课时跟踪检测（二）
弧度制和弧度制与角度制的换算
层级一 学业水平达标
1．把50°化为弧度为( )
A．50
B.
C.
D.
解析：选B 50°＝50×＝.
2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( )
A．16π
B．32π
C．16
D．32
解析：选C 弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，
即S＝lr＝16.
3．角α的终边落在区间内，则角α所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选C －3π的终边在x轴的非正半轴上，－的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.
π
B．－π
C.
π
D．－π
解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5．下列表示中不正确的是( )
A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上的角的集合是
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y＝x上的角的集合是
解析：选D 终边在直线y＝x上的角的集合应是.
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
解析：－135°＝－135×＝－π，
π＝×180°＝660°.
答案：－π 660°
7．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．
解析：60°＝，扇形的面积公式为S扇形＝αr2＝××()2＝π.
答案：π
8．设集合M＝，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.
解析：由－π<－<π，得－
∵k∈Z，∴k＝－1,0,1,2，
∴M∩N＝.
答案：
9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.
根据扇形面积公式S＝lR，得1＝l·R.
联立解得R＝1，l＝2，∴α＝＝＝2.
10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
(1)－1
725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．
解：(1)－1
725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．
(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．
层级二 应试能力达标
1．下列转化结果错误的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
解析：选C 对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故C错误．
2．集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，所以选C.
3．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z)
D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
解析：选D ∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．
∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.
∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：选C 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
5．若角α的终边与π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是____________．
解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋(k∈Z)．
令k＝0,1,2,3，得＝，，，.
答案：，，，
6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．
解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则l＝αr.设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝＝＝，故＝.
答案：
7．已知α＝1
690°，
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解：(1)1
690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π.
解得－∴θ的值是－π，－π，π，π.
8．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)弧AB的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)因为120°＝π＝π，
所以l＝α·r＝π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
(2)因为S扇形AOB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝AB·OD＝×2×6cos
30°×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9.课时跟踪检测（十九）用平面向量坐标表示向量共线条件
层级一 学业水平达标
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：选B A中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B.
2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为( )
A．－
B．
C．
D．－
解析：选C 根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，
∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
3．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1)
B．(－6，－3)
C．(－1,2)
D．(－4，－8)
解析：选D ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3
B．2
C．4
D．－6
解析：选D 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
5．设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
解析：选A ∵a∥b，
∴×－tan
α
cos
α＝0，
即sin
α＝，α＝30°.
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案：λ＝μ
9．已知A，B，C三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1),
(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)．
∴点E的坐标为.
同理点F的坐标为，＝.
又×(－1)－4×＝0，∴∥.
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)．
(1)求a＋b；
(2)若a与m平行，求实数λ的值．
解：(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因为a＝(2,1)，
且a与m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，
解得λ＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：选C 因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13
B．－13
C．9
D．－9
解析：选D A，B，C三点共线，
∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．
4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：选D 设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，
①若这个平行四边形为 ABCD，
则＝，∴D(－3，－5)；
②若这个平行四边形为 ACDB，
则＝，∴D(5，－5)；
③若这个平行四边形为 ACBD，
则＝，∴D(1,5)．
综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．
解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．
∵＝－＝(3,1)，A＝－＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠.
答案：m≠
7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)若A，B，C三点共线，则与共线．
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.
(2)若＝2，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴
∴点C的坐标为(5，－3)．
8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
解：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝，
∴＝＝，
∴P的坐标为.课时跟踪检测（十四）
向量的加法
层级一 学业水平达标
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝＋a＝a
B．＋＋＝0
C．＋＝0
D．＋＝＋＋
解析：选B 由向量加法可知＋＋＝＋＝2.
2．(＋)＋(＋)＋等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C 原式＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋＋)
＝＋0.
3．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
4．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2
B．4
C．12
D．6
解析：选B 因为＋＝A，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是( )
A．①③
B．②③
C．②④
D．①②
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
6．＋＋＋＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8.如图，在平行四边形ABCD中，
(1)
＋＝________；
(2)
＋＋＝________；
(3)
＋＋＝________；
(4)
＋＋＝________.
解析：(1)由平行四边形法则可知为.
(2)
＋＋＝＋＝.
(3)A＋＋＝＋＝.
(4)
＋＋＝＋＋＝＋＝0.
答案：(1)
(2)
(3)
(4)0
9.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
10．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝
(i＝1,2，…，7)，bj＝
(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：因为＋＝0，
所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＝b6.
层级二 应试能力达标
1.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．,＋＝
D．＋＝
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.
2．下列命题错误的是( )
A．两个向量的和仍是一个向量
B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b|
C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点
解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有＝，起点和终点都不相同．
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D ＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．
4．下列命题正确的是( )
A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点
C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b
D．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0
解析：选C 当a＋b＝0时，A选项不正确；若＋＋＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)，故D选项不正确．
5．O为三角形ABC内一点，若＋＋＝0，则O是三角形ABC的________心．
解析：∵＋＋＝0，
∴＋＝－＝，
此时与共起点，
∴以，为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则＋＝2，
即2＝，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．若a等于“向东走8
km”，b等于“向北走8
km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.
答案：8
km 北偏东45°
7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
8.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为模为1的向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为模为1的向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.课时跟踪检测（二十八）
三角函数的积化和差与和差化积
层级一 学业水平达标
1．cos
15°
sin
105°＝( )
A.
＋
B.
－
C.
＋1
D.
－1
解析：选A cos
15°sin
105°＝[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝[sin
120°－sin(－90°)]＝×＋×1＝＋.
2．化简的结果为( )
A．tan
α
B．tan
2α
C.
D.
解析：选B 原式＝
＝tan
2α.
3．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于( )
A．2sin2
B．－2sin2
C．2cos2
D．－2cos2
解析：选A f(x)＝2sinsin
＝－[cos
α－cos(x－α)]
＝cos(x－α)－cos
α.
当cos(x－α)＝1时，
f(x)取得最大值1－cos
α＝2sin2.
4．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是( )
A．－sin(x＋y)sin(x－y)
B．cos(x＋y)cos(x－y)
C．sin(x＋y)cos(x－y)
D．－cos(x＋y)sin(x－y)
解析：选B cos2x－sin2y＝－
＝(cos
2x＋cos
2y)
＝cos(x＋y)cos(x－y)．
5．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－m
B．m
C．－
D.
解析：选A ∵cos2α－cos2β＝m，
∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－(cos
2α－cos
2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－m.
6．cos
2α－cos
3α化为积的形式为________．
解析：cos
2α－cos
3α＝－2sinsin＝－2sinsin＝2sinsin.
答案：2sinsin
7．sin·cos化为和差的结果是________．
解析：原式＝
＝cos(α＋β)＋sin(α－β)．
答案：cos(α＋β)＋sin(α－β)
8.＝________.
解析：原式＝＝＝.
答案：
9．求下列各式的值：
(1)sin
54°－sin
18°；
(2)cos
146°＋cos
94°＋2cos
47°cos
73°.
解：(1)sin
54°－sin
18°＝2cos
36°sin
18°
＝2·＝
＝＝＝.
(2)cos
146°＋cos
94°＋2cos
47°cos
73°
＝2cos
120°cos
26°＋2×(cos
120°＋cos
26°)
＝2××cos
26°＋＋cos
26°
＝－cos
26°＋＋cos
26°＝－.
10．求证：＝2cos
α.
证明：因为左边＝
＝
＝＝2cos
α＝右边，
所以原等式成立．
层级二 应试能力达标
1．sin
20°cos
70°＋sin
10°sin
50°的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 原式＝[sin
90°＋sin(－50°)]－[cos
60°－cos(－40°)]＝－sin
50°－＋cos
40°＝.
2．函数y＝cos2＋sin2－1是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：选C ∵y＝＋－1
＝
＝－sin
2xsin＝sin
2x，
∴此函数是最小正周期为π的奇函数．
3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：选D cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos
2α＋cos
2β)＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β＝.
4．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( )
A.
B.
C.
D．[0,1]
解析：选C ∵A＋B＝，∴B＝－A，
∴cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋(cos
2A＋cos
2B)
＝1＋coscos(A－B)
＝－cos＋1，
∵－1≤cos≤1，
∴≤－cos＋1≤.
5．函数y＝sinsin的最小正周期T＝________.
解析：f(x)＝sincos
x
＝
＝sin＋，
∴T＝＝π.
答案：π
6．cos
40°＋cos
60°＋cos
80°＋cos
160°＝________.
解析：cos
60°＋cos
80°＋cos
40°＋cos
160°＝＋cos
80°＋2cos
100°cos
60°＝＋cos
80°－cos
80°＝.
答案：
7．已知f(x)＝cos2(x＋θ)－2cos
θcos
xcos(x＋θ)＋cos2θ，求f(x)的最大值、最小值和最小正周期．
解：∵f(x)＝cos2(x＋θ)－2×[cos(x＋θ)＋cos(x－θ)]cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2(x＋θ)－cos2(x＋θ)－cos(x－θ)·cos(x＋θ)＋cos2θ
＝cos2θ－(cos
2θ＋cos
2x)＝－cos
2θ－cos
2x
＝－cos
2x＋，
∴f(x)的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.
8．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－.求cos的值．
解：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵－＝－2，
∴＋＝－2，
∴cos
A＋cos
C＝－2cos
Acos
C.
由和差化积与积化和差公式，得
2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－.
化简，得4cos2＋2cos－3＝0，
∴＝0.
∵2cos＋3≠0，
∴2cos－＝0，
∴cos＝.课时跟踪检测（二十六）
倍角公式
层级一 学业水平达标
1．若sin＝，则cos
α＝( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：选C 因为sin＝，
所以cos
α＝1－2sin2
＝1－2×2＝.
2．下列各式中，值为的是( )
A．2sin
15°cos
15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
解析：选B cos215°－sin215°＝cos
30°＝.
3．已知α为第三象限角，且cos
α＝－，则tan
2α的值为( )
A．－
B.
C．－
D．－2
解析：选A 由题意可得，sin
α＝－＝－，∴tan
α＝2，∴tan
2α＝＝－，故选A.
4．化简·等于( )
A．2cos
α
B．2sin
α
C.
D．cos
α
解析：选A 原式＝·＝2cos
α.
5．已知α为锐角，且满足cos
2α＝sin
α，则α等于( )
A．75°
B．45°
C．60°
D．30°
解析：选D 因为cos
2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin
α－1＝0，即(sin
α＋1)(2sin
α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin
α＝，
所以α＝30°.故选D.
