2.7 正方形同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
2.7 正方形同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
２．正方形的四个角都是直角,四条边都相等;对角线相等,并且互相垂直平分．
３．正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心．
４．正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线,以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于( )
A. 135° B. 45° C. 22.5° D. 30°
2．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3．如图，已知□ABCD与正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数是（ ）
A. 750 B. 700 C. 550 D. 500
4．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　）
A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5°
5．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. B. C. D.
6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）．
A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角
7．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（　　）
A. 5：8 B. 3：4 C. 9：16 D. 1：2
8．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC=40cm，则图1中对角线AC的长为 （ ）
A. 20 cm B. 30 cm C. 10 cm D. cm
9．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A. 45° B. 55° C. 60° D. 105°
10．如图，四边形是边长为6的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于，两点，若，分别是，的中点，则的长为( )
A. 3 B. C. D. 4
二、填空题
11．正方形ABCD的边长AB＝4，则它的对角线AC的长度为_______.
12．用边长为8cm的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为__________cm2．
13．在正方形内，以为边作等边，连接、，则的大小为__________．
14．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=________.
15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=__．
16．如图所示，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一点，则PD＋PE的最小值为____
三、解答题
17．如图，BC=4cm，AB=3cm，AF=12cm，AC⊥AF，正方形CDEF的面积是169cm2，试判断△ABC的形状？
18．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF， BC=5，CF=3，BF=4.
求证：DE∥FC
19．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
求证：△BCE≌△DCF；
20．如图,四边形ABCD,四边形BEFG均为正方形,连接AG,CE.试说明:
(1)AG=CE;
(2)AG⊥CE.
21．如图，P是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交BC于点Q，求证：AP＝DP＋BQ.
22．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．
23．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
24．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，点D是AB的中点，动点P、Q同时从点D出发（点P、Q不与点D重合），点P沿D→A以1cm/s的速度向中点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动．回到点D停止．以PQ为边在AB上方作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点N在边AC上时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示PQ的长．
（3）当点Q沿D→B运动，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是五边形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时t的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】试题解析：正方形的对角线.
四边形是菱形.
故选C.
定睛：考查正方形，菱形的性质.
注意：菱形的对角线平分一组对角.
2．A
【解析】根据勾股定理。可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案.
解：由勾股定理得：AC= EMBED Equation.DSMT4 ==，
乘方得：（）2=2.
故选A.
3．B
【解析】∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180° ∠AEF ∠CEF=180° 15° 90°=75°
∴∠D=180° ∠CED ∠ECD=180° 75° 35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等).
故选B.
4．D
【解析】正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=135°，
又∵CE=AC，
∴∠E=22.5°．
故选D。
5．A
【解析】连接OC.
∵在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC= ，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积 三角形ODC的面积
，
.
故选：A.
6．C
【解析】选项A，对角线互相垂直是菱形共有的性质，而正方形是菱形，正方形和菱形都具有此性质；选项B，对角线互相平分是平行四边形的性质，正方形和菱形都是平行四边形，均具有此性质；选项C，菱形的对角线垂直但不相等，正方形对角线相等，对角线相等是正方形具有菱形不具有的性质；选项D，对角线平分一组对角是菱形共有的性质，而正方形是菱形，正方形和菱形都具有此性质．故选C．
7．A
【解析】通过拼接，阴影部分有10个小正方形，大正方形有16个小正方形，所以面积比为10:16=5:8选A.
8．D
【解析】图2中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图1根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得.
解：如图2， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2.
∴AB=BC=20，
如图1，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC=20，
故选D.
“点睛”本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定与性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键.
9．C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE,∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB,∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=(180° 150°)÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°.
故选C.
10．C
【解析】试题解析：如图，过N作PQ∥BC，交AB，CD于P，Q，过M作MR∥CD，交EF于J，PQ于H，交BC于R
在正方形ABCD中，BC=CD=6
∴BD=6
∵BE=EG=4
∴BG=4
∴DG=2
∵M是DG的中点
∴MJ=DF=1，JF=1
∵N为EC的中点
∴PN=BC=3
∴QN=3
∴NH=2，MH=3
∴MN=
故选C.
11．4
【解析】解：对角线AC=.故答案为： ．
12．32
【解析】解：由图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为8×8÷2=32．故答案为：32．
13．150°
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，
∵△BCE为正三角形，
同理可得
故答案为：
14．6
【解析】解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE．在△ABC和△BDE中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC=BE．∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2．∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6． 故答案为：6．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．
15．或2.4
【解析】解：∵正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠DCF，又∵AE=BF，∴BE=CF=4﹣1=3，DF===5，则在直角△BEC和直角△CFD中，∵BE=CF，∠B=∠DCF，BC=CD，∴△BEC≌△CFD，∴∠BEC=∠CFD，又∵直角△BCE中，∠BEC+∠BCE=90°，∴∠CFD+∠BCE=90°，∴∠FOC=90°，即OC⊥DF，∴S△CDF=CD CF=OC DF，∴OC===．故答案为： ．
点睛：本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明△BEC≌△CFD是解题的关键．
16．2
【解析】连接BD，与AC交于点F，则BE与AC交点为P，连接PD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2.
即所求最小值为2.
故答案是：2.
17．△ABC是直角三角形.
