2.2.2 平行四边形的判定同步练习

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2.2.2 平行四边形的判定同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
２．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
３．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
４．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
５．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列不能作为判定四边形ABCD为平行四边形的条件的是（ ）
A. AB＝CD，AD＝BC B. ABCD
C. AB＝CD，AD∥BC D. AB∥CD，AD∥BC
2．在□ABCD中，AB≠AD，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（ ）
A. 四个内角平分线围成的四边形
B. 过四个顶点作对边的高线围成的四边形
C. 以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形
D. 以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形．
3．以长为5cm， 4cm， 7cm的三 ( http: / / www.21cnjy.com )条线段中的的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是 （ ）21教育网
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．下列条件中，能判别四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行，一组对角互补
C. 一组对角相等，一组邻角互补 D. 一组对角互补，另一组对角相等
5．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有（　　）个．
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A. 10 B. 12 C. 14 D. 23
6．根据下列条件，能作出平行四边形的是（　　）
A. 两组对边的长分别是3和5
B. 相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9
C. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
7．下列给出的是四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能说明四边形ABCD为平行四边形的是（　　）21cnjy.com
A. 1：2：3：4 B. 2：2：3：4 C. 2：3：2：3 D. 2：3：3：2
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（ ）www.21-cn-jy.com
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A. 一直不变 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
9．如图，已知四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC﹣∠DCE；④S△EDF=S△BCF，其中正确的结论是（　　）
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A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
10．如图，在四边形ABCD中，E是B ( http: / / www.21cnjy.com )C边上的一点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，且DE=EF，AB=BF．再添加一个条件，你认为下面四个条件中能使四边形ABCD是平行四边形的是（　 ）21*cnjy*com
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A. AD=BC B. CD=BF C. ∠A=∠C D. ∠F=∠CDE
二、填空题
11．如图，AC是□ABCD的对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是__________________(只要填写一种情况).【版权所有：21教育】
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12．一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是______，依据是____________________________．
13．如图，在梯形ABCD中，CD ( http: / / www.21cnjy.com )∥AB，且CD=6cm，AB=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向B运动，Q以2cm/s的速度由C向D运动．则________秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形．
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14．如图所示，工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使 .
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，它的依据是____________.
（3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整 ( http: / / www.21cnjy.com )窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是矩形，它的依据是_____________________.
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15．如图所示，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的条件是________．(只需填一个你认为正确的条件即可).21世纪教育网版权所有
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16．如图， ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是______．21·cn·jy·com
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三、解答题
17．如图所示，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ACB＝90°点E是AB的中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE，求证四边形ACEF是平行四边形．
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18．如图，D、E、F分 ( http: / / www.21cnjy.com )别在△ABC的边BC、AB、AC上，且DE∥AF，DE=AF，G在FD的延长线上，DG=DF．试说明AG和ED互相平分． www-2-1-cnjy-com
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19．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上
（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
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20．提出命题：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形.21·世纪*教育网
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小明提供了如下解答过程：
证明：连接BD.
∵∠1+∠3=180 －∠A，∠2+∠4=180 ―∠C，∠A=∠C，
∴ ∠1+∠3=∠2+∠4.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠1=∠4，∠2=∠3.
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
反思交流：(1)请问小明的解法正确吗？如果有错，说明错在何处，并给出正确的证明过程.
(2)用语言叙述上述命题：___________________________________________________.
运用探究：(3)下列条件中，能确定四边形ABCD是平行四边形的是（_____）
A. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4 B. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3
C. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶3∶2 D. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶1∶3∶3
21．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别 ( http: / / www.21cnjy.com )相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=
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求证：四边形ABCD是 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇同学的思路写出证明过程；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题.