6．已知tan
x＝2，则tan
2＝________.
解析：∵tan
x＝2，
∴tan
2x＝＝－.
tan
2＝tan＝
＝＝－＝.
答案：
7．已知sin
＋cos
＝，那么sin
θ＝____________，cos
2θ＝____________.
解析：∵sin
＋cos
＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，
∴sin
θ＝，
∴cos
2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
答案：
8．求值：－＝________.
解析：原式＝
＝＝＝4.
答案：4
9．已知α为第二象限角，且sin
α＝，求的值．
解：原式＝＝.
∵α为第二象限角，且sin
α＝，
∴sin
α＋cos
α≠0，cos
α＝－，
∴原式＝＝－.
10．已知α，β均为锐角，且tan
α＝7，cos
β＝，求α＋2β的值．
解：∵β为锐角，且cos
β＝，∴sin
β＝.
∴tan
β＝，tan
2β＝＝＝.
∴0<2β<，0<α＋2β<π，
又tan(α＋2β)＝＝＝－1，
∴α＋2β＝.
层级二 应试能力达标
1．已知sin
2α＝，则cos2＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A ∵sin
2α＝，
∴cos2
＝＝＝＝.
2．若＝，则cos的值为( )
A.
B．－
C．－
D.
解析：选A 因为＝，
所以＝，
所以cos
α－sin
α＝，平方得1－2cos
αsin
α＝，
所以sin
2α＝，所以cos＝sin
2α＝.
3．化简：＝( )
A.
B．－
C．－1
D．1
解析：选B 原式＝＝－＝－＝－.
4．已知sin＝，则cos
2的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：选D ∵sin＝，
∴cos＝cos
2＝1－2sin2＝，
∴cos
2＝cos＝cos
＝－cos＝－.
5．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos
B＝，
sin
B＝＝
＝.
所以sin
A＝sin(180°－2B)＝sin
2B＝2sin
Bcos
B
＝2××＝.
答案：
6．已知角α，β为锐角，且1－cos
2α＝sin
αcos
α，tan(β－α)＝，则β＝________.
解析：由1－cos
2α＝sin
αcos
α，得1－(1－2sin2α)＝sin
αcos
α，即2sin2α＝sin
αcos
α.
∵α为锐角，∴sin
α≠0，∴2sin
α＝cos
α，即tan
α＝.
法一：由tan(β－α)＝＝＝，
得tan
β＝1.
∵β为锐角，∴β＝.
法二：tan
β＝tan(β－α＋α)＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
答案：
7．已知向量m＝，n＝(sin
α，1)，m与n为共线向量，且α∈.
(1)求sin
α＋cos
α的值．
(2)求的值．
解：(1)因为m与n为共线向量，
所以×1－(－1)×sin
α＝0，
即sin
α＋cos
α＝.
(2)因为1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2＝，
所以sin
2α＝－，
因为(sin
α＋cos
α)2＋(sin
α－cos
α)2＝2，
所以(sin
α－cos
α)2＝2－2＝.
又因为α∈，
所以sin
α－cos
α<0，sin
α－cos
α＝－.
因此，＝.
8．已知sin
－2cos
＝0.
(1)求tan
x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin
－2cos
＝0，知cos
≠0，
∴tan
＝2，
∴tan
x＝＝＝－.
(2)由(1)，知tan
x＝－，
∴＝
＝＝
＝×＝×＝.课时跟踪检测（二十四）
两角和与差的正弦
层级一 学业水平达标
1．(全国卷Ⅰ)sin
20°cos
10°－cos
160°
sin
10°＝( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选D 原式＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝.
2.的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A 原式＝
＝＝2sin
30°＝1.
3．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A 因为cos
α＝－，α是第三象限的角，所以sin
α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin
αcos＋cos
αsin＝×＋×＝－.
4．已知sin＝，则cos
α＋sin
α的值为( )
A．－
B.
C．2
D．－1
解析：选B cos
α＋sin
α＝2＝2sin＝2×＝.
5．函数y＝sin＋sin的最小值为( )
A.
B．－2
C．－
D.
解析：选C 因为y＝sin＋sin＝sin
2xcos
＋cos
2xsin
＋sin
2xcos－cos
2xsin
＝sin
2x，所以所求函数的最小值为－.
6．化简sin
50°cos
38°＋cos
50°cos
128°的结果为________．
解析：sin
50°cos
38°＋cos
50°cos
128°＝sin
50°cos
38°＋cos
50°(－sin
38°)＝sin
50°cos
38°－cos
50°sin
38°＝sin(50°－38°)＝sin
12°.
答案：sin
12°
7．已知<β<，sin
β＝，则sin＝________.
解析：∵<β<，sin
β＝，
∴cos
β＝，∴sin＝sin
β·cos
＋cos
β·sin
＝×＋×＝＋＝.
答案：
8．已知cos＝sin，则tan
α＝________.
解析：cos＝cos
αcos－sin
αsin
＝cos
α－sin
α，sin＝sin
αcos
－cos
αsin＝sin
α－cos
α，∴sin
α＝cos
α，故tan
α＝1.
答案：1
9．已知cos
α＝(α为第一象限角)，求cos，sin的值．
解：∵cos
α＝，且α为第一象限角，
∴sin
α＝＝
＝.
∴cos＝cos
cos
α－sin
sin
α
＝×－×＝.
同理可求sin＝.
10．化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝sin
xcos
＋cos
xsin
＋2sin
xcos
－2cos
xsin
－cos
·cos
x－sin
sin
x
＝sin
x＋cos
x＋sin
x－cos
x＋cos
x－sin
x
＝sin
x＋cos
x
＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
层级二 应试能力达标
1．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝( )
A．±1
B．1
C．－1
D．0
解析：选D 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D.
2．在△ABC中，如果sin
A＝2sin
Ccos
B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析：选C ∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．
由已知可得
sin(B＋C)＝2sin
Ccos
B
sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
CcosB
sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0 sin(B－C)＝0.
∵0∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．
3．函数f(x)＝sin
x＋sin图象的一条对称轴为( )
A．直线x＝
B．直线x＝π
C．直线x＝
D．直线x＝
解析：选D f(x)＝sin
x＋sin·cos
x－cos
·sin
x＝sin
x＋cos
x＝sin，其图象的对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得x＝.
4．在△ABC中，3sin
A＋4cos
B＝6,3cos
A＋4sin
B＝1，则C的大小为( )
A.
B.
C.
或
D.
或
解析：选A 由已知可得(3sin
A＋4cos
B)2＋(3cos
A＋4sin
B)2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.
所以在△ABC中sin
C＝，所以C＝或C＝.
又1－3cos
A＝4sin
B>0，所以cos
A<.
又<，所以A>，所以C<，
所以C＝不符合题意，所以C＝.
5．已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
解析：sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α
＝sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝sin[(α－β)－α]＝－sin
β＝，
即sin
β＝－，又β是第三象限角，∴cos
β＝－，
∴sin＝sin
βcos＋cos
βsin＝×＋×＝.
答案：
6．设α为锐角，若cos＝，则sin＝________.
解析：因为α为锐角，所以<α＋<.
又
cos＝，所以sin＝.
所以sin＝sin
＝sincos
－cossin
＝×－×＝.
答案：
7．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，求α－β的值．
解：∵α，β均为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，
∴cos
α＝，sin
β＝.
∴sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×＝－.
又∵α，β均为锐角，∴－<α－β<.故α－β＝－.
8．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵＜α＜，
∴＜＋α＜π，
∴sin＝
＝.
∵0＜β＜，∴＜＋β＜π，
∴cos＝－
＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.课时跟踪检测（十八）
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
层级一 学业水平达标
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
解析：选C 记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A ∵a＝＝－＝，
∴λa＝a＝.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2)
B．(1,2)
C．(5,6)
D．(2,0)
解析：选A b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4)
B．(3,5)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
解析：选C ＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为( )
A．(－14,16)
B．(22，－11)
C．(6,1)
D．(2,4)
解析：选D 设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得所以
6．(江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，
则x＝||cos
150°＝6cos
150°＝－3，
y＝||sin
150°＝6sin
150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．
答案：(－3，3)
9．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴
即A点坐标为(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标．
(2)若点P(2，y)满足＝λ
(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以
所以
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ
(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以
所以
层级二 应试能力达标
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝( )
A．(－2，－2)
B．(2,2)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
解析：选D ＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C．(3,2)
D．(1,3)
解析：选A 设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故解得即点D，故选A.
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“?”为m?n＝(a＋c，b＋d)．设f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，则(1,2)?f等于( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－4)
解析：选B 由(1,2) f＝(5,0)，得解得所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论有________个．
解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋
(λ∈R)，则λ＝
________.
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
答案：
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)
＝(－7，－8)＝.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴＝－＝－＝－＝.
8．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐标．
(2)若＝m＋n
(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，
所以m－n＝1.课时跟踪检测（一）
角的概念的推广
层级一 学业水平达标
1．－215°是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
2．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690°
B．－330°，750°
C．480°，－420°
D．3
000°，－840°
解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
∴－330°与750°终边相同．
3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是( )
A．第一、三象限
B．第一、二象限
C．第二、四象限
D．第三、四象限
解析：选A 由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，
当k＝2n＋1，n∈Z，
α＝2n·180°＋180°＋45°
＝n·360°＋225°，在第三象限，
当k＝2n，n∈Z，
α＝2n·180°＋45°
＝n·360°＋45°，在第一象限．
∴α是第一或第三象限的角．
4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
解析：选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．
5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．－165°＋(－2)×360°
B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360°
D．165°＋(－3)×360°
解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.
6．在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④－2
000°是第二象限角．
其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．
解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．
③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．
④－2
000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．
答案：①③
7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.
解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.
又∵180°<α<360°，∴α＝270°.
答案：270°
8．若角α＝2
016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．
解析：∵2
016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.
答案：216° －144°
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．
(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．
(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．
10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.
层级二 应试能力达标
1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选D ①－15°是第四象限角；
②180°<185°<270°是第三象限角；
③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；
④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，
所以四个结论都是正确的．
2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.
3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上
B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上
D．y轴的非正半轴上
解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z，
∴其终边在x轴的非负半轴上．
4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )
A．M∩N＝
B．M?N
C．N?M
D．M＝N
解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N?M，故选C.
5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．
解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.
