第四章 因式分解
1因式分解
【知识与技能】
使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.
【过程与方法】
认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.
【情感态度】
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
【教学重点】
因式分解的概念.
【教学难点】
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.
一.情景导入，初步认知
下题简便运算怎样进行？
问题1：736×95+736×5
问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.
二.思考探究，获取新知
问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)
∴993-99能被99整除.
(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100
所以993-99能被100整除.
想一想：
（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据.
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？
【教学说明】
老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？
【归纳结论】
以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.
可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)
能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
这样变形是为了达到什么样的目的？
【教学说明】
经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.
【归纳结论】
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.
三.运用新知，深化理解
1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；
（3）a2－4=（a+2）(a－2）；
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
答案：（2）（3）是因式分解.
2.试将下列各式化成几个整式的积的形式
（1）3x2-2x=______- (2)m2-4n2 =____
答案：（1）x(3x-2) （2）(m+2n)(m-2n)
3.分解因式.
4m2-4m=______ 2a3+2a=______ y2+4y+4=______
答案：4m(m-1) 2a(a2+1) (y+2)2
4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为.
答案：210.
5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是（ ）
A.0 B.2 C.5 D.8
答案：D.6.9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？
解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998所以9993-999能被998整除，能被1000整除。
【教学说明】
通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别.
四.师生互动，课堂小结
1.你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
2.应该怎样认识“因式分解”？
（分解因式与整式乘法是互逆过程.）
3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.
布置作业:教材“习题4.1”中第1、2 题.
根据课下学生的反馈情况来看，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的.学生对因式分解有了清晰的认识,理解了因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并基本掌握了这种关系寻求因式分解的方法．还有个别学生虽然会判断哪些是因式分解，但在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难.在下一课时，我将针对本课时所反馈的情况，调整侧重点，争取让所有的学生能对因式分解有更进一步的学习.
4．1 因式分解
预备知识
1、判断下列等式是否成立。
(1) (2) (3) (4)
2、因为15=3×5，所以15能被________或___________整除。
3、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式__________。
知识技能
1.计算下列各题。
(1)=__________。 (2)=_________。
(3)=_______。 (4)=_________。
2、根据上题的计算写出相应的因式分解问题的答案。
(1) _________________。(2) _________________。 (3) _________________。(4) _________________。
3、填上符号“+”或“-”。
(1) (2) (3) (4)
习题精练
1、简便计算。
(1) (2)
2、分解因式，连线。
问题探究
如果是大于2的整数，那么的值一定能被6整除吗？
答案
1、分解因式
预备知识：1、全部成立 2、3，5 3、分解因式 知识技能：1、略
2、略 3、-，+，-，- 习题精练：1、(1)3996000 (2)20 2、略
问题探究：∵，又∵n是大于2的整数，
∴(n-1),n,n+1是三个连续整数。∴必有一个是偶数，一个是3的倍数。∴
的值一定能被6整除。事实上，若n被3整除余数不为0，则必是余1或2，
当余1时n-1是3的倍数，当余2时n+1是3的倍数。因此必有一个是3的倍
数。
4.1因式分解
教
学
目
标
知识与
技 能
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
过程与
方 法
通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
情感态度价 值 观
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.
重 点
1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
难 点
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.
教 法
观察讨论法
教 具
小黑板
教学过程
教学内容流程
师生活动流程
备注
创设问题情境,引入新课讲授新课
讲授新课
课堂练习
归纳小结
课后作业
［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？
［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.
［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？
［师］讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？
［师］993－99还能被哪些正整数整除？
［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.
2.议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？
［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式
3.做一做
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________;
②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=__________;
④m（a+b+c）=__________;
⑤a（a+1）（a－1）=__________.
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（ ）（ ）;
②m2－16=（ ）（ ）;
③ma+mb+mc=（ ）（ ）;
④y2－6y+9=（ ）2.
⑤a3－a=（ ）（ ）.
［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？
（在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.）
在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式
4.想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
［师］下面我们一起来总结一下.
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc（1）
ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
即ma+mb+mc m（a+b+c）.
