1．1 不等关系
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.经历由具体实例建立不等式模型的过程，发展符号化能力．
知识点一 不等关系
思考1 限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
梳理 常见不等关系的表示方法：
(1)a大于b a____b；
(2)a小于b a____b；
(3)a不超过b a____b；
(4)a不小于b a____b.
知识点二 不等关系在数学意义上的体现
思考 函数f(x)，g(x)的图像如图，试用不等式表示f(x)，g(x)的不等关系．
梳理 在数学意义上，不等关系可以体现：
(1)常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；
(2)变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；
(3)函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)，即f(x)____g(x)；
(4)一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元，即60x＋30y____2 000.
类型一 用不等式表示不等关系
例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．
跟踪训练1 根据《道路交通安全法》规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.某驾驶员血液中酒精含量为0.3 mg/mL.以每小时25%的速度减少，设他应至少经过x小时才能开车，试用不等式表示x应满足的关系．
类型二 用不等式组表示不等关系
例2 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．请写出满足上述所有不等关系的不等式．
反思与感悟 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，才可用不等关系表示；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
跟踪训练2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120或d≥10
B.
C．v≤120
D．d≥10
2．某种植物适宜生长的温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100 m，气温下降0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃，用不等式表示该植物种在山区适宜的高度为____________________．(不求解)
3．如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．
1．现实生活中存在着大量不等关系，用不等式表达这些关系时要准确理解题意，严格区分数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．
2．建立不等关系模型时，首先要找到并设好基本量，再用这些基本量去表示其他量．关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，并注意变量的实际意义．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 v≤40.
梳理 (1)＞ (2)< (3)≤ (4)≥
知识点二
思考 0≤x
x≥a时，f(x)≥g(x)．
梳理 (3)> (4)≤
题型探究
例1 解 设杂志社的定价为x元，
则销售的总收入为x万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20.
跟踪训练1 解 由题意知，血液中的酒精每小时减少25%，
则一小时后剩余0.3×(1－25%)，
两小时后剩余[0.3×(1－25%)]×(1－25%)＝0.3×(1－25%)2，
∴x小时剩余0.3×(1－25%)x.
依题意有0.3×(1－25%)x≤0.09，即为x应满足的关系．
例2 解 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：
(1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm；
(2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负．
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
跟踪训练2 解 设软件数为x，磁盘数为y，据题意可得
当堂训练
1．B 2.18≤22－≤20
3．解 由题意，得
课件22张PPT。第三章 不等式§1.1 不等关系1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.经历由具体实例建立不等式模型的过程，发展符号化能力.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 不等关系v≤40.答案限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？梳理 常见不等关系的表示方法：
(1)a大于b a b；
(2)a小于b a b；
(3)a不超过b a b；
(4)a不小于b a b.＞<≤≥知识点二 不等关系在数学意义上的体现思考 0≤xx≥a时，f(x)≥g(x).函数f(x)，g(x)的图像如图，试用不等式表示f(x)，g(x)的不等关系.答案梳理 在数学意义上，不等关系可以体现：
(1)常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；
(2)变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；
(3)函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)，即f(x) g(x)；
(4)一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元，即60x＋30y 2 000.>≤题型探究类型一 用不等式表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？设杂志社的定价为x元，
解答数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范.跟踪训练1 根据《道路交通安全法》规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.某驾驶员血液中酒精含量为0.3 mg/mL.以每小时25%的速度减少，设他应至少经过x小时才能开车，试用不等式表示x应满足的关系.由题意知，血液中的酒精每小时减少25%，
则一小时后剩余0.3×(1－25%)，
两小时后剩余[0.3×(1－25%)]×(1－25%)
＝0.3×(1－25%)2，
∴x小时剩余0.3×(1－25%)x.
依题意有0.3×(1－25%)x≤0.09，即为x应满足的关系.解答类型二 用不等式组表示不等关系例2 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍.请写出满足上述所有不等关系的不等式.解答设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：
(1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm；
(2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，才可用不等关系表示；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示.另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一.跟踪训练2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，问：软件数与磁盘数应满足什么条件？解答
设软件数为x，磁盘数为y，据题意可得
当堂训练最大限速与车距是同时的，故选B.1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为
A.v≤120或d≥10
B.
C.v≤120
D.d≥10答案解析123√2.某种植物适宜生长的温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100 m，气温下降0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃，用不等式
表示该植物种在山区适宜的高度为_________________.(不求解)123设该植物适宜的种植高度为x m，由题意，
答案解析3.如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.写出L与W的关系.123解答由题意，得
1.现实生活中存在着大量不等关系，用不等式表达这些关系时要准确理解题意，严格区分数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”.
2.建立不等关系模型时，首先要找到并设好基本量，再用这些基本量去表示其他量.关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，并注意变量的实际意义.本课结束1.2 不等关系与不等式(一)
学习目标 1.实数比较大小的方法.2.通过解决具体问题，培养严谨的思维习惯．
知识点一 作差法比较两个实数大小的原理
思考 2x与x2＋1谁大谁小容易确定吗？x2＋1－2x与0的大小关系呢？
梳理 一般地，可以通过比较a－b与0的大小来比较a与b的大小，其原理是：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a知识点二 比较两个实数大小的依据
思考 有同学借助一个中间量：x－1梳理 一般地，比较两个实数的大小，常需要对两个实数变形．为不改变它们的大小关系，需遵循不等式的性质进行变形．常用的依据有：
(1)如果a>b，那么a＋c>b＋c.加法性质
(2)如果a>b，c>0，那么ac>bc.
(3)如果a>b，c<0，那么ac类型一 比较大小
命题角度1 作差法比较大小
例1 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
跟踪训练1 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．
命题角度2 作商法比较大小
例2 若0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系．
反思与感悟 作商法的依据：若b＞0，则＞1?a＞b.
跟踪训练2 若a＞b＞0，比较aabb与abba的大小．
类型二 作差法在数学中的应用
例3 利用作差法证明下列问题．
(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．
(2)若a1>0,0反思与感悟 作差法判断函数的增减性在数学中有着广泛的应用．
跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
类型三 作差法在实际问题中的应用
例4 一般的人，下半身长与全身长的比值在0.57～0.60之间，当这个比值越接近黄金分割值0.618时，人的身材就越好．设某人下半身长为b(cm)，全身长为a(cm)，请问这个人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？
反思与感悟 用数学方法解决实际问题，通常要先把条件目标用式子表示出来，把问题抽象成数学模型，再予以解决．
跟踪训练4 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1和t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n.
