第2章 四边形 单元检测基础卷（含解析）

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第2章四边形单元检测基础卷
　班级__________姓名____________总分___________
一．选择题（共12小题，每题4分，共48分）
1．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．若一个多边形共有9条对角线，则它是（　　）边形．
A．五 B．六 C．七 D．八
3．一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（　　）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
4．在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（　　）
A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形
5．如图，在平行四边形ABCD中，都不一定 成立的是（　　）
①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．
A．①和④ B．②和③ C．③和④ D．②和④
6．下列英语单词中，是中心对称图形的是（　　）
A．SOS B．CEO C．MBA D．SAR
7．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+∠C，则BC+2AE等于（　　）
A．AB B．AC C．AB D．AC
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
9．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
10．下列性质中，菱形对角线不具有的是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等 D．对角线互相平分
11．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（　　）
A．对角线互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线相等且互相垂直的四边形
12．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
13．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为　 　．
14．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=　 　度．
15．如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B=40°，则∠D的度数为　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=3cm，则EF=　 　cm．
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P是BC边上任意一点（B、C除外）PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为　 　．
18．如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是　 　．
　
三．解答题（共8小题,共78分）
19．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．
20．如图所示，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：BE=DF．
21．如图，在 ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．
（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；
（2）求△ACE的面积．
22．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
24．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
26．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．
解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，
则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．
故选A．
　
2．若一个多边形共有9条对角线，则它是（　　）边形．
A．五 B．六 C．七 D．八
【分析】根据多边形的对角线公式，列出方程求解即可．
解：设这个多边形是n边形，则=9，
∴n2﹣3n﹣9=0，
（n﹣6）（n+3）=0，
解得n=6，n=﹣3（舍去）．
故选B．
　
3．一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（　　）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．
解：∵一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°．
故选D．
　
4．在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（　　）
A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
解：A、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，由于90°+2×135°=360°，故能铺满；
B、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
C、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于60×4+120=360，故能铺满；
D、正三角形、正方形内角分别为60°、90°，由于60×3+90×2=360，故能铺满．
故选B．
　
5．如图，在平行四边形ABCD中，都不一定 成立的是（　　）
①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．
A．①和④ B．②和③ C．③和④ D．②和④
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得①和③正确，然后利用排除法即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，故①成立；
AD∥BC，故③成立；
利用排除法可得②与④不一定成立，
∵当四边形是菱形时，②和④成立．
故选D．
　
6．下列英语单词中，是中心对称图形的是（　　）
A．SOS B．CEO C．MBA D．SAR
【分析】把一个图形绕一点旋转180度，能够与原图形重合，则这个点就叫做对称点，这个图形就是中心对称图形，依据定义即可解决．
解：是中心对称图形的是A，故选A．
　
7．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+∠C，则BC+2AE等于（　　）
A．AB B．AC C．AB D．AC
【分析】如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC=∠DEF．由三角形中位线的性质得到EF=AE．则由平行线的性质和邻补角的定义得到∠DEF=∠BFC=90°﹣∠C，即
∠FBC=∠BFC，等角对等边得到BC=FC，故BC+2AE=AC．
解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC=∠DEF．
又∵点D是AB的中点，
∴EF=AE．
∵∠DEF=∠BFC=180°﹣∠AED=180°﹣（90°+∠C）=90°﹣∠C，
∴∠FBC=∠BFC，
∴BC=FC，
∴BC+2AE=AC．
故选B．
　
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
【分析】根据矩形的性质推出即可．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D正确，选项C错误；
故选C．
　
9．如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．
解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AO=BO，
∴OA=OC=OB=OD，
即AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
故选B．
　
10．下列性质中，菱形对角线不具有的是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【分析】由菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形对角线所在直线是对称轴，继而求得答案．
解：∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分，
∴对角线所在直线是对称轴．
故A，B，D正确，C错误．
故选C．
　
11．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（　　）
A．对角线互相平分的四边形
B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线相等且互相垂直的四边形
【分析】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．
解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有B能判定为是菱形，
故选B．
　
12．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个
【分析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
解：无穷多个．如图正方形ABCD：
AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，
有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
则EH=HG=GF=FE，
另外 很容易得四个角均为90°
则四边形EHGF为正方形．
故选D．
　
二．填空题（共6小题）
13．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为　15，16，17　．
【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论．
解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2） 180°=2520°，
解得n=16，
∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，
∴原多边形的边数是15，16，17．
故答案为：15，16，17．
　
14．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=　35　度．
【分析】根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣125°=55°，
∵CE⊥AB，
∴在Rt△BCE中，∠BCE=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°．
故答案为：35．
　
15．如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B=40°，则∠D的度数为　40°　．
【分析】利用中心对称图形的性质得出△ABO≌△COD，得出∠B=∠D，进而得出答案．
解：∵线段AB和CD关于点O中心对称，∠B=40°，
∴△ABO≌△COD，
∴∠B=∠D，
∴∠D的度数为40°．
故答案为：40°．
　
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=3cm，则EF=　3　cm．
【分析】首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=6cm，再根据中位线的性质可得EF=AB=3cm．
解：∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴AB=2CD，
∵CD=3cm，
∴AB=6cm，
∵E、F分别是BC、CA的中点，
∴EF=AB=3cm，
故答案为：3．
　
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P是BC边上任意一点（B、C除外）PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为　4.8　．
【分析】连接AP，先由勾股定理求出BC，再证明四边形AEPF是矩形，得出对角线相等EF=AP，然后由AP⊥BC时，AP最小，根据面积求出AP即可．
解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
当AP⊥BC时，AP最小，
此时∵BC AP=AB AC，
∴AP===4.8，
∴EF的最小值为4.8；
故答案为：4.8．
　
18．如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是　　．
【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=60°，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．
解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=60°，
过A作AE⊥BC于E，则AE=1，
设BE=x，
∵∠ABE=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2x，
在△ABE中，∠AEB=90°，由勾股定理解得：x=，
∴AB=BC=，
∴重叠部分的面积是：×1=．
故答案为：．
　
三．解答题（共8小题）
19．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°与外角和定理列出方程，求解即可．
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
解得n=7．
所以这个多边形的内角和为：（7﹣2） 180°=900°．
　
20．如图所示，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：BE=DF．
【分析】由在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，利用AAS，易证得△ABE≌△CDF，然后由全等三角形的性质，证得结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF．
　
21．如图，在 ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．
（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；
（2）求△ACE的面积．
【分析】（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；
（2）首先由三线合一，求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．
解：（1）如图，连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．
理由如下：
∵BD、AC是 ABCD的对角线，
∴点O是AC的中点，
∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，
∴AE=BO，AO=BE，
∵AB=BA，
∴△ABO≌△BAE（SSS），
∴∠ABO=∠BAE，
△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，
∵∠BAC=∠ABC，
∴∠EAC=∠OBC，
由可得△AFC≌BFC（SAS）
∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，
所以CH是△ABC的高；
（2）∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，
∴AH=AB=3，
∴CH==4，
∴S△ABC=AB CH=×6×4=12，
∵AE是△ABC的中线，
∴S△ACE=S△ABC=6．
　
22．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
（1）证明：∵AN平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵BN⊥AN
∴∠ANB=∠AND=90°
在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN=DN．
（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴CD=2MN=6，
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
　
23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
【分析】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；
（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
（2）连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由（1）知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴（6﹣x）2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
　
24．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；
（2）当α=180°时，DF=BF．
（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．
（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（2）解：图形（即反例）如图2，
（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；
即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．
　
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；
（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．
（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC DF=×4×5=10．
　
26．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
　
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