22. 如图,在四边形ABCD中,AD ( http: / / www.21cnjy.com )∥BC,AD＝６,BC＝１６,点E是BC的中点．点P以每秒１个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒２个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P停止运动时,点 Q 也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】
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参考答案
1．C
【解析】解：A．∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD的两组对边相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不合题意；2-1-c-n-j-y
B．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD的一组对边平行且相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不合题意；21*cnjy*com
C．∵AB=CD，AD∥CD，无法判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项合题意；
D．∵AB∥CD，AD∥BC，四边形ABCD的两组对边分别平行，四边形ABCD是平行四边形；故本选项不合题意．
故选C．
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2．D
【解析】解：∵ ABCD的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，∴选项A正确；
∵过 ABCD四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，∴选项B正确；
∵以 ABCD各边中点为顶点的四边形是平行四边形，∴选项C正确；
∵以 ABCD一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，∴选项D不正确．
故选D．
3．C
【解析】解：分别以4cm，5cm为 ( http: / / www.21cnjy.com )边，7cm为对角线；或以4cm，7cm为边，5cm为对角线；或5cm，7cm为边，4cm为对角线共有三种情况．故选C．【出处：21教育名师】
点睛：本题考查了平行四边形的判定，实质上只要三条线段的长符合构成三角形，就可以画不同形状的平行四边形．
4．C
【解析】解：A．一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形；
B．一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形；
C．一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形；
D．一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．
故选C．
5．D
【解析】解： ( http: / / www.21cnjy.com )
一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形AGIB、AOQB、AMIF、AQFO、ABMI、AFGI共6个；
一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN共6个；
还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN、AQSN，共11个；
6+6+11=23个．故选D．
6．A
【解析】解：A．因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B．因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，也不能作出平行四边形，故本选项错误；
C．因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，也不能作出平行四边形，故本选项错误；
D．因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，也不能作出平行四边形，故本选项错误；
故选A．
7．C
【解析】解：由平行四边形的两组对角分别相等，可知C正确．故选C．
8．A
【解析】∵AC⊥BC,BF⊥BC, ∴AC∥BF.
又∵DE∥AB, ∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD,DF=DE+EF=AB,
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.
故选A.
9．D
【解析】试题解析：∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠A=∠BCD，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠A=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴DE⊥CD，
∵∠A=∠ABD，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，
∴∠ADC=∠DBC+∠BCD，
∴∠ADC-∠DCE=∠DBC+∠BCD-∠DCE=∠DBC+∠BCF，
∵∠DFC=∠DBC+BCF，
∴∠DFC=∠ADC-∠DCE；
∵AB∥CD，
∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，
∴由三角形面积公式得：S△BED=S△EBC，
都减去△EFB的面积得：S△EDF=S△BCF，
∴①②③④都正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用，关键是推出AB∥CD．
10．D
【解析】试题解析：添加：∠F=∠CDE，
理由：
在△DEC与△FEB中，
∴△DEC≌△FEB（ASA），
∴DC=BF，∠C=∠EBF，
∴AB∥DC，
∵AB=BF，
∴DC=AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选D．
【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键
11．AE=CF
【解析】先连接BD，交AC于O．由于四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD是平行四边形，那么OA=OC，OB=OD，而AE=CF，利用等式性质易得OE=OF，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形BFDE是平行四边形．
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故答案为：AE=CF（答案不唯一）.
点睛：本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是连接BD，出现两组对角线．
12． 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】解：a2+b2+c2+d2= ( http: / / www.21cnjy.com )2ac+2bd，（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bd+d2）=0，（a﹣c）2+（b﹣d）2=0，∴a﹣c=0，b﹣d=0，∴a=c，b=d，∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为：平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