(1)令路程为1，请用m，n表示出t1和t2；
(2)判断谁先到达B地．
1．若a>b且c>d，则a＋c与b＋d的大小关系是________________．
2．已知M＝2(a2＋b2)，N＝2a－4b＋2ab－7，且a，b∈R，则M，N的大小关系为________________．
3．已知a≠1，试比较与1＋a的大小．
1．比较大小：(1)步骤：作差→变形→判断符号→下结论．(2)关键点：“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．“变形”的常用方法有通分、配方、因式分解等．
2．应用：应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题，要先把条件目标用式子表示出来，并注意实际问题对式子范围的影响．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 因为2x与x2＋1两个式子都在变化，谁大谁小不容易确定．而x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，大小关系容易确定．
知识点二
思考 这种方法对．其依据是不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c.
题型探究
例1 解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
跟踪训练1 解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)[(x－)2＋]，
∵(x－)2＋＞0，x－1＜0，
∴(x－1)[(x－)2＋]＜0，
∴x3－1＜2x2－2x.
例2 解 ＝＝，
∵0＜x＜1，
∴＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)，
∵1－x2＝(1＋x)(1－x)＜1，且1－x＞0，
∴1＋x＜，
∴log(1＋x)＞1，即＞1，
∴|loga(1＋x)|＜|loga(1－x)|.
跟踪训练2 解 ＝aa－bbb－a＝()a－b，
∵a＞b＞0，∴＞1，a－b＞0，
∴()a－b＞1，即＞1，
又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.
例3 证明 (1)对于任意的x2>x1>0，有
y1－y2＝x－x＝(x1－x2)(x1＋x2)．
∵0∴x1－x2<0，x1＋x2>0，
∴(x1－x2)(x1＋x2)<0，
即y1－y2<0，
∴函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵a1>0,0∴an＋1－an＝a1qn－a1qn－1
＝a1qn－1(q－1)<0(n∈N＋)，
故等比数列{an}是递减数列．
跟踪训练3 C [设bn＝2a1an，则bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则bn>bn＋1，即2a1an>2a1an＋1.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，
即a1(－d)>0，∴a1d<0.]
例4 解 没穿高跟鞋前下半身与全身长之比为，穿高跟鞋后下半身与全身长之比为，
已知a，b，m都是正数，且a>b，则
－＝
＝＝.
∵a，b，m都是正整数，且a>b，
∴m>0，m＋a>0，a>0，a－b>0，
∴－>0，
故>，
即穿上高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加．
跟踪训练4 解 (1)t1×m＋t1×n＝1?t1＝，
t2＝＋＝.
(2)t1－t2＝－
＝
＝－<0，
故t1当堂训练
1．a＋c>b＋d 2.M>N
3．解 －(1＋a)＝.
①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.
②当a<1且a≠0时，>0，∴>1＋a.
③当a>1时，<0，∴<1＋a.
综上所述，当a＝0时，＝1＋a；
当a<1且a≠0时，>1＋a；
当a>1时，<1＋a.
课件34张PPT。第三章 不等式§1.2 不等关系与不等式(一)1.实数比较大小的方法.
2.通过解决具体问题，培养严谨的思维习惯. 学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 作差法比较两个实数大小的原理因为2x与x2＋1两个式子都在变化，谁大谁小不容易确定.而x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，大小关系容易确定.答案2x与x2＋1谁大谁小容易确定吗？x2＋1－2x与0的大小关系呢？梳理 一般地，可以通过比较a－b与0的大小来比较a与b的大小，其原理是：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，ab，b>c，则a>c.有同学借助一个中间量：x－1(1)如果a>b，那么a＋c>b＋c.加法性质
(2)如果a>b，c>0，那么ac>bc.
(3)如果a>b，c<0，那么ac例1 已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.解答比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.跟踪训练1 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.解答∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
命题角度2 作商法比较大小
例2 若0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系.解答∵0＜x＜1，∵1－x2＝(1＋x)(1－x)＜1，且1－x＞0，∴|loga(1＋x)|＜|loga(1－x)|.作商法的依据：若b＞0，则 ＞1?a＞b.跟踪训练2 若a＞b＞0，比较aabb与abba的大小.解答又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.类型二 作差法在数学中的应用例3 利用作差法证明下列问题.
(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数.证明对于任意的x2>x1>0，有
∵0∴x1－x2<0，x1＋x2>0，
∴(x1－x2)(x1＋x2)<0，
即y1－y2<0，
∴函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数.(2)若a1>0,00,0∴an＋1－an＝a1qn－a1qn－1
＝a1qn－1(q－1)<0(n∈N＋)，
故等比数列{an}是递减数列.作差法判断函数的增减性在数学中有着广泛的应用. 跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d.若数列{ }为递减数列，则
A.d<0 B.d>0
C.a1d<0 D.a1d>0设bn＝ ，则bn＋1＝ ，由于{ }是递减数列，则bn>bn＋1，即
> .∵y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.答案解析类型三 作差法在实际问题中的应用例4 一般的人，下半身长与全身长的比值在0.57～0.60之间，当这个比值越接近黄金分割值0.618时，人的身材就越好.设某人下半身长为b(cm)，全身长为a(cm)，请问这个人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？解答已知a，b，m都是正数，且a>b，则∵a，b，m都是正整数，且a>b，
∴m>0，m＋a>0，a>0，a－b>0，即穿上高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加.用数学方法解决实际问题，通常要先把条件目标用式子表示出来，把问题抽象成数学模型，再予以解决.跟踪训练4 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1和t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n.
(1)令路程为1，请用m，n表示出t1和t2；解答(2)判断谁先到达B地.解答故t1∵a>b且c>d，∴a－b>0，c－d>0，
∴(a＋c)－(b＋d)>0，
∴a＋c>b＋d.1.若a>b且c>d，则a＋c与b＋d的大小关系是_________.答案解析123a＋c>b＋d2.已知M＝2(a2＋b2)，N＝2a－4b＋2ab－7，且a，b∈R，则M，N的大小关系为_____.123∵M－N＝2(a2＋b2)－(2a－4b＋2ab－7)
＝(a2－2a＋1)＋(b2＋4b＋4)＋(a2－2ab＋b2)＋2
＝(a－1)2＋(b＋2)2＋(a－b)2＋2>0，
∴M>N.答案解析M>N3.已知a≠1，试比较 与1＋a的大小.123解答1231231.比较大小：(1)步骤：作差→变形→判断符号→下结论.(2)关键点：“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少.“变形”的常用方法有通分、配方、因式分解等.
