北师大版数学八下1.1 等腰三角形(课件+教案+课时训练)

第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【知识与技能】
能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.
【过程与方法】
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.
【情感态度】
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.
【教学重点】
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.
【教学难点】
明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.
一.情景导入，初步认知
提前请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备.
二.思考探究，获取新知
1.你能用所学知识证明吗？
已知：△ABC与△DEF，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，
∴∠C=∠F（等量代换）.又BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
【归纳结论】
1.两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；
2.根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？
【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察.探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.
【归纳结论】
（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合.
三.运用新知，深化理解
1.在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝50°，求∠B、∠C的度数
分析： 根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于
180°来计算.
解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C.（等边对等角）
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°,
∴∠B＝∠C＝65°.
2.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.
猜想：AE⊥BC，BD＝CD.
证明：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO＝∠CAO.
∴AE为∠BAC的平分线.
∴AE⊥BC，BD=CD.
3.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．
证明：（1）∵在△ADE与△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,
∴△ADE≌△CBF（SSS）.
∴∠D=∠B
（2）∵△ADE≌△CBF,
∴∠AED=∠CFB,
∴∠AEO=∠CFO.
∵在△AOE与△COF中, ∠AEO=∠CFO,
∴AE∥CF.
4.如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC,∠BAC = 100°.求∠1、∠3、∠B的度数.
解：∵在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,∴∠1=∠BAC=50°.
又∵AD⊥BC,∴∠3=90°.
在△ABC中,AB = AC,∴∠B=∠C=40°.
【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书过程.
四.师生互动,课堂小结
1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题.
2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合.
布置作业:教材“习题1.1”中第1、3题.
在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生注意其证明过程的书写是否规范.其后，教师作补充强调.
第2课时 等边三角形的性质
【知识与技能】
进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性
【过程与方法】
把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处.
【情感态度】
体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性
【教学重点】
等腰三角形、等边三角形的相关性质.
【教学难点】
等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用.
一.情景导入，初步认知
在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？
【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习兴趣.
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.
【归纳结论】
等腰三角形两个底角的平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，的证明方法：
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BD、CE为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
你能证明其它两个结论吗？
探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：在△ABC中，AB=BC=AC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．
同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A=∠B=∠C＝60°
【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论.
三.运用新知，深化理解
1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.
∴∠ABE=∠CBD=60°,
AB=CB, BE=BD.
在△ABE与△CBD中,
AB=CB,
∠ABE=∠CBD,
BE=BD.
∴△ABE≌△CBD(SAS).
∴AE=CD.
2.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF
证明：∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵ED⊥BC,
∴∠B+∠BFD=90°,
∠C+∠E=90°,
∵∠BFD=∠EFA,
∴∠B+∠EFA=90°,
∵∠C+∠E=90°,
∠B=∠C,
∴∠EFA=∠E,
∴AE=AF.
3.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.
解：∵AD=DC，
∴∠ACD=∠A=20°,
∵∠ACD∶∠BCD=2∶3,
∴∠BCD=30°,
∴∠ACB=50°,
∴∠ABC=110°.
【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性质进行综合应用，在书写过程中掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式
四.师生互动，课堂小结
掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高），两底角的平分线相等，等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
布置作业:教材“习题1.2”中第2、3 题.
在探究时，对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明.
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
【知识与技能】
探索等腰三角形判定定理,掌握反证法.
【过程与方法】
理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
【情感态度】
培养学生的逆向思维能力.
【教学重点】
理解等腰三角形的判定定理.
【教学难点】
了解反证法的基本证明思路，并能简单应用
一.情景导入，初步认知
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进行交流.
二.思考探究，获取新知
1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）
2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°, “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．
引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢?
【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．
【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解.
三.运用新知，深化理解
1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．
∴AB=AC(等角对等边)．
2.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
解：∵BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，
∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD.
∵MN∥BC,
∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD.
∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD.
∴MB=MD,NC=ND.
∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC
=(AM+MB)+(AN+NC) =AB+AC=30.
3.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE.求证：△ABC是等腰三角形.
解：∵S△ABC=(AB·CE)=(AC·BD)且BD = CE，
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
4.如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形.
证明：∵AB = AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠E，∠D=∠C.
∴∠D=∠E.
∴△ADE是等腰三角形.
5.垂直于同一条直线的两条直线平行.
证明：假设a、b 不平行，那么a、b 相交
∵a⊥c，b⊥c
∴∠1=900，∠2=900
∴ ∠1+∠2=180°
而a、b相交，则∠1+∠2≠180°与∠1+∠2=180°相矛盾.
∴假设不成立.
即：垂直于同一条直线的两条直线平行
【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流,培养学生应用知识解决问题的能力.
