1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换
[对应学生用书P1]
[读教材·填要点]
1．直角坐标系
(1)直线上点的坐标
在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴．建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．
(2)平面直角坐标系
在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点．取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系．在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．
(3)空间直角坐标系
过空间中一个定点O，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．建立空间直角坐标系后，在空间中的点和有序数组(x，y，z)之间就建立了一一对应关系．
2．平面上的伸缩变换
设点P(x，y)是平面上的任意一点，在变换(a>0，b>0)
的作用下，变为平面上的新点Q(X，Y)，这种变换就是平面上的伸缩变换．
[小问题·大思维]
1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？
提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．
2．伸缩变换中的系数a，b有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？
提示：伸缩变换中的系数a>0，b>0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．
[对应学生用书P1]
用坐标法求轨迹方程
[例1] 已知点H(－3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·＝0，＝－.当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.
[思路点拨] 设出动点M(x，y)，将·＝0，＝－，坐标化后建立x，y的关系式可求得．
[精解详析] 设M(x，y)，P(0，y′)，Q(x′，0)(x′>0)，
∵＝－，·＝0，
∴(x，y－y′)＝－(x′－x，－y)，
且(3，y′)·(x，y－y′)＝0，
∴①
3x＋yy′－y′2＝0.②
将①代入②式得y2＝4x(x>0)．
即动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)．
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．
(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．
(3)由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA.求点P的轨迹C的方程．
解：设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，
则由kOP＋kOA＝kPA得，
＋＝，
整理得轨迹C的方程为y＝x2(x≠0且x≠－1).
用坐标法解决几何问题
[例2] 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.
[思路点拨] 本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．
[精解详析] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)，
则直线AC的方程为y＝－x＋h，
即hx＋ay－ah＝0.
直线AB的方程为y＝x＋h，
即hx－ay＋ah＝0.
由点到直线的距离公式得|BD|＝，
|CE|＝，
∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.
(1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想．
(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等．
2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，BD的中点．求E，F两点间的距离．
解：如图，以D为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，
∴E(1，，1)，F(，，0)．
∴|EF|＝＝，
即E，F两点间的距离为.
平面上的伸缩变换
[例3] 在同一坐标系下经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成了什么曲线？
[思路点拨] 将伸缩变换中的x，y分别用X，Y表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．
[精解详析] ∵∴
代入圆的方程x2＋y2＝1，
有2＋2＝1，
∴＋＝1.
∴经过伸缩变换后，
圆x2＋y2＝1变成了椭圆＋＝1.
利用坐标伸缩变换求变换后的曲线方程，其实质是从中求出然后将其代入已知的曲线方程求得关于X，Y的曲线方程．
3．在同一直角坐标系中，将直线2x－y＝3变成直线2X－6Y＝9，求满足图形变换的伸缩变换．
解：设伸缩变换为
将其代入2X－6Y＝9，得2λx－6μy＝9，
与2x－y＝3进行比较，得
故伸缩变换为
[对应学生用书P3]
一、选择题
1．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线Y＝sin X的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设将其代入Y＝sin X，
得μy＝sin λx，即y＝sin λx.
比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，
可得＝3，λ＝2，∴μ＝，λ＝2.
∴
2．已知平面上两定点A，B，且A(－1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P的轨迹是( )
A．直线 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
解析：选B 设点P的坐标为(x，y)，
因为kPA·kPB＝－1，
所以·＝－1，
整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．
故动点P的轨迹是圆除去点(1,0)，(－1,0)的部分．
3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A．椭圆 B．比原来大的圆
C．比原来小的圆 D．双曲线
解析：选D 由伸缩变换的意义可得．
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)．如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
它的面积为4π.
二、填空题
5．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为__________________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，其中|BC|＝4，
则有|AB|＋|AC|＝6>4，
∴点A的轨迹为椭圆除去与B，C共线的两点，且2a＝6,2c＝4，
∴a＝3，c＝2，b2＝5，
∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
6．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________．
解析：设P(x，y)为对数曲线y＝log3x上任意一点，变换后的对应点为P′(X，Y)．由题意知伸缩变换为
∴
代入y＝log3x得Y＝log3X，即y＝log3.
答案：y＝log3
7．把圆x2＋y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆X2＋＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设φ：
则代入x2＋y2＝16得＋＝1.
∴16a2＝1,16b2＝16.
∴故
答案：
8．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下余弦曲线y＝cos x的方程变为________．
解析：∵∴
代入y＝cos x得Y＝3cos 2X.
答案：Y＝3cos 2X
三、解答题
9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线X2－Y2－4X＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x2－36y2－8x＋12＝0
可化为2－9y2＝1. ①
X2－Y2－4X＋3＝0
可化为(X－2)2－Y2＝1. ②
比较①②，可得即
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线X2－Y2－4X＋3＝0的图象．
10．如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程．
解：设M的坐标为(x，y)，
当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；
当x＝1时，直线MB的斜率不存在．
于是x≠1且x≠－1.
此时，MA的斜率为，MB的斜率为.
由题意，有·＝4，
化简可得，4x2－y2－4＝0.
故动点M的轨迹C的方程为
4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．
11．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．
解：(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，
所以kPM·kPN＝·＝λ(λ≠0，x≠±1)，
整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为
x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；
②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；
③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))；
④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．
课件34张PPT。第一章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.1
直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2 极坐标系
[对应学生用书P4]
[读教材·填要点]
1．平面上点的极坐标
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．
(2)点的极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．
2．极坐标与直角坐标的关系
(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合；
③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)极坐标和直角坐标的变换公式：
或
[小问题·大思维]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？
提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2nπ)或(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(其中n∈Z)．
2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M(ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？
提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点M的极坐标为(ρ，θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？
提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
[对应学生用书P5]
极坐标系的概念
[例1] 已知定点P.
(1)将极点移至O′处，极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动，求P点的新坐标．
[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．
[精解详析] (1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，
由题意可知|OO′|＝2，
|OP|＝4，
∠POx＝，∠O′Ox＝，
∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
即|O′P|＝2.
∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2，
∠OO′P＝.
∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝.
∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为.
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为.
建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.
1．在极坐标系中，点A的极坐标是，则
(1)点A关于极轴的对称点是________；
(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；
(3)点A关于直线θ＝的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))
解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．
答案：(1) (2) (3)
点的极坐标和直角坐标的互化
[例2] 以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．
(1)已知点A的极坐标为，求它的直角坐标；
(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
[思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．
[精解详析] (1)∵x＝ρcos θ＝4·cos＝2，
y＝ρsin θ＝4sin＝－2，
∴A点的直角坐标为(2，－2)．
(2)∵ρ＝＝＝2，
tan θ＝＝－1，且点B位于第四象限内，
∴θ＝.∴点B的极坐标为.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
∴点C的极坐标为.
(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ.
(2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．
2．(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标；
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，－)，B，C(－2,2)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．
解：(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A，B(－1，－)，C，D(0，－4)．
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A，B，C.
极坐标系中两点间的距离
[例3] △ABC的顶点的极坐标为A，B，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积；
(3)求△ABC的边AB上的高．
[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．
[精解详析] ∠AOB＝－＝，∠BOC＝－＝，∠COA＝－＝.(O为极点)
(1)∵|AB|＝＝＝2.
|BC|＝
＝2，
|AC|＝
＝4.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)S△AOB＝|OA|·|OB|＝12，
S△BOC＝|OB|·|OC|sin∠BOC＝12，
S△C OA＝|OC|·|OA|sin∠COA＝8.
∴S△ABC＝S△BOC＋S△C OA－S△AOB＝12－4.
(3)设AB边上的高为h，
则h＝＝＝.
对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d＝求得；也可以把A，B两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d＝求得，极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．
3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A，B，求第三个顶点C的坐标．
解：由题设知，A，B两点关于极点O对称．又|AB|＝4，所以由正三角形的性质知，|CO|＝2，∠AOC＝，从而C的极坐标为或.
[对应学生用书P6]
一、选择题
1．在极坐标系中，与点A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 与A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(k∈Z)，只有选项B满足．
2．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是，，则△AOB为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：选B 由题意知∠AOB＝－＝，故选B.
3．已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C A，B在极坐标中的位置，如图，
则由图可知∠AOB＝－＝.
在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，
所以，由余弦定理，得
|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·cos
＝9＋9－2×9×
＝18＋9＝(1＋)2.
∴|AB|＝.
4．已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )
A.， B.，
C.，(－1，) D.，(－1，－)
解析：选D 点P关于极点的对称点为，
即，且x＝2cos＝－2cos＝－1，
y＝2sin－＝－2sin＝－，所以选D.
二、填空题
5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为________．
解析：点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)．依题意得ρ＝x，θ＝y，即x2＋y2＝x2.
∴y＝θ＝0，ρ>0.∴M(ρ，0)．
答案：(ρ，0)
6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
解析：如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝.显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
答案：或
7．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝.
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
8．写出与直角坐标系中的点(－2,2)表示同一个点的所有点的极坐标________________．
解析：∵ρ＝ ＝ ＝4，
tan θ＝＝＝－，
∴θ＝.
∴点(－2,2)用极坐标表示为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
三、解答题
9．设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．
解：如图所示，关于极轴的对称点为B，
关于直线l的对称点为C，
关于极点O的对称点为D.
10．已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P的极坐标．
解：设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得
解得
∴点P的直角坐标为(3，－)．
ρ＝＝2，tan θ＝.
∵0≤θ<2π，点P在第四象限，∴θ＝.
∴点P的极坐标为.
11．在极轴上求与点A(4，)的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r,0)，因为A，
所以 ＝5.
即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
课件37张PPT。第一章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.2
极坐标系1.3 曲线的极坐标方程
[对应学生用书P8]
[读教材·填要点]
1．曲线的极坐标方程
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有的点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
2．直线的极坐标方程
(1)当直线l过极点，从极轴到l的角是θ0，则l的方程为θ＝θ0.
(2)当直线l过点M(d,0)且垂直于极轴时，l的方程为ρcos θ＝d.
(3)当直线l过点M(d，)，且平行于极轴时，l的方程为ρsin_θ＝d.
(4)极点到直线l的距离为d，极轴到过极点的直线l的垂线的角度为α，此时直线l的方程为ρcos_(α－θ)＝d.
[小问题·大思维]
1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？
提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如，给定曲线ρ＝θ，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可．
2．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？
提示：ρ的取值范围是全体实数．
[对应学生用书P8]
极坐标方程与直角坐标方程的互化
[例1] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)ρcos2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝.
[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.
化简，得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，
得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0.
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)∵ρcos2＝1，
∴ρ·＝1，
即ρ＋ρcos θ＝2
∴＋x＝2.
化简，得y2＝－4(x－1)．
(4)∵ρ2cos 2θ＝4，
∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，
即x2－y2＝4.
(5)∵ρ＝，
∴2ρ－ρcos θ＝1.
∴2－x＝1.
化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
1．求极坐标方程ρcos＝1所表示的直角坐标方程．
解：将ρcos＝1化为ρcos θ＋ρsin θ＝1.
将ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，得x＋＝1，
即x＋y－2＝0.
