∴即
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
答案：C
5．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，
则有，解得n＝，
则d＝||＝＝.
答案：
6．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N.
∵E，F，M，N分别是棱的中点，
∴MN∥EF，A1E∥B1N.
∴平面A1EF∥平面B1NMD1.
∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．
设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，且n·＝0.
即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，且(x，y，z)·＝0.
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，
令x＝2，则y＝－2，z＝1.
∴n＝(2，－2,1)，n0＝.
∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|·n0|
＝＝.
答案：
7.如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别是AB和BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．
解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(0,0,1)，E，F，
∴＝，＝.
设n＝(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，则由得
令x＝1，则y＝1，z＝，
∴n＝.又∵＝(－1,0,1)，
∴d＝＝＝.
8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．　
设n为平面AEC1F的法向量，
显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x，y,1)．
由得
即
∴n＝.
又＝(0,0,3)．
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝＝＝.
[对应学生用书P42]
一、空间向量的概念与运算
1．空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似，对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．
2．空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，其中加、减、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；数量积运算结果为实数，运用数量积可解决长度、夹角与距离等问题．
二、向量的坐标表示与运算和空间向量基本定理
1．选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，是空间向量基本定理的具体体现．
2．空间向量的坐标表示与运算是解决立体几何中的夹角、长度、距离等问题的关键，要熟记公式．
三、空间向量与平行和垂直
利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法为：
1．线线平行：
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
2．线线垂直：
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，利用a⊥b?a·b＝0.
3．线面平行：
用向量证明线面平行的方法主要有：
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(需说明直线不在平面内)；
(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量(需说明直线不在平面内)；
(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来(需说明直线不在平面内)．
4．线面垂直：
用向量证明线面垂直的方法主要有：
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．
5．面面平行：
(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
(2)证明一个平面内的两个不共线向量与另一平面平行．
6．面面垂直：
(1)证明两个平面的法向量互相垂直；
(2)证明一个平面内某直线的方向向量是另一平面的法向量．
四、空间向量与空间角
1．求两异面直线的夹角可利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线夹角θ的范围是，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．
故实质上应有cos θ＝|cos〈a，b〉|.
2．求线面角：
求直线与平面的夹角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的投影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面的夹角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面的夹角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.
3．求两平面间的夹角：
利用空间直角坐标系求得两个平面的法向量n1，n2，代入cos〈n1，n2〉＝
当cos〈n1，n2〉>0时，两平面的夹角为〈n1，n2〉，
当cos〈n1，n2〉<0时，两平面的夹角为π－〈n1，n2〉．
五、空间距离的计算
主要掌握点到直线的距离与点到平面的距离，利用直线的方向向量与平面的法向量求解．
1．若直线l的方向向量为s，s0＝，点P是直线l上的点，点A是直线外任一点，则点A到直线l的距离d＝ .
2．若n0为平面α的单位法向量，点P是平面α内一点，点A是平面α外一点，则点A到该平面的距离d＝|·n0|.
　
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，若a∥b，则xz＝(　　)
A．－4　　　　　　　　　　 B．9
C．－9 D.
解析：∵a∥b，∴＝＝.
∴x＝6，z＝.∴xz＝9.
答案：B
2.如图所示，已知四面体ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则(＋＋)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：∵(＋＋)＝(＋)＝，
又∵＝，∴(＋＋)＝.
答案：C
3．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：∵·＝·＝·，
∴·(－)＝0，
即·＝0，
∴⊥.
同理·(－)＝0，
∴·＝0，∴⊥，
∴P是△ABC的垂心．
答案：D
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A. B.
C. D.
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．则n·＝0，即(x，y，z)·(－1,1,0)＝0，
∴－x＋y＝0.
n·＝0，即(x，y，z)·(0，－1,1)＝0，
∴－y＋z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，与n平行的单位向量为或.
答案：D
5．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：设n＝(x，y,1)是平面ABC的一个法向量．
∵＝(－5，－1,1)，＝(－4，－2，－1)，
∴∴
∴n＝.
又＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.
答案：A
6．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，)，E，＝，＝(－1，－1，－)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴AE、SD夹角的余弦值为.