四.师生互动，课堂小结
结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质的判定的区别和联系．
举例谈谈用反证法说理的基本思路.布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、3 题.
通过学生的练习，发现学生对等腰三角形的判定定理掌握的较好，而用反证法证明定理的应用掌握不够好，应在这方面多加练习讲解.
第4课时 等边三角形的判定
【知识与技能】
理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.
【过程与方法】
经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.
【情感态度】
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【教学重点】
等边三角形判定定理的发现与证明.
【教学难点】
了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
一.情景导入，初步认知
1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？
2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？
【教学说明】开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.
二.思考探究，获取新知
1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结.
2.用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?
在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．
【教学说明】学生通过动手操作、观察，找出一些线段存在相等关系.从而得出结论，并加深印象.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【归纳结论】1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一角是60°的等腰三角形是等边三角形.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P11例3
2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=BD．
又∵BC=AB，∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
3.如图，△ABC是等边三角形，BD = CE，∠1 =∠2.求证：△ADE是等边三角形
证明：∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC.
在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠1 =∠2,BD = CE,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴∠EAD=∠BAC=60°,EA=DA.
∴△ADE是等边三角形(有一角是60°的等腰三角形是等边三角形).
4.如图，在Rt△ABC中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求DC的长.
解：在Rt△ABC，∠B = 30°
∵BD = AD
∴∠B =∠BAD= 30°
∴∠ADC=60°.
∵∠C=90°,
∴∠DAC=30°.
在Rt△ADC中,∠DAC=30°
∴CD=AD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵BD = AD=12,
∴CD=6.
【教学说明】变式训练,巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有关性质.
四.师生互动，课堂小结
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.
布置作业:教材“习题1.4”中第3、5题.
通过反复练习，学生对本节课的知识掌握的较好，就是几何过程不够严密，有待加强.
三角形的证明
1. 等腰三角形（一）
课　　题
1.1　等腰三角形（一）
第1课时
共3课时
教　　学
目　　标
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
重　　点
了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
难　　点
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学过程：
一、复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
二、新课讲解：
在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
本套教材选用如下命题作为公理:
1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
3．两边夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）
4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）
5．三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）
6．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
证明过程：
已知：∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF。
求证：△ABC≌△DEF。
证明：∵∠A＝∠D，∠B＝∠E（已知），
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠D+∠E+∠F＝180°
（三角形内角和等于180°），
∴∠C＝180°－（∠A+∠B）
∠F＝180°－（∠D+∠E）
∴∠C＝∠F（等量代换）
∵BC＝EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
三、议一议：
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
定理：等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角。
已知：如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C。
证明：取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC△≌△ACD（SSS）。
∴∠B＝∠C。（全等三角形的对应边角相等）
四、想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。
推论　等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
五、随堂练习：
做教科书第1，2题。
六、课堂小结：
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。
七、课外作业：
教科书第1，2题。
板书设计
§1.1　等腰三角形（一）
公理：SAS
ASA
SSS
推论：AAS
三线合一
定理：等腰三角形的两个底角相等。
（证明过程）
第一章 三角形的证明
课　　题
1.1　等腰三角形（三）
第3课时
共3课时
教　　学
目　　标
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。
重　　点
等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
难　　点
能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教学过程：
一、定理：一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。
学生积极地自主探索、思考等腰三角形成为等边三角形的条件。可能会从边和角两个角度给出答案。
2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗?组织学生交流自己的想法。渗透分类讨论的思维方法。
学生积极思考，通过老师的点拨，分类讨论当这个角分别是底角和顶角的情况。
3．关注学生得出证明思路的过程，讲评。讲解定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
学生认真听讲，体会分类讨论的数学思维方法，理解定理。
二、一种特殊直角三角形的性质