求曲线的极坐标方程
[例2] 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
[思路点拨] (1)利用两角差余弦公式展开，结合互化公式可得直角坐标方程．
(2)先求出P点的直角坐标，再求出OP的极坐标方程．
[精解详析] (1)由ρcos＝1
得ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)∵M点的直角坐标为(2,0)，
N点的直角坐标为，
所以P点的直角坐标为.
则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
2．设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程．
解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图．
设定圆O的半径为r，OM＝a，P(ρ，θ)是轨迹上任意一点．
∵MP⊥MA，∴|MA|2＋|MP|2＝|PA|2.
由余弦定理，可知|MA|2＝a2＋r2－2arcos θ，
|MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r－ρ，
由此可得a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2.
整理化简，得ρ＝.
求直线的极坐标方程
[例3] 求出下列直线的极坐标方程：
(1)过定点M(ρ0，θ0)，且与极轴成α弧度的角；
(2)过定点M(ρ0，θ0)，且与直线θ＝θ0垂直．
[思路点拨] 本题考查直线的极坐标方程的求法．解答本题需要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系．
[精解详析] (1)设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，且记∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2，
则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)．
在△OMP中应用正弦定理得
＝，
即ρ＝ρ0·＝ρ0·.
即直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
(2)设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图所示)，△OMP为直角三角形，显然有ρcos (θ－θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程．
求直线极坐标方程的步骤：
(1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标．
(2)写出动点满足的几何条件．
(3)把上述条件转化为ρ，θ的等式．
(4)化简整理．
3．求过A且和极轴所成角为的直线方程．
解：如图所示，A，
即|OA|＝3，∠AOB＝.
设M(ρ，θ)为直线上任一点，
由已知得∠MBx＝，
∴∠OAB＝－＝.
∴∠OAM＝π－＝.∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ.在△MOA中，根据正弦定理，得＝.
sin＝sin＝，
将sin展开，化简上面的方程，
可得ρ(sin θ＋cos θ)＝＋.
∴过A且和极轴所成角为的直线方程为
ρ(sin θ＋cos θ)＝＋.
[对应学生用书P10]
一、选择题
1．极坐标方程cos θ＝(ρ≥0)表示的曲线是( )
A．余弦曲线 B．两条相交直线
C．一条射线 D．两条射线
解析：选D ∵cos θ＝，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)．
又∵ρ≥0，∴cos θ＝表示两条射线．
2．在极坐标系中与曲线C：ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos θ＝2 B．ρsin θ＝2
C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin
解析：选A ρ＝4sin θ的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，ρcos θ＝2的普通方程为x＝2，圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．
3．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．重合
解析：选B 直线θ＝α化为直角坐标方程为y＝xtan α，ρsin(θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtan α＋.所以两直线平行．
4．过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程是( )
A．ρsin＝5 B．ρcos＝
C．ρsin＝ D．ρsin＝
解析：选C 直线θ＝即直线y＝x，∴过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线方程为y＝－x＋5，其极坐标方程为ρsin＝.
二、填空题
5．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点到直线l的距离为________．
解析：将直线l的极坐标方程ρsin θ＝3化为直角坐标方程为y＝3，点在直角坐标系中为(，1)，故点到直线l的距离为2.
答案：2
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
解析：∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
答案：1∶1
7．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
其普通方程为x2＋y2＝2y.
ρcos θ＝－1的普通方程为x＝－1.
联立解得
点(－1,1)的极坐标为.
答案：
8．在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动．当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标得A(0,1)．如图，过A作AB⊥直线l于B.因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，
则|OB|＝，θ＝，故B点的极坐标是B.
答案：
三、解答题
9．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．
解：由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，
即2x－y＋7＝0.
设M(ρ，θ)为直线上任意一点，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程
2x－y＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0.
这就是所求的极坐标方程．
10．在极坐标系中，曲线C：ρ＝10cos θ和直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A，B两点，求线段|AB|的长．
解：分别将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：
圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0)．
直线l：3x－4y－30＝0.
因为圆心C到直线l的距离d＝＝3，
所以|AB|＝2＝8.
11．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．
解：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcos θ＝4.
设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)．
∵点A在直线ρcos θ＝4上，
∴ρ0cos θ0＝4.①
∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝，
而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝，
∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.②
把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为
ρcos＝4.
由ρcos＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4.
∴点P轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．
课件35张PPT。第一章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.3
曲线的极坐标方程1.4 圆的极坐标方程
[读教材·填要点]
圆的极坐标方程
(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且圆过极点O，则圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ，－≤θ≤.
(2)圆心在点处，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asin_θ，0≤θ≤π.
[小问题·大思维]
相等的圆在同一极坐标中，极坐标方程是否相同？
提示：不一定．相等的圆只要在极坐标系中圆心的位置不同，极坐标方程就不一样．
求圆的极坐标方程
[例1] 求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．
[思路点拨] 结合题意作出图形，设出动点M(ρ，θ)，根据条件建立ρ，θ的关系式化简可求．
[精解详析] 如图，设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－，∠BMO＝，
从而△BOM为直角三角形，
所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，
即ρ＝4cos＝－4sin θ，
故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ，
∴x2＋y2＝－4y，
即x2＋(y＋2)2＝4为所求圆的直角坐标方程．
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法相同．
(2)用代入法求极坐标方程，设出要求轨迹的点的极坐标和与之相关的点的坐标，用相关点的坐标表示要求点的坐标，然后代入相关点坐标所满足的关系式即可求得要求点的轨迹方程．
1．在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P是OQ的中点，求P的轨迹．
解：(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ，OQ，则|OD|＝6，∠DOQ＝－θ，
或∠DOQ＝θ－，∠DQO＝.
在Rt△ODQ中，|OQ|＝|OD|cos，
即ρ＝6cos.
(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．
∴2ρ＝6cos.所以ρ＝3cos.
∴P的轨迹是圆．
直线与圆的极坐标方程的应用
[例2] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法．解答本题需要先求出圆与直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可．
[精解详析] (1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，
即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0.
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
2．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选D 直线ρsin＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得
2＝2 ＝4.
[对应学生用书P12]
一、选择题
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B.
C．(1,0) D．(1，π)
解析：选B 该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为，故选B.
2．极坐标方程ρ＝cos所表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：选D ∵ρ＝cos＝cos θ＋sin θ，
ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
∴x2＋y2＝x＋y，这个方程表示一个圆．
3．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4 B.
C．2 D．2
解析：选C ρ＝4sin θ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．由勾股定理：切线长为＝2.
4．点M，N分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN|的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ρsin θ＝2化为普通方程为y＝2，
ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，
圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y＝2的距离减去半径，即为2－1＝1，故选A.
二、填空题
5．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________________．
解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ，
∴x2＋y2－2x－y＝0.
答案：x2＋y2－2x－y＝0
6．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ过极点，一条直线l与圆相交于O，A两点，且∠AOx＝45°，则OA＝________.
解析：圆C的直角坐标方程为：x2＋(y－1)2＝1，
圆心(0,1)到直线OA：y＝x的距离为，
则弦长OA＝.
答案：
7．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，则圆C的极坐标方程为________．
解析：将圆心C(2，)化成直角坐标为(1，)，
半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.
再将圆C的方程化成极坐标方程，
得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5.
化简，得ρ2－4ρcos－1＝0，即为所求的圆C的极坐标方程．
答案：ρ2－4ρcos－1＝0
8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是_________________________________________________．
解析：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.
要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，
只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，
即>1，|m－5|>5，
解得m<0或m>10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
三、解答题
9.如图，在圆心极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．
解：设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.
故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为轨迹的直角坐标方程．
10．已知圆的极坐标方程为：ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解：(1)原方程变形为：ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
化成普通方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
(2)圆的参数方程为(α为参数)，
所以x＋y＝4＋2sin.
那么x＋y的最大值为6，最小值为2.
11．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－sin θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．
(2)由
相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.
课件25张PPT。第一章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二1.4
圆的极坐标方程柱 坐 标 系
[读教材·填要点]
1．柱坐标系的概念
设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为任意实数．
2．直角坐标与柱坐标的转化
空间点M的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
[小问题·大思维]
1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？
提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．
2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？
提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面．
将直角坐标化为柱坐标
[例1] 已知空间点M的直角坐标为(4，4,3)，求它的柱坐标．
[思路点拨] 本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法．解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．
[精解详析] 由公式
得ρ2＝x2＋y2，z＝3.
∴ρ2＝(4)2＋(4)2＝48＋16＝64.
∴ρ＝8.
tan θ＝＝＝，又x>0，y>0，点在第一象限，
∴θ＝.
∴点M的柱坐标为.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ.要注意求出tan θ，还要根据点M所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵ρ＝＝2，tan θ＝＝，
∴点M的柱坐标为.
将柱坐标化为直角坐标
[例2] 已知点M的柱坐标为，求它的直角坐标．
[思路点拨] 本题考查柱坐标与直角坐标的转化．解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．
[精解详析] ∵M点的柱坐标为，
∴ρ＝8，θ＝.
由公式得即
∴M点的直角坐标为(4，4,4)．
已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式即可．
2．已知点M的柱坐标为(，，1)，求M关于原点O对称的点的柱坐标．
解：M的直角坐标为
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．
ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝.
tan θ＝＝1，又x＜0，y＜0，
∴θ＝.
∴其柱坐标为.
∴M关于原点O对称的点的柱坐标为.
柱坐标系的应用
[例3] 给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标．
[思路点拨] 本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法．解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题．
[精解详析] 以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴，y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系．
下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1,0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π.
上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2,2)，其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π.
侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z)，其中0≤θ3＜2π，0≤z≤2.
(1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．
(2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征．
3．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系．求点A的柱坐标．
解：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置．
∴点A的柱坐标为.
一、选择题
1．点M的柱坐标为，转换为直角坐标为( )
A．(5,8,8) B．(8,8，5)
C．(8，8,5) D．(4,8，5)
解析：选B 由公式得
即M点的直角坐标为(8,8，5)．
2．已知点M的直角坐标为(3,3,3)，则它的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由公式得
∴ρ2＝32＋32＝18.∴ρ＝3.
∴cos θ＝，sin θ＝.
又∵θ∈[0,2π)，
∴θ＝.
∴M点的柱坐标为.
3．在柱坐标系中，方程ρ＝2表示空间中的( )
A．以x轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
B．以y轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
C．以z轴为中心轴，底半径为2的圆柱面
D．以原点为球心，半径为2的球面
解析：选C 由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z轴为中心，底面半径为2的圆柱面．
4．空间点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，它关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z) B．(ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)
解析：选C 点M(ρ，θ，z)关于点O(0,0,0)的对称点为M′(ρ，π＋θ，－z)．
二、填空题
5．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．
解析： ∵x＞0，y＝0，∴tan θ＝0，θ＝0，
ρ＝＝1.
∴柱坐标为(1,0,5)．
答案：(1,0,5)
6．点M的柱坐标为，则点M与原点的距离为________．
解析：点M的直角坐标为(4，4，2)，
∴它与原点的距离为
＝2.
答案：2
7．设点M的直角坐标为(1，－，4)，则点M的柱坐标为________．
解析：ρ＝＝＝2.
tan θ＝＝－.又x＞0，y＜0，
∴θ＝.∴柱坐标为.
答案：
8．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称的点的柱坐标为________．
解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.
答案：
三、解答题
9．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称的点的柱坐标．
解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．
由变换公式得
ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝.
tan θ＝＝－1.又x＞0，y＜0，
∴θ＝.
