2.4 三角形的中位线同步练习

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2.4 三角形的中位线同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,一个三角形有３条中位线．
２．三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半．
３．顺次连结任意四边形各边中点,所得的四边形是平行四边形．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( )
A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm
2．△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为（ ）21*cnjy*com
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A. 5 B. 4 C. D.
4．如图所示，在△ABC中，AB=12，BC=10，点O为AC的中点，则BO的取值范围是( )
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A. 1＜BO＜11 B. 2＜BO＜22 C. 10＜BO＜12 D. 5＜BO＜6
5．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ）
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A. 25° B. 30° C. 35° D. 50°
6．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（　　）
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A. 18 B. 14 C. 12 D. 6
7．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC=90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，点G在AB上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GD的长为（ ）
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A. 3 cm B. cm C. cm D. cm
8．如图，平行四边形的周长为，对角线， 相交于点，点是的中点， ，则的周长为（ ）．
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A. B. C. D.
9．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB， ( http: / / www.21cnjy.com )P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；其中会随点P的移动而变化的是( )
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A. ① B. ② C. ③ D. ④
10．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且＝4，则的值是（ ）
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A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，P是BC边 ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，∠A=∠B=90 ，E为AB的中点，连接DP，EP.若FG为△DPE的中位线，AB=AD=4，则FG=___________.21教育名师原创作品
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12．如图，A、B两处被池 ( http: / / www.21cnjy.com )塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB=__________m．
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13．如图，在△ABC中，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )点D、F分别在AB，AC上，DF垂直平分AB，E是BC的中点，若∠C=70°，则∠EDF=________
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14．如图，△ABC中，AB=7，AC=11，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，那么DE=_______
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15．如图所示,在△ABC中,点D ( http: / / www.21cnjy.com ),E,F分别是AB,BC,AC的中点,若平移△ADF,则图中能与它重合的三角形是____(写出一个即可).
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16．如图，△ABC的周长为64， ( http: / / www.21cnjy.com )E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
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三、解答题
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，求四边形DEFG的周长.2-1-c-n-j-y
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18．如图，AD是∠BAC的外角平分线，CD⊥AD于点D，E是BC的中点.求证：DE= (AB+AC).
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19．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．21教育网
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20．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．2·1·c·n·j·y
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21．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．
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22．如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别是AD、BC的中点，M、N分别是BD、AC的中点．
求证：EF与MN互相平分．
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参考答案
1．C
【解析】∵三角形的三条中位线分别为3cm、4cm、6cm，
∴三角形的三边分别为6cm，8cm，12cm，
∴这个三角形的周长=6+8+12=26cm，
故选C．
2．B
【解析】△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又∵BC=8，∴DE=4，
故选B.
3．D
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∴OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC= =2，
∴BO= AC=，
故选D．
4．A
【解析】如图延长BO到D，使OB=OD，连接CD，AD，则四边形ABCD是平行四边形，
在△ABD中，AD=10，BA=12，
所以2＜BD＜22，所以1＜BO＜11
故选A．
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5．A
【解析】∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=AB，PN=DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN=130°，
∴∠PMN=（180°-∠MPN）÷2=25°，
故选A．
6．A
【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，
∵E为AC中点，∴CE=AC==7.5，DE=AB==7.5，
∵CD+DE+CE=24，
∴CD=24-7.5-7.5=9，∴BC=18，
故选A .
7．C
【解析】∵四边形DEFG是矩形，
∴GD∥EF,GD=EF,
∵D是AC的中点，
∴GD是△ABC的中位线，
∴,
∴,
解之得
GD=.
故选D.
8．D
【解析】∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+DC=18.
∵平行四边形ABCD的对角线BD、AC相交于点O，
∴O是BD的中点，DO=BD=6.
又∵E是CD的中点，
∴DE=CD，OE是△BDC的中位线，
∴OE=BC.
∴DO+DE+OE=6+ (CD+BC)=6+9=15.
即△DOE的周长为15.
故选D.
9．B
【解析】解：∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴①线段MN的长为定值；
∵△PAB的周长=PA+PB+AB，当P向右移动时，PA，PB会逐渐增大，∴△PAB的周长会随着P的移动而变化；21cnjy.com
∵l∥AB，MN∥AB，∴l∥MN，∴点P到直线MN的距离不变，∵MN为定值，∴△PMN的面积为定值；21·世纪*教育网
∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不变．
故选B．
10．A
【解析】∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×4=2，
同理，S△BDE=S△ABE=S△ABD=×2=1，
S△CDE=S△ACE=S△ACD=×2=1，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=1+1=2，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×2=1.
11．
【解析】∵点E是AB的中点，AB=4，
∴AE=AB=2.
∵∠A=90°，
∴DE=.
∵FG是△EDP的中位线，
∴FG=ED=.
点睛：本题考查了三角形中位 ( http: / / www.21cnjy.com )线性质定理应用、勾股定理的应用．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.www-2-1-cnjy-com
12．44
【解析】∵E、F是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB，
∵EF=22cm，
∴AB=44cm，
故答案为44．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理在实际生活中的运用，解题的关键是熟知三角形中位线定理的内容.
