1．1 直线的倾斜角和斜率
学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？
思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？
梳理 倾斜角的概念
(1)在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件
①直线上的一个点．
②这条直线的________．
(2)直线的倾斜角
定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把________(正方向)按________________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角
规定：当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为________
范围
倾斜角α的取值范围为________________
知识点二 直线的斜率
思考1 在日常生活中，我们常用“”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？
梳理 (1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的________________叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角α(范围)
α＝0°
0<α<90°
α＝____
90°<α<180°
斜率k (范围)
不存在
k的变化
定值
倾斜角越大，直线的斜率k就越大
不存在
倾斜角越大，直线的斜率就越大
(3)由两点确定的斜率公式
直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝________________(x 1≠x2)．
类型一 直线的倾斜角
例1 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋40°
B．α－140°
C．140°－α
D．当0°≤α<140°时，倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，倾斜角为α－140°
反思与感悟 (1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
类型二 直线的斜率
例2 (1)过原点且斜率为的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．
(2)如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又直线l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
反思与感悟 (1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k＝tan α求得．
(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k＝，注意前提条件x1≠x2.若x1＝x2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．
跟踪训练2 经过点P(2，m)和Q(2m,5)的直线的斜率等于，则m的值是( )
A．4 B．3 C．1或3 D．1或4
类型三 直线的倾斜角、斜率的应用
例3 如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．
反思与感悟 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．
跟踪训练3 若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
例4 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．
反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．
跟踪训练4 已知点A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
1．下列图中α能表示直线l的倾斜角的是( )
A．① B．①② C．①③ D．②④
2．已知点A(a,2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为( )
A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2
C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1
3．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
4．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m的值为________．
5．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况
平行于x轴
垂直于x轴
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
0
k>0
不存在
k<0
k的增减情况
k随α的增大而增大
k随α的增大而增大
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不能．
思考2 不同．
梳理 (1)②方向 (2)x轴 逆时针 0° 0°≤α<180°
知识点二
思考1 不同，因为≠.
思考2 存在．图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β.
梳理 (1)正切值 tan α (2)90° k＝0
k>0 k<0 (3)
题型探究
例1 D [根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，
当0°≤α<140°时，直线l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，直线l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.]
跟踪训练1 60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
例2 (1)
解析 因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为30°，所以直线l′的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l′的斜率为tan 60°＝.
(2)解 设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．
由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.
跟踪训练2 B
例3 解 kAB＝＝，kAC＝＝，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
即＝，∴m＝－6.
跟踪训练3
例4 解 如图所示．
∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，
∴45°≤α≤120°.
跟踪训练4 解 如图所示．
当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是.
当堂训练
1．A 2.D 3.A 4. 5.(0°，90°]
课件37张PPT。1.1 直线的倾斜角和斜率第二章 §1 直线与直线的方程第1课时 直线方程的点斜式
学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
知识点一 直线的点斜式方程
思考1
如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？
思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
梳理 点斜式方程
点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和________
图示
方程形式
y－y0＝________________
适用条件
斜率存在
知识点二 直线的斜截式方程
思考1 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？
思考2 方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？
思考3 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
①l1∥l2?________________，
②l1⊥l2?________________.
梳理 斜截式方程
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式
适用条件
斜率存在
类型一 直线方程的点斜式
例1 根据条件写出下列直线的方程，并画出图形：(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．
反思与感悟 求直线的点斜式方程的思路
跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程．
(1)过点(－1,2)，倾斜角为135°；
(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7.
类型二 直线方程的斜截式
例2 求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过点P(0,4)，斜率为2；
(2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2,2)；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
反思与感悟 直线的斜截式方程的求解策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.
跟踪训练2 (1)直线y＝ax－的图像可能是( )
(2)已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1,1)，求m的值．
1．斜率为4，且过点(2，－3)的直线方程是( )
A．y＋3＝4(x－2)
B．y－3＝4(x－2)
C．y－3＝4(x＋2)
D．y＋3＝4(x＋2)
2．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
3．某直线l1过点A(2，－3)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线l1的点斜式方程为______________________．
4．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标为________．
5．写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，且该直线的斜率是直线y＝x＋7斜率的2倍；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．
1．求直线的点斜式方程的方法步骤
2．直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 由斜率公式得k＝，
则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．
思考2 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.
梳理 斜率k k(x－x0)
知识点二
思考1 将k及点(0，b)代入点斜式直线方程，得y＝kx＋b.
思考2 y轴上的截距b不是距离，b可以是负数和零．
思考3 ①k1＝k2且b1≠b2 ②k1k2＝－1
梳理 y＝kx＋b
题型探究
例1 解 (1)y－4＝－3[x－(－1)]，
即y＝－3x＋1.如图(1)所示．
(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，
即y＝x.
如图(2)所示．
(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.
如图(3)所示．
(4)k＝＝2，∴y－8＝2(x－2)，
即y＝2x＋4.如图(4)所示．
跟踪训练1 解 (1)x＋y－1＝0.
(2)y＋1＝0.
(3)y＝(x＋7)．
例2 解 (1)y＝2x＋4.
(2)由题意知，该直线过点(0,1)和Q(2,2)，
故k＝＝，
∴直线l的方程为y＝x＋1.
(3)∵直线的倾斜角为60°，
∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
跟踪训练2 (1)B
(2)解 由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.
∵直线l过点(1,1)，
将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m,1＝2×1＋m，
∴m＝－1.
当堂训练
1．A 2.C 3.y＋3＝(x－2)
4．(2,3)
5．解 (1)由题意知，直线的斜率为2，
所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.
课件32张PPT。第1课时 直线方程的点斜式第二章 §1 直线与直线的方程第2课时 直线方程的两点式和一般式
学习目标 1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．
知识点一 直线方程的两点式
思考1 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程．
思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？
梳理 两点式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
＝
斜率存在且不为0
知识点二 直线方程的截距式
思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用＋＝1表示吗？
思考2 已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．
梳理 截距式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
截距式
在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0
＋＝1
斜率存在且不为0，直线不过原点
知识点三 直线的一般式方程
思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？
思考2 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？
梳理 (1)一般式方程
形式
条件
A，B________________
(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
类型一 直线的两点式和截距式方程
例1 已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程．
反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．
跟踪训练1 若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
例2 (1)过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
(2)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
反思与感悟 求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为＋＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．
跟踪训练2 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数多条
类型二 直线的一般式方程
例3 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.
反思与感悟 直线方程的几种形式的转化
跟踪训练3 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
类型三 直线方程的综合应用
例4 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
反思与感悟 含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线过同一个点．这里对一般式方程灵活变形后变成点斜式方程是解决问题的关键．
跟踪训练4 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－a＋2＝0.
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
1．在x轴、y轴上截距分别是2，－3的直线的方程为( )
A．3x＋2y＋6＝0
B．3x＋2y＋1＝0
C．3x－2y－6＝0
D．3x－2y＋1＝0
2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
3．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
4．直线＋＝1(ab<0)的图像可能是( )
5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
1．截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：
(1)移项，By＝－Ax－C；
(2)当B≠0时，得y＝－x－.
3．在一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)中，若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；
若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 y－y1＝(x－x1)，
即＝.
思考2 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．
知识点二
思考1 能．由直线方程的两点式，得＝，即＋＝1.
思考2 由直线方程的两点式，得＝，得＋＝1.
知识点三
思考1 能．
思考2 一定．
梳理 (1)Ax＋By＋C＝0 不同时为0
题型探究
例1 解 直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，
由两点式得＝，
整理得3x＋8y＋15＝0.
令x＝0，得y＝－，
∴E(0，－)．
直线BC过B(3，－3)，C(0,2)两点，
由两点式得＝，
整理得5x＋3y－6＝0.
令y＝0，得x＝，
∴F(，0)．
由截距式方程得＋＝1，
整理得25x－16y－30＝0.
∴直线EF的方程为25x－16y－30＝0.
跟踪训练1 －2
例2 (1)A [设所求的直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，
因此有解得a＝2，b＝6，
故所求直线的方程为3x＋y－6＝0，故选A.]
(2)B [设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2,3)代入，得k＝，
∴直线l的方程为3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＋＝1，
即x＋y＝a，
把P(2,3)代入，得a＝5，
∴直线l的方程为x＋y＝5.
综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.]
跟踪训练2 B
例3 (1)－ (2)－2
解析 (1)令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由直线l化为斜截式方程，得
y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
跟踪训练3 解 (1)由点斜式方程，
得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式方程，得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式方程，得＋＝1，
即2x－y－3＝0.
(4)由两点式方程，得＝，
即x＋y－1＝0.
例4 (1)证明 方法一 将直线方程变形为y＝ax＋，
当a>0时，直线一定经过第一象限；
当a＝0时，y＝，直线显然经过第一象限；
当a<0时，>0，因此直线经过第一象限．
综上可知，不论a为何值时，直线5ax－5y－a＋3＝0一定经过第一象限．
方法二 直线方程变形为y－＝a(x－)，它表示经过点A(，)，斜率为a的直线．
∵点A(，)在第一象限，
∴直线l必经过第一象限．
(2)解 如图，直线OA的斜率k＝＝3.
∵直线l不经过第二象限，
∴直线l的斜率k≥3，∴a≥3，
即a的取值范围为{a|a≥3}．
跟踪训练4 解 (1)直线l的方程(a＋1)x＋y－a＋2＝0，
可化为y＝(－a－1)x＋a－2.
当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a－2＝0，∴a＝2，此时直线方程为
3x＋y＝0；
当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0，
∴直线方程为x＋y＋2＝0.
故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)直线l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使直线l不经过第二象限，
则解得a≤－1.