∴其关于xOz平面对称的点的柱坐标为.
10．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中什么曲面？方程z＝－1表示什么曲面？
解：方程ρ＝1表示以z轴为中心轴，以1为底面半径的圆柱面；方程z＝－1表示与xOy坐标面平行的平面，且此平面与xOy面的距离为1，并且在xOy面的下方．
11．如图所示，一个底面半径为r，高为h的圆柱OO′，四边形ABCD是其轴截面，EF是圆柱的一条母线，且∠BOE＝，G为EF的中点．试建立适当的柱坐标系，求A，C，G的坐标．
解：如图所示，建立柱坐标系．则A点的柱坐标为，C点的柱坐标为，G点的柱坐标为.
课件29张PPT。第一章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.5
1.5.1
柱
坐
标
系1．5.2 球 坐 标 系
[读教材·填要点]
1．球坐标系
设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0，设z轴的正向与向量的夹角为φ，x轴的正向与0的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组(r，θ，φ)称为空间中点M的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．直角坐标与球坐标的转化
空间点M的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
[小问题·大思维]
球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？
提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.
将球坐标化为直角坐标
[例1] 已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．
[思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．
[精解详析] ∵M的球坐标为，
∴r＝5，φ＝，θ＝.
由变换公式
得
故它的直角坐标为.
已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.
1．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
解：由变换公式得
x＝rsin φcos θ＝4sin cos＝2，
y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2，
z＝rcos φ＝4cos＝－2.
∴它的直角坐标为(2,2，－2).
将直角坐标化为球坐标
[例2] 设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标．
[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．
[精解详析] 由坐标变换公式，可得
r＝＝＝2.
由rcos φ＝z＝，
得cos φ＝＝，φ＝.
又tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，
所以知M点的球坐标为.
由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．
2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．
解：由变换公式得
r＝＝＝1.
由rcos φ＝z＝－得cos φ＝－，φ＝.
又tan θ＝＝(r>0，y>0)，
得θ＝，
∴M的球坐标为.
球坐标系的应用
[例3] 在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．
[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．
[精解详析] 如图所示，因为A，
B，
可知∠AOO1＝∠O1OB＝，
∴∠O1AO＝∠O1BO＝.
又∠EOC＝，∠EOD＝，
∴∠COD＝－＝.
∴∠AO1B＝∠COD＝.
在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，
∴O1B＝O1A＝R.
∵∠AO1B＝，∴AB＝R.
在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.
故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.
我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．
3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．
解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，
∠BOO1＝.
∴在△AOO1中，OO1＝4.
在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，
∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8.
即两个截面间的距离O1O2为8.
一、选择题
1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为( )
A．－ B.
C. D.
解析：选A ∵φ＝，
∴OP与OP0之间的夹角为＝.
2．点M的球坐标为(r，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )
A．(－r，－φ，－θ) B．(r，π－φ，π－θ)
C．(r，π＋φ，θ) D．(r，π－φ，π＋θ)
解析：选D 设点M的直角坐标为(x，y，z)，则点M关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(－x，－y，－z)，设M′的球坐标为(r′，φ′，θ′)，因为
所以
可得
即M′的球坐标为(r，π－φ，π＋θ)．
3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(1,0,0) B．(－1，－1,0)
C．(0，－1,0) D．(－1,0,0)
解析：选D x＝rsin φcos θ＝1·sin ·cos π＝－1，
y＝rsin φsin θ＝1·sinsin π＝0，
z＝rcos φ＝1·cos＝0，
∴它的直角坐标为(－1,0,0)．
4．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A．P(5,1,1)，B
B．P(1,1,5)，B
C．P，B(1,1,5)
D．P(1,1,5)，B
解析：选B 球坐标与直角坐标的互化公式为
柱坐标与直角坐标的互化公式为
设P点的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝cos ＝×＝1，
y＝sin ＝1，z＝5.
设B点的直角坐标为(x′，y′，z′)，
则x′＝sin cos ＝××＝，
y′＝sin sin ＝××＝，
z′＝cos ＝×＝.
所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.
二、填空题
5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．
解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R，，.
答案：
6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．
解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．
答案：(－2,2,2)
7．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为________．
解析：由坐标变换公式，
得r＝＝＝2，
cos φ＝＝，∴φ＝.
∵tan θ＝＝＝1，
又∵x<0，y<0，∴θ＝.
∴M的球坐标为.
答案：
8．在球坐标系中，方程r＝1表示________，方程φ＝表示空间的________．
解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．
答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面
三、解答题
9．如图，请你说出点M的球坐标．
解：由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ.设M在xOy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，θ，φ)表示．
∴M点的球坐标为M(R，θ，φ)．
10．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
解：根据坐标变换公式
得
∴点P的直角坐标为.
11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)
解：O是△BCD的中心，则OC＝OD＝OB＝，AO＝.
∴C，D，B，A.
[对应学生用书P19]
[对应学生用书P19]
利用平面直角坐标系解决几何问题
1．利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．
2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．
[例1] 线段AB与CD互相垂直且平分于点O，|AB|＝2a，|CD|＝2b，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．
[解] 以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，如图所示．设P(x，y)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，由题设，知
|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.
∴ ·
＝ ·.
化简得x2－y2＝，
∴动点P的轨迹方程为x2－y2＝.
平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(X，Y)对应点P′(x′，y′)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(X－5)2＋(Y＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
[解] 将代入(X－5)2＋(Y＋6)2＝1中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化简，得
2＋(y＋3)2＝.
该曲线是以为圆心，为半径的圆.
极坐标的求法
1．在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．
3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．
[例3] △ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
[解] 如图，令A(ρ，θ)．
△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，
又|BC|＝10，|AB|＝ρ，所以由正弦定理，得＝.化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.
极坐标与直角坐标的互化
1．互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．
2．互化公式为
3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．
(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；
(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；
(3)ρ＝4；
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.
[解] (1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ，
得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax.
整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.
它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．
(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，
即x2＋y2＝9x＋9y，
又可化为2＋2＝.
它是以为圆心，以为半径的圆．
(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.
它是以原点为圆心，以4为半径的圆．
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5.
它是一条直线.
柱坐标系与球坐标系
1．柱坐标：设M是空间内任意一点，它在xOy平面上的射影为M0，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点M的柱坐标．
2．球坐标：建立空间直角坐标系O -xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为φ，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为θ，则M(r，θ，φ)为M点的球坐标．
[例5] 在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
[例6] 如图，长方体OABC—D′A′B′C′中，OA＝OC＝a，BB′＝OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P的球坐标．
[解] r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，
而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，
tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，
θ＝∠AOB＝.∴点P的球坐标为.
[对应学生用书P21]
一、选择题
1．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A. B.
C. D.，k∈Z
解析：选C ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.
又∴
∴θ＝π＋2kπ，k∈Z.
即点M的极坐标为，k∈Z.
2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
解析：选C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x＝1.
3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.
4．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )
A.－1 B.－1
C．1 D.
解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.
二、填空题
5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．
解析：原方程化为直角坐标方程为－＝1，
∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．
答案：(，0)，(，π)
6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．
解析：x＝6·sin·cos ＝3，
y＝6sinsin＝3，
z＝6cos＝0，
∴它的直角坐标为(3,3，0)．
答案：(3,3，0)
7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，
解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.
答案：2
8．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．
解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为＝＝2.
答案：2
三、解答题
9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．
解：设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，
得a2x2＋b2y2＝1.
又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，
∴又∵a>0，b>0，
∴a＝，b＝.
∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为
10．已知A，B两点的极坐标分别是，，求A，B两点间的距离和△AOB的面积．
解：求两点间的距离可用如下公式：
|AB|＝＝＝2.
S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝2×4×sin＝×2×4＝4.
11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．
解：(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C上任意一点．在△OCM中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos .化简整理，
得ρ2－6·ρcos ＋8＝0为圆C的轨迹方程．
(2)设Q(ρ1，θ1)，
则有ρ－6·ρ1cos ＋8＝0.①
设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3?ρ1＝ρ，
又θ1＝θ，所以
代入①得ρ2－6·ρcos＋8＝0，
整理得ρ2－15ρcos＋50＝0为P点的轨迹方程．
课件32张PPT。第一章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三1.5
1.5.2
球
坐
标
系第一章 坐标系
[对应阶段质量检测(一)P45]
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．将点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为ρ＝＝＝2，
tan θ＝＝，点M在第三象限，θ＝.
所以点M的极坐标为.
2．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－2)的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，把点(－2，－2)代入即可得ρ＝4，tan θ＝.因为点(－2，－2)在第三象限，
所以θ＝.
3．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，
∴2＋2＝4.
令得X2＋Y2＝4，即x2＋y2＝4，
∴伸缩变换为所求．
法二：将x2＋y2＝4改写为X2＋Y2＝4.
设满足题意的伸缩变换为
代入X2＋Y2＝4得a2x2＋b2y2＝4，
即＋＝1.
与椭圆＋＝1比较系数得
解得
∴伸缩变换为即
4．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )
解析：选C ∵ρ＝2sin＝(sin θ＋cos θ)，
∴ρ2＝ρsin θ＋ρcos θ，
化为普通方程为x2＋y2＝x＋y，
∴2＋2＝1，
∴圆心的坐标为.
结合四个图形，可知选C.
5．圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：圆ρ＝(cos θ＋sin θ)＝2sin ，可以看成由圆ρ＝2sin θ顺时针旋转得到．
而ρ＝2sin θ的圆心为，顺时针旋转得到，
∴ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心坐标为.
法二：圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
∴2＋2＝1.
圆心的直角坐标为，化为极坐标为.
6．已知点P的坐标为(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线方程是( )
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ
C．ρ＝－ D．ρ＝
解析：选C 由点P的坐标可知，过点P且垂直于极轴的直线方程在直角坐标系中为x＝－1，即ρcos θ＝－1.
7．曲线θ＝与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )
A．1 B.
C．3 D．6
解析：选C 极坐标方程θ＝，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心为C(3，)，
∠AOC＝，
∴|AO|＝2×3×cos＝6×＝3.
8．把函数y＝sin 2x的图象变成y＝sin的图象的变换是( )
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
解析：选A 设y′＝sin 2，
变换公式为
将其代入y′＝sin 2，得μy＝sin 2，
∴μ＝1，λ＝－，∴
由函数y＝sin2x的图象得到y＝sin的图象所作的变换为
故是向左平移个单位．
9．(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
解析：选A 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，且y＝1－x，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝.又0≤x≤1，所以0≤y≤1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤.
10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(θ＋)(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r
B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
C.ρ(sin θ＋cos θ)＝r
D.ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
解析：选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2. ①
圆ρ＝－2rsin
＝－2r
＝－r(sin θ＋cos θ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsin θ＋ρcos θ)．
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0. ②
①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－r.
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)
11．直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程为________．
解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0.
取θ－α＝.
答案：θ＝＋α
12．(陕西高考)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．
解析：点化为直角坐标为(，1)，直线方程可化为ρsin θ－ρcos θ＝1，即x－y＋2＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝1.
答案：1
13．(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝x，联立消去y，得x2＝x，解得x＝或x＝0，所以y＝x＝3，即a＝3.
答案：3
14．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________.
解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，
则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
∵MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
∴PN⊥直线Oy.
