1．1 正弦定理(一)
学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
知识点一 正弦定理的推导
思考1 如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？
思考2 在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？
梳理 任意△ABC中，都有＝＝，证明方法除课本提供的方法外，还可借助边AB上的高CD＝bsin A＝asin B、三角形面积公式、外接圆来证明．
知识点二 正弦定理的呈现形式
1.＝________＝____________＝2R(其中R是____________)；
2．a＝＝＝2Rsin A；
3．sin A＝，sin B＝________，sin C＝________.
知识点三 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
类型一 定理证明
例1 在钝角△ABC中，证明正弦定理．
反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
(2)要证＝，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.求证：＝2R.
类型二 用正弦定理解三角形
例2 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9 cm，解三角形．
反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：
①已知三角形的任意两角与一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．
类型三 边角互化
命题角度1 边化角
例3 在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0.
命题角度2 角化边
例4 在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长的最大值．
反思与感悟 利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．
跟踪训练3 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值．
1. 在△ABC中，一定成立的等式是( )
A．asin A＝bsin B B．acos A＝bcos B
C．asin B＝bsin A D．acos B＝bcos A
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
4．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝________.
1. 定理的表示形式：＝＝＝2R，
或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0)．
2. 正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 ＝＝＝c.
思考2 在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本采用向量来证明的．
知识点二
1. △ABC外接圆的半径
3.
题型探究
例1 证明 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B.
∴CD＝bsin A＝asin B.
∴＝.
同理，＝.
故＝＝.
跟踪训练1 证明 连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R，
∴∠A′CB＝90°，
∴sin A′＝＝，
∴sin A＝，即＝2R.
例2 解 根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根据正弦定理，b＝＝≈80.1(cm)；
根据正弦定理，c＝＝≈74.1(cm)．
跟踪训练2 解 根据三角形内角和定理，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，b＝＝＝9.
例3 证明 由正弦定理，令a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，k>0.代入得：
左边＝k(sin Asin B－sin Asin C＋
sin Bsin C－sin Bsin A＋sin Csin A－
sin Csin B)＝0＝右边，
所以等式成立．
例4 解 设AB＝c，BC＝a，CA＝b.
由正弦定理，
得＝＝＝＝2.
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C
＝3＋2sin B＋2sin
＝3＋2sin B＋2·
＝3＋3sin B＋3cos B
＝3＋6sin，
∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9.
跟踪训练3 解 ∵A＋B＋C＝π，
A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴A＝，B＝，C＝，
∴sin A＝，sin B＝，sin C＝1.
设＝＝＝k(k>0)，则
a＝ksin A＝，b＝ksin B＝k，
c＝ksin C＝k，
∴a∶b∶c＝∶∶1＝1∶∶2.
当堂训练
1．C 2.B 3.2 4.或
课件31张PPT。第二章 解三角形§1.1 正弦定理(一)1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 正弦定理的推导答案思考2 答案梳理 任意△ABC中，都有 ，证明方法除课本提供的方法外，还可借助边AB上的高CD＝bsin A＝asin B、三角形面积公式、外接圆来证明.知识点二 正弦定理的呈现形式1. ＝ ＝ ＝2R(其中R是 )；△ABC外接圆的半径3.sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ .知识点三 解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.题型探究类型一 定理证明例1 在钝角△ABC中，证明正弦定理.证明如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：∴CD＝bsin A＝asin B.(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.
(2)要证 ，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.求证： ＝2R.证明连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.
∵A′B为直径，长度为2R，
∴∠A′CB＝90°，
类型二 用正弦定理解三角形例2 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9 cm，解三角形.解答根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)
＝66.2°.
(1)正弦定理实际上是三个等式：
每个等式涉及四个元素，
所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：
①已知三角形的任意两角与一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值.解答根据三角形内角和定理，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
类型三 边角互化命题角度1 边化角
例3 在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋
c(sin A－sin B)＝0.l证明由正弦定理，令a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，k>0.代入得：
左边＝k(sin Asin B－sin Asin C＋sin Bsin C－sin Bsin A＋sin Csin A－
sin Csin B)＝0＝右边，
所以等式成立.命题角度2 角化边
例4 在△ABC中，A＝ ，BC＝3，求△ABC周长的最大值. 解答设AB＝c，BC＝a，CA＝b.
由正弦定理，
利用 ＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.跟踪训练3 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值.解答∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3，
当堂训练1. 在△ABC中，一定成立的等式是
A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B
C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A答案解析123√4答案解析2.在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形√1234由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.3.在△ABC中，已知BC＝ ，sin C＝2sin A，则AB＝_____.1234答案解析1234答案解析1. 定理的表示形式： ＝2R，
或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0).
2. 正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.
3. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.本课结束1.1 正弦定理(二)
学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用两边夹角求三角形面积．
知识点一 正弦定理的常见变形
1．sin A∶sin B∶sin C＝____________；
2.＝＝＝＝________；
3．a＝________，b＝________，c＝________；
4．sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________.
知识点二 判断三角形解的个数
思考1 在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．
梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一．
例如在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sin B＝.在由sin B求B时，如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a
思考2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？
梳理 解三角形4个基本类型：
①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两边及其一边对角；④已知一边两角．
其中只有类型③解的个数不确定．
知识点三 三角形面积公式的拓展
思考 如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？
梳理 △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
类型一 判断三角形解的个数
引申探究
例1中b＝28 cm，A＝40°不变，当边a在什么范围内取值时，△ABC有两解(范围中保留sin 40°)?
例1 在△ABC中，已知a＝20 cm，b＝28 cm，A＝40°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1 cm)
反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．
跟踪训练1 已知三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．
类型二 利用正弦定理求最值或取值范围
例2 在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a＝2bsin A，求cos A＋sin C的取值范围．
反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题：
(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．
跟踪训练2 在△ABC中，若C＝2B，求的取值范围．
类型三 三角形面积公式的应用
命题角度1 已知边角求面积
例3 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面积．
反思与感悟 三角形面积公式S＝absin C，S＝bcsin A，S＝acsin B中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．
跟踪训练3 在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
命题角度2 给出面积求边角
例4 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则AC的长为________．
反思与感悟 利用三角形两边夹角表示的三角形面积公式有3个，到底选择哪一个，要看题目给出的条件和解题目标．
跟踪训练4 已知锐角三角形ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
1．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则角C的值为( )
A．45° B．30°
C．75° D．90°
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sin A＝________.
1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．
2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．
答案精析
问题导学
知识点一
1．a∶b∶c 2.2R 3.2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C 4.
知识点二
思考1 解 sin B＝sin A＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，
满足sin B＝的角有60°故对应的钝角B有90°也满足A＋B<180°，故三角形有两解．
思考2 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题．
知识点三
思考 △ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsin B．从而可求面积．
题型探究
例1 解 根据正弦定理，sin B＝＝≈0.899 9.
因为0°a，B>A，
(1)当B≈64°时，
C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°，
c＝＝≈30(cm)．
(2)当B≈116°时，
C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，
c＝＝≈13(cm)．
综上，B≈64°，C≈76°，c≈30 cm或B≈116°，C≈24°，c≈13 cm.
