2017-2018学年高中数学全一册教学案（打包20套）北师大版选修2-3

§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理
1．李娜为了备战2014年澳大利亚网球会开赛，需要从北京到A地进行封闭式训练，每天有7次航班，5列动车．
问题1：李娜从北京到A城的方法可分几类？
提示：两类，即乘飞机、乘动车．
问题2：这几类方法都能完成“从北京到A城”这件事吗？
提示：都能．
问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？
提示：7＋5＝12(种)．
2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名同学担任班长．
问题4：不同的选法的种数为多少？
提示：26＋24＝50.
分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有
N＝m1＋m2＋…＋mn种方法.
分步乘法计数原理
1．李娜从北京到A城需在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有5列动车．
问题1：李娜从北京到A城需要经历几个步骤？
提示：两个，即从北京到B城，从B城到A城．
问题2：这几个步骤中的某一步能完成“从北京到A城”这件事吗？
提示：不能．必须“从北京到B城”“从B城到A城”这两步都完成后才能完成“从北京到A城”这件事．
问题3：李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？
提示：7×5＝35(种)．
2．若你班有男生26人，女生24人，从中选一名男生和一名女生担任班长．
问题4：不同的选法的种数为多少？
提示：26×24＝624.
分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有
N＝m1×m2×…×mn种方法．
1．分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步乘法计数原理的每一个步骤都是完成这件事情的中间环节，都不能独立完成这件事情．
2．分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．


分类加法计数原理
[例1]　高二·一班有学生50人，男生30人；高二·二班有学生60人，女生30人；高二·三班有学生55人，男生35人．
(1)从中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高二·一班、二班男生中，或从高二·三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
[思路点拨]　(1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席；(2)完成的一件事是从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，因而可按当选学生来自不同班级分类，利用分类加法计数原理求解．
[精解详析]　(1)选一名学生任学生会主席有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班选一名，有50种不同的方法；
第二类，从高二·二班选一名，有60种不同的方法；
第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法．
故任选一名学生任学生会主席的选法共有
50＋60＋55＝165种不同的方法．
(2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班男生中选，有30种不同的方法；
第二类，从高二·二班男生中选，有30种不同的方法；
第三类，从高二·三班女生中选，有20种不同的方法．
故选一名学生任学生会体育部长共有
30＋30＋20＝80种不同的方法．
[一点通]　如果完成一件事有n类不同的办法，而且这n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理．分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总种数．
1．上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人选一间房的选法有(　　)
A．500种　　　　　　　　 B．5 000种
C．55种 D．10种
解析：选法为10＋20＋25＝55种．
答案：C
2．(福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)
A．14　　　　　　　　　 B．13
C．12 D．10
解析：因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或0或1或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.
答案：B
3．在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有多少个？
解：依据“十位数字大于个位数字”进行分类，令十位数字为 m，个位数字为n，则有
当 m＝1时，n＝0，有1个；
当 m＝2时，n＝0,1，有2个；当 m＝3时，n＝0,1,2，有3个；……
当 m＝9时，n＝0,1,2,3…8，有9个．
所有这样的两位数共有1＋2＋3＋…＋9＝45个.
分步乘法计数原理
[例2]　(1)(山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
(　　)
A．243 B．252
C．261 D．279
(2)有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，有不同的取法________种．
[思路点拨]　(1)先排百位，然后排十位，最后排个位．注意百位数字不能为0.
(2)要从盒子里任取红、白、黄小球各一个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故须采用乘法原理．
[精解详析]　(1)十个数字组成三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有9×9×8＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
(2)完成这件事可分三步：
第一步：取红球，有6种不同的取法；
第二步：取白球，有5种不同的取法；
第三步：取黄球，有4种不同的取法．
根据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120种不同的取法．
[答案]　(1)B　(2)120
[一点通]　利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积，注意各步之间的相互联系，每步都完成后，才能完成这件事．
4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为(　　)
A．7 B．12
C．64 D．81
解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：
第一步：选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；
第二步：选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．
故共有4×3＝12种不同的配法．
答案：B
5．将3封信投到4个邮筒，所有投法有(　　)
A．24种 B．4种
C．64种 D．81种
解析：分三步完成投信这件事．第一步投第1封信有4种方法，第二步投第2封信有4种方法，第三步投第3封信有4种方法，故共有N＝4×4×4＝64种方法．
答案：C
6．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位数的偶数．
解：(1)三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三步完成：
第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；
第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
(2)分三步完成：
第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；
第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数.
两个计数原理的应用
[例3]　(12分)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．
[思路点拨]　本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类．
[精解详析]　法一：分为两类：
第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×1×3＝36种；
第二类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48种．
共有36＋48＝84种．
法二：分为四步：
第一步：考虑A，有4种；
第二步：考虑B，有3种；
第三步：考虑C，有两类：一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．
共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．
[一点通]　综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．
7．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为(　　)
A．18 B．16
C．14 D．10
解析：分为两大类：
第一类，以集合M中的元素为点的横坐标，集合N中的元素为点的纵坐标．
由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．
第二类，以集合N中的元素为点的横坐标，集合M中的元素为点的纵坐标．
由分步乘法计数原理，有4×2＝8个不同的点．
由分类加法计数原理，第一、二象限内不同的点共有N＝6＋8＝14个．
答案：C
8．有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本．若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有________种不同的选法．
解析：分为三类，每一类再分两步．
第一类选中文、英文书各一本有7×5＝35种选法，第二类选中文、法文书各一本有7×3＝21种选法，第三类选英文、法文书各一本有5×3＝15种选法，所以总共有35＋21＋15＝71种不同的选法．
答案：71
9．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
解：确定幸运观众可分两类：
第一类：幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400种结果；
第二类：幸运之星在乙箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有20×30×19＝11 400种结果．
根据分类加法计数原理，共有17 400＋11 400＝28 800种不同的结果．
1．两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
完成一件事有n类不同的办法，关键词是“分类”
完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，即缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
2.“分类”“分步”应注意
(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有(　　)
A．37种　　　　　　　　　 B．1 848种
C．3种 D．6种
解析：根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)．
答案：A
2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 a＋bi，其中虚数有
(　　)
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个
解析：完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部 b 有6种选法；第二步，实部 a 有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数 6×6＝36 个．
答案：C
3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有(　　)
A．756种 B．56种
C．28种 D．255种
解析：推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．
答案：D
A
B
C
D
4.用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有(　　)
A．12种 B．24种
C．48种 D．72种
解析：先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．
由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．
答案：D
5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．
解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．
答案：72
6．如图，A→C，有________种不同走法．
解析：A→C的走法可分两类：
第一类：A→C，有2种不同走法；
第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．
根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．
答案：6
7．设椭圆＋＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．
(1)求满足条件的椭圆的个数；
(2)如果椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．
解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．
∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．
(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：
a
2
3
4
5
b
1
1,2
1,2,3
1,2,3,4
故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．
8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？
解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：
第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．
因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．
第一课时　排列与排列数公式

排列的概念
[例1]　下列哪些问题是排列问题：
(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？
(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？
(4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？
[思路点拨]　判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．
[精解详析]　(1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题．
(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．
(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．
(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．
[一点通]　判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键．
1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.
其中为真命题的是(　　)
A．①②　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
答案：A
2．判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列．
(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？
(2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？
(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？
解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关．
(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关．
不同排列为张红　李明；李明　张红；张红　赵华；赵华　张红；李明　赵华；赵华　李明．
(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关．
列举法解决排列问题
[例2]　从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数，写出所得到的所有三位数．
[思路点拨]　可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有的排列．
[精解详析]　画出下列树形图，如下图．
由上面的树形图知，所有的三位数为：
123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数．
[一点通]　在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列．
3．由1,2,3三个数字可组成________个不同数字的三位数．
解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个．
答案：6
4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是：
BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.
排列数的计算
[例3]　(12分)计算下列各题：
(1)A；(2)；(3).
[思路点拨]　对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明．
[精解详析]　(1)A＝10×9×8＝720.?(4分)
(2)＝
＝＝＝.?(8分)
(3)＝·(n－m)！·＝1.?(12分)
[一点通]　(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从n起连续写出m个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．
5．已知A＝7A，则n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．2
解析：由排列数公式，得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，n∈N＋.
∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝(舍)．
答案：B
6．若A＝10×9×…×5，则m＝________.
解析：由排列数公式，得m＝6.
答案：6
7．计算：＝________.
解析：法一：
原式＝
＝＝＝1.
法二：原式＝＝＝＝1.
答案：1
8．(1)解方程A＝140A；
(2)解不等式：A<6A.
解：(1)∵∴x≥3，x∈N＋，
由A＝140A得
(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，
化简得，4x2－35x＋69＝0，
解得，x1＝3或x2＝(舍)，∴方程的解为x＝3.
(2)由得3≤x≤6，且x∈N＋.
又A<6A
?<6·
?(8－x)(7－x)<6
?x2－15x＋50<0
?(x－10)(x－5)<0
?5综上可知x＝6，不等式解集为{6}．
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序也有关．在判断一个问题是否是排列问题时，可按下列方法进行：

1．5A＋4A等于(　　)
A．107　　　　　　　　　 B．323
C．320 D．348
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：D
2.等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：＝＝.
答案：C
3．设a∈N＋，且a<27，则(27－a)(28－a)·…·(34－a)等于(　　)
A．A B．A
C．A D．A
解析：8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.
答案：D
4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有(　　)
A．16种 B．6种
C．15种 D．12种
解析：4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A＝12种方案．
答案：D
5．已知9！＝362 880，那么A＝________.
解析：A＝＝＝181 440.
答案：181 440
6．给出下列问题：
①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？
②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？
④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？
上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)
解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．
答案：②③
7．(1)计算；
(2)解方程3A＝4A.
解：(1)原式＝＝＝＝.
(2)由3A＝4A，得＝，化简，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.
8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．
解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A＝4×3×2＝24种不同的分法．
不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：
由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：
语数英　语数物　语英数　语英物　语物数　语物英
数语英　数语物　数英语　数英物　数物语　数物英
英语数　英语物　英数语　英数物　英物语　英物数
物语数　物语英　物数语　物数英　物英语　物英数
第二课时　排列的应用