1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：能拼成一个怎样的三角形?能否拼出一个等边三角形?并说明理由。
学生积极动手操作，并很快得到结果：可以拼出等边三角形。
2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
学生在拼摆的基础上继续探索，得出结论。并在探索的过程中得到证明的思路。
3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。
学生认真听讲，体会从探索和尝试中得到结论的过程和证明方法的步骤，掌握定理。
4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。
学生折叠纸片，体会定理的应用。
5．讲解P15例题，应用定理。
学生听讲，体会定理的应用。
6．布置学生做练习。
练习：课本12页　随堂练习1
学生认真做练习。
三、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？
（学生小结：掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）
四、作业：
1、基础作业：　习题1.3　1、2、3题
2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：　读一读　“勾股定理的证明”
板书设计
§1.1、等腰三角形（三）
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
第一章 三角形的证明
课　　题
1.1、等腰三角形（二）
第2课时
共3课时
教　　学
目　　标
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
重　　点
等腰三角形的关性质定理和判定定理。
难　　点
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学过程：
一、等腰三角形性质的探究
1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。
积极思考，回忆以前所学知识，联想新问题。
2．结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔。
3．图中，∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，k＝，时，BD是否与CE相等。引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。
基于前面例题的启发，想要给出证明。一部分学生可以自己给出证明，一部分学生需要老师的帮助。
4．引导学生探究，对于上述例题，当AD＝AC，AE＝AB，k＝，时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程。
在已经探究了角的大小的改变对于BD，CE的等长性没有影响，有了一些成就感之后，又面临新的任务：BD＝CE吗?因此学生会满怀热情地进行这部分探究活动，而且有了前面的体验，探究也会比较顺利。
5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?要求学生说明理由或给出证明。
6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明。
7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。适时地引导学生思考可以用哪些方法证明?培养学生的推理能力。
8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。
9．启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?如果成立，能否证明。这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。
可以从直观上得出结论，但是此处要求证明，体会到证明的必要性。
10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。
11．小结这两个课时的内容。
（掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。等腰三角形的判定定理。了解反证法的推理方法。）
作业：
1、基础作业：习题1.2　1、2、3。
2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：做一做
板书设计
§1.1　等腰三角形（二）
探索——发现——猜想——证明
证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等
等腰三角形的判定定理
了解反证法的推理方法
1.1 等腰三角形
【基础练习】
一、填空题：
1.△ABC中，AB = AC, ∠A = 36°, BD是∠B的平分线，则图
中共有 个等腰三角形；
2.如图1-6，在等边△ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，
且BD = CE, AD、BE相交于点P. 则∠APE = °.
二、选择题：
1.如图1-7，△ABC中，AB = AC, AD = AE, ∠BAD = 30°, 则
∠EDC的度数为（ ）；
A. 10° B. 12.5°
C. 15° D. 18°
2.如图1-8，△PAB与△PDC是两个全等的等边三角形，且
PA⊥PD, 有下列四个结论：①∠PBC = 15°；② AD∥BC；
③ 直线PC与AB垂直；④ 四边形ABCD是轴对称图形.
其中正确结论的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
三、解答题：
如图1-9，C是线段AB上的一点，在AB的同侧作等边
△ACD和等边△CBE. F、G分别是AE、BD的中点.
求证：△CFG是等边三角形.
【综合练习】
如图1-10，已知A、D两点分别是正△DEF、正△ABC的中心,连接AD，延长AD交BC于M, 延长DA交EF于N..G是DF与AB的交点，H是DE与AC的交点，连接GH. 请写出三个不同类型的、须经过两步推理才能得到的正确结论，并给出证明.
【探究练习】
设P为等边△ABC所在平面上的一点，试找出使△PAB 、△PBC、△PCA
均为等腰三角形的所有符合条件的点P..
练习二
【基础练习】 一、1. 3； 2. 60°. 二、1. C；2. D. 三、提示：先证△ACE ≌△DCB, 再证
△ACF ≌△BCG.
【综合练习】∠GAM = 30°；DF∥AC；MN⊥GH；四边形AGDH是菱形；△AGH是等边三角形；△AGD是等腰三角形；△ABM是直角三角形；△ABC ≌△DEF；△AGH ∽△DEF；GH = ；这是一个轴对称图形；；这是一个中心对称图形 ……
【探究练习】符合条件的点P共有10个.
1.1 等腰三角形
【基础练习】
填空题：
1.如图1-1，△ABC中，AB = AC, 点D、E在BC上，要证明
AD= AE, 需添加的一个条件是 ；
2.如图1-2，△ABC中， D为AC上一点，且AB = AD, DB
= DC, 若∠C = 28°,则∠A = 度.
选择题：
1.等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm，则腰长为（ ）；
A. 2cm B. 8cm
C. 2cm或8cm D. 7cm
2.将两个全等的有一个锐角为30°的直角三角形拼成如图1-3所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上，则
图中等腰三角形的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
三、解答题：
1.已知：如图1-4，四边形ABCD中，AB = CB, ∠A =∠C.
求证：AD = CD.
2.已知：如图1-5，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB,
DF⊥AC, 垂足分别为E、F，且DE = DF . 求证：AB = AC.
【综合练习】
求证：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.
1. 等腰三角形
练习一
【基础练习】 一、1. BD = CE（或∠BAD =∠CAE或∠ADB =∠AEC等）； 2. 68°. 二、1. B； 2. C. 三、1.提示：连接AC； 2. 提示：证△DBE ≌△DCF.
【综合练习】 根据题意画出图形，写出已知，求证，在进行证明
三角形的证明
等腰三角形
练习一
巩固基础
填空题
1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝ 度．
2．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于 ．
3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝ 度.