故所求实数a的取值范围为(－∞，－1]．
当堂训练
1．C 2.C 3.C
4．C
5．解 设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，
所以直线l的方程为＋＝1，
因为点(1,2)在直线l上，所以＋＝1，
解得a＝2或a＝3.
当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；
当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.
课件43张PPT。第2课时 直线方程的两点式和一般式第二章 §1 直线与直线的方程1．3 两条直线的位置关系
学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.3.能利用两条直线平行或垂直进行实际应用．
知识点一 两条直线平行
思考1 如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
思考2 对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
梳理 平行的判定
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?__________
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
知识点二 两条直线垂直
思考1 当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？
思考2 两条直线垂直，它们的斜率之积一定是－1吗？
梳理 垂直的判定
类型
斜率存在
其中一条斜率不存在
前提条件
|α2－α1|＝90°
α1＝0°，α2＝90°
对应关系
l1⊥l2?k1·k2＝－1
l1斜率为________，l2斜率不存在
图示
类型一 两条直线平行、垂直的判定
例1 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
反思与感悟 (1)已知直线方程判断两条直线平行或垂直的方法
(2)当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
跟踪训练1 判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．
(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
类型二 利用两直线平行、垂直求直线方程
例2 求直线l的方程．
(1)过点P(2，－1)且与直线l1：3x－2y－6＝0平行；
(2)过点P(1，－1)且与直线l2：2x＋3y＋1＝0垂直．
反思与感悟 (1)直线过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)．
(2)知斜率k，设斜截式y＝kx＋.；
(3)与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0.
(4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.
跟踪训练2 若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程．
类型三 两条直线平行与垂直的综合应用
例3 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
反思与感悟 在利用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论．
跟踪训练3 若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求：a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2.
例4 已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
反思与感悟 该题目通过数形结合，排除了∠C为直角的可能性．也可通过计算kCD·kBC＝0≠－1，说明∠C不可能为直角．
跟踪训练4 已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
1．若直线ax＋y＋1＝0与直线y＝3x－2平行，则实数a等于( )
A．－3 B．－ C．3 D.
2．直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A. B．－ C. D．－
3．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
4．经过点B(3,0)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程为________．
5．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．
1．两直线平行或垂直的判定方法．
斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行
积为－1
垂直
2.与直线y＝kx＋b平行的直线可设为y＝kx＋c(c≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．
3．设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，则l1⊥l2；已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．
思考2 一定有l1∥l2.因为k1＝k2?tan α1＝tan α2?α1＝α2?l1∥l2.
梳理 k1＝k2
知识点二
思考1 设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°.
思考2 不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．
梳理 0
题型探究
例1 解 (1)l1：y＝－x＋，
l2：y＝－x－.
则k1＝－，b1＝，
k2＝－，b2＝－.
∵k1＝k2，b1≠b2，
∴l1∥l2.
(2)l1：y＝x＋，l2：y＝－2x＋2.
则k1＝，k2＝－2，
∵k1·k2＝－1，
∴l1⊥l2.
(3)∵直线l1，l2的斜率均不存在，且2≠4，
∴l1∥l2.
(4)∵直线l1的斜率k1＝0，直线l2斜率不存在，
∴l1⊥l2.
跟踪训练1 解 (1)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，
∴l1∥l2或l1与l2重合．
(2)k1＝＝－1，k2＝＝－1，
k1＝k2，数形结合知，l1∥l2.
(3)k1＝－10，k2＝＝，
k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；
k2＝＝0，则l2∥x轴．
∴l1⊥l2.
例2 解 (1)方法一 由已知直线l1：3x－2y－6＝0，得斜率k1＝，
∵已知直线l1与l平行，
∴直线l的斜率k＝k1＝.
由点斜式得直线l的方程为y＋1＝(x－2)，
即3x－2y－8＝0.
方法二 由直线l与直线3x－2y－6＝0平行，可设直线l的方程为3x－2y＋C＝0(C≠－6)，又点P(2，－1)在直线上，
∴3×2－2×(－1)＋C＝0，∴C＝－8.
故直线l的方程为3x－2y－8＝0.
(2)方法一 由直线l2：2x＋3y＋1＝0，得斜率k2＝－，
∵直线l垂直于l2，
∴直线l的斜率k＝－＝，
直线l的点斜式方程为y＋1＝(x－1)，
故l的方程为3x－2y－5＝0.
方法二 设与直线l2：2x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为3x－2y＋C＝0.
将点P(1，－1)代入直线方程，
即3－2×(－1)＋C＝0，得C＝－5.
∴所求直线的方程为3x－2y－5＝0.
跟踪训练2 解 设直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
令x＝0，则直线在y轴上的截距为b＝－；
令y＝0，则直线在x轴上的截距为a＝－，
由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，
所以所求直线l的方程为2x＋3y－1＝0.
例3 解 (1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，
解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
跟踪训练3 解 将直线l1化成斜截式方程y＝－x＋，
当a＝0时，l2的方程为x＝－1，
l1的方程为y＝，此时l1⊥l2；
当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－.
若
即a＝2时，l1∥l2；
若－·(－)＝－1，即＝－1，矛盾，
故l1与l2在a≠0时不垂直．
综上，当a＝2时，l1∥l2；当a＝0时，
l1⊥l2.
例4 解 ①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．
设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.
由AD∥BC?kAD＝kBC，即＝－3；①
由AB⊥BC?kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1.②
解①②，得故A(，－)．
综上所述，A点坐标为(1，－1)或.
跟踪训练4 解 设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以解得
所以第四个顶点D的坐标为(2,3)．
当堂训练
1．A 2.B 3.y＝－3x＋2
4．x－2y－3＝0
5．解 由题意知，A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB＝＝，
kCD＝＝，
kAD＝＝－3，
kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知，AB与CD不重合，
所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
课件44张PPT。1.3 两条直线的位置关系第二章 §1 直线与直线的方程1.4 两条直线的交点
学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系.3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题．
知识点 直线的交点
思考1 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？
思考2 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点坐标？
思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
梳理 (1)两直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l1
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
点A在直线l1上
直线l1与l2的交点是A
(2)两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
直线l1与l2的公共点的个数
一个
零个
直线l1与l2的位置关系
重合
类型一 求两条直线的交点
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
反思与感悟 两条直线相交的判定方法
方法一
联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二
两直线斜率都存在且斜率不相等
方法三
两直线的斜率一个存在，另一个不存在
特别提醒：在判定两直线是否相交时，要特别注意斜率不存在的情况．
跟踪训练1 (1)已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是( )
A．－4 B．3
C．3或－4 D．±4
(2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
类型二 求过两条直线交点的直线方程
例2 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
引申探究
本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．
反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．
跟踪训练2 直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
类型三 直线过定点问题
例3 无论a，b为何值，直线(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0经过定点( )
A．(3，－2) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
反思与感悟 恒过定点问题的三种解法
(1)直接法：将已知直线的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得出定点．
(2)任意法：任取直线系中的两条直线，所有直线的交点即为这两条直线的交点，也就是所有直线都过的定点．
(3)方程法：将已知的方程整理成关于参数的方程．由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点．
形如A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的直线一定过定点，且定点为直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0的交点．
跟踪训练3 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．
1．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－7＝0
C．2x＋y＋7＝0 D．2x－y＋7＝0
3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
4．如图，两直线交点B的坐标可以看作二元一次方程组________的解．
5．不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________________．
1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．
2．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过直线l1与l2交点的所有直线方程．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．
思考2 只需写出这两条直线方程，然后联立求解．
思考3 (1)若方程组无解，则l1∥l2；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．
梳理 (1)A1a＋B1b＋C1＝0 (2)无解 无数个 相交 平行
题型探究
例1 解 (1)解方程组
得
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，
表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
跟踪训练1 (1)C (2)(－，2)
例2 解 方法一 解方程组
得
所以两条直线的交点坐标为(－，－)．
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3(x＋)，
即15x＋5y＋16＝0.
方法二 设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有
得λ＝.
代入(*)式，得(2＋)x＋(－3)y＋(2×－3)＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
引申探究
解 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ·(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
跟踪训练2 B
例3 B [原直线方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
令解得
所以直线经过定点(－2,3)．故选B.]
跟踪训练3 解 方法一 对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3)．
将点(2，－3)代入方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
方法二 将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，
有
解得
所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
当堂训练
1．B 2.B 3.A
4.
5．(9，－4)
解析 方法一 取m＝1，得直线y＝－4.
取m＝，得直线x＝9.
故两直线的交点为(9，－4)．
将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边，
故直线恒过点(9，－4)．
方法二 直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
∵对任意m该方程恒成立，
∴解得
故直线恒过定点(9，－4)．
课件37张PPT。1.4 两条直线的交点第二章 §1 直线与直线的方程第1课时 两点间的距离公式
学习目标 1.掌握两点间距离公式，并能简单应用.2.初步体会解析法研究几何问题.3.会解决简单的对称问题．
知识点 两点间的距离公式
已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？
思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？
思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？
梳理 两点间的距离公式
如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝.
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝.
类型一 两点间的距离问题
例1 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
跟踪训练1 已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
类型二 对称问题
例2 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标；
(2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程．
反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则点P是线段AB的中点，并且
(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点．
跟踪训练2 与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
例3 点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题
求点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点P′(x，y)时，利用可以求P′点的坐标．
(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点．
跟踪训练3 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．
类型三 运用坐标法解决平面几何问题
例4 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
反思与感悟 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．
(2)用坐标表示有关的量．
(3)将几何关系转化为坐标运算．
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
跟踪训练4 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5
2．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．2 B．4 C．5 D.