答案：C
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH的夹角等于(　　)
A．45°　　　　　　　　 B．60°
C．90° D．120°
解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则E，F，G，H，
∴＝，＝，
cos〈·〉＝＝－.
∴EF与GH的夹角为60°.
答案：B
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则C1(1，1,1)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)．
∵＝(1,1,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴即为平面A1BD的法向量．
设BC1与面A1BD夹角为θ，又＝(0,1,1)，
则sin θ＝＝＝，
∴cos θ＝.
答案：C
9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　)
A.a B.a
C.a D.a
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)．
∴＝(a，a,0)，＝，
＝.
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝2，得x＝－1，y＝1.
∴n＝(－1,1,2)，∴n0＝.
∴A1到平面BDM的距离为
d＝|·n0|＝＝a.
答案：A
10．三棱锥O－ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵＝＝(＋)
＝＋×
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
∴x＝，y＝，z＝.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若＝＋x＋y，则x－y＝________.
解析：如图，
∵＝＋，＝(＋)＝(＋)，
∴＝＋＋，
又＝＋x＋y，
∴x＝，y＝，即x－y＝－＝0.
答案：0
12．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为________．
解析：∵a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，
∴－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.
答案：5
13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为1，
∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,1)，
D1(0,0,1)，E.
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)．
∴n·＝0，且n·＝0，即(x，y，z)·(0,1,0)＝0，且(x，y，z)·(－1,0,1)＝0.
∴y＝0，且－x＋z＝0，令x＝1，则z＝1，
∴n＝(1,0,1)．
∴n0＝，又＝，
∴点E到平面ABC1D1的距离为|·n0|
＝＝.
答案：
14. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，C1(0,2,1)，A1(2,0,1)，
∴＝(－2,2,1)，＝(0,0,1)．
由长方体的性质知平面A1B1C1D1的法向量为＝(0，0,1)．
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,2)．求：
(1)a·b；
(2)a与b夹角的余弦值；
(3)确定λ，μ的值使得λa＋μb与z轴垂直，且(λa＋μb)·(a＋b)＝77.
解：(1)a·b＝(3,5，－4)·(2,1,2)＝3×2＋5×1＋(－4)×2＝3.
(2)∵|a|＝＝5，
|b|＝＝3.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(3)取z轴上的单位向量n＝(0,0,1)，a＋b＝(5,6，－2)．
依题意，得
即
化简整理，得解得
16．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：∵·＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB.又∵·＝－4＋4＋0＝0，
∴AP⊥AD.∵AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线，
∴AP⊥底面ABCD.
(2)设与的夹角为θ，
则cos θ＝
＝＝.
V＝||·||·sin θ·||
＝× ×＝16.
17．(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求A1到平面BCN的距离；
(2)求证：A1B⊥C1M.
解：如图，建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
设平面BCN的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(1，－1，1)，＝(0,1,0)，得取x＝1，得n＝(1,0，－1)．n0＝，则A1到平面BCN的距离为d＝|·n0|＝|－|＝.
(2)证明：依题意得C1(0,0,2)，M，
＝(－1,1，－2)，＝.
∵·＝－＋＋0＝0，
∴⊥.∴A1B⊥C1M.
18．(本小题满分14分)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′-BCDE，其中A′O＝.
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求平面A′CD与平面BCD的夹角的余弦值．
解：(1)证明：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC中，因为BC＝6，O为BC的中点，所以AC＝AB＝3，OC＝OB＝3.
如图，连接OD，在△OCD中，由余弦定理可得
OD＝ ＝.
在折叠后的图形中，因为A′D＝2，
所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥O D.
同理可证A′O⊥OE.又OD∩OE＝O，
所以A′O⊥平面BCDE.
(2)以点O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
则A′(0,0，)，C(0，－3,0)，D(1，－2,0)，所以＝(0,0，)，＝(0,3，)，＝(－1,2，)．设n＝(x，y，z)为平面A′CD的一个法向量，
则
令z＝，得n＝(1，－1，)，|n|＝＝.
由(1)知，＝(0,0，)为平面CDB的一个法向量，
又||＝，·n＝0×1＋0×(－1)＋×＝3，
所以cos 〈n，〉＝＝＝，
即平面A′CD与平面BCD的夹角的余弦值为.