2.应用：应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题，要先把条件目标用式子表示出来，并注意实际问题对式子范围的影响.本课结束1.2 不等关系与不等式(二)
学习目标 1.掌握不等式性质推导及应用.2.通过解决具体问题，培养严谨的思维习惯．
知识点一 不等式的性质
思考 由a>b，c>d能推出ac>bd吗？
梳理 一般地，不等式有下列性质，但要注意其成立条件：
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a____c；
(3)可加性：a>b?a＋c____b＋c；a>b，c>d?a＋c____b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0?ac____bc；
a>b>0，c>d>0?ac____bd；
(5)可乘方：a>b>0?an____bn(n∈N＋)；
(6)可开方：a>b>0?____(n∈N＋)．
知识点二 常用推论
思考 由a>b能推出<吗？
梳理 一般地，加上适当的条件，有下列推论：
(1)a>b，ab>0?____.
(2)a>b>0，m>0?____.
类型一 不等式性质的证明
例1 求证a>b>0，c>d>0?ac>bd.
反思与感悟 证明不等式讲究言必有据，此处证明主要用了不等式的传递性．除此之外，还可用作差法证明．
跟踪训练1 利用不等式的性质“如果a>b>0，n∈N＋，则an>bn”推导“如果a>b>0，n∈N＋，则>”．
类型二 不等式性质的应用
命题角度1 求取值范围
例2 已知－<α<β<，求，的取值范围．
反思与感悟 (1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件α<β；(2)注意“α－β”形式，要利用不等式性质转化为同向不等式相加，而不能臆造同向不等式相减．
跟踪训练2 已知－1命题角度2 比较大小
例3 若<<0，则下列不等式中：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号)
反思与感悟 用不等式性质比较大小，一方面要选用不等式性质从条件走到目标，另一方面要确保使用每一条不等式性质时，该性质所要求的条件都具备．
跟踪训练3 设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
1．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
2．已知a<0，－13．已知a>b>0，且c>d>0，则与的大小关系是________．
1．用同向不等式求差的范围
??a－d这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．
2．倒数关系在不等式中的作用
?<；?>.
3．失误与防范
(1)a>b?ac>bc或a(2) a>b?<或a，当ab≤0时不成立．
(3)a>b?an>bn对于正数a、b、n才成立．
(4)>1?a>b，对于正数a、b才成立．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 不能．如－1>－2，－2>－4，但(－1)×(－2)<(－2)×(－4)．
梳理 (2)> (3)> > (4)> > (5)> (6)>
知识点二
思考 不能．例如2>－1，但>－1.
梳理 (1)< (2)<
题型探究
例1 证明 ?ac>bd.
跟踪训练1 证明 假设>不成立，则有<或＝(a>b>0，n∈N＋)．
若<，则()n<()n，即a若＝，则()n＝()n，即a＝b.
这都与a>b矛盾．∴>.
即如果a>b>0，n∈N＋，则>.
例2 解 因为－<α<β<，
所以－<<，－<<.
所以－<<，－<－<.
因为α<β，所以<0，故－<<0.
综上，－<<.
－<<0.
跟踪训练2 (3,8)
解析 设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
∴解得
∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
∵－1∴－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<，
∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8，
即3<2x－3y<8，∴z＝2x－3y的取值范围为(3,8)．
例3 ①③
解析 由<<0知a<0，b<0，
∴ab>0.
不等式两端同乘以ab，得b∴<0，>0，①对；
∵b由得a－>b－，③对；
∵b跟踪训练3 B [∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.]
当堂训练
1．D 2.ab>ab2>a 3.>
课件29张PPT。第三章 不等式§1.2 不等关系与不等式(二)1.掌握不等式性质推导及应用.
2.通过解决具体问题，培养严谨的思维习惯.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 不等式的性质不能.如－1>－2，－2>－4，但(－1)×(－2)<(－2)×(－4).答案由a>b，c>d能推出ac>bd吗？梳理 一般地，不等式有下列性质，但要注意其成立条件：
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a c；
(3)可加性：a>b?a＋c b＋c；a>b，c>d?a＋c b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0?ac bc；
a>b>0，c>d>0?ac bd；
(5)可乘方：a>b>0?an bn(n∈N＋)；
(6)可开方：a>b>0? (n∈N＋).>>>>>>> 知识点二 常用推论思考 不能.例如2>－1，但 >－1.答案梳理 一般地，加上适当的条件，有下列推论：
(1)a>b，ab>0? .
(2)a>b>0，m>0? .<< 题型探究类型一 不等式性质的证明例1 求证a>b>0，c>d>0?ac>bd.证明证明不等式讲究言必有据，此处证明主要用了不等式的传递性.除此之外，还可用作差法证明.跟踪训练1 利用不等式的性质“如果a>b>0，n∈N＋，则an>bn”推导“如果a>b>0，n∈N＋，则 > ”.证明类型二 不等式性质的应用命题角度1 求取值范围解答(1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件α<β；(2)注意“α－β”形式，要利用不等式性质转化为同向不等式相加，而不能臆造同向不等式相减.跟踪训练2 已知－1∵－1即0A.x2ax>a2
C.x2a2>ax答案解析∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.当堂训练1.设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：123其中所有的正确结论的序号是
A.① B.①②
C.②③ D.①②③√答案解析123构造函数y＝xc.∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数.又a>b>1，∴ac∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.
∵a>b>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，
即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确.2.已知a<0，－1又a<0，∴ab>ab2>a.答案解析ab>ab2>a123答案解析1.用同向不等式求差的范围这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.
2.倒数关系在不等式中的作用3.失误与防范
(1)a>b?ac>bc或ab?an>bn对于正数a、b、n才成立.本课结束2．1 一元二次不等式的解法
学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想．
知识点一 一元二次不等式的概念
思考 我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么你能写出不等式x2>1的解集吗？
梳理 (1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．
(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集．
知识点二 “三个二次”的关系
思考 分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．
梳理 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
?
知识点三 一元二次不等式的解法
思考 根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.
梳理 解一元二次方程的步骤
解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；
(3)由图像得出不等式的解集．
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0
例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集．
反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像．
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
命题角度2 二次项系数小于0
例2 解不等式－x2＋2x－3>0.
反思与感悟 将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处．
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集．
命题角度3 含参数的二次不等式
例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
反思与感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．
跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
反思与感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|11．不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A. B．{x|x＞1}
C．{x|x＜1或x＞2} D.
2．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
3．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A．1 B．2 C．3 D．4
4．不等式x2＋x－2<0的解集为_________________________________________________．
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；
③由图像得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1 答案精析
问题导学
知识点一
思考 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集．
知识点二
思考 x2－1>0y＝x2－1x2－1＝0.
梳理 有两相异实根x1，x2(x1x2} {x|x1知识点三
思考 先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}．
题型探究
例1 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，
所以原不等式的解集为.
跟踪训练1 解 ∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是
{x|x≤－或x≥2}．
例2 解 不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是?.