∴|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
∴|OM|＝ ＝ ＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
∴|MN|＝ ＝ ＝.
答案：3
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．
解：设A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)，
∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36.①
M分的比为.
∴?②
将②式代入①式，化简为＋＝1.
16．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知两圆C1：ρ＝2cos θ和C2：ρ＝2sin θ，求过两圆圆心的直线的极坐标方程．
解：由极坐标系与直角坐标系的互化关系知：
圆C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，C1(1,0)，
圆C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－1)2＝1，C2(0,1)．
∴过两圆圆心的直线方程为x＋y－1＝0，
∴对应的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1.
17．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcosθ＋＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x2＋y2＝－x，
即2＋y2＝.它表示圆心为，半径为的圆．
将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0.
∵圆心(－，0)到直线的距离为＝＞1，
∴直线与圆相离．
18．(本小题满分14分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，P′，使OP·OP′＝9.建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)．设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.
设M(x，y)，则由解得
(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36
(x≠0)，所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．
课件30张PPT。章末小结
知识整合与阶段检测 考点三考点五第一章命题热点例析阶段质量检测考点一考点二知识结构图示考点四2.1 曲线的参数方程
[读教材·填要点]
定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数
a≤t≤b①
如果对于t的每一个值(a≤t≤b)①式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x，y)，都可由t的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．如果从参数方程中消去参数t，就得到联系x和y的方程F(x，y)＝0，则方程F(x，y)＝0是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程)．
[小问题·大思维]
1．参数方程中的参数t是否一定有实际意义？
提示：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？
提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如和(m∈R) 都表示直线x＝2y＋1.
将参数方程化为普通方程
[例1] 指出下列参数方程表示什么曲线：
(1)(t为参数)
(2)(t为参数)
(3)(t为参数)
[思路点拨] 本题考查化参数方程为普通方程的方法．解答此题需要从一个方程中解出t，代入另一个方程．
[精解详析] (1)(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，
即(x－1)2＋(y＋2)2＝16，表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆．
(2)2＋2＝cos2t＋sin2t＝1，
即＋＝1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
(3)x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，
即y2－x2＝4.
又2t>0，y≥2 ＝2，
故y2－x2＝4(y≥2)，它表示双曲线的上支．
(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：
①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．
②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如，对于参数方程如果t是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消参；如果θ是常数，t是参数，那么可以利用(t＋)2－(t－)2＝4消参．
(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．
1．已知曲线的参数方程为0≤θ≤2π.
把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线．
解：由x＝sin θ＋1，y＝cos θ＋3可得sin θ＝x－1，
cos θ＝y－3.由sin2θ＋cos2θ＝1得(x－1)2＋(y－3)2＝1，
∴曲线的普通方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，它表示以(1,3)为圆心.1为半径的圆．
求曲线的参数方程
[例2] 经过原点作圆x2－2ax＋y2＝0的弦，求这些弦的中点的轨迹参数方程．
[思路点拨] 本题考查曲线参数方程的求法．解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.
[精解详析] 如图，设OQ是经过原点的任意一条弦，OQ的中点是M(x，y)，设弦OQ和x轴的夹角为θ，取θ作为参数．已知圆的圆心是O′(a,0)，连接O′M，那么O′M⊥OQ，过点M作MM′⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
∴(θ为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标，画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．
(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．
2．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，交OA于D，PB∥OA.试求点P的轨迹的参数方程．
解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ.由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
(－<θ<)
一、选择题
1．将参数方程(0≤θ≤2π)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：选C 化为普通方程：y＝x－2，但是x∈[2,3]，y∈[0,1]．
2．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )
A．(2,3) B．(1,5)
C. D．(2,0)
解析：选D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.
3．曲线的参数方程为则曲线是( )
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆 D．射线
解析：选D 消去参数得x－3y－5＝0，且x≥2，故是射线．
4．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
解析：选D A显然错误，B中x∈[－1,1]与原题中x的范围不同，C可化为y－＝0，故选D.
二、填空题
5．方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹的参数方程为________．
解析：由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
设圆心坐标为(x，y)，
则
答案：
6．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系__________________________(填点是否在曲线上)．
解析：将M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t＝0.
因此M1在曲线C上．同理可知方程组无解，
故M2不在曲线C上．
答案：M1在曲线C上，M2不在曲线C上
7．若点(x，y)在曲线(0≤θ≤2π)上，则x2＋y2的最小值是________．
解析：法一：由题可知，x2＋y2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)(tan φ＝)，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.
法二：将原式转化为普通方程(x－3)2＋(y＋4)2＝4，它表示圆．令t＝x2＋y2，则t可看成圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin＝[－2]2＝9，所以x2＋y2的最小值为9.
答案：9
8．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1.直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝.
答案：
三、解答题
9．化下列参数方程为普通方程：
(1)(t∈R且t≠－1)；
(2).
解：(1)变形为
∴x≠－1，y≠2.∴x＋y＝1(x≠－1)．
(2)
②式平方，再结合①得y2＝x2＋2x.
由x＝tan θ＋
知|x|≥2.
所以方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．
10．物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，求以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程．
解：设物体抛出的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，
由于物体作平抛运动，
依题意，得
这就是物体所经路线的参数方程．
11．舰A在舰B的正东，相距6 km；舰C在舰B的北偏西30°，相距4 km.它们准备围捕海中某动物，某时刻舰A发现动物信号，4 s后舰B、舰C同时发现这种信号，舰A于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 km/s，炮弹初速度为 km/s，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．
解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)．设该动物位于P(x，y)．因为|BP|＝|CP|，所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝(x＋7)．
又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是－＝1.
从而得P(8,5)．
设∠xAP＝α，则tan α＝kAP＝，∴α＝60°.这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′(如图)．|PA|＝10，设弹道曲线方程是(其中θ为仰角)．
将P(10,0)代入，消去t便得sin 2θ＝，θ＝30°或60°.这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.
课件31张PPT。第二章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二2.1
曲
线
的
参
数
方
程2．2.1 直线的参数方程
[读教材·填要点]
1．直线的参数方程：经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．
2．过点M0(x0，y0)且与平面向量a＝(l，m)平行的直线l的参数方程为t∈R
当M0M―→与a同向时，t取正数；当M0M―→与a反向时，t取负数．
[小问题·大思维]
1．经过点M(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是什么？
提示：根据直线参数方程的定义，易得
即
2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为何值？
提示：直线l的参数方程可化为故直线的斜率为tan ＝－1.
直线参数方程的求法
[例1] 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)和点N(－2,6)的距离．
[思路点拨] 本题考查直线参数方程的求法及其简单应用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角α，然后写出直线l的参数方程．
[精解详析] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为.设直线的倾斜角为α，
则tan α＝，sin α＝，cos α＝.
又点P(1,1)在直线l上，
所以直线l的参数方程为
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．
由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.
因为点N不在直线l上，故根据两点的距离公式，
可得|PN|＝＝.
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．
其中k＝tan α，α为直线的倾斜角，代入上式，得
y－y0＝·(x－x0)，α≠，即＝.
记上式的比值为t，整理后得
1．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
解：设直线的参数方程为
将它代入3x＋2y－6＝0得
3＋2＝6，
解得t＝－，
∴|MP0|＝|t|＝.
直线的参数方程的应用(直线与圆)
[例2] 已知直线的参数方程为它与曲线(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．
(1)求|AB|的长；
(2)求点P(－1,2)到线段AB中点C的距离．
[思路点拨] 本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应用．解答本题需先求出直线l的参数方程，然后根据相关概念及性质求解即可．
[精解详析] (1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2＋6t－2＝0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－，t1t2＝－.
所以，线段|AB|的长为
|t1－t2|＝5＝ .
(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为＝－.
所以，由t的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB中点C的距离为·＝.
不用求出A，B两点的坐标，根据直线参数方程中t的几何意义，再根据根与系数的关系即可求出AB及点P到AB中点C的距离．
2．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝.
(1)写出直线l的参数方程．
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P 到A，B两点的距离之积．
解：(1)直线的参数方程为
即
(2)把代入x2＋y2＝4，
得(1＋t)2＋(1＋t)2＝4，t2＋(＋1)t－2＝0，
t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.
直线的参数方程的应用(直线与圆锥曲线)
[例3] 过点P(，0)作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．
[思路点拨] 本题考查直线与椭圆的位置关系．解答本题需要先确定直线的参数方程，然后利用参数的几何意义求解．
[精解详析] 设直线的参数方程为
t为参数，
代入曲线方程并整理得
(1＋sin2α)t2＋(cos α)t＋＝0，
则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝，
所以当sin2α＝1时，即α＝时，|PM|·|PN|的最小值为，此时α＝.
直线的参数方程中，参数t具有明显的几何意义，搞清参数t的几何意义是解决此类问题的关键．
3．已知椭圆的参数方程(0≤θ≤2π)，求椭圆上一点P到直线的最短距离．
解：由题意，得P(3cos θ，2sin θ)，直线：2x＋3y－10＝0.
d＝＝，
而6sin－10∈[－6－10,6－10]，
∴∈.
∴dmin＝.
一、选择题
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D k＝＝－＝－.
2．直线l的参数方程为l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离为( )
A．|t1| B．2|t1|
C.|t1| D.|t1|
解析：选C 点P1对应的点的坐标为(a＋t1，b＋t1)，
∴|PP1|＝＝＝|t1|.
3．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.
4．过点(0,2)且与直线互相垂直的直线的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 直线化为普通方程为y＝x＋1－2，其斜率k1＝，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－，故参数方程为(t为参数)．
二、填空题
5．直线l过点M0(1,5)，倾斜角是，且与直线x－y－2＝0交于M，则|MM0|的长为________．
解析：直线l的方程为
代入x－y－2＝0，得(1－)t＝8＋4.
解得|MM0|＝|t|＝10＋6.
答案：10＋6
6．直线上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．
解析：设P(－2－t,3＋t)是直线上满足条件的点，则(－t)2＋(t)2＝()2，t2＝，t＝±，则P(－3,4)或(－1,2)．
答案：(－3,4)或(－1,2)
7．设直线的参数方程为点P在直线上，且与点M0(－4,0)的距离为，若该直线的参数方程改写成(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为________．
解析：由|PM0|＝知，t＝±，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t＝1或t＝－1.
答案：±1
8．直线过定点________．
解析：消去t得＝，即－(y＋1)a＋4x－12＝0，则x＝3，且y＝－1时，对于任何a都成立．
答案：(3，－1)
三、解答题
9．直线l1过点M(1,2)，且与向量α＝(3，－1)共线．
(1)写出该直线的参数方程；
(2)直线l2的方程为2x＋y－1＝0，且l1交l2于N，求|MN|.
解：(1)直线l1的参数方程为
(2)把l1的参数方程代入l2的方程中，得
2(1＋3t)＋2－t－1＝0.
解得t＝－，N的坐标为.
∴|MN|2＝2＋2＝，
|MN|＝.
10．已知直线l1的参数方程为l2的参数方程为试判断l1与l2的位置关系．
解：法一：将直线l1的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1；将l2的参数方程化为普通方程，得y＝－x－2.
