1 从位移、速度、力到向量
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
知识点一 向量的概念
思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
梳理 向量与数量
(1)向量：既有________，又有________的量统称为向量．
(2)数量：只有________，没有________的量称为数量．
知识点二 向量的表示方法
思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
思考2 0的模长是多少？0有方向吗？
思考3 单位向量的模长是多少？
梳理 (1)向量的表示
①具有________和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，以B为终点的有向线段记作________，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作________．
②向量可以用____________来表示．有向线段的长度表示____________，即长度(也称模)．箭头所指的方向表示____________．
③向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用 , , ，…来表示．
(2)________的向量叫作零向量，记作______________；______________________________的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.
知识点三 相等向量与共线向量
思考1 已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？
思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
梳理 (1)相等向量：____________且____________的向量叫作相等向量．
(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________，则称这两个向量平行或共线．
①记法：a与b平行或共线，记作________．
②规定：零向量与____________平行．
类型一 向量的概念
例1 下列说法正确的是( )
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量没有方向
D．任意两个单位向量都相等
反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
跟踪训练1 下列说法正确的有________．
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量．
类型二 共线向量与相等向量
例2 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D
分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反．
(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．
跟踪训练2
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有哪些？
类型三 向量的表示及应用
例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量、、；
(2)求||.
反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
1．下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A．0 B．1
C．2 D．3
2．下列说法错误的是( )
A．若a＝0，则|a|＝0
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝
B．||＝||
C.>
D.<
4．如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．
思考2 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
梳理 (1)大小 方向 (2)大小 方向
知识点二
思考1 可以用一条有向线段表示．
思考2 0的模长为0，方向任意．
思考3 单位向量的模长为1个单位长度．
梳理 (1)①方向 || ②有向线段 向量的大小 向量的方向 (2)长度为0 0或 与向量a同方向，且长度为单位1
知识点三
思考1 因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考2 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
思考3 不一定．因为当b＝0时，a，c可以是任意向量．
梳理 (1)长度相等 方向相同 (2)平行或重合 ①a∥b ②任一向量
题型探究
例1 A
跟踪训练1 ③
例2 解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
跟踪训练2 解 (1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个．
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个．
例3 解 (1)向量、、如图所示．
(2)由题意易知，与方向相反，故与共线．
又∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
跟踪训练3 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略)．
当堂训练
1．B 2.B 3.B
4．解 (1)＝＝，＝.
(2)与的模相等的向量有，，.
课件38张PPT。§1 从位移、速度、力到向量第二章 平面向量学习目标
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 向量的概念在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小.向量与数量
(1)向量：既有 ，又有 的量统称为向量.
(2)数量：只有 ，没有 的量称为数量.梳理大小方向大小方向思考1 知识点二 向量的表示方法向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案答案 可以用一条有向线段表示.思考2 0的模长是多少？0有方向吗？答案答案 0的模长为0，方向任意.思考3 单位向量的模长是多少？答案答案 单位向量的模长为1个单位长度.梳理(1)向量的表示
①具有 和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，以B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫作有向线段 的长度，记作 .
②向量可以用 来表示.有向线段的长度表示 ，即长度(也称模).箭头所指的方向表示 .
③向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用 …来表示.
(2) 的向量叫作零向量，记作 ；_____________________
的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.有向线段向量的大小向量的方向长度为0与向量a同方向，且长度为单位1方向思考1 知识点三 相等向量与共线向量已知A，B为平面上不同两点，那么向量 和向量 相等吗？它们共线吗？答案答案 因为向量 和向量 方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？答案答案 不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.梳理(1)相等向量： 且 的向量叫作相等向量.
(2)平行向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线 ，则称这两个向量平行或共线.
①记法：a与b平行或共线，记作 .
②规定：零向量与 平行.长度相等方向相同平行或重合a∥b任一向量题型探究 例1 下列说法正确的是
A.向量 与向量 的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.任意两个单位向量都相等类型一 向量的概念解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A.答案解析解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.解析 ①错误.|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系.
②错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 、 必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上.
③正确.向量 和 是长度相等，方向相反的两个向量.跟踪训练1 下列说法正确的有___.
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量 与 是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量 与 是平行向量.③答案解析例2 如图所示，△ABC的三边均不相等，
E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.类型二 共线向量与相等向量(1)写出与 共线的向量；解答解 因为E、F分别是AC、AB的中点，又因为D是BC的中点，(2)写出与 的模大小相等的向量；解答(3)写出与 相等的向量.解答(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.
(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.解 与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？解 存在.(1)与 的模相等的向量有多少个？由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，解答解 由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，(3)与 共线的向量有哪些？解答例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.类型三 向量的表示及应用解答(2)求| |.解答∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.解答解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；解 由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，
为半径的圆(作图略).(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ ，并说出向量c的终点的轨迹是什么？当堂训练1.下列结论正确的个数是
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0 B.1 C.2 D.3√2341答案解析2341解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；
②向量的模也可以为0，故②错；
④向量不可以比较大小，故④错；
③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对.2.下列说法错误的是
A.若a＝0，则|a|＝0
B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的答案√2341解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行，所以B是错误的.解析3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量 与 的关系是2341答案解析 | |与| |表示等腰梯形两腰的长度，故相等.解析√4.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.2341解答(1)写出与 、 相等的向量；2341解答(2)写出与 的模相等的向量.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.本课结束2．1 向量的加法
学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
分析下列实例：
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，
F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条
拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？
梳理 (1)向量加法的定义
求________________的运算，叫作向量的加法．
(2)向量加法的法则
三角
形法
则
已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作向量a与b的和，记作________，即a＋b＝＋＝________
平行四边形法则
已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作平行于的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形．向量叫作向量a与b的和，表示为______＝a＋b
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．
知识点二 向量加法的运算律
思考1 实数加法有哪些运算律？
思考2 根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b)
思考3 根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c)
梳理 向量加法的运算律
交换律
a＋b＝________
结合律
(________)＋c＝a＋(________)
类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
(1) (2)
反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”．
(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
跟踪训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝________；(2)＋＝________；
(3)＋＝________.
类型二 向量加法运算律的应用
例2 化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0.
跟踪训练2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
类型三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
引申探究
1．若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？
2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．
反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键．
跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )
A．0 B.