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
5.例题
出示小黑板
下列各式从左到右，哪些是因式分解
①
②
③
④
教材随堂练习
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
教材习题2.1中1、2、3题
探究活动：
已知a=2,b=3,c=5.
求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值.
师生互相对话
学生讨论
观察，总结特点
学生练习
根据学生回答情况总结
学生思考，回答
学生观察，回答问题，并互相交流
教师总结
板书设计：
⒈讨论
⒉议一议
⒊做一做
⒋想一想
教学反思：
检
查
记
实
4．1因式分解
●课 题
§4.1 因式分解
●教学目标
（一）教学知识点
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
（二）能力训练要求
通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
（三）情感与价值观要求
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.
●教学重点
1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
●教学难点
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.
●教学方法
观察讨论法
●教具准备
投影片一张
记作（§2.1 A）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？
［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.
［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？
［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.
［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
［生］993－99能被100整除.
因为993－99
=99×992－99
=99×（992－1）
=99×9800
=99×98×100
其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.
［师］993－99还能被哪些正整数整除？
［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.
［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的
形式.
2.议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.
［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）
3.做一做
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________;
②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=__________;
④m（a+b+c）=__________;
⑤a（a+1）（a－1）=__________.
［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;
②（y－3）2=y2－6y+9;
③3x（x－1）=3x2－3x;
④m（a+b+c）=ma+mb+mc;
⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（ ）（ ）;
②m2－16=（ ）（ ）;
③ma+mb+mc=（ ）（ ）;
④y2－6y+9=（ ）2.
⑤a3－a=（ ）（ ）.
［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：
①3x2－3x=3x（x－1）;
②m2－16=（m+4）（m－4）;
③ma+mb+mc=m（a+b+c）;
④y2－6y+9=（y－3）2;
⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.
［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？
［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.
［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.
4.想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.
［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.
［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）
ma+mb+mc=m（a+b+c） （2）
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
即ma+mb+mc m（a+b+c）.
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
5.例题
投影片（§2.1 A）
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
［生］（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；
（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；
（3）和（2）相同，是因式分解；
（4）是因式分解.
［师］大家认可吗？
［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x－3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.
Ⅲ.课堂练习
连一连
解：
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
Ⅴ.课后作业
习题4.1
1.连一连
解：
2.解：（2）、（3）是分解因式.
3.因19992+1999=1999（1999+1）=1999×2000，所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除.
（2）因为16.9×+15.1×
=×（16.9+15.1）
=×32=4
所以16.9× +15.1×能被4整除.
4.解：当R1=19.2,R2=32.4,R3=35.4,I=2.5时，
IR1+IR2+IR3
=I（R1+R2+R3）
=2.5×（19.2+32.4+35.4）
=2.5×87
=217.5
Ⅵ.活动与探究
已知a=2,b=3,c=5.
求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值.
解：当a=2,b=3,c=5时，
a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）
=a（a+b－c）+b（a+b－c）－c（a+b－c）
=（a+b－c）（a+b－c）
=（2+3－5）2=0
●板书设计
§2.1 分解因式
一、1.讨论993－99能被100整除吗？
2.议一议
3.做一做
4.想一想（讨论整式乘法与分解因式的联系与区别）
5.例题讲解
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
4.1因式分解
学习目的：
本节主要学习了因式分解的意义和因式分解的第一种方法——提公因式法，重点是提公因式法，理解提公因式法的依据，会用提公因式法分解因式，难点是对因式分解意义的理解，关键是找出各项的公因式.
多项式的因式分解与小学学过的数的因数分解类似，都是化成积的形式，因式分解与整式乘法的变化过程是互逆的，因式分解的方法很多，也很灵活，有些方法不易掌握，加上我们现有知识水平的限制，教材中只介绍了四种基本的因式分解方法，其中提公因式法是最基本、最简单的方法，同学们必须熟练地掌握，为后继学习打好基础.学习时注意利用整式乘法运算来验证因式分解的结果是否正确.
方法指导：
本节主要学习提公因式法，提公因式法的关键是找出多项式的公因式，提公因式的依据是乘法分配律，其实质是运用乘法分配律、提公式时，容易出现“漏项”的错误，检查是否漏项的方法，最好是用单项式乘以多项式的法则乘回去，进行验证，也可以看看提公因式后，括号内的项数是否与原多项式的项数一致，如果项数不一致，就说明漏项了.
