2.6.2 菱形的判定同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
2.6.2 菱形的判定同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
２．四边都相等的四边形是菱形．
３．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=4，BC=3，则四边形CODE的周长是（　　）
A. 10 B. 12 C. 18 D. 24
2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　）
A. AC=BD B. ∠1=∠2 C. ∠ABC=90° D. ∠1=90°
3．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 四边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（　　）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
5．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（　　）
A. B. C. D.
6．如图, 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, CE∥BD, DE∥AC, , , 则四边形OCED的面积为（ ）
A. 4 B. C. D. 8
7．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是（　　）
A. ②④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题
8．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，且AB=AC，则图中的四边形________ 是菱形．
9．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________
10．如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．
11．如图所示，将两张等宽的长方形条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=4cm，∠ABC=30°，则四边形ABCD的面积是____cm2．
三、解答题
12．如图，有一个等腰三角形ABD，AB=AD．
（1）请你用尺规作图法作出点A关于轴BD的对称点C；（不用写作法，但保留作图痕迹）
（2）连接（1）中的BC和CD，请判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．
13．在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F．求证：四边形AECF是菱形．
14．在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．(提示：过点B作BM∥AD交EG的延长线于点M，证明EG//AB且EG=AB)
15．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，EF与AB的延长线交于点E，与CD的延长线交于点F．
求证：四边形AECF是菱形．
17．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
18．AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD、BC 于点E、F.
（1）求证：AE=CF；
（2）连接AF，CE.
①当EF⊥AC时，四边形AFCE是什么四边形？请证明你的结论；
②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，求EF的长.
19．如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm, 点P是线段AD上一动点，点O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
（1）求证：OP=OQ；
（2）若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；
（3）求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
20．（13分）如图所示，四边形中， 于点, , ,点为线段上的一个动点。
（1）求证: 。
（2）过点分别作于点，作于点。
① 试说明为定值。
② 连结,试探索：在点运动过程中，是否存在点，使的值最小。若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。
21．感知：如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形.易知BE=DG．
探究：如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．
应用：如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD的延长线上.若AE=3ED, ∠A=∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为 ．
参考答案
1．A
【解析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC， EMBED Equation.DSMT4 ，
∴四边形CODE是菱形，且，
∴四边形CODE的周长为： ．
故选A．
2．B
【解析】试题分析：A、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠1，
∴AD＝CD，
∴平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
C、根据有一个角是90°的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形；
D、∠1＝90°无法证明四边形ABCD是菱形，故此选项不符合题意．
故选B．
定睛：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．．
3．B
【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，
根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，
故选B．
4．D
【解析】①②③，①③⑤，②④③，②③⑤，可由菱形的判定定理得到菱形.选D.
点睛：菱形的判定定理
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
其中（1）（3）需要先证明四边形是平行四边形.
5．C
【解析】DEBF,AFEC,
EGFH是平行四边形，
E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，
是菱形.EF=1，GH=,
面积=1=.
6．B
【解析】连接OE，与DC交于点F.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD.
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形.
∵OD=OC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE.
∵DE∥OA，且DE=OA，
∴四边形ADEO为平行四边形.
,DE=2，
,即 .
在Rt△DEF中，根据勾股定理得： ,即DC=2，
．
故选B.
7．D
【解析】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC．
∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC．
∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC．故①正确；（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）．
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°．
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF．
∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS）．
故选D．
8．AEDF
【解析】试题解析：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，EF∥AB，EF=AB，
∴四边形AEDF为平行四边形．
又∵AC=AB，
∴DE=DF．
∴四边形AEDF为菱形．
故答案为：AEDF.
9．菱形
【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC是菱形．
故答案为：菱形．
10．AB=AC或∠B=∠C
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了.
由此在△ABC中可添加条件：（1）AB=AC或（2）∠B=∠C.
（1）当添加条件“AB=AC”时，
∵AD是△ABC的高，AB=AC，
∴点D是BC边的中点，
又∵DE∥AC，DF∥AB，
∴点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形.
（2）当添加条件“∠B=∠C”时，
则由∠B=∠C可得AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形.
11．8
【解析】∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
分别作CD，BC边上的高为AE，AF，如图所示：
∵两纸条相同，∴纸条宽度AE=AF．
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，∴CD=BC．∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=4cm，
∵∠ABC=30°，∴AE=AB=2cm，∴S菱形ABCD=BC AE=4×2=8，
故答案为8．
12．（1）画图见解析；
（2）四边形ABCD是菱形，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）以点B为圆心，BA长度为半径画圆弧，以D为圆心，AD长度为半径画圆弧，两段圆弧的交点即为点C；（2）四边形ABCD是菱形，由C点是点A关于轴BD的对称点，不难得出AB=AD=BC=CD，即可证明.
试题解析：
（1）
（2）
连接BC、CD，
∵C点是点A关于轴BD的对称点，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
点睛：掌握尺规作图以及菱形的判定.
13．见解析
【解析】试题分析：首先根据题意画出图形，再证明≌进而得到再根据垂直平分线的性质证明可得四边形是菱形．
试题解析：
证明：如图所示，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
又∵在矩形ABCD中,ADBC，
∴∠1=∠2
∴在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形．
点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
14．见解析
【解析】试题分析：本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF，EG=HF．因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH=CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件．
试题解析：当AB=CD时，四边形EGFH为菱形．
证明：过点B作BM∥AD交EG的延长线于点M，则∠DEG=∠GMB.∵G为BD的中点，∴DG=GB.