C. D.
2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则
下列等式中错误的是( )
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
3．(＋)＋(＋)＋等于( )
A. B.
C. D.
4.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形为( )
A．矩形
B．正方形
C．平行四边形
D．菱形
5．小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 后面的一次位移叫作前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是与表示的力的合力．体现了向量的加法运算．
思考2 三角形法则和平行四边形法则．
梳理 (1)两个向量和 (2)a＋b
知识点二
思考1 交换律和结合律．
思考2 ∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考3 ∵＝＋
＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c，
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
梳理 b＋a a＋b b＋c
题型探究
例1 解 (1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
跟踪训练1 (1) (2) (3)0
例2 解 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
跟踪训练2 2
例3 解 作出图形，如图所示．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进．
引申探究
1．解 由例3知v船＝20 m/min，
v实际＝20×sin 60°＝10(m/min)，
故该船1 h行驶的航程为10×60
＝600(m)＝(km)．
2．解 如图，作平行四边形ABDC，
则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，
则tan α＝＝＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
跟踪训练3 解 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°＝10×＝5(N)．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
当堂训练
1．D 2.D 3.C 4.C 5.20
课件39张PPT。2.1 向量的加法第二章 §2 从位移的合成到向量的加法学习目标
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？答案答案 后面的一次位移叫作前面两次位移的合位移，体现了向量的加法运算.思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？答案答案 三角形法则和平行四边形法则.(1)向量加法的定义
求 的运算，叫作向量的加法.梳理两个向量和(2)向量加法的法则a＋b向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.思考1 知识点二 向量加法的运算律实数加法有哪些运算律？答案答案 交换律和结合律.(注： )∴a＋b＝b＋a.思考2 答案根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律.根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律.(注：
)答案∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).思考3 梳理向量加法的运算律a＋bb＋cb＋a题型探究例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.解答类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)(2)(2)在平面内任意取一点O，解 (1)作法：在平面内任意取一点O，向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”.
(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.跟踪训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.0答案例2 化简：类型二 向量加法运算律的应用解答解答(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.答案解析例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.类型三 向量加法的实际应用解答解 作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，
结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进.引申探究
1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？解答解 由例3知v船＝20 m/min，2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.解答解 如图，作平行四边形ABDC，即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题关键.跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)解答易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，当堂训练√23451答案解析2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是答案√23451解析故选D.2345123451答案√A.矩形
B.正方形
C.平行四边形
D.菱形答案解析√23451∴四边形ABCD为平行四边形.5.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为____km/h.答案解析23451解析 如图，
设船在静水中的速度为|v1|＝10 km/h，
河水的流速为|v2|＝10 km/h，
小船的实际航行速度为v0，
则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10 )2＋102＝|v0|2，
所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.201.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
3.在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.本课结束2.2 向量的减法
学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．
知识点一 相反向量
思考 实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫作什么？
梳理 与a________________的向量，叫作a的相反向量，记作________．
(1)规定：零向量的相反向量仍是________．
(2)－(－a)＝a.
(3)a＋(－a)＝________＝________.
(4)若a与b互为相反向量，则a＝________，b＝________，a＋b＝____.
知识点二 向量的减法
思考1 根据向量的加法，如何求作a－b?
思考2 向量减法的三角形法则是什么？
梳理 (1)定义：向量a加上____________，叫作a与b的差，即a－b＝__________.求两个向量____的运算，叫作向量的减法．
(2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________，如图所示．
(3)文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点，那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a—b.
知识点三 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系
思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？
梳理 当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
类型一 向量减法的几何作图
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？
反思与感悟 在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．
跟踪训练1 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
类型二 向量减法法则的应用
例2 化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．
跟踪训练2 化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
类型三 向量减法几何意义的应用
例3 已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
跟踪训练3 在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，若|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
1.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示
向量和分别是( )
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
2．化简－＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
3．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
4．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，
则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
5.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别为＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 相反向量．
梳理 长度相等、方向相反 －a (1)零向量 (3)(－a)＋a 0 (4)－b －a 0
知识点二
思考1 先作出－b，再按三角形法则或平行四边形法则作出a＋(－b)．
思考2 (1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．
这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
梳理 (1)b的相反向量 a＋(－b) 差 (2)
知识点三
思考 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
题型探究
例1 解 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
引申探究
解 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.
再作＝c，则＝a－b－c.
跟踪训练1 解 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，
＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
例2 解 (1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.
跟踪训练2 解 (1)(－)－(－)＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
例3 解 ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，
∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
跟踪训练3 B
当堂训练
1．B 2.B 3.2 4.7 17
5．解 ∵四边形ACDE是平行四边形，
∴＝＝c，
＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
课件34张PPT。2.2 向量的减法第二章 §2 从位移的合成到向量的加法学习目标
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减运算.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 相反向量思考 实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫作什么？答案答案 相反向量.与a 的向量，叫作a的相反向量，记作 .
(1)规定：零向量的相反向量仍是 .
(2)－(－a)＝a.
(3)a＋(－a)＝ ＝ .
(4)若a与b互为相反向量，则a＝ ，b＝ ，a＋b＝ .梳理长度相等、方向相反－a(－a)＋a0－b－a0零向量思考1 知识点二 向量的减法根据向量的加法，如何求作a－b？答案答案 先作出－b，再按三角形法则或平行四边形法则作出a＋(－b).向量减法的三角形法则是什么？答案 (1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则.
概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.答案思考2 梳理(1)定义：向量a加上 ，叫作a与b的差，即a－b＝ .求两个向量 的运算，叫作向量的减法. (2)几何意义：在平面内任取一点O，作
＝a， ＝b，则向量a－b＝ ，如图所示.(3)文字叙述：如果把向量a与b的起点放在O点，那么由向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量 就是a-b.b的相反向量a＋(－b)差思考 知识点三 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？答案答案 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.梳理当向量a，b不共线时，作 ＝a， ＝b，则a＋b＝ ，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. ②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.题型探究例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.解答类型一 向量减法的几何作图方法二 如图②，在平面内任取一点O，解 方法一 如图①，在平面内任取一点O，引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？解 如图，在平面内任取一点O，解答在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.跟踪训练1 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.解 如图所示，在平面内任取一点O，解答例2 化简下列式子：类型二 向量减法法则的应用解答向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.解答类型三 向量减法几何意义的应用解答(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|. 跟踪训练3 在四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b，且 ＝a＋b，若|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形∴四边形ABCD为平行四边形.∴四边形ABCD为矩形.答案解析当堂训练A.a＋b和a－b
B.a＋b和b－a
C.a－b和b－a
D.b－a和b＋a√23451答案解析解析 由向量的加法、减法法则，得故选B.答案√23451234512答案解析4.若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__，|a－b|的最大值为___.答案解析23451解析 由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得.717解答2345123451解 ∵四边形ACDE是平行四边形，1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－ ＝
就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.
