2.6.1 菱形的性质同步练习

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2.6.1 菱形的性质同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
２．菱形的四条边都相等,对角线既互相平分又互相垂直 ．
３．菱形是中心对称图形,又是轴对称 图形,对角线的交点是对称中心,两条对角线所在的直线 是它的对称轴．
４．菱形的面积是它的两条对角线的积的一半 ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A. 对角线相等 B. 两组对边分别平行
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
3．菱形ABCD的周长是20，对角线AC=8，则菱形ABCD的面积是（　　）
A. 12 B. 24 C. 40 D. 48
4．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝24°， 则∠DAB等于（ ）
A. 102° B. 104° C. 106° D. 114°
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A. 4 B. 4 C. 4 D. 28
7．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　）
A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1
8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A. 1 B. EMBED Equation.DSMT4 C. 2 D. +1
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为(　　)
A. n-1 B. n C. n D. n-1
二、填空题
10．如图，四边形 是菱形， 于点 ，则线段的长为__________．
11．如图，菱形ABCD的边长为4，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠B＝60°，则EF的长为________.
12．如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的最小值为 _____.
13．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是_____．
14．如图，两条笔直的公路 EMBED Equation.DSMT4 ,相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是_____公里.
15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是_______．
16．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是____．
三、解答题
17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．
求证：∠ABF=∠CBE．
18．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠BEF=∠BFE．
19．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．
20．菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm。
（1）求菱形的每一个内角的度数。
（2）求菱形另一条对角线的长。
（3）求菱形的面积。
21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），以AE为边作∠EAF，使得∠EAF=∠BAD，射线AF交边CD于点F．
（1）如图1，当点E是边CB的中点时，判断并证明线段AE，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E不是边BC的中点时，求证：BE=CF．
22．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）探究AM 与DF、ME有什么数量关系.
参考答案
1．C
【解析】试题解析：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，
∴BC=AB==5，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18．
故选C．
2．A
【解析】解：∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；
∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．
故选A．
3．B
【解析】解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OA=AC=4，∴OB= =3，∴BD=2OB=6，∴菱形ABCD的面积是： AC BD=×8×6=24．故选B．
点睛：此题考查了菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟练运用勾股定理以及菱形的各种性质．
4．B
【解析】解：如图，连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°．∵∠CDF=24°，∴3∠DAC+24°=180°，则∠DAC=52°，∴∠DAB=2∠DAC=104°．故选B．
点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
5．A
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB=BD，
∵∠DHO=20°，
∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，
∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．
故选A.
6．C
【解析】试题解析：∵E,F分别是AB,BC边上的中点,
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长为
故选C.
点睛：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
7．C
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，
∵AE=1，AE⊥BC，
∴AE= AB，
∴∠B=30°，
∴∠DAB=150°，
∴∠DAB：∠B=5：1；
故选C．
点睛：本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．
8．B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，
由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴P′Q=CP′=BC sinB=2×=．
故选：B．
点睛：本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路径问题，熟记菱形的轴对称和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键.
9．D
【解析】第1个矩形的面积为1；
第1个菱形的面积等于 ；
第2个矩形的面积等于；
第2个菱形的面积等于 ；
第3个矩形的面积等于；
第3个菱形的面积等于；
第4个矩形的面积等于;
……
依次类推，
第n个矩形的面积等于 ．
故选D.
点睛：本题考查了图形类的探索与规律，根据题意，可知从第二次起，每一次得到的菱形的面积等于上一次得到的矩形面积的；每一次得到的矩形面积等于上一次得到的菱形面积的.
10．
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，
∴AO=12，OD=5，AC⊥BD，
∴AD=AB= =13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD=DH×AB，
∴12×10=13×DH，
∴DH= ，
∴BH= = ．
故答案为： ．
11．2
【解析】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，∴∠BAD=120°，∠D=60°，AB=AD．∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠BEA=∠AFD=90°．在△ABE和△ADF中，∵∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB=AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=AF=EF．∵∠B=60°，∠AEB=90°，∴∠BAE=30°．∵AB=4，∴BE=AB=2，∴AE=，即EF=．故答案为： ．
点睛：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，得出△AEF是等边三角形是解题关键．
12．3
【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P，∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3，∴EP+FP的最小值为3．故答案为：3．
点睛：本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．
13．80°
【解析】∵正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB=AE，AD=AF，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，
又∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，
∴∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF=360°-4∠B+∠EAF，
又∵在正△AEF中，∠EAF=60°，在菱形ABCD中，∠B+∠BAD=180°，
∴360°-4∠B+60°+∠B=180°，
解得：∠B=80°.