因为k1·k2＝2×＝－1，所以两直线垂直．
法二：由参数方程知l1与向量a1＝(2,4)平行，l2与向量a2＝(2，－1)平行．
又2×2＋4×(－1)＝0，∴l1⊥l2，
即两条直线垂直．
11．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设此直线与曲线C：(0≤θ≤2π)交于A，B两点，求|PA|·|PB|；
(3)设A，B中点为M，求|PM|.
解：(1)直线l的参数方程是
(2)消去曲线C中的参数，得4x2＋y2－16＝0，
把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，
得42＋2＝16，
化简为13t2＋12(1＋4)t＋116＝0.
由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，
∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
(3)由t的几何意义知，中点M对应的参数为，
∴|PM|＝＝.
课件35张PPT。第二章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三2.2
2.2.1
直
线
的
参
数
方
程2．2.2 圆的参数方程
[读教材·填要点]
如图，质点以匀角速度ω做圆周运动，圆心在原点，半径为R，记t为时间，运动开始时t＝0，质点位于点A处，在时刻t，质点位于点M(x，y)处，θ＝ωt，θ为Ox轴正向到向径所成的角，则圆的参数方程为(t≥0)，也可写成(0≤θ≤2π)．
若圆心在点M0(x0，y0)处，半径为R，则圆的参数方程为(0≤θ≤2π)．
[小问题·大思维]
1．方程(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？
提示：以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝R2，即2＋2＝1.
令则
2．参数方程(0≤θ≤π)表示什么曲线？
提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)．
求圆的参数方程
[例1] 点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ.以φ为参数，求圆的参数方程．
[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．
[精解详析] 如图，设圆心为O′，连接O′M.
①当M在x轴上方时，
∠MO′x＝2φ.
∴
②当M在x轴下方时，
∠MO′x＝2φ，
∴
即
③当M在x轴上时，
对应φ＝0或φ＝±.
综上得圆的参数方程为
－≤φ≤.
(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．
(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成φ的意义就改变了．
1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．
解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，
得x＝，y＝，
∴参数方程为
答案：
圆的参数方程的应用
[例2] (福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
[思路点拨] (1)化参数方程为普通方程．
(2)利用圆心到直线的距离d≤4可求．
[精解详析] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解．
2. 设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹的参数方程．
解：设M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，
则0≤θ≤2π，
即为所求的参数方程．
[例3] 已知点P(x，y)是圆0≤θ≤2π上的动点．
(1)求x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题．解决本题需要正确求出圆x2＋y2＝2y的参数方程，然后利用参数方程求解．
[精解详析] (1)∵P在圆上，
∴x＋y＝cos θ＋sin θ＋1＝2sin(θ＋)＋1.
∴－2＋1≤x＋y≤2＋1，即x＋y的取值范围为
[－1,3]．
(2)x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0，
∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1.
又－(cos θ＋sin θ)－1＝－sin(θ＋)－1≤－1，
∴a≥－1，即a的取值范围为[－1，＋∞)．
(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．
(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．
3．将参数方程(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是________________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．
解析：易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为－1.
答案：(x－1)2＋y2＝1 －1
一、选择题
1．圆的参数方程为0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(2,0)
解析：选D 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
故圆心坐标为(2,0)．
2．若直线2x－y－3＋c＝0与曲线(0≤θ≤2π)相切，则实数c等于( )
A．2或－8 B．6或－4
C．－2或8 D．4或－6
解析：选C 将曲线(0≤θ≤2π)化为普通方程为x2＋y2＝5，由直线2x－y－3＋c＝0与圆x2＋y2＝5相切，可知＝，解得c＝－2或8.
3．P(x，y)是曲线0≤α≤2π上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6
C．26 D．25
解析：选A 设P(2＋cos α，sin α)，代入得
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝，φ为锐角)．
∴最大值为36.
4．已知曲线C：(0≤θ≤2π)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝( )
A. B．－
C．0 D．±
解析：选D 将曲线C和直线l的参数方程分别化为普通方程为x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到＝1，解得b＝±.
二、填空题
5．把圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．
解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，
故参数方程为(0≤θ≤2π)．
答案：(0≤θ≤2π)
6．已知圆C：与直线x＋y＋a＝0有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：将圆C的方程代入直线方程，得
cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin.
∵－1≤sin≤1，∴1－≤a≤1＋.
答案：[1－，1＋]
7．直线(t为参数)与圆(0≤α≤2π)相切，则θ＝________.
解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为或.
答案：或
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．
解析：设P(x，y)为动圆的圆心，
由x2＋y2－2axcosθ－2bysin θ＝0，
得(x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos2θ＋
b2sin2θ.
∴
答案：
三、解答题
9．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
参数方程为(0≤θ≤2π)．
10．已知实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，求t＝x＋y的最大值．
解：方程x2＋(y－1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．
∴其参数方程为
∴t＝x＋y＝cos θ＋sin θ＋1
＝sin(θ＋)＋1.
∴当sin(θ＋)＝1时，tmax＝＋1.
11．已知过点M(2，－1)的直线l：(t为参数)，与圆x2＋y2＝4交于A、B两点， 求|AB|及|AM|·|BM|.
解：l的参数方程为(t为参数)．
令t′＝，则有(t′是参数)．
其中t′是点M(2，－1)到直线l上的一点P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程x2＋y2＝4，化简得t′2－3t′＋1＝0.∵Δ>0，可设t1′、t2′是方程的两根，由根与系数关系得t1′＋t2′＝3，t1′t2′＝1.由参数t′的几何意义得|MA|＝|t1′|，|MB|＝|t2′|，∴|MA|·|MB|＝|t1′·t2′|＝1，|AB|＝|t1′－t2′|＝＝.
课件31张PPT。第二章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二2.2
2.2.2
圆
的
参
数
方
程2．3.1 椭圆的参数方程
[读教材·填要点]
椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是,0≤t≤2π.中心在M0(x0，y0)的椭圆＋＝1的参数方程是0≤t≤2π.
[小问题·大思维]
1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆＋＝1的参数方程是什么？
提示：由得
即参数方程为(0≤φ≤2π)．
2．圆的参数方程中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？
提示：圆的参数方程(0≤θ≤2π)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(0≤φ≤2π)中的φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
利用椭圆的参数方程求最值
[例1] 已知椭圆＋＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．
[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B，C，D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．
[精解详析] ∵椭圆方程为＋＝1，
∴可设A点的坐标为(10cos α，8sin α)，
则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|.
∴S矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|.
∵|sin 2α|≤1，
∴矩形ABCD的最大面积为160.
利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：
(1)求出椭圆的参数方程；
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；
(3)借助三角函数的知识求最值．
1．已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2φ的最大值与最小值．
解：椭圆＋＝1的参数方程为0≤φ≤2π.
代入目标函数得
z＝5cos φ－8sin φ＝cos(φ＋φ0)
＝cos(φ＋φ0).
所以zmin＝－，zmax＝.
利用椭圆的参数方程求轨迹方程
[例2] 由椭圆＋＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程．
[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即M点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P的坐标即可求得轨迹．
[精解详析] 椭圆＋＝1的参数方程为(0≤θ≤2π)，
∴设M(2cos θ，3sin θ)，P(x，y)，
∴消去θ，得＋＝1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．
利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos 2θ＝1进行消参．本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
2．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A在椭圆上，所以＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则
x＝，y＝，
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
消去θ，得(x＋)2＋＝1.
利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题
[例3] 已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[思路点拨] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1，B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出|OP|·|OQ|即可．
[精解详析] 设M(2cos φ，sin φ)(0≤φ≤2π)，B1(0，－1)，B2(0,1)，
则MB1的方程：y＋1＝·x.
令y＝0，则x＝，
即|OP|＝.MB2的方程：y－1＝x，
∴|OQ|＝.
∴|OP|·|OQ|＝×＝4.
即|OP|·|OQ|＝4为定值．
(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明．
(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．
3．求证：椭圆(a>b>0,0≤θ≤2π)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a＋c(其中c2＝a2－b2)．
证明：M，F的坐标分别为(acos θ，bsin θ)，(－c,0)．
|MF|2＝(acos θ＋c)2＋(bsin θ)2
＝a2cos2θ＋2accos θ＋c2＋b2－b2cos2θ
＝c2cos2θ＋2accos θ＋a2
＝(a＋ccos θ)2.
∴当cos θ＝1时，|MF|2最大，|MF|最大，最大值为a＋c.
[对应学生用书P33]
一、选择题
1．椭圆(0≤θ≤2π)的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由椭圆的参数方程可知a＝5，b＝2.
所以c＝＝，
故椭圆的离心率e＝＝，故选C.
2．曲线(0≤θ≤2π)中两焦点间的距离是( )
A. B.
C．2 D．2
解析：选C 曲线化为普通方程为＋＝1，∴c＝，故焦距为2.
3．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2 B．4
C.＋ D．2
解析：选D 椭圆为＋＝1，设P(cosθ，2sinθ)，
x＋y＝cosθ＋sinθ＝2sin≤2.
4．已知曲线0≤θ≤π上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )
A．(3,4) B.
C．(－3，－4) D.
解析：选D 因为＝tan θ＝tan ＝1，所以tan θ＝.所以cos θ＝，sin θ＝，代入得P点坐标为.
二、填空题
5．已知曲线C：(0≤θ≤2π)经过点，则m＝________.
解析：将曲线C：(参数θ∈R)化为普通方程为x2＋＝1，将点代入该椭圆方程，得m2＋＝1，即m2＝，所以m＝±.
答案：±
6．曲线(0≤θ≤2π)的左焦点的坐标是________．
解析：题中曲线的普通方程为＋＝1，左焦点为(－4,0)．
答案：(－4,0)
7．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆0≤θ≤2π，恒有公共点，则b的取值范围是________．
解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y＝x＋b得：
4sin θ＝2cos θ＋b.
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
令f(θ)＝4sin θ－2cos θ
＝2sin (θ＋φ)(tan φ＝)．
∴－2≤f(θ)≤2.
∴－2≤b≤2.
答案：[－2，2]
8．直线x＋y＝2被椭圆0≤φ≤2π截得的弦长为________．
解析：把
代入x＋y＝2得cos φ＋sin φ＝.
即sin(φ＋)＝，于是φ＝0或φ＝，得两交点M(2，0)，N(，)，|MN|＝＝.
答案：
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
解：椭圆＋y2＝1的参数方程为0≤φ≤2π.
故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，
其中0≤φ≤2π.
因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2(cos φ＋sin φ)＝2sin(φ＋)．
所以当φ＝时，S取最大值2.
10．P为椭圆＋＝1上的点，求P到直线l：3x－4y－24＝0的距离的取值范围．
解：设P的坐标为(4cos θ，3sin θ)，则P到l的距离为
d＝＝
＝.
当cos＝－1时，d取最大值；
当cos＝1时，d取最小值.
综上，所求的取值范围为.
11．椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴正半轴交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为坐标原点)，求离心率e的取值范围．
解：由题意，知A(a,0)，若存在点P，使OP⊥AP，
则点P必落在第一或第四象限，故根据椭圆的参数方程可设P(acos φ，bsin φ)，φ∈∪.
因为OP⊥AP，
所以kOP·kAP＝－1，即·＝－1.
所以b2sin2φ＋a2cos2φ－a2cos φ＝0，
即(a2－b2)cos2φ－a2cos φ＋b2＝0.