知识概要：
提公因式法
将多项式中各项含有的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法.
典例精评：
例1 下列由左到右的变形，哪些是因式分解?哪些不是?
(1)a(a+b-c)=a2+ab-ac
(2)x2-2x+4=x2-2(x-2)
(3)a(x2-9)=a(x+3)(x-3)
(4)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1
(5)x2-2x+2y-y2=(x2-y2)-2(x-y)
(6)9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)
分析 (1)是乘法计算；(2)、(4)、(5)的右边不是乘积形式；(6)的右边括号内漏掉了“1”这一项；只有(3)是把多项式ax2-9a化成了单项式a与二项式x+3与x-3的乘 积形式，且二式不可再分.
解 (1)不是； (2)不是； (3)是；
(4)不是； (5)不是； (6)不是
例2 把an+1-an-1+an分解因式.
分析 相同字母最低次幂是an-1，从而公因式是an-1.
解 an+1-an-1+an=an-1(a2-1+a)
例3 把x(x-y)+y(y-x)分解因式
解 x(x-y)+y(y-x)
=x(x-y)-y(x-y)
=(x-y)(x-y)
=(x-y)2
点评：相同的因式要写成幂的形式.
例4 把(a-b)2(x-2y)+(b-a)2(2x-y)分解因式
解 原式＝(a-b)2(x-2y)+(a-b)2(2x-y)
=(a-b)2［(x-2y)+(2x-y)］
=(a-b)2(3x-3y)
=3(a-b)2(x-y)
点评：(a-b)2=(b-a)2，而a-b=-(b-a),提公因式时要注意符号.
疑难解析：
提公因式的方法步骤：
提公因式法分解因式的一般步骤是：第一步找出公因式；第二步提公因式并确定另一个因式 ，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提出公因式后，剩下的另一个因式 .也可用因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式.
例如：因式分解8a3b2-12ab3c，提公因式4ab2时，用4ab2分别去除原多项式的每 一项，得(8a3b2÷4ab2-12ab3c÷4ab2)=(2a2-3bc).即
8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc)
【同步达纲练习】
知识强化：
1.填空题
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 .
(2)多项式ma+mb+mc中，它的各项含有相同的因式 ，可以把公因式 提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式 与 乘积形式，这种分解因式的方法叫 .
(3)填上适当的符号，使下列各等式成立：
①-2x+y= (2x-y); ②-x-y+z= (x+y-z);
③(4a-3b)2= (3b-4a)2 ④(m-n)3= (n-m)3;
⑤(a-b)(c-a)= (a-b)(a-c);
⑥(3-x)(4-y)= (x-3)(y-4)
(4)12xyz-9x2y2的因式是 .
(5)x2y+xy2-xy=xy( ).
(6)14abx-8ab2x+2ax=2ax( ).
(7)3x3y4-12x2y5+18xy6=3xy4( ).
(8) ab2+b2c=( )(2a+3c)
(9)-7mn-14mnx+49mny=-7mn( ).
(10)2x(b-a)+y(a-b)+z(b-a)=( )
(11)9x(a-b)2与3y(b-a)3的公因式是( )
(12)m(x-y)-n(x-y)=(x-y)( )
(13)-4a3b2+6a2b-2ab分解因式得( ).
(14)(2a-b)(2a+3b)+3a(b-2a)=-(2a-b)( ).
(15)(a-b)2(x-y)-(b-a)(y-x)2分解因式的结果是( ).
2.选择题
(1)下列各式由左到右的变形是因式分解的是( ).
A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x2-x-6
C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+)
(2)下列各式变形正确的是( )
A.b2-a2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+b2
C.(a-b)2=(b-a)2 D.(x+)2=x2- x+
(3)下列各式正确的是( )
A.-a2+b2=-(a2+b2)
B.(a-b)(b-a)=(b-a)(a-c)
C.(a-b)3=(b-a)3
D.(a-b)2n=(b-a)2n(n为自然数)
(4)在把a2x+ay-a3xy分解因式时，应提取的公因式是( ).