答案：－30° －360°
6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．
解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
答案：一或三
7．试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解：终边在直线y＝－x上的角的集合
S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OB上；
(2)终边落在直线OA上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在直线OA上的角的集合为
S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（五）
同角三角函数的基本关系式
层级一 学业水平达标
1．(福建高考)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α的值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D 因为sin
α＝－，且α为第四象限角，
所以cos
α＝，所以tan
α＝－，故选D.
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3
B．－3
C．1
D．－1
解析：选B ∵α为第三象限角，
∴原式＝＋＝－3.
3．下列四个结论中可能成立的是( )
A．sin
α＝且cos
α＝
B．sin
α＝0且cos
α＝－1
C．tan
α＝1且cos
α＝－1
D．α是第二象限角时，tan
α＝－
解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin
α＝0且cos
α＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．
4．已知sin
α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：选A sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
5．若α是三角形的最大内角，且sin
α－cos
α＝，则三角形是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
解析：选B 将sin
α－cos
α＝两边平方，得1－2sin
αcos
α＝，即2sin
αcos
α＝.又α是三角形的内角，∴sin
α>0，cos
α>0，∴α为锐角．
6．若sin
θ＝－，tan
θ>0，则cos
θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos
θ＝－＝－
＝－.
答案：－
7．化简：＝________.
解析：原式＝
＝
＝|cos
40°－sin
40°|
＝cos
40°－sin
40°.
答案：cos
40°－sin
40°
8．已知tan
α＝－，则＝________.
解析：＝
＝＝＝＝＝－.
答案：－
9．化简：(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝cos
θ.
10．已知sin
α＋cos
α＝，求tan
α＋及sin
α－cos
α的值．
解：将sin
α＋cos
α＝两边平方，得sin
αcos
α＝－.
∴tan
α＋＝＝－3，
(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1＋＝，
∴sin
α－cos
α＝±.
层级二 应试能力达标
1．已知tan
α＝，且α∈，则sin
α的值是( )
A．－
B.
C.
D．－
解析：选A ∵α∈，∴sin
α<0.
由tan
α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，
得sin
α＝－.
2．化简(1－cos
α)的结果是( )
A．sin
α
B．cos
α
C．1＋sin
α
D．1＋cos
α
解析：选A (1－cos
α)＝·(1－cos
α)＝·(1－cos
α)＝＝＝sin
α.
3．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin
θcos
θ的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得
(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，
∴sin
θ＜0，cos
θ＜0，∴sin
θcos
θ＝.
4．已知＝2，则sin
θcos
θ的值是( )
A.
B．±
C.
D．－
解析：选C 由条件得sin
θ＋cos
θ＝2sin
θ－2cos
θ，
即3cos
θ＝sin
θ，tan
θ＝3，
∴sin
θcos
θ＝＝＝＝.
5．已知sin
αcos
α＝，且π<α<，则cos
α－sin
α＝________.
解析：因为π<α<，所以cos
α<0，sin
α<0.利用三角函数线，知cos
αα，所以cos
α－sin
α<0，所以cos
α－sin
α＝－＝－＝－.
答案：－
6．若sin
α＋cos
α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．
解析：∵sin
α＋cos
α＝1，
∴(sin
α＋cos
α)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin
αcos
α＝0，∴sin
α＝0或cos
α＝0，
当sin
α＝0时，cos
α＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos
α＝0时，sin
α＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
答案：1
7．已知＝，α∈.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
解：(1)由＝，
得3tan2α－2tan
α－1＝0，
即(3tan
α＋1)(tan
α－1)＝0，
解得tan
α＝－或tan
α＝1.
因为α∈，
所以tan
α<0，所以tan
α＝－.
(2)由(1)，得tan
α＝－，
所以＝＝＝.
8．求证：－＝.
证明：左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．课时跟踪检测（三）
三角函数的定义
层级一 学业水平达标
1．若α＝，则α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝在第二象限，
∴x＝－，y＝
＝，∴P.
2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos
α等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝＝，∴cos
α＝＝＝.
3．若三角形的两内角α，β满足sin
αcos
β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都可能
解析：选B ∵sin
αcos
β<0，α，β∈(0，π)，
∴sin
α>0，cos
β<0，∴β为钝角．
4．代数式sin
120°cos
210°的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A 利用三角函数定义易得sin
120°＝，
cos
210°＝－，∴sin
120°cos
210°＝×＝－，故选A.
5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin
α等于( )
A．±
B．±
C．±
D．±
解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝＝，所以sin
α＝＝＝.或者取P(1，－2)，则r＝＝，所以sin
α＝＝－＝－.
6．计算：tan
＝________，csc＝________.
解析：∵α＝，在α的终边上取一点P(a，a)，
∴r＝2a.
∴tan
＝，csc＝2.
答案： 2
7．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan
α＝－，则sin
α＋cos
α＝________.
解析：∵tan
α＝＝－，∴a＝－12.
∴r＝
＝13.
∴sin
α＝－，cos
α＝.
∴sin
α＋cos
α＝－.
答案：－
8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.
解析：当α在第二象限时，＋＝－＋＝0；当α在第四象限时，＋＝－＝0.综上，＋＝0.
答案：0
9．已知角θ终边上有一点P(－，m)，且sin
θ＝m(m≠0)，试求cos
θ与tan
θ的值．
解：点P(－，m)到坐标原点O的距离r＝，由三角函数的定义，得sin
θ＝＝＝m，解得m＝±.∴r＝2.
当m＝时，cos
θ＝＝＝－，
tan
θ＝＝＝－.
当m＝－时，cos
θ＝＝＝－，tan
θ＝＝＝.
10．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos
α和tan
α的值．
解：设点M的坐标为(x1，y1)．
由题意，可知sin
α＝－，即y1＝－.
∵点M在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1，
即x＋2＝1，解得x1＝或x2＝－.
∴cos
α＝或cos
α＝－，
∴tan
α＝－1或tan
α＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3]
B．(－2,3)
C．[－2,3)
D．[－2,3]
解析：选A 由cos
α≤0，sin
α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有
即－22．设a<0，角α的终边与圆x2＋y2＝1的交点为P(－3a,4a)，那么sin
α＋2cos
α的值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：选A ∵点P在圆x2＋y2＝1上，则|OP|＝1.
即＝1，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－.
∴P点的坐标为.
∴sin
α＝－，cos
α＝.
∴sin
α＋2cos
α＝－＋2×＝.
3．若tan
x<0，且sin
x－cos
x<0，则角x的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D ∵tan
x<0，∴角x的终边在第二、四象限，又sin
x－cos
x<0，∴角x的终边在第四象限．
4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos
α＝－，则m＝( )
A．8
B．－8
C．4
D．－4
解析：选B 由题意r＝|OP|＝＝，故cos
α＝＝－，解得m＝－8.
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝________.
解析：|OP|＝.根据任意角三角函数的定义得，＝－
，解得y＝±8.又∵sin
θ＝－＜0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
答案：－8
6．设0≤θ＜2π，若sin
θ＜0且cos
2θ＜0，则θ的取值范围是________．
解析：因为0≤θ＜2π且sin
θ＜0，所以π＜θ＜2π.
又cos
2θ＜0，所以2kπ＋＜2θ＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k＝1，即θ的取值范围是＜θ＜.
答案：
7．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝
＋tan
x；(2)f(x)＝.
解：(1)由题意得
即
解得0(2)若使函数有意义，则需满足cos
x≥0，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为，k∈Z.
8．已知＝－，且lg(cos
α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限．
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值．
解：(1)由＝－，所以sin
α<0，
由lg(cos
α)有意义，可知cos
α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，
得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－，
sin
α＝＝＝＝－.课时跟踪检测（十三）
向量的概念
]层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2.如图，在圆O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：选C 由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.
3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B 根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
4.如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选C 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
5．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )
A．＝
B．
＝或＝－
C．＝1
D．||＝||
解析：选D 由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错．又与均为模为1的向量．∴||＝||，故C错D对．
6．已知|
|＝1，|
|＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
答案：
7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是______．
解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为2，在其中一个正方形中，与平行且长度为2的向量有2个，所以共8个．
答案：8
8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：①③④
9.如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与向量相等的向量是.
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，.
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
层级二 应试能力达标
1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
A中，与方向不同，故＝错误；
B中，与方向不同，故＝错误；
C中，与方向相反，故＝错误；
D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝正确．
2．下列说法正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．终点相同的两个向量不共线
C．若a≠b，则a一定不与b共线
D．零向量的长度为0
解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．
3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )
A．一组
B．二组
C．三组
D．四组
解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.
4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模为模的倍
D．与不共线
解析：选D A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与的模相等的向量除外有9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝DA，所以BD＝DA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D项错误，选D.
5．四边形ABCD满足＝，且|
|＝||，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为__________；与向量的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)
解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，.
答案：， ，，，，
7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量．
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量．
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．
解：(1)与长度相等的向量是，
，，，，，，.
(2)与相等的向量是，
(3)与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m平行，A，B(x，y)是m上的点．求
(1)x，y为何值时，＝0；
(2)x，y为何值时，||＝1.
解：(1)要使＝0，当且仅当点A与点B重合，于是
(2)如图，由已知，l∥m且点A的坐标是，
所以B1点的坐标是.在Rt△AOB1中，有
||2＝||2＋||2＝2＋2＝1，
即||＝1.
同理可得，当B2的坐标是时，|AB2|＝1.
综上有，当或时，||＝1.课时跟踪检测（十一）
正切函数的图象与性质
层级一 学业水平达标
1．函数y＝－2＋tan的定义域是( )
A.
，k∈Z
B.
，k∈Z
C.
，k∈Z
D.
，k∈Z
解析：选A 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－π＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.
2．f(x)＝tan的最小正周期为( )
A.
B.
C．π
D．2π
解析：选B 法一：函数y＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接套用公式，可得T＝＝.
法二：由诱导公式可得tan＝tan＝tan，所以f＝f(x)，所以周期为T＝.
3．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝( )
A．±1
B．1
C．±2
D．2
解析：选A g(x)的最小正周期为π，则＝π，得ω＝±1.
4．函数y＝|tan
2x|是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
解析：选D f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan
2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
5．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
解析：选D 当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．
6．函数y＝的定义域是___________________________________________．
解析：由1－tan
x≥0即tan
x≤1结合图象可解得．
答案：(k∈Z)
7．函数y＝tan的单调递增区间是______________________________________．
解析：令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z，
解得－答案：，k∈Z
8．函数y＝3tan(π＋x)，－解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tan
x，因为正切函数在上是增函数，所以－3]．
答案：(－3，
]
9．比较下列各组中两个正切函数值的大小．
(1)tan
167°与tan
173°；
(2)tan与tan.