3．已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)、B(a,0)和C(，a)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
4．点A在第四象限，点A到x轴的距离为3，到原点的距离为5，则点A的坐标为____________．
5．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________________．
1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．
2．有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称：
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称：
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 |P1P2|＝|x2－x1|.
思考2 |P1P2|＝|y2－y1|.
思考3 |P1P2|＝
题型探究
例1 解 (1)方法一 ∵|AB|＝
＝，
|AC|＝＝，
又|BC|＝＝，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝＝，
kAB＝＝－，
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝，
|AB|＝＝，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)S△ABC＝|AC|·|AB|＝
()2＝26，
∴△ABC的面积为26.
跟踪训练1 解 设P(x,0)，
|PA|＝，
|PB|＝，
∵|PA|＝|PB|，
∴＝，
得x＝1，∴P(1,0)，
∴|PA|＝＝2.
例2 解 (1)根据题意可知，点A(a，b)为线段PP′的中点，
设P′点的坐标为(x，y)，
则根据中点坐标公式，得
所以
所以点P′的坐标为(2a－x0,2b－y0)．
(2)方法一 设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，
则M点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，
且M1在直线3x－y－4＝0上，
所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，
即3x－y－10＝0.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
方法二 在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，
则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)，
点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．
可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，
即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
跟踪训练2 D
例3 B [设对称点坐标为(a，b)，由题意，得
解得
即Q(－2,5)．]
跟踪训练3 解 设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在直线l上，得
解得
∴点A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过点A(4,3)，
又反射光线过点P(－4,3)，两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组
解得
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3(x≤)．
例4 证明 设BC所在边为x轴，以D为原点，建立直角坐标系，如图所示，
设A(b，c)，C(a,0)，
则B(－a,0)．
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，
|AD|2＝b2＋c2，
|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
跟踪训练4 证明 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)
∴|AC|＝＝，
|BD|＝
＝.
故|AC|＝|BD|.
当堂训练
1．C 2.D 3.C 4.(4，－3)
5．x－y＋1＝0
课件35张PPT。第1课时 两点间的距离公式第二章 §1.5 平面直角坐标系中的距离公式第2课时 点到直线的距离
学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．
知识点一 点到直线的距离
思考1 如何求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离？
思考2 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
梳理 点到直线的距离
(1)定义：点到直线的________________的长度．
(2)图示：
(3)公式：d＝________________________.
知识点二 两条平行直线间的距离
思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？
梳理 两平行线间的距离
(1)定义：夹在两平行线间的________________的长．
(2)图示：
(3)求法：转化为点到直线的距离．
(4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
类型一 点到直线的距离
例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．
①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程．
反思与感悟 (1)利用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．
跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________．
(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________________．
类型二 两平行线间的距离
例2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________．
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程为________________．
反思与感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝ .但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
跟踪训练2 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程．
类型三 利用距离公式求最值
例3 已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则的最小值为________．
反思与感悟 解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．
例4 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
(1)求d的取值范围；
(2)求d取最大值时，两条直线的方程．
反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．
跟踪训练4 已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．3 B. C. D.
1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A．1 B．－1 C. D．±
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2，则C的值为( )
A．9 B．11或－9
C．－11 D．9或－11
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A. B.
C. D．3
4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.
5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．
1．点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需数形结合，使问题更清晰．
3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 先求出过点P(x0，y0)的直线l的垂线的方程，通过联立方程组得到垂足的坐标，再利用两点间的距离求出点P(x0，y0)与垂足的距离，即为点P(x0，y0)到直线l的距离d＝.
思考2 仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－，d＝|y0＋|＝，适合公式．
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝|x0＋|＝，适合公式．
梳理 (1)垂线段 (3)
知识点二
思考 点A、B、C到直线l2的距离分别为、、.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．
梳理 (1)公垂线段
题型探究
例1 (1)解 ①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，
点P(2，－3)到该直线的距离为
d＝＝；
②3y＝4可化为3y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得d＝＝；
③x＝3可化为x－3＝0，
由点到直线的距离公式，得d＝＝1.
(2)解 方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，
恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，
故x＝－1满足题意；
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得
＝，
解得k＝－，
此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二 由题意得，l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
直线l的斜率为kl，
则kAB＝kl＝＝－，
此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
跟踪训练1 (1)[，] (2)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
例2 (1) (2)2x－y＋1＝0
解析 (1)由题意，得＝，
∴m＝2，即6x＋2y－1＝0.
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间的距离公式，得
＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，
由题意，得＝，
解得C＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
跟踪训练2 解 (1)方法一 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为
＝，
由题意，得＝2，
所以C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
方法二 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式，得
2＝，
解得C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)依题意，两直线的斜率都存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
因为l1与l2的距离为5，
所以＝5，解得k＝0或.
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
例3
解析 ∵
＝，
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，
即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，
即|MN|min＝d＝＝.
跟踪训练3 解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在直线方程为y＝x，
由解得
∴点P坐标为(2,2)．
(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
例4 解 (1)设经过点A和点B的直线分别为l1、l2，
显然当时，l1和l2的距离最大，
且最大值为|AB|＝
＝3，
∴d的取值范围为(0,3]．
(2)由(1)知，dmax＝3，此时直线的斜率k＝－3，
∴两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
跟踪训练4 D
当堂训练
1．D 2.B 3.B 4.10 5.(5，－3)
课件42张PPT。第2课时 点到直线的距离第二章 §1.5 平面直角坐标系中的距离公式2．1 圆的标准方程
学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．
知识点一 圆的标准方程
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？
思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？
梳理 圆的概念及标准方程
(1)圆的几何特征是圆上任一点到________的距离等于定长，这个定长称为________．
(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是________________________．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以________________为圆心，r为半径的圆．
知识点二 中点坐标公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(，)．
知识点三 点与圆的位置关系
思考 点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？
梳理 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2类型一 求圆的标准方程
例1 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
跟踪训练2 已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程．
类型二 点与圆的位置关系
例3 (1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．点P在圆内 B．点P在圆外
C．点P在圆上 D．不确定
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________________．
反思与感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，并与半径作比较即可．
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是________________．
类型三 与圆有关的最值问题
例4 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值．
引申探究
1．若本例条件不变，求y－x的最大值和最小值．
2．若本例条件不变，求x2＋y2的最大值和最小值．
反思与感悟 (1)本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观．
(2)几种常见代数式的几何意义
①x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方．
②(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方．
③表示点(x，y)与原点(0,0)所在直线的斜率．
④表示点(x，y)与点(a，b)所在直线的斜率．
⑤形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线
y＝－x＋截距的最值问题．
跟踪训练4 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
3．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 ( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是________．
5．求下列圆的标准方程．
(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，－4)；
(2)过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆．
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 圆心和半径．
思考2 能．
梳理 (1)圆心 半径
(2)(x－a)2＋(y－b)2＝r2 坐标原点
知识点三
思考 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
题型探究
例1 (1)(x－2)2＋y2＝9 (2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 (1)设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)，
由题意知＝，解得a＝2，
则圆C的半径为r＝|CM|
＝＝3.
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，
又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
跟踪训练1 D [∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
|AB|＝＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.]
例2 解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (直接法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
跟踪训练2 解 方法一 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，有
即
解得
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法二 直线AB的斜率k＝＝－，
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.
线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1，y＝＝2，
因此直线m的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
又因为圆心在直线3x－y－2＝0上，
所以圆心是这两条直线的交点．
联立方程，得
解得
设圆心为C，所以圆心坐标为(2,4)．
又因为半径r＝|CA|＝，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法三 设圆心为C.
因为圆心在直线3x－y－2＝0上，
所以可设圆心C的坐标为(a,3a－2)．
又因为|CA|＝|CB|，
所以
＝，
解得a＝2.
所以圆心为(2,4)，半径长r＝|CA|＝.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
例3 (1)B (2)[0,1)
解析 (1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外．
(2)由题意知
即解得0≤a<1.
跟踪训练3 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
例4 解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，
设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时＝，
解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
引申探究
1．解 设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2．解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方．
由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
跟踪训练4 解 (1)由已知，得C(3,0)，r＝＝2，
∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)圆心C到直线x－y＋1＝0的距离
d＝＝2.
∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.
当堂训练
1．B
2．A [方法一 (直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，
则＝1，
∴b＝2，
∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.]
3．A 4.1
5．解 (1)由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，
∴圆心坐标为(4,1)，半径为r＝＝＝＝，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26.
(2)由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，
由kCD＝＝1，CD的中点坐标为(0,2)，
∴CD的垂直平分线为y＝－x＋2.
则圆心坐标为(2,0)，
r＝＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
课件45张PPT。2.1 圆的标准方程第二章 §1.2 圆与圆的方程2．2 圆的一般方程
学习目标 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.3.初步体会圆的方程的实际应用．
知识点 圆的一般方程
思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
思考2 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？
梳理 圆的一般方程
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F>0
表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
类型一 圆的一般方程的概念
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．
反思与感悟 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为____________．
(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
类型二 求圆的一般方程
例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
引申探究
若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
类型三 圆的方程的实际应用
例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．(精确到0.01 m)
反思与感悟 在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．
跟踪训练3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为多少？
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m＜
C．m＜2 D．m≤
4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( )
A．－2,4,4 B．－2，－4,4
C．2，－4,4 D．2，－4，－4
5．已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程．
1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．
2．待定系数法求圆的方程
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.
答案精析
问题导学
知识点
思考1 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，
对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．
思考2 对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得
(x＋)2＋(y＋)2＝.