【解析】分析：首先根据正方形的面积求出FC的长，再在Rt△ACF中利用勾股定理求出AC的长，然后根据勾股定理逆定理证明∠B=90°即可．
本题解析：
∵正方形CDEF的面积是169 cm2，
∴FC=13 cm
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
AC2=CF2﹣AF2=132﹣122=25，
在△ABC中，因为AB2+BC2=32+42=25=AC2
由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形．
点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，关键是求出AC得出长．
18．证明见解析.
【解析】试题分析：根据正方形以及△ECF的性质得出△BCF和△DCE全等，从而得出∠DEC=∠BFC，根据BC、CF和BF的长度得出∠BFC=90°，即∠DEC=90°，最后根据同旁内角互补两直线平行得出答案．
试题解析：∵四边形 ABCD是正方形 ∴∠BCF+∠FCD=90°，BC=CD，
∵△ECF是等腰直角三角形， ∴∠ECD+∠FCD=90°， CF=CE，
∴∠BCF=∠ECD， ∴△BCF≌△DCE，
在△BFC中，BC=5，CF=3，BF=4， ∴ CF2+BF2=BC2 ∴∠BFC=90°，
∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，∴DE∥FC．　
19．证明见解析
【解析】试题分析：由正方形的性质得出BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，由SAS证明△BCE≌△DCF．
试题解析：
证明：在正方形ABCD中
BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，
在△BCE与△DCF中，
∴△BCE≌△DCF．
20．(1)答案见解析;(2)答案见解析
【解析】试题分析：（1）由正方形的性质有AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，进而得出∠ABG=∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可；
（2）由△ABG≌△CBE，得出对应角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．
试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE．
在△ABG和△CBE中，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBE，BG＝BE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；
（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE．
∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°．
∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．证明见解析.
【解析】试题分析：根据旋转的性质得出∠E=∠AQB，∠EAD=∠QAB，进而得出∠PAE=∠E，即可得出AP=PE=DP+DE=DP+BQ．
试题解析：证明：将△ABQ绕A逆时针旋转90°得到△ADE，由旋转的性质可得出∠E=∠AQB，∠EAD=∠QAB，又∵∠PAE=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠BAQ=∠DAQ=∠AQB=∠E，在△PAE中，得AP=PE=DP+DE=DP+BQ．
点睛：此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出PE=DP+DE是解题关键．
22．（1）证明见解析；（2）5．
【解析】试题分析：
（1）根据正方形的性质，用SAS证明△APD≌△CPD；
（2）证明四边形PEDF是矩形，用勾股定理求EF，结合矩形的性质和（1）的结论求AP的长.
试题解析：
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∠BCD=90°，
在△APD和△CPD中，，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）解：∵△APD≌△CPD，∴AP=PC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF，∴AP=EF．
∵∠DCB=90°，∴在Rt△CEF中，EF===5，
∴AP=EF=5．
23．（1）证明见解析；（2）150°．
【解析】试题分析：
（1）结合等边三角形和正方形的性质，用SAS证明△ABE≌△DCE；
（2）由∠ABE=90°-60°=30°，BA=BE得∠AEB的度数，同理得∠CDE的度数，即可求解.
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，∴∠BAE=（180°﹣30°）=75°，
∵∠BAD=90°，∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
点睛：本题主要考查了正方形的性质和等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，因为正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有所有平行四边形的性质，所以在解决与正方形有关的问题是较多的要运用全等三角形的判定与性质.
24．（1） ；（2）3t或4-t;（3）＜t≤时,S=﹣t2+10t﹣2； ≤t＜1时， S=﹣t2+6t；（4）0＜t≤或t= ．
【解析】试题分析：（1）由已知得出AD=BD=AB=2，由正方形的性质得出PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，求出∠ANP=∠A=45°，得出AP=PN，即可得出答案；
（2）分两种情况：①当0（3）分两种情况：①当时，QF=BQ=2-2t，ME=MF=5t-2，由正方形分面积减去等腰直角三角形的面积，即可得出答案；
②当≤t<1时，PG=AP=2-t，HQ=BQ=2-2t，由勾股定理得出AC=BC= ，由大等腰直角三角形的面积减去两个小等腰直角三角形的面积，即可得出答案；
（4）分两种情况：①0解：（1）如图①所示：
∵AB=4，点D是AB的中点，
∴AD=BD=AB=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ANP=∠A=45°，
∴AP=PN，
∴2﹣t=3t，
∴t=；
（2）分两种情况：
①当0＜t≤1时，PQ=3t；
②当1＜t＜2时，BQ=2t﹣2，
∴DQ=2﹣（2t﹣2）=4﹣2t，
∴PQ=PD+DQ=4﹣t；
（3）分两种情况：
①当＜t≤时，如图②所示：
QF=BQ=2﹣2t，ME=MF=3t﹣（2﹣2t）=5t﹣2，
∴S=（3t）2﹣（5t﹣2）2=﹣t2+10t﹣2；
②当≤t＜1时，如图③所示：
PG=AP=2﹣t，HQ=BQ=2﹣2t，
∵AC=BC=AB=2，
∴S=×（2）2﹣×（2﹣t）2﹣×（2﹣2t）2=﹣t2+6t；
（4）分两种情况：
①如图④所示：此时0＜t≤；
②如图⑤所示：
此时AP=BQ，BQ=2t﹣2，AP=2﹣t，
∴2﹣t=2t﹣2，
解得：t=；
综上所述：正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时t的取值范围为0＜t≤或t=．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)