无限制条件的排列问题
[例1]　由数字1,2,3,4可组成多少个无重复数字的正整数？
[思路点拨]　可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数，再求和．
[精解详析]　第一类：组成一位数有A＝4个；
第二类：组成二位数有A＝12个；
第三类：组成三位数有A＝24个；
第四类：组成四位数有A＝24个．
根据加法原理，一共可以组成4＋12＋24＋24＝64个正整数．
[一点通]　对于无限制条件的排列问题，可直接根据排列的定义及排列数公式列式求解．若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解．
1．从4种蔬菜品种中选3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
解：从4种蔬菜品种中选3种，分别种在3块不同土质上，对应于从4个元素中取出3个元素的排列数．因此不同的种植方法数为A＝4×3×2＝24.
故共有24种不同的种植方法．
2．(1)有3名大学毕业生到5个招聘雇员的公司应聘，每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？
(2)有5名大学毕业生到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这三个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？
解：(1)将5个招聘雇员的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60种．
(2)将5名大学毕业生看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3个招聘雇员的公司，则本题仍为从5个不同的元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案有A＝5×4×3＝60种.
元素“在”与“不在”型排列问题
[例2]　7名同学站成一排．
(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
[思路点拨]　这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．
[精解详析]　(1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外 6名同学，共有A＝6×5×4×3×2×1＝720种排法．
(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A种，再在余下的5个位置排另外5名同学的排法有A种，共有AA＝2×1×5×4×3×2＝240种排法．
(3)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种，共有AA＝5×4×5×4×3×2×1＝2 400种排法．
法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A种，中间5个位置有A种，共有AA＝2 400种排法．
[一点通]　(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
(2)从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
3．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的产品广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有(　　)
A．48种　　　　　　　　 B．24种
C．720种 D．120种
解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间4个位置，则N＝AA＝2×24＝48.
答案：A
4．用0,1,2这3个数字，可以排成________个无重复数字的3位数．
解析：组成3位数，相当于将3个元素排在三个位置，但0不能在首位，首位的排法有A，而其余两位排法有A，由分步乘法原理知，共有AA＝4种排法．
答案：4
5．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？
解：法一：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1,2,3,4中任选2个排在首位和个位，有A种排法，再排中间4位数有A种排法，由分步乘法计数原理，共有A·A＝12×24＝288个符合要求．
法二：六个数位的全排列共有A个，其中有0排在首位或个位上的有2A个，还有5排在首位或个位上的也有2A个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A种，所以有A－4A＋2A＝288个符合要求.
元素“相邻”与“不相邻”型排列问题
[例3]　(8分)喜羊羊家族的四位成员，与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照张合影．(排成一排)
(1)要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少排法？
[思路点拨]　相邻元素可看作一个集团利用捆绑法，不相邻元素利用插空法．
[精解详析]　(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，与灰太狼、红太狼排队共有A种排法，又因四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有AA＝144种排法． ?(4分)
(2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法，第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有A种排法，共有AA＝480种排法． ?(8分)
[一点通]　(1)相邻问题用捆绑法解决，即把相邻元素看成一个整体作为一个元素与其他元素排列．但不要忘记再对这些元素“松绑”，即对这些元素内部全排列．
(2)不相邻问题用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相邻的元素插入空中排列．
6．(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A．72 B．120
C．144 D．168
解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.
答案：B
7．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
解析：将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．
答案：36
8．4名男同学和3名女同学站成一排．
(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)男生与女生相间排列的方法有多少种？
解：(1)3名女同学是特殊元素，优先安排，共有A种排法；由于3名女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A种排法．由分步乘法计数原理，共有AA＝720种不同的排法．
(2)先将男生排好，共有A种排法；再在这4名男生的中间及两头的5个空当中插入3名女生，有A种排法．故符合条件的排法共有AA＝1 440种．
(3)不妨先排男生，有A种排法，在4名男生形成的3个间隔共有3个位置安排3名女生，有A种，因此共有AA种排法，故4名男生3名女生相间的排法共有AA＝144种．
解有限制条件的排列问题的基本思路
1．含有特殊元素或特殊位置的排列，通常优先安排特殊元素或特殊位置；
2．当限制条件超过两个(包括两个)，若互不影响，则直接按分步解决，若相互影响，则首先分类，在每个分类中再分步解决；
3．某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，即用“捆绑法”；
4．某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，即用“插空法”．

1．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为(　　)
A．A　　　　　　　　 B．3A
C．A·A D．A·A
解析：甲、乙、丙3人站在一起有A种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A种，共有A·A种．
答案：D
2．(北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.
答案：B
3．由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有(　　)
A．56个 B．57个
C．58个 D．60个
解析：首位为3时，有A＝24个；
首位为2时，千位为3，则有AA＋1＝5个，千位为4或5时有AA＝12个；
首位为4时，千位为1或2有AA＝12个，千位为3时，有AA＋1＝5个．
由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．
答案：C
4．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144 B．120
C．72 D．24
解析：剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
答案：D
5．(大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A种不同的方法．故所有不同的排法共有A·A＝24×20＝480(种)．
法二：6人排成一行，所有不同的排法有A＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有AA＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．
答案：480
6．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有________种不同的可能．
解析：先安排B有1种方法，再安排A有3种方法，最后安排C，D，E共A种方法．由分步乘法计数原理知共有3A＝18种方法．
答案：18
7．由A，B，C等7人担任班级的7个班委．
(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？
解：(1)先安排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步乘法计数原理，共有AA＝720种分工方案．
(2)7人的任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A－AA＝3 600种．
8．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？
解：如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有＝2 520种．
第一课时　组合与组合数公式

组合的有关概念
[例1]　给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？
(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？
[思路点拨]　要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．
[精解详析]　(1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；
(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；
(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．
[一点通]　区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．
1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．
(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？
(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？
(6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．
(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．
(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．
(4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关．
(5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．
(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．
有关组合数的计算与证明
[例2]　求值：(1)C－CA；(2)C＋C；
(3)C＋C.
[思路点拨]　用组合数公式和组合数的性质解决．
[精解详析]　(1)原式＝C－A
＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)C＋C＝C＋C＝＋200
＝4 950＋200＝5 150.
(3)∵∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，∴n＝10.
∴C＋C＝C＋C＝C＋C
＝＋31＝466.
[一点通]　(1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．
(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．
2．若C＝28，则n的值为(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．8
C．7 D．6
解析：∵C＝＝＝28，
∴n(n－1)＝56，即n＝8.
答案：B
3．若C，C，C成等差数列，则C的值为________．
解析：由已知，得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
答案：91
4．证明：C＝C.
证明：∵·C＝·
＝
＝＝C，
∴C＝C成立.
简单的组合应用题
[例3]　(12分)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
[思路点拨]　先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值．
[精解详析]　(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝56.?(4分)
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC＝＝21. ?(8分)
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35. ?(12分)
[一点通]　解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．
5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有(　　)
A．C种　　　　　　　　　 B．A种
C．AA种 D．CC种
解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：
第一步，选女工，有C种选法；
第二步，选男工，有C种选法．
故有CC种不同选法．
答案：D
6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C＝210种分组方法．
答案：210
7．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C＝45种．
(2)从6名男教师中选2名有C种选法，从4名女教师中选2名有C种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法CC＝90种．
1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．
2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C时，若m＞，通常使用C＝C转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C＝C＋C.
1．给出下面几个问题：
①10人相互通一次电话，共通多少次电话？
②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？
③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
其中是组合问题的有(　　)
A．①③　　　　　　　　　 B．②④
C．①② D．①②④
解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．
答案：C
2．若A＝12C，则n等于(　　)
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
解析：∵A＝12C，∴n(n－1)(n－2)＝12×.解得n＝8.
答案：A
3．下列四个式子中正确的个数是(　　)
(1)C＝；(2)A＝nA；
(3)C÷C＝；(4)C＝C.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：因为C＝＝·＝，故(1)正确；
因为nA＝n·＝＝A，故(2)正确；
因为C÷C＝÷＝×＝，
故(3)正确．
因为C＝，C＝·＝，所以C＝C，故(4)正确．
答案：D
4．若C－C＝C，则n等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：C－C＝C，即C＝C＋C＝C，
所以n＋1＝7＋8，即n＝14.
答案：C
5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
解析：∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝.
答案：
6．方程C＝C的解为________．
解析：当x＝3x－8，解得x＝4；当28－x＝3x－8，解得x＝9.
答案：4或9
7．计算：(1)C＋CC；
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C.
解：(1)原式＝C＋C×1＝＋
＝56＋4 950＝5 006.
(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)
＝2×＝32.
8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
解：(1)C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．
第二课时　组合的应用

有限制条件的组合问题
[例1]　2011年7月23日，甬温线发生特大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[思路点拨]　选取医疗专家不需要考虑顺序，因此是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确的分类或分步．
[精解详析]　(1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有CC种选法；
②选3名外科专家，共有CC种选法；
③选4名外科专家，共有CC种选法．
根据分类加法计数原理，共有
CC＋CC＋CC＝185种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，若选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有
C－CC－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有CC种选法；
③有2名外科专家参加，有CC种选法．
所以共有C＋CC＋CC＝115种抽调方法．
[一点通]　(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选手共有(　　)
A．26　　　　　　　　 B．84
C．35 D．21
解析：从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法．
答案：C
2．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　)
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有CC＋CC＝70种．
答案：A
3．某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有选法C＝816种．
(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有选法C＝8 568种．
(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．
故共有选法CC＋C＝6 936种.
几何中的组合问题
[例2]　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)经过这9个点，可确定多少条直线？
(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？
[思路点拨]　解答本题可用直接法或间接法进行．
[精解详析]　法一(直接法)：
共线的4点记为A，B，C，D.
(1)第一类：A，B，C，D确定1条直线；
第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定C条直线； ?(2分)
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定CC条直线．
?(3分)
根据分类加法计数原理，共有不同直线
1＋C＋CC＝1＋10＋20＝31条． ?(4分)
(2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得CC个三角形；
第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得CC个三角形；
第三类：从其余5个点中任取3点，可得C个三角形．共有CC＋CC＋C＝80个三角形． ?(8分)
(3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得C＋CC＋CC＝105个四边形． ?(12分)
法二(间接法)：
(1)可确定直线C－C＋1＝31条．
(2)可确定三角形C－C＝80个．
(3)可确定四边形C－C－CC＝105个．
[一点通]　利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①几何图形的隐含条件：如三角形的三个顶点不共线；四边形的四个顶点中任意三点都不共线等．②根据实际情况选择直接法或间接法．③确定分类的标准，合理分类．
4．从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为(　　)
A．C－12 B．C－8
C．C－6 D．C－4
解析：从8个顶点中任取4个有C种方法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有(C－12)个不同的四面体．
答案：A
5．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
解析：C－3＝32.
答案：32
6．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．
解析：第一步，从m条中任选2条有C种选法；
第二步，从n条中任选2条有C种选法．
由分步乘法计数原理，得共有CC.
答案：CC
解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．
(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则．
(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些．此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．

1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为(　　)
A．81　　　　　　　　　 B．60
C．6 D．11
解析：分三类：
恰有2件一等品，有CC＝60种取法；
恰有3件一等品，有CC＝20种取法；
恰有4件一等品，有C＝1种取法．
∴抽法种数为60＋20＋1＝81.
答案：A
2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有(　　)
A．6个 B．12个
C．18个 D．30个
解析：从6个顶点中任取4个有C＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．
答案：B
3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．56
C．49 D．28
解析：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C·C＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C·C＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．
答案：C
4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)
A．10 B．11
C．12 D．15
解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C＝6个；
第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C＝4个；
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C＝1个．
∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．
答案：B
5．(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)
解析：第一步决出一等奖1名有C种情况，第二步决出二等奖2名有C种情况，第三步决出三等奖3名有C种情况，故可能的决赛结果共有CCC＝60种情况．
答案：60
6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答)
解析：分两类完成：
第一类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同的选修方案；
第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C·C种不同选修方案．
故共有C＋C·C＝75种不同的选修方案．
答案：75
7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
解：(1)有C＝220种抽法．
(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，
所以共有CC＝90种抽法．
(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有CC＋CC＝100种抽法．
法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种方法，所以共有C－C＝100种抽法．
8．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．
解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，
所以选取种数为N＝C＝45(种)，
即4只鞋子恰成双有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
4 简单计数问题