4．如图，已知AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
5．等腰直角三角形中，若斜边为16，则直角边的长为 ．
二、选择题
6．一个正三角形的边长为a，它的高是（ ）
A． a B． a C． a D． a
7．至少有两边相等的三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
8．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则 （ ）
A．l垂直AB B．l平分AB
C．l垂直平分AB D．l与AB的关系不能确定
9．等腰三角形的对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
10．正三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
三、解答题
11．已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．
第11题图
12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，求此三角形的底边长．
综合运用
13．如图，若∠A＝15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于多少？
第13题图
拓展延伸
14．等腰ΔABC中，BC边上的高AD=,试求∠BAC的度数．
中考连接
15．在ΔABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过D作直线EF//BC，交AB、AC于E、F，若AB=8，AC=7，则ΔAEF的周长等于多少？
第15题图
参考答案
一、1．68；2．15；3．15；4．55；5．。
二、6．B；7．B；8．D；9．C；10．D．
三、11．提示：证明ΔADB≌ΔADC；12．分两种情况底边长为6厘米或厘米．
13．∠DEF=60°．提示：用等腰三角形的性质和外角定理等．
14．分类讨论：共三种情况（1）∠BAC=90°；（2）∠BAC=75°；（3）∠BAC=15°．
15．ΔAEF的周长等于15．
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课件16张PPT。 1.1 等腰三角形（一）证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.判断公理:
三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
　 BC=B′C′
　 AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.判断公理:
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
　 ∠A=∠A′
　 BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.判断公理:
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′
　 AB=A′B′ 　　　
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.性质公理:
全等三角形的对应边、对应角相等.∵ △ABC≌△A′B′C′
∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′
（全等三角形的对应边相等）;
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.三角形全等判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等.你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)命题的证明证明:
∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）,
AB=A′B′（已知）,
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证:△ABC≌△A′B′C′.几何的三种语言 回顾与思考推论:
两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.在△ABC与△A′B′C′中
∵∠A=∠A′
　∠C=∠C′
　AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.证明后的结论,以后可以直接运用. 1.如图:已知在△ABC和△DEF 中AC=DF,AB=DE,∠C=∠F=100°,则△ABC和△DEF会全等吗?若能请证明;若不能请说明理由.其它条件不变若∠B=∠E=70°呢？课内练习你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 议一议P2定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 议一议P3定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.在Rt△ABD与Rt△ACD中
∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）,
∴ △ABD≌△ACD（HL）.此时AD还是什么线?证明:
过点A作AD⊥BC,交BC于点D.∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用. 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC, BD=CD (已知).
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）∵AB=AC, AD⊥BC(已知).
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.1.证明:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°.2.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,
且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1) 求证:△ABD是等腰三角形
(2)求∠ABD的度数ABCD课内练习课件16张PPT。 1.1等腰三角形 （三）定理: 等腰三角形的两个底角相等简称:等边对等角推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 (三线合一)结论2: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.结论4: 等腰三角形两底角的平分线相等.结论5: 等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.等腰三角形的性质:结论3:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边.结论1:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°（1）一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？ （2）你认为有一个角等于600的等腰三角形
是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？
把你的证明思路与同伴进行交流.定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),
∴∠C=∠B=600.(等边对等角)
∴∠A=600(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600.
求证:△ABC是等边三角形. 做一做定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=600(已知).
∴△ABC是等边三角形
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据之一回顾与反思定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC,(等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知),
∴ AB=AC(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义)已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.做一做′定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.在△ABC中,
∵∠A=∠B=∠C(已知),
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).回顾与反思1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？命题猜想定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300
求证:BC= AB.分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题“线段相等”问题命题的证明证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD ∵ ∠ACB=900 (已知),∴∠ACD=900(平角意义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
　∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AB=AD
∵∠ACB=900,∠A=300(已知),
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是 等边三角形)
∴BC= BD= AB(等式性质).命题的证明定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300.
∴BC= AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半).推论：回顾反思解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和).
∴CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).例.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a,
求腰上的高.2a2a例题解析1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝900,
∠A=300,CD⊥AB,垂足为D.
求证:BD=AB/4.300随堂练习 2.已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的 一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N,
(1)求证:MD=MN你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?.HH.(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB
上的任意一点”，其它条件不变，则结论“MD=MN”还成
立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由随堂练习等边三角形的判定:
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
老师提醒:
反证法还认识你吗?300课堂小结习题1.3 1,2,3题.