解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，
又∵y＝tan
x在上是增函数，
∴tan
167°＜tan
173°.
(2)∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan，
又∵0＜＜＜，函数y＝tan
x，x∈是增函数，
∴tan＜tan，
即tan＜tan.
10．已知f(x)＝tan，
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜的φ值．
解：(1)法一：∵y＝tan
x的周期是π.
∴y＝tan的周期是.
法二：由诱导公式知：tan
＝tan＝tan，
即f＝f(x)．∴f(x)的周期是.
(2)∵f(x＋φ)＝tan是奇函数，
∴图象关于原点中心对称，
∴＋2φ＝(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)．
令＜(k∈Z)，
解得－＜k＜，k∈Z.∴k＝－1,0,1，或2.
从而得φ＝－，－，或
层级二 应试能力达标
1．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 要使函数有意义，只要logtan
x≥0，即0＜tan
x≤1.由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.
2．函数y＝tan(cos
x)的值域是( )
A.
B.
C．[－tan
1，tan
1]
D．以上均不对
解析：选C ∵－1≤cos
x≤1，且函数y＝tan
x在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan
x≤tan
1.
即－tan
1≤tan
x≤tan
1.
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
解析：选A 令y＝tan＝0，则有x－＝kπ，x＝2kπ＋，k∈Z.再令k＝0，得x＝，可知函数图象与x轴一交点的横坐标为.故可排除C、D.令x－＝－，得x＝－，或令x－＝，得x＝.故排除B，选A.
4．方程tan＝在区间[0,2π)上的解的个数是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：选B 由tan＝，得2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，又x∈[0,2π)，∴x＝0，，π，.故选B.
5．若tan
x＞tan且x在第三象限，则x的取值范围是________．
解析：tan
x＞tan＝tan，又x为第三象限角，
∴kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．已知函数y＝tan
ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tan
ωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
7．已知x∈，求函数y＝＋2tan
x＋1的最值及相应的x的值．
解：y＝＋2tan
x＋1＝＋2tan
x＋1
＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1.
∵x∈，∴tan
x∈[－，1]．
当tan
x＝－1，即x＝－时，y取得最小值1；
当tan
x＝1，即x＝时，y取得最大值5.
8．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
解：由x－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠＋2kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan的定义域为
.
T＝＝2π，
所以函数y＝tan的周期为2π.
由－＋kπ－＋2kπ所以函数y＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)．课时跟踪检测（二十五）
两角和与差的正切
层级一 学业水平达标
1．化简：的值为( )
A.
B.
C．tan
6°
D.
解析：选A ∵＝tan(27°＋33°)＝tan
60°，∴原式＝＝.
2．tan
15°＋tan
105°等于( )
A．－2
B．2＋
C．4
D.
解析：选A tan
15°＋tan
105°＝tan(60°－45°)＋tan(45°＋60°)＝＋＝－2，故选A.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C ∵tan(α＋β)＝，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝.
4．在△ABC中，若tan
Atan
B>1，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
解析：选A 由tan
Atan
B>1，知tan
A>0，tan
B>0，从而A，B均为锐角．
又tan(A＋B)＝<0，即tan
C＝－tan(A＋B)>0，∴C为锐角，故△ABC为锐角三角形．
5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan
α)(1＋tan
β)的值为( )
A．1
B．2
C．1＋
D．1＋
解析：选B ∵tan
45°＝tan(20°＋25°)＝＝1，
∴tan
20°＋tan
25°＝1－tan
20°tan
25°，
∴(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝1＋tan
20°＋tan
25°＋tan
20°·tan
25°＝1＋1－tan
20°tan
25°＋tan
20°tan
25°＝2.
6．(江苏高考)已知tan
α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan
β的值为________．
解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．
tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
答案：3
7.＝________.
解析：原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan
30°＝.
答案：
8．已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
α·tan
β＝________.
解析：∵tan(α＋β)＝，
∴1－tan
αtan
β＝＝＝，
∴tan
α·tan
β＝1－＝.
答案：
9．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan；(2)tan(α＋β)．
解：(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
10．已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求角α＋β的大小．
解：由已知得
∴tan
α，tan
β均为负，
∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，
又tan(α＋β)＝＝＝.
∴α＋β＝－.层级二 应试能力达标
1．已知tan
α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－
B．－
C．－
D.
解析：选B tan(β－2α)＝－tan(2α－β)
＝－tan[α＋(α－β)]
＝－
＝－＝－.
2．在△ABC中，tan
A＋tan
B＋＝tan
Atan
B，则角C等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 由已知，得tan
A＋tan
B＝(tan
Atan
B－1)，
即＝－，∴tan(A＋B)＝－，
∴tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∴C＝.
3．已知tan
α＝，则的值是( )
A．2
B.
C．－1
D．－3
解析：选B 法一：因为tan
α＝，所以tan
＝＝＝3，
所以＝＝.故选B.
法二：＝
＝tan＝tan
α＝.故选B.
4．(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)·…·(1＋tan
44°)(1＋tan
45°)的值为( )
A．222
B．223
C．224
D．225
解析：选B (1＋tan
1°)(1＋tan
44°)＝1＋tan
44°＋tan
1°＋tan
44°tan
1°，
∵tan
45°＝tan(1°＋44°)＝＝1，
∴(1＋tan
1°)(1＋tan
44°)＝1＋1－tan
1°tan
44°＋tan
44°tan
1°＝2，
同理，得(1＋tan
1°)(1＋tan
44°)＝(1＋tan
2°)(1＋tan
43°)＝…＝2，
∴原式＝222×(1＋tan
45°)＝223.
5．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan
A，tan
B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
解析：由已知得
∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．
答案：钝角
6．若(tan
α－1)(tan
β－1)＝2，则α＋β的最小正值为______________________________．
解析：(tan
α－1)(tan
β－1)＝2 tan
αtan
β－tan
α－tan
β＋1＝2 tan
α＋tan
β＝tan
αtan
β－1 ＝－1，
即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝kπ－，k∈Z.
当k＝1，α＋β取得最小正值.
答案：
7．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan
β的值．
解：(1)因为tan(π＋α)＝－，所以tan
α＝－，
因为tan(α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝.
(2)因为tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝，
所以tan
β＝＝.
8．已知tan(α－β)＝，tan
β＝－且α，β∈(0，π)．
(1)求tan
α的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝.
(2)tan
α＝，α∈(0，π)，
∴α∈.
∵tan
β＝－，β∈(0，π)，
∴β∈，
∴－π<α－β<0.
而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1.
∴2α－β＝－.课时跟踪检测（二十二）向量在几何中的应用
向量在物理上的应用
层级一 学业水平达标
1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
解析：选D 由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D．
解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
3．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．矩形
D．菱形
解析：选A ∵＝，＝(3,4)，
∴＝，∴∥，即AB∥DC.
又||＝
＝，||＝＝5，
∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B ∵＝－＝－，
∴＝2＝－·＋，
即＝1.∴||＝2，即AC＝2.
5．已知△ABC满足＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
解析：选C 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥，
∴△ABC是直角三角形．
6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则P点的轨迹方程为________．
解析：由题意知，·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，故P点的轨迹方程为x＋2y＝4.
答案：x＋2y＝4
7．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10
N，则每根绳子的拉力大小为________
N.
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10
N.
答案：10
8．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
解析：由弦长|AB|＝，
可知∠ACB＝60°，
·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
答案：－
9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，
D，C(0,0)，E.
所以＝，
＝.
所以·＝－a·a＋·a＝0，
所以⊥，即AD⊥CE.
10．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．
解：(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
又＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF的方程为x＋5y＋8＝0，
直线FD的方程为x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥.
∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
层级二 应试能力达标
1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
解析：选B 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，
则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，
∴v2＝v－v1，v·v1＝0，
∴|v2|＝＝2(m/s)．
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选C 因为＝，
所以点D是BC的中点，
则＝(＋)，＝＝(－)，
所以·＝(＋)·(－)＝(－)＝(22－32)＝－，选C.
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是( )
A．
B．2
C．0
D．1
解析：选A ∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
4.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 设AB的中点是D.
∵＋＝2＝－，
∴＝－，
∴P为CD的五等分点，
∴△ABP的面积为△ABC的面积的.
5．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________．
解析：(－)·(＋－2)
＝(－)·(－＋－)
＝(－)·(＋)
＝||2－||2＝0，
∴||＝||.
答案：等腰三角形
6.如图所示，在倾斜角为37°(sin
37°＝0.6)，高为2
m的斜面上，质量为5
kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力所做的功为________J(g＝9.8
m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，
则支持力对物体m所做的功为
W1＝F·s＝|F||s|cos
90°＝0(J)；
重力对物体m所做的功为
W2＝G·s＝|G||s|cos
53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0 98
7.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8
m，其中|F1|＝2
N，方向为北偏东30°；|F2|＝4
N，方向为北偏东60°；|F3|＝6
N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．
又位移s＝(4，4)，故合力F所做的功为
W＝F·s
＝(2－2)×4＋(2＋4)×4
＝4×6
＝24(J)．
即合力F所做的功为24
J.
8.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：因为D，G，F三点共线，
则＝λ，
即＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
因为B，G，E三点共线，则＝μ，
即＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知解得λ＝μ＝，
∴＝(a＋b)＝，
所以A，G，C三点共线．课时跟踪检测（二十三）
两角和与差的余弦
层级一 学业水平达标
1．cos
20°＝( )
A．cos
30°cos
10°－sin
30°sin
10°
B．cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°
C．sin
30°cos
10°－sin
10°cos
30°
D．cos
30°cos
10°－sin
30°cos
10°
解析：选B cos
20°＝cos(30°－10°)＝cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°.
2.sin
15°－cos
15°的值是( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选B 原式＝sin
30°sin
15°－cos
30°cos
15°
＝－(cos
30°cos
15°－sin
30°sin
15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos
45°＝－.
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos
α＝，sin
β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－
B．－
C．
D.
解析：选A ∵α为锐角，且cos
α＝，∴sin
α＝＝.∵β为第三象限角，且sin
β＝－，∴cos
β＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝－.故选A.
4．已知向量a＝(cos
75°，sin
75°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，那么|a－b|等于( )
A.
B.
C.
D．1
解析：选D |a－b|
＝
＝
＝＝1.
5．已知sin
α＝，α∈，则cos等于( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：选B 由题意可知cos
α＝，
cos＝cos＝cos＝cos
α
cos＋sin
α·sin
＝×＋×＝.