3.平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别为 ＝a， ＝b，则两条对角线表示的向量为 ＝a＋b， ＝b－a， ＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.本课结束3．1 数乘向量
学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
知识点一 向量数乘的定义
思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？
思考2 向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
思考3 λa的几何意义是什么？
梳理 数乘向量
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作________．它的长度为|λa|＝|λ||a|.它的方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．
知识点二 向量数乘的运算律
思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
梳理 向量数乘运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三 向量共线定理
思考 若b＝2a，b与a共线吗？
梳理 (1)向量共线的判定定理
a 是一个________向量，若存在一个实数λ，使得____________，则向量b与非零向量a共线．
(2)向量共线的性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝________.
知识点四 向量的线性运算
向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．
类型一 向量数乘的基本运算
例1 (1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]．
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 (1)(a＋b)－3(a－b)－8a＝________.
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
类型二 向量共线的判定及应用
命题角度1 判定向量共线或三点共线
例2 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线．
(2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．
反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点．
跟踪训练2 已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
命题角度2 利用向量共线求参数值
例3 已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值．
反思与感悟 利用向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
跟踪训练3 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝________.
类型三 用已知向量表示其他向量
例4 在△ABC中，若点D满足＝2，则等于( )
A.＋ B.－
C.－ D.＋
反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练4 如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c等于( )
A．5e B．－5e
C．23e D．－23e
2．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于( )
A. B.
C．2 D.
3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1
C．k＝2 D．k＝
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
5．如图所示，已知＝，用，表示.
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．
3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
4．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，A，P，B三点共线?m＋n＝1.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 向量．
思考2 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
思考3 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．
当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．
梳理 λa
知识点二
思考 结合律，分配律．
知识点三
思考 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
梳理 (1)非零 b＝λa (2)λa
题型探究
例1 解 (1)[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]
＝(4a＋8b－20a＋8b)
＝(－16a＋16b)
＝－4a＋4b.
(2)因为
由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，
即y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
跟踪训练1 (1)－10a＋4b
(2)a－b＋c
例2 (1)解 ∵b＝6a，∴a与b共线．
(2)证明 ∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)
＝5，∴，共线，且有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
跟踪训练2 A，B，D
例3 解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
又e1与e2不共线，∴
∴k＝±1.
跟踪训练3 1
例4 D
跟踪训练4 解 ∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a.
又∵D，E为边AB的两个三等分点，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，＝＋＝3a＋
＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
当堂训练
1．C 2.C 3.D 4.D
5．解 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
课件39张PPT。3.1 数乘向量第二章 §3 从速度的倍数到数乘向量学习目标
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量数乘的定义思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？答案答案 向量.思考2 向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案答案 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同.
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反.思考3 λa的几何意义是什么？答案 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍.答案数乘向量
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作 .它的长度为|λa|＝|λ||a|.它的方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意.梳理λa思考 知识点二 向量数乘的运算律类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案答案 结合律，分配律.梳理向量数乘运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.思考 知识点三 向量共线定理若b＝2a，b与a共线吗？答案答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线.
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；
反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.梳理(1)向量共线的判定定理
a 是一个 向量，若存在一个实数λ，使得 ，则向量b与非零向量a共线.
(2)向量共线的性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝ .非零b＝λaλa向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).知识点四 向量的线性运算题型探究解答类型一 向量数乘的基本运算＝－4a＋4b.(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式
3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.解答(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1 (1)(a＋b)－3(a－b)－8a＝__________.解析 (a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.－10a＋4b答案解析(2)若 ，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝____________.答案解析命题角度1 判定向量共线或三点共线
例2 已知非零向量e1，e2不共线.类型二 向量共线的判定及应用解 ∵b＝6a，∴a与b共线.解答∴A、B、D三点共线.证明(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点.跟踪训练2 已知非零向量e1，e2不共线，如果 ＝e1＋2e2， ＝－5e1＋6e2， ＝7e1－2e2，则共线的三个点是__________.A，B，D∴A，B，D三点共线.答案解析命题角度2 利用向量共线求参数值
例3 已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值.∴k＝±1.解答解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.利用向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.跟踪训练3 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 ＝x＋y，则x ＋y ＝__.1答案解析∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1. 类型三 用已知向量表示其他向量答案解析解析 示意图如图所示，用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.解答又∵D，E为边AB的两个三等分点，当堂训练1.已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c等于
A.5e B.－5e
C.23e D.－23e√23451解析 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.答案解析√23451答案解析解析 如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点，234513.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则答案解析√所以n＝2m，此时，m，n共线.答案解析23451A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上√解答234511.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量 表示与向量a同向的单位向量.
3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.
4.已知O，A，B是不共线的三点，且 (m，n∈R)，A，P，B三点共线?m＋n＝1.本课结束3．2 平面向量基本定理
学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点 平面向量基本定理
思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
思考3 若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
梳理 (1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝________________________________.
(2)基底
平面内________的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
类型一 对基底概念的理解
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
类型二 平面向量基本定理的应用
例2 如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
引申探究
若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2 如图所示，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.
1．下列关于基底的说法正确的是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．② C．①③ D．②③
2.如图，已知A＝a，＝b，＝3，用a，b表示，
则等于( )
A．a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
4.如图所示，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则当以a，b为基底时，可表示为________，当以a，c为基底时，可表示为________．
5．已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a、b为基底表示，，.
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
思考2 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
思考3 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
梳理 (1)不共线 任一 λ1e1＋λ2e2 (2)不共线
题型探究
例1 B
跟踪训练1 D
例2 解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
引申探究
解 取CF的中点G，连接EG.
∵E、G分别为BC，CF的中点，
∴＝＝b，∴＝＋＝a＋b.
又∵＝＝，
∴＝＝(a＋b)＝a＋b.又∵＝＝＋
＝＋＝＋，
∴＝＝b＋(a＋b)
＝a＋b.
跟踪训练2 解 ＝＋，
＝＋.
设＝m，＝n，则
＝＋m＝＋m(－)＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝＋n(－)＝b＋n(a－b)＝(1－n)b＋na.∵a，b不共线，
∴即
∴＝a＋b.
当堂训练
1．C 2.B 3.－15 －12
4．a＋b 2a＋c
5．解 连接FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC綊FB.∴四边形DCBF为平行四边形．
依题意，＝
＝＝b，
＝＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－－
＝－－×b＝b－a.
课件30张PPT。3.2 平面向量基本定理第二章 §3 从速度的倍数到数乘向量学习目标
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 平面向量基本定理思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.思考3 若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？答案 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.答案(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的____向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝ .
(2)基底
平面内 的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.梳理不共线任一λ1e1＋λ2e2不共线题型探究 类型一 对基底概念的理解例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A.①② B.②③ C.③④ D.②答案解析解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是
A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－ e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－e2解析 选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；
选项B中，2e1－e2＝2(e1－ e2)，为共线向量；
选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.
根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.答案解析例2 如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若 ＝a，
＝b，试以a，b为基底表示 ， .类型二 平面向量基本定理的应用解答解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，解答引申探究解 取CF的中点G，连接EG.