点睛：本题考查了配方法的应用．用到的知 ( http: / / www.21cnjy.com )识点为：（a2﹣2ab+b2）=（a﹣b）2；两个非负数的和为0，这两个数均为0；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
13．2或3
【解析】解：设x秒时，直线QP ( http: / / www.21cnjy.com )将四边形ABCD截出一个平行四边形，则AP=xcm，BP=（9-x）cm，CQ=2xcm，DQ=（6-2x）cm．
∵CD∥AB，∴分两种情况：
1．当AP=DQ时，x=6-2x，解得：x=2；
2．当BP=CQ时，9-x=2x，解得：x=3；
综上所述：当2秒或3秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形．
故答案为：2或3．
点睛：本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定、解方程等知识；熟练掌握梯形的性质和平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
14． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】（1）略
（2）∵AB=CD，EF=GH，
∴四边形为平行四边形.(两组对边相等的四边形为平行四边形)
（3）由（2）知四边形为平行四边形，
∵∠C为直角，
∴四边形为矩形.(一个角为直角的平行四边形为矩形)
点睛：根据平行四边形的判定，两组对边分 ( http: / / www.21cnjy.com )别相等的四边形为平行四边形，即可得出②的结论，当把一个角变为直角时，根据一个角为直角的平行四边形为矩形即可得出③的结论．
15．AD＝BC，或AB∥AD(答案不唯一)
【解析】解：根据平行四边形的判定方法，需要 ( http: / / www.21cnjy.com )增加的条件是：AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D．故答案为：AD=BC（或AB∥CD）．【来源：21cnj*y.co*m】
16．
【解析】根据平行四边形性质推 ( http: / / www.21cnjy.com )出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，
∵EF=3，∴CE=2，∴AB=，
故答案为．
“点睛”本题考查了平行四边形的性质和 ( http: / / www.21cnjy.com )判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
17．答案见解析
【解析】试题分析：要证明四边形ACEF ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形，需求证CE∥AF，由已知易得△BEC，△AEF是等腰三角形，则∠1=∠2，∠3=∠F，又∠2=∠3，得到∠1=∠F，故CE∥AF，由此即可得到结论．
试题解析：证明：∵点E为AB中点，∴AE ( http: / / www.21cnjy.com )=EB．又∵∠ACB=90°，∴CE=AE=EB．又∵AF=CE，∴AF=AE，∴∠3=∠F．又∵EB=EC，ED⊥BC，∴∠1=∠2（三线合一）．又∵∠2=∠3，∴∠1=∠F，∴CE∥AF，∴四边形ACEF是平行四边形．
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点睛：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
18．证明见解析.
【解析】试题分析：由一组对边平行且相等求解四边形AEGD是平行四边形，即可得出结论．
试题解析：证明：∵DE∥AF，且DE=AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=DF，
又DG=DF，
∴AE=DG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AG和ED互相平分．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）选取①②，利用ASA ( http: / / www.21cnjy.com )判定△BEO≌△DFO；也可选取②③，利用AAS判定△BEO≌△DFO；还可选取①③，利用SAS判定△BEO≌△DFO；
（2）根据△BEO≌△DFO可得EO ( http: / / www.21cnjy.com )＝FO，BO＝DO，再根据等式的性质可得AO＝CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．21教育名师原创作品
试题解析：
证明：（1）选取①②，
∵在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，
∴EO＝FO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
20． （1）答案见解析；(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (3) B
【解析】试题分析：（1）利用四边形的内 ( http: / / www.21cnjy.com )角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补，从而判定两组对边平行，进而证得结论；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）由（1）即可得出结论．
解：（1）小明的解法不正确，错在推出∠1+∠3=∠2+∠4后，由∠ABC=∠ADC，不能直接推出∠1=∠4，∠2=∠3.
正确证明：因为∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，所以2∠A+
2∠ABC=360°.所以∠A+∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )=180°.所以AD∥BC.同理∠A+∠ADC=180°.所以AB∥CD.所以四边形ABCD是平行四边形.
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确.
点睛：本题考查了平行四边形的判定定 ( http: / / www.21cnjy.com )理---“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的证明方法；解题的关键是熟练掌握平行四边形的几个判定定理，并把已知条件转化为两组对边分别平行．2·1·c·n·j·y
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，即可得到结论；
（2）连接BD，利用SSS定理证明△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．
试题解析：解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）证明：连接BD．
在△ABD和△CDB中，∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：
平行四边形两组对边分别相等．
22. 解:由题意可知,AP＝t,CQ＝２t,CE＝BC＝８．
∵AD∥BC,
∴当PD＝EQ时,以点P、Q、E,D 为顶点的四边形是平行四边形．
当２t＜８即t＜４时,点Q 在C、E之间,如图甲．
此时,PD＝AD－AP＝６－t,EQ＝CE－CQ＝８－２t,由６－t＝８－２t得t＝２s．
当８＜２t＜１６即４＜t＜８时,点Q在B、E之间,如图乙．
此时,PD＝AD－AP＝６－t,EQ＝CQ－CE＝２t－８,由６－t＝２t－８得t＝(s)．
∴当运动时间为２s或s时,以点P、Q、E、 D 为顶点的四边形是平行四边形．
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