6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________.
解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝.
答案：
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan
αtan
β＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝， ①
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝， ②
由①②得cos
αcos
β＝，sin
αsin
β＝－，
∴tan
αtan
β＝＝＝－.
答案：－
8．已知sin
α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：∵sin
α＝，α∈，
∴cos
α＝－＝－
＝－，
∴cos＝cos
cos
α＋sin
sin
α＝×＋×＝.
答案：
9．已知α，β为锐角，且cos
α＝，cos(α＋β)＝－，求cos
β的值．
解：因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝.
又因为cos
α＝，所以sin
α＝.
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
10．若x∈，且sin
x＝，求2cos＋2cos
x的值．
解：∵x∈，sin
x＝，∴cos
x＝－.
∴2cos＋2cos
x
＝2＋2cos
x
＝2＋2cos
x
＝sin
x＋cos
x
＝－＝.
层级二 应试能力达标
1．已知cos
＝－，则cos
x＋cos＝( )
A．－
B．±
C．－1
D．±1
解析：选C cos
x＋cos＝cos
x＋cos
x＋sin
x＝cos
x＋sin
x＝＝cos＝－1.故选C.
2．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为( )
A.
B.
C．－
D.
解析：选C ∵α为钝角，且sin＝，
∴cos＝－，
∴cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝－.
3．已知锐角α，β满足cos
α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：选A ∵α，β为锐角，cos
α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin
α＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝.
4．设α，β为钝角，且sin
α＝，cos
β＝－，则α＋β的值为( )
A.
B.
C.
D.
或
解析：选C 因为α，β为钝角，sin
α＝，
所以cos
α＝－
＝－
＝－.
由cos
β＝－，得
sin
β＝＝
＝，
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×
＝.
又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
5．已知cos
α＝，cos(α－β)＝－，<α<2π，<α－β<π
，则cos
β＝________.
解析：由条件知sin
α＝－，sin(α－β)＝，
∴cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝－－＝－1.
答案：－1
6．已知sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0和cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
解析：由已知得，－sin
γ＝sin
α＋sin
β，①
－cos
γ＝cos
α＋cos
β，②
①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin
αsin
β＋2cos
αcos
β，
化简得cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝－，
即cos(α－β)＝－.
答案：－
7．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－，
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α－β∈，α＋β∈，
∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.
8．已知cos
α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<.
所以sin
α＝
＝，
cos(α－β)＝
＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)－sin
αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.课时跟踪检测（八）
正弦函数的图象与性质
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：选A 由于x∈R，
且f(－x)＝sin
x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．以下对正弦函数y＝sin
x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：选C 函数y＝sin
x的图象关于原点中心对称，并不关于x轴对称．
3．函数y＝2－3sin
x的最大值、最小值分别是( )
A．2，－3
B．0,2
C．5,2
D．5，－1
解析：选D ∵－1≤sin
x≤1，∴－3≤－3sin
x≤3，
∴－1≤2－3sin
x≤5.
4．函数y＝4sin(2x＋π)的图象关于( )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线x＝对称
解析：选B y＝4sin(2x＋π)＝－4sin
2x，奇函数图象关于原点对称．
5．函数y＝|sin
x|的一个单调递增区间是( )
A.
B．(π，2π)
C.
D．(0，π)
解析：选C 作出函数y＝|sin
x|的图象，如图，观察图象知C正确．
6．函数 (x)是以2为周期的函数，且 (2)＝3，则 (6)＝________.
解析：∵函数 (x)是以2为周期的函数，且 (2)＝3，
∴ (6)＝ (2×2＋2)＝ (2)＝3.
答案：3
7．y＝1＋sin
x，x∈[0,2π]的图象与y＝的交点的个数是________．
解析：由y＝sin
x的图象向上平移1个单位，得y＝1＋sin
x的图象，故在[0,2π]上与y＝交点的个数是2个．
答案：2
8．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．
解析：因为sin(x＋π)＝－sin
x，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sin
x在上的单调递减区间，易知为.
答案：
9．利用“五点法”作出函数y＝sinx－x∈，的图象．
解：列表如下：
x
π
2π
x－
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
描点连线，如图所示．
10．求函数y＝－3sin的单调区间．
解：函数y＝－3sin的单调递增区间，
即函数y＝3sin的单调递减区间．
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，
即函数y＝－3sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
同理，令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
即函数y＝－3sin的单调递减区间为(k∈Z)．
层级二 应试能力达标
1．用“五点法”作y＝2sin
2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
解析：选B 由2x＝0，，π，，2π知五个点的横坐标是0，，，，π.
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1
B．－
C.
D．0
解析：选B ∵x∈，∴－≤2x－≤，∴当2x－＝－时，f(x)＝sin有最小值－.
3．函数y＝2sin(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.
(k∈Z)
B.
(k∈Z)
C.
(k∈Z)
D.
(k∈Z)
解析：选C 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
4．在[0,2π]内，不等式sin
x<－的解集是( )
A．(0，π)
B.
C.
D.
解析：选C 画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.即在[0,2π]内，满足sin
x＝－的x＝或.可知不等式sin
x<－的解集是.故选C.
5．函数值sin，sin，sin从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：∵＜＜＜＜π，又函数y＝sin
x在上单调递减，∴sin＞sin＞sin.
答案：sin＞sin＞sin
6．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
解析：∵T＝，∴f＝f
＝f＝sin＝.
答案：
7．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
解：(1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
∴当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，
∴当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
8．已知函数 (x)对于任意实数x满足条件 (x＋2)
＝－( (x)≠0)．
(1)求证：函数 (x)是周期函数．
(2)若 (1)＝－5，求 ( (5))的值．
解：(1)证明：∵ (x＋2)＝－，
∴ (x＋4)＝－
＝－
＝ (x)，
∴ (x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是 (x)的一个周期．
∴ (5)＝ (1)＝－5，
∴ ( (5))＝ (－5)＝ (－1)＝＝＝.课时跟踪检测（七）
诱导公式（四）
层级一 学业水平达标
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：选B 由于sin＝cos
θ<0，cos＝sin
θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A.
B．－
C．－
D.
解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin
θ＝－.
3．已知cos＝，且|φ|<，则tan
φ等于( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选C 由cos＝－sin
φ＝，得sin
φ＝－.又|φ|<，∴φ＝－，∴tan
φ＝－.
4．已知tan
θ＝2，则＝( )
A．2
B．－2
C．0
D.
解析：选B ＝
＝＝＝－2.
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝－sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin＝cos
解析：选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos
C，sin(A＋B)＝sin
C，故A，B错．
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错．
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确．
6．sin
95°＋cos
175°的值为________．
解析：sin
95°＋cos
175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)
＝cos
5°－cos
5°＝0.
答案：0
7．若sin＝，则cos2θ－sin2θ＝________.
解析：sin＝cos
θ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.
答案：－
8．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos
＝－sin(π＋α)·
＝sin
α·(－sin
α)
＝－sin2α.
答案：－sin2α
9．已知sin(π＋α)＝－.
求：(1)cos；
(2)sin.
解：∵sin(π＋α)＝－sin
α＝－，∴sin
α＝.
(1)cos＝cos＝－sin
α＝－.
(2)sin＝cos
α，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin
α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cos
α＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cos
α＝－.
10．已知cos＝，
求值：＋.
解：原式＝＋
＝－sin
α－sin
α＝－2sin
α.
又cos＝，所以－sin
α＝.
所以原式＝－2sin
α＝.
层级二 应试能力达标
1．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(6π－α)的值为( )
A．－m
B．－m
C.
m
D.
m
解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos＝－m，
即－sin
α－sin
α＝－2sin
α＝－m，从而sin
α＝，
∴cos＋2sin(6π－α)＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－m.
2．已知f(x)＝sin
x，下列式子成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin
x
B．f(2π－x)＝sin
x
C．f＝－cos
x
D．f(π－x)＝－f(x)
解析：选C f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sin
x；
f(2π－x)＝sin(2π－x)＝sin(－x)＝－sin
x；
f＝sin＝－sin＝－cos
x；
f(π－x)＝sin(π－x)＝sin
x＝f(x)，故选C.
3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 由已知可得－2tan
α＋3sin
β＋5＝0，tan
α－6sin
β－1＝0.∴tan
α＝3，又tan
α＝，∴9＝＝，∴sin2α＝，∵α为锐角，∴sin
α＝，选C.
4．已知cos(60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－＝－
＝－.
5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________.
解析：原式＝·
＝·
＝＝1.
答案：1
6．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，
x∈N)，
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.
答案：
7．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限的角，且cos＝，
求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos
α.
(2)因为cos＝－sin
α，所以sin
α＝－.
又α是第三象限的角，
所以cos
α＝－
＝－.
所以f(α)＝.
8．已知sin(3π－α)＝cos，cos(π－α)＝cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin
α和cos
β的值．
解：由已知，得sin
α＝sin
β，①
cos
α＝cos
β，②
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝.
又0<α<π，则sin
α＝.
将sin
α＝代入①，得sin
β＝.
又0<β<π，故cos
β＝±.课时跟踪检测（四）
单位圆与三角函数线
层级一 学业水平达标
1．角和角有相同的( )
A．正弦线
B．余弦线
C．正切线
D．不能确定
解析：选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．
2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x上或直线y＝－x上
D．x轴上或y轴上
解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan
α＝±1，故角α的终边在直线y＝x上或直线y＝－x上．
3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．aB．bC．cD．a解析：选C 如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然
b＝cos(－1)＝OM>0，
c＝tan(－1)＝AT<0，
a＝sin(－1)＝MP<0，
由图可知MP>AT，∴c4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.
5．若α是第一象限角，则sin
α＋cos
α的值与1的大小关系是( )
A．sin
α＋cos
α>1
B．sin
α＋cos
α＝1
C．sin
α＋cos
α<1
D．不能确定
解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin
α＋cos
α>1.
6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．
解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.
答案：1
7．用三角函数线比较sin
1与cos
1的大小，结果是___________________________
________________________．
解析：如图，sin
1＝MP，cos
1＝OM.
显然MP>OM，即sin
1>cos
1.
答案：sin
1>cos
1
8．若θ∈，则sin
θ的取值范围是________．
解析：由图可知sin＝，
sin＝－1，－1＜sin
θ＜，
即sin
θ∈.
答案：
9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
解：(1)如图(1)所示，在单位圆中，，分别表示角的正弦线、余弦线、正切线．
(2)如图(2)所示，在单位圆中，，分别表示－角的正弦线、余弦线、正切线．
10．求下列函数的定义域．
(1)y＝lg.