有限制条件的组合问题
[例1]　2011年7月23日，甬温线发生特大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[思路点拨]　选取医疗专家不需要考虑顺序，因此是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”“至少”“至多”的含义，正确的分类或分步．
[精解详析]　(1)分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有CC种选法；
②选3名外科专家，共有CC种选法；
③选4名外科专家，共有CC种选法．
根据分类加法计数原理，共有
CC＋CC＋CC＝185种抽调方法．
法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，若选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有
C－CC－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有CC种选法；
③有2名外科专家参加，有CC种选法．
所以共有C＋CC＋CC＝115种抽调方法．
[一点通]　(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法．
(2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步．
(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选手共有(　　)
A．26　　　　　　　　 B．84
C．35 D．21
解析：从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法．
答案：C
2．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　)
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有CC＋CC＝70种．
答案：A
3．某医科大学的学生中，有男生12名女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有选法C＝816种．
(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有选法C＝8 568种．
(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．
故共有选法CC＋C＝6 936种.
几何中的组合问题
[例2]　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．
(1)经过这9个点，可确定多少条直线？
(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？
[思路点拨]　解答本题可用直接法或间接法进行．
[精解详析]　法一(直接法)：
共线的4点记为A，B，C，D.
(1)第一类：A，B，C，D确定1条直线；
第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定C条直线； ?(2分)
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定CC条直线．
?(3分)
根据分类加法计数原理，共有不同直线
1＋C＋CC＝1＋10＋20＝31条． ?(4分)
(2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得CC个三角形；
第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得CC个三角形；
第三类：从其余5个点中任取3点，可得C个三角形．共有CC＋CC＋C＝80个三角形． ?(8分)
(3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得C＋CC＋CC＝105个四边形． ?(12分)
法二(间接法)：
(1)可确定直线C－C＋1＝31条．
(2)可确定三角形C－C＝80个．
(3)可确定四边形C－C－CC＝105个．
[一点通]　利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：①几何图形的隐含条件：如三角形的三个顶点不共线；四边形的四个顶点中任意三点都不共线等．②根据实际情况选择直接法或间接法．③确定分类的标准，合理分类．
4．从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为(　　)
A．C－12 B．C－8
C．C－6 D．C－4
解析：从8个顶点中任取4个有C种方法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有(C－12)个不同的四面体．
答案：A
5．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
解析：C－3＝32.
答案：32
6．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．
解析：第一步，从m条中任选2条有C种选法；
第二步，从n条中任选2条有C种选法．
由分步乘法计数原理，得共有CC.
答案：CC
解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．
(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则．
(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些．此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．

1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为(　　)
A．81　　　　　　　　　 B．60
C．6 D．11
解析：分三类：
恰有2件一等品，有CC＝60种取法；
恰有3件一等品，有CC＝20种取法；
恰有4件一等品，有C＝1种取法．
∴抽法种数为60＋20＋1＝81.
答案：A
2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有(　　)
A．6个 B．12个
C．18个 D．30个
解析：从6个顶点中任取4个有C＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．
答案：B
3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．56
C．49 D．28
解析：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C·C＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C·C＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．
答案：C
4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)
A．10 B．11
C．12 D．15
解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C＝6个；
第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C＝4个；
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C＝1个．
∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．
答案：B
5．(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)
解析：第一步决出一等奖1名有C种情况，第二步决出二等奖2名有C种情况，第三步决出三等奖3名有C种情况，故可能的决赛结果共有CCC＝60种情况．
答案：60
6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答)
解析：分两类完成：
第一类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同的选修方案；
第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C·C种不同选修方案．
故共有C＋C·C＝75种不同的选修方案．
答案：75
7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
解：(1)有C＝220种抽法．
(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C种方法；再从10件正品中抽出2件有C种方法，
所以共有CC＝90种抽法．
(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有CC＋CC＝100种抽法．
法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C种方法，所以共有C－C＝100种抽法．
8．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．
解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，
所以选取种数为N＝C＝45(种)，
即4只鞋子恰成双有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
第一课时　二项式定理

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并思考下列问题．
问题1：(a＋b)n展开式中共有多少项？
提示：n＋1项．
问题2：(a＋b)n展开式中系数有什么特点？
提示：依次为组合数C，C，C，…，C.
问题3：(a＋b)n展开式中每项的次数有什么特点？项的排列有什么规律？
提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a的降幂排列，b的升幂排列．
二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn叫作二项式定理
二项展开式
公式右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式
二项式系数
各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫作二项式系数
二项展开式的通项
式中Can－rbr叫作二项展开式的通项
在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.
(1)(a＋b)n的展开式中共有n＋1项，字母a的幂指数按降幂排列，字母b的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为n.
(2)通项公式Tr＋1＝Can－rbr是第r＋1项而不是r项．

二项式定理的正用、逆用
[例1]　(1)求4的展开式；
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[思路点拨]　(1)直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开；(2)根据所给式子的形式，考虑逆用二项式定理．
[精解详析]　(1)法一：4
＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)·3＋C·4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
[一点通]　求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．
1．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．(－1)n D．3n
解析：1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(1－2)n＝(－1)n.
答案：C
2．求3的展开式．
解：3＝6＝(x2－1)6
＝[C(x2)6－C(x2)5＋C(x2)4－C(x2)3＋C(x2)2－Cx2＋C]
＝(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1)
＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋.
求二项展开式的特定项
[例2]　已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨]　首先利用通项公式可求得幂指数n，进而利用通项公式可求得所有的有理项．
[精解详析]　(1)二项展开式的通项为
C()n－rr＝(－3)rCx.
∵第6项为常数项，∴当r＝5时，＝0，解得n＝10.
(2)根据通项公式，由题意，得
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，
∴r＝2,5,8.
∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
[一点通]　(1)求二项展开式中的某些特定项时，通常先利用通项公式由题意求出r，再求所需的某项；有时需要先求出n，计算时要注意n和r的取值范围以及它们之间的大小关系．
(2)处理常数项问题的关键是抓住变量的指数为0，有理项问题的关键是变量的指数为整数．
3．(湖南高考)5的展开式中x2y3的系数是(　　)
A．－20 B．－5
C．5 D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，选A.
答案：A
4．(江西高考)5展开式中的常数项为(　　)
A．80 B．－80
C．40 D．－40
解析：Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×(－2)2＝40.
答案：C
5．求(－)9展开式中的有理项．
解：∵Tr＋1＝C(x)9－r(－x)r＝(－1)rCx，
令∈Z，即4＋∈Z，且r＝0,1,2，…，9.
∴r＝3或r＝9.
当r＝3时，＝4，T4＝(－1)3Cx4＝－84x4；
当r＝9时，＝3，T10＝(－1)9Cx3＝－x3.
∴(－)9的展开式中的有理项是第4项：－84x4，
第10项：－x3.
二项式系数与项的系数
[例3]　(8分)已知二项式10.
(1)求展开式中第4项的二项式系数；
(2)求展开式中第4项的系数．
[思路点拨]　利用二项式的通项求第4项的二项式系数及系数．
[精解详析]　10的二项展开式的通项是
Tk＋1＝C(3)10－kk(k＝0,1，…，10)． ?(4分)
(1)第4项的二项式系数为C＝120. ?(6分)
(2)第4项的系数为C373＝－77 760. ?(8分)
[一点通]　要注意区分某项的二项式系数与系数的区别，前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关．
6．(新课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝(　　)
A．－4 B.－3
C．－2 D．－1
解析：展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.
答案：D
7．(浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)
A．45 B．60
C．120 D．210
解析：由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1，2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.
答案：C
8．求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数．
解：二项式6的展开式中第6项为
C25＝－12x－，
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为－12.
求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．

1．(x－2y)7的展开式中的第4项为(　　)
A．－280x4y3　　　　　　　　 B．280x4y3
C．－35x4y3 D．35x4y3
解析：(x－2y)7的展开式中的第4项为T4＝Cx4(－2y)3＝(－2)3Cx4y3＝－280x4y3.
答案：A
2．在(x－)10的展开式中，x6的系数是(　　)
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
解析：Tk＋1＝C·x10－k(－)k，令10－k＝6，知k＝4，∴T5＝Cx6(－)4，即x6的系数为9C.
答案：D
3．(大纲全国卷)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84
C．112 D．168
解析：在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168，故选D.
答案：D
4．已知n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：n的展开式的通项Tr＋1＝C2n－rx3n－4r，由r＝6时，3n－4r＝0.得n＝8.
答案：B
5．(安徽高考)若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
解析：二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.
答案：
6．(浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
解析：Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3C＝－10.
答案：－10
7.n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．
解：由题意知，C＝C.
∴n＝17.
∴Tr＋1＝Cx·2r·x－＝C·2r·x－.
∴－＝1.
解得r＝9.
∴Tr＋1＝C·x4·29·x－3，
即T10＝C·29·x.
其一次项系数为C·29.
8．在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
解：法一：利用二项式的展开式解决．
(1)8＝(2x2)8－C(2x2)7·＋C(2x2)6·2－C(2x2)5·3＋C(2x2)4·4－C(2x2)3·5＋C(2x2)2·6－C(2x2)·7＋C8，
则第5项的二项式系数为C＝70，第5项的系数C·24＝1 120.
(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为C·(2x2)2·6＝112x2.
法二：利用二项展开式的通项公式．
(1)T5＝C(2x2)8－4·4＝C·24·x，
则第5项的二项式系数是C＝70，
第5项的系数是C·24＝1 120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，
T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
第二课时　二项式系数的性质

二项式系数的性质
n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：
观察此表，思考下列问题．
问题1：同一行中，系数有什么规律？
提示：两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等，
即C＝C.
问题2：相邻两行，系数有什么规律？
提示：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
“杨辉三角”及其规律
(1)杨辉三角
(2)“杨辉三角”蕴含的规律
①在同一行中，每行两端都是1.
②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数满足组合数的性质C＝C＋C.
③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性．C＝C.
1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：
(1)C＝C；
(2)C＝C＋C.
2．从表中可以看出(a＋b)n的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和等于2n，而C＋C＋C＋…＋C＝2n.

