2.5.1 矩形的性质同步练习

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2.5.1 矩形的性质同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有一个角是直角的平行四边形叫作矩形,也称为长方形．
２．矩形的四个角都是直角,对边相等 ,对角线相等且互相平分．
３．矩形是中心对称图形, 对角线的交点是它的对称中心．
４．矩形是轴对称图形,过每一组对边中点的直线都是它的对称轴．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. OA=OC
2．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　)
A. B. C. D.
3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）
A. B. C. D.
4．已知E、F分别是矩形ABCD的对边BC和AD上的点，且BE=BC，AF= AD，连结AC、EF，那么（ ）．
A. AC平分EF，但EF不平分AC B. AC与EF互相平分
C. EF平分AC，但AC不平分EF D. AC与EF不会互相平分
5．如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOB=60°，则OB的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（ ）
A. 5 B. 3 C. D.
7．如图所示，矩形ABCD的对角线交于O，AE⊥BD于E，∠1：∠2=2：1， 则∠1的度数为（ ）．
A. 22．5° B. 45° C. 30° D. 60°
8．E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB=AE=4，BC=2，则∠BEC是（ ）．
A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°
9．如图，矩形纸片中，点是的中点，且， 的垂直平分线恰好过点，则矩形的一边的长度为（ ）．
A. B. C. D.
10．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
11．矩形的两条对角线的夹角为600,较短的边长为6cm,则对角线的长为__________cm.
12．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则 OC=_____.
13．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP=_________．
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，过O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为_____．
15．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分图形的面积和为________．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AD上一点，把△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，点Q是CD上一点，将△BCQ沿BQ折叠，点C恰好落在直线BF上的点P处．若∠BQE＝45°，则AE＝________．
三、解答题
17．如图,将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为24 cm,△ECF的周长为8 cm,求四边形纸片ABCD的周长.
18．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4，设AB=x，AD=y，求x2+（y﹣4）2的值．
19．如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE．求证：AE=BE．
20．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O， AC=2AB．求证： .
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC=2AB.
（1）你能说明△AOB是等边三角形吗？请写出理由；
（2）若AB=1，求点D到AC的距离.
22．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．
（1）求证：△AFE≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．
23．如图，四边形ABCD为矩形，连接BD，AB=2AD，点E在AB边上，连接ED．
（1）若∠ADE=30°，DE=6，求△BDE的面积；
（2）延长CB至点F使得BF=2AD，连接FE并延长交AD于点M，过点A作AN⊥EM于点N，连接BN，求证：FN=AN+BN．
参考答案
1．C
【解析】矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等．
所以选项A，B，D正确，C错误.
故选C.
2．B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
又∵点O是矩形对角线的交点，
∴OB=OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，即∠EBO=∠FDO，
∵在△OBE与△ODF中：
，
∴△OBE≌△ODF (ASA)，
∴△ODF的面积等于△OBE的面积，
∵阴影部分的面积等于△ODF与△AOE的面积之和，
∴阴影部分的面积等于△OBE与△AOE的面积之和，
∵△OBE与△AOE的面积之和等于△AOB的面积，
∴阴影部分的面积等于△AOB的面积.
∵在矩形ABCD中，BD为对角线，
∴在矩形ABCD中，△ABD的面积为矩形ABCD面积的一半，
∵在矩形ABCD中，点O是BD的中点，
∴在△ABD中，△AOB的面积为△ABD的面积的一半，
∴△AOB的面积等于矩形ABCD面积的，
∴阴影部分的面积等于矩形ABCD面积的.
故本题应选B.
点睛：
在本题中，利用全等三角形的性质将阴影部分面积转化成△AOB的面积是解题的关键. 平行四边形的对角线平分平行四边形的面积以及三角形中线平分三角形的面积这两个重要结论是解答该题的重要工具.