∵E、G分别为BC，CF的中点，将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.解答∵a，b不共线，当堂训练1.下列关于基底的说法正确的是
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.
A.① B.② C.①③ D.②③√23451解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确.答案解析√23451答案解析234513.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝____，y＝_____.答案解析解析 ∵向量e1，e2不共线，－15－12答案解析23451解析 由平行四边形法则可知，a＋b2a＋c以a，c为基底时，将 平移，使点B与点A重合，
再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.解答2345123451解 连接FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC綊FB.∴四边形DCBF为平行四边形.1.对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.本课结束4．1 平面向量的坐标表示
4．2 平面向量线性运算的坐标表示
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
知识点一 平面向量的正交分解
思考 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
梳理 把一个向量分解为________________的向量，叫作把向量正交分解．
知识点二 平面向量的坐标表示
思考1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
思考2 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？
思考3 设向量＝(1,1)，O为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？A点坐标是多少？
梳理 (1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i、j作为基底．对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
②在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系
区
别
表示形式不同
向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义
不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系
当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三 平面向量的坐标运算
思考 设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
梳理 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
数学公式
文字语言表述
向量加、减法
a±b＝(x1±x2，y1±y2)
向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差
向量数乘
λa＝(λx1，λy1)
实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积
向量坐标
＝(x2－x1，y2－y1)
一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的相应坐标
类型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，
∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.
四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围．
跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
类型二 平面向量的坐标运算
例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
反思与感悟 向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
跟踪训练2 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
类型三 平面向量坐标运算的应用
例3 已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求当λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内．
反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．
(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪训练3 已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于( )
A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3)
2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A. B.
C．(－8,1) D．(8,1)
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B. C．(3,2) D．(1,3)
4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于( )
A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)
5．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.
1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．
2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时＝(xB－xA，yB－yA)．
3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．
梳理 两个互相垂直
知识点二
思考1 a＝2i＋2j.
思考2 对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定．
思考3 向量的坐标为＝(1,1)，A点坐标为A(1,1)．
梳理 (1)①单位向量
知识点三
思考 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
题型探究
例1 解 (1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°
＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°
＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，
∴＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋
＝(2，2)＋(－，)
＝.
跟踪训练1 解 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D(，)．
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝(－2，－0)＝(－，)．
例2 解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)
＝a＝(5，－5)，
∴解得
跟踪训练2 解 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－
＝.
例3 解 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.
∴当λ＝时，点P在第一、三象限的角平分线上；
当λ∈(－∞，－1)时，点P在第三象限内．
跟踪训练3 －3
当堂训练
1．A 2.A 3.A 4.A 5.
课件38张PPT。4.1 平面向量的坐标表示
4.2 平面向量线性运算的坐标表示学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 平面向量的正交分解思考 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为 的向量，叫作把向量正交分解．梳理两个互相垂直知识点二 平面向量的坐标表示思考1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?答案答案 a＝2 i＋2j.思考2 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？答案答案 对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定．思考3 设向量 ＝(1，1)，O为坐标原点，若将向量 平移到 ，则
的坐标是多少？A点坐标是多少？答案答案 向量 的坐标为 ＝(1，1)，A点坐标为A(1，1)．(1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i、
j作为基底．对于平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．梳理单位向量(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三 平面向量的坐标运算思考 设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？答案答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).梳理题型探究类型一 平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°， ＝a， ＝b.四边形OABC为平行四边形．解答(1)求向量a，b的坐标；解 作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°AM＝OA·sin 45°∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，(2)求向量 的坐标；解答(3)求点B的坐标．解答在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围．跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量 ， ， ，
的坐标．解 如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，解答例2 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 ＝a， ＝b， ＝c.
(1)求3a＋b－3c；类型二 平面向量的坐标运算解答解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．解答解 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．解答跟踪训练2 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；解 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．(2)a－3b；解 a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．例3 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若 (λ∈R)，试求当λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；类型三 平面向量坐标运算的应用解答解 设点P的坐标为(x，y)，若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，(2)点P在第三象限内．解答当λ∈(－∞，－1)时，点P在第三象限内．(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．
(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练3 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为____．解析 ∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，
∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，－3故m－n＝2－5＝－3.答案解析当堂训练1.设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b等于
A.(7，3) B.(7，7)
C.(1，7) D.(1，3)√23451答案√23451答案解析3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且 ＝2 ，
则顶点D的坐标为答案√23451解析答案解析234514.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量 ＝(－4，－3)，则向量 等于
A.(－7，－4) B.(7，4)
C.(－1，4) D.(1，4)√234515.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝___.答案解析23451解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a＝(1，2)，b＝(2，－3)，c＝(3，4).1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.
2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时 ＝(xB－xA，yB－yA).
3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.本课结束4．3 向量平行的坐标表示
学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．
知识点 向量平行
已知下列几组向量：
(1)a＝(0,3)，b＝(0,6)；
(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；
(3)a＝(－1,4)，b＝(3，－12)；
(4)a＝(，1)，b＝(－，－1)．
思考1 上面几组向量中，a，b有什么关系？
思考2 以上几组向量中，a，b共线吗？
思考3 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
梳理 设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有____________．
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有________________．即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标________；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们________．
类型一 向量共线的判定与证明
例1 (1)下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
跟踪训练1 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，求证：∥.
类型二 利用向量共线求参数
例2 已知a＝(1,2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
引申探究
1．若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？
2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？
反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．
跟踪训练2 设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
类型三 三点共线问题
例3 已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？
反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．
跟踪训练3 已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
1．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )
A．1 B．－1 C．4 D．－4
2．与a＝(6,8)平行的单位向量为( )
A. B.
C.或 D.
3．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为________．
4．已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD是梯形．
5．已知A(3,5)，B(6,9)，M是直线AB上一点，且||＝3||，求点M的坐标．
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 (1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.
思考2 共线．
思考3 坐标不为0时成正比例．
思考4 能．将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，b与a反向．
梳理 (1)x1y2－x2y1＝0 (2)＝
成比例 平行
题型探究
例1 (1)D
(2)解 ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，
∴与共线且方向相反．
方法二 ∵＝－2，∴与共线且方向相反．
跟踪训练1 证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
∵＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
∴＝＝(，)，＝＝(－，1)．
∴(x1，y1)－(－1,0)＝(，)，(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)，
∴(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)．
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，－)．
∵4×(－)－(－1)×＝0，
∴∥.
例2 解 方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3，2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
得解得k＝λ＝－.
方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)．
a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
引申探究
1．解 由例2知当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－<0，
∴ka＋b与a－3b反向．
2．解 a＋kb＝(1,2)＋k(－3,2)＝(1－3k,2＋2k)，
3a－b＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)．
∵a＋kb与3a－b平行，
∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，
解得k＝－.