跟踪训练2 解 不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－，x2＝1＋，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是
{x|1－例3 解 当a＜0时，不等式可化为
(x－)(x－1)＞0，
∵a＜0，∴＜1，
∴不等式的解集为{x|x＜或x＞1}．
当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}．
当a＞0时，不等式可化为
(x－)(x－1)＜0.
当0＜a＜1时，＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜}．
当a＝1时，不等式的解集为?.
当a＞1时，＜1，不等式的解集为
{x|＜x＜1}．
综上，当a＜0时，解集为{x|x＜或x＞1}；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜}；
当a＝1时，解集为?；
当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}．
跟踪训练3 解 当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，原不等式无解．
综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，解集为?.
例4 解 由根与系数的关系，可得
即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0，解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
跟踪训练4 解 方法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知解得
方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得解得
当堂训练
1．D 2.B 3.C 4.{x|－25．解 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时解集为R.
当a－2≠0时，由题意得
即解得－2综上所述，a的取值范围为(－2,2]．
课件38张PPT。§2.1 一元二次不等式的解法第三章 不等式1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图像法解一元二次不等式.
3.体会数形结合、分类讨论思想.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 一元二次不等式的概念不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.答案我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗？梳理 (1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.
(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集.知识点二 “三个二次”的关系思考 分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系.答案梳理 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.有两相异实根
x1，x2(x1x2}{x|x13x.先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.答案解一元二次方程的步骤
解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；
(3)由图像得出不等式的解集.梳理 题型探究类型一 一元二次不等式的解法命题角度1 二次项系数大于0
例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集.解答因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝ ，
所以原不等式的解集为 .
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像.跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集.解答∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－ ，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是
{x|x≤－ 或x≥2}.命题角度2 二次项系数小于0
例2 解不等式－x2＋2x－3>0.解答不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是?.将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处.跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集.解答不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是命题角度3 含参数的二次不等式
例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.解答当a＝0时，不等式即－x＋1＜0，解集为{x|x＞1}.解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.解答当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，原不等式无解.
综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，解集为?.类型二 “三个二次”间对应关系的应用例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.解答由根与系数的关系，可得
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|10，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，当堂训练1.不等式2x2－x－1>0的解集是答案解析123√45∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，
123452.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是√答案解析12345∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥ 或x≤ .3.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A.1 B.2 C.3 D.4√答案解析12345由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.
∴－7×(－1)＝ ，故a＝3.4.不等式x2＋x－2<0的解集为___________.答案解析由x2＋x－2<0，得－2故其解集为{x|－2所以a＝2时解集为R.
12345解答解得－2(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；
③由图像得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m有口诀如下：大于取两边，小于取中间.2.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1学习目标 1.会解简单的分式不等式和高次不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
知识点一 分式不等式的解法
思考 >0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
梳理 一般的分式不等式的同解变形法则：
(1)>0?________；
(2)≤0?
(3)≥a?≥0.
知识点二 穿针引线法解高次不等式
思考 分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的图像，并观察它们与相应的x－1>0，(x－1)(x－2)>0，(x－1)(x－2)(x－3)>0的关系．
梳理 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集．
知识点三 一元二次不等式恒成立问题
思考 x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？
梳理 一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像全部在x轴____方．区间[a，b] 是不等式f(x)>0的解集的________．
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立?k≥________；
若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立?k≤________.
类型一 一元二次不等式在生活中的应用
例1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h)
反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练1 在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲，乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，
S乙＝0.05x＋0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任．
类型二 分式不等式和高次不等式的解法
例2 解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1；
(3)(3x－1)(x＋3)(x＋1)<0.
反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可以．
跟踪训练2 解下列不等式．
(1)≥0；
(2)>1；
(3)≥0.
类型三 不等式的恒成立问题
例3 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．
跟踪训练3 当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
2．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
3．解不等式≥0.
4．解下列不等式：
(1)≥0； (2)>1.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a3．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
4．用穿针引线法解不等式时注意先把各因式中x的系数化为正数．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
梳理 (1)f(x)·g(x)>0 (2)f(x)·g(x)≤0 g(x)≠0
知识点二
思考
图像
y>0
解集
(1，＋∞)
(－∞，1) ∪(2，＋∞)
(1,2) ∪(3，＋∞)
不等式的解集恰是对应图像当y>0时相应的横坐标集合．
梳理 x轴的一个交点 (c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)
知识点三
思考 x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图像恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．
梳理 上 子集 f(x)max f(x)min
题型探究
例1 解 设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，
根据题意，得x＋x2>39.5.
移项整理，得x2＋9x－7 110>0.
显然Δ>0，x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，
即x1≈－88.94，x2≈79.94.
然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7 110的图像，
得不等式的解集为{x|x<－88.94或x>79.94}．
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.
跟踪训练1 解 由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01x2甲>12，
S乙＝0.05x乙＋0.005x2乙>10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
例2 解 (1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4.
∴原不等式的解集为.
(3)令(3x－1)(x＋3)(x＋1)＝0，得x1＝－3，x2＝－1，x3＝.如图穿针引线．
(3x－1)(x＋3)(x＋1)<0的解集为(－∞，－3)∪(－1，)．
跟踪训练2 解 (1)原不等式可化为
解得
∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为
.
(2)方法一 原不等式可化为
或
解得或
∴－3∴原不等式的解集为
.
方法二 原不等式可化为
>0，化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集为
.
(3)原不等式可化为
令(3x＋1)(2x－1)(x－1)＝0，
得x1＝－，x2＝，x3＝1.
如图穿针引线：
由图知
的解集为(－∞，－)∪[，1]．
例3 解 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，?－4∴－4(2)方法一 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
就要使m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，
∴0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
综上所述：m<.
方法二 当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋>0，
又m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可．
跟踪训练3 (－∞，－5]
解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有???m≤－5.
当堂训练
1．D 2.C
3．解 原不等式可化为
令(x－)(x－1)(x－2)＝0，
得x1＝，x2＝1，x3＝2.
穿针引线如图：
由图知，解集为(－∞，]∪[1,2)．
4．解 (1)原不等式等价于
解得x≤1或x>2，
∴原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}．
(2)原不等式可改写为＋1<0，即<0，
∴(6x－4)(4x－3)<0，
∴∴原不等式的解集为.
课件43张PPT。§2.2 一元二次不等式的应用第三章 不等式1.会解简单的分式不等式和高次不等式.
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 分式不等式的解法等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式. >0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将 >0变形为(x－3)(x＋
2)>0，有什么好处？答案梳理 一般的分式不等式的同解变形法则：
(1) >0? ；
(2) ≤0?