引申探究
解 如图，∠A＝40°，CD⊥AD.
AC＝28 cm，
以C为圆心，a为半径画圆弧，
当CD＜a＜AC，即bsin A＜a＜b，
28sin 40°＜a＜28时，
△ABC有两解(△AB1C，△AB2C均满足题设)．
跟踪训练1 解 a＝2，b＝6，a又因为bsin A＝6sin 30°＝3，bsin A＜a＜b，
所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得
sin B＝＝＝，
因为b>a，B>A，B∈(0°，180°)，
所以B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝
4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4
或B＝120°，C＝30°，c＝2.
例2 解 ∵a＝2bsin A，
∴由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，
又∵A∈(0，)，sin A≠0，
∴sin B＝.∵B为锐角，∴B＝.
令y＝cos A＋sin C
＝cos A＋sin
＝cos A＋sin
＝cos A＋sin cos A＋cos sin A
＝cos A＋sin A＝sin.
由锐角△ABC知，
－B∵∴∴即∴cos A＋sin C的取值范围是.
跟踪训练2 解 因为A＋B＋C＝π，C＝2B，
所以A＝π－3B>0，所以0所以所以1<2cos B<2，
又＝＝＝2cos B，
所以1<<2.
例3 解 由正弦定理，得＝，∴sin C＝.
∵0°AC，∴C>B，
∴C＝60°或120°.
①当C＝60°时，A＝90°，
∴S△ABC＝××1＝；
②当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝××1×sin 30°＝.
跟踪训练3 D [B＝180°－A－C＝180°－30°－45°＝105°，
由正弦定理，得b＝＝×＝，
∴S△ABC＝absin C＝×1××sin 45°＝.]
例4 1
跟踪训练4 B
当堂训练
1．C 2.B 3.
课件39张PPT。第二章 解三角形§1.1 正弦定理(二)1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.
2.能根据条件，判断三角形解的个数.
3.能利用两边夹角求三角形面积.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 正弦定理的常见变形1.sin A∶sin B∶sin C＝ ；4.sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ .a∶b∶c ；2R3.a＝ ，b＝ ，c＝ ；2Rsin A2Rsin B2Rsin C知识点二 判断三角形解的个数思考1 答案在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数.故对应的钝角B有90°也满足A＋B<180°，故三角形有两解.梳理已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一.
例如在△ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理 ，可求得sin B＝ .在由sin B求B时，如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a①已知三边；②已知两边及其夹角；③已知两边及其一边对角；④已知一边两角.
其中只有类型③解的个数不确定.知识点三 三角形面积公式的拓展思考 答案如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积.那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsin B.从而可求面积.梳理△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝
absin C＝ bcsin A＝ acsin B.题型探究类型一 判断三角形解的个数例1 在△ABC中，已知a＝20 cm，b＝28 cm，A＝40°，解三角形.(角度精确到1°，边长精确到1 cm)解答因为0°a，B>A，
(1)当B≈64°时，
C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°，(2)当B≈116°时，
C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，综上，B≈64°，C≈76°，c≈30 cm或B≈116°，C≈24°，c≈13 cm.引申探究
例1中b＝28 cm，A＝40°不变，当边a在什么范围内取值时，△ABC有两解(范围中保留sin 40°)?解答如图，∠A＝40°，CD⊥AD.
AC＝28 cm，
以C为圆心，a为半径画圆弧，
当CD＜a＜AC，即bsin A＜a＜b，
28sin 40°＜a＜28时，
△ABC有两解(△AB1C，△AB2C均满足题设).已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.跟踪训练1 已知三角形中a＝ ，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.解答又因为bsin A＝6sin 30°＝3，bsin A＜a＜b，
所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得因为b>a，B>A，B∈(0°，180°)，
所以B＝60°或120°.类型二 利用正弦定理求最值或取值范围例2 在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a＝2bsin A，求cos A＋sin C的取值范围.解答∵a＝2bsin A，
∴由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，
由锐角△ABC知，
解决三角形中的取值范围或最值问题：
(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素.(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题.跟踪训练2 在△ABC中，若C＝2B，求 的取值范围.解答因为A＋B＋C＝π，C＝2B，
类型三 三角形面积公式的应用命题角度1 已知边角求面积
例3 在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面积.解答∵0°AC，∴C>B，∴C＝60°或120°.
①当C＝60°时，A＝90°，②当C＝120°时，A＝30°，三角形面积公式S＝ absin C，S＝ bcsin A，S＝ acsin B中含有三角形的边角关系.因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系.首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积. 跟踪训练3 在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为答案解析B＝180°－A－C＝180°－30°－45°＝105°，命题角度2 给出面积求边角
例4 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为 ，则AC的长为 .1答案解析∴b＝1，即AC＝1.利用三角形两边夹角表示的三角形面积公式有3个，到底选择哪一个，要看题目给出的条件和解题目标. 跟踪训练4 已知锐角三角形ABC的面积为 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为答案解析A.75° B.60° C.45° D.30°当堂训练1.在△ABC中，AC＝ ，BC＝2，B＝60°，则角C的值为
A.45° B.30°
C.75° D.90°答案解析123√答案解析2.在△ABC中，若 ，则△ABC是
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形√123123∴tan A＝tan B＝tan C，
又∵A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.3.已知△ABC的面积为 ，且b＝2，c＝ ，则sin A＝ .123答案解析1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.
2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.本课结束1.2 余弦定理(一)
学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
知识点一 余弦定理的推导
思考1 根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C．①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
思考2 在c2＝a2＋b2－2abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？
梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模．
另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．
知识点二 余弦定理的呈现形式
1．a2＝__________________，b2＝____________________，c2＝____________.
2．cos ____＝；
cos ____＝；
cos ____＝.
知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解
三角形问题
思考1 观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
思考2 观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．
类型一 余弦定理的证明
例1 已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.
反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．
跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？
类型二 用余弦定理解三角形
命题角度1 已知两边及其夹角
例2 在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1 cm)
反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.
命题角度2 已知三边
例3 在△ABC中，已知a＝134.6 cm，b＝87.8 cm，c＝161.7 cm，解三角形(角度精确到1′)．
反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A＝，cos B＝，cos C＝求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．
跟踪训练3 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为( )
A．52 B．2 C．16 D．4
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A. B. C. D.
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )
A. B．1＋ C. D．2＋
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 当a＝b＝c时，∠C＝60°，
a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C.
思考2 abcos C＝|C|·|C|cos?，?＝·.
∴a2＋b2－2abcos C
＝2＋2－2·
＝(－)2＝2
＝c2.
猜想得证．
知识点二
1．b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C
2．A B C
知识点三
思考1 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．
思考2 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．
题型探究
例1 解
如图，设C＝a，C＝b，
A＝c，
由A＝C－C，知c＝a－b，
则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－
2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C.
跟踪训练1 解
如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，
C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
例2 解 根据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A＝602＋342－2×60×34×cos 41°≈1 676.78，
所以a≈41(cm)．
由正弦定理得，sin C＝≈≈0.544 0.
因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，
所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.
跟踪训练2 解 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4，
所以c＝－.
由正弦定理，得sin A＝＝，
因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，
所以A＝30°.