①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示的是以(－，－)为圆心，为半径的圆；
②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一个实数解x＝－，y＝－，它表示一个点(－，－)；
③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．
题型探究
例1 解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为(－∞，)．
圆心坐标为(－m,1)，半径为.
跟踪训练1 (1)(－2，－4) 5 (2)9π
解析 (1)由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，
∴a＝2不符合题意．
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－，－1)，
由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为
＝3，
∴该圆的面积为9π.
例2 解 (1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
引申探究
解 ∵kAB＝＝，AB的中点坐标为(，)，
∵AB的垂直平分线方程为y－＝－3(x－)．
联立
得
即圆心C的坐标为(，－)，
r＝ ＝ ，
∴圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝.
跟踪训练2 解 方法一 (待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③
由已知得|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的根，
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得
或
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0
或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线方程为
x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长
r＝|CP|＝.①
由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋()2，代入①整理得a2－6a＋5＝0，
解得a1＝1，a2＝5，
∴r1＝，r2＝.
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
例3 解 建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上．
设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.因为P，B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是，得到方程组
解得
所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.
把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，
得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，
即y＋10.5＝(P2的纵坐标y>0，平方根取正值)．
所以y＝－10.5
≈14.36－10.5
＝3.86(m)．
故支柱A2P2的高度约为3.86 m.
跟踪训练3 解 以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，
设圆拱所在的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为原点在圆上，所以F＝0.
另外点A，点B在圆上，
所以
所以D＝0，E＝20，
所以圆的方程为x2＋y2＋20y＝0.
当水面下降1 m后，可设点A′的坐标(x0，－3)(x0>0)，如图所示，将A′的坐标(x0，－3)代入圆的方程，
求得x0＝，
所以，水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m)．
当堂训练
1．C 2.C 3.B 4.A
5．解 方法一 设圆心C的坐标为(0，b)，
由|CA|＝|CB|，
得＝，
解得b＝2.
∴C点坐标为(0,2)．
∴圆C的半径r＝|CA|＝.
∴圆C的方程为x2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2－4y－1＝0.
方法二 AB的中点为(，)．
中垂线的斜率k＝－1，
∴AB的中垂线的方程为y－＝－(x－)，
令x＝0，得y＝2，即圆心为(0,2)．
∴圆C的半径r＝|CA|＝，
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2－4y－1＝0.
课件39张PPT。2.2 圆的一般方程第二章 §1.2 圆与圆的方程第1课时 直线与圆的位置关系
学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
思考 如何判断直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系？
梳理 直线与圆位置关系的判定
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
____个
____个
____个
判定方法
几何法：
设圆心到直线的距离为d＝______________ __________
代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
类型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．
反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
类型二 切线问题
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
引申探究
若本例的条件不变，求其切线长．
反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．
跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________________．
类型三 直线与圆相交问题
例3 过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝求解．
(2)弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
(3) 几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
通常采用几何法较为简便．
跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．
例4 直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程．
反思与感悟 设直线方程时，注意别遗漏了斜率不存在的情况，应先验证斜率不存在时，是否符合题意．
跟踪训练4 已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
4．圆x2＋y2＝4截直线x＋y－2＝0所得的弦长为( )
A．2 B．1 C. D．2
5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________________．
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝|x1－x2|.
3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．
答案精析
问题导学
思考 有两种方法．
方法一 (几何法)
圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝>r＝1.故直线与圆相离．
方法二 (代数法)
联立方程组该方程组无解．
故直线与圆相离．
梳理 2 1 0 dr Δ>0 Δ＝0 Δ<0
题型探究
例1 解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2.
①若相交，则d＜r，即＜2，所以m＜－2或m＞2；
②若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2；
③若相离，则d＞r，即＞2，
所以－2＜m＜2.
跟踪训练1 C
例2 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，
即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，
即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
引申探究
解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝＝，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝
＝＝4，
所以切线长为4.
跟踪训练2 x＋2y－5＝0
例3
解析 (1)方法一 (交点法)
由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
由
解得A(，)，B(，)．
∴|AB|＝
＝.
方法二 (弦长公式)
由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
由
消去y，得2x2－2x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－.
∴|AB|＝·
＝·＝.
方法三 (几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2 ＝.
跟踪训练3 (1)证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0，
直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1,2)，
∵(－1)2＋22<8，
∴(－1,2)在圆C内，
∴直线l与圆相交．
(2)解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，
又圆C：x2＋y2＝8的圆心为原点O，
则与OP垂直的直线截得的弦长最短．
∵kOP＝－2，
∴kl＝，
∴直线l：y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
设直线l与圆交于A、B两点，
|AB|＝2＝2＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0，弦长为2.
例4 解 方法一 若直线l的斜率不存在，
则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
∴直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，
即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
|AH|＝|AB|＝·4＝2.
∴|OH|＝＝，
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
方法二 若直线l的斜率不存在，
则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
∴直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，
且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点．
由消去y，
得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0，
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，
解得k>0.
又∵x1＋x2＝－，x1x2＝，
由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4，
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝或k＝2，均符合题意．
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
跟踪训练4 解 ∵圆心在直线x－3y＝0上，故可设其圆心为(3b，b)，b≠0，
由圆C与y轴相切可知，r＝3|b|，
弦心距d＝＝|b|.
又∵l＝2，故＝.
∴()2＋(|b|)2＝(3|b|)2，
∴b＝±1，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
当堂训练
1．B 2.D 3.C 4.A 5.2x－y＝0
课件41张PPT。第1课时 直线与圆的位置关系第二章 §2.3 直线与圆 圆与圆的位置关系第2课时 圆与圆的位置关系
学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
知识点 两圆位置关系的判定
思考 圆与圆的位置关系有几种？如何判断圆与圆的位置关系？
梳理 两圆位置关系的判定
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，则圆心距d＝|C1C2|＝________________________________.
两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆相离
____个
d>r1＋r2
两圆内含
d<|r1－r2|
两圆相交
____个
|r1－r2|两圆内切
____个
d＝|r1－r2|
两圆外切
d＝r1＋r2
特别提醒：(1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的，如有1个交点，就不能判定是内切不是外切，应再结合图像判定．
(2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的判定．
(3)一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，提高解题的速度．
类型一 两圆的位置关系
例1 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)．
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
(5)根据大小关系确定位置关系．
跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A．1或3 B．4 C．0 D．2
例2 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
(1)外切；(2)相交；(3)相离．
反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤
①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练2 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
类型二 两圆的公共弦问题
例3 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为____________．
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长．
类型三 圆系方程及应用
例4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．
跟踪训练4 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________________________________________________________________．
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
答案精析
问题导学
知识点
思考 圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．可根据两圆连心线的长与两圆半径的和差关系判定．
梳理 0 2 1
题型探究
例1 B [由得两交点分别为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段的长度为2，
∴＝2，
又a＞0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0,2)，
半径为r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1,1)，半径为r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，
∴两圆相交．]
跟踪训练1 D
例2 解 将两圆方程写成标准方程，则
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2.
(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.
(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离，
此时a＞2或a＜－5.
跟踪训练2 D
例3 解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，
|r1－r2|＝|5－|，
∴|r1－r2|<|C1C2|∴两圆相交．
(2)将两圆方程相减，
得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝
＝3，
∴公共弦长为
l＝2＝2＝2.
方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得或
∴|AB|＝＝2.
即公共弦长为2.
跟踪训练3 (1)3
(2)解 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
其到直线l的距离为d＝＝，
由条件知，r2－d2＝－＝，
所以弦长为2×＝.
例4 解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，
所以圆心坐标为(，)．
又圆心在直线x－y－4＝0上，
所以－－4＝0，
即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二 由
得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.
由
解得
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．
由得
即所求圆的圆心为(3，－1)，
半径为＝4.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
跟踪训练4 解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为x＋y＝0，
故＝.②
＝r.③
解由①②③组成的方程组得
a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，
r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
当堂训练
1．B 2.B 3.C 4.(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
5．1
课件39张PPT。第2课时 圆与圆的位置关系第二章 §2.3 直线与圆 圆与圆的位置关系3．1 空间直角坐标系的建立
3．2 空间直角坐标系中点的坐标
学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．
知识点 空间直角坐标系
思考1 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？
思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？
梳理 (1)空间直角坐标系
①建系方法：过空间任意一点O作三条两两互相______的轴、有________的长度单位．
②建系原则：伸出右手，让四指与大拇指________，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转________指向________正方向，此时大拇指的指向即为________正向．
③构成要素：________叫作原点，________轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为________平面、________平面和________平面．
(2)空间直角坐标系中点的坐标
在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可用三元有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组________叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作________，其中x叫作点P的________，y叫作点P的________，z叫作点P的________．
特别提醒：(1)在空间直角坐标系中，空间任一点P与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．
(2)对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则．
类型一 确定空间中点的坐标
例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
引申探究
1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．
1题图 2题图
2．若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
反思与感悟 (1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．
②充分利用几何图形的对称性．
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．
(3)坐标平面上的点的坐标特征
xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．
yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．
xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．
(4)坐标轴上的点的坐标特征
x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
跟踪训练1 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．
类型二 已知点的坐标确定点的位置
例2 在空间直角坐标系中作出点P(5,4,6)．
反思与感悟 已知点P的坐标确定其位置的方法
(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.
(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．
(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.