跟踪训练2 2
例3 解 ＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
若A，B，C三点共线，则∥，
∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，
解得k＝－2或11.
又，有公共点A，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
跟踪训练3 证明 ＝
＝，＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，
∵7×4－×8＝0，
∴∥.又，有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
当堂训练
1．D 2.C 3.6
4．证明 ∵A(3，－1)，B(1,2)，C(－1,1)，D(3，－5)，
∴＝(－2,3)，＝(4，－6)．
∴＝－2，即||＝||，
∴AB∥CD，且AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形．
5．解 设点M的坐标为(x，y)．由||＝3||，得＝3 或＝－3.
由题意，得＝(x－3，y－5)，
＝(6－x,9－y)．
当＝3 时，(x－3，y－5)
＝3(6－x,9－y)，
∴解得
当＝－3时，(x－3，y－5)＝－3(6－x,9－y)，
∴解得
故点M的坐标是或.
课件36张PPT。4.3 向量平行的坐标表示第二章 §4 平面向量的坐标学习目标
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
3.掌握三点共线的判断方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 向量平行已知下列几组向量：
(1)a＝(0，3)，b＝(0，6)；
(2)a＝(2，3)，b＝(4，6)；
(3)a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；
(4)a＝( ，1)，b＝(－ ，－1).思考1 上面几组向量中，a，b有什么关系？答案答案 (1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.思考2 以上几组向量中，a，b共线吗？答案答案 共线.思考3 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？答案 坐标不为0时成正比例.思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案答案 能.将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，
b与a反向.设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)当a∥b时，有 .
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有 .即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标 ；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们 .梳理x1y2－x2y1＝0成比例平行题型探究 类型一 向量共线的判定与证明例1 (1)下列各组向量中，共线的是
A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B.a＝(2，3)，b＝(3，2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)答案解析解析 A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，
故选D.(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判断与 是 否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解答方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练1 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，
， ，求证： .证明证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2).例2 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？类型二 利用向量共线求参数解答解 方法一 ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b).
由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2).
a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－ .引申探究
1.若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？解答∴ka＋b与a－3b反向.2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？解答解 a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2)＝(1－3k，2＋2k)，
3a－b＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4).
∵a＋kb与3a－b平行，
∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，
解得k＝－ .根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.跟踪训练2 设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝__.解析 λa＋b＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)，
∵λa＋b与c共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.2答案解析例3 已知向量 ＝(k，12)， ＝(4，5)， ＝(10，k).当k为何值时，A，B，C三点共线？类型三 三点共线问题解答∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，
解得k＝－2或11.∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.跟踪训练3 已知A(1，－3)，B ，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.∴A，B，C三点共线.证明当堂训练1.已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是
A.1 B.－1 C.4 D.－4√23451解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.答案解析23451答案解析2.与a＝(6，8)平行的单位向量为√23451解析 设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为__.答案23451解析6即(1，2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).即当m＝6时，A，B，C三点共线.证明234514.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，
(1，2)，(－1，1)，(3，－5).求证：四边形ABCD是梯形.证明 ∵A(3，－1)，B(1，2)，C(－1，1)，D(3，－5)，∴AB∥CD，且AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形.解答234515.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且| |＝3| |，求点M的坐标.解 设点M的坐标为(x，y).234511.两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时， ，即两向量的相应坐标成比例.2.向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.本课结束5 从力做的功到向量的数量积(一)
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．
知识点一 两向量的夹角
思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
思考2 △ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？
梳理 (1)夹角：已知两个____________a和b，作＝a，
＝b，则__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角
(如图所示)．
当θ＝0°时，a与b________；
当θ＝180°时，a与b________.
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直．
知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
思考1 如何计算这个力所做的功？
思考2 力做功的大小与哪些量有关？
梳理 (1)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把______________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________.
(2)数量积的特殊情况
当两个向量相等时，a·a＝__________.
当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝________________________.
知识点三 平面向量数量积的几何意义
思考1 什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？
思考2 向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？
梳理 (1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则________叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影)．
(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影____________的乘积．
知识点四 平面向量数量积的性质
思考1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？
梳理 向量的数量积的性质
(1)若e是单位向量，则e·a＝____________＝____________.
(2)a⊥b?____________.
(3)________＝.
(4)cos θ＝(|a||b|≠0)．
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|____|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
类型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
反思与感悟 求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练1 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于( )
A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2
类型二 求向量的模
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.
反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．
跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值．
类型三 求向量的夹角
例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
反思与感悟 当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b方向上的射影为－3，b在a方向上的射影为－，求a与b的夹角θ.
1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的射影为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________.
4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．
5．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
3．在a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫作b在a方向上的射影和a在b方向上的射影，要结合图形严格区分．
4．求射影有两种方法
(1)b在a方向上的射影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的射影为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的射影为，a在b方向上的射影为.
5．两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 存在夹角，不一样．
思考2 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，
故向量a与b的夹角为120°.
梳理 (1)非零向量 ∠AOB 同向 反向
知识点二
思考1 W＝|F||s|cos θ.
思考2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
梳理 (1)|a||b|cos θ |a||b|cos θ (2)|a|2 |e1||e2|cos θ＝cos θ
知识点三
思考1 如图所示，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos θ叫作向量a在b方向上的射影．
思考2 由射影的定义知，二者不一定相同．
梳理 (1)|b|cos θ (2)|b|cos θ |a|cos θ
知识点四
思考1 向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量．
思考2 由两个非零向量的夹角决定．
当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．
当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．
当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．
梳理 (1)a·e |a|cos θ (2)a·b＝0 (3)|a| (5)≤
题型探究
例1 解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a||b|cos 30°
＝4×5×＝10.
跟踪训练1 D
例2 解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.|a＋b|＝
＝
＝ ＝5.
|a－b|＝
＝
＝ ＝5.
引申探究
解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝，
|2a＋b|＝
＝
＝ ＝5.
|a－2b|＝
＝
＝ ＝5.
跟踪训练2 20
例3 解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝
＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)
＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
跟踪训练3 θ＝120°
当堂训练
1．D 2.A 3.11 4.－25
5．(1) (2)－ (3)
课件40张PPT。§5 从力做的功到向量的数量积(一)第二章 平面向量学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 两向量的夹角思考1 以上几组向量中，a，b共线吗？答案答案 存在夹角，不一样.思考2 △ABC为正三角形，设 ＝a， ＝b，则向量a与b的夹角是多少？答案答案 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则 ＝a，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，
则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.(1) 夹角：已知两个 a和b，作 ＝a， ＝b，则 ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示).梳理当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b .