(3) ≥a? ≥0. ，
；f(x)·g(x)>0f(x)·g(x)≤0g(x)≠0知识点二 穿针引线法解高次不等式思考 分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的图像，并观察它们与相应的x－1>0，(x－1)(x－2)>0，(x－1)(x－2)(x－3)>0的关系.答案不等式的解集恰是对应图像当y>0时相应的横坐标集合.梳理 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0).再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集.x轴的一个交点(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)知识点三 一元二次不等式恒成立问题思考 x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图像恒在x轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集.x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？答案梳理 一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像全部在x轴 方.区间[a，b]是不等式f(x)>0的解集的 .
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
若f(x)有最大值，则k≥f(x)恒成立?k≥ ；
若f(x)有最小值，则k≤f(x)恒成立?k≤ .上子集f(x)maxf(x)min题型探究类型一 一元二次不等式在生活中的应用例1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝ x＋
x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h)解答设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，
移项整理，得x2＋9x－7 110>0.
显然Δ>0，x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，
即x1≈－88.94，x2≈79.94.
然后，根据二次函数y＝x2＋9x－7 110的图像，
得不等式的解集为{x|x<－88.94或x>79.94}.
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01 >12，
S乙＝0.05x乙＋0.005 >10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.跟踪训练1 在一个限速40 km/h的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲，乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，
S乙＝0.05x＋0.005x2.问谁应负超速行驶主要责任.解答类型二 分式不等式和高次不等式的解法例2 解下列不等式：解答
<0?(x－3)(x＋2)<0?－2∴原不等式的解集为{x|－2(3)(3x－1)(x＋3)(x＋1)<0.解答(3x－1)(x＋3)(x＋1)<0的解集为(－∞，－3)∪(－1， ).分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型 >0(<0)或
≥0(≤0)，再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可以.跟踪训练2 解下列不等式.解答解答解答令(3x＋1)(2x－1)(x－1)＝0，如图穿针引线：类型三 不等式的恒成立问题例3 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；解答要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
∴－4当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
方法二 当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解.跟踪训练3 当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是___________.构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立.
(－∞，－5]答案解析当堂训练由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是
A.m≥2 B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2答案解析123√42.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A.100台 B.120台
C.150台 D.180台√1234y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).答案解析3.解不等式 ≥0.1234解答
原不等式可化为
1234穿针引线如图：由图知，解集为(－∞， ]∪[1,2).12344.解下列不等式：解答解得x≤1或x>2，
∴原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}.1234解答∴(6x－4)(4x－3)<0，1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a4.用穿针引线法解不等式时注意先把各因式中x的系数化为正数.本课结束3．1 基本不等式
学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
知识点一 算术平均数与几何平均数
思考 如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？
梳理 如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．其中称为a，b的________平均数，称为a，b的________平均数．两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点二 基本不等式及其常见推论
思考 如何证明不等式≤(a>0，b>0)?
梳理 ≤(a>0，b>0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：
(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；
(2)＋≥2(a，b同号)；
(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
类型一 常见推论的证明
引申探究
证明不等式()2≤(a，b∈R)．例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
反思与感悟 (1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R，与基本不等式不同．
(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．
跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
类型二 用基本不等式证明不等式
例2 已知x，y都是正数．
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
反思与感悟 在(1)的证明中把，分别看作基本不等式中的a，b从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．
跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
类型三 用基本不等式比大小
例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
反思与感悟 基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．
跟踪训练3 设a＞b＞1，P＝，Q＝，
R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是( )
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
1．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．5
2．若0A．a>>>b
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
3．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4 C．2 D．8
4．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；
③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________．(填序号)
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 PO＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQ·QB，即PQ＝，显然，≥.
梳理 算术 几何
知识点二
思考 ∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a＋b≥2，
∴≤，
当且仅当a＝b时，等号成立．
题型探究
例1 证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
引申探究
证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
两边同除以4，即得()2≤，当且仅当a＝b时，取等号．
跟踪训练1 证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
例2 证明 (1)∵x，y都是正数，
∴>0，>0，
∴＋≥2＝2，即＋≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立．
(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，
x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
跟踪训练2 证明 ∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
例3 B [第二年的产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．
若平均增长率为x，则第三年产量为
A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a＞0，b＞0，x＞0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，
∴1＋x≤＝1＋，
∴x≤.]
跟踪训练3 B [∵a＞b＞1，
∴lg a＞lg b＞0，
∴＞，
即Q＞P.①
又＞，
∴lg ＞lg＝(lg a＋lg b)，
即R＞Q.②
综合①②，有P＜Q＜R.]
当堂训练
1．C 2.C 3.B 4.①②③
课件31张PPT。§3.1 基本不等式第三章 不等式1.理解基本不等式的内容及证明.
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 算术平均数与几何平均数如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案梳理 如果a，b都是非负数，那么 ≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立.其中 称为a，b的 平均数， 称为a，b的 平均数.两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.算术几何知识点二 基本不等式及其常见推论思考 答案梳理 题型探究类型一 常见推论的证明例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.引申探究证明由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
(1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R，与基本不等式不同.
(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法.∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明类型二 用基本不等式证明不等式例2 已知x，y都是正数.证明当且仅当x＝y时，等号成立.(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.解答即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立.在(1)的证明中把 ，分别看作基本不等式中的a，b从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号.跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 类型三 用基本不等式比大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则答案解析第二年的产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a＞0，b＞0，x＞0，
基本不等式 一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和. 跟踪训练3 设a＞b＞1，P＝ ，Q＝ ，R＝ ，
则P，Q，R的大小关系是
A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R
C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q答案解析∵a＞b＞1，
∴lg a＞lg b＞0，
即Q＞P. ①即R＞Q. ②
综合①②，有P＜Q＜R.当堂训练∵a>0，b>0，
1.已知a>0，b>0，则 的最小值是
A.2 B. C.4 D.5答案解析123√42.若0答案解析12344.设a>0，b>0，给出下列不等式：①②③答案解析1234故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.12342. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.本课结束3.2 基本不等式与最大(小)值
学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
知识点一 基本不等式及变形
思考 使用基本不等式证明：≤(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立．
梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．
当a>0，b>0时，有____________ ；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．
知识点二 用基本不等式求最值
思考 因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.