跟踪训练2 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
类型三 空间中点的对称问题
例3 (1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标是( )
A．(0,0,0) B．(2，－1，－4)
C．(6，－3，－12) D．(－2,3,12)
(2)已知点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为( )
A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4)
C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)
反思与感悟 (1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．
(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数．
跟踪训练3 在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关于________对称．
例4 在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5)
C．(1,3,5) D．(－1，－3,5)
反思与感悟 本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数．
跟踪训练4 点(1，a，b)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1,2，c)和(d，－2，－3)，则a，b，c，d的值分别是________．
1．点Q(0,0,2 017)的位置是( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在z轴上 D．在平面xOy上
2．点(2，－1,5)与点(2，－1，－5)( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于xOy平面对称 D．关于z轴对称
3．点A(－1，，2)在xOz平面的投影点的坐标为( )
A．(－1，－，2) B．(－1,0,2)
C．(1，，－2) D．(0，，0)
4．如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
1．空间中确定点M的坐标的三种方法
(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．
(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．
2．求空间对称点的规律方法
(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 三个．
思考2 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．
梳理 (1)①垂直 相同 ②垂直 x轴
90° y轴 z轴 ③点O x，y，z xOy
yOz xOz (2)(x，y，z) P(x，y，z) 横坐标 纵坐标 竖坐标
题型探究
例1 解 因为|PO|＝＝＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，
A，B，
C，
D.
引申探究
1．解 各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5,0,0)，B(0,5,0)，C(－5,0,0)，D(0，－5,0)．
2．解 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为2，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2)．
跟踪训练1 解 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，AO＝×2＝，
从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．
例2 解 方法一
第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.
方法二 以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.
跟踪训练2 C [∵点(2,0,3)的纵坐标为0，∴此点是xOz平面上的点，故选C.]
例3 (1)C (2)A
[(1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，∴P3(6，－3，－12)．故选C.
(2)∵在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(－3,1，－4)，∴点A关于x轴对称的点的坐标是(－3，－1,4)．故选A.]
跟踪训练3 y轴
例4 C [∵两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5)．故选C.]
跟踪训练4 2,3，－3,1
当堂训练
1．C 2.C 3.B
4．(2,0,1)
5．解 (1)显然A(0,0,0)，由于点B在x轴的正半轴上且|AB|＝4，
所以B(4,0,0)．
同理可得D(0,3,0)，A1(0,0,5)．
由于点C在坐标平面xOy内，BC⊥AB，CD⊥AD，
则点C(4,3,0)．
同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，与点C的坐标相比，
点C1的坐标中只有z坐标与点C不同，
|CC1|＝|AA1|＝5，则点C1(4,3,5)．
(2)由(1)知C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则C1C的中点为(，，)，
即N(4,3，)．
课件37张PPT。3.2 空间直角坐标系中的坐标3.1 空间直角坐标系的建立3.3 空间两点间的距离公式
学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．
知识点 空间两点间的距离公式
思考 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？
梳理 两点间的距离公式
(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝.
(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝.
类型一 求空间两点间的距离
例1 已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度．
反思与感悟 求空间两点间的距离的步骤
(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．
(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
类型二 求空间点的坐标
例2 已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
引申探究
1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？
2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？
反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．
跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．
类型三 空间两点间距离公式的应用
例3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
反思与感悟 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可．
跟踪训练3 在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3,4,5)的距离最小，并求出最小值．
1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( )
A．(1,1,1) B．(1,2,2)
C．(2，－3,5) D．(3,0,4)
2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
3．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为( )
A. B．2
C．11 D．3
4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )
A.a B.a
C．a D.a
5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．
答案精析
知识点
思考 .
题型探究
例1 解 (1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．
(2)|MD|＝
＝，
|MN|＝＝.
跟踪训练1 解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝
＝，
|EF|＝＝.
例2 (0,0,6)
解析 设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，得
＝，
解得z＝6.
∴点P的坐标为(0,0,6)．
引申探究
1．解 与例2的结论一样，P(0,0,6)．
2．解 设P(0，y,0)，由|PA|＝|PB|，得
＝，
解得y＝－.
∴点P的坐标为(0，－，0)．
跟踪训练2 解 因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)．
因为|PP1|＝2|PP2|，
所以
＝2，
所以x＝±1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．
例3 解 由题图可知，P(，，)．
∵Q点在CD上，
∴设Q(0,1，z)，z∈[0,1]，
∴|PQ|＝
，
＝ ，
∴当z＝时，|PQ|min＝.
跟踪训练3 解 ∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴设点M(a,2a,0)，
则|MP|＝
＝＝，
∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1,2,0)，
∴当点M坐标为(1,2,0)时，|PM|最小，最小值为3.
当堂训练
1．C 2.D 3.B 4.B
5．3
解析 |AB|＝
＝.
当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为＝3.
课件28张PPT。3.3 空间两点间的距离公式第二章 §3 空间直角坐标系第二章 解析几何初步
1 要点解读
1.直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0°.
解读 (1)直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线.这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.
(2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角.
(3)不同的直线可以有相同的倾斜角.
(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x轴正方向的倾斜程度.
2.直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
解读 (1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒.
(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x轴.
(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便.
(4)当x1＝x2，y1≠y2时直线没有斜率.
3.两条直线平行的判定
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2?k1＝k2.
解读 (1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在.
(2)当两条直线的斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，此时也有l1∥l2.
4.两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.
解读 (1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率.
(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.
2 直线斜率的三种求法
直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线与直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础.
一、根据倾斜角求斜率
例1 如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率.
分析 由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tan θ.
解 ∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.
又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°.
∴∠DBx＝180°－∠DBA＝120°.
∴kAC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－.
评注 本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.
二、利用两点斜率公式
例2 直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.
分析 由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率.
解 设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x－4，y＋3).∵Q点也在直线l上，∴k＝＝－.
评注 ①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x，y)沿x轴正方向平移a个单位，再沿y轴正方向移动b个单位，坐标由(x，y)变为(x＋a，y＋b).②直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＝x2，y1≠y2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在.
三、利用待定系数法
例3 如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率.
分析 本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.
解 设直线l的方程为y＝kx＋b.
把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为
y－1＝k(x＋3)＋b，即y＝kx＋3k＋b＋1.
由条件，知y＝kx＋3k＋b＋1与y＝kx＋b为同一条直线的方程.
比较系数，得b＝3k＋b＋1，解得k＝－.
评注 本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.
3 直线方程形式的相互转化
直线方程的五种形式之间密切相关，可以进行相互转化.
一、一般式方程转化为斜截式方程
例1 已知直线方程为3x＋4y－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.
分析 只需把已知直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，根据直线的斜截式方程可以直接判断出对应直线的斜率与在y轴上的截距.
解 由3x＋4y－6＝0，可得4y＝－3x＋6，
即y＝－x＋.根据直线的斜截式方程，
可以得出此直线的斜率为－，此直线在y轴上的截距为.
评注 在直线的斜截式方程y＝kx＋b中，非常直观地表示了该直线对应的斜率为k，该直线在y轴上的截距为b.
二、一般式方程转化为截距式方程
例2 求直线ax＋by－1＝0(a≠0，b≠0)与两坐标轴所围成的三角形的面积.
分析 只需把已知直线的一般式方程转化为直线的截距式方程，根据直线的截距式方程可以直接判断出对应直线在相应坐标轴上的截距，再求解对应的三角形面积.
解 由直线ax＋by－1＝0(a≠0，b≠0)，可得＋＝1.
根据直线的截距式方程，可以得出此直线在x轴，y轴上的截距分别为，.
所以对应的三角形面积为S＝·||·||＝.
评注 在直线的截距式方程＋＝1(a≠0，b≠0)中，方程的左侧为两个分式的和，右侧为常数1，其中的a，b分别为直线在x轴，y轴上的截距.要正确理解截距的定义，但要注意在x轴，y轴上的截距分别表示的是直线与x轴，y轴交点的横、纵坐标.
三、斜截式方程转化为点斜式方程
例3 直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过的定点为__________________________________.
分析 只需把已知直线的斜截式方程转化为直线的点斜式方程，根据直线的点斜式方程可以直接判断出对应直线所过的定点.
解析 由y＝mx－3m＋2，可得y＝m(x－3)＋2，即y－2＝m(x－3)，根据直线的点斜式方程，可以得出此直线必过的定点为(3,2).
答案 (3,2)
评注 在直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，表示恒过定点(x0，y0)的一系列直线.在解答此类问题时，也可
以通过参数的两个不同取值，通过求解两特殊直线的交点来达到确定定点的目的.
四、一般式方程转化为点斜式方程
例4 已知直线l的方程为(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0，求证：无论k取何实数时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标.
分析 只需把已知直线的一般式方程转化为直线的点斜式方程，即可判断出对应的定点.
证明 由直线l的方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0，
可得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，则(k＋1)x－k＝(k－1)y＋k，
亦即(k＋1)x－(k＋1)＝(k－1)y＋(k－1).
当k≠1时，y＋1＝(x－1)，根据直线的点斜式方程可得直线l必过定点(1，－1)；
当k＝1时，直线l的方程为x＝1，亦必过定点(1，－1).
综上所述，无论k取何实数时，直线l必过定点(1，－1).
评注 在解答有关直线过定点的问题中，经常利用直线的点斜式方程来解决.
直线方程的五种表达式都有着各自的长处和不足，在求解有关的直线方程时，一定要注意各自方程形式的局限之处.
4 直线方程中的“缺陷”
一、斜截式中斜率“缺陷”
例1 已知直线方程为3x＋my－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.
错解 由3x＋my－6＝0，得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－x＋，得出此直线的斜率为－，在y轴上的截距为.
剖析 忘记讨论当m＝0时，直线的斜率并不存在.
正解 当m＝0时，直线可化为x＝2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在；
当m≠0时，可得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－x＋，得出此直线的斜率为－，在y轴上的截距为.
评注 在直线的斜截式方程y＝kx＋b中，非常直观地表示了该直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.研究直线的斜率与在y轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理.但要注意当y的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论.