解得cos φ＝或cos φ＝1(舍去)．
由φ∈∪，
得0所以0<<1，把b2＝a2－c2代入，
得0<<1，即0<－1<1，
解得课件30张PPT。第二章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三2.3
2.3.1
椭
圆
的
参
数
方
程2．3.2 & 2.3.3 抛物线、双曲线的参数方程
[读教材·填要点]
1．抛物线的参数方程
抛物线y2＝2px的参数方程为.
2．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是，参数θ的取值范围为0≤θ≤2π且θ≠，θ≠.
(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1的参数方程是,0≤θ≤2π.
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，θ的几何意义是什么？
提示：参数θ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？
提示：如果x对应的参数形式是asec θ，则焦点在x轴上；
如果y对应的参数形式是asec θ，则焦点在y轴上．
3．若抛物线的参数方程表示为则参数α的几何意义是什么？
提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．
抛物线参数方程的应用
[例1] 连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
[思路点拨] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
[精解详析] 设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为由中点坐标公式得
变形为y0＝x，即x2＝4y.
它表示的为抛物线．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
1．已知曲线C的参数方程为α∈[0,2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin＝－.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．
解：(1)由α∈[0,2π)
得x2＋y＝1，x∈[－1,1]．
(2)由ρsin＝－得
曲线D的普通方程为x＋y＋2＝0.
由得x2－x－3＝0.
解得x＝?[－1,1]，故曲线C与曲线D无公共点.
双曲线参数方程的应用
[例2] 在双曲线x2－y2＝1上求一点M，使M到直线y＝x的距离为.
[思路点拨] 本题考查双曲线的参数方程的应用．解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出M点的坐标，建立方程求解．
[精解详析] 设M的坐标为(sec θ，tan θ)，由M到直线x－y＝0的距离为，得＝.
整理得|－|＝2，|1－sin θ|＝2|cos θ|.
平方得1－2sin θ＋sin2θ＝4(1－sin2θ)．
即5sin2θ－2sin θ－3＝0，
解得sin θ＝1或sin θ＝－.
sin θ＝1时，cos θ＝0(舍去)．
sin θ＝－时，cos θ＝±.
∴M的坐标为或.
参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
2．如图， 设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
证明：∵P在双曲线x2－y2＝1上，
∴设P(sec φ，tan φ)．
∵F1(－，0)，F2(，0)，
∴|PF1|＝
＝，
|PF2|＝
＝.
|PF1|·|PF2|＝＝2sec2φ－1.
∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，
∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
圆锥曲线的参数方程的综合应用
[例3] 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．
[思路点拨] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程．解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可．
[精解详析] ∵－＝1，
∴右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)．
设椭圆＋＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3.
∴方程为＋＝1.
设椭圆上一点P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为3x－4y＝0，
∴点P到直线的距离d＝
＝.
∴dmax＝.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同．当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
3．已知定点A(1,0)，F是曲线(0≤θ≤2π)的焦点，则|AF|＝________.
解析：曲线(0≤θ≤2π)的普通方程为x2＝2y，所以焦点F，又A(1,0)，所以|AF|＝ ＝.
答案：
一、选择题
1．下列在曲线(0≤θ≤2π)上的点是( )
A. B.
C．(2，) D．(1，)
解析：选B 转化为普通方程：y2＝1＋x(|y|≤)，把选项A，B，C，D代入验证得，选B.
2．下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线都相同的是( )
A.－＝1 B.－＝－1
C.－x2＝1 D.－x2＝－1
解析：选B 由x＝secθ，得
x2＝＝＝3tan2θ＋3
又∵y＝tan θ，
∴x2＝3y2＋3，即－y2＝1.
经验证可知，选项B合适．
3．过点M(2,4)且与抛物线只有一个公共点的直线有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析：选C 由得y2＝8x.
∴点M(2,4)在抛物线上．
∴过点M(2,4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．
4．双曲线C：(φ为参数)的一个焦点为( )
A．(3,0) B．(4,0)
C．(5,0) D．(0,5)
解析：选C 由得于是2－2＝sec2φ－tan2φ＝1，即双曲线方程为－＝1，焦点F为(±5,0)．故选C.
二、填空题
5．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线上，则|PF|＝________.
解析：抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
答案：4
6．已知抛物线C：设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹的普通方程为________．
解析：抛物线的普通方程为y2＝2x，设点P(x，y)，点M为(x1，y1)(x1≠0)，则x1＝2x，y1＝2y.
∵点M在抛物线上，且点M与O不重合，
∴4y2＝4x?y2＝x(x≠0)．
答案：y2＝x(x≠0)
7．曲线与x轴交点的坐标是________．
解析：将曲线的参数方程化为普通方程：(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1或x＝－5.
答案：(1,0)，(－5,0)
8．若曲线上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是________．
解析：设M1(2pt1,2pt)，M2(2pt2,2pt)，
∴k＝＝＝t1＋t2.
答案：t1＋t2
三、解答题
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，求证：|x0|>.
证明：设A，B坐标分别为(asec α，btan α)，(asec β，btan β)，则中点为M，(tan α＋tan β))，于是线段AB的中垂线方程为
y－(tan α＋tan β)
＝－[x－(sec α＋sec β)]．
将P(x0,0)代入上式，得
x0＝(sec α＋sec β)．
∵A，B是双曲线同支上的不同两点，
∴|sec α＋sec β|>2，
∴|x0|>.
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：设抛物线的参数方程为
可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝＝.
设MN的中点为P(x，y)，
则∴kAP＝.
由kMN＝kAP知t1·t2＝－.
又
故y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16(－)＝4(x－1)．
∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
11．已知曲线C1：(0≤t≤2π)，
C2：(0≤θ≤2π)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x－2y－7＝0的距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，设Q(8cos θ，3sin θ)，
故M.
点M到直线的距离
d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|，其中φ为锐角，tan φ＝.
故d的最小值为.
课件34张PPT。第二章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三2.3
2.3.2
& 2.3.3
抛物线、双曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程
[读教材·填要点]
1．摆线的概念
一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线．
2．渐开线的概念
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)摆线的参数方程：.
(2)圆的渐开线方程：.
[小问题·大思维]
1．摆线的参数方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？
提示：字母a是指定圆的半径，参数t是指圆滚动时转过的角度．
2．渐开线方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？
提示：字母a是指基圆的半径，参数t是指OA―→和x轴正向所成的角(A是绳拉直时和圆的切点)．
求圆的摆线的参数方程
[例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．
[思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．
[精解详析] 令y＝0，可得a(1－cos t)＝0，
由于a>0，
即得cos t＝1，所以t＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝a(t－sin t)，得x＝a(2kπ－sin 2kπ)．
又因为x＝2，所以a(2kπ－sin 2kπ)＝2，
即得a＝(k∈Z)．
又a>0，所以a＝(k∈N＋)．
易知，当k＝1时，a取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为
(t为参数)．
由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．
1．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．
解：xM＝r·θ－r·cos(φ＋θ)－＝r[θ－sin(φ＋θ)]，
yM＝r＋r·sin＝r[1－cos(φ＋θ)]．
∴点M的参数方程为(θ为参数).
求圆的渐开线的参数方程
[例2] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．
[思路点拨] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．
[精解详析] 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，的长和线段AM的长相等．记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.
作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线．由三角和向量知识，得
＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得＝＋
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
又＝(x，y)，
所以有
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．
(2)取定运动中产生的某一角度为参数．
(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
(4)用向量运算得到OM―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．
2．渐开线(0≤t≤2π)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________________．
解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1.这是一个焦点在x轴上的椭圆，其中c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
答案：(6，0)，(－6，0)
渐开线与摆线的参数方程的应用
[例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置．写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
[思路点拨] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
[精解详析] 轨迹曲线的参数方程为
0≤t≤2π.
当t＝π时，即x＝8π时，y有最大值16.
曲线的对称轴为x＝8π.
摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．
3．已知圆C的参数方程是和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？
(2)写出平移后圆的摆线方程．
(3)求摆线和x轴的交点．
解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是
(3)令y＝0，得6－6cos t＝0?cos t＝1.
所以t＝2kπ(k∈Z)．
代入x，得x＝12kπ(k∈Z)，
即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．
[对应学生用书P39]
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
解析：选C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
2.(t为参数)表示的是( )
A．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B．半径为5的圆的摆线的参数方程
C．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D．直径为5的圆的摆线的参数方程
解析：选B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．
3．已知一个圆的参数方程为0≤φ≤2π，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B(，2)之间的距离为( )
A.－1 B.
C. D.
解析：选C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为把φ＝代入参数方程中可得
即A，
∴|AB|＝ ＝.
4．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 圆的摆线的参数方程为令a(1－cos t)＝0，得t＝2kπ.
代入x＝a(t－sin t)得x＝a(2kπ－sin 2kπ)．
又过(1,0)，
∴a(2kπ－sin 2kπ)＝1.∴a＝.
又a＞0，∴k∈N*.
二、填空题
5．给出圆的渐开线的参数方程根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________；当参数φ取时，对应的曲线上的点的坐标是________．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
所以基圆半径r＝3.
然后把φ＝代入方程，
可得即
所以当参数φ取时，对应的曲线上的点的坐标是.
答案：3
6．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：
7．在圆的摆线上有一点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝对应的点的坐标为________．
解析：首先根据摆线的参数方程(φ为参数)，把点(π，0)代入可得?cos φ＝1，则sin φ＝0，φ＝2kπ(k∈Z)，所以，r＝＝(k∈Z)，又r>0，所以k∈N＋，当k＝1时r最大为，再把φ＝代入即可．
答案：
8．圆的渐开线上与t＝对应的点的直角坐标为________．
解析：对应点的直角坐标为
x＝＝
＝1＋，
y＝＝
＝1－.
∴t＝对应的点的直角坐标为.
答案：
三、解答题
9．当φ＝，时，求出圆的渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的距离．
解：把φ＝，分别代入参数方程得
和
即A，B两点的坐标分别为
，，
∴|AB|＝
＝ .
10．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，将它们依次相连接，求曲线AEFGH的长．
解：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
11．如图，若点Q在半径AP上(或半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，求点Q的轨迹的参数方程．
解：设Q(x，y)，P(x0，y0)．若A(rθ，r)，
则
当|AQ|＝时，有
代入
∴点Q的轨迹的参数方程为
当|AQ|＝时，有
代入
∴点Q的轨迹方程为
[对应学生用书P41]
[对应学生用书P41]
参数方程的求法
(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；
(2)选取适当的参数；
(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；
(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．
[例1] 过点P(－2,0)作直线l与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，设A，B的中点为M，求M的轨迹的参数方程．
[解] 设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝ty－2.
由消去x得(1＋t2)y2－4ty＋3＝0.
∴y1＋y2＝，即y＝，
x＝ty－2＝－2＝.
由Δ＝(4t)2－12(1＋t2)>0得t2>3.
∴M的轨迹的参数方程为t2>3.
曲线的参数方程与普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的．也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．
[例2] 参数方程化为普通方程为( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1去掉(0,1)点
C．x2＋y2＝1去掉(1,0)点
D．x2＋y2＝1去掉(－1,0)点
[解析] x2＋y2＝2＋2＝1，
又∵x＝＝－1＋≠－1，故选D.
[答案] D
[例3] 已知参数方程t≠0.