3．B
【解析】试题解析： ∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF=DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，
则FD=6﹣x=．
故选B．
4．B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，
∵BE=BC，AF= AD，∴AF=CE，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，
∴AO=CO，FO=EO，即AC与EF互相平分，
故选B.
5．B
【解析】∵四边形ABCD是矩形
∴AO=BO
∵∠AOB=60°
∴AB=AO=BO
∴BO =AB=2.
故选B.
6．D
【解析】过点G作GH⊥AD于点H，
由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，
在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2 ， 即42+（8﹣AF）2=AF2 ，
解得AF=5，
∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，
∴∠BAF=∠EAG，
∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，
∴△BAF≌△GAE，
∴AE=AF=5，ED=GE=3，
∵S△GAE=AG GE=AE GH
∴GH=，
∴S△GED= ED GH= ×3×= ，
故选D．
7．B
【解析】∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，
∴∠2+∠ABD=∠ADB+∠ABD =∠EAD+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠2，∠1+∠OAD+∠ADB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADB=∠2，∴∠1+2∠2=90°，
∵∠1：∠2=2：1，∴2∠2=∠1，
∴2∠1=90°，
∴∠1=45°，
故选B.
8．D
【解析】∵在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，
∴∠AED=30°，
∵AB∥CD，∴∠EAB=∠AED=30°，
∵AB=AE，
∴∠AEB=75°，
∴∠BEC=180°-∠AED-∠AEB=180°-30°-75°=75°．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形等，熟记矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
9．C
【解析】本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明△BFE≌△CEF．求出EC后易求解．
解：如图，连接EC，
因为FC垂直平分BE
故△BFC≌△CEF（线段垂直平分线的性质）
所以BC=EC
又因为AD=BC，AE=1
故EC=2
利用勾股定理可得，
故选．
“点睛”本题考查的是线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明三角形全等后易求解．本题难度中等．
10．A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE=30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．
11．12
【解析】如图：
由题意可知，AB=6cm，∠AOB=60°，再由四边形是矩形，AC，BD是对角线，根据矩形的性质可得OA=OB=OD=OC=BD= AC．在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，即可判定△AOB是等边三角形，所以OA=OB=AB=6，即可得BD=2OB=2×6=12cm．
12．4
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∵∠ADB=30°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4．故答案为：4．
点睛：此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．
13．
【解析】∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC=AQ=3，CD=AB=4，
∴∠ADQ=∠AQD=∠PQC=∠QPC，AC=5，
∴CP=CQ=AC－AQ=5－3=2，
∴BP=1，
∴AP==.
14．
【解析】如图，连接CE，
∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC，
∴AE=CE，AO=AC=.
设AE= ，则CE= ，BE= ，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：CE2=BE2+BC2，即，
解得： ，即AE=2.5，
∴在Rt△AOE中，OE=，
∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，
∴点O是矩形的对称中心，
∴EF=2OE=.
点睛：由矩形是关于对角线中点成中心对称的可得：EF=2OE，AO=AC，从而把求EF的长转化为求OE的长，进一步转化为求AE的长，连接CE，由已知得到CE=AE，就可把问题转化到Rt△CEB中求CE的长，这样利用勾股定理建立方程即可解得AE，从而求得EF.
15．2
【解析】是AB=2，BC=2，矩形的面积22.利用割补法，把图象画成如下图，面积恰好是矩形的一半. 则图中阴影部分图形的面积和为2.
16．2
【解析】解：由翻折的性质可知：∠ABE=∠FBE，∠CBQ=∠PBQ．
∴∠EBQ= =45°．
∴∠EBQ=∠BQE=45°．
∴BE=EQ，∠BEQ=90°．
∴∠DEQ+∠AEB=90°．
又∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEQ=∠ABE．
在△AEB和△DQE中，
∴△AEB≌△DQE．
∴DE=AB=4．
∴AE=AD-DE=6-4=2．
故答案为：2．
17．32(cm)
【解析】根据轴对称的性质可以得到AB=AF,BE=FE，再利用等量代换即可求出四边形纸片ABCD的周长.