二、两点式中分式“缺陷”
例2 已知直线l过点A(1,2)，B(a,3)，求直线l的方程.
错解 由两点式，得直线l的方程为＝.
剖析 忽视了a＝1，即直线与x轴垂直的情况，若a＝1，则＝不成立.
正解 当a＝1时，直线l的方程为x＝1；
当a≠1时，直线l的方程为＝.
综上所述，知直线l的方程为x－(a－1)(y－2)－1＝0.
评注 一般地，过P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点的直线方程，不能写成＝，而应写成(x2－x1)(y－y1)－(y2－y1)(x－x1)＝0.
三、截距式中截距“缺陷”
例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程.
错解 设直线的方程为＋＝1.
因为直线过点(2,4)，所以＋＝1，解得a＝－2.
故所求的直线方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.
剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解.
正解 当直线的截距均不为0时，同错解；
当直线的截距均为0时，直线过原点，
此时直线的斜率为k＝2，
直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
故所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋2＝0.
评注 事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m(m>0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况.
四、一般式中系数“缺陷”
例4 如果直线(m－1)x＋(m2－4m＋3)y－(m－1)＝0的斜率不存在，求m的值.
错解 因为直线的斜率不存在，
所以m2－4m＋3＝0.
解得m＝3或m＝1.
所以当m＝3或m＝1时，直线的斜率不存在.
剖析 由于方程Ax＋By＋C＝0表示直线，本身隐含着(A，B不同时为0)这一条件.当m＝1时，方程(m－1)x＋(m2－4m＋3)y－(m－1)＝0即为0·x＋0·y－0＝0，它不表示直线，应舍去.
正解 因为直线的斜率不存在，
所以m2－4m＋3＝0，且m－1≠0，解得m＝3.
所以当m＝3时，直线的斜率不存在.
评注 方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)才叫作直线的一般式方程，才表示一条直线.
5 突破两条直线的位置关系
在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型.下面举例说明.
题型一 根据直线平行、垂直求参数值的问题
给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值.
例1 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.试求m为何值时，l1与l2：(1)平行？(2)垂直？
分析 (1)由“两直线ax＋by＋c＝0与mx＋ny＋d＝0平行?－＝－且－≠－”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m的值；(2)由“两直线ax＋by＋c＝0与mx＋ny＋d＝0垂直?(－)·(－)＝－1”即可求解.
解 (1)若l1∥l2，则－＝－且－≠－.
解得m＝－1.
所以当m＝－1时，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2，则(－)·(－)＝－1.
解得m＝.所以当m＝时，l1⊥l2.
评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点.利用此法只需把直线方程化为一般式即可.
题型二 有关直线相交的问题
有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交.
例2 若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求实数m的取值范围.
分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标.由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m的取值范围.
解 根据题意，由可得这两条直线的交点坐标为(，).
因为交点在第四象限，所以
解得－评注 本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力.
题型三 有关距离的问题
在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离.这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是d＝(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离为d＝(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x，y的系数分别对应相等).
例3 求两平行线l1：2x＋3y－8＝0，l2：4x＋6y－1＝0的距离.
分析 用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x，y的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离.
解 把l1：2x＋3y－8＝0变形为l1：4x＋6y－16＝0.
利用公式，可得l1与l2的距离为d＝＝.
6 直线系方程的类型及应用
在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解.而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率.
一、直线系方程的类型
1.平行直线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1).
2.垂直直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.
3.交点直线系：若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P，则过交点P的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线l2).
4.过定点P(a，b)的直线系方程可设为m(x－a)＋(y－b)＝0(m为参数).
二、直线系方程的应用
1.平行或垂直的直线系方程的应用
例1 已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程.
解 正方形的中心G到已知边的距离为
d＝＝.
设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x＋3y＋c＝0，则d＝＝，
解得c＝7或c＝－5(舍去).
故所求一边的直线方程为x＋3y＋7＝0.
又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3x－y＋m＝0.
则d＝＝，
解得m1＝9或m2＝－3.
因此正方形另两边所在的直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
评注 利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可.在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数.
2.过交点的直线系方程的应用
例2 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c,0)，设P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确求得OE的方程为x＋y＝0，求直线OF的方程.
解 由截距式可得直线AB：＋＝1，
直线CP：＋＝1，
点F为直线AB与直线CP的交点，
故过F点的直线系方程可设为
l：＋－1＋λ＝0.
又直线l过原点(0,0)，代入方程得λ＝－1，
故所求直线OF的方程为x＋y＝0.
评注 本例通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程，大题小做，直观简洁.
3.过定点的直线系方程的应用
例3 已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，若直线不过第二象限，求实数a的取值范围.
解 直线方程可化为(3x－y)a－(x－2y＋1)＝0.
由得
即无论a为何实数，直线总过定点P.
设直线的斜率为k，直线OP的斜率为kOP.
由图像可知，当直线的斜率k满足k≥kOP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限.
故由k≥kOP，解得a∈(2，＋∞).
又当a＝2时满足题意，
故实数a的取值范围是[2，＋∞).
评注 过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数.本例通过直线过定点P，运用数形结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出.
7 活用两点间的距离公式
已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则该两点之间的距离可表示为|AB|＝.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用.因此应熟练掌握公式并且灵活运用.
一、判断三角形的形状
例1 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0).求证：△ABC是直角三角形.
分析 求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证.
证明 |AB|＝＝2，
即|AB|＝2，∴|AB|2＝20，
同理|AC|2＝5，|BC|2＝25.
∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形.
评注 在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可.
二、求点的坐标
例2 已知点A(－3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值.
分析 由于点P在x轴上，可设P(x,0)，再利用条件|PA|＝|PB|即可解决.
解 设P(x,0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，可得＝，
解得x＝－，从而得P，且|PA|＝.
评注 应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法.
三、证明三点共线问题
例3 已知A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上.
分析 要证A，B，C三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明.而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证|AC|＝|AB|＋|BC|即可，要确定|AC|，|AB|，|BC|的长，只需利用两点间的距离公式即可.
证明 |AB|＝
＝＝2，
|BC|＝＝＝，
|AC|＝＝＝3.
∵|AB|＋|BC|＝3，|AC|＝3，
∴|AB|＋|BC|＝|AC|，
即A，B，C三点共线.
评注 在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题.
四、证明平面几何问题
例4 如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，试用坐标法证明：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
分析 要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算.在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设M(x，y)，C(x1，y1)，则A(0,0)，B(x1,0)，D(0，y1)，
|AM|＝，|BM|＝，
|CM|＝，
|DM|＝.
∵|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－x1)2＋(y－y1)2，
|BM|2＋|DM|2＝x2＋y2＋(x－x1)2＋(y－y1)2，
∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.
即如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2都成立.
评注 用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.
8 圆的两种方程的区别与联系
圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；而二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆，叫作圆的一般方程.
二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程.掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的.
(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值.
标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点：
一、二者确定圆的条件不同
例1 圆心P在直线y＝x上，且与直线x＋2y－1＝0相切的圆，截y轴所得的弦长|AB|＝2，求此圆的方程.
解 ∵圆心P在直线y＝x上，
∴可设P的坐标为(k，k)，设圆的方程为(x－k)2＋(y－k)2＝r2(r>0).
作PQ⊥AB于Q，连接AP，在Rt△APQ中，AQ＝1，
AP＝r，PQ＝k，
∴r＝.
又r＝，∴＝，
整理得2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－.
当k＝2时，圆的半径为r＝＝，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
当k＝－时，圆的半径为r＝＝，
故圆的方程为2＋2＝.
因此所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5或
2＋2＝.
例2 已知△ABC的各顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的方程.
分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程.
解 设过A、B、C三点的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)代入可得
解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，
∴其外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算.另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单.
二、二者的应用方面不同
例3 若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y＝x(x≥0)相切，求这个圆的方程.
分析 利用“半径为1的圆与y轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口.
解 由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b，则圆的方程为(x－1)2＋(y－b)2＝1，
∵圆与射线y＝x(x≥0)相切，∴＝1，
解得b＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝1.
评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.
9 探究圆的切线
探究1 已知点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上一点，l是过点M的圆的切线，求直线l的方程.
解 设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则OM⊥MP.
∴kOM·kMP＝－1，即·＝－1.
整理，得x0x＋y0y＝x＋y.
∵x＋y＝r2，
∴切线l的方程为x0x＋y0y＝r2.
当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用.
结论1 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
探究2 求过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线l的方程.
解 设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则CM⊥MP.
∴kCM·kMP＝－1，
即·＝－1.
整理，得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)2＋(y0－b)2.
∵(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，
∴切线l的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
当点M在直线x＝a和y＝b上时，可以验证上述方程同样适用.
结论2 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
探究3 求过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点M(x0，y0)的切线l的方程.
解 把圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0化为标准方程，
得2＋2＝(D2＋E2－4F).
由结论2可知切线l的方程为(x＋)＋(y＋)＝(D2＋E2－4F).
整理，得x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
∴切线l的方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
结论3 过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点M(x0，y0)的切线l的方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
10 圆弦长的求法
一、利用两点间的距离公式
若直线与圆相交的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝.
例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长.
解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线的方程为y＝x.
解方程组得
或
∴|AB|＝
＝ ＝2.
评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解.这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法.
二、利用勾股定理
若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|＝2.
例2 求直线x＋2y＝0被圆x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长|AB|.
解 把圆x2＋y2－6x－2y－15＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25，所以其圆心为(3,1)，半径r＝5.
因为圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离
d＝＝，
所以弦长|AB|＝2＝4.
三、利用弦长公式
若直线l的斜率为k，与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|x1－x2|＝.