例3 解 ∵cos A＝＝
≈0.554 3，
∴A≈56°20′.
∵cos B＝
＝
≈0.839 8，
∴B≈32°53′.
∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.
跟踪训练3 解 因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．
c最大，cos C＝<0，
所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形．
当堂训练
1．B 2.B 3.D 4.B
课件32张PPT。第二章 解三角形§1.2 余弦定理(一)1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 余弦定理的推导当a＝b＝c时，∠C＝60°，
a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C.根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C.①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案在c2＝a2＋b2－2abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？思考2 答案∴a2＋b2－2abcos C梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要.因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模.
另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理.知识点二 余弦定理的呈现形式1.a2＝ ，b2＝ ，c2＝
.
2.cos ＝ ；
cos ＝ ；
cos ＝ .b2＋c2－2bccos Ac2＋a2－2cacos Ba2＋b2－2abcos CABC知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案思考2每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.题型探究类型一 余弦定理的证明例1 已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.解答则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－
2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2abcos C.所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立
直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，
C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？解答类型二 用余弦定理解三角形命题角度1 已知两边及其夹角
例2 在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝34 cm，A＝41°，解三角形.(角度精确到1°，边长精确到1 cm)解答根据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A＝602＋342－2×60×34×cos 41°
≈1 676.78，
所以a≈41(cm).
因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，
所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求A.解答由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos
因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，所以A＝30°.命题角度2 已知三边
例3 在△ABC中，已知a＝134.6 cm，b＝87.8 cm，c＝161.7 cm，解三角形(角度精确到1′).解答∴B≈32°53′.
∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A＝ ，cos B＝
，cos C＝ 求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.跟踪训练3 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状.解答因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).
所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.当堂训练1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 ，则三角形的另一边长为
A.52 B.
C.16 D.4答案解析123√42.在△ABC中，a＝7，b＝ ，c＝ ，则△ABC的最小角为 √1234∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
答案解析设顶角为C，角A，B，C所对的角分别为a，b，c，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 1234答案解析√12344.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为 ，那么b等于 答案解析√1234∴ac＝6.
∵b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2accos B－2ac，
又∵2b＝a＋c，1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形.
(2)已知三边求三角形的任意一角.
2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.本课结束1.2 余弦定理(二)
学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考 在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，可以先用正弦定理＝求出sin C＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？
梳理 已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：
设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sin B＝.
(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；
(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：
①当a②当a＝CD时，一解；
③当CD④当a≥b时，一解．
(4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
知识点二 判定三角形的形状
思考1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？
思考2 △ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
梳理 判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
思考 前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？
梳理 证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异．
类型一 利用余弦定理解已知两边及一边对 角的三角形
引申探究
例1条件不变，用正弦定理求c.
例1 已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.
反思与感悟 相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于( )
A．1 B．2
C.－1 D.
类型二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式
例2 在△ABC中，有
(1)a＝bcos C＋ccos B；
(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
反思与感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．
跟踪训练2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝.
类型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状
例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．
反思与感悟 (1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．
(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．
跟踪训练3 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于( )
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．
2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．
知识点二
思考1 不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．
思考2 ∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝.
知识点三
思考 由余弦定理得a＝
b，去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，化简得a＝b.
题型探究
例1 解 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得72＝82＋c2－2×8×ccos 60°，
整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.
引申探究
解 由正弦定理，得＝＝
＝＝，
∴sin A＝＝，
∴cos A＝±
＝± ＝±.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝·±·，
∴sin C＝或sin C＝.
当sin C＝时，c＝·sin C＝5；
当sin C＝时，c＝·sin C＝3.
跟踪训练1 B
例2 证明 方法一 (1)由正弦定理，得
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B
＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)
＝2Rsin(B＋C)
＝2Rsin A＝a.
即a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.
方法二 (1)由余弦定理，得
cos B＝，cos C＝，
∴bcos C＋ccos B＝b·＋c·
＝＋＝＝a.
∴a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.
跟踪训练2 证明 方法一 左边＝＝，
右边＝
＝，
∴等式成立．
方法二 右边＝
＝
＝＝＝左边，
∴等式成立．
例3 解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝＝.
∵0又sin A＝2sin Bcos C.
∴由正弦、余弦定理，
得a＝2b·＝，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
跟踪训练3 解 方法一 根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60°，2b＝a＋c，
∴2＝a2＋c2－2accos 60°，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c，即b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
方法二 根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，
∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，A∈(0°，120°)，
整理得sin(A＋30°)＝1，A＋30°∈(30°，150°)，
∴A＋30°＝90°，∴A＝60°，C＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
当堂训练
1．C 2.C
3．解 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴22＝a2＋(2)2－2a×2cos 30°，
即a2－6a＋8＝0，
解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，三边长为2,2,2，可组成三角形；
当a＝4时，三边长为4,2,2，也可组成三角形．
∴满足条件的三角形有两个．
课件40张PPT。第二章 解三角形§1.2 余弦定理(二)1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.
2.会用余弦定理解三角形.
3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形能.在余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可.答案梳理 已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：
设在△ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理 ，可求得
sin B＝ .
(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；
(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：
①当a②当a＝CD时，一解；
③当CD此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个.
④当a≥b时，一解.
(4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一.知识点二 判定三角形的形状思考1 不需要.如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负.而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说.三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形.在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？答案思考2 ∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝ .△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？答案梳理 判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价.知识点三 证明三角形中的恒等式思考 前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？答案梳理 证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异.题型探究类型一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例1 已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得72＝82＋c2－2×8×ccos 60°，
整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.解答引申探究
例1条件不变，用正弦定理求c.解答∴sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个. 跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝ ，a＝ ，b＝1，则c等于 答案解析类型二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2 在△ABC中，有
(1)a＝bcos C＋ccos B；
(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明方法一 (1)由正弦定理，得
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B
＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)
＝2Rsin(B＋C)
＝2Rsin A＝a.
即a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.方法二 (1)由余弦定理，得
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系.跟踪训练2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：证明类型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状.解答由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
又sin A＝2sin Bcos C.
∴由正弦、余弦定理，(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断.
(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等.跟踪训练3 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状.解答方法一 根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60°，2b＝a＋c，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c，即b＝c.
∴△ABC是等边三角形.方法二 根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，A∈(0°，120°)，
整理得sin(A＋30°)＝1，A＋30°∈(30°，150°)，
∴A＋30°＝90°，∴A＝60°，C＝60°.
∴△ABC是等边三角形.当堂训练∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac，
∴cos B＝ ，
∵0°∴B＝120°.1.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于
A.60° B.45°或135°
C.120° D.30°答案解析123√2.在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形√123∵2cos Bsin A＝sin C，
答案解析∴a＝b.故△ABC为等腰三角形.3.在△ABC中，若B＝30°，AB＝ ，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？123解答设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
123即a2－6a＋8＝0，
解得a＝2或a＝4.∴满足条件的三角形有两个.1.已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.本课结束2 三角形中的几何计算
学习目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明．
知识点一 平面图形中的计算问题
思考 问题：在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．拿到该问题之后，到确定解决方案之前，你通常要做哪些工作？
梳理 对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算．
知识点二 平面图形中的最值问题
思考 问题：直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9上或圆的内部，如何求k的最大值？
梳理 类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值．
知识点三 解三角形常用公式
在△ABC中，有以下常用结论：
(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；
(2)a>b?________?________；
(3)A＋B＋C＝π，＝－；
(4)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，
sin＝____________，cos＝________.