与“杨辉三角”有关的问题
[例1]　如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的值．
[思路点拨]　观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．
[精解详析]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.
∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝＋C＝54＋220＝274.
[一点通]　解决与杨辉三角有关问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
解析：观察规律可知：第n行的首尾两个数均为2n－1.
答案：2n－1
2．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
解析：由杨辉三角知，第1行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C；…；第n行中的数是C，C，C，…，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C∶C＝2∶3，解之得n＝34.
答案：34
二项展开式中系数的和
[例2]　(10分)设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)．
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 013的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a20 13的值．
[思路点拨]　可在已知的等式中分别取x＝0,1，－1，得各系数和、差的关系，进而求解．
[精解详析]　(1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013中，令x＝0，得1＝a0.
∴a0＝1. ?(3分)
(2)在等式中，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 013，∴a1＋a2＋…＋a2 013＝－2.
?(6分)
(3)令x＝－1，x＝1，
得
相减，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a2 013)． ?(8分)
∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－(1＋22 013)． ?(10分)
[一点通]　(1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数的和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]．
3．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．215 D．315
解析：令x＝1时(－1)15＝－1.
答案：B
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解：(1)令x＝0，则a0＝－1.
令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.
(3)∵Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)r，
∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N＋)．
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|
＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7
＝47＝16 384.
解决与杨辉三角有关的问题的注意事项：
(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．
(2)注意二项式系数性质C＝C，C＝C＋C的应用．
1．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是(　　)
A．－2 048　　　　　　　　 B．－1 023
C．－1 024 D．1 024
解析：令f(x)＝(x－1)11，偶次项系数之和是＝＝－1 024.
答案：C
2．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
解析：由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有x＝5，n＝4适合．
答案：C
3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．120
解析：由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－kk
＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．
由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C＝20.
答案：B
4．在4的展开式中各项系数之和是16.则a的值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．－1或3
解析：由题意可得(a－1)4＝16，a－1＝±2，解得a＝－1或a＝3.
答案：D
5．若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________．
解析：令x＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
答案：－2
6．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为________．
解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4＝(2－)4，于是(2＋)4·(2－)4＝1.
答案：1
7．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
解：由题意知C＋C＋C＝121，
即C＋C＋C＝121，
∴1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0，
解得n＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项．
且T8＝C(3x)7＝C37x7，
T9＝C(3x)8＝C38x8.
8．对二项式(1－x)10，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项．
(2)求展开式中各二项式系数之和．
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，
T6＝C(－x)5＝－252x5.
(2)C＋C＋C＋…＋C
＝210＝1 024.
(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0.
令x＝0，得a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
第一章 计数原理
知识整合与阶段检测
[对应学生用书P19]
1．两个计数原理
运用两个基本原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成整个事件；而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法只能完成事件的某一部分．
2．排列与组合
(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，若按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
即排列和顺序有关，组合与顺序无关．
(2)排列数公式：①A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，规定A＝1.
当m＝n时，A＝n ·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1.
②A＝，其中A＝n！，0！＝1.
[说明]　公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于化简．
组合数公式：
C＝＝
＝，规定C＝1.
组合数性质：C＝C，C＝C＋C.
(3)解答排列组合应用题常用策略
①包含特殊元素或特殊位置的问题，采用优先法，即先考虑特殊元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题，特殊元素对应“在”与“不在”问题．
②某些元素要求“相邻”的问题，采用捆绑法，即将要求“相邻”的元素捆绑为一个元素，注意内部元素是否有序．
③某些元素要求“不相邻”的问题，采用插空法，即将要求“不相邻”的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端．
④直接计数困难的问题，采用间接法，即从方法总数中减去不符合条件的方法数．
⑤排列和组合的综合题，采用“先组后排”，即先选出元素，再排序．
3．二项式定理
(1)二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn这个公式称为二项式定理．
其中C(r＝0,1,2，…，n)叫二项式系数．
Tr＋1＝Can－rbr称为二项式展开式的第r＋1项，又称为二项式通项．
(2)二项式系数性质
①C＝C；
②C＝C＋C；
③C＋C＋C＋…＋C＝2n.
　
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　)
A．10种　　　　　　　　 B．20种
C．25种 D．32种
解析：完成这件事共分5步，即每个同学均报完一个小组才结束，每人有2种选择方法，故共有25＝32种不同选择方法．
答案：D
2．(陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)
A．10种 B．15种
C．20种 D．30种
解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．
答案：C
3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　)
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C·C·C＝96种．
答案：C
4．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(　　)
A．(C)2A个 B．AA个
C．(C)2104个 D．A104个
解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(C)2A个．
答案：A
5.n的展开式中，第5项是常数项，则x3的系数为(　　)
A．1215 B．405
C．－1215 D．－405
解析：T5＝C3n－4xn－6，由题意知，n－6＝0，解得n＝6.
Tr＋1＝C(－1)r36－rx6－r，令6－r＝3得r＝2，所以x3的系数为C(－1)234＝15×34＝1 215.
答案：A
6．从1,2，－1，－2，－3中任取不同的3个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，其中表示开口向上的抛物线的条数为(　　)
A．10 B．24
C．48 D．60
解析：因为y＝ax2＋bx＋c表示开口向上的抛物线，a必须大于0，因此共有CA＝24条抛物线．
答案：B
7．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有(　　)
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A种排法，故总的排法种数有2×2×A＝24.
答案：B
8．(安徽高考)(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r(－1)r，r＝0,1,2,3,4,5.当因式(x2＋2)中提供x2时，则取r＝4；当因式(x2＋2)中提供2时，则取r＝5，所以(x2＋2)5的展开式的常数项是5－2＝3.
答案：D
9．用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数(　　)
A．6 B．9
C．10 D．8
解析：比12 340小的分三类：第一类是千位比2小为0，有A＝6个；第二类是千位为2，百位比3小为0，有A＝2个；第三类是十位比4小为0，有1个．共有6＋2＋1＝9个，所以12 340是第10个数．
答案：C
10．在(1＋x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1－x2)n等于(　　)
A．0 B．pq
C．p2－q2 D．p2＋q2
解析：由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p－q，所以(1－x2)n＝(1－x)n(1＋x)n＝(p＋q)(p－q)＝p2－q2.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．(用数字作答)
解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有CCC＝1 260种．
答案：1 260
12．(天津高考)6的二项展开式中的常数项为________．
解析：二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)rx6－r，当6－r＝0，即r＝4时是常数项，所以常数项是C(－1)4＝15.
答案：15
13．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个．(用数字作答)
解析：可以分情况讨论：
①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2·A＝12个五位数；
②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不能是首位数字，则有2·A＝4个五位数；
③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不能是首位数字，则有2·(2·A)＝8个五位数，所以全部合理的五位数共有12＋4＋8＝24个．
答案：24
14．如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n行(n∈N＋)，在这些数中，非1的数之和为________．
解析：所求和S＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)＝－2n＋1＝2n－2n.
答案：2n－2n
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知n的展开式的各项系数之和等于5展开式中的常数项，求n展开式中含a－1的项的二项式系数．
解：设5的展开式的通项为Tr＋1＝C(4)5－rr＝r·45－rC·b，(r＝0,1,2,3,4,5)．
若它为常数项，则＝0，∴r＝2.
代入上式，得T3＝27.
即常数项是27，从而可得n中n＝7，
同理7二项展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)r·37－rC·a，令5r－21＝－1，得r＝4.故含a－1的项是第5项，其二项系数是35.
16．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型中的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
17．(本小题满分12分)从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：
(1)能组成多少个不同的四位数？
(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？
(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)
解：(1)分三步完成：第一步，取两个偶数，有C种方法；第二步，取两个奇数，有C种方法；第三步，将取出的四个数字排成四位数有A种方法．根据分步乘法计数原理，共能组成CCA＝216个不同的四位数．
(2)先取出两个偶数和两个奇数，有CC种方法；再将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有AA种方法．根据分步乘法计数原理，偶数排在一起的四位数有CCAA＝108个．
(3)两个偶数不相邻用插空法，共有四位数CCA＝108个．
18．(本小题满分14分)设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N＋)．
(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；
(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数．
解：(1)由题设条件，得m＋n＝19.
∴m＝19－n，x2的系数为C＋C＝C＋C＝＋＝n2－19n＋171＝2＋，
∵n∈N＋.
∴当n＝9或n＝10时，
x2的系数取最小值2＋＝81.
(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.
1 回归分析
知识整合与阶段检测
[对应学生用书P37]
一、离散型随机变量的分布列
1．定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(x＝ai)＝Pi(i＝1,2，…)，①
或把上式列成下表
X＝ai
a1　a2　…
P(X＝ai)
p1　p2　…
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
2．求随机变量的分布列的步骤
①明确随机变量X的取值；②准确求出X取每一个值时的概率；③列成表格的形式．
[说明]　已知随机变量的分布列，则它在某范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi>0，i＝1,2，…；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1.
[说明]　分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据．
二、条件概率与独立事件
1．A发生时B发生的条件概率为
P(B|A)＝.
2．对于两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
3．求条件概率的常用方法
(1)定义：即P(B|A)＝.
(2)借助古典概型公式P(B|A)＝.
4．概率问题常常与排列组合相结合，求事件概率的关键是将事件分解成若干个子事件，然后利用概率加法(互斥事件求和)、乘法(独立事件同时发生)、除法(条件概率)来求解．
三、离散型随机变量的均值与方差
1．定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，an，这些值对应的概率是p1，p2，…，Pn，则EX＝a1p1＋a2p2＋…＋anpn叫作这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并称之为随机变量X的方差，记为DX.
2.意义：均值反映了离散型随机变量取值的平均取值水平，而方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
四、超几何分布及二项分布
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．
那么P(X＝k)＝(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布．其均值EX＝n.
2．二项分布
在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次试验中成功的次数
则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…n)．
称为X服从参数为n，P的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．
五、正态分布
1．正态分布的密度函数为
f(x)＝exp，－∞2．正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954；
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997.
　
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1．下列表格可以作为X的分布列的是(　　)
A.
X
0
1
3
P
a
1－a
　B.
X
1
2
3
P
－
1
C.
X
－1
1
2
P
2a
a2＋2
D.
X
4
5
P
解析：根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D正确．
答案：D
2．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n，p的值分别是(　　)
A．50， B．60，
C．50， D．60，
解析：由得
答案：B
3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　)
A．10 B．100
C. D.
解析：由正态分布密度曲线上的最高点知，＝，∴DX＝σ2＝.
答案：C
4．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为(　　)
A．0.9 B．0.2
C．0.7 D．0.5
解析：设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P(A ＋ B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.
答案：D
5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P(B|A)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：P(A)＝，P(AB)＝，由条件概率公式
P(B|A)＝＝＝.
答案：B
6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　)
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析：法一：由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
∵K，A1，A2相互独立，
∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.
∴系统正常工作的概率为P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.
法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.
答案：B
7．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，且P(X＞1)＝p，则P(－1＜X＜0)等于(　　)
A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
解析：由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由正态分布图可得P(－1＜X＜0)＝－P(X＜－1)＝－P(X＞1)＝－p.
答案：D
8．将1枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，则k的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：设正面向上的次数为X，则X～B.
由题意知，C5＝C5.
∴k＋k＋1＝5.∴k＝2.
答案：C
9．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是(　　)
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
解析：出海效益的均值为EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200元．
答案：B
10．(浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．
(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．
则(　　)
A．p1>p2，E(ξ1)B．p1E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)
D．p1解析：法一(特值法)：取m＝n＝3进行计算、比较即可．
法二(标准解法)：从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P(ξ＝0)＝＝P(ξ1＝1)，P(ξ＝1)＝＝P(ξ1＝2)，所以E(ξ1)＝1·P(ξ1＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝＋1，所以p1＝＝；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P(η＝0)＝＝P(ξ2＝1)，P(η＝1)＝＝P(ξ2＝2)，P(η＝2)＝＝P(ξ2＝3)，所以E(ξ2)＝1·P(ξ2＝1)＋2P(ξ2＝2)＋3P(ξ2＝3)＝＋1，所以p2＝＝，所以p1>p2，E(ξ1)答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数X的均值是2，则p＝________.
解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知X～B(6,1－p)，
所以EX＝6(1－p)＝2.解得p＝.
答案：
12．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
解析：正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．
∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，∴正态分布的数学期望就是1.
答案：1
13．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则X的数学期望EX＝________.
解析：随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝2.
n＝2，则EX＝2×＝.
答案：
14．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
解析：设X表示向上的数之积，
则P(X＝1)＝×＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝4)＝×＝，
P(X＝0)＝.
∴EX＝1×＋2×＋4×＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如下表所示.
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和X的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2.
∴X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性，得
P(A1)＝CP(X＝2)·P(X＝0)
＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09，
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
16．(本小题满分12分)(北京高考)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
17．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝；
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝；P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，即P(B|A)＝＝.
18．(本小题满分14分)(新课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．
解：(1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
§2 独立性检验

1．2×2列联表
设A，B为两个变量，每个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1，用下表表示抽样数据
B
A　　
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
并将此表称为2×2列联表．
2．χ2的计算公式
χ2＝ .
3．独立性判断的方法
(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
(1)独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的统计量，对假设的正确性进行判断．
(2)使用χ2统计量作2×2列联表的独立性检验时，一般要求表中的4个数据都大于5，数据越大，越能说明结果的普遍性．