解：由题意可知,△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称,
所以AB=AF,BE=FE.
因为△AFD的周长为24 cm,△ECF的周长为8 cm,
即AD+DF+AF=24 cm,FC+CE+FE=8 cm,
所以四边形纸片ABCD的周长为：
AD+DC+BC+AB=AD+DF+FC+CE+BE+AB=(AD+DF+AF)+(FC+CE+FE)=24+8=32(cm).
18．16
【解析】试题分析：根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4-y，由勾股定理求出DF2，即可得出所求代数式的值．
试题解析：由题意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，
∵DF=EF，
∴∠E=∠FDE，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=4，
∴CF=4﹣y，
在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2=x2+（y﹣4）2=16
19．证明见解析
【解析】试题分析：
因为∠CDE=∠DCE，所以ED=EC，则可用HL证明Rt△DAE≌Rt△CBE，从而得AE=BE.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴AE=BE．
20．证明见解析.
【解析】试题分析：根据矩形的性质，推出∠ABC=90°，求出∠ACB=30°，根据矩形性质求出OB=OC，求出∠OBC和∠OCB的度数，求出∠BOC，即可求出∠AOD．
试题解析：证明：∵矩形ABCD ，
∴ (矩形的四个角都是直角) .
在，AC=2AB ，
∴.
∵AC=BD (矩形的对角线相等) ，
∴BO= ，CO = .
∵AB=CD(矩形的对角线互相平分) ，
∴BO=CO .
∴ .
∵，
∴.
点睛：本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质，矩形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
21．（1）△OAB是等边三角形（2）DE=
【解析】试题分析：（1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，再求出AB=AC，然后根据三条边都相等的三角形是等边三角形解答；
（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC的长， 作DE⊥AC于E，利用三角形的面积法即可求得DE长．
试题解析：（1）△OAB是等边三角形， 理由如下：
在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD， AC=BD，
∴ OA=AC，OB=BD.
又∵ AB=AC，
∴ OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形；
（2）在Rt△ABC中，AB=1，AC=2，
根据勾股定理，得BC=，
作DE⊥AC于E，
∴ DE·AC=AD·DC，
∴ DE=
22．（1）证明见解析；（2）10．
【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF；
（2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10．
点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
23．（1）；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形求出EA，DA的值，然后根据AB＝2AD求出AB的长，进而求出BE的长，利用三角形的面积公式即可求出面积；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△FHB≌△ANB，得BH＝BN，HF＝AN，则△HBN是等腰直角三角形，有NH＝NB，根据线段的和代入得结论．
试题解析：
解：（1）在Rt△ADE中，
∵∠EDA＝30°，∴EA＝ ED＝ ×6＝3，
DA＝ED cos30°＝6×＝3，
∴BE＝2DA﹣EA＝6﹣3，∴S△BED＝ ×BE×DA＝ （6﹣3）×3＝ ；
（2）如图，过B作BH⊥BN，交FM于H，
∴∠NBH＝∠NBA＋∠EBH＝90°，
又∵∠ABF＝∠HBF＋∠EBH＝90°，
∴∠NBA＝∠HBF，
∵CF∥AD，
∴∠AMN＝∠F，
∵AN⊥EM，
∴∠AMN＋∠MAN＝90°，
∠MAN＋∠NAB＝90°，
∴∠NAB＝∠AMN，
∴∠NAB＝∠F，
又∵BF＝2AD，AB＝2AD，
∴AB＝BF，
∴△ANB≌△FHB，
∴BN＝BH，AN＝FH，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴NH＝NB，
∵FN＝FH＋NH
＝AN＋NB．
点睛：本题是四边形的综合题，考查了矩形性质、全等三角形判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，考查了等腰直角三角形直角边和斜边的关系，添加辅助线，构造出全等三角形是解决此题的关键．
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