(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直.非零向量∠AOB同向反向知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义思考1 如何计算这个力所做的功？答案答案 W＝|F||s|cos θ.一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.(1)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .
(2)数量积的特殊情况
当两个向量相等时，a·a＝ .
当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝ .梳理|a||b|cos θ|a||b|cos θ|a|2|e1||e2|cos θ＝cos θ知识点三 平面向量数量积的几何意义答案思考1 什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？答案 如图所示， ＝a， ＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos θ叫作向量a在b方向上的射影.答案思考2 向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？答案答案 由射影的定义知，二者不一定相同.(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则 叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影).
(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影
的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影 的乘积.梳理|b|cos θ|b|cos θ|a|cos θ知识点四 平面向量数量积的性质答案思考1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案答案 向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量.思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案答案 由两个非零向量的夹角决定.
当0°≤θ<90°时，非零向量的数量积为正数.
当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.
当90°<θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.向量的数量积的性质
(1)若e是单位向量，则e·a＝ ＝ .
(2)a⊥b? .
(3) ＝ .
(4)cos θ＝ (|a||b|≠0).
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b| |a||b|，当且仅当a∥b时等号成立.梳理a·e|a|cos θa·b＝0|a|≤题型探究类型一 求两向量的数量积例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解答解 (1) a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°
＝4×5× ＝10 .求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 跟踪训练1 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则 · 等于答案解析解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为 ，求|a＋b|，|a－b|.类型二 求向量的模解答引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.解答此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.解 |3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.解答例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.类型三 求向量的夹角解答解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2设a与b的夹角为θ，当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b方向上的射影为－3，b在a方向上的射影为－ ，求a与b的夹角θ.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.解答当堂训练1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的射影为
A.4 B.－4 C.2 D.－2√23451解析 向量b在a方向上的射影为
|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.答案解析23451答案解析2.设向量a，b满足|a＋b|＝ ，|a－b|＝ ，则a·b等于
A.1 B.2 C.3 D.5√解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝___.答案23451解析11解析 (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.234514.在△ABC中，| |＝13，| |＝5，| |＝12，则 · 的值是____.－25答案解析解答234515.已知正三角形ABC的边长为1，求：解答234511.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.在a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫作b在a方向上的射影和a在b方向上的射影，要结合图形严格区分.4.求射影有两种方法
(1)b在a方向上的射影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的射影为|a|cos θ.
(2)b在a方向上的射影为 ，a在b方向上的射影为 .
5.两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝ .本课结束5 从力做的功到向量的数量积(二)
学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
知识点一 平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确．
运算律
实数乘法
向量数量积
判断正误
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)c＝a(b·c)
分配律
(a＋b)c＝ac＋bc
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
消去律
ab＝bc(b≠0)?a＝c
a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
知识点二 平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
梳理 与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．
类型一 向量数量积的运算性质
例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．
反思与感悟 向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．
跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是________．(填序号)
类型二 平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1 已知向量垂直求参数值
例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________________.
反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b?a·b＝0.
跟踪训练2 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k等于( )
A．－ B．0 C．3 D.
命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为________．
反思与感悟 由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a，b，θ∈[0，)?a·b>0，θ∈(，π]?a·b<0.
跟踪训练3 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是( )
A．60° B．30° C．135° D．45°
3．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为( )
A．1 B．0 C．2 D．3
4．已知正三角形ABC的边长为1，设＝c，＝a，＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是( )
A. B.
C．－ D．－
5．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的射影．
1．数量积对结合律不一定成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等．
2．在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.
3．在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0D/?a＝c.
答案精析
知识梳理
知识点一
正确 错误 正确 错误
知识点二
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
题型探究
例1 ④
跟踪训练1 ③
例2 2
跟踪训练2 C
例3 (0,1)∪(1，＋∞)
跟踪训练3 解 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.
根据题意，
得cos θ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7
当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则∴
∴实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．
当堂训练
1．C 2.C 3.D 4.C 5．(1)θ＝ (2)
课件27张PPT。§5 从力做的功到向量的数量积(二)第二章 平面向量学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.正确错误正确错误知识点二 平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”.梳理题型探究类型一 向量数量积的运算性质例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是____.解析 因为当两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.④答案解析向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是____.(填序号)③解析 (a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；
由[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0知，(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；
向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确.答案解析命题角度1 已知向量垂直求参数值
例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝__.类型二 平面向量数量积有关的参数问题2解析 由题意，将b·c＝b·[ta＋(1－t)b]整理，
得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝ ，所以t＝2.答案解析由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b?a·b＝0. 跟踪训练2 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k等于解析 因为a＝(k，3)，b＝(1，4)，
所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6).
因为(2a－3b)⊥c，
所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2，1)
＝2(2k－3)－6＝0，
解得k＝3.故选C.答案解析命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为_________________.(0，1)∪(1，＋∞)解析 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke ＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.答案解析由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a，b，θ∈[0， )?a·b>0，θ∈( ，π]?a·b<0.跟踪训练3 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，
若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解答解 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角.设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，当堂训练1.下面给出的关系式中正确的个数是
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A.1 B.2 C.3 D.4√23451解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2θ，故选C.答案解析23451答案解析2.已知|a|＝1，|b|＝ ，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是
A.60° B.30° C.135° D.45°√解析 ∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，∴〈a，b〉＝135°.3.已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，
若(a－mb)⊥a，则实数m的值为
A.1 B.0 C.2 D.3答案23451解析解析 由题意得(a－mb)·a＝0，a2＝ma·b，√234514.已知正三角形ABC的边长为1，设 ＝c， ＝a， ＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是答案解析√解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴3＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－ .解答234515.已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；解 ∵(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，解答23451(2)求向量a在a＋b上的射影.解 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝ .设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的射影为1.数量积对结合律不一定成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等.
2.在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.
3.在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0?a＝c.本课结束6 平面向量数量积的坐标表示
学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．
思考1 i·i，j·j，i·j分别是多少？
思考2 取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.
梳理 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________________.这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
知识点二 向量模的坐标表示
思考 若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．
梳理 设a＝(x，y)，则|a|2＝____________，或|a|＝____________.
知识点三 向量夹角的坐标表示
思考 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
梳理 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
(1)cos θ＝.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
知识点四 直线的方向向量
思考1 什么是直线的方向向量？
思考2 直线的方向向量唯一吗？
梳理 (1)给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
(2)对于直线l：Ax＋By＋C＝0，可取直线l的方向向量为m＝(1，－)(B≠0)，或取直线l的方向向量为m＝(B，－A)．
类型一 平面向量数量积的坐标表示
例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立．
跟踪训练1 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
类型二 向量的模、夹角问题
例2 在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点
A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝求两向量的模．
(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．
跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
类型三 向量垂直的坐标形式
例3 (1)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A. B．－ C. D．－
(2)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝____.