2×2列联表
[例1]　在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表．
[思路点拨]　在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后出相应的数据，列表即可．
[精解详析]　根据题目所给的数据作出如下的列联表：
色盲
性别　　
患色盲
不患色盲
男
38
442
女
6
514
[一点通]　分清类别是作列联表的关键步骤，对所给数据要明确属于那一类．
1．下面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为(　　)
y1
y2
总计
x1
a
21
53
x2
8
25
33
总计
b
46
A.32,40　　　　　　 B．42,50
C．74,82 D．64,72
解析：a＝53－21＝32，b＝a＋8＝40.
答案：A
2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人．试作出2×2列联表．
解：列联表如下：
　　　　性格情况
考前心情　　　　　　
是否紧张　　　　　　
性格内向
性格外向
总计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
总计
426
594
1 020
独立性检验的应用
[例2]　(8分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
　性别
是否需要志愿者　　　　
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
[思路点拨]　解答本题先分析列联表数，后计算χ2，再与临界值比较，判断两个变量是否相互独立．
[精解详析]　(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为×100%＝14%. ?(4分)
(2)χ2＝≈9.967. ?(6分)
因为9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． ?(8分)
[一点通]　这类问题的解决方法为先确定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再与临界值相比较，作出判断，解题时注意正确运用公式，代入数据准确计算．
3．在一个2×2列联表中，通过数据计算χ2＝8.325，则这两个变量间有关系的可能性为________．
答案：99%
4．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况，具体数据如下表：
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
则χ2≈________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．
解析：χ2＝≈4.844>3.841，故有95%的把握认为主修统计专业与性别有关．
答案：4.844　95%
5．(福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：χ2＝
解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)．
从中随机抽取2名工人，记至少抽到一名25周岁以下组工人的事件为A，故P(A)＝1－＝，故所求概率为.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
独立性检验的基本步骤：
1．列出2×2列联表．
2．求出χ2＝.
3．判断是否有关联，得出事件有关的可能性大小．

1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2＝算得，
χ2＝≈7.8.
附表：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”
解析：因为χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．
答案：C
2．下面是2×2列联表：
Y
x
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则表中a，b处的值分别为(　　)
A．94、96　　　　　　　　 B．52、50
C．52、54 D．54、52
解析：a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故选C.
答案：C
3．高二第二学期期中考试，对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量χ2的值为(　　)
班级与成绩统计表
优秀
不优秀
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
解析：随机变量χ2＝≈0.600，故选A.
答案：A
4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)
表1　　　　　　　　　
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3　　　　　　　　
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
解析：因为χ＝＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
χ＝＝，
则有χ>χ>χ>χ，所以阅读量与性别关联的可能性最大．
答案：D
5．在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2>3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当χ2>6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病关系的调查中，共调查了2 000人，经计算得χ2＝20.87，根据这一数据分析，下列关于打鼾与患心脏病之间关系的说法，正确的是________．
①有95%的把握认为两者有关；
②约有95%的打鼾者患心脏病；
③有99%的把握认为两者有关；
④约有99%的打鼾者患心脏病．
解析：χ2＝20.87>6.635，有99%的把握说明两个事件有关，但只是估计，不能肯定什么．
答案：③
6．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：
死亡
存活
总计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
总计
20
30
50
在研究小白鼠的死亡与剂量是否有关时，根据以上数据求得χ2＝________.
解析：χ2＝≈5.333.
答案：5.333
7．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀
成绩较差
总计
兴趣浓厚的
64
30
94
兴趣不浓厚的
22
73
95
总计
86
103
189
判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
解：由公式求得χ2＝≈38.459.
∵38.459>6.635，
∴有99%的把握认为数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣有关．
8．现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”的赞成人数如下表：
月收入
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1
(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异；
月收入不低于5 500元
月收入低于5 500元
总计
赞成
不赞成
总计
(2)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．
解：(1)由题意得2×2列联表：
月收入不低于5 500元
月收入低于5 500元
总计
赞成
3
29
32
不赞成
7
11
18
总计
10
40
50
假设月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：
χ2＝≈6.272<6.635，
所以没有99%的把握认为当月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异．
(2)已知在收入[55,65)中共有5人，2人赞成，3人不赞成，设至少有一个不赞成楼市限购政策为事件A，则P(A)＝1－＝.故所求概率为.
第三章 统计案例
知识整合与阶段检测
[对应学生用书P42]
一、回归分析
1．线性回归分析
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为
y＝a＋bx，
其中b＝＝，
a＝－b.
2．相关系数
r＝
＝，
|r|值越大，相关性越高，|r|值越接近0，线性相关程度越低．
二、独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)列出2×2列联表；
(2)代入公式计算χ2＝；
(3)根据χ2的值的大小作出判断．
　
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(全国新课标)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．0
C. D．1
解析：因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.
答案：D
2．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程y＝a＋bx必过点(　　)
A．(2,2) B．(1.5,0)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：线性回归方程y＝a＋bx必过点(，)．
答案：D
3．下列现象的相关程度最高的是(　　)
A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87
B．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－0.94
C．商品销售额与商业利润之间的相关系数为0.51
D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－0.81
解析：|r|越接近1，相关程度越高．
答案：B
4．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要(　　)
A．6.5 h B．5.5 h
C．3.5 h D．0.5 h
解析：当＝600，y＝600×0.01＋0.5＝6.5(h)．
答案：A
5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有(　　)
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
解析：因为b>0时，两变量正相关，此时，r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.
答案：A
6．以下关于线性回归的判断，正确的个数是(　　)
①若散点图中的所有点都在一条直线附近，则这条直线的方程为回归方程
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点
③已知线性回归方程为y＝－0.81＋0.50x，则x＝25时，y的估计值为11.69
④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由最小二乘法得到的方程才是线性回归方程，故①错，将x＝25代入y＝－0.81＋0.50x，得y＝11.69，故③正确，②④也正确．
答案：D
7．某考察团对全国10大城市的职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为(　　)
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：当y＝7.675时，x＝≈9.262，
×100%≈83%.故选A.
答案：A
8．两个相关变量满足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
则两变量的回归方程为(　　)
A．y＝0.56x＋997.4 B．y＝0.63x－231.2
C．y＝0.56x＋501.4 D．y＝60.4x＋400.7
解析：回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A符合题意．故选A.
答案：A
9．若线性回归方程中的回归系数b＝0时，则相关系数为(　　)
A．r＝1 B．r＝－1
C．r＝0 D．无法确定
解析：当b＝0时，＝0，即iyi－n ＝0，
∴r＝＝0.
答案：C
10．某工厂为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y对x的线性回归方程是(　　)
A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11.47＋2.62x
C．y＝2.62＋11.47x D．y＝11.47－2.62x
解析：由已知条件得＝6.5，＝28.5.
由b＝，a＝－b，
计算得b≈2.62，a≈11.47，
所以y＝11.47＋2.62x.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则有________的把握，则认为选修文科与性别有关系．
解析：∵χ2＝4.844>3.841，
∴至少有95%的把握认为是否选修文科与性别有关．
答案：95%
12．已知变量x，y具有线性相关关系，测得(x，y)的一组数据如下：(0,1)，(1,2)，(2,4)，(3,5)，其回归方程为y＝1.4x＋a，则a的值是________．
解析：＝＝1.5，＝＝3，∴这组数据的样本中心点是(1.5,3)，把样本中心点代入回归直线方程y＝1.4x＋a，∴3＝1.4×1.5＋a，∴a＝0.9.
答案：0.9
13．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________________．
解析：由y＝3e2x＋1，得ln y＝ln(3e2x＋1)，
即ln y＝ln 3＋2x＋1.
令u＝ln y，v＝x，则线性回归方程为u＝1＋ln 3＋2v.
答案：y＝1＋ln 3＋2x
14．有甲、乙两个班级进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表．
班级与成绩列联表
优秀
不优秀
总计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
总计
17
73
90
由上表提供的数据可知，学生的成绩与班级之间________．(填“有关系”或“没有关系”)
解析：由公式，得
χ2＝≈0.653.
因为0.653<2.706.
所以我们没有理由说成绩与班级有关系．
答案：没有关系
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．
根据以上数据建立一个2×2的列联表．
解：2×2的列联表如下：
志愿者
非志愿者
总计
开发战略公布前
80
920
1 000
开发战略公布后
400
800
1 200
总计
480
1 720
n＝2 200
16．(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．
(1)若选取12月1日和12月5日这两日的数据进行检验，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为14℃时的发芽数．
解：(1)由数据，求得＝12，＝27.故iyi＝977，3·＝972，＝434,32＝432，
由公式，求得b＝，a＝－b＝－3.
所以y关于x的线性回归方程为y＝x－3.
(2)当x＝10时，y＝×10－3＝22，|22－23|＜2；
当x＝8时，y＝×8－3＝17，|17－16|＜2.
所以得到的线性回归方程是可靠的．
当x＝14时，有y＝x－3＝35－3＝32，
所以预测温差为14 ℃时的发芽数约为32颗．
17．(本小题满分12分)某些行为在运动员的比赛之间往往被赋予很强的神秘色彩，如有种说法认为，在进入某乒乓球场比赛前先迈入左脚的球员就会赢得比赛的胜利．某记者为此追踪了某著名乒乓球运动员在该球场中的308场比赛，获得数据如下表：
　　　胜负情况
先迈脚情况
胜
负
总计
先迈入左脚
178
27
205
先迈入右脚
84
19
103
总计
262
46
308
据此资料，你能得出什么结论？
解：根据公式可得，
χ2＝
＝≈1.502.
因为1.502<2.706，所以我们认为先迈入左脚与否跟比赛的胜负是无关的．
18．(本小题满分14分)在某次试验中，有两个试验数据x，y，统计的结果如下面的表格1.
x
1
2
3
4
5
y
2
3
4
4
5
表格1
(1)在给出的坐标系中画出数据(x，y)的散点图．
(2)补全表格2，然后根据表格2的内容和公式
序号
x
y
x2
xy
1
1
2
1
2
2
2
3
4
6
3
3
4
9
12
4
4
4
16
16
5
5
5
25
25
∑
表格2
b＝，a＝－b.
①求出y对x的回归直线方程y＝a＋bx中回归系数a，b；
②估计当x为10时y的值是多少．
解：(1)数据(x，y)的散点图如图所示：
(2)表格如下：
序号
x
y
x2
xy
1
1
2
1
2
2
2
3
4
6
3
3
4
9
12
4
4
4
16
16
5
5
5
25
25
∑
15
18
55
61
计算得＝3，＝3.6，
b＝＝＝0.7，
a＝－b＝3.6－0.7×3＝1.5，
所以y＝a＋bx＝1.5＋0.7x，
当x为10时，y＝8.5.
§1 离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量
(1)掷一枚均匀的骰子，出现的点数．
(2)在一块地里种下10颗树苗，成活的棵数．
(3)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，所含红球的个数．
问题1：上述现象有何特点？
提示：各现象的结果都可以用数表示．
问题2：现象(3)中红球的个数x取什么值？
提示：x＝0,1,2,3,4.
问题3：掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上，其结果能用数字表示吗？
提示：可以，如用数1和0分别表示正面向上和反面向上．
1．随机变量
将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母X，Y来表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.
离散型随机变量的分布列
1．抛掷一枚均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数．
问题1：X的可能取值是什么？
提示：X＝1,2,3,4,5,6.
问题2：X取不同值时，其概率分别是多少？
提示：都等于.
问题3：试用表格表示X和P的对应关系．
提示：
X
1
2
3
4
5
6
P
问题4：试求概率和．
提示：其和等于1.
1．离散型随机变量的分布列的定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，(1)
或把上式列成表
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列．
2．离散型随机变量的性质
(1)pi＞0；(2)p1＋p2＋p3＋…＝1.
1．随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字随着试验结果的变化而变化，称为随机变量．
2．判断一个随机变量是否为离散型随机变量关键是看随机变量的所有可能取值能否一一列出．
3．求离散型随机变量的分布列关键是搞清随机变量所取的所有可能值，以及对应的概率．