(1)若t为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？
(2)若θ为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？
[解] (1)当t≠±1时，由①得sin θ＝，
由②得cos θ＝.
∴＋＝1.
它表示中心在原点，长轴长为2|t＋|，短轴长为
2|t－|，焦点在x轴上的椭圆．
当t＝±1时，y＝0，x＝±2sin θ，x∈[－2,2]．
它表示在x轴上[－2,2]的一段线段．
(2)当θ≠(k∈Z)时，由①得＝t＋.
由②得＝t－.
平方相减得－＝4，即－＝1.
它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为
4|cos θ|，焦点在x轴上的双曲线．
当θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示y轴；
当θ＝kπ＋(k∈Z)时，y＝0，x＝±.
∵t＋≥2(t＞0时)或t＋≤－2(t＜0时)，
∴|x|≥2.∴方程为y＝0(|x|≥2)．它表示x轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线.
直线与圆的参数方程
求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．
[例4] 设曲线C的参数方程为
(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆．
因为圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝＝，
且3－<，故过圆心且与l平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点．
[答案] B
[例5] 直线y＝x＋与圆心为D的圆0≤θ≤2π交于A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由已知得圆D：(x－)2＋(y－1)2＝3，
则圆心D到直线y＝x＋的距离等于
＝，
故cos∠ADB＝＝，
∠ADB＝，∠ADB＝.
又AD＝BD，所以有∠DBA＝.
而直线y＝x＋的倾斜角是，因此结合图形可知，在直线AD，BD中必有一条直线的倾斜角等于＋，另一条直线的倾斜角等于＋＋.
因此AD，BD的倾斜角之和为2＋＝.
[答案] C
[例6] 设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(0≤θ≤2π)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
[解] (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.
(2)法一：由圆C的参数方程
得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.
由直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，知直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，
即kx－y＋4－3k＝0.
当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，
即<2，由此解得k>.
即直线l的斜率的取值范围为.
法二：将圆C的参数方程为
化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，①
将直线l的参数方程代入①式，得
t2＋2(2cos α＋5sin α)t＋25＝0.②
当直线l与圆C交于两个不同的点时，
方程②有两个不相等的实数解，
即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100>0，
即20sin αcos α>21cos2α，两边同除以cos2α，
由此解得tan α>，
即直线l的斜率的取值范围为.
[例7] 直线与圆x2＋y2＝a(a>0)相交于A，B两点，设P(－1,0)，且|PA|∶|PB|＝1∶2，求实数a的值．
[解] 法一：直线参数方程可化为y＝(x＋1)．
联立方程
消去y，得4x2＋6x＋3－a＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨设x1Δ＝36－16(3－a)>0，①
x1＋x2＝－，②
x1·x2＝，③
＝＝.④
由①②③④解得a＝3.
法二：将直线参数方程代入圆方程得
t2－t＋1－a＝0.
设方程两根为t1，t2，则
Δ＝1－4(1－a)>0?a>.
t1＋t2＝1，t1·t2＝1－a.
由参数t的几何意义知
＝－＝或＝－＝.解得a＝3.
圆锥曲线的参数方程
能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．
[例8] 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．
[解] 设弦AB所在的直线方程为
(t为参数)．
代入方程y2＝4x整理得
t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.①
点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系
t1＋t2＝0.sin α－cos α＝0
∴0≤α＜π.∴α＝.
∴|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝8.
[例9] 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过顶点的两弦OA⊥OB，求以OA，OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程．
[解] 设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，
则以OA为直径的圆的方程为
x2＋y2－2ptx－2pt1y＝0，
以OB为直径的圆的方程为
x2＋y2－2ptx－2pt2y＝0.
所以t1，t2为方程2pxt2＋2pyt－x2－y2＝0的两个根．
由根与系数的关系，得t1·t2＝.
又OA⊥OB，所以·＝4p2tt＋4p2t1t2＝0，
即t1t2＝0(舍)或t1t2＝－1.
所以x2＋y2－2px＝0，即(x－p)2＋y2＝p2.
所以点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，以p为半径的圆．
[对应学生用书P43]
一、选择题
1．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A．2 B．－2
C. D.
解析：选A ∵t＝，∴x＝1，y＝2，
∴kOM＝＝2.
2．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r(θ是常数)与圆0≤φ≤2π的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：选B 心到直线的距离d＝＝|r|＝r，故相切．
3．已知双曲线那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选C 由?y2－＝1，两条渐近线的方程是y＝±x，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.
4．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A. B.
C.＋4 D．2b
解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，代入x2＋2y得x2＋2y＝4cos2θ＋2bsinθ＝－2＋4＋.当0二、填空题
5．直线(t为参数)的倾斜角的大小为________．
解析：原参数方程变为(t为参数)，故直线的倾斜角为20°.
答案：20°.
6．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________．
解析：直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝＝，弦长d＝2 ＝.
答案：
7．圆的渐开线参数方程为(φ为参数)，
则基圆的面积为________．
解析：易知，基圆半径为.
∴面积为π·2＝π3.
答案：π3
8．已知曲线(t为参数，p为正常数)上的两点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1＋t2＝0，那么|MN|＝________.
解析：显然线段MN垂直于抛物线的对称轴x轴，
故|MN|＝2p|t1－t2|＝2p|2t1|＝4p|t1|.
答案：4p|t1|
三、解答题
9．经过P(－2,3)作直线交抛物线y2＝－8x于A，B两点．
(1)若线段AB被P平分，求AB所在直线方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求|AB|.
解：设AB的参数方程是(t为参数)．
代入抛物线方程，整理得
t2sin2α＋(6sin α＋8cos α)t－7＝0.
于是t1＋t2＝－，t1t2＝－.
(1)若P为AB的中点，则t1＋t2＝0.
即6sin α＋8cos α＝0?tan α＝－.
故AB所在的直线方程为y－3＝－(x＋2)．
即4x＋3y－1＝0.
(2)|AB|＝|t1－t2|＝
＝
＝.
又α＝，
∴|AB|＝
＝8.
10．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：将直线l的参数方程(t为参数)代入抛物线方程y2＝4x，
得2＝4，解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
11．设P为椭圆＋＝1(x≥0，y≥0)上的一动点，又已知定点A(10,6)，以P，A为矩形对角线的两端点，矩形的边平行于坐标轴，求此矩形的面积的最值．
解：设P(5cos θ，3sin θ)(0≤θ≤)，则矩形面积为
S＝(10－5cos θ)(6－3sin θ)
＝15[4＋sin θcos θ－2(sin θ＋cos θ)]．
令t＝sin θ＋cos θ，则sin θcos θ＝，
∴S＝(t－2)2＋.
∵t∈[1，]，∴当t＝1，即P(5,0)或P(0,3)时有最大值，最大值为30；
当t＝，即P(，)时有最小值，最小值为－30.
课件37张PPT。第二章理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三2.4
一
些
常
见
曲
线
的
参
数
方
程第二章 参数方程
[对应阶段质量检测(二)P47]
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．方程0≤θ≤2π表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A．(2，－7) B．(1,0)
C. D.
解析：选C 由y＝cos 2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)．
当x＝时，y＝1－2×2＝，故选C.
2．若P(2，－1)为圆O：(0≤θ≤2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
解析：选A ∵圆心O(1,0)，∴kPO＝－1.
∴kl＝1.
∴直线l的方程为x－y－3＝0.
3．曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
解析：选B 将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.
4．若圆的参数方程为(0≤θ≤2π)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选B 直线与圆的普通方程分别为3x－y＋2＝0与(x＋1)2＋(y－3)2＝4.
圆心(－1,3)到直线的距离
d＝＝＝.
而d<2且d≠0，
故直线与圆相交而不过圆心．
5．参数方程0≤θ≤2π所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
解析：选A x＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y2＝－x＋1.又x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]，
∴为抛物线的一部分．
6．点P(x，y)在椭圆＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为( )
A．3＋ B．5＋
C．5 D．6
解析：选A 椭圆的参数方程为0≤θ≤2π，
x＋y＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin(θ＋φ)，
∴(x＋y)max＝3＋.
7．过点(3，－2)且与曲线0≤θ≤2π有相同焦点的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A 曲线化为普通方程是＋＝1.∴焦点坐标为(－，0)，(，0)，排除B、C、D.
8．已知过曲线0≤θ≤上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设P(3cos θ，5sin θ)，
则|OP|2＝9cos2θ＋25sin2θ
＝9＋16sin2θ＝13.
解得sin2θ＝.又0≤θ≤，
∴sin θ＝，cos θ＝.
∴x＝3cos θ＝，y＝5sin θ＝.
∴P的坐标为.
9．设曲线与x轴交点为M，N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 令y＝0，得sin θ＝0，∴cos θ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cos θ，sin θ)．
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
10．已知直线和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
解析：选D 将直线的参数方程代入圆的方程2＋2＝16，
得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，＝4，
则AB的中点为?
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)
11．圆的参数方程为0≤θ≤2π，则此圆的半径为________．
解析：平方相加得x2＋y2＝9sin2θ＋24sin θcos θ＋16cos2θ＋16sin2θ－24sin θcos θ＋9cos2θ＝25，所以圆的半径为5.
答案：5
12．设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x－4.若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为________．
解析：将直线l1的方程化为普通方程得3x－y＋a－3＝0，直线l2即3x－y－4＝0.由两平行线的距离公式可得＝?|a＋1|＝10?a＝9或a＝－11.
答案：9或－11
13．直线y＝2x－与曲线0≤φ≤2π的交点坐标为________．
解析：?
将①代入②中，得y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
∴2x2＋y＝1.
由解之得或(舍去)．
答案：
14．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
解析：直线的普通方程为x＋y－1＝0，圆的普通方程为x2＋y2＝32，圆心到直线的距离d＝＜3，故直线与圆的交点个数是2.
答案：2
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)求直线被曲线ρ＝cos 所截得的弦长．
解：将方程ρ＝cos分别化为普通方程3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，圆心为C，半径为，圆心到直线的距离d＝，
弦长＝2＝2＝.
16．(本小题满分12分)在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，判断直线l和圆C的位置关系．
解：消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x＋1.
ρ＝2sin即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
故圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，
圆心C到直线l的距离
d＝＝<，
所以直线l和圆C相交．
17．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M(x，y)．求x＋2y的最小值．
解：(1)直线l的普通方程为：y－2＝(x－1)，
曲线C的直角坐标方程为：x2＋y2＝1.
(2)由已知得曲线C′：＋y2＝1.
令
∴x＋2y＝3cos θ＋2sin φ
＝sin(θ＋φ).
∴x＋2y的最小值是－.
18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
解：(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，
即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，
故可设t1，t2是上述方程的两实根．
所以
又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B 由l的参数方程可得l的普通方程为4x＋3y－10＝0，设l的倾斜角为θ，则tan θ＝－.由＝＝tan2θ＋1，得cos2θ＝.又<θ<π，
∴cos θ＝－.
2.柱坐标对应的点的直角坐标是( )
A．(，－1,1) B．(，1,1)
C．(1，，1) D．(－1，，1)
解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得
3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA|的最小值是( )
A．0 B.
C.＋1 D.－1
解析：选D A的直角坐标为(－1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，|AC|＝，则|PA|min＝－1.
4．直线(t为参数，θ是常数)的倾斜角是( )
A．105° B．75°
C．15° D．165°
解析：选A 参数方程
?