课件19张PPT。 1.1等腰三角形 （二）在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.你能发现其中的一些相等的线段吗?你能发现其中的一些相等的角吗?你能证明发现的结论吗?复习引入 例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠1= ∠ABC,∠2=　∠ACB(已知),
∴∠1=∠2(等式性质).
在△BDC与△CEB中
∵∠DCB=∠ EBC（已知）,
BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）,
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.求证:BD=CE.例题解析例2 求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CM= AC,BN= AB(已知),
∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中
∵ BC=CB（公共边）,
∠MCB=∠NBC（已证）,
　 CM=BN（已证）,
∴△BMC≌△CNB（SAS）.
∴BM=CN(全等三角形的对应边相等) 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.求证:BM=CN.命题证明例3 求证:等腰三角形两腰上的高相等. 证明:∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知),
∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义).
在△BPC与△CQB中
∵∠BPC=∠CQB（已证）,
∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）,
∴△BPC≌△CQB（AAS）.
∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等) 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.求证:BP=CQ.命题证明这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC
(1)如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么结论?
你能证明得到的结论吗？议一议结论1: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角
等于顶角的一半.结论2: 等腰三角形底边上的任意一点到两

腰的距离之和等于一腰上的高.结论前面已经证明了“等边对等角”，反过来，
“等角对等边”成立吗?
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.如：作BC边上的中线；
作∠A的平分线
作BC边上的高.想一想定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.定理证明这又是一个判定两条线段相等方法之一.练一练 1.如图,△ABC中,D，E分别是AC，AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:
①∠EBO =∠DCO ②∠BEO=∠CDO
③BE=CD ④OB=OC
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)
(2)选择的1小题的一种情形,证明
△ABC是等腰三角形.O①③; ①④;
②③; ②④练一练2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 36°90°108°路边苦李
古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动.小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，如果李子是甜的,那么早没了,现在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃.”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃.开启智慧小明说,在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这两个角也不相等.你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C.命题证明小明是这样想的:你能理解他的推理过程吗?假设∠B=∠C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件是AB≠AC相矛盾
因此假设不成立,原命题成立
即∠B≠∠C.开启智慧先假设命题的结论反面成立，
然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，
所以假设不成立,原命题成立你可要结识“反证法”这个新朋友噢!反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.这种证明方法称为反证法
(reduction to absurdity)
假设归谬结论开启智慧例4.如何证明这个结论:
如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.例题讲解3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．随堂练习4. 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,
且都大于60°, 则∠A > 60°,∠B > 60°, ∠C > 60°,∴ ∠A+∠B+∠C >180°
这与三角形的内角和是1800定理矛盾∴假设不成立∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
随堂练习理解证明的必要性和规范性.
理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.
你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有何进步.
规范性中的条理清晰,因果相应,言心有据的要求是否内化为一种技能.
几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高.
关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器.
你准备如何提高证明命题的能力呢?课堂小结课件11张PPT。九年级数学（上册）第一章 三角形的证明2.直角三角形（1）
勾股定理与它的逆定理的证明勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图),∴ AB2=A′B′2(等式性质).∴ AB=A′B′(等式性质).∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS).∴ ∠A=∠A′＝ 900(全等三角形的对应边).∴ △ABC是直角三角形(直角三角形意义).逆定理的证明勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).几何的三种语言命题与逆命题直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.再观察下面三组命题:如如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如如果两个角相等,那么它们是对顶角;如如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
你还能举出一些例子吗?想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.定理与逆定理蓄势待发老师提示:
你是否能将有关命题的知识予以整理.四四边形是多边形;
两两直线平行,同旁内角互补;
如如果ab=0,那么a=0,b=0.请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.1.如图(单位：厘米),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板100厘米的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板100厘米的B处.
试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?梦想成真回味无穷勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方..
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.课件11张PPT。1.2 直角三角形(二)三角形全等的判定公理: SSS SAS ASA
推论: AAS 想一想:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如果其中一边所对的角是直角呢? 如果其中一边所对的角是直角,那么这两个三角形全等.命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.我们证明一个命题是假命题只需举出反例.证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;
由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;
因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.你能写出它的证明过程吗?
你能根据上面的证明用文字写出一个结论吗?已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=900.
求证:△ABC≌△A′B′C′.分析:
要证明△ABC≌△A′B′C′ ,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等. 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(“斜边,直角边”或“HL”)在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 ,
∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知),
∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′(HL).一、“HL”定理二、用三角尺作角平分线(2)过点M作OA的垂线;如图:
(1)在已知∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON;(3)过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,(4)作射线OP.请你证明OP平分∠AOB.●
P已知:如图,OM=ON,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N.