点睛：本题解题有两个要点：（1）由菱形的对角相等得到∠B=∠D，结合AB=AE，AD=AF把∠BAE和∠DAF都用含“∠B”的式子表达出来；（2）由菱形的邻角互补得到：∠BAD+∠B=180°，结合（1）中的结论和∠EAF=60°就可得到关于“∠B”的方程，解方程即可求得∠B的度数.
14．4
【解析】连接AC,过点C作CE⊥l 于E,作CF⊥l 于F，
∵村庄C到公路l 的距离为4千米，
∴CF=4千米，
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴CE=CF=4千米，
即C到公路l 的距离是4千米
故答案为:4.
15．
【解析】解：如图，设CD与AB1交于点O，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE=，由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形，∴S△ABB1=BA AB1=2，S△ABE=1，∴CB1=2BE﹣BC=，∵AB∥CD，∴∠OCB1=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B1=∠B=45°，∴CO=OB1=，∴S△COB1=OC OB1=，∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（）=．
点睛：此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想的应用．
15．
【解析】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB．
在△ABE和△ACF中，∵∠1=∠3，AC=AC，∠ABC=∠4，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，∴S四边形AECF=S△ABC=BC AH=BC =，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又∵S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大，∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣×× =．
故答案为： .
点睛：本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键．
17．证明见解析.
【解析】试题分析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A＝∠C，再证明ΔABF≌CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质得到AD=CD，∠A=∠C，进而利用AAS证明两三角形全等；
（2）根据△ADE≌△CDF得到AE=CF，结合菱形的四条边相等即可得到结论．
试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠A=∠C，∵DE⊥BA，DF⊥CB，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDE，∵AD=CD，∠A=∠C，∠AED=∠CFD=90°，∴△ADE≌△CDE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．
点睛：本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等．
19．（1）证明见解析；（2）150°．
【解析】试题分析：（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；
（2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．
（1）证明：如图，连结DB、DF．
∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．
在△BAD与△FAD中，∵AB=AF，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∴△BAD≌△FAD，∴DB=DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；
（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．
点睛：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明出AD是线段BF的垂直平分线是解题的关键．
20．（1）60°和120°（2）10cm（3）50cm2
【解析】试题分析：(1)证明等边三角形，可以得到菱形内角.
(2)勾股定理计算对角线长度.
(3)对角线乘积的二分之一计算面积.
试题解析：
如图，(1)周长是40，边长是10，对角线是10，AB=BD=AD,所以菱形内角是60°，120°.
（2）AB=10,BO=5,勾股定理知，AO=，另一条对角线长10cm.
（3）菱形面积为=50cm2.
点睛：
包含30°-60°-90°直角三角形，三角边比例是1： 45°-45°-90°直角三角形，三边比例是1:1： ，需要熟练掌握，有些题目中出现120°，135°的题，也可以归为此类问题，特别是在解析正方形，菱形，矩形，等边三角形问题，往往包含此类模型，可以快速找出题目中的数量关系，从而把复杂问题简单化，更容易求解.
21．见解析
【解析】分析：（1）AE=AF，易证△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形即可；（2）由（1）可知∠B=60°，△ABC是等边三角形，∠EAF=60°，再结合已知条件可证明△ABE≌△ACF（ASA），由全等三角形的性质即可得到BE=CF．
本题解析：
解：（1）AE=AF，理由如下：
连接AC．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
∴∠B=∠ACF=60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD．
∴∠AEB=∠AFC．
在△ABE和△ACF中，
∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，AB=AC，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE=AF．
（2）证明：由（1）得：∠B=60°，△ABCA是等边三角形，∠EAF=60°，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACD=∠BCD﹣∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠B=60°，
在△ABE和△ACF中，
∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
点睛：本题考查了菱形的性质，（1）中利用平行线和外角的性质证明△ABE≌△ACF，是解题的关键；（2）熟掌握菱形的性质，证明△ABE≌△ACF是解题的关键．
22．（1）2；（2）AM=DF+ME.
【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）AM=DF+ME
证明：如图，
∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
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