(5)三角形常用面积公式
①S＝____________(ha表示a边上的高)；
②S＝absin C＝________＝________；
③S＝(可由正弦定理推得)；
④S＝2R2sin A·sin B·sin C(R是三角形外接圆半径)；
⑤S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
类型一 利用正弦、余弦定理求线段长度
例1 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
反思与感悟 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解．
跟踪训练1 如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，求BC边上的高AD的长．
类型二 利用正弦、余弦定理求角度问题
例2 在△ABC中，已知AB＝，cos∠ABC＝，AC边上的中线BD＝，求sin A的值．
反思与感悟 运用正弦、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解．
跟踪训练2 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求A和tan B的值．
类型三 利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题
例3 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
反思与感悟 解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能熟练地运用公式进行求值．
跟踪训练3 (1)在△ABC中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值；
(2)求以(1)中的最大角为内角，相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积．
1．三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是( )
A．6 cm2 B. cm2
C．8 cm2 D．10 cm2
2．在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin A∶sin B∶sin C＝4∶ 5∶6，下列结论：
①a∶b∶c＝4∶5∶6
②a∶b∶c＝2∶∶
③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm
④A∶B∶C＝4∶5∶6
其中成立的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形面积S＝220，则a的值为( )
A．7 B．25
C．55 D．49
4．在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________.
5．在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值为________．
1．正弦、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系．
2．不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好．甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正弦、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题转化为简单问题来计算或证明．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ①画出图形 ；
②理清已知条件，要求的目标；
③根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件．
知识点二
思考 先求出两直线交点坐标(－4k，－3k)，再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数式(－4k)2＋(－3k)2≤9，
从中求得k的最大值为.
知识点三
(2)sin A>sin B A>B (4)sin C
－cos C cos sin (5)①aha ②acsin B bcsin A
题型探究
例1 解 在△ABD中，由余弦定理，
得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos 60°，
∴x2－10x－96＝0，
∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，
∴BD＝16.
在△BCD中，
由正弦定理知＝，
∴BC＝·sin 30°＝8.
跟踪训练1 解 在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，x>0，
由正弦定理，得＝，
∴sin C＝＝×＝.
又∵0°∴C＝60°或120°.
若C＝120°，由8x>7x，知B也为钝角，不合题意，
故C≠120°.
∴C＝60°.
由余弦定理，得(7x)2＝(8x) 2＋152－2×8x×15cos 60°，
∴x2－8x＋15＝0，
解得x＝3或x＝5.
∴AB＝21或AB＝35.
在Rt△ADB中，
AD＝ABsin B＝AB，
∴AD＝12或20.
例2
解 如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝AB＝.
∵cos∠ABC＝，
∴cos∠BED＝－.
设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，
可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos∠BED，
即5＝x2＋＋2××x.
解得x＝1或x＝－(舍去)，故BC＝2.
在△ABC中，利用余弦定理，
可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝，
即AC＝.
又sin∠ABC＝＝，
∴＝，
∴sin A＝.
跟踪训练2 解 方法一 由余弦定理，得cos A＝＝.
又0°在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.
由正弦定理，得＋＝＝＝
＝
＝＋，
解得＝2，从而tan B＝.
方法二 由余弦定理，得cos A＝＝.
所以A＝60°.
由b2＋c2－bc＝a2，得()2＝1＋()2－＝1＋＋＋3－－＝.∴＝.①
由正弦定理，得sin B＝sin A＝×＝ .
由①式可知a＞b，故B＜A，因此B为锐角，
于是cos B＝＝，
从而tan B＝＝.
例3 (1)证明 ∵m∥n，
∴asin A＝bsin B，
a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，
∴a2＝b2，a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意可知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b) 2－3ab，
即(ab) 2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)．
∴S＝absin C＝·4·sin＝.
跟踪训练3 解 (1)设三边长分别为a－1，a，a＋1，
由于最大角是钝角，所以(a－1) 2＋a2－(a＋1) 2<0，
解得0当a＝1时，a－1＝0，不合题意舍去；
当a＝2时，三边长为1,2,3，不能构成三角形；
当a＝3时，三边长为2,3,4，设最大角为θ，则
cos θ＝＝－.
(2)sin θ＝ ＝.
设相邻两边长分别为x，y，则x＋y＝4.
所以面积S＝xysin θ＝xy
＝x(4－x)
＝[－(x－2)2＋4]．
又因为x∈(0,4)，所以当x＝2时，S取得最大值.
当堂训练
1．A 2.C 3.D 4.36－12 5.
课件41张PPT。第二章 解三角形§2 三角形中的几何计算1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 平面图形中的计算问题
①画出图形 ；
②理清已知条件，要求的目标；
③根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件.答案梳理 对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.知识点二 平面图形中的最值问题思考 先求出两直线交点坐标(－4k，－3k)，再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数式(－4k)2＋(－3k)2≤9，从中求得k的最大值为 .问题：直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9上或圆的内部，如何求k的最大值？答案梳理 类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值.知识点三 解三角形常用公式在△ABC中，有以下常用结论：
(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；
(2)a>b? ? ；
(3)A＋B＋C＝π， ；
(4)sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ，sin A>sin BA>Bsin C－cos C(5)三角形常用面积公式题型探究类型一 利用正弦、余弦定理求线段长度例1 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.解答在△ABD中，由余弦定理，
得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos 60°，
∴x2－10x－96＝0，
∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，
∴BD＝16.
在△BCD中，
解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解.跟踪训练1 如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，
sin B＝ ，求BC边上的高AD的长.解答在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，x>0，
又∵0°∴C＝60°或120°.
若C＝120°，由8x>7x，知B也为钝角，不合题意，
故C≠120°.
∴C＝60°.由余弦定理，得(7x)2＝(8x) 2＋152－2×8x×15cos 60°，
∴x2－8x＋15＝0，
解得x＝3或x＝5.
∴AB＝21或AB＝35.
解答类型二 利用正弦、余弦定理求角度问题设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，
可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos∠BED，在△ABC中，利用余弦定理，
运用正弦、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解.解答又0°在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.类型三 利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题例3 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2).
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；证明证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
∴a2＝b2，a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝ ，求△ABC的面积.解答由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b) 2－3ab，
即(ab) 2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1).