求证:∠AOP=∠BOP.那么射线OP就是∠AOB的平分线. 如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BAD, 还需要什么条件?把它们分别写出来.（1）AC=BD;（2）BC=AD;（3）∠ABC=∠BAD ;（4）∠CAB=∠DBA ;若AD,BC相交于点O,还可以增加什么条件？图中还有全等的三角形吗?（5）OA=OB（6）OC=OD1、判断下列命题的真假,并说明理由:（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;（2）斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; （3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等;（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.随堂练习假真真真2、如图，在△ABC与△A’B’C’中，CD、C’D’分别是高，并且AC=A’C’，CD=C’D’, ∠ACB=∠A’C’B’.求证： △ABC≌△A’B’C.小 结1、关于直角三角形的一些定理：定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.(逆命题) 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(“斜边,直角边”或“HL”)2、 “HL”定理的应用：拓展练习 如图，铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B.已知AD=15km，CB=10km,现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等且DE⊥CE于E，则E站应建在距A站多远处？x25-x课件8张PPT。1.3线段的垂直平分线（1） 我们曾经利用折纸的方法得到:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗?已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.分析:(1)要证明PA=PB,而△APC≌△BPC的条件由已知 故结论可证.AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理
（SAS）.就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC，例题解析定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).引入新知你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗?
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图,PA=PB.
求证:点P在AB的垂直平分线上.分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB的中点,),然后证明另一个结论正确.想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得证?想一想逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?想一想已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:用尺规作线段的垂直平分线.1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.2. 作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.老师提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.想一想如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0.老师期望:
你能说出填空结果的根据.760课堂练习定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).课堂小结课件11张PPT。1.3 线段的垂直平分线（2）已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:用尺规作线段的垂直平分线.1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.2. 作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.复习回顾定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).复习回顾逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?复习回顾剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.老师期望:
你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?观察这三条垂直平分线,你发现了什么?练一练利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.老师期望:
你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?与同伴交流.练一练命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP.∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB (或AB的中点,).
同理,PB=PC.
∴PA=PC.
∴点P在线段AB的垂直平分线上,
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得征?基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.引入新知定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).老师提示:
这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.练一练已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?老师期望:
你能亲自探索出结果并能用尺规作出图形.如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?议一议定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).小结拓展1.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等. 老师期望:
养成用数学解释生活的习惯. (1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置;(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,∠RPQ是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置?(3).你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议?课件13张PPT。4.角平分线（1）
性质定理与逆定理角平分线你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗?已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角的两边距离相等.你能证明这一结论吗?几何的三种语言定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥oB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).进步的标志′你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?
逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图,PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠1=∠2.老师期望:
你能写出规范的证明过程.逆定理逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?O尺规作图已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:用尺规作角的平分线.1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.则射线OC就是∠AOB的平分线.挑战自我如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系?老师期望:
你能说出结论并能证明它.梦想成真2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).回味无穷定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
用尺规作角的平分线.
邻补角的角平分线之间的关系.知识的升华习题1.9
祝你成功！习题1.8 1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.你发现了什么？习题1.82. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. 老师期望:
养成用数学解释生活的习惯. 3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 课件13张PPT。1.4 角平分线（2）已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:用尺规作角的平分线.1.在OAT和OB上截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.则射线OC就是∠AOB的平分线.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点, PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别是D, E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.结论:三角形三个角的平分线相交于一点.老师期望:
你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?观察这三条角平分线,你发现了什么?命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.怎样证三条直线交于一点基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).老师提示:
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.老师期望:
你能正确地解答并规范地写出其过程.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.1.如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?老师提示:
三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).
三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点, 这个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个.1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD. 老师期望:
你能写出规范的证明过程.2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上. 老师期望:
养成用数学解释生活的习惯. 3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线. 老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. 课件11张PPT。 第2课时
角平分线的应用北师大版 八年级下册
现在要在京周公路，良乡西路和西潞北大街的中间修一个货站，要求到这三条路的距离相等，请你找一下建货站的地址。ABCP作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P，P即为建货站的位置1、直接应用定理求线段的长度： 已知： OE平分∠AOB，P为OE上一点， PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB的距离为_____52、直接应用定理求角的度数 已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°， ∠B=40°， AD平分
∠ CAB交BC于D点， DE⊥AB于E，则∠CAD=________
25°3、角平分线与四边形组合已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF，AE＝AF （角平分线性质），∠CEB＝∠CFD＝90°∵∠B+∠ADC＝180°, ∠CDF+∠ADC＝180°∴∠B＝∠CDF∴△CBE≌△CDF （AAS）∴DF＝BE∵AF＝AD+DF∴AF＝AD+BE∴AE＝AD+BE F4、以角平分线为轴，构造全等三角形，证线段之差不等已知：如图，点P是∠BAC平分线上一点，P与A 不重合，AC﹥AB.