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
2．已知向量＝，＝，则∠ABC等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
4．已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝____________.
5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.
思考2 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
梳理 x1x2＋y1y2
知识点二
思考 ∵a＝xi＋yj，x，y∈R，
∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xy i·j＋(yj)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.
又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，
∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，
∴|a|＝.
梳理 x2＋y2
知识点三
思考 cos θ＝
＝.
知识点四
思考1 与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
思考2 不唯一．因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个．
题型探究
例1 解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
跟踪训练1 C
例2 解 (1)由＝(16,12)，
＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，
得||＝＝20，
||＝＝15.
(2)cos ∠OAB＝cos?，?
＝.
其中·＝－·
＝－(16,12)·(－21,3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
故cos ∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
跟踪训练2 解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴
即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
例3 (1)B (2)k＝－或或
跟踪训练3 －1
当堂训练
1．B 2.A 3.B 4. 5．(1) (2)λ＝
课件36张PPT。§6 平面向量数量积的坐标表示第二章 平面向量学习目标
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.
2.能根据向量的坐标计算向量的模.
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.答案思考1 i·i，j·j，i·j分别是多少？答案 i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.思考2 取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.答案答案 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.梳理x1x2＋y1y2知识点二 向量模的坐标表示思考 若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.答案答案 ∵a＝xi＋yj，x，y∈R，
∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xy i·j＋(yj)2
＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.
又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，
∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，
∴|a|＝ .设a＝(x，y)，则|a|2＝ ，或|a|＝ .梳理x2＋y2知识点三 向量夹角的坐标表示思考 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？答案设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则梳理(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.知识点四 直线的方向向量思考1 什么是直线的方向向量？答案答案 与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.思考2 直线的方向向量唯一吗？答案答案 不唯一.因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个.(1)给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
(2)对于直线l：Ax＋By＋C＝0，可取直线l的方向向量为m＝(1，－ )
(B≠0)，或取直线l的方向向量为m＝(B，－A).梳理题型探究类型一 平面向量数量积的坐标表示例1 已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；解 设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).解答(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解 ∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立. 跟踪训练1 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于
A.－1 B.0 C.1 D.2解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，
则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.答案解析例2 在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(－5，15).类型二 向量的模、夹角问题解答(2)求∠OAB.解答＝－(16，12)·(－21，3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，∴∠OAB＝45°.利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|＝ 求两向量的模.
(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值.跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，解答又∵a，b的夹角α为钝角，∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1). 例3 (1)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为类型三 向量垂直的坐标形式答案解析解析 由向量λa＋b与a－2b垂直，得
(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－ .(2)在△ABC中， ＝(2，3)， ＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值.解答利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(－2，3)，
C(2，－1)，若( －t )⊥ ，则实数t＝____.－1∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.答案解析当堂训练1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为√又∵a，b的夹角范围为[0，π]，答案解析2345123451答案解析A.30° B.45° C.60° D.120°√∴∠ABC＝30°.3.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1答案23451解析解析 因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)
＝－2λ－6＝0，
解得λ＝－3.√234514.已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量
b＝_______.答案解析解答5.已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b的夹角的余弦值；解 ∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，23451解 ∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝ .解答(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.234511.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.本课结束7 向量应用举例
学习目标 1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离公式.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．
知识点一 直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量
思考 类比直线的方向向量的定义，思考与直线l垂直的非零向量是否也是特殊向量？
梳理 (1)与直线的方向向量________的向量称为该直线的法向量．
(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝________，与直线l的法向量n同向的单位向量n0＝＝(，)．
知识点二 点到直线的距离公式
思考 n为直线l的法向量，P为直线l上任一点，点M是平面内一定点且不在直线l上，那么点M到直线l的距离d与向量，n有怎样的关系？
梳理 若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
知识点三 向量方法解决平面几何问题
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.
思考1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？
思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
梳理 (1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由____________表示出来．
(2)向量方法解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为____________．
②通过____________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
③把运算结果“________”成几何关系．
知识点四 向量方法解决物理问题
思考 向量的数量积与功有什么联系？
梳理 (1)物理上力做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．
(2)向量方法解决物理问题的步骤
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
类型一 平面向量在解析几何中的应用
例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
跟踪训练1 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线方程．
类型二 用平面向量求解平面几何问题
例2 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化．
跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
类型三 向量在物理中的应用
例3 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
跟踪训练3 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
1．已知在△ABC中，若＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.
4．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J.
5．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 是，为直线的法向量．
梳理 (1)垂直 (2)(A，B)
知识点二
思考 点M到直线l的距离d即为向量在向量n方向上的射影的绝对值，即d＝.
知识点三
思考1 可用向量共线的相关知识：
a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
思考2 可用向量垂直的相关知识：
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
梳理 (1)向量的线性运算及数量积 (2)①向量问题 ②向量运算 ③翻译
知识点四
思考 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
题型探究
例1 解 (1)由已知得点D(－1,1)，
E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥.
∴·＝0.
又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
跟踪训练1 解 ＝(3,4)，
＝(－8,6)，
∠A的平分线的一个方向向量为
a＝＋
＝＋
＝.
设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
∵∠A的平分线过点A，
∴∥a，
∴所求直线方程为
－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得7x＋y－29＝0.
例2 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)∵＝(－1,2)，＝(－2，－1)，
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(2,1)，∵∥，
∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为(，)．
∴||＝ ＝2＝||，
即AP＝AB.
跟踪训练2 证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1，
AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0，
∴⊥，即DP⊥EF.
方法二 如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
设正方形ABCD的边长为1，
AP＝λ(0<λ<)，
则D(0,1)，P(λ，λ)，E(λ，0)，F(1，λ)．
∴＝(λ，λ－1)，＝(1－λ，λ)，
∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，
∴⊥，即DP⊥EF.
例3 解 (1)＝(7,0)－(20,15)
＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.
∴合力F对质点所做的功为－102.
跟踪训练3 解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则F1＝(1，)，
F2＝(2，2)，
F3＝(－3,3)，
所以F＝F1＋F2＋F3
＝(2－2,2＋4)．
又因为位移s＝(4，4)，
所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．
即合力F所做的功为24 J.
当堂训练
1．A 2.A 3.10 4.300
5．解 如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.
课件39张PPT。§7 向量应用举例第二章 平面向量学习目标
1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离公式.
2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题及一些实际问题.
3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量答案类比直线的方向向量的定义，思考与直线l垂直的非零向量是否也是特殊向量？答案 是，为直线的法向量.思考 (1)与直线的方向向量 的向量称为该直线的法向量.