13．50°
【解析】由DF垂直平分AB，得
∠BDF=90°，AD=BD.
又由E是BC的中点，得
DE∥AC，
∠DEB=∠C=70°.
由AB=AC，得
∠B=∠C=70°.
由三角形的内角和定理，得
∠BDE=180° ∠B ∠DEB=180° 70° 70°=40°
由余角的定义，得
∠EDF=∠BDF ∠BDE=90° 40°=50°
故答案为：50°.
点睛;本题考查了线段垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的性质， 等腰三角形的性质等知识点， 三角形中位线定理根据线段垂直平分线的性质，可得∠BDF度数，根据等腰三角形的性质，可得∠B的度数，根据三角形中位线的性质，可得∠DEB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠BDE的度数，根据余角的定义，可得答案。【来源：21·世纪·教育·网】
14．2
【解析】试题解析：延长BD交AC于F点．
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∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠BAD；
∵AD⊥BD，
∴∠ADF=∠ADB；
在△ADB和△ADF中
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD=DF，AF=AB=7．
∵AC=11，
∴FC=11-7=7，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
∴DE=FC，
∴DE=2．
故答案为2．
15．△DBE(或△FEC)
【解析】∵D、F分别是AB与AC的中点，
∴DF∥BC，且DF＝BC,
又∵E是BC的中点，
∴DF=BE=CE,
所以可得四边形BEFD、DECF都是平行四边形，
同理：四边形ADEF也是平行四边形，
这样△ADF与△DBE与△FEC对应点的连成的线段平行且相等，
所以△ADF平移后，能与△DBE、△FEC重合.
故答案为：△DBE、△FEC.
16． 16 EMBED Equation.DSMT4
【解析】∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF=BC，EG=AC，FG=AB，
∴EF+FG+EG=（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64=16，
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n-1，
故答案为：16，64×（）n-1．
17．25
【解析】试题分析：依据AB=BC=3DE=12，即可求得DE、AB、BC的长，利用三角形的中位线定理即可求得GF和EF的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得DG的长，则四边形的周长即可求解．21世纪教育网版权所有
试题解析：∵AB=BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4，
∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=AB=6，
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴FG=BC=9，EF=AB=6，
∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25.
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质等，解题的关键是结合图形灵活应用相关的定理与性质．www.21-cn-jy.com
18．证明过程见解析.
【解析】试题分析：直接证明DE= (AB+AC)比较困难，注意到E是BC的中点，联想到三角形的中位线定理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可，这容易从题设证得.21*cnjy*com
试题解析：延长CD与BA交于F点.
∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，∴∠ACD=∠F，
∴AC=AF，∴CD=DF，
∵E是BC的中点，∴DE=BF= (AB+AC).
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19．ED=1.
【解析】延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵BE⊥AE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，BE＝EF，
∵AB＝5，
∴AF＝5，
∵AC＝7，
∴CF＝AC-AF＝7-5＝2，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝1.
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【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是正确添加辅助线.
20．证明见解析.
【解析】试题分析：连接AC，取AC中点 ( http: / / www.21cnjy.com )为M，连接ME、MF，根据中位线定理证明EM=MF，从而可得∠MEF=∠MFE，根据平行线同位角相等，证明∠MEF=∠AHF，∠MFE=∠BGF，可以求证∠AHF=∠BGF．21·cn·jy·com
试题解析：连接AC，取AC中点为M，连接ME、MF，如图：
∵E是CD的中点，M为AC中点，
∴EM∥AD，且EM=AD，
∵M是AC的中点， F是AB的中点，
∴MF∥BC，且MF=BC，
∵AD=BC，
∴EM=MF，∴∠MEF=∠MFE，
∵EM∥AH，∴∠MEF=∠AHF，
∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGF，
∴∠AHF=∠BGF．
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21．证明见解析.
【解析】试题分析：根据BD，CE是△ABC的中线可得DE是△ABC的中位线，F，G分别是OB，OC的中点可得FG是△BOC的中位线，根据三角形中位线定理可得DE∥BC且DE=BC，FG∥BC且FG=BC，进而可得DE∥FG且DE=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论.【来源：21cnj*y.co*m】
试题解析：∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∵F、F分别是BO、CO的中点，∴FG是△BCG的中位线，
∴FG∥BC且FG＝BC，
∴DE∥FG且DE＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形.
22．证明见解析.
【解析】试题分析：连接EM、EN、FM、FN，证明四边形EMFN为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可得.【出处：21教育名师】
试题解析：连接EM、EN、FM、FN，
∵E为AD的中点，N为AC的中点，
∴EN是△ACD的是位线，
∴EN∥CD，EN＝CD，
同理MF∥CD，MF＝CD，
∴EN∥MF，EN＝MF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
∴EF与MN互相平分．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线、熟记定理和性质是解题的关键．【版权所有：21教育】
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