求证：PC-PB﹤AC-AB
证明：作PB′=PB，与AC交于点B′，
易证△APB′≌ △APB∴AC-AB= AC-AB′
在△PB′C中， PC-PB′＜B′C=AC-AB′∴ PC-PB＜AC-AB 通过本节课的学习你有哪些收获？1.从教材习题中选取
2.完成练习册本课时的习题勤奋就是成功之母。——茅以升课件16张PPT。4.角平分线
第2课时 角平分线的应用北师大版 八年级下册 本节课继续学习有关角平分线的性质和应用，讨论三角形中的角平分线. 1.已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，
其中D、E、F是垂足．?
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，?
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．?
同理：PE=PF．∴PD=PF．?
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．?
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．三角形的三条角平分线相交于一点 2.如上图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求证：PD=PE=PF.?由上题的证明可知：PD=PE=PF. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等归纳结论 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 1.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
（1）一直CD=4cm，求AC长；
（2）求证：AB=AC+CD.（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，
DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E，
∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC（等边对等角）
∴∠B=×90°=45°.
∴∠BDE=90°-45°=45°.
∴BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形BDE中，
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD.
∴AB=AE+BE=AC+CD 2.已知：如图，P点是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．?
求证：（1）OC=OD；?
（2）OP是CD的垂直平分线．证明：（1）P点是∠AOB角平分线上的一点，
PC⊥OA，PD⊥OB，?
∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，?
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．
∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．?
（2）又∵OP是∠AOB的角平分线，?
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)． 3.如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的? 解：我找到四处．除了△ABC三条角平分线交点P外，在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2、P3.因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3. 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。如果学生在学校里学习的结果是使自己什么也不会创造，那他的一生永远是模仿和抄袭。
—— 列夫·托尔斯泰课件24张PPT。
章末复习 八年级下册
2.推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).（1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.（2）∵AB=AC, BD=CD (已知).
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）（3）∵AB=AC, AD⊥BC(已知).
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一） 轮换条件：∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.1.定理: 等腰三角形的两个底角相等简称:等边对等角4.等边三角形的判定：结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶
角的一半.结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离
之和等于一腰上的高.3.等腰三角形有关知识要点:结论1:等腰三角形两底角的平分线相等.结论2:等腰三角形两腰上的中线相等.结论3:等腰三角形两腰上的高相等；(3).有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.(1).三条边都相等的三角形是等边三角形.(2).三个角都相等的三角形是等边三角形.5.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么
这个锐角所对直角边等于斜边的一半它的逆命题: 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于300.6.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜
边的平方.它的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.7.直角三角形全等的判定定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)8.写出命题：
“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.9.线段的垂直平分线它的逆命题:到一条线段两个端点距离相等
的点,在这条线段的垂直平分线上.∵MN垂直平分AB
(MN⊥AB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上)
∴PA=PB∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上10.角平分线定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE
∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)逆定理: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且
这一点到三个顶点的距离相等.12.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且
这一点到三条边的距离相等.(这一点叫做三角形的外心)(这一点叫做三角形的内心)角的平分线通过探索,猜想,计算和证明得到定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与一般的三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线反证法与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法.提示:能将证明的能力提升一个台阶的前提是:认识并掌握一定数量的基本图形.如：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.如：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.如：三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
如： ……我能行不只是字面意义基本作图作一条线段等于已知线段;已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形.作线段的垂直平分线;作已知角的平分线;作一个角等于已知角;作图题的一般步骤:
已知,求作,分析,作法,证明,讨论.做一做:
任意画一个角,利用尺规将其二等分,四等分.作图题的要求:能写出规范的作图步骤.例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB
求证:DC⊥AC21ACEF证明:取AB的中点E,连结DE
∵DA=DB,AE=BE
∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一)
∵AB=2AC,E为AB的中点
∴AE=AC
在ΔAED和ΔACD中,
AE=AC,∠1=∠2,AD=AD
∴ΔAED≌ΔACD(SAS)
∴∠AED=∠ACD=900
即AC⊥DC或用延长法:延长AC至F使CF=AC,连结DF 1.在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB
求证:DC⊥AC证明:延长AC至F使CF=AC,连结DF
∵AB=2AC,AC=CF
∴AB=AF
∵∠1=∠2,AD=AD
∴ΔADB≌ΔADF(SAS)
∴DB=BF
∵DA=DB
∴DA=DF
∵AC=CF
∴DC⊥AF(等腰三角形三线合一) 即DC⊥AC思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).21ACF2.如图,ΔABC,ΔCDE是等边三角形
(1)求证:AE=BD(2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N,
求证:CM=CNMN思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这是一种常见的证明方法.本题我们应注意用到等边三角形的性质以及平行法的判定方法.当图形较复杂时,注意分清条件与图形中的对应关系证明：（1）∵△ABC是等边三角形 ? ∴∠ACB=60°
? ? ? ? ? ? ? △CDE是等边三形 ? ?∴∠DCE=60° ? ∴∠BCD=∠ACE
又CE=CD ? ? CB=CA
∴△CBD≌△CAE ? ∴AE=BD
（2）∵△BCD≌△ACE ∴∠CAE=∠CBD 又 AB=AC，∠MCB=∠NCA=60o ∴△MCB≌△NCA ∴CM=CN 3、 在ΔABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC
的平分线,已知 ,求AD的长. 解:∵ ∠C=900,∠B=300,
∴
∠CAB=600
∵AD是角平分线
∴∠CAD=300设CD=x,那么AD=2x，在RtΔACD中，AD2=CD2+AC2
∴解得：x=2 ∴AD=4思路探究：本题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角形性
质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时,
要善于联想到这些性质.4、已知:如图,AB=AC,∠ABD=∠ACE.