(2)y＝.
解：(1)为使y＝lg有意义，则－sin
x>0，所以sin
x<，所以角x终边所在区域如图所示，
所以2kπ－所以原函数的定义域是
.
(2)为使y＝有意义，
则3tan
x－≥0，所以tan
x≥，
所以角x终边所在区域如图所示，
所以kπ＋≤x所以原函数的定义域是
.
层级二 应试能力达标
1．下列三个命题：
①与的正弦线相等；②与的正切线相等；
③与的余弦线相等．
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：选B 和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同．
2．若α是三角形的内角，且sin
α＋cos
α＝，则这个三角形是( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
解析：选D 当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin
α＋cos
α≥1，而sin
α＋cos
α＝，
∴α必为钝角．
3．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos
ααα
B．tan
ααα
C．sin
ααα
D．cos
ααα
解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出||<||<||，且都与坐标轴的正方向相同．即cos
ααα.
4．使sin
x≤cos
x成立的x的一个变化区间是( )
A.
B.
C.
D．[0，π]
解析：选A 如图，画出三角函数线sin
x＝，cos
x＝，由于sin＝cos，
sin
＝cos
，
为使sin
x≤cos
x成立，
则由图可得－≤x≤.
5．sin
，cos
，tan
从小到大的顺序是________．
解析：由图可知：
cos
<0，tan
>0，sin
>0.
∵||<||，且，与y轴正方向相同，
∴sin
.
故cos
.
答案：cos
6．若0<α<2π，且sin
α<，cos
α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪.
答案：∪
7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin
θ<－；(2)－≤cos
θ<.
解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即θ－＋2kπ<θ<－＋2kπ，k∈Z.
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
即θ2kπ－≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋，k∈Z.
8．若0<α<，证明：sin
α<αα.
证明：如图所示，连接AP，设弧AP的长为l，
∵S△OAP∴|OA|·|MP|∴|MP|∴sin
α<αα.课时跟踪检测（十）
余弦函数的图象与性质
层级一 学业水平达标
1．函数y＝3cos的最小正周期为( )
A.
π
B.
π
C．2π
D．5π
解析：选D T＝＝5π，因此选D.
2．函数y＝sin，x∈R在( )
A.
上是增函数
B．[0，π]上是减函数
C．[－π，0]上是减函数
D．[－π，π]上是减函数
解析：选B y＝sin＝cos
x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.
3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析：选C y＝cos(2x＋1)＝cos，所以y＝cos
2x的图象向左平移个单位长度得y＝cos(2x＋1)的图象．
4．函数＝1＋cos
x的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线x＝对称
解析：选B y＝1＋cos
x＝1＋cos(－x)，
∴y＝1＋cos
x是偶函数，即该函数的图象关于y轴对称．
5．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选C 由于y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos，为
得到该函数的图象，只需将y＝cos
2x的图象向右平移个单位长度．
6．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时，函数取得最大值．
解析：y＝3cos(π－x)＝－3cos
x，当cos
x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3.
答案：2kπ＋π，k∈Z
7．函数 (x)＝3cos(ω＞0)的最小正周期为，则 (π)＝________.
解析：由已知＝得ω＝3，
∴ (x)＝3cos，∴ (π)＝3cos
＝3cos＝－3cos＝－.
答案：－
8．函数y＝
的定义域是______________________________________．
解析：要使函数有意义，只需2cos
x－≥0，
即cos
x≥.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
9．画出函数y＝1＋2cos
2x，x∈[0，π]的简图，并求使y≥0成立的x的取值范围．
解：按五个关键点列表：
2x
0
π
2π
x
0
π
cos
2x
1
0
－1
0
1
1＋2cos
2x
3
1
－1
1
3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
令y＝0，即1＋2cos
2x＝0，则cos
2x＝－.
∵x∈[0，π]，∴2x∈[0,2π]．
从而2x＝或，∴x＝或.
由图可知，使y≥0成立的x的取值范围是
∪.
10．判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期和单调区间．
(1)y＝3cos
2x；(2)y＝cos.
解：(1)3cos
2(－x)＝3cos(－2x)＝cos
2x，
∴函数y＝3cos
2x是偶函数．
最小正周期T＝π，单调递增区间为(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
(2)函数y＝cos的周期为T＝＝，
∵f(x)＝y＝cos＝sinx，
∴f(－x)＝sin＝－sinx＝－f(x)．
∴y＝cos为奇函数．
递增区间为(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
层级二 应试能力达标
1．把函数y＝cos
x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin
2x
B．y＝cos
C．y＝cos
D．y＝cos
解析：选B y＝cos
x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos
2x的图象；
再把y＝cos
2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos
2＝cos的图象．
2．设函数f(x)＝cos
ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A.
B．3
C．6
D．9
解析：选C 将函数f(x)＝cos
ωx(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，得函数y＝cos＝cos的图象．
∵所得图象与原图象重合，
∴－＝2kπ，k∈Z.
∴ω＝－6k.
当k＝－1时，ωmin＝6.
3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f(2
017)＝( )
A．－1
B．1
C.
D．－
解析：选B 由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.由点(1,1)在函数图象上可得f(1)＝cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝cos，f(2
017)＝cos＝cos
506π＝cos(253×2π)＝1.
4．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3
B．－2
C．－1
D．－
解析：选C ∵＋＝，
∴y＝2sin－cos
＝2cos－cos
＝cos，∴ymin＝－1.
5．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝cos
x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．
答案：(－π，0]
6．已知函数y＝2cos，其中x∈，则该函数的值域为________．
解析：∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴≤cos≤1，∴1≤2cos≤2，故该函数的值域为[1,2]．
答案：[1,2]
7．求下列函数式的最值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1，x∈.
解：(1)∵－1≤cos≤1，
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1＝32－.
∵x∈，∴cos
x∈.
从而当cos
x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos
x＝，即x＝时，ymin＝－.
8．求函数y＝3－2cos的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x为何值时，y取最大值或最小值．
解：由于y＝cos
x的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)．
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝3－2cos的对称中心坐标为(k∈Z)，对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
因为当θ＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cos
θ取得最小值，
所以当2x－＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最小值1.
同理可得当x＝kπ＋(k∈Z)时，
y＝3－2cos取得最大值5.课时跟踪检测（十二）
已知三角函数值求角
层级一 学业水平达标
1．使arcsin(1－x)有意义的x的取值范围是( )
A．[1－π，1]
B．[0,2]
C．(－∞，1]
D．[－1,1]
解析：选B 由题知应有－1≤1－x≤1，∴0≤x≤2.
2．cos的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：选B ∵在上，arcsin
＝，
∴cos＝cos＝.
3．方程cos
x＋＝0，x∈[0,2π]的解集是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 在[0,2π]内，cos
＝cos
＝－cos
＝－.
4．若tan
α＝，且α∈，则α＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C ∵tan＝，又α∈，
∴α＝π＋＝.
5．已知sin
x＝－，x∈，则x等于( )
A．arcsin
B．π－arcsin
C．π＋arcsin
D.
－arcsin
解析：选C ∵x∈，∴x＝π＋arcsin
.
6．若sin(x－π)＝－，且－2π＜x≤0，则角x＝________.
解析：∵sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin
x＝－，
∴sin
x＝.∴x＝2kπ＋或2kπ＋π(k∈Z)．
又－2π答案：－π或－π
7．若α∈(0,2π)，tan
α＝1，cos
α＝－，则α＝________.
解析：由已知，得α是第三象限的角．又α∈(0,2π)，tan
＝1，cos
＝－，
∴α＝.
答案：
8．已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是________．
解析：∵arccos＝，
∴底角为＝.∴tan＝.
答案：
9．求方程tan
x＝－，x∈(－π，π)的解集．
解：∵tan＝－tan＝－，
tan＝－tan
＝－，
－，π－＝都在(－π，π)内，
∴方程tan
x＝－，x∈(－π，π)的解集为.
10．已知cos＝－，x∈[0,2π]，求x的集合．
解：令θ＝2x＋，∴cos
θ＝－.
当0≤θ≤π时，θ＝，
当π≤θ≤2π时，θ＝.
∴当x∈R时，θ＝∈R，
∴2x＋`＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)
.
又x∈[0,2π]，∴x∈.
层级二 应试能力达标
1．若tan
x＝0，则x等于( )
A．kπ，k∈Z
B．kπ＋，k∈Z
C．2kπ＋，k∈Z
D．2kπ－，k∈Z
解析：选A ∵tan
x＝0，∴x＝kπ＋arctan
0＝kπ，k∈Z.
2．若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值等于( )
A.
，
B．±
C．±
D．±
解析：选C 由cos(π－x)＝－cos
x＝得，cos
x＝－.又∵x∈(－π，π)，∴x在第二或第三象限，
∴x＝±.
3．已知sin
x＝－，且x∈，则x可以表示为( )
A．arcsin
B．－＋arcsin
C．－π＋arcsin
D．－π＋arcsin
解析：选D ∵x∈且sin
x＝－，
∴π＋x∈且sin(π＋x)＝.
∴π＋x＝arcsin，x＝－π＋arcsin.
4．若x∈，则使等式cos(πcos
x)＝0成立的x的值是( )
A.
B.
或
C.
或
D.
或或
解析：选D 由已知得πcos
x＝kπ±(k∈Z)，
∴cos
x＝k±(k∈Z)，而|cos
x|≤1，
故cos
x＝±.又x∈，∴x＝或或.
5．方程2cos＝1在区间(0，π)内的解是________．
解析：∵2cos＝1，∴cos＝.
∵x∈(0，π),
∴x－∈，
∴x－＝，∴x＝.
答案：
6．集合A＝，B＝，则A∩B＝________.
解析：∵sin
x＝，∴x＝2kπ＋或2kπ＋π，k∈Z.
又∵tan
x＝－，∴x＝kπ－，k∈Z.
∴A∩B＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝cos
ωx，g(x)＝sin(ω＞0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值．
解：因为g(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝cos
2x.
由f(α)＝，得cos
2α＝，
即cos
2α＝，所以2α＝2kπ±，k∈Z，
则α＝kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，
所以α∈.
8．若角A是△ABC的一个内角，且sin
A＋cos
A＝，求角A.