消去参数t，得y－cos θ＝－tan 75°(x－sin θ)，
∴k＝－tan 75°＝tan(180°－75°)＝tan 105°.
故直线的倾斜角是105°.
5．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R) 和ρcos θ＝1
解析：选B 由ρ＝2cos θ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.
6．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B．2
C. D．2
解析：选D 由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线l的距离d＝＝，直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
7．已知点P的极坐标为(π，π)，过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A．ρ＝π B．ρ＝cos θ
C．ρ＝ D．ρ＝
解析：选D 设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点，
由图形知OMcos∠POM＝π，
∴ρcos (π－θ)＝π.
∴ρ＝.
8．已知直线l：(t为参数)与圆C：(0≤θ≤2π)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是( )
A.，(－1,0) B.，(－1,0)
C.，(1,0) D.，(－1,0)
解析：选C 因为直线l的普通方程为y＝－x，所以其斜率是－1，倾斜角是.将圆的参数方程化为普通方程得(x－1)2＋y2＝4，所以圆心C的直角坐标是(1,0)，故选C.
9．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝( )
A．2 B.
C．2 D．1
解析：选A 曲线ρ＝4cos θ可转化为(x－2)2＋y2＝4，则圆心(2,0)到直线x＝3的距离是1，
所以|AB|＝2 ＝2.
10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝x，x＋y＝1，如图．
围成的图形为△OPQ，可得
S△OPQ＝|OQ|·|yP|＝×1×＝.
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)
11．(北京高考)在极坐标系中，点到直线ρsin θ＝2的距离等于________．
解析：由题意知，点的直角坐标是(，1)，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程是y＝2，所以所求的点到直线的距离为1.
答案：1
12．(湖北高考)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________．
解析：由题意，得 ?x2＝3y2(x≥0，y≥0)，曲线C2的普通方程为x2＋y2＝4，联立，得即C1与C2的交点坐标为(，1)．
答案：(，1)
13．(重庆高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
解析：依题意，直线l与曲线C的直角坐标方程分别是x－y＋1＝0，y2＝4x.由得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，则y＝2，因此直线l与曲线C的公共点的直角坐标是(1,2)，该点与原点的距离为＝，即直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝.
答案：
14．(广东高考)在极坐标系中，曲线C1 与C2 的方程分别为 2ρcos2θ＝sin θ与 ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1 与C2交点的直角坐标为________．
解析：由2ρcos2θ＝sin θ?2ρ2cos2θ＝ρsin θ?2x2＝y，
又由ρcos θ＝1?x＝1，由?故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2)．
答案：(1,2)
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为0≤α≤2π，M是C1上的动点，P点满足OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：(1)设P(x，y)，则由条件知M.因为M点在C1上，所以
即
从而C2的参数方程为
(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin .
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
16．(本小题满分12分)(新课标卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
17．(本小题满分12分)(新课标卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
18．(本小题满分14分)(辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋2＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即ρ＝.
课件40张PPT。章末小结
知识整合与阶段检测考点三第二章命题热点例析阶段质量检测考点一考点二知识结构图示考点四阶段质量检测(一) 坐 标 系
(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．将点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标为( )
A. B.
C. D.
2．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－2)的极坐标是( )
A. B.
C. D.
3．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为( )
A. B.
C. D.
4．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )
5．圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )
A. B.
C. D.
6．已知点P的坐标为(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线方程是( )
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ
C．ρ＝－ D．ρ＝
7．曲线θ＝与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )
A．1 B.
C．3 D．6
8．把函数y＝sin 2x的图像变成y＝sin的图像的变换是( )
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
9．(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(θ＋)(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r
B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
C.ρ(sin θ＋cos θ)＝r
D.ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)
11．直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程为________．
12．(陕西高考)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．
13．(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
14．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________.
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)已知一条长为6的线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．
16．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知两圆C1：ρ＝2cos θ和C2：ρ＝2sin θ，求过两圆圆心的直线的极坐标方程．
17．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcosθ＋＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
18.(本小题满分14分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，P′，使OP·OP′＝9.建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
答 案
1．选B 因为ρ＝＝＝2，
tan θ＝＝，点M在第三象限，θ＝.
所以点M的极坐标为.
2．选B 由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，把点(－2，－2)代入即可得ρ＝4，tan θ＝.因为点(－2，－2)在第三象限，
所以θ＝.
3．选D 法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，
∴2＋2＝4.
令得X2＋Y2＝4，即x2＋y2＝4，
∴伸缩变换为所求．
法二：将x2＋y2＝4改写为X2＋Y2＝4.
设满足题意的伸缩变换为
代入X2＋Y2＝4得a2x2＋b2y2＝4，
即＋＝1.
与椭圆＋＝1比较系数得
解得
∴伸缩变换为即
4．选C ∵ρ＝2sin＝(sin θ＋cos θ)，
∴ρ2＝ρsin θ＋ρcos θ，
化为普通方程为x2＋y2＝x＋y，
∴2＋2＝1，
∴圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.
5．选A 法一：圆ρ＝(cos θ＋sin θ)＝2sin ，可以看成由圆ρ＝2sin θ顺时针旋转得到．
而ρ＝2sin θ的圆心为，顺时针旋转得到，
∴ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心坐标为.
法二：圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
∴2＋2＝1.
圆心的直角坐标为，化为极坐标为.
6．选C 由点P的坐标可知，过点P且垂直于极轴的直线方程在直角坐标系中为x＝－1，即ρcos θ＝－1.
7．选C
极坐标方程θ＝，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心为C(3，)，∠AOC＝，
∴|AO|＝2×3×cos＝6×＝3.
8．选A 设y′＝sin 2，
变换公式为
将其代入y′＝sin 2，得μy＝sin 2，
∴μ＝1，λ＝－，∴
由函数y＝sin 2x的图像得到y＝sin的图像所作的变换为故是向左平移个单位．
9．选A 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，且y＝1－x，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝.又0≤x≤1，所以0≤y≤1，所以点(x，y)都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤.
10．选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2.①
圆ρ＝－2rsin
＝－2r
＝－r(sin θ＋cos θ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsin θ＋ρcos θ)．
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②
①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－r.
11．解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0.
取θ－α＝.
答案：θ＝＋α
12．解析：点化为直角坐标为(，1)，直线方程可化为ρsin θ－ρcos θ＝1，即x－y＋2＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝1.
答案：1
13．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝x，联立消去y，得x2＝x，解得x＝或x＝0，所以y＝x＝3，即a＝3.
答案：3
14．解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，
则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
∵MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
∴PN⊥直线Oy.
∴|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，
∴|OM|＝ ＝ ＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
∴|MN|＝ ＝ ＝.
答案：3
15．解：设A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)，
∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36.①
M分的比为.
∴?②
将②式代入①式，化简为＋＝1.
16．解：由极坐标系与直角坐标系的互化关系知：
圆C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，
即(x－1)2＋y2＝1，C1(1,0)，
圆C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－1)2＝1，C2(0,1)．
∴过两圆圆心的直线方程为x＋y－1＝0，
∴对应的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1.
17．解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x2＋y2＝－x，
即2＋y2＝.它表示圆心为，半径为的圆．
将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0.
∵圆心(－，0)到直线的距离为＝＞1，
∴直线与圆相离．
18．解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)．设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.
设M(x，y)，则由解得
(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36
(x≠0)，所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．
阶段质量检测(二) 参数方程
(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．方程0≤θ≤2π表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A．(2，－7) B．(1,0)
C. D.
2．若P(2，－1)为圆O：(0≤θ≤2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
3．曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
4．若圆的参数方程为(0≤θ≤2π)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
5．参数方程0≤θ≤2π所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
6．点P(x，y)在椭圆＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为( )
A．3＋ B．5＋
C．5 D．6
7．过点(3，－2)且与曲线0≤θ≤2π有相同焦点的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
8．已知过曲线0≤θ≤上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为( )
A. B.
C. D.
9．设曲线与x轴交点为M，N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为( )
A．－ B．－
C. D.
10．已知直线和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)
11．圆的参数方程为0≤θ≤2π，则此圆的半径为________．
12．设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x－4.若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为________．
13．直线y＝2x－与曲线0≤φ≤2π的交点坐标为________．
14．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)求直线被曲线ρ＝cos 所截得的弦长．
16．(本小题满分12分)在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，判断直线l和圆C的位置关系．
17．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M(x，y)．求x＋2y的最小值．
18.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
答 案
1．选C 由y＝cos 2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)．
当x＝时，y＝1－2×2＝，故选C.
2．选A ∵圆心O(1,0)，∴kPO＝－1.
∴kl＝1.
∴直线l的方程为x－y－3＝0.
3．选B 将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.
4．选B 直线与圆的普通方程分别为3x－y＋2＝0与(x＋1)2＋(y－3)2＝4.
圆心(－1,3)到直线的距离
d＝＝＝.
而d<2且d≠0，故直线与圆相交而不过圆心．
5．选A x＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y2＝－x＋1.又x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]，
∴为抛物线的一部分．
6．选A 椭圆的参数方程为0≤θ≤2π，
x＋y＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin(θ＋φ)，
∴(x＋y)max＝3＋.
7．选A 曲线化为普通方程是＋＝1.∴焦点坐标为(－，0)，(，0)，排除B、C、D.
8．选A 设P(3cos θ，5sin θ)，
则|OP|2＝9cos2θ＋25sin2θ＝9＋16sin2θ＝13.
解得sin2θ＝.又0≤θ≤，
∴sin θ＝，cos θ＝.
∴x＝3cos θ＝，y＝5sin θ＝.
∴P的坐标为.
9．选A 令y＝0，得sin θ＝0，∴cos θ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cos θ，sin θ)．
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
10．选D 将直线的参数方程代入圆的方程2＋2＝16，
得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，＝4，
则AB的中点为?
11．解析：平方相加得x2＋y2＝9sin2θ＋24sin θcos θ＋16cos2θ＋16sin2θ－24sin θcos θ＋9cos2θ＝25，所以圆的半径为5.
答案：5
12．解析：将直线l1的方程化为普通方程得3x－y＋a－3＝0，直线l2即3x－y－4＝0.由两平行线的距离公式可得＝?|a＋1|＝10?a＝9或a＝－11.
答案：9或－11
13．解析：?
将①代入②中，得y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
∴2x2＋y＝1.
由解之得或(舍去)．
答案：
14．解析：直线的普通方程为x＋y－1＝0，圆的普通方程为x2＋y2＝32，圆心到直线的距离d＝＜3，故直线与圆的交点个数是2.
答案：2
15．解：将方程ρ＝cos分别化为普通方程3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，圆心为C，半径为，圆心到直线的距离d＝，
弦长＝2＝2＝.
16．解：消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x＋1.
ρ＝2sin即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
故圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，
圆心C到直线l的距离d＝＝<，
所以直线l和圆C相交．
17．解：(1)直线l的普通方程为：y－2＝(x－1)，
曲线C的直角坐标方程为：x2＋y2＝1.
(2)由已知得曲线C′：＋y2＝1.
令
∴x＋2y＝3cos θ＋2sin φ
＝sin(θ＋φ).
∴x＋2y的最小值是－.
18．解：(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，
即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，
故可设t1，t2是上述方程的两实根．
所以
又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