解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能熟练地运用公式进行求值.跟踪训练3 (1)在△ABC中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值；解答设三边长分别为a－1，a，a＋1，
由于最大角是钝角，所以(a－1) 2＋a2－(a＋1) 2<0，
解得0当a＝1时，a－1＝0，不合题意舍去；
当a＝2时，三边长为1,2,3，不能构成三角形；
当a＝3时，三边长为2,3,4，设最大角为θ，则
(2)求以(1)中的最大角为内角，相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积.解答设相邻两边长分别为x，y，则x＋y＝4.当堂训练1.三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是答案解析123√45123452.在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin A∶sin B∶sin C＝4∶ 5∶6，下列结论：
①a∶b∶c＝4∶5∶6
②a∶b∶c＝2∶
③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm
④A∶B∶C＝4∶5∶6
其中成立的个数是
A.0 B.1
C.2 D.3√答案解析12345由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；
结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴③对，
∴选C.123453.△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形面积S＝ ，则a的值为
A.7 B.25
C.55 D.49√答案解析12345123454.在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝ .答案解析123455.在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，
则bccos A＋accos B＋abcos C的值为 .答案解析123451.正弦、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系.
2.不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正弦、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题转化为简单问题来计算或证明.本课结束3 解三角形的实际应用举例
学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
知识点一 常用角
思考 试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．
梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：
(1)方向角
指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．
(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)
知识点二 测量方案
思考 如何不登月测量地月距离？
梳理 测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．
类型一 测量不可到达点间的距离
例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A、B两点间的距离(精确到0.1 m)．
反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
跟踪训练1 要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为______km.
类型二 测量高度
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)．
反思与感悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．
跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m.
类型三 航海中的测量问题
例3 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)
反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．
跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
1．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10 n mile B．10 n mile
C．20 n mile D．20 n mile
2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．
3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．
4．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．
1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考
梳理 (1)90
(2)上方 下方
知识点二
思考 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．
题型探究
例1 解 根据正弦定理得＝，
AB＝＝＝
＝≈65.7(m)．
答 A、B两点间的距离为65.7 m.
跟踪训练1
解析
如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ (km)．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝ (km)．
△ABC中，由余弦定理得
AB2＝()2＋2－2××cos 75°
＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝ (km)．
∴A、B之间的距离为 km.
例2 解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
根据正弦定理，＝，
所以AB＝＝.
解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝.
将测量数据代入上式，得
BD＝
＝
≈177.4(m)．
CD＝BD－BC≈177.4－27.3≈150(m)．
答 山的高度约为150 m.
跟踪训练2 30
解析 设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，
在△ABC中，
由题意可知AC＝＝30(m)，
BC＝＝30(m)，C＝30°，
AB2＝(30)2＋302－2×30×30×cos 30°＝900，
所以AB＝30(m)．
例3 解 在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，
根据余弦定理，
AC＝
＝
≈113.15(n mile)．
根据正弦定理，＝，
sin∠CAB＝＝≈0.325 5，
所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.
跟踪训练3 解
如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at(海里)，
AC＝at(海里)，
B＝90°＋30°＝120°，
由＝得：
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<90°，
∴∠CAB＝30°.
∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
当堂训练
1．A 2.20米、米
3．解 由题意知∠ABC＝30°，
由正弦定理＝，
故AB＝＝
＝50(m)．
4．解 在△ABT中，
∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m)．
根据正弦定理，＝，
AT＝.
塔的高度为AT×sin 21.4°＝×sin 21.4°≈106.19(m)．
课件35张PPT。第二章 解三角形§3 解三角形的实际应用举例1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 常用角试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图.答案梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：
(1)方向角
指北或指南方向线与目标方向所成的小于 度的角.
(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线
和目标视线的夹角，目标视线在水平线
时叫仰角，目标视线在水平线 时
叫俯角.(如右图所示)90上方下方知识点二 测量方案思考 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离.如何不登月测量地月距离？答案梳理 测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题.这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的.设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度.一般来说，基线越长，精确度越高.题型探究类型一 测量不可到达点间的距离例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A、B两点间的距离(精确到0.1 m).解答解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.跟踪训练1 要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为 km.答案解析如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.类型二 测量高度例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m).解答在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
将测量数据代入上式，得
CD＝BD－BC≈177.4－27.3≈150(m).
答 山的高度约为150 m.利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题.跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，
在△ABC中，
30答案解析类型三 航海中的测量问题例3 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)解答所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解答如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at(海里)，
B＝90°＋30°＝120°，∵0°<∠CAB<90°，
∴∠CAB＝30°.
∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.当堂训练1.一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是答案解析123√4如图所示，
由已知条件可得，
∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
12342.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶
望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 .1234答案解析由题意知∠ABC＝30°，
3.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离.1234解答12344.为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度.解答在△ABT中，
∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m).
12341.在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.本课结束习题课 正弦定理和余弦定理
学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．
知识点一 有关三角形的隐含条件
思考 我们知道y＝sin x在区间(0，π)上不单调，所以由0＜α＜β＜π得不到sin α＜sin β.那么由A，B为△ABC的内角且A＜B，能得到sin A＜sin B吗？为什么？
梳理 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：
(1)由A＋B＋C＝180°可得
sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，
tan(A＋B)＝________，sin＝________，
cos＝________.
(2)由三角形的几何性质可得
acos C＋ccos A＝____，bcos C＋ccos B＝____，
acos B＋bcos A＝____.
(3)由大边对大角可得sin A＞sin B?A____B.
(4)由锐角△ABC可得sin A____cos B.
知识点二 解三角形的基本类型
完成下表：
已知条件
适用定理
解的个数
三边
两边及其夹角
两边及一边
对角
____________
或____________
一边及两角
知识点三 三角形有关问题的解决思路
这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等．
类型一 利用正弦、余弦定理解三角形
引申探究
1．对于例1中的条件，c·cos B＝b·cos C，能否使用余弦定理？
2．例1中的条件c·cos B＝b·cos C的几何意义是什么？
例1 在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，cos A＝，求sin B的值．
反思与感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段；
(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式．
跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求A的大小；
(2)求的值．
类型二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用
例2 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2 －cos 2A＝.
(1)求A的度数；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．
反思与感悟 (1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程．(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用．
跟踪训练2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2＋c2－b2＝ac.求2sin2＋sin 2B的值．
类型三 正弦、余弦定理与平面向量的综合应用
例3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B＝，a＝7且·＝－21.求角C.
反思与感悟 利用向量的有关知识，把问题化归为三角形的边角关系，再结合正弦、余弦定理解三角形．
跟踪训练3 已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．
1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B. C. D.
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝________.
3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有两解，则x的取值范围是________．
1．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．
2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 能．由于三角形中大边对大角，
∴当A＜B时，有a＜b.
由正弦定理，得2Rsin A＜2Rsin B，
从而有sin A＜sin B.
梳理 (1)sin C －cos C －tan C
cos sin (2)b a c (3)＞
(4)＞
知识点二
余弦定理 1 余弦定理 1 正弦定理 余弦定理 0,1,2 正弦定理 1
题型探究
例1 解 由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理，得
sin Ccos B＝sin Bcos C，
故sin(B－C)＝0，∵0∴－π∵cos A＝，
∴由余弦定理，得3a2＝2b2，
再由余弦定理，得cos B＝，
故sin B＝.
引申探究
1．解 由余弦定理，得c·＝b·.
化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，
∴c2＝b2，从而c＝b.
2．解 如图，
作AD⊥BC，垂足为D.
则c·cos B＝BD，b·cos C＝CD.
∴ccos B＝bcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等．
跟踪训练1 解 (1)由题意知，b2＝ac
?cos A＝＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由b2＝ac，得＝，
∴＝sin B·＝sin B·＝sin A＝.