A.a2 B.a C.ac D.ay
(5)观察下列各式①2a+b和a+b;②5m(a-b)和-a+b;③(a+b)和-a-b;④x2-y2和x2+y2 ，其中，有公因式的只有( ).
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
(6)多项式6a3b2-3a2b2-18a2b3分解因式时，应提取的公因式为 ( )
A.3a2b B.3ab2 C.3a3b3 D.3a2b2
(7)多项式x2+x6提取公因式后，剩下的因式是( )
A.x4 B.x3 C.x4+1 D.x3-1
(8)多项式m2(x-2)+m(2-x)分解因式等于( )
A.(x-2)(m2-m) B.m(x-2)(m+1)
C.m(x-2)(m-1) D.以上都不对
(9)(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果( )
A.m2+4n2 B.-m2+4n2
C.m2-4n2 D.-m2-4n2
(10)下面各式中，分解因式正确的是( )
A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xy)
B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2)
C.-x2+xy-xz=-x(x2+y-z)
D.a2b+5ab-b=b(a2+5a)
3.分解因式
(1)8xy2-16x3y3; (2)-4m3+16m2-26m;
(3)-3ma3+6ma2-12ma; (4)ab- b2-(a-b)2
(5)m2(p-q)-p+q;
(6)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q);
(7)x(x-y)2-y(x-y);
(8)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b);
(9)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a);
(10)m(n-x)(n-y)-a(x-n)(y-n);
(11)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2
(12)mx(a-b)-nx(b-a);
(13)24a(m-n)2-18(m-n)3
(14)(a-3)2-(2a-6);
(15)-a(b-a)2-ab(a-b)2+ac(b-a)2.
素质优化：
1.填空题
(1)5xn+1-20xn+15xn-1y(n＞1,n为整数)的公因式是 .
(2)16am+2b+12am+1b2-8amb3=4amb( ).
(3)(a-b)n+2-ab(a-b)n(n为奇数)＝ .
(4)多项式18xn+1-24xn的公因式是 ，提出公因式后，另一个公因式是 .
2.选择题
(1)x2n?提取因式xn后，剩下的因式是( )
A.x2 B.xn C.x2+1 D.xn+1
(2)下列各式因式分解正确的是( )
A.m2-17=(m+4)(m-4)-1
B.x-y+(y-x)2=(x-y)(1+y-x)
C.(x-y)n=-(y-x)n(n为正整数)
D.a(x-2)-b(2-x)=(x-2)(a+b)
3.把下列各式分解因式.
(1)(苏州市，2000)ma2-4ma-4m;
(2)(四川省，1998)4q(1-p)3-2(p-1)2
(3)-m2n(x-y)n+mn2(x-y)n+1;
(4)anb2n-anbn;
(5)30x2n+1-25x2n+5xn.
4.利用因式分解计算.
(1)57.6×1.6+57.6×18.4-57.6×20;
(2)123×0.45+12.3×6.7-212×1.23;
(3)23×25-12×25+8×25;
(4)93-92-8×92； (5)19982+2×1998；
(6)7×34+8×33-(-13)×32
5.当x=22.3时，求代数式2.46x+8.72x-1.18x的值.
创新深化：
1.已知：6x2+mx-20可分解因式为(3x+4)(2x-5),求m的值.
2.已知：a-b-c=4,求a(a-b-c)+b c-a + b)+ c(b+c-a)的值.
3.已知：a+b=-4,ab=2，求多项式4a2b+4ab2-4a-4b的值.
4.求证：对于任意整数n,(2n+1)2-1一定能被8整除.
5.求证：对于自然数n,2n+4-2n能被30整除.
6.已知：x2+x-1=0,试求x3+2x2+1999的值.
7.已知：x1999+y1999=1，x2000+y2000＝１,求x2001+y 2001的值.
8.当a=-7，x=4时，求5a2(x+6)-4a2(x+6)的值，请用几种方法解，并比较哪种方法好?