(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝ ，与直线
l的法向量n同向的单位向量 .梳理垂直(A，B)知识点二 点到直线的距离公式思考 n为直线l的法向量，P为直线l上任一点，点M是平面内一定点且不在直线l上，那么点M到直线l的距离d与向量 ，n有怎样的关系？答案答案 点M到直线l的距离d即为向量 在向量n方向上的射影的绝对值，即d＝ .若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝ .梳理知识点三 向量方法解决平面几何问题思考1 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.答案证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量共线的相关知识：
a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0).答案证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量垂直的相关知识：
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.思考2 (1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 表示出来.
(2)向量方法解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 .
②通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
③把运算结果“ ”成几何关系.梳理向量的线性运算及数量积向量问题翻译向量运算知识点四 向量方法解决物理问题思考 向量的数量积与功有什么联系？答案答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.(1)物理上力做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.
(2)向量方法解决物理问题的步骤
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.梳理题型探究类型一 平面向量在解析几何中的应用例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.
(1)求直线DE，EF，FD的方程；解 由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，解答∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程.
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.解 设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，解答∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.跟踪训练1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分线所在的直线方程.∠A的平分线的一个方向向量为解答设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
∵∠A的平分线过点A，整理得7x＋y－29＝0.例2 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；类型二 用平面向量求解平面几何问题证明证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).(2)AP＝AB.证明∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2.即AP＝AB.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化.跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.证明证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；类型三 向量在物理中的应用解答解 ＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，
W1＝F1· ＝(3，4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，
W2＝F2· ＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.解答＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.
∴合力F对质点所做的功为－102.物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.跟踪训练3 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.解答解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.当堂训练A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定1.已知在△ABC中，若 ＝a， ＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为√答案2345123451答案解析2.过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程为
A.2x＋y－7＝0 B.2x＋y＋7＝0
C.x－2y＋4＝0 D.x－2y－4＝0√即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为___ N.答案23451解析解析 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，
则由题意得F1，F2与－G都成60°角，且|F1|＝|F2|，
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.10 234514.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝____ J.答案解析300解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos 60°＝300(J).解答5.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.23451解 如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，
即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.234511.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.本课结束第二章 平面向量
学习目标 1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).4.了解向量形式的三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2.5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).8.数量积(点乘或内积)的概念：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，注意区别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法”．
1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向
量
的
线
性
运
算
加
法
a＋b＝________
减
法
a－b＝_________
数
乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0
λa＝__________
向量的数
量积运算
a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的射影的积
a·b＝________
2.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的________向量a，存在唯一对实数λ1，λ2，使a＝______________________.
②基底：把____________的向量e1，e2叫作表示这一平面内________向量的一组基底．
(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________．
3．向量的平行与垂直
a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
a∥b
有唯一实数λ使得
________________
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
类型一 向量的线性运算
例1 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．
跟踪训练1 在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得＝＋，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由．
类型二 向量的数量积运算
例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．
反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)
cos θ＝＝ .
跟踪训练2 已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用
例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小．
反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．
跟踪训练3 如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A. B. C. D．2
1．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于( )
A．2 B．－2
C．||cos A D．与菱形的边长有关
2．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )
A．20 B．15 C．9 D．6
3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m等于( )
A．2 B. C．0 D．－
4．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
5．平面向量a＝(，－1)，b＝，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
答案精析
知识梳理
1．三角形 平行四边行 (x1＋x2，y1＋y2) 三角形 (x1－x2，y1－y2) 相同 相反
(λx1，λy1) x1x2＋y1y2
2．(1)①不共线 任一 λ1e1＋λ2e2 ②不共线 所有 (2)b＝λa
3．b＝λa(a≠0) a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
题型探究
例1
跟踪训练1 解 假设存在D点，使得＝＋.
＝＋
?＝＋(＋)
＝＋
?－＝?＝
?＝×?＝，
所以当点D为AC的三等分点时，＝＋.
例2 解 (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2
＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，|b|
＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝＝.
(2)a·b＝＝(k＋)．
由函数的单调性可知，f(k)＝(k＋)在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，
∴当k＝1时，f(k)min
＝f(1)＝×(1＋1)＝，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，
∴θ＝60°.
跟踪训练2 解 (1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－(3＋m))，
∴＝(3,1)，＝(－m－1，－m)．
∵与不平行，
∴－3m≠－m－1，解得m≠，
∴当实数m≠时满足条件．
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，而＝(3,1)，＝(2－m，1－m)，
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.
例3 解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，
则B(－c,0)，＝(0，a)，＝(c，a)，＝(c,0)，＝(2c,0)．
因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，
所以＝(＋)＝，
同理＝.
因为⊥，所以·＝0，
即－＋＝0，化简得a2＝9c2.
又因为cos A＝＝
＝＝，
所以顶角A的余弦值为.
跟踪训练3 A
当堂训练
1．B 2.C 3.B 4.2
5．解 由a＝(，－1)，b＝，
得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1.
由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，即－4k＋t3－3t＝0，
所以k＝(t3－3t)，令f(t)＝(t3－3t)，
所以函数关系式为k＝f(t)＝(t3－3t)．
课件34张PPT。章末复习课第二章 平面向量学习目标
1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.
2.了解平面向量基本定理.
3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).
4.了解向量形式的三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2.5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).
6.向量的坐标概念和坐标表示法.
7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).
8.数量积(点乘或内积)的概念：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，注意区别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法”.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).三角形平行四边形(x1＋x2，y1＋y2)三角形(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)相同相反x1x2＋y1y22.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a，存在唯一对实数λ1，λ2，使a＝ .
②基底：把 的向量e1，e2叫作表示这一平面内 向量的一组基底.
(2)向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 .不共线任一λ1e1＋λ2e2不共线所有b＝λa3.向量的平行与垂直
a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).b＝λa(a≠0)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0题型探究答案解析类型一 向量的线性运算向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1 在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得 ，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由.解答类型二 向量的数量积运算解答例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ |a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.∴θ＝60°.解答数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝ .
②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)跟踪训练2 已知向量 ＝(3，－4)， ＝(6，－3)， ＝(5－m，－(3＋m)).
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；解答解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，解答(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.类型三 向量坐标法在平面几何中的应用解答例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)，因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性. 答案解析解析 由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，当堂训练1.在菱形ABCD中，若AC＝2，则 · 等于
A.2 B.－2
C.| |cos A D.与菱形的边长有关答案解析12345√＝－2＋0＝－2.A.20 B.15
C.9 D.6答案解析√解析 ?ABCD的图像如图所示，由题设知，12345123453.已知向量a＝(1， )，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为 ，则实数m等于答案解析√答案解析12345解析 由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，5.平面向量a＝( ，－1)，b＝ ，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t).得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1.
由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，
即－4k＋t3－3t＝0，解答123451.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.
2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.本课结束