随机变量的概念
[例1]　写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.
[思路点拨]　把随机变量的取值一一列举出来，再说明每一取值与试验结果的对应关系．
[精解详析]　(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点，且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．
[一点通]　解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉某些试验结果．
1．下列变量中属于离散型随机变量的有________．
①在2 014张已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取一张，被取出的编号数为X；
②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；
③从2 014张已编号的卡片(从1号到2 014号)中任取3张，被取出的卡片的号数和X；
④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X；
⑤投掷一枚骰子，六面都刻有数字6，所得的点数X.
解析：①②③中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量．④中X的取值为某一范围内的实数，无法全部列出，不是离散型随机变量．⑤中X的取值确定，是6，不是随机变量．
答案：①②③
2．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，设抽取次数为X，则X＝3表示的试验结果是________．
解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．
答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品
3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，试求X的集合，并说明“X>4”表示的试验结果．
解：设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.
依题意得X＝x－y.
则－5≤X≤5，
即X的集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
则X＞4?X＝5，表示x＝6，y＝1，
即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
离散型随机变量分布列的性质
[例2]　已知随机变量X的分布列：
X＝i
1
2
3
4
5
P(X＝i)
a
(1)求a；
(2)求P(X≥4)，P(2≤X＜5)．
[思路点拨]　(1)利用分布列中所有概率和为1的性质求解．
(2)借助互斥事件概率求法求解．
[精解详析]　(1)由＋＋a＋＋＝1，
得a＝.
(2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝，
P(2≤X＜5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋
＝.
[一点通]　利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)p1＋p2＋…＝1，且pi＞0，i＝1,2，….
4．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a·i，i＝1,2,3，则a的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由分布列的性质，知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝a·＋a·2＋a·3＝a＝1.∴a＝.
答案：D
5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4.求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
解：∵P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，
(1)P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝.
(2)P
＝P(X＝1或X＝2或X＝3)
＝1－P(X＝4)＝1－＝＝.
离散型随机变量的分布列
[例3]　(10分)袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设X表示取出3个球中的最大号码，求X的分布列．
[思路点拨]　先确定X的所有可能取值，然后分别求出X取各值时的概率即可．
[精解详析]　根据题意，随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.
X＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P(X＝3)＝＝；?(2分)
X＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取．
所以，P(X＝4)＝＝； ?(4分)
X＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．
所以，P(X＝5)＝＝； ?(6分)
X＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．
所以，P＝(X＝6)＝＝. ?(8分)
所以，随机变量X的分布列为
X＝xi
3
4
5
6
P(X＝xi)
?(10分)
[一点通]　(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布列．
(2)求离散型随机变量X的分布列的步骤：首先确定X的所有可能的取值；其次，求相应的概率P(X＝xi)＝pi；最后列成表格的形式．
6．在射击的试验中，令X＝如果射中的概率为0.8，求随机变量X的分布列．
解：由P(X＝1)＝0.8，得P(X＝0)＝0.2.所以X的分布列为：
X＝xi
1　　0
P(X＝xi)
0.8　　0.2
7．(天津高考改编)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列．
解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
8．(湖南高考改编)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)求x，y的值；
(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X的分布列．
解： (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得
P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
X的分布列为
X
1
1.5
2
2.5
3
P
1．随机变量X是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．
2．离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．

1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是(　　)
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色种数
解析：A，B不能一一列举，不是离散型随机变量，而C是常量，是个确定值，D可能取1,2,3，是离散型随机变量．
答案：D
2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是(　　)
A．25　　　　　　　　　　 B．10
C．9 D．5
解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
答案：C
3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝(　　)
A．3 B．4
C．10 D．不确定
解析：∵X等可能取1,2,3，…，n，
∴X的每个值的概率均为.
由题意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，
∴n＝10.
答案：C
4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为
(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
解析：Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝.
答案：A
5．随机变量Y的分布列如下：
Y＝yi
1
2
3
4
5
6
P(Y＝yi)
0.1
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则(1)x＝________；(2)P(Y＞3)＝________；
(3)P(1＜Y≤4)＝________.
解析：(1)由i＝1，∴x＝0.1.
(2)P(Y＞3)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＋P(Y＝6)
＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.
(3)P(1＜Y≤4)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)
＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55.
答案：(1)0.1　(2)0.45　(3)0.55
6．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，其中C为常数，则P(X≥2)＝________.
解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，∴C＝.
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
答案：
7．若离散型随机变量X的分布列为：
X＝xi
0
1
P(X＝xi)
9a2－a
3－8a
，求常数a及相应的分布列．
解：由离散型随机变量的性质得
解得a＝，或a＝(舍)．
所以随机变量X的分布列为：
X＝xi
0
1
P(X＝xi)
8．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设X＝m2，求X的分布列．
解：(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以X＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝.
故X的分布列为
X＝i
0
1
4
9
P(X＝i)
§2 超几何分布

超几何分布
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数．
问题1：X可能取哪些值？
提示：0,1,2.
问题2：“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)的值呢？
提示：任取2件产品中恰有1件次品．
P(X＝1)＝.
问题3：如何求P(X＝k)？(k＝0,1,2)
提示：P(X＝k)＝.
超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件是次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
(1)超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X＝k)＝①(k≤l，l是n和M中较小的一个)．
(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式①求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．

利用超几何分布公式求概率
[例1]　高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
[思路点拨]　若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n＝5，这5个球中红球的个数X是一个离散型随机变量，X服从超几何分布．
[精解详析]　若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布．
由公式得P(X＝4)＝＝≈0.0295，
所以获一等奖的概率约为2.95%.
[一点通]　解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M，N，n，k的取值．
1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝＝.
答案：B
2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为________(即定义中的N，M，n)的超几何分布．
答案：10,3,5
3．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．
解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
超几何分布的分布列
[例2]　(10分)从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2)．
[思路点拨]　可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．
[精解详析]　由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布．其中N＝8，M＝3，n＝3，
?(2分)
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
?(8分)
从而随机变量X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
?(10分)
[一点通]　解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．
4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)
解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝＝.
(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X
1
2
3
P
5．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；
(2)用Y表示新录用员工的月工资，求Y的分布列．
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)．
则X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
4
P(X＝k)
(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500.
则P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝，
P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝，
则Y的分布列为
Y＝k
2 100
2 800
3 500
P(Y＝k)
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较明显的两部分组成．
2．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出随机变量X取k时的概率P(X＝k)，从而列出随机变量X的分布列．

1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：设X表示2名代表中有甲的个数，X的可能取值为0,1，
由题意知X服从超几何分布，其中参数为N＝6，M＝1，n＝2，
则P(X＝1)＝＝.
答案：B
2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：黑球的个数X服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P(X ≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
答案：A
3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则是表示的概率是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X＝3)
C．P(X≤2) D．P(X≤3)
解析：6人中“三好生”的人数X服从超几何分布，其中参数为N＝12，M＝5，n＝6，所以P(X＝3)＝.
答案：B
4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为(　　)
A. B.
C．1－ D.
解析：设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数．
则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.
答案：D
5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．
解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为＝.
答案：
6．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．
解析：由题意知小张抽到选择题数X服从超几何分布(N＝10，M＝6，n＝4)，
小张抽到选择题至少2道的概率为：
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
答案：
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列．
解：由题意知，旧球个数X的所有可能取值为3,4,5,6.
则P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，P(X＝6)＝＝＝.
所以X的分布列为
X＝i
3
4
5
6
P(X＝i)
8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列．
解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X＝k
0
1
P(X＝k)
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y＝k
0
10
20
50
60
P(Y＝k)
§3 条件概率与独立事件

条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝{产品的长度、质量都合格}．
问题1：试求P(A)，P(B)，P(A∩B)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格概率．
提示：若用A|B表示上述事件，则A|B发生相当于从90件产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
问题3：如何理解问题2?
提示：在质量合格的情况下，长度又合格，即事件B发生的条件下事件A发生．
问题4：试探求P(B)，P(A∩B)，P(A|B)间的关系．
提示：P(A|B)＝.
条件概率
(1)概念
事件B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．
(2)公式
P(A|B)＝(其中，A∩B也可记成AB)．
(3)当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝.
独立事件
有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝{从甲箱里摸出白球}，B＝{从乙箱里摸出白球}．
问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
提示：不影响．
问题2：试求P(A)，P(B)，P(AB)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝.
问题3：P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
提示：P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
问题4：P(B|A)与P(B)相等吗？
提示：相等，由P(B|A)＝＝，可得P(B|A)＝P(B)．
独立事件
(1)概念：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．
(2)推广：若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
(3)拓展：若A1，A2，…，An相互独立，则有
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为P(B|A)，其值不一定等于P(B)．
2．事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率．

条件概率
[例1]　盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．
求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率，
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
[思路点拨]　由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．
[精解详析]　记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1,2.
(1)取两次，两次都取得一等品的概率，
P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝×＝.
(2)取两次，第二次取得一等品，则第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，
则P(A2)＝P(A2)＋P(A1A2)＝×＋×＝.
(3)取两次，已知第二次取得一等品，
则第一次取得二等品的概率为P(|A2)＝＝＝.
[一点通]　求条件概率一般有两种方法：
一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．
二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．
1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：P(B)＝，P(A∩B)＝，P(A|B)＝＝＝.
答案：C
2．已知P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________.
解析：∵P(A|B)＝，
∴P(AB)＝P(A|B)P(B)＝×＝.
答案：
3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是
P(A|B)＝＝≈0.67.
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是
P(B|A)＝＝＝0.60.
独立事件的判断
[例2]　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[思路点拨]　先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分别求出A，B所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)．
[精解详析]　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为.
∵A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
∴P(A)P(B)＝≠P(AB)．
∴事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立，
从而事件A与B是相互独立的．
[一点通]　(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
4．若A与B相互独立，则下面不是相互独立事件的是(　　)
A．A与 B．A与
C.与B D.与
解析：当A，B相互独立时，A与，与B以及与都是相互独立的，而A与是对立事件，不相互独立．
答案：A
5．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立．
解：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事件.
独立事件的概率
[例3]　(10分)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大？
[思路点拨]　若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立．
[精解详析]　记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. ?(3分)
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. ?(5分)
(2)三人都不合格的概率：
P0＝P()＝P()P()P()＝××＝. ?(7分)
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××
＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
结合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有1人合格的概率最大． ?(10分)
[一点通]　(1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积．
6．先后抛掷一枚骰子两次，则两次都出现奇数点的概率为________．
答案：
7．(北京高考改编)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．
则C＝A∪B，A，B独立．
根据投篮统计数据，P(A)＝，P(B)＝.
P(C)＝(A)＋P(B)
＝×＋×
＝.
所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.
8．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第一次取出的2 个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第一次取出的2 个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率．
解：记“第一次取出的2 个球都是白球”事件为A，“第二次取出的2个球都是红球”为事件B，“第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球”为事件C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝·＝·＝.
故第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.
故第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率是.
1．计算条件概率要明确：
(1)准确理解条件概率的概念：条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约；
(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．
2．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系
名称
区别
联系
定义
事件个数
互斥事件
在一次试验中不能同时发生的事件
两个或两个以上
①两事件互斥，但不一定对立；反之一定成立；
②两事件独立，则不一定互斥(或对立)；
③两事件互斥(或对立)，则不相互独立
对立事件
在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件
两个
独立事件
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个或两个以上

1．抛掷一颗骰子一次，A表示事件：“出现偶数点”，B表示事件：“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是(　　)
A．相互互斥事件
B．相互独立事件
C．既相互互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不独立事件
解析：A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，A∩B＝{6}，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，所以A与B是相互独立事件．
答案：B
2．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由题意知：P(AB)＝，P(B|A)＝，
∴P(A)＝＝＝.
答案：B
3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为(　　)
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由条件概率公式，得
P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：D
4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)
A. B.
C. D.
解析：设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝.又A，B相互独立，则，也相互独立，则P( )＝P()P()＝×＝，故至少有一项合格的概率为P＝1－P( )＝.
答案：D
5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
解析：甲、乙两人都未能解决为
＝×＝，
问题得到解决就是至少有1 人能解决问题．
∴P＝1－＝.
答案：　
6．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，
B＝{选出的4个球中最大号码为6}，依题意可知
n(A)＝C＝84，n(AB)＝C＝6，
∴P(B|A)＝＝＝.
答案：
7．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
解：“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A，“从1号箱中取出的是红球”为事件B.
P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
(1)P(A|B)＝＝，
(2)∵P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
8．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对密码的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对密码的概率．
解：(1)设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)，则事件A＝A1＋(1A2)表示不超过2次就按对密码．
因为事件A1与1A2互斥，由概率加法公式，得
P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.
(2)用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件，
则A|B＝A1|B＋(1A2)|B.
∴P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)
＝＋＝.
§4二项分布