解：∵sin
A＋cos
A＝，①
∴(sin
A＋cos
A)2＝，
即sin
Acos
A＝－＜0.②
∴sin
A，cos
A异号．
又A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴sin
A＞0，cos
A＜0，
∴A为钝角．由①②知，
sin
A，cos
A是方程x2－x－＝0的两个根，
解得sin
A＝，cos
A＝－.
∴A＝arccos.课时跟踪检测（十七）
平面向量基本定理
层级一 学业水平达标
1．已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．任意实数
解析：选B ，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.
2．设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①与；②与；③与；④―与.
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．
3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝( )
A．(a－b)
B．(a＋b)
C．(b－a)
D．b＋a
解析：选B 如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝(＋)＝(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A．(e1＋e2)
B．(e1－e2)
C．(2e2－e1)
D．(e2－e1)
解析：选A 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
5．(全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为______．
解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝______.
解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或.
答案：－2或
8．如下图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为______，在以a，c为基底时，可表示为______．
解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．
答案：a＋b 2a＋c
9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－
＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
10．证明：三角形的三条中线共点．
证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，令＝a，＝b.则有＝b－a.
设G在AD上，且＝，则有＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
＝－＝b－a.
∴＝－＝－
＝(a＋b)－a＝b－a
＝＝.
∴G在BE上，同理可证＝，
即G在CF上．
故AD，BE，CF三线交于同一点．
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b)
B.a＋b
C.a＋b
D.(a＋b)
解析：选C ∵＝2，∴＝.
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A.
B.
C.
D．1
解析：选A ∵M为边BC上任意一点，
∴可设＝x＋y.(x＋y＝1)
∵N为AM的中点，
∴＝＝x＋y＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( )
A．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，则λ1＝λ2＝0
B．平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：选B A中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D中，λ1，λ2有且只有一对．
4．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ
(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0
D．2x＋y－2＝0
解析：选A 由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)
－λ.又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2.
5．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由解得
故e1＋e2＝＋
＝a＋b.
答案： －
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
解析：因为＝＋＝＋EB＝＋＋，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
答案：
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若
4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴ ∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴
故所求λ，μ的值分别为3和1.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ
＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)
＋λ λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y ＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线 课时跟踪检测（九）
正弦型函数y=
Asin
(ωx+φ）
层级一 学业水平达标
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin
x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度
D．向下平移个单位长度
解析：选B 将函数y＝sin
x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
解析：选A T＝＝＝6，
∵图象过(0,1)点，∴sin
φ＝.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
4．函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－
B．x＝
C．x＝－
D．x＝
解析：选C 由x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.
5．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－<0，
故可排除B、D；当x＝时，sin＝sin
0＝0，排除C.
6．将函数y＝sin
x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________.
解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y＝sin
x的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin
(x＋φ)的图象，而sin＝sin＝sin
，即φ＝.
答案：
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由题意设函数周期为T，
则＝－＝，∴T＝.
∴ω＝＝.
答案：
8．将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．
解析：y＝sin的图象y＝sin的图象．
答案：y＝sin
9．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin
x的图象相同，求f(x)的解析式．
解：反过来想，y＝sin
x
y＝sin
y＝sin，即f(x)＝sin.
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．
解：(1)由图象可知A＝2，＝－＝，
∴T＝，ω＝＝.
将N代入y＝2sin得，
2sin＝－2，
∴＋φ＝2kπ－，φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|＜π，∴φ＝－.
∴函数的解析式为y＝2sin.
(2)由(1)，知f(x)的最小正周期为＝8，频率为，振幅为2，初相为－.
层级二 应试能力达标
1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A.
，
B．2，
C.
，π
D．2，π
解析：选A 当t＝0时，θ＝sin
＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为，故选A.
2．要得到函数y＝sin
的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析：选B 由y＝sin＝sin
4得，只需将y＝sin
4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
3．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于点对称
解析：选A 依题意得T＝＝π，ω＝2，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，因此该函数的图象关于直线x＝对称，不关于点和点对称，也不关于直线x＝对称．故选A.
4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选D 将原函数图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象，再把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin的图象．
5．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
答案：伸长 3
6．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin
x的图象，则f＝________.
解析：将y＝sin
x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝.
答案：
7．求函数y＝sin图象的对称轴、对称中心．
解：令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．
即对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，如图所示．
(1)求出f(x)的解析式；
(2)若g(x)与f(x)的图象关于x＝2对称，求g(x)的解析式．
解：(1)由题图知A＝2，∵周期T＝8，
∴＝8，∴ω＝.∵点(－1,0)在图象上，
∴0＝2sin，
即sin＝0，∴φ＝.
∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)在y＝g(x)的图象上任取一点P(x，y)，则点P关于x＝2的对称点P′为(4－x，y)．又∵点P′在y＝f(x)的图象上，
∴y＝2sin
＝2sin
＝2sin.
∴g(x)的解析式为g(x)＝2sin.课时跟踪检测（六）
诱导公式（一、二、三）
层级一 学业水平达标
1．sin
600°的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D sin
600°＝sin(360°＋240°)＝sin
240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－.
2．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是( )
A.
B．－
C．－
D.
解析：选B 由题知，sin
α＝，所以sin(4π－α)＝－sin
α＝－.
3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：选C ∵r＝1，∴cos
θ＝－，
∴cos(π－θ)＝－cos
θ＝.
4．已知tan＝，则tan＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：选B tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.
5．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
A.
B.
C．－1
D．1
解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]
＝tan(π＋α)＝tan
α，∴tan
α＝m，
∴原式＝＝＝
＝，故选A.
6．求值：(1)cos
＝______；(2)tan(－855°)＝______.
解析：(1)cos
＝cos＝cos
＝cos＝－cos
＝－.
(2)tan(－855°)＝－tan
855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan
135°＝－tan(180°－45°)＝tan
45°＝1.
答案：(1)－ (2)1
7．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．
解析：sin(π－α)＝sin
α＝log8＝－，
又α∈，
所以cos
α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan
α＝－＝.
答案：
8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________.
解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
答案：
9．求下列各三角函数值：
(1)sin；(2)cos；(3)tan.
解：(1)sin＝sin＝sin
＝sin＝－sin＝－.
(2)cos＝cos＝cos＝cos＝.
(3)tan＝tan＝tan＝.
10．若cos
α＝，α是第四象限角，
求的值．
解：由已知cos
α＝，
α是第四象限角得sin
α＝－，
故
＝＝.
层级二 应试能力达标
1．已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )
A.
B．－
C．±
D.
解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos
α，∴cos
α＝.
∵α是第一象限角，∴sin
α>0，
∴sin
α＝＝
＝.
∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin
α＝－.
2．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2
015)＝5，则f(2
016)等于( )
A．4
B．3
C．－5
D．5
解析：选C ∵f(2
015)＝asin(2
015π＋α)＋bcos(2
015π＋β)＝－asin
α－bcos
β＝5，∴f(2
016)＝asin(2
016π＋α)＋bcos(2
016π＋β)＝asin
α＋bcos
β＝－5.
3．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是( )
A．sin
α＝sin
β
B．cos
α＝cos
β
C．tan
α＝tan
β
D．sin
α＝－sin
β
解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y轴对称，
∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，
∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z，
∴sin
α＝sin
β.
法二：设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则sin
α＝sin
β＝.
4．下列三角函数式：①sin；②cos；③sin；④cos；
⑤sin.
其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是( )
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①③⑤
解析：选C ①中sin＝sin≠sin；②中，cos＝cos＝sin；③中，sin＝sin；④中，cos＝cos＝－cos≠sin；⑤中，sin＝sin＝－sin＝sin.
5．化简：的值是________．
解析：原式＝
＝＝
＝＝＝－2.
答案：－2
6．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
解析：因为f＝sin
＝sin＝sin＝；
f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－.
所以f＋f＝－2.
答案：－2
7．计算与化简
(1)；
(2)sin
420°cos
330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝＝＝tan
θ.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)
＝sin
60°cos
30°＋sin
30°cos
60°＝×＋×＝1.
8．已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，
得(4＋2)tan
θ＝2＋2，
所以tan
θ＝＝，
故原式＝(cos2θ＋sin
θcos
θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan
θ＋2tan2θ
＝1＋＋2×2
＝2＋.课时跟踪检测（二十七）
半角的正弦、余弦和正切
层级一 学业水平达标
1．已知cos
θ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.又cos
θ＝－，所以cos＝
＝
＝，故选B.
2．已知α∈，cos
α＝，则tan＝( )
A．3
B．－3
C.
D．－
解析：选D 因为α∈，且cos
α＝，所以∈，tan＝－
＝－
＝－，故选D.
3．若α∈，则
－
等于( )
A．cos
α－sin
α
B．cos
α＋sin
α
C．－cos
α＋sin
α
D．－cos
α－sin
α
解析：选B ∵α∈，∴sin
α<0，cos
α>0，则－＝－
＝|cos
α|－|sin
α|＝cos
α－(－sin
α)＝cos
α＋sin
α.
4．已知sin
α＋cos
α＝，则2cos2－1＝( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：选C ∵sin
α＋cos
α＝，
平方可得1＋sin
2α＝，可得sin
2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin
2α＝－.
5．函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为( )
A．π，1
B．π，
C．2π，1
D．2π，
解析：选A ∵y＝sin＋cos
＝＋
＝cos
2x，
∴该函数的最小正周期为π，最大值为1.
6．若sin＋2cos＝0，则tan
θ＝________.
解析：由sin＋2cos＝0，得tan＝－2，
则tan
θ＝＝.
答案：
7．若3sin
x－cos
x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.
解析：∵3sin
x－cos
x
＝2＝2sin，
因φ∈(－π，π)，∴φ＝－.
答案：－
8．函数y＝sin
2x＋cos2x的最小正周期为________．
解析：y＝sin
2x＋cos2x＝sin
2x＋＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.
答案：π
9．求证：＝sin
2α.
证明：∵左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan
α＝cos
αsin
α＝sin
2α＝右边，
∴原式成立．
10．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x
＝cos
2xsin
2x＋cos
4x
＝(sin
4x＋cos
4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，
所以sin＝1，
因为α∈，
所以4α＋∈.
所以4α＋＝，故α＝.
层级二 应试能力达标
1．已知2sin
α＝1＋cos
α，则tan＝( )
A.
B.
或不存在
C．2
D．2或不存在
解析：选B 由2sin
α＝1＋cos
α，即4sin
cos
＝2cos2，
当cos＝0时，则tan不存在；
当cos≠0时，则tan＝.