求证:(1)OB=OC;
(2)BE=CD.证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=ACB?? 又∵∠ABD=∠ACE∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE? 即∠DBC=∠ECB， ∴OB=OC（2）∵∠EOB=∠DOC? ∴△OBE≌△OCD，∴BE=CD 5、已知:如图,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.
求证:△ABC是等腰三角形.证明:∠ADB=∠AEC=90°;∠A=∠A;BD=CE.(已知)所以:△ADB≌ΔAEC(AAS).故:AB=AC.即△ ABC为等腰三角形. 6、已知:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为
N,M,且OM=ON.
求证:PM=PN.解：连接OP
因为AN⊥OB,BM⊥OA
所以∠OMP=∠ONP
在Rt△OMP和Rt△ONP中
OM=ON OP=OP
所以Rt△OMP?≌?Rt△ONP（HL）
所以PM=PN7、已知:如图,MN是线段AB的垂直平分线,C,D
是MN上的点.
求证:
(1)△ABC,△ABD是等腰三角形;
(2)∠CAD=∠CBD.证明：∵ MN垂直平分线段AB，O为垂足，且C、D在直线MN上∴ AC ＝ BC DA ＝ DB （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∴ △ABC和△ABD都是等腰三角形∴ ∠CAB ＝∠CBA ∠DAB ＝∠DBA ∴ ∠CAB －∠DAB ＝ ∠CBA －∠DBA∴ ∠CAD ＝ ∠CBD 课件19张PPT。第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
章末复习八年级下册1.你能说说作为证明基础的几条公理吗？①两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两
条直线平行; ?
②两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）
④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）
⑤三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）
⑥全等三角形的对应边相等,对应角相等.2. 讲述一两个命题的证明思路和证明方法.①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证 明的定理进行合情推理和演绎推理；
②反证法．3.与等腰三角形、等边三角形有关的结论： 性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形.4.与直角三角形有关的结论：①勾股定理的逆定理；
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半；?
③斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等．5.命题的逆命题及其真假?①互逆命题；
②互逆定理. ①等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；?
②线段垂直平分线的性质定理及判定定理；
③角平分线的性质定理及判定定理；?
④三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等；?
⑤三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.本章所证明的命题7.尺规作图.①线段的垂直平分线;?
②角的平分线．1.使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等
D．两条边对应相等? 解：A.一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
B.两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；?
C.一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；?
D.两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确．
故选D. 2.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判
断它们全等的是（ ）??
A.顶角、一腰对应相等
B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等
D.一底角、底边对应相等C3.下列说法错误的是（ ）??
A.任何命题都有逆命题?
B. 定理都有逆定理?
C. 命题的逆命题不一定是正确的?
D. 定理的逆定理一定是正确的?B 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2. 求AB与BC的长.?分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系．答案：AB=5，BC=3 1.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A.30°
B.36°
C.45°
D.70°?B 2.等腰三角形底角15°，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是 、 .150°75° 3.如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段 BC＝a；?
（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；?
（3）在直线MN上截取线段h；?
（4）连结AB，AC则△ABC为所求的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（ ）.?A.（1） B. （2） C. （3） D. （4）C 4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.?
（1）已知CD=4cm，求AC的长；?
（2）求证：AB=AC+CD. 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.?求证：AD垂直平分EF.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.
∴DE=DF.?
∴D在EF的垂直平分线上，?
在Rt△ADE与Rt△ADF中，?
DE=DF，AD=AD.?∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).?
∴AE=AF.?
∴A在EF的垂直平分线上.?
∴AD垂直平分EF. 通过对本章知识点的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？请与同伴、老师交流.