例2 解 (1)由4sin2 －cos 2A＝及A＋B＋C＝180°，
得2[1－cos(B＋C)]－2cos2 A＋1＝，
4(1＋cos A)－4cos2 A＝5，
即4cos2A－4cos A＋1＝0，
∴(2cos A－1)2＝0，解得cos A＝.
∵0°(2)由余弦定理，得cos A＝.
∵cos A＝，∴＝，
化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，
将a＝，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.
则由解得或
跟踪训练2 解 由已知得＝，
所以cos B＝，
sin B＝＝，
所以2sin2＋sin 2B
＝2cos2＋sin 2B
＝1＋cos B＋2sin Bcos B
＝1＋＋2××
＝.
例3 解 ∵·＝－21，
∴·＝21.
∴·＝||·||·cos B＝accos B＝21.
∴ac＝35，
又∵a＝7，∴c＝5.
∵cos B＝，∴sin B＝.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
∴b＝4.
由正弦定理，得＝，
∴sin C＝sin B＝×＝.
∵c∴C＝45°.
跟踪训练3 150°
解析 ∵m∥n，
∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，
由正弦定理，得(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，
即a2＋c2－b2＝－ac，
再由余弦定理，得cos B＝－，
又0°当堂训练
1．D 2.－ 3.(2,2)
课件34张PPT。第二章 解三角形习题课 正弦定理和余弦定理1.学会利用三角形中的隐含条件.
2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.
3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 有关三角形的隐含条件能.由于三角形中大边对大角，
∴当A＜B时，有a＜b.
由正弦定理，得2Rsin A＜2Rsin B，
从而有sin A＜sin B.答案我们知道y＝sin x在区间(0，π)上不单调，所以由0＜α＜β＜π得不到sin α＜sin β.那么由A，B为△ABC的内角且A＜B，能得到sin A＜sin B吗？为什么？梳理 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：
(1)由A＋B＋C＝180°可得
sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ，
tan(A＋B)＝ ， ＝ ，
＝ .sin C－cos C－tan C(2)由三角形的几何性质可得
acos C＋ccos A＝ ，bcos C＋ccos B＝ ，
acos B＋bcos A＝ .
(3)由大边对大角可得sin A＞sin B?A B.
(4)由锐角△ABC可得sin A cos B.bac＞＞知识点二 解三角形的基本类型余弦定理余弦定理正弦定理余弦定理110,1,2正弦定理1知识点三 三角形有关问题的解决思路这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等.题型探究类型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，cos A＝ ，求sin B的值.解答由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理，得
sin Ccos B＝sin Bcos C，
故sin(B－C)＝0，∵0∴－π∴由余弦定理，得3a2＝2b2，引申探究
1.对于例1中的条件，c·cos B＝b·cos C，能否使用余弦定理？解答化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，
∴c2＝b2，从而c＝b.2.例1中的条件c·cos B＝b·cos C的几何意义是什么？解答如图，作AD⊥BC，垂足为D.
则c·cos B＝BD，b·cos C＝CD.
∴ccos B＝bcos C的几何意义为边AB，
AC在BC边上的射影相等.(1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段；
(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求A的大小；由题意知，b2＝ac
解答解答类型二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用例2 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2 －
cos 2A＝ .
(1)求A的度数；解答4(1＋cos A)－4cos2 A＝5，
即4cos2A－4cos A＋1＝0，∵0°将a＝ ，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用.跟踪训练2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2＋c2－b2＝ .求2sin2 ＋sin 2B的值.解答解答类型三 正弦、余弦定理与平面向量的综合应用∴ac＝35，
又∵a＝7，∴c＝5.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝32，∴C＝45°.利用向量的有关知识，把问题化归为三角形的边角关系，再结合正弦、余弦定理解三角形.跟踪训练3 已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝( ＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为 .150°答案解析当堂训练在△ABC中，利用正弦定理，得
1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝ ，则角A等于答案解析123√123答案解析3.已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有两解，则x的取值范围是 .123答案解析若三角形有两解，
必须满足CD<22.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.本课结束第二章 解三角形
1 正弦定理的几种证明方法
正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，思维的深度、广度和灵活度．
正弦定理的内容：
在△ABC中，三边和三角分别是a，b，c和A，B，C，则
＝＝.
一、向量法
证明 在△ABC中作单位向量i⊥，则：
i·＝i·(＋)，
?|i|||sin A＝|i|||sin C，
?＝，
同理可证：＝，
由此证得正弦定理：＝＝.
二、高线法
证明 在△ABC中作高线CD，
则在Rt△ADC和Rt△BDC中，
CD＝bsin A，
CD＝asin B，
即bsin A＝asin B，
∴＝，
同理可证：＝，
即正弦定理可证得．
三、外接圆法
证明 作△ABC的外接圆O，过点C连接圆心与圆交于点D，连接AD，设圆的半径为R，
∴△CAD为Rt△，且b＝2Rsin D，且∠D＝∠B，
∴b＝2Rsin B，
即＝2R，
同理：＝2R，＝2R，
∴＝＝.
四、面积法
证明
∵S△ABC＝bcsin A
＝absin C＝acsin B，
∴＝＝.
2 正弦定理的一个推论及应用
在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为A与B的大小关系不确定．若再问：在△ABC中，若A>B，则sin A与sin B的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．
一、结论
例1 在△ABC中，sin A>sin B?A>B.
分析 题中条件简单，不易入手．因为是在三角形中，所以可以联系边角关系的正弦定理．
证明 因为sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B(其中R为△ABC外接圆的半径)，
根据正弦定理变式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(其中a，b分别为A，B的对边)，可得sin A>sin B?a>b，
再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，
可得a>b?A>B.所以sin A>sin B?A>B.
二、结论的应用
例2 在△ABC中，A＝45°，a＝4，b＝2，求B.
分析 在遇到这样的问题时，有的同学会直接由正弦定理得B＝30°或B＝150°.其实这是错误的！只需由上述结论即可发现．
解 由正弦定理得＝，sin B＝，
又sin B点评 同学们在解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理．同时，使用正弦定理求角时，要特别细心，不要出现漏解或增解的情况．
例3 在△ABC中，已知B＝30°，b＝3，c＝3，求A.
分析 同学们在求解这个问题的时候，在用正弦定理求角C时不要丢解．
解 由正弦定理及已知条件，得
sin C＝＝，
因为sin C>sin B，
所以C>B，所以C有两解．
(1)当C＝60°时，有A＝90°；
(2)当C＝120°时，有A＝30°.
点评 除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.
3 三角形定“形”记
根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两种方法，即化角为边或化边为角．下面例析这两种方法的应用．
一、通过角之间的关系定“形”
例1 在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．
解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理
2sin Acos B＝sin C可化为
2a·＝c，
即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b.
所以△ABC是等腰三角形．故选B.
方法二 因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
即C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)．
由2sin Acos B＝sin C，
得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.
又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.
所以△ABC是等腰三角形，故选B.