例3 求直线2x－y－2＝0被圆(x－3)2＋y2＝9所截得的弦长|AB|.
解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y，整理得
5x2－14x＋4＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|＝
＝ ＝.
评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y(或x)转化为关于x(或y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.
11 圆与圆相交的三巧用
圆与圆的位置关系主要有五种，即相离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数.
一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程
例1 已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________.
分析 求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求.
解析 两圆方程作差，得x＋3y＝0.
答案 x＋3y＝0
评注 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可.
二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程
例2 圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是________________________________________________________________________.
分析 关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题.解析 由平面几何知识，知AB的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程.可求得直线的方程为3x－y－9＝0.
答案 3x－y－9＝0
评注 通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系.
三、求圆与圆相交时公切线的条数问题
例3 已知圆A：(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆B：(x－2)2＋(y－2)2＝9，则圆A和圆B的公切线有________条.
分析 判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数.
解析 因为圆心距|AB|＝＝，
R＝3，r＝2，且R＋r＝3＋2＝5，R－r＝3－2＝1，
所以有R－r<|AB|答案 2
评注 判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距.
12 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题.
例1 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为________.
分析 利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差.
解析 由x2＋y2－4x－4y－10＝0配方得
(x－2)2＋(y－2)2＝18，
即圆心为C(2,2)，半径r＝3，
则圆心到直线的距离d＝＝5，
所以圆上的点到直线的最大距离为d＋r＝8，最小距离为d－r＝2，
则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为
8－2＝6.
答案 6
评注 一般地，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r(r例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是△ABC内切圆上的动点，试求点P到△ABC的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值.
分析 可以C点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为函数的最值问题来处理.
解 以点C为原点，使A、B分别位于x轴、y轴的正半轴上，建立平面直角坐标系如图所示，
则△ABC各顶点是A(8,0)，B(0,6)，C(0,0)，内切圆半
径r＝＝＝2.
∴内切圆圆心坐标为(2,2)，内切圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
设P(x，y)是圆上的动点，
则S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2＋3y2－16x－12y＋100
＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76
＝3×4－4x＋76＝88－4x.
∵点P在内切圆上，∴0≤x≤4，∴Smax＝88，Smin＝72.
评注 本题通过坐标法将问题转化为函数的最值问题，体现了最值问题的一般解决思路，值得注意的是，求最值问题一定要结合函数的定义域来进行.
13 妙用对策简解“圆”的问题
在学习圆的知识时，往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题，解决这类问题的关键是避开复杂运算，减少运算量.现举例介绍求解圆问题的三条简解对策.
一、合理选用方程
要学会选择合适的“圆的方程”，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就简捷.如果问题中给出圆心坐标关系，或圆心的特殊位置或半径大小时，选用标准方程；否则，选用一般方程.
例1 求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)，B(3，－2)的圆的方程.
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
因为圆过点A(5,2)，B(3，－2)，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
易得线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4).
又因为圆心在直线2x－y－3＝0上，
所以由解得即圆心为(2,1).
又圆的半径r＝＝.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
二、数形结合，充分运用圆的几何性质
求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解.比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等.
例2 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
方法一 (1)证明 由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.
(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，
当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，
解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，
此时|AB|最小为2.
方法二 (1)证明 圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝(－4)2－4×11×8<0，
故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d(2)解 由平面几何知识，
知|AB|＝2＝2 ，下同方法一.
方法三 (1)证明 因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝<2＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.
(2)解 由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
评注 在直线与圆的位置关系中，直线与圆相交时研究与弦长有关的问题是一个重点内容.解决这类弦长问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形.
三、设而不求，整体代入
对于圆的一些综合问题，比如弦的中点问题，常运用整体思想.整体思想就是在处理问题时，利用问题中整体与部分的关系.灵活运用整体代入、整体运算、整体消元(设而不求)、整体合并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美.
例3 已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，设l与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y).
当直线l不垂直于x轴时，依题意，得
x＋(y1－1)2＝5，①
x＋(y2－1)2＝5.②
由①－②，可得(x1＋x2)(x1－x2)＝－(y1＋y2－2)(y1－y2).
所以＝＝＝.
而直线恒过点(1,1)，所以＝.
所以＝，
即x2－x＋(y－1)2＝0，
即(x－)2＋(y－1)2＝.
当直线l垂直于x轴时，点M(1,1)也适合方程(x－)2＋(y－1)2＝.
综上所述，点M的轨迹方程是(x－)2＋(y－1)2＝.
评注 本题中设出A，B两点的坐标，但求解过程中并不需要求出来，只是起到了中介桥梁的作用，简化了解题过程.这种设而不求，整体处理的技巧，常能起到减少运算量、提高运算效率的作用.
14 “三注意”避免“三种错”
有关圆方程的求解一直是高考考查的重点和热点，而其错解问题一直困扰着同学们，常见的错解主要有：“忽视隐含条件致错”、“忽视多解过程致错”、“忽视检验结论致错”三种.下面就如何从三个角度避免错解进行例说，以助同学们一臂之力.
一、注意条件，避免忽视隐含条件致错
圆方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即r＝，r>0，否则，易造成增解或漏解.
例1 若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C：(x－3m)2＋(y－4m)2＝25(m＋4)2相切，则点A在圆C的________(填“外部”、“内部”、“上面”)，m的取值范围是________.
错解 因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部.因为点A在圆的外部，则有(4－3m)2＋(2－4m)2>25(m＋4)2，因此有240m<－380，解得m<－.
故填外部，m<－.
剖析 此题的错解在于忽视了圆方程的半径一定要大于0的隐含条件.应注意条件25(m＋4)2>0.
正解 因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部.因为点A在圆的外部，则有(4－3m)2＋(2－4m)2>25(m＋4)2，因此有240m<－380，解得m<－.再结合圆的条件中半径必须大于0，即有25(m＋4)2>0，所以m≠－4，因此m的取值范围是m<－且m≠－4.
答案 外部 m<－且m≠－4
二、注意过程，避免忽视多解过程致错
有关圆方程的问题在求解的过程中要特别注意增解的情况，因为决定圆方程的条件一般是两个：“圆心”、“半径”，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生.
例2 圆心在x轴上，半径等于5，且经过原点的圆的方程是________________________.
错解 因为圆心在x轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0).因此圆的方程为(x－5)2＋y2＝25.
剖析 造成以上错解的原因是在解题过程中忽视了多种情况的存在性.
正解 因为圆心在x轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)或(－5,0).因此圆的方程有两个，即(x－5)2＋y2＝25或(x＋5)2＋y2＝25.
答案 (x－5)2＋y2＝25或(x＋5)2＋y2＝25
三、注意结论，避免忽视检验结论致错
圆方程的求解，对于求得的结论要注意检验，检验时要以事实为依据，对于题中的条件至结论要进行充分的挖掘，避免结论不严谨而出错.
例3 已知Rt△ABC的斜边为AB，点A(－2,0)，B(4,0)，求点C满足的方程.
错解 设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半，如图，这样直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，
则半径为＝3，
即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
剖析 因为忽视结论的检验，没有注意到点C是直角三角形的顶点，即C点不能在直线AB上，因此造成错解.
正解 设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，如图所示，
则半径为＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，即(－2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0)).
以上三种错解均错于细节之处，但造成的后果却是严重的，因此对于圆方程的破解既要掌握一般的常规方法，又要注意圆方程求解时的三个重要方面：一是注意隐含条件；二是注意多种情况；三是注意对个别点、线等特殊位置的检验.只有掌握好这些细节问题才能顺利破解有关圆方程的综合问题.
15 解析几何中数学思想的应用
一、数形结合思想
数形结合思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化.
例1 已知点P(x，y)在圆O：x2＋y2＝1上，求(x＋2)2＋(y－3)2的最小值.
分析 从(x＋2)2＋(y－3)2的几何意义展开思维，通过数形结合，辅之以临界点来求解.
解 如图，设点M(－2,3)，
则(x＋2)2＋(y－3)2表示|PM|2.
因为|MO|2＝(－2)2＋32＝13>1，所以点M在圆O外.
连接MO并延长，顺次交圆O于D，E两点，
则|MD|≤|PM|≤|ME|，
即|MO|－r≤|PM|≤|MO|＋r.
所以|PM|的最小值为|MO|－r＝－1，即(x＋2)2＋(y－3)2的最小值为(－1)2＝14－2.
评注 本例从运动变化的角度出发(让点P在圆上运动)，在运动中寻觅最值取得的条件，从而使问题获解.
二、方程思想
通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达到解决问题的目的.
例2 已知过点(3,0)的直线l与圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为原点)，求直线l的方程.
分析 由条件OP⊥OQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝－1.由P，Q在圆及直线上，可借助方程求解.
解 设直线l的方程为x＋ay－3＝0(a≠0)，
则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的坐标满足方程组
消去y，得x2＋2＋x－6·＋3＝0，
即x2＋x＋－＋3＝0.
所以x1x2＝.①
由方程组消去x，得(3－ay)2＋y2＋(3－ay)－6y＋3＝0，
即(a2＋1)y2－(7a＋6)y＋15＝0.
所以y1y2＝.②
因为OP⊥OQ，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.
由①②，得＋＝0.
整理，得a2－6a＋8＝0.解得a＝2或a＝4.
故直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0.
评注 本题巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决.
三、转化思想
所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法.一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题.
例3 求圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的最大距离与最小距离.
分析 圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大(小)距离为圆心到直线的距离加上(减去)半径.
解 由圆的方程(x－2)2＋(y＋3)2＝4易知其圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2.
所以圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝.
故圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的最大距离为＋2，最小距离为－2.
评注 凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题.
以上三例告诉我们，平面解析几何初步相关问题中，蕴含着丰富的数学思想，合理且正确地运用这些数学思想，对数学问题的有效解决意义重大.因此在平时的学习中应注意这些数学思想的运用，并及时加以体会和总结.
16 空间点的对称问题
解决此类问题可以类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.求对称点的问题经常借助“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法.如关于y轴的对称点坐标就是纵坐标不变，其余的两个变为原来的相反数；关于yOz平面的对称点，纵坐标、竖坐标都不变，横坐标变为原来的相反数.
例 (1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( )
A.(－2,1，－4) B.(－2，－1，－4)
C.(2，－1,4) D.(2,1，－4)
(2)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( )
A.(－2,1，－4) B.(－2，－1，－4)
C.(2，－1,4) D.(2,1，－4)
(3)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标是( )
A.(0,0,0) B.(2，－1，－4)
C.(6，－3，－12) D.(－2,3,12)
解析 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的数不变，在y轴，z轴的数变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为(－2，－1，－4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的数不变，在z轴的数变为原来的相反数，所以对称点P2(－2,1，－4).
(3)设对称点为P3，则点M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12).
答案 (1)B (2)A (3)C
评注 解决此类问题的关键是明确关于各坐标轴、各坐标平面对称的两点，其点的坐标的数的关系，可借助于图形，也可直接借助记忆口诀“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”.
第二章 解析几何初步
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角α的范围是____________________．
(2)当k存在时，α≠90°；
当k不存在时，α＝90°.
(3)斜率的求法：
①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．
2．直线方程几种形式的转化
3．两条直线的位置关系
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
(2)相交?A1B2－A2B1≠0；
(3)重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)．
4．距离公式
(1)两点间的距离公式
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则|P1P2|＝________________________.
(2)点到直线的距离公式
①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________；
②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝________________________ .
类型一 待定系数法的应用
例1 过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．
反思与感悟 待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线的方程常用待定系数法求解．选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等．
跟踪训练1 求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为的直线的方程．
类型二 分类讨论思想的应用
例2 过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．
反思与感悟 本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在．
跟踪训练2 已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．
类型三 最值问题
例3 求函数y＝|－|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值．
反思与感悟 数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合．
跟踪训练3 已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值．
例4 已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
反思与感悟 (1)中心对称
①两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则点P1(x1，y1)关于点P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即点P为线段P1P2的中点；
②两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点都在另外一条直线上，必有l1∥l2，且点P到直线l1、l2的距离相等．
(2)轴对称
两点关于直线对称：设点P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上．
跟踪训练4 在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
1．若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是( )
A. B.
C.，－ D．－
2．倾斜角为150°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.x－3y＋1＝0 B.x－3y－＝0
C.x＋3y＋＝0 D.x＋3y±＝0
3．已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则( )
A．kb<0 B．kb≤0
C．kb>0 D．kb≥0
4．直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0
5．若直线mx－(m＋2)y＋2＝0与3x－my－1＝0互相垂直，则点(m,1)到y轴的距离为________．
1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括直线l2.
3．点到直线的距离与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
答案精析
知识梳理
1．(1)0°≤α<180°
2．y＝kx＋b ＋＝1
4．(1)
(2)① ②
题型探究
例1 解 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，
∴B(3,0)，C(3,6)．
此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，
∴直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，
显然k≠0且k≠2.
令y＝0，得x＝3＋，
∴B(3＋，0)，
由得点C的横坐标
xC＝.
∵|BC|＝2|AB|，
∴|xB－xC|＝2|xA－xB|，
∴|－－3|＝2||，
∴－－3＝或－－3＝－，
解得k＝－或k＝.
∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
跟踪训练1 解 当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0.
由题意知，＝，
解得k＝1或k＝－.
所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0，
当直线不经过原点时，
设所求直线的方程为＋＝1，
即x＋y－a＝0.
由题意知，＝，
解得a＝2或a＝6.
所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
例2 解 当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．
当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx.
令y＝0，得x＝－1与x＝－.
由题意得|－1＋|＝1，即k＝1.
∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
跟踪训练2 解 直线l1的斜率k1＝＝a，
当a≠0时，直线l2的斜率k2＝＝.
∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即a·＝－1，得a＝1.
当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，
A(－2,0)，B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2.
综上可知，实数a的值为1或0.
例3 解 将已知条件变形为
y＝|－|
＝|
－|.
故设M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，
∴原条件变为y＝||MA|－|MB||.
则上式的几何意义为x轴上的点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|＝|BM|时，y取最小值0.
即＝，解得x＝0，此时点M在坐标原点， ymin＝0.
又由三角形性质可知，||MA|－|MB||≤|AB|，即当||MA|－|MB||＝|AB|，即当A、B、M三点共线时，y取最大值．
由已知，得直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，
即y＝－x＋3，令y＝0，得x＝3，
∴当x＝3时，ymax＝|AB|
＝＝.
跟踪训练3 解 设点P(x，y)，则点P在直线l：4x＋3y－10＝0上，
x2＋y2＝()2
＝()2
＝|OP|2.
如图所示，
当OP⊥l时，|OP|取最小值|OM|，
原点O到直线l的距离|OM|＝d＝＝2，
即|OP|的最小值是2，
所以x2＋y2的最小值是4.
例4 解 (1)设点A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则
解得故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B、P、A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，
||PB|－|PA||取得最大值为|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
解得
故所求的点P的坐标为(12,10)．
跟踪训练4 解
(1)如图，点B关于直线l的对称点B′(3,3)．
直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，
由
解得
即P(2,5)．
(2)如图，
点C关于直线l的对称点
C′(，)，
由图像可知，|PA|＋|PC|≥|AC′|.
当点P是直线AC′与l的交点时“＝”成立，
直线AC′的方程为19x＋17y－93＝0，
由解得
∴P(，)．
当堂训练
1．D 2.C 3.B 4.A 5.0或5
课件38张PPT。章末复习课（一）第二章 解析几何初步第二章 解析几何初步
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．
1．圆的方程
(1)圆的标准方程：________________________.
(2)圆的一般方程：________________________.
2．点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点P________.
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点P________.
3．直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d____r→相离；d____r→相切；d____r→相交．
4．圆与圆的位置关系
设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
5.求圆的方程时常用的四个几何性质
6．与圆有关的最值问题的常见类型
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．
7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用根与系数的关系及弦长公式
|AB|＝|xA－xB|
＝.
注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
8．空间中两点的距离公式
空间中点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝________________________.
类型一 求圆的方程
例1 根据条件求下列圆的方程．
(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；
(2)求半径为，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4的圆的方程．
反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
第一步：选择圆的方程的某一形式．
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．
第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．
第四步：代入圆的方程．
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．
跟踪训练1 如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．
类型二 直线与圆的位置关系
例2 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．
跟踪训练2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．
类型三 圆与圆的位置关系
例3 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
跟踪训练3 已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．
类型四 数形结合思想的应用
例4 曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，] D．(，]
反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．
跟踪训练4 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．
1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜2
C．a＞1 D．a＜1
2．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9
3．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°
C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°
4．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
5．已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；
(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值．
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．
答案精析
知识梳理
1．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
2．(1)在圆外 (2)在圆内 (3)在圆上
3．> ＝ <
8.
题型探究
例1 解 (1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为
3x＋2y－15＝0，
∴由
解得
∴圆心C(7，－3)，半径为r＝|AC|＝.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
(2)方法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心坐标为(a，b)，半径为r＝，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为d＝.
由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得
d2＋()2＝r2，
即＋8＝10，
∴(a－b)2＝4.
又∵b＝2a，
∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10
或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
方法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，
∴b＝2a.
由圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，
将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.
设直线y＝x交圆C于点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝＝4，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.
∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，
∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，
即a－b＝±2.
又∵b＝2a，∴或
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10
或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
跟踪训练1 (x－1)2＋(y－)2＝2
例2 解 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2.
①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．
②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知，＝2，解得k＝.
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3
或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，解得a＝－.
跟踪训练2 解
(1)如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4.
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离为
＝2，得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，
即·＝－1，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
例3 解 圆Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0可化为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
圆Q2化为(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
两圆圆心距离
|Q1Q2|＝＝5.
(1)当两圆外切时，
|Q1Q2|＝＋，
即5＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，
|Q1Q2|＝|－|，
因为<5，
所以|Q1Q2|＝－，
所以5＝－，
所以m＝25－10.
(3)当m＝45时，由两圆方程相减，得公共弦方程为
x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0，
即4x＋3y－23＝0.
圆心Q1到公共弦的距离为
d＝＝2，
所以公共弦长为2
＝2＝2.
跟踪训练3 解 将两圆的方程C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0相减，得x＋2y－4＝0，将x＝4－2y代入C1：x2＋y2＝4，得5y2－16y＋12＝0，
解得y1＝2，y2＝，
得x1＝0，x2＝，
所以圆与圆的交点坐标分别为(0,2)，(，)．
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，
得
由①②消去r2，得b＝2a，代入③式，得r＝a，代入①式?a＝，b＝1，r＝，
所以圆的方程为(x－)2＋(y－1)2＝.
例4 D [首先明确曲线y＝1＋表示半圆，
由数形结合可得＜k≤.]
跟踪训练4 －
当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.C
5．解 (1)因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3,0)．
因为直线x－my＋3＝0与圆相切，所以＝2，
解得m＝±2.
(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝.
由2＝，
得2＋2m2＝20m2－160，即m2＝9.
故m＝±3.
课件46张PPT。章末复习课（二）第二章 解析几何初步