参考答案：
【同步达纲练习】
知识强化 ：
1.(1)整式乘法，因式分解 (2)m,m,a+b+c,提公因式法
(3)①- ②- ③+ ④- ⑤- ⑥+
(4)3xy (5)x+y-1 (6)7b-4b2+1 (7)x2-4xy+6y2
(8) b2 (9)1+2x-7y (10)(b-a)(2x-y+z)
(11)3(a-b)2 (12)(m-n) (13)-2ab(2a2b-3a+1)
(14)a-3b (15)(a-b)(x-y)(a-b+x-y)
2.(1)A (2)C (3)D (4)B (5)B
(6)D (7)C (8)C (9)C (10)B
3.(1)8xy2(1-2x2y) (2)-2m(2m2-8m+13) (3)-3ma(a2-2a+4)
(4)(a-b)(b-a) (5)(p-q)(m+1)(m-1) (6)2q(m+n)
(7)(x-y)(x2-xy-y) (8)-(2a+b)(a+3b) (9)(x-a)(a-b-c)
(10)(x-n)(y-n)(m-a) (11)2xy(x+y) (12)x(a-b)(m+n)
(13)b(m-n)2(4a-3m+3n) (14)(a-3)(a-5) (15)-a(a-b)2(1+b -c)
素质优化 ：
1.(1)5xn-1 (2)4a2+3ab-2b2 (3)(a-b)n(a2-3ab+b2)
(4)6xn,3x-4 (5)3xm+1,5-4x+9xn
2.(1)B (2)D
3.(1)m(a2-4a-4) (2)2(p-1)2(-1-2pq+2q) (3)-mn(x-y)n(m-nx+ny)
(4)anbn(bn-1) (5)5xn(6xn+1-5xn+1)
4.(1)0 (2)-123 (3)500 (4)0 (5)3996000 (6)900 5.223
创新深化 ：
1.m=7点拨：将(3x+4)(2x-5)展开，比较对应项系数 2.8 3.-16
4.(2n+1)2-1=(2n+1+1)(2n+1-1)=2(n+1)·2n=4n(n+1)
∵对于任意整数n,n(n+1)是两个连续整数的积，能被2整除，∴4n(n+1)能被8整除.
5.2n+4-2n=2n(24-1)=15×2n
6.x3+2x2+1999=x3+x2-x+x2+x-1+2000=x(x2+x-1)+x2+x-1+2000=(x2+x-1) (x+1)+2000
∵x2+x-1=0 ∴原式=2000
7.1 8.490
4.1因式分解
下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．a（a－b）＝a2－ab
B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1
C．x2－x＝x（x－1）
D．x2－＝（x＋）（x－）
2．把下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x y2－x2y＝x（y2－xy）
B．9xyz－6 x2y2＝3xyz（3－2xy）
C．3 a2x－6bx＋3x＝3x（a2－2b）
D．x y2＋x2y＝xy（x＋y）
3．（－2）2001＋（－2）2002等于（ ）
A．－22001 B．－22002 C．22001 D．－2
4．－6xn－3x2n分解因式正确的是（ ）
A．3（－2xn－x2n） B．－3xn（2－xn） C．－3（2xn＋x2n） D．－3xn（xn＋2）
5．分解因式与整式乘法的关系是 __________。
6．计算93－92－8×92的结果是__________。
7．如果a＋b＝10，ab＝21，则a2b＋ab2的值为_________。
8．连一连：
9x2－4y2 a（a＋1）2
4a2－8ab＋4 b2 －3a（a＋2）
－3 a2－6a 4（a－b）2
a3＋2 a2＋a （3x＋2y）（3x－2y）
9．利用简便方法计算：
（1）23×2.718+59×2.718+18×2.718
（2）57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×（－20）
10．32000－4×31999＋10×31998能被7整除吗？试说明理由。
答案：
1．C 2．D 3．C 4．D 5．互逆的过程 6．0 7．210 8．略
9．（1）原式＝2.718×（23+59+18）＝271.8
（2）原式＝57.6×（1.6+18.4-20）＝0
10。能。因为原式＝31998（32－4×3＋10）＝31998×7，显然它能被7整除。
课件8张PPT。1 因式分解 八年级下册
积和和积因式分解把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．新知应用下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？
哪些不是因式分解？为什么？ （1）（ ）（3）（2）（4）（5）（6）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）是是不是不是不是不是和积因式分解把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．多项式整式的乘积因 式 分 解1、等式左边是一个多项式（和）2、等式右边是几个整式的积3、因式分解是一个恒等变形4、因式分解在实数范围内要分解到不能再分解为止ma+mb+mc多项式m(a+b+c)整式的积分解因式整式乘法因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法的关系= 1、将下列代数式因式分解(1)(2)(3)2、 能被100整除吗？(x-2)23.自己设计一道整数乘法的计算，并算出一个多项式。把你的所得的多项式给你的同桌进行多项式的因式分解。例如：1、你今天获得了什么样的知识？2、你学会了用什么样的方法来理解和掌握今天的概念？3、谈谈你明天的打算？课件12张PPT。1.因式分解 八年级下册情景导入下题简便运算怎样进行？
问题1：736×95+736×5
问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67获取新知问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)