答案 B
点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系．
二、通过边之间的关系定“形”
例2 在△ABC中，若＝，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
分析 先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状．
解析 在△ABC中，由正弦定理，可得
＝＝，整理得a(a＋c)＝b(b＋c)，
即a2－b2＋ac－bc＝0，(a－b)(a＋b＋c)＝0.
因为a＋b＋c≠0，所以a－b＝0，即a＝b，
所以△ABC是等腰三角形．故选C.
答案 C
点评 本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现.
4 细说三角形中解的个数
解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨．
一、出现问题的根源
我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，作图步骤如下：①先做出已知角A，把未知边c画为水平的，角A的另一条边为已知边b；②以b边的不是A点的另外一个端点为圆心，边a为半径作圆C；③观察圆C与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数．
显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况：
当A为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：
根据上面的分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A为锐角，只有当a不小于bsin A时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的．当A为钝角时，只有当a大于b时才有解．
二、解决问题的策略
1．正弦定理法
已知△ABC的两边a，b和角A，求B.
根据正弦定理＝，可得sin B＝.
若sin B>1，三角形无解；若sin B＝1，三角形有且只有一解；若02．余弦定理法
已知△ABC的两边a，b和角A，求c.
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
整理得c2－2bccos A－a2＋b2＝0.
适合上述一元二次方程的解c便为此三角形的解．
3．公式法
当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：
A<90°
A≥90°
a≥b
aa>b
a≤b
a>bsin A
a＝bsin A
a一解
二解
一解
无解
一解
无解
三、实例分析
例 在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的△ABC有多少个？
分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述方法来判断△ABC解的情况．
解 方法一 由正弦定理＝，
可得sin B＝sin 45°＝<1.
又因为a>b，所以A>B，故B＝30°，
符合条件的△ABC只有一个．
方法二 由余弦定理得
22＝c2＋()2－2××ccos 45°，
即c2－2c－2＝0，解得c＝1±.
而1－<0，故仅有一解，符合条件的△ABC只有一个．
方法三 A为锐角，a>b，故符合条件的△ABC只有一个．
5 挖掘三角形中的隐含条件
解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于我们对解三角形公式比较熟悉，做题时比较容易入手．但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现像，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘．
1．两边之和大于第三边
例1 已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．
[错解] ∵c>b>a且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角．
由余弦定理得cos C＝
＝＝<0.
∴k2－4k－12<0，解得－2又∵k为三角形的边长，∴k>0.
综上所述，0[点拨] 忽略了隐含条件：k，k＋2，k＋4构成一个三角形，k＋(k＋2)>k＋4.即k>2而不是k>0.
[正解] ∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角．
由余弦定理得cos C＝＝<0.
∴k2－4k－12<0，解得－2由两边之和大于第三边得k＋(k＋2)>k＋4，
∴k>2，综上所述，k的取值范围为2温馨点评 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就行了.
2．三角形的内角范围
例2 在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________．
[错解] 由正弦定理，得sin C＝＝.
∴C＝60°，∴A＝90°.
则S△ABC＝AB·AC·sin A＝×2×2×1＝2.
[点拨] 上述解法中在用正弦定理求C时丢了一解．实际上由sin C＝可得C＝60°或C＝120°，它们都满足条件．
[正解] 由正弦定理，得sin C＝＝.
∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，
∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝2.
当C＝120°时，A＝30°，
∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝.
故△ABC的面积是2或.
温馨点评 利用正弦定理理解“已知两边及其中一边对角，求另一角”的问题时，由于三角形内角的正弦值都为正，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确而出错.
例3 在△ABC中，＝，试判断三角形的形状．
[错解] ＝?＝，
?＝?sin Acos A＝sin Bcos B，
?sin 2A＝sin 2B，∴A＝B.∴△ABC是等腰三角形．
[点拨] 上述错解忽视了满足sin 2A＝sin 2B的另一个角之间的关系：2A＋2B＝180°.
[正解] ＝?＝，
?＝?sin Acos A＝sin Bcos B
?sin 2A＝sin 2B?2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
温馨点评 在△ABC中，sin A＝sin B?A＝B是成立的，但sin 2A＝sin 2B?2A＝2B或2A＋2B＝180°.
例4 在△ABC中，B＝3A，求的取值范围．
[错解] 由正弦定理得＝＝
＝＝
＝cos 2A＋2cos2A＝4cos2A－1.
∵0≤cos2A≤1，∴－1≤4cos2A－1≤3，
∵>0，∴0<≤3.
[点拨] 忽略了三角形内角和为180°，及角A、B的取值范围，从而导致的取值范围求错．
[正解] 由正弦定理得＝＝
＝＝
＝cos 2A＋2cos2A＝4cos2A－1.
∵A＋B＋C＝180°，B＝3A.
∴A＋B＝4A<180°，∴0°∴∴1<4cos2 A－1<3，∴1<<3.
温馨点评 解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.
6 正弦、余弦定理的应用
有些题目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例．
一、平面几何中的长度问题
例1 如图，在梯形ABCD中，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，求梯形的高．
分析 如图，过点D作DE⊥AB于点E，则DE为所求的高．由∠BAD＝60°，知∠ADC＝120°，又边CD与AC的长已知，故△ACD为已知两边和其中一边的对角，可解三角形．解Rt△ADE，需先求AD的长，这只需在△ACD中应用余弦定理．
解 由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°，
在△ACD中，由余弦定理得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，
即19＝AD2＋4－2AD×2×，
解得AD＝3或AD＝－5(舍去)．
在△ADE中，DE＝AD·sin 60°＝.
点评 依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现．
二、求范围
例2 如图，等腰△ABC中，底边BC＝1，∠ABC的平分线BD交AC于点D，求BD的取值范围(注：0分析 把BD的长表示为∠ABC的函数，转化为求函数的值域．
解 设∠ABC＝α.
因为∠ABC＝∠C，所以∠A＝180°－2α，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝180°－2α＋＝180°－，
因为BC＝1，在△BCD中，由正弦定理得
BD＝＝＝
＝，因为0°<<45°，
所以故BD的取值范围是.
点评 本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想．
三、判断三角形的形状
例3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k，(k∈R)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若c＝，求k的值．
解 (1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B，
又·＝·，∴bccos A＝accos B，
∴bcos A＝acos B.
方法一 ∴sin Bcos A＝sin Acos B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，
∴sin(A－B)＝0，∵－π＜A－B＜π，
∴A＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
方法二 利用余弦定理将角化为边．
∵bcos A＝acos B，
∴b·＝a·，
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，∴a2＝b2，
∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知，a＝b.
∴·＝bccos A＝bc·＝＝k，
∵c＝，∴k＝1.
7 管窥高考
高考解答题一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正弦、余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小．
例1 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．
分析 本题主要考查余弦定理、正弦定理、同角三角函数关系与二倍角关系，考查运算求解能力．
解 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.
(2)由正弦定理知，＝，
所以sin C＝·sin A＝＝.
因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cos C＝＝＝.
因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.
例2 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．
(1)证明：B－A＝；
(2)求sin A＋sin C的取值范围．
分析 (1)利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为sin B＝sin(＋A)，再结合条件从而得证；(2)利用(1)中的结论，以及三角恒等变形，将sin A＋sin C转化为只与A有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解．
(1)证明 由a＝btan A及正弦定理，
得＝＝，
所以sin B＝cos A，即sin B＝sin.