以上说法对吗？为什么？
梳理 基本不等式求最值的注意事项
(1)x，y必须是________；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为________；
(3)等号成立的条件是否满足．
使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．
类型一 基本不等式与最值
例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且 ＋＝1，求x＋y的最小值．
跟踪训练1 (1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
类型二 基本不等式在实际问题中的应用
命题角度1 几何问题的最值
例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？
命题角度2 生活中的最优化问题
引申探究
若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？
例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
1．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
3．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )
A．0 B．4 C．－4 D．－2
4．已知01．用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．
2．求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，
∴≤，
即≤(a>0，b>0)，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．
梳理 ≤ ≤ ≤ a＝b
知识点二
思考 错．显然(x2＋1)min＝1.
x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点．
梳理 (1)正数 (2)定值 定值
题型探究
例1 解 (1)当x>0时，x＋≥2 ＝4，
当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∵∈.
∴函数y＝4x(3－2x)(0(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋＝x－2＋＋2
≥2 ＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
∴x＋的最小值为6.
(4)方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10
≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二 由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
由＋＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
跟踪训练1 解 (1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，
当且仅当3x＝，即x＝2时取等号，
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3
＝－＋3
≤－2＋3
＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．
∴f(x)的最大值为－1.
(3)方法一 由2x＋8y－xy＝0，
得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10
≥2 ＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2 ＋10＝18.
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
例2 解 (1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
由≥，可得x＋y≥2，
2(x＋y)≥40.
当且仅当x＝y＝10时等号成立．
所以这个矩形的长，宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.
(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
由≤＝＝9，可得xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
所以这个矩形的长，宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.
跟踪训练2 解 设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m.
又设水池总造价为y元，根据题意，得
y＝150×＋120×(2×3x＋2×3×)
＝240 000＋720×
≥240 000＋720×2
＝297 600(元)，
当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297 600.
所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元．
例3 解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809
≥2 ＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
引申探究
解 设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1＜x2.
则(9x1＋＋10 809)－(9x2＋＋10 809)
＝9(x1－x2)＋900(－)
＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
∵15≤x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞225，
∴(x1－x2)＜0，
即y＝9x＋＋10 809在[15，＋∞)上为增函数．
∴当x＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少．
跟踪训练3 8
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋
≥2 ＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，
所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时．
当堂训练
1．D 2.C 3.C 4.2－2
课件43张PPT。§3.2 基本不等式与最大(小)值第三章 不等式1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 基本不等式及变形使用基本不等式证明： (a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立.答案梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.当a>0，b>0时，有 ；
当且仅当 时，以上三个等号同时成立.≤≤≤a＝b知识点二 用基本不等式求最值思考 错.显然(x2＋1)min＝1.
x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点.因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.
以上说法对吗？为什么？答案梳理 基本不等式求最值的注意事项
(1)x，y必须是 ；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 ；
(3)等号成立的条件是否满足.
使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错.正数定值定值题型探究类型一 基本不等式与最值例1 若x>0，求函数y＝x＋ 的最小值，并求此时x的值；解答(2)设02，求x＋ 的最小值；解答∵x>2，∴x－2>0，
(4)已知x>0，y>0，且 ＝1，求x＋y的最小值.解答即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧；三是考虑等号成立的条件是否具备.跟踪训练1 (1)已知x>0，求f(x)＝ ＋3x的最小值；解答∴f(x)的最小值为12.∵x<3，∴x－3<0，
(2)已知x<3，求f(x)＝ ＋x的最大值；解答∴f(x)的最大值为－1.(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值.解答方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∴x＋y的最小值是18.等号成立.∴x＋y的最小值是18.类型二 基本不等式在实际问题中的应用命题角度1 几何问题的最值
例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解答设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.
当且仅当x＝y＝10时等号成立.
所以这个矩形的长，宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解答当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
所以这个矩形的长，宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解答又设水池总造价为y元，根据题意，得当且仅当x＝ ，即x＝40时，y取得最小值297 600.
所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为
297 600元.命题角度2 生活中的最优化问题
例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解答设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y元，
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.引申探究
若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解答设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1＜x2.
∵15≤x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞225，
∴当x＝15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少.应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于 千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要__小时.答案解析8设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.当堂训练答案解析123√42.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m√1234答案解析A.0 B.4 C.－4 D.－21234√答案解析1234即实数k的最小值为－4.故选C.12344.已知0即(log2x)2＝5，
即x＝ 时，等号成立.1.用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋ (p>0)的单调性求得函数的最值.
2.求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.本课结束4．1 二元一次不等式(组)与平面区域(一)
学习目标 1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
知识点一 二元一次不等式(组)的概念
思考 对于只含有一个未知数的不等式x<6，它的一个解就是能满足不等式的x的一个值，比如x＝0.那么对于含有两个未知数的不等式x－y<6，你能类似地举出一个解吗？
梳理 (1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为____________不等式．
(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
(3)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个____．
(4)所有这样的有序数对(x，y)构成的________称为二元一次不等式(组)的解集．
知识点二 二元一次不等式(组)表示的平面区域
思考 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如的解集为数轴上的一个区间(如图)．
那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x－y<6的解集表示什么图形呢？
梳理 (1)在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成________以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同．
(3)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0(或<0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
(4) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集．
类型一 二元一次不等式解的几何意义
例1 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
反思与感悟 对于直线l：Ax＋By＋C＝0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1＋By1＋C＞0，则Ax2＋By2＋C＜0，即同侧同号，异侧异号．
跟踪训练1 经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
类型二 二元一次不等式表示的平面区域
例2 画出不等式x＋4y<4表示的平面区域．
反思与感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点．
跟踪训练2 不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的( )
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
类型三 二元一次不等式(组) 表示的
平面区域
引申探究
|x|＜|2y|表示什么区域？
例3 用平面区域表示不等式组的解集．
反思与感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．
跟踪训练3 画出下列不等式组所表示的平面区域．
(1)(2)
1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A.
B.
C.
D.
3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－1,6)
B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
4．画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.
1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y的取值，例如也可写成(0,0)．
梳理 (1)二元一次 (3)解 (4)集合
知识点二
思考 二元一次不等式x－y<6的解是一个有序数对(x，y)，它在平面直角坐标系中对应一个点．显然不等式x－y<6的解不止一个，且这些解不在直线x－y＝6上．经探索，以二元一次不等式x－y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x－y<6.因此，在直角坐标系中，不等式x－y<6表示直线x－y＝6左上方的平面区域．
梳理 (1)虚线
题型探究
例1 (－7,24)
解析 点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x－2y＋a＞0的解，另一个点是3x－2y＋a＜0的解．
∴
或
即(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0，
(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
跟踪训练1 解 由题意知直线l的斜率存在，设为k.
则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有(k＋1)(2k－2)≤0，所以－1≤k≤1.
例2 解 先作出边界x＋4y＝4，
因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，
所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋4y－4，
因为0＋4×0－4＝－4<0，
所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，
所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．
所以x＋4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示．
跟踪训练2 B [在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0(图略)，
观察图像知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.]