某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题．
问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？
提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)．
问题2：X＝0表示何意义？求其概率．
提示：X＝0表示3次都没投中，只有C＝1种情况，P(X＝0)＝C3.
问题3：X＝2呢？
提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C＝3种情况，每种情况发生的可能性为2·.
从而P(X＝2)＝C2·.
二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；
(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；
(3)各次试验是相互独立的．
用X表示这n次试验中成功的次数，则
P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．
1．P(X＝k)＝C·pk(1－p)n－k.这里n为试验次数，p为每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立．

服从二项分布的随机变量的概率计算
[例1]　在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：
(1)全部活到70岁的概率；
(2)有2个活到70岁的概率；
(3)有1个活到70岁的概率．
[思路点拨]　每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分布公式可求．
[精解详析]　设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1,2,3)．
(1)P(X＝3)＝C·0.63·(1－0.6)0＝0.216；
即全部活到70岁的概率为0.216.
(2)P(X＝2)＝C·0.62·(1－0.6)＝0.432.
即有2个活到70岁的概率为0.432.
(3)P(X＝1)＝C·0.6·(1－0.6)2＝0.288.
即有1个活到70岁的概率为0.288.
[一点通]　要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：
(1)每次试验是在相同的条件下进行的；
(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；
(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；
(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由题意，出现正面的次数X～B，
∴出现3个正面1个反面的概率为P(X＝3)＝C×3×＝.
答案：D
2．甲每次投资获利的概率是p＝0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算：
(1)有5次获利的概率；
(2)6次都获利的概率．
解：用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B(6,0.8)，且
(1)P(X＝5)＝C0.85(1－0.8)≈0.39，
他5次获利的概率约等于0.39.
(2)P(X＝6)＝C0.86≈0.26.
他6次都获利的概率约等于0.26.
3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C2＋C3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)＝P(B1)＋P(B2)
＝C2·C3＋C3·C3
＝＋＝.
服从二项分布的随机变量的分布列
[例2]　(12分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数．求
(1)随机变量X的分布列；
(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
[思路点拨]　求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率．
[精解详析]　(1)由题意X～B，
则P(X＝0)＝C03＝， ?(3分)
P(X＝1)＝C12＝， ?(4分)
P(X＝2)＝C21＝， ?(5分)
P(X＝3)＝C30＝. ?(6分)
∴X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)
?(8分)
(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”．因此有
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. ?(12分)
[一点通]　解决这类问题一般步骤：
(1)判断所述问题是否是相互独立试验；(2)建立二项分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列．
4．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于(　　)
A．C2× B．C2×
C.2× D.2×
解析：P(X＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P(X＝3)＝2×.
答案：C
5．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．
解：由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，
P(X＝0)＝C×0.952＝0.902 5；
P(X＝1)＝C×0.05×0.95＝0.095；
P(X＝2)＝C×0.052＝0.002 5.
因此，次品数X的分布列如下：
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
0.902 5
0.095
0.002 5
6．射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分．某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运动员进行2轮比赛．
(1)求该运动员得4分的概率为多少？
(2)若该运动员所得分数为X，求X的分布列．
解：(1)记“运动员得4分”为事件A，
则P(A)＝×××＝.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝P(X＝4)＝，
P(X＝1)＝P(X＝3)
＝C3＋C3＝，
P(X＝2)＝4＋4＋422＝.
∴X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
4
P(X＝k)
1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．
2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项Tk＋1＝C(1－p)n－kpk，可见P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．

1．若X～B，则P(X＝2)＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：∵X～B，
∴P(X＝2)＝C24＝.
答案：D
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝.所以1－p＝，p＝.
答案：A
3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：至少有2次击中目标包含以下情况：
只有2次击中目标，此时概率为
C×0.62×(1－0.6)＝，
3次都击中目标，此时的概率为C×0.63＝，
∴至少有2次击中目标的概率为＋＝.
答案：A
4．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X，若甲先投，则P(X＝k)等于(　　)
A．0.6k－1×0.4 B．0.24k－1×0.76
C．0.4k－1×0.6 D．0.76k－1×0.24
解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，
则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76.
所以P(X＝k)的概率是前k－1轮两人均未中，第k轮时至少有一人中，则P(X＝k)＝0.24k－1×0.76.
答案：B
5．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________.
解析：∵X～B(2，p)，
∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2.
∴P(X≥1)＝1－P(X<1)
＝1－P(X＝0)
＝1－Cp0(1－p)2
＝1－(1－p)2.
由P(X≥1)＝，得1－(1－p)2＝，
结合0答案：
6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________．
解析：每粒种子的发芽概率为，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：C22＝.
答案：
7．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2)其中恰有3次击中目标的概率．
解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为
P1＝××××＝；
(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X～B(5，)，故所求其概率为
P(X＝3)＝C×3×2＝.
8．(四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列．
解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝.
(2)由题意，P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以，随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
第一课时　离散型随机变量的均值

求离散型随机变量的均值
[例1]　(重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望EX.
[思路点拨]　(1)利用古典概型结合计数原理直接求解．
(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值．
[精解详析]　设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上知，X的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有EX＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
[一点通]　求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列(有时可以省略)；
(4)利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出均值．
1．(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望EX＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．2
C. D．3
解析：EX＝1×＋2×＋3×＝＝.
答案：A
2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：
血型
A
B
AB
O
人数
8
7
3
2
(1)现从这20人中随机选出两人，求两人血型相同的概率；
(2)现有A血型的病人需要输血，从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血，记选出A血型的人数为X，求随机变量X的数学期望EX.
解：(1)从20人中选出两人的方法数为C＝190，
选出两人同血型的方法数为C＋C＋C＋C＝53，
故两人血型相同的概率是.
(2)X的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
X的分布列为
X
0
1
2
P
∴EX＝×0＋×1＋×2＝＝.
二项分布及超几何分布的均值
[例2]　甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，求
(1)X的概率分布；
(2)X和Y的数学期望．
[思路点拨]　甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
[精解详析]　(1)P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C3＝，
P(X＝2)＝C3＝，
P(X＝3)＝C3＝.
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
(2)由题意X～B，Y～B，
∴EX＝3×＝1.5，EY＝3×＝2.
[一点通]　如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则EX＝np；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则EX＝n，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
3．若随机变量X～B，EX＝2，则P(X＝1)等于________．
解析：由X～B∴EX＝n·＝2，
∴n＝4，∴P(X＝1)＝C13＝.
答案：
4．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX为________．
解析：由题意知随机变量X服从N＝7，M＝4，n＝3的超几何分布，则EX＝3×＝.
答案：
5．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望EX.
解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)由(1)知EX＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝.
数学期望的实际应用
[例3]　某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？
[思路点拨]　(1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解．
[精解详析]　(1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则P(A)＝1－＝.
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为. ?(4分)
(2)设顾客抽奖的中奖次数为X，则X＝0,1,2,3，于是
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝××＝，
∴顾客中奖的数学期望
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5. ?(10分)
设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x≤180，解得x≤120，
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本． ?(12分)
[一点通]　处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
6．(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．
由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝.
且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，于是
P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.
因P(X＝0)＝P( )＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.
故所求的X分布列为
X
0
100
120
220
P
数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.
7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．)
解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为
E1＝400×0.3＝120(万元)；
②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，
损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)，
所以总费用为45＋40＝85(万元)；
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，
发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，
损失期望值为E3＝400×0.15＝60(万元)，
所以总费用为30＋60＝90(万元)；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，
则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，
发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，
损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，
所以总费用为75＋6＝81(万元)．
综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．
1．求随机变量的数学期望的方法步骤：
(1)写出随机变量所有可能的取值．
(2)计算随机变量取每一个值对应的概率．
(3)写出分布列，求出数学期望．
2．离散型随机变量均值的性质
①Ec＝c(c为常数)；
②E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)；
③E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b为常数)．

1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值为(　　)
A．0.8　　　　　　　　　 B．0.83
C．3 D．2.4
解析：射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，∴EX＝3×0.8＝2.4.
答案：D
2．已知离散型随机变量X的概率分布如下：
X
0
1
2
P
0.3
3k
4k
随机变量Y＝2X＋1，则Y的数学期望为(　　)
A．1.1 B．3.2
C．11k D．33k＋1
解析：由题意知，0.3＋3k＋4k＝1，
∴k＝0.1.EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，
∴EY＝E(2X＋1)＝2EX＋1＝2.2＋1＝3.2.
答案：B
3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X表示取出的球的最大号码，则EX＝(　　)
A．4 B．5
C．4.5 D．4.75
解析：X的取值为5,4,3.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
∴EX＝5×＋4×＋3×＝4.5.
答案：C
4．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意知X可能为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝，EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，故选B.
答案：B
5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．
解析：设查得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N＝10，M＝3，n＝2.
∴EX＝n·＝2×＝.
答案：
6．某射手射击所得环数X的分布列如下
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知EX＝8.9，则y的值为________．
解析：由
解得y＝0.4.
答案：0.4
7．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
表一
工序
概率
产品
第一道工序
第二道工序
甲
0.8
0.85
乙
0.75
0.8
表二
等级
利润
产品
一等
二等
甲
5(万元)
2.5(万元)
乙
2.5(万元)
1.5(万元)
(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X，Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．
解：(1)P甲＝0.8×0.85＝0.68，
P乙＝0.75×0.8＝0.6.
(2)随机变量X，Y的分布列是
X
5
2.5
P
0.68
0.32
Y
2.5
1.5
P
0.6
0.4
　
EX＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，
EY＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.
所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．
8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意知，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
又P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
第二课时　离散型随机变量的方差