∴993-99能被99整除.(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100
所以993-99能被100整除.993-99还能被哪些正整数整除？ 回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？ 以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.可以了解:探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3-a=a×a2-a
=a×(a2-1)
=a×(a+1)(a-1)
=(a-1)×a×(a+1)
①能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
②这样变形是为了达到什么样的目的？ 经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性. 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；
（3）a2－4=（a+2）(a－2）；
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
答案：（2）（3）是因式分解.运用新知2.试将下列各式化成几个整式的积的形式
（1）3x2-2x=______
（2）m2-4n2 =____x(3x-2)(m+2n)(m-2n)3.分解因式.
4m2-4m=______
2a3+2a=______
y2+4y+4=______4m(m-1)2a(a2+1)(y+2)24.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为_______.
5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是（ ）
A.0 B.2 C.5 D.8
6.9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？
解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998
所以9993-999能被998整除，能被1000整除。210D课堂小结1.你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
2.应该怎样认识“因式分解”？
（分解因式与整式乘法是互逆过程.）
3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.课件15张PPT。第四章 因式分解数学中的游戏游戏规则：1、大家说出一个大于1的正整数。2、写出它的立方减它的式子。如：3、不通过计算，说出这个式子能被那些正整数整除。你能做到吗？1.整式乘法有几种形式?2.乘法公式有哪些?(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式
(3)多项式乘以多项式(1)平方差公式 (2)完全平方公式3.计算:
(1)3a(a-2b+c)
(2)(a+3)(a-3)
(3)(a+2b)2
(4)(a-3b)2=3a2-6ab+3ac=a2 - 9=a2+4ab+4b2=a2-6ab+9b2小明是这样想的:993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.根据左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________
(2)ma+mb+mc=___
(3) m2-16=__________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=___________计算下列各式:
3x(x-1)= __,
m(a+b+c) = __,
(m+4)(m-4)= __,
(x-3)2= ,
a(a+1)(a-1)= __,3x2 - 3xma+mb+mcm2 -16x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(x-3)2a(a+1)(a-1) 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是
整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
的变形与上面的变形互为逆过程.因式分解定义: 把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆过程理解 · 定义随堂练习一P401、连一连2、在课本上。判断下列各式哪些是整式乘法?
哪些是分解因式?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)分解因式整式乘法整式乘法分解因式整式乘法分解因式分解因式随堂练习二1.把下列各式写成乘积的形式:
(1). 1-x2
(2). 4a2+4a+1
(3). 4x2-8x
(4). 2x2y-6xy2
(5). 1-4x2
(6). x2-14x+49=(1+x)(1-x)=(2a+1)2=4x(x-2)=2xy(x-3y)=(1-2x)(1+2x)=(x-7)2随堂练习三规律总结分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分接的结果一定是几个整式
的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.若a=101,b=99,求a2-b2的值.
若x=-3,求20x2-60x的值.
1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除? 1. 计算:
7652×17－2352 ×17 2. 20042+2004能被2005整除吗? 4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三位工人共同完成，已知甲工人每天加工23个零件，乙工人每天加工19个零件，丙工人每天加工18个零件，三人需共同做12天才能做完，要加工的零件共有多少？