例3 解 不等式y<－3x＋12，即3x＋y－12<0，表示的平面区域在直线3x＋y－12＝0的左下方；不等式x<2y，即x－2y<0，表示的是直线x－2y＝0左上方的区域．取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．
引申探究
解 |x|＜|2y|等价于x2＜(2y)2，
即(x－2y)(x＋2y)＜0，
即或
其表示的平面区域如图阴影部分所示．
跟踪训练3 解 (1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；
x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方的区域；
x≥0表示y轴及其右边区域；
y≥0表示x轴及其上方区域．
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示．
(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；
2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；
x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域．
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示．
当堂训练
1．D 2.C 3.A
4．解 (1)画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．
(2)画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．
课件34张PPT。§4.1 二元一次不等式(组)与平面区域(一)第三章 不等式1.理解二元一次不等式的解、解集概念.
2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 二元一次不等式(组)的概念含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y
的取值，例如 也可写成(0,0).
对于只含有一个未知数的不等式x<6，它的一个解就是能满足不等式的x的一个值，比如x＝0.那么对于含有两个未知数的不等式x－y<6，你能类似地举出一个解吗？答案梳理 (1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为 不等式.
(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
(3)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个 .
(4)所有这样的有序数对(x，y)构成的 称为二元一次不等式(组)的解集.二元一次解集合知识点二 二元一次不等式(组)表示的平面区域思考 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如
的解集为数轴上的一个区间(如图).
那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x－y<6的解集表示什么图形呢？答案二元一次不等式x－y<6的解是一个有序数对(x，y)，它在平面直角坐标系中对应一个点.显然不等式x－y<6的解不止一个，且这些解不在直线x－y＝6上.经探索，以二元一次不等式x－y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x－y<6.因此，在直角坐标系中，不等式x－y<6表示直线x－y＝6左上方的平面区域.梳理 (1)在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界.
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同.(3)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0(或<0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.
(4) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集.题型探究类型一 二元一次不等式解的几何意义例1 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________.答案解析(－7,24)点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x－2y＋a＞0的解，另一个点是3x－2y＋a＜0的解.
即(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0，
(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.对于直线l：Ax＋By＋C＝0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1＋By1＋C＞0，则Ax2＋By2＋C＜0，即同侧同号，异侧异号.跟踪训练1 经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.解答由题意知直线l的斜率存在，设为k.
则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有(k＋1)(2k－2)≤0，所以－1≤k≤1.类型二 二元一次不等式表示的平面区域例2 画出不等式x＋4y<4表示的平面区域.解答先作出边界x＋4y＝4，
因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，
所以画成虚线.取原点(0,0)，代入x＋4y－4，
因为0＋4×0－4＝－4<0，
所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，
所以不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方.
所以x＋4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示.画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特别是当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点. 跟踪训练2 不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方答案解析在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0(图略)，
观察图像知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.类型三 二元一次不等式(组) 表示的平面区域例3 用平面区域表示不等式组 的解集.解答不等式y<－3x＋12，即3x＋y－12<0，表示的平面区
域在直线3x＋y－12＝0的左下方；不等式x<2y，即x
－2y<0，表示的是直线x－2y＝0左上方的区域.取两
区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等
式组的解集.
引申探究
|x|＜|2y|表示什么区域？解答|x|＜|2y|等价于x2＜(2y)2，
即(x－2y)(x＋2y)＜0，
其表示的平面区域如图阴影部分所示.在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示.但要注意是否包含边界.跟踪训练3 画出下列不等式组所表示的平面区域.解答x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；
x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方的区域；
x≥0表示y轴及其右边区域；
y≥0表示x轴及其上方区域.
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示.
解答x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；
2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；
x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域.
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示.
当堂训练将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.12341.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0,0) B.(1,1)
C.(0,2) D.(2,0)答案解析√2.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是√1234答案解析1234观察图像可知，阴影部分在直线y＝－2上方，
且不包含直线y＝－2，故可得不等式y>－2.
又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，
故可得不等式x≤0.
由图像可知，第三条边界线过点(－2,0)，点(0,3)，
故可得直线3x－2y＋6＝0，
因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，
故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.12343.已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
A.(－1,6)
B.(－6,1)
C.(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D.(－∞，－6)∪(1，＋∞)答案解析√由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－1(1)x－2y＋4≥0；解答画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界.
1234(2)y>2x.解答画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，
因此所求为如图所示的区域，不包括边界.
1.对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域.
2.画平面区域时，注意边界线的虚实问题.本课结束4.1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)
学习目标 1.巩固对二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域的理解.2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件．
知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域
1．因为同侧同号，异侧异号，所以可以用特殊点检验，判断Ax＋By＋C >0的解集到底对应哪个区域？当C≠0时，一般取原点(0,0)，当C＝0时，常取点(0,1)或(1,0)．
2．二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的____集．
知识点二 约束条件
思考 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元．那么x和y应满足哪些不等关系？
梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制，这些限制就是所谓的约束条件．
像思考中的“用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元”称为决策变量．要表达约束条件，先要找到决策变量，然后用这些决策变量表示约束条件．同时还有像思考中的“x≥0，y≥0”在题目中并没有明确指出，但是在生产生活中默认的条件，也要加上．
类型一 含参数的约束条件
例1 已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．－2
反思与感悟 平面区域面积问题的解题思路
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．
跟踪训练1 已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．
类型二 不等式组表示平面区域在生活
中的应用
命题角度1 决策变量为整数
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求．
反思与感悟 求解不等式组在生活中的应用问题．首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组．注意隐含的条件如钢板块数为自然数．
跟踪训练2 某人准备投资1 200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件．
命题角度2 决策变量是实数
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
跟踪训练3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式．
1．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
2．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________．
3．画出二元一次不等式组表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________．
1．平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性．对于A>0的直线l：Ax＋By＋C＝0，Ax＋By＋C>0对应直线l右侧的平面；Ax＋By＋C<0对应直线l左侧的平面．
2．由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等．
3．找约束条件的关键是先找到决策变量，然后准确地用决策变量表示约束条件，并注意实际含义对变量取值的影响．
答案精析
问题导学
知识点一
2．交
知识点二
思考 分析题意，我们可得到以下式子
题型探究
例1 A [条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
要使约束条件表示直角三角形区域，
直线kx－y＝0要么垂直于直线x＝1，
要么垂直于直线x＋y－4＝0，
∴k＝0或k＝1.
当k＝0时，直线kx－y＝0即y＝0，交直线x＝1，x＋y－4＝0于B(1,0)，C(4,0)．
此时约束条件表示△ABC及其内部，
其面积S△ABC＝·BC·AB＝×3×3＝≠1.