求随机变量的方差
[例1]　已知随机变量X的分布列为
X
0
1
x
P
p
若EX＝，求DX的值．
[思路点拨]　解答本题可先根据i＝1求出p的值，然后借助EX＝求出x的取值，最后代入相应的公式求方差．
[精解详析]　由＋＋p＝1，得p＝.
又EX＝0×＋1×＋x＝，
∴x＝2.
∴DX＝2×＋2×＋2×
＝.
[一点通]　求离散型随机变量的方差的方法：
(1)根据题目条件先求分布列．
(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差．
1．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
解析：由题意设P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下
ξ
0
1
2
P
p
－p
由E(ξ)＝1，可得p＝，
所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝.
答案：
2．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
试求DX和D(2X－1)．
解：EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1
＝1.8.
所以DX＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.2X－1的分布列为
2X－1
－1
1
3
5
7
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
所以E(2X－1)＝2EX－1＝2.6.
所以D(2X－1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.
求实际问题的均值和方差
[例2]　在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．
[思路点拨]　
→ → →
[精解详析]　X可能取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝××××1＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由定义知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.
DX＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.
[一点通]　(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤：
①理解X的意义，写出X可能取的全部值；
②求X取每个值时的概率；
③写X的分布列；
④求EX，DX.
(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，
则EX＝np，DX＝np(1－p)．
3．一批产品中次品率为，现在连续抽查4次，用X表示次品数，则DX等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：∵X～B，
∴DX＝np(1－p)＝4××＝.
答案：C
4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
求X的分布列，均值和方差．
解：由题意，得X的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
随机变量的均值和方差的实际应用
[例3]　(10分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
[思路点拨]　解本题的关键是，一要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即数学期望，二要看出次品数的波动情况，即方差值的大小．根据数学期望与方差值判断两名工人的技术水平情况．
[精解详析]　工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为
EX＝0×＋1×＋2×＝0.7，
DX＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.?(4分)
工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为
EY＝0×＋1×＋2×＝0.7，
DY＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.?(4分)
由EX＝EY知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX＞DY，可见乙的技术比较稳定． ?(10分)
[一点通]　均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析．
5．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，且X，Y的分布列为
Y
1
2
3
P
0.3
b
0.3
X
1
2
3
P
a
0.1
0.6
求：(1)a，b的值；
(2)计算X，Y的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知
a＋0.1＋0.6＝1，
∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.
(2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6
＝0.81，
DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3
＝0.6.
由于EX>EY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX>DY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势．
6．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：
第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利与亏损的概率均为.
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，也可能损失10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．
解：若按方案一执行，设收益为X万元，则其分布列为
X
4
－2
P
EX＝4×＋(－2)×＝1(万元)．
若按方案二执行，设收益为Y万元，则其分布列为
Y
2
0
－1
P
EY＝2×＋0×＋(－1)×＝1(万元)．
若按方案三执行，收益z＝10×4%×(1－5%)＝0.38(万元)，
∴EX＝EY >z.
又DX＝(4－1)2×＋(－2－1)2×＝9.
DY＝(2－1)2×＋(0－1)2×＋(－1－1)2×
＝.
由上知DX>DY，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．
∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．
1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．
2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．

1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由X～B，∴DX＝3××＝.
答案：B
2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝(k＝1,2,3)，则D(3X＋5)＝(　　)
A．6 B．9
C．3 D．4
解析：EX＝(1＋2＋3)×＝2，
∵Y＝3X＋5可能取值为8,11,14，其概率均为，
∴EY＝8×＋11×＋14×＝11.
∴DY＝D(3X＋5)＝(8－11)2×＋(11－11)2×＋(11－14)2×＝6.
答案：A
3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　)
A．EX＝0，DX＝1
B．EX＝，DX＝
C．EX＝0，DX＝
D．EX＝，DX＝1
解析：EX＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，
DX＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.
答案：A
4．若随机变量X的分布列为P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝b.若EX＝，则DX等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意，得
∴a＝，b＝.
DX＝2×＋2×＝.
答案：D
5．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．
解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是，∴EX＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.
答案：8.5
6．变量X的分布列如下：
X＝k
－1
0
1
P(X＝k)
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若EX＝，则DX的值为________．
解析：由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c.
又∵a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.
又∵EX＝－a＋c＝，∴a＝，c＝.
∴DX＝2×＋2×＋2×
＝.
答案：
7．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．
解：(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)．
(2)X可能的取值为60,70,80，并且
P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望为
EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为
DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7
＝44.
8．(浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝2·＋2·＋2·＝.
化简得解得a＝3c，b＝2c，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
*§6正态分布

1．正态分布
正态分布的分布密度函数为：f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中μ表示均值，σ2(σ>0)表示方差．通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．
2．正态分布密度函数满足以下性质
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)正态变量在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%.
通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有0.3%.
1．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此可把正态分布记作N(μ，σ2)．
2．要正确理解μ，σ的含义．若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，即μ为随机变量X取值的均值，σ2为其方差．

正态曲线及性质
[例1]　设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)．
[思路点拨]　首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解．
[精解详析]　因为X～N(1,22)，
所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683.
(2)因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，
所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]
＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]
＝(1－0.954)
＝0.023.
[一点通]　对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知，
(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；
(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
1．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，则P(X＞4)＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：由正态分布密度函数的性质可知，μ＝4是该函数图像的对称轴，∴P(X＜4)＝P(X＞4)＝.
答案：D
2．如图所示，是一个正态分布密度曲线．试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．
解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式为
f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
正态分布在实际生活中的应用
[例2]　(8分)在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人？
[思路点拨]　
―→―→―→
[精解详析]　∵X～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10.?(2分)
(1)P(70即成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954. ?(5分)
(2)P(80∴2 000×0.683＝1 366(人)．
即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有1 366人． ?(8分)
[一点通]　解答此类问题的关键有两个：
(1)熟记随机变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值；
(2)根据已知条件确定问题所在的区间，并结合三个特殊区间上的概率值求解．
3．一批电阻的阻值X服从正态分布N(1 000,52)(Ω)．今从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为(　　)
A．甲、乙两箱电阻均可出厂
B．甲、乙两箱电阻均不可出厂
C．甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂
D．甲电阻箱不可出厂，乙电阻箱可出厂
解析：∵X～N(1 000,52)，
∴μ＝1 000，σ＝5，
∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，
μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.
∵1 011∈(985,1 015)，982?(985,1 015)．
∴甲电阻箱可出厂，乙电阻箱不可出厂．
答案：C
4．(湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
求p0的值．(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.)
解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，
P(700由正态分布的对称性，可得
p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(8005．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的学生占多少？
(2)成绩在80～90之间的学生占多少？
解：(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70,102)，如图所示，则μ＝70，σ＝10，P(70－10∴不及格的学生的比为
×(1－0.683)＝0.158 5，
即成绩不及格的学生占15.85%.
(2)成绩在80～90之间的学生的比为
[P(50＝×(0.954－0.683)＝0.135 5，
即成绩在80～90之间的学生占13.55%.
1．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计．
2．因为P(μ－3σ
设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则有
(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，μ1<μ2，σ1<σ2.
答案：A
2．已知X～N(0,62)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.6 D．0.8
解析：由正态分布曲线的性质知P(0≤X≤2)＝0.4，
∴P(－2≤X≤2)＝0.8，∴P(X>2)＝(1－0.8)＝0.1.
答案：A
3．在正常情况下，工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为(　　)
A．70个 B．100个
C．30个 D．60个
解析：正态总体N(μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，因此不属于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.003，所以在一次正常的试验中，取10 000个零件时．不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为30个左右．
答案：C
4．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0A．0.021 5 B．0.723
C．0.215 D．0.64
解析：由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3,1)．
P(μ－3σP(μ－2σP(0∴P(0答案：A
5．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．
解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.所以k＝2.
答案：2
6．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.
解析：∵P(X>2)＝0.023，∴P(X<－2)＝0.023，
故P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝0.954.
答案：0.954
7．设X～N(0,1)．
(1)求P(－1(2)求P(0解：(1)X～N(0,1)时，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1，
所以P(－1(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正态曲线f(x)关于直线x＝0对称，所以
P(08．某厂生产的T型零件的外直径X～N(10,0.22)，一天从该厂上午、下午生产的T型零件中随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常．
解：∵X～N(10,0.22)，
∴μ＝10，σ＝0.2.
∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，
μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.
∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)，
∴该厂全天的生产状况是正常的．
第二章 概率
知识整合与阶段检测
[对应学生用书P37]
一、离散型随机变量的分布列
1．定义
设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：
P(x＝ai)＝Pi(i＝1,2，…)，①
或把上式列成下表
X＝ai
a1　a2　…
P(X＝ai)
p1　p2　…
上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．
2．求随机变量的分布列的步骤
①明确随机变量X的取值；②准确求出X取每一个值时的概率；③列成表格的形式．
[说明]　已知随机变量的分布列，则它在某范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi>0，i＝1,2，…；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1.
[说明]　分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据．
二、条件概率与独立事件
1．A发生时B发生的条件概率为
P(B|A)＝.
2．对于两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
3．求条件概率的常用方法
(1)定义：即P(B|A)＝.
(2)借助古典概型公式P(B|A)＝.
4．概率问题常常与排列组合相结合，求事件概率的关键是将事件分解成若干个子事件，然后利用概率加法(互斥事件求和)、乘法(独立事件同时发生)、除法(条件概率)来求解．
三、离散型随机变量的均值与方差
1．定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，an，这些值对应的概率是p1，p2，…，Pn，则EX＝a1p1＋a2p2＋…＋anpn叫作这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．E(X－EX)2是(X－EX)2的期望，并称之为随机变量X的方差，记为DX.
2.意义：均值反映了离散型随机变量取值的平均取值水平，而方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
四、超几何分布及二项分布
1．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．
那么P(X＝k)＝(k∈N)，X服从参数为N，M，n的超几何分布．其均值EX＝n.
2．二项分布
在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次试验中成功的次数
则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…n)．
称为X服从参数为n，P的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np(1－p)．
五、正态分布
1．正态分布的密度函数为
f(x)＝exp，－∞2．正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线x＝μ对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．
(3)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683；
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954；
P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997.
　
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1．下列表格可以作为X的分布列的是(　　)
A.
X
0
1
3
P
a
1－a
　B.
X
1
2
3
P
－
1
C.
X
－1
1
2
P
2a
a2＋2
D.
X
4
5
P
解析：根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D正确．
答案：D
2．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n，p的值分别是(　　)
A．50， B．60，
C．50， D．60，
解析：由得
答案：B
3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　)
A．10 B．100
C. D.
解析：由正态分布密度曲线上的最高点知，＝，∴DX＝σ2＝.
答案：C
4．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为(　　)
A．0.9 B．0.2
C．0.7 D．0.5
解析：设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P(A ＋ B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.
答案：D
5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P(B|A)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：P(A)＝，P(AB)＝，由条件概率公式
P(B|A)＝＝＝.
答案：B
6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　)
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
解析：法一：由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
∵K，A1，A2相互独立，
∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.
∴系统正常工作的概率为P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.
法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.
答案：B
7．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，且P(X＞1)＝p，则P(－1＜X＜0)等于(　　)
A.p B．1－p
C．1－2p D.－p
解析：由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由正态分布图可得P(－1＜X＜0)＝－P(X＜－1)＝－P(X＞1)＝－p.
答案：D
8．将1枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，则k的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：设正面向上的次数为X，则X～B.
由题意知，C5＝C5.
∴k＋k＋1＝5.∴k＝2.
答案：C
9．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是(　　)
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
解析：出海效益的均值为EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200元．
答案：B
10．(浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．
(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．
则(　　)
A．p1>p2，E(ξ1)B．p1E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)
D．p1解析：法一(特值法)：取m＝n＝3进行计算、比较即可．
法二(标准解法)：从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P(ξ＝0)＝＝P(ξ1＝1)，P(ξ＝1)＝＝P(ξ1＝2)，所以E(ξ1)＝1·P(ξ1＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝＋1，所以p1＝＝；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P(η＝0)＝＝P(ξ2＝1)，P(η＝1)＝＝P(ξ2＝2)，P(η＝2)＝＝P(ξ2＝3)，所以E(ξ2)＝1·P(ξ2＝1)＋2P(ξ2＝2)＋3P(ξ2＝3)＝＋1，所以p2＝＝，所以p1>p2，E(ξ1)答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数X的均值是2，则p＝________.
解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知X～B(6,1－p)，
所以EX＝6(1－p)＝2.解得p＝.
答案：
12．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
解析：正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．
∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，∴正态分布的数学期望就是1.
答案：1
13．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则X的数学期望EX＝________.
解析：随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝2.
n＝2，则EX＝2×＝.
答案：
14．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
解析：设X表示向上的数之积，
则P(X＝1)＝×＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝4)＝×＝，
P(X＝0)＝.
∴EX＝1×＋2×＋4×＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如下表所示.
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和X的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2.
∴X的概率分布为：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性，得
P(A1)＝CP(X＝2)·P(X＝0)
＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09，
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
16．(本小题满分12分)(北京高考)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
17．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2，依题意得
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝；
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝；P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，即P(B|A)＝＝.
18．(本小题满分14分)(新课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．
解：(1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.