2．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c
B．aC．aD．b解析：选C a＝sin
30°cos
6°－cos
30°sin
6°＝sin
24°，b＝sin
26°，c＝sin
25°，∴a3．化简2＋2sin2得( )
A．2＋sin
α
B．2＋sin
C．2
D．2＋sin
解析：选C 原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sin
α－cos＝2＋sin
α－sin
α＝2.
4．已知cos·cos＝，θ∈，则sin
θ＋cos
θ的值是( )
A.
B．－
C．－
D.
解析：选C cos·cos
＝sincos＝sin
＝cos
2θ＝.
∴cos
2θ＝.
∵θ∈，∴2θ∈，
∴sin
2θ＝－，且sin
θ＋cos
θ<0.
∴(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋sin
2θ＝1－＝.
∴sin
θ＋cos
θ＝－.
5．设α为第四象限角，且＝，则tan
2α＝________.
解析：＝
＝＝2cos
2α＋1＝，
所以cos
2α＝，
又α是第四象限角，所以sin
2α＝－，tan
2α＝－.
答案：－
6．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．
解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B
＝(1＋cos
2A＋1＋cos
2B)
＝1＋(cos
2A＋cos
2B)
＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)
＝1＋coscos(A－B)
＝1－cos(A－B)，∴当cos(A－B)＝－1时，
原式取得最大值；
当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.
答案：
7．化简：(0<α<π)．
解：∵tan＝，∴(1＋cos
α)tan＝sin
α.
又∵cos＝－sin
α，且1－cos
α＝2sin2，
∴原式＝＝
＝－.
∵0<α<π，∴0<<，∴sin>0.
∴原式＝－2cos.
8．已知cos
2θ＝，<θ<π，
(1)求tan
θ的值．
(2)求的值．
解：(1)因为cos
2θ＝，
所以＝，所以＝，
解得tan
θ＝±，
因为<θ<π，所以tan
θ＝－.
(2)＝，
因为<θ<π，tan
θ＝－，
所以sin
θ＝，cos
θ＝－，
所以＝
＝＝－4.课时跟踪检测（二十一）
向量数量积的坐标运算与度量公式
层级一 学业水平达标
1．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A．
B．3
C．－
D．－3
解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A．
B．
C．2
D．10
解析：选B 由a⊥b得a·b＝0，
∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，
∴|a＋b|＝＝.
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
解析：选D 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.
5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
解析：选A 由题设知＝(8，－4)，
＝(2,4)，＝(－6,8)，∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.
∴∠BAC＝90°，
故△ABC是直角三角形．
6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
解析：a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－，则a＝(1，－1)，故|a|＝.
答案：
7．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，
∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，
∴cos
θ＝＝，
∴θ＝.
答案：
8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则向量b的坐标为________．
解析：设b＝(x，y)(y≠0)，则依题意有解得故b＝.
答案：
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
层级二 应试能力达标
1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．a－b与b垂直
D．a∥b
解析：选C 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，
故a－b与b垂直．
2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
解析：选C 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．
3．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞.
4．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥
(O为坐标原点)，则点C的坐标是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B 设C(x，y)，则＝(x，y)．
又＝(－3,1)，
∴＝－＝(x＋3，y－1)．
∵∥，
∴5(x＋3)－0·(y－1)＝0，
∴x＝－3.
∵＝(0,5)，
∴＝－＝(x，y－5)，＝－＝(3,4)．
∵⊥，∴3x＋4(y－5)＝0，∴y＝，
∴C点的坐标是.
5．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：因为向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以＝，即＝，所以＝，
解得m＝2.
答案：2
6．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为______．
解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，
设E(1，a)(0≤a≤1)．
所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，
·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，
故·的最大值为1.
答案：1 1
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得
解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos
θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
8．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ
(λ2≠λ)．
(1)求·及在上的射影的数量；
(2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；
(3)求||的最小值．
解：(1)·＝8，设与的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∴在上的射影的数量为||cos
θ＝4×＝2.
(2)＝－＝(－2,2)，＝－＝(1－λ)·－(1－λ)＝(λ－1)，所以A，B，C三点共线．
当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)·＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，
∴当λ＝时，||取到最小值，为2.课时跟踪检测（十六）
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
层级一 学业水平达标
1．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN等于( )
A．1
B．2
C．－7
D．1或－7
解析：选D |MN|＝|xN－(－3)|＝4，
∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则( )
A．＝
B．＝2
C．＝3
D．2＝
解析：选A ∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，从而＝.
3．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
解析：选C ∵＝2－，∴－＝－，
∴＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C.
4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，又＝t，∴t＝.
5．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则实数λ的值为( )
A．
B．－
C．1
D．－1
解析：选B 设a＝kb(k∈R)，
则2e1－e2＝ke1＋kλe2.
∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－.
6．在数轴x上，已知＝－3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量AB―→的坐标为________．
解析：由＝－3e，得点A的坐标为－3，
则AB＝3－(－3)＝6，即的坐标为6.
答案：6
7．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.
答案：①②③
8．已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为________．
解析：设点M，N的坐标分别为x1，x2，∵点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，∴解得故点N的坐标为11.
答案：11
9．已知数轴上A，B，C三点．
(1)若AB＝2，BC＝3，求向量AC―→的坐标；
(2)若AB＝BC，求证：B是AC的中点．
解：(1)AC＝AB＋BC＝5，即向量AC―→的坐标为5.
(2)∵AB＝BC，∴b－a＝c－b，
∴b＝，故B是AC的中点．
10．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
证明：如图所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
层级二 应试能力达标
1．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
解析：选B ＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，由于与有公共点B，因此A，B，D三点共线．
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C．a＋b
D．a＋b
解析：选A 由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
3．已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )
A．λ1＝λ2＝1
B．λ1＝λ2＝－1
C．λ1λ2＝1
D．λ1＋λ2＝1
解析：选C ∵A，B，C三点共线，∴＝k
(k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b不共线，
∴∴λ1λ2＝1.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为( )
A．2
B.
C．3
D．6
解析：选C 如图，取BC的中点为D，
则＋＝2.
又＋＋＝0，
∴2＝－，∴A、P、D三点共线且||＝2||，
∴＝
.
又∵＋＝2，∴＋＝3，即λ＝3.
5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为a与b不共线，所以
解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝______.
解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
7．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若AC＝5，求c的值；
(2)若|BD|＝6，求d的值；
(3)若＝－3，求证：3＝－4.
解：(1)∵AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.
(2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
∴d＝4或d＝－8.
(3)证明：∵＝c＋4，＝d＋4，
又＝－3，∴c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.
3＝3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，
－4＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，
∴3＝－4.
8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量
，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中点，则有＝(＋)，
从而＝2－＝2a－b.
由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝，
从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由于C，E，D三点共线，则＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
从而(2－λ)a－b＝μ，
又a，b不共线，则解得λ＝.课时跟踪检测（二十）
向量数量积的物理背景与定义
向量数量积的运算律
层级一 学业水平达标
1．已知 ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：选D 如图，与的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cos
θ＝4cos
θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6
B．6
C．3
D．－3
解析：选B ∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝( )
A．37
B．13
C．
D．
解析：选C |a＋b|＝＝
＝＝.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．等腰梯形
解析：选B ∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋7×cos
60°－2＝－.
答案：－
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos
60°＝，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝，
且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的正射影的数量为|a|cos
θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos
θ＝－1.
∴cos
θ＝－，
∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
层级二 应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为( )
A．2
B．2
C．6
D．12
解析：选B |m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝2.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
解析：选D 法一：因为cos
A＝，故·＝||·||cos
A＝||2＝16，故选D.
法二：在
上的投影为||cos
A＝||，故·＝||||cos
A＝||2＝16，故选D.
3．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D 由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝( )
A．－3
B．0
C．－1
D．1
解析：选C ·＝·(－)
＝·－||2＋||2
＝×2×2×cos
60°－22＋×22＝－1.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的正射影的数量等于________．
解析：·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的正射影的数量是|b|cos
45°＝×＝1.
答案： 1
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，
∴|b|＝.
∵a·b＝，
∴|a|·|b|cos
θ＝，
∴cos
θ＝，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cos
θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
8．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝.
(1)求a与b夹角的大小．
(2)求a＋b与b夹角的大小．
(3)求的值．
解：(1)设a与b的夹角为θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝，
所以|a||b|cos
θ＝，即cos
θ＝.
又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.
(2)设a＋b与b的夹角为α，
因为(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋＝，
|a＋b|＝＝，|b|＝1，
所以cos
α＝＝＝，
又α∈[0，π]，所以a＋b与b的夹角为.
(3)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
(3a－b)2＝9|a|2－6a·b＋|b|2＝9－3＋1＝7，所以＝＝.课时跟踪检测（十五）
向量的减法
数乘向量
层级一 学业水平达标
1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( )
A．5e
B．－5e
C．23e
D．－23e
解析：选C 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )
A．0
B．1
C.
D．2
解析：选B |－|＝|＋|＝|
|＝1.
3．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
解析：选C ＝－.根据三角形法则，
当，共线且同向时，||＝3；
当，共线且反向时，||＝13；
当，不共线时，3＜||＜13.
故||∈[3,13]．
4．已知一点O到 ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
解析：选B 如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
5．下列各式能化简为的个数是( )
①(－)－
②－(＋)
③－(＋)－(＋)
④－－＋
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C ①中，(－)－＝＋＋＝＋＝；
②中，－(＋)＝－0＝；
③中，－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；
④中，－－＋＝＋＋＝＋2.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
8.如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b)表示．
解析：＝＋＝－＝－
＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．
答案：(b－a)
9．化简：
(1)－＋－；
(2)
＋＋－.
解：(1)
－＋－
＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2)
＋＋－＝(＋)＋(－)
＝＋＝0.
10．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
层级二 应试能力达标
1．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C ∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，
∴|－|＝|＋|，如图．
即 ABCD的对角线相等，
∴ ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.
2．如图所示向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
解析：选A ∵＝－3，
∴＝－2＝2.
∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：选B 如图，设菱形对角线交点为O，
∵＋＝＋＝，
∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2，
∴OB＝1.在Rt△AOB中，
||＝＝，
∴||＝2||＝2.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D ∵＝－，∴＋＋＝－，即2＋＝0，即＝2，故＝，
∴P是AC边的一个三等分点．
5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
解析：＝＝＝－＝b－c.
答案：b－c
6．对于向量a，b，当且仅当_______________________________________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
7.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1)
；(2)
；(3)
＋＋.
解：(1)
＝－＝c－a.
(2)
＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3)
＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.
解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且|
|＝2，所以|a－b＋c|＝2.