又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，
即B－A＝.
(2)解 由(1)知，
C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，
所以A∈.
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－22＋.
因为0＜A＜，所以0＜sin A＜，
因此＜－22＋≤.
由此可知sin A＋sin C的取值范围是.
考点定位 1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质．
例3 在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
分析 根据题意，设出△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.由余弦定理求出a的长度，再由正弦定理求出角B的大小，在△ABD中，利用正弦定理即可求出AD的长度．
解 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.
又由正弦定理，得sin B＝＝＝，
由题设知0所以cos B＝＝＝.
在△ABD中，由正弦定理，
得AD＝＝＝＝.
第二章 解三角形
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形．
3．能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.
知识点一 正弦定理及其推论
设△ABC的外接圆半径为R，则
(1)＝________＝________＝________.
(2)a＝________，b＝________，c＝________.
(3)sin A＝______，sin B＝______，sin C＝______.
(4)在△ABC中，A>B?________?____________.
知识点二 余弦定理及其推论
1．a2＝________________，b2＝ __________________，c2＝______________________.
2．cos A＝______________；cos B＝________________；cos C＝_______________.
3．在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为________；c2>a2＋b2?C为________；c2知识点三 三角形面积公式
(1) S＝aha＝bhb＝chc；
(2)S＝absin C ＝bcsin A＝casin B.
类型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．
反思与感悟 解三角形的一般方法：
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
跟踪训练1 如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
类型二 三角变换与解三角形的综合问题
命题角度1 三角形形状的判断
例2 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·
sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
命题角度2 三角形边、角、面积的求解
例3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
跟踪训练2 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S.
反思与感悟 该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．
类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用
例4 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒．在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH(声音的传播速度为340米/秒)．
反思与感悟 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
跟踪训练3 甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
1．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有两个不等的实根，则A为( )
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在
2．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( )
A. B. C. D．3
3．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．
1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B等价于a>b等价于sin A>sin B.
2．对所给条件进行变形，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
答案精析
知识梳理
知识点一
(1) 2R
(2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C
(3)
(4)a>b sin A>sin B
知识点二
1．b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
2.
3．直角 钝角 锐角
题型探究
例1 解 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，
由余弦定理，得cos C＝＝，
∴sin C＝.
在△ADC中，由正弦定理，得
＝，
∴AD＝×＝.
跟踪训练1 解 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，
所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝82＋52－2×8×5×＝49，所以AC＝7.
例2 解 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
方法一 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin Asin B≠0，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法二 由正弦定理、余弦定理，得
a2b×＝b2a×，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
例3 解 (1)由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
得2Rsin A＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Csin B
即sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B.
又A＝π－(B＋C)，
∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋sin Csin B，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B，
∴cos Bsin C＝sin Csin B.
∵sin C≠0，
∴cos B＝sin B且B为三角形内角，
∴B＝.
(2)S△ABC＝acsin B＝ac，
由正弦定理，a＝＝×sin A
＝2sin A，
同理，c＝2sin C，
∴S△ABC＝×2sin A×2sin C
＝2sin Asin C
＝2sin Asin(－A)
＝2sin A(sinπcos A－cos πsin A)
＝2(sin Acos A＋sin2A)
＝sin 2A＋1－cos 2A
＝sin(2A－)＋1
∴当2A－＝，即A＝时，
S△ABC有最大值＋1.
跟踪训练2 解 因为cos B＝2cos2 －1＝，
故B为锐角，所以sin B＝，
所以sin A＝sin(π－B－C)
＝sin
＝sin cos B－cos sin B＝.
由正弦定理，得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
例4 解 由题意，设AC＝x，
则BC＝x－×340＝x－40.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝BA2＋AC2－2×BA×AC×
cos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，
所以CH＝AC×tan∠CAH＝140.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为140米．
跟踪训练3 解 设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时．
①当0≤t＜2时，如图(1)，
在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，
所以PQ＝
＝
＝
＝2；
②当t＝2时，PQ＝8×2＝16；
③当t>2时，如图(2)，
在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，
∴PQ＝
＝2.
综合①②③知，PQ＝2(t≥0)．
当且仅当t＝＝时，PQ最小．
答 甲、乙两船行驶小时后，相距最近．
当堂训练
1．A 2.B
3．解 在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，
∠ACB＝45°－15°＝30°.
根据正弦定理，有＝，
∴ BC＝.
又在△BCD中，
∵ CD＝50，BC＝，
∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
根据正弦定理，有＝.
解得cos θ＝－1.
∴ 山对于地平面的倾斜角的余弦值为－1.
课件42张PPT。第二章 解三角形章末复习课1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.
2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形.
3.能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题. 学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理设△ABC的外接圆半径为R，则
(1) ＝ .
(2)a＝ ，b＝ ，c＝ .
(3)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ .
(4)在△ABC中，A>B? ? .知识点一 正弦定理及其推论2R2Rsin A2Rsin B2Rsin Ca>bsin A>sin B知识点二 余弦定理及其推论1.a2＝ ，b2＝ ，c2＝ .
2.cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .
3.在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为 ；c2>a2＋b2?C为 ；c2(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.跟踪训练1 如图，在△ABC中，∠B＝ ，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝ .
(1)求sin∠BAD；解答所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B(2)求BD，AC的长.解答在△ABD中，由正弦定理，得
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝82＋52－2×8×5× ＝49，所以AC＝7.类型二 三角变换与解三角形的综合问题命题角度1 三角形形状的判断
例2 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·
sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.解答∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
方法一 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法二 由正弦定理、余弦定理，得∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.命题角度2 三角形边、角、面积的求解
例3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；解答由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C.
得2Rsin A＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Csin B
即sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B.
又A＝π－(B＋C)，
∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋sin Csin B，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B，
∴cos Bsin C＝sin Csin B.∵sin C≠0，
∴cos B＝sin B且B为三角形内角，
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值.解答该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.解答类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用例4 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 秒.在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH(声音的传播速度为340米/秒).解答由题意，设AC＝x，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝BA2＋AC2－2×BA×AC×cos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，
所以CH＝AC×tan∠CAH＝ .
所以该仪器的垂直弹射高度CH为 米.应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.跟踪训练3 甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解答设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时.
①当0≤t＜2时，如图(1)，
在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，②当t＝2时，PQ＝8×2＝16；
③当t>2时，如图(2)，
在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，当堂训练1.在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有两个不等的实根，则A为
A.锐角 B.直角
C.钝角 D.不存在答案解析123√由方程可得(sin A－sin C)x2＋2xsin B＋sin A＋sin C＝0.
∵ 方程有两个不等的实根，
∴ 4sin2 B－4(sin2 A－sin2 C)＞0.
123代入不等式中得 b2－a2＋c2＞0，
再由余弦定理，有2bccos A＝b2＋c2－a2＞0.
∴ 0°3.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米.求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值.123解答在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，
∠ACB＝45°－15°＝30°.
123123∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B等价于a>b等价于sin A>sin B.
2.对所给条件进行变形，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.本课结束