又∵∠DGE=∠BGM，∴△DGE≌△BGM，∴EG=GM，ED=BM.
∵E为AD的中点，∴AE=ED，∴BM∥AE，
∴四边形AEMB为平行四边形，
∴EM∥AB，
∴EG∥AB，EG=AB.
同理FH∥CD，GF∥CD，GF=CD，
∴四边形EGFH为平行四边形．
∵AB=CD，∴GF=HF，
∴平行四边形EGHF是菱形．
15．证明见解析
【解析】试题分析：由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又因为CE=CF，所以CD-CE=CB-CF，即DE=BF．可证△ADE≌△ABF，所以AE=AF．
试题分析：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D.
又∵CE=CF，
∴CD CE=CB CF，
即DE=BF.
∴△ADE≌△ABF.
∴AE=AF.
16．答案见解析
【解析】试题分析：首先利用平行四边形的性质得出 进而利用全等三角形的判定与性质得出AC与EF互相垂直平分，进而得出答案．
试题解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴,OA=OC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF，
∵EF⊥AC，OE=OF，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AECF是菱形.
点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
17．（1）详见解析；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质定理可得OB=OD，AE∥CF，利用AAS即可证得△BOE≌△DOF；（2）添加条件EF⊥AC，先证明四边形AECF是平行四边形，即可得四边形AECF是菱形.
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），
AE∥CF（矩形的对边平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．
又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
18．（1）证明见解析；（2）①菱形，证明见解析，②
【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，证出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．
（2）①先证明四边形AFCE是平行四边形，由EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形；
②由矩形的性质得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的长．
试题解析：（1）∵O是AC中点
∴AO=C0
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在ΔAOE和ΔCOF中
∴ΔAOE ≌ ΔCOF(ASA)
∴AE=CF
（2）①菱形
∵AE∥CF且AE=CF
∴AECF是平行四边形
∵AC⊥EF
∴AECF是菱形
②∵AECF是矩形
∴AF⊥BC
∵∠B=60°AB=1
∴BF= AF=
∵BC=2
∴FC=
在RtΔAFC中AF=FC=
∴AC=
又∵AFCE是矩形
∴EF=AC=
19．见解析
【解析】试题分析；
由矩形ABCD中，AD∥BC可得∠PDO=∠QBO，再结合∠POD=∠QOB，OB=OD，可证△POD≌△QOB，从而得到OP=OQ；
（2）由题意可知：AP= ，∴PD=AD-AP= ；
（3）由（1）的结论OP=OQ，和题中已知OB=OD可得四边形PBQD是平行四边形，所以只需满足条件PD=PB，四边形PBQD就是菱形了.在Rt△ABP中，由勾股定理可得：AB2+AP2=PB2，把 AP= ，PD= ，AB=6代入上面式子建立方程就可求得的值.
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△POD与△QOB中， ，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
（2）由题意可知：AP= ，∴PD=AD-AP= ；
（3）∵OP=OQ，OB=OD，
∴四边形PBQD是平行四边形，
∴当PD=PB时，四边形PBQD是菱形；
由PD= 得PB= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，
即，
解得：
即运动时间为秒时，PB=PD，
∴此时平行四边形PBQD是菱形．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）由AC⊥BD，AO＝CO，可知BD是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD＝DC，AB＝BC，同理可得AD＝AB，CD＝BC，故AB＝BC＝CD＝AD；或先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，进而得出结论；
（2）连接DP，根据题意可知： S△ADC＝S△ADP＋S△CDP，由三角形的面积公式可知： AC OD ＝AD PM＋DC PH，将AC、OD、AD、DC的长代入化简即可；
（3））由PM＋PH为定值，当PB最短时，PM＋PH＋PB有最小值，由垂线的性质可知当点P与点O重合时，OB有最小值．
试题解析：
（1）证明：∵AO＝CO，BD⊥AC，
∴AD＝CD，AB＝BC ，
同理可得AD＝AB,CD＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD；
另证：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD．
（2）证明：∵AC⊥BD，BO＝DO＝5，AO＝CO＝12，
∴由勾股定理得AD＝CD＝13，
连结DP则S△ADC＝S△ADP＋S△CDP ，
又∵PM⊥AD，PH⊥DC，DO⊥AC，
∴
∴
∴即为定值；
（3）存在点，使的值最小．
由（2）可知， 为定值
∴要使PM＋PH＋PB最小，则PB要取最小值
∵BO⊥AC，
∴当P与O重合时，PB最小，最小值为OB＝5，
∴PM＋PH＋PB的最小值为．
点睛：本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形和菱形的判定、线段垂直平分线的性质 、勾股定理、三角形的面积公式、垂线段的性质，利用面积以及三角形的面公式求得PM＋PH的值是解答问题（2）的关键；利用垂线段的性质得到BP垂直于AC时，PM＋PH＋PB有最小值是解答问题（3）的关键．
21．(1)证明见解析；（2）20
【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCE≌△DCG，则可得BE=DG；
应用：由AD∥BC，BE=DG，可得S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，又由AE=3ED，可求得△CDE的面积，继而求得答案．
试题解析：
探究：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F．
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG．
∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠BCE=∠DCG．
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG．
应用：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵BE=DG，
∴S△ABE+S△CDE=S△BEC=S△CDG=8，
∵AE=3ED，
∴S△CDE= ,
∴S△ECG=S△CDE+S△CDG=10
∴S菱形CEFG=2S△ECG=20.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)