同理可验证当k＝1时符合题意．]
跟踪训练1
解析 由题意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)．
则不等式组表示的平面区域为△ABC及其内部．
直线y＝kx＋1过点A.
要把△ABC分成面积相等的两部分，需过BC中点M(，)．此时k＝＝＝.
例2 解 设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
则用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分)内的整点(横坐标、纵坐标均为整数)．
跟踪训练2 解 设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40.
另外，开设的班数应为自然数x∈N，y∈N.
把上面的四个不等式合在一起，得到
用图形表示这个限制条件，得到如图中阴影部分(含边界)的平面区域(阴影部分)的整点．
例3 解 设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，
则满足以下条件(*)
在直角坐标系中画出不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．
跟踪训练3 解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，则依题意x，y满足
即
当堂训练
1．D 2. 3.
课件30张PPT。§4.1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)第三章 不等式1.巩固对二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域的理解.
2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域1.因为同侧同号，异侧异号，所以可以用特殊点检验，判断Ax＋By＋C >0的解集到底对应哪个区域？当C≠0时，一般取原点(0,0)，当C＝0时，常取点(0,1)或(1,0).
2.二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的 集.交知识点二 约束条件思考 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元.那么x和y应满足哪些不等关系？答案分析题意，我们可得到以下式子
梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制，这些限制就是所谓的约束条件.
像思考中的“用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元”称为决策变量.要表达约束条件，先要找到决策变量，然后用这些决策变量表示约束条件.同时还有像思考中的“x≥0，y≥0”在题目中并没有明确指出，但是在生产生活中默认的条件，也要加上.题型探究 类型一 含参数的约束条件例1 已知约束条件 表示面积为1的直角三角形区域，则
实数k的值为
A.1 B.－1 C.0 D.－2答案解析
条件 表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
要使约束条件表示直角三角形区域，
直线kx－y＝0要么垂直于直线x＝1，
要么垂直于直线x＋y－4＝0，
∴k＝0或k＝1.
当k＝0时，直线kx－y＝0即y＝0，交直线x＝1，
x＋y－4＝0于B(1,0)，C(4,0).
此时约束条件表示△ABC及其内部，
其面积S△ABC＝ ·BC·AB＝ ×3×3＝ ≠1.
同理可验证当k＝1时符合题意.平面区域面积问题的解题思路
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.跟踪训练1 已知不等式组 表示的平面区域为D，若直线y
＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是___.答案解析由题意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3).
则不等式组 表示的平面区域为△ABC
及其内部.
直线y＝kx＋1过点A.
类型二 不等式组表示平面区域在生活中的应用命题角度1 决策变量为整数
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.解答设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张.
用图形表示以上限制条件，得到如图所
示的平面区域(阴影部分)内的整点(横坐
标、纵坐标均为整数).求解不等式组在生活中的应用问题.首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组.注意隐含的条件如钢板块数为自然数.跟踪训练2 某人准备投资1 200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.解答设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40.
另外，开设的班数应为自然数x∈N，y∈N.
把上面的四个不等式合在一起，得
用图形表示这个限制条件，得到如图中阴影部分(含边界)的平面区域(阴影部分)的整点.命题角度2 决策变量是实数
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.解答设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，
则满足以下条件
在直角坐标系中画出不等式组(*)所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示.跟踪训练3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式.解答设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，则依题意x，y满足
当堂训练1231.在平面直角坐标系中，不等式组 (a为常数)表示的平面区
域的面积是9，那么实数a的值为答案解析√平面区域如图阴影部分(含边界)所示，
易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，
C(a，－a).
S△ABC＝ BC·|a＋2|
＝(a＋2)2＝9，
由题意得a＝1(a＝－5不满足题意，舍去).1232.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，
瓦工y人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________.123答案1233.画出二元一次不等式组 表示的平面区域，则这个平面区域
的面积为____.答案解析平面区域如图阴影部分(含边界)所示.
1.平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于A>0的直线l：Ax＋By＋C＝0，Ax＋By＋C>0对应直线l右侧的平面；Ax＋By＋C<0对应直线l左侧的平面.
2.由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等.
3.找约束条件的关键是先找到决策变量，然后准确地用决策变量表示约束条件，并注意实际含义对变量取值的影响.本课结束4.2 简单线性规划
学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
问题 已知x，y满足条件①
该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y②的最大值．
以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念．
知识点一 约束条件
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的____次不等式，故又称线性约束条件．
知识点二 目标函数
在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x、y的____次解析式，这样的目标函数称为二元线性目标函数．
知识点三 二元线性规划问题
一般地，在线性约束条件下求________________的最大值或最小值问题，统称为二元线性规划问题．
知识点四 可行解、可行域和最优解
在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫________，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个________，其中能使②式取最大值的可行解称为________．
类型一 最优解问题
命题角度1 唯一最优解
例1 已知x，y满足约束条件
该不等式组所表示的平面区域如图，
求2x＋3y的最大值．
反思与感悟 (1)图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤
①确定线性约束条件，线性目标函数；
②作图——画出可行域；
③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；
④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
跟踪训练1 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．
命题角度2 最优解不唯一
例2 已知x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，求实数a的值．
反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解．
跟踪训练2 给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a等于( )
A. B. C．4 D.
类型二 生活中的线性规划问题
例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg?
将已知数据列成下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
反思与感悟 (1)目标函数z＝ax＋by(b≠0)在y轴上的截距是关于z的正比例函数，其单调性取决于b的正负．当b>0时，截距越大，z就越大；当b<0时，截距越小，z就越大．
(2)最优解是谁，和目标函数与边界函数的斜率大小有关．
跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲，乙两种货物应各托运的箱数为________．
货物
体积
(m3/箱)
重量
(50 kg/箱)
利润
(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
1．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6 B．7 C．8 D．23
3．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
4．已知实数x、y满足约束条件则z＝2x＋4y的最大值为________．
1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题，这时要特别注意z＝ax＋by中的b的正负对z最优解的影响．
答案精析
问题导学
知识点一
一
知识点二
一
知识点三
线性目标函数
知识点四
可行域 可行解 最优解
题型探究
例1 解 设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，
则y＝－x＋，
这是斜率为定值－，在y轴上的截距为的直线，如图．
由图可以看出，
当直线y＝－x＋经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4,2)时，截距的值最大，此时2x＋3y＝14.
跟踪训练1 解 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图)即为可行域．
设z＝2x－3y，变形得y＝x－z，
则得到斜率为，且随z变化的一组平行直线．
－z是直线在y轴上的截距，
当直线截距最大时，z的值最小，
由图可见，
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，
即z最小．
解方程组得A的坐标为(2,3)，
∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，
即z最大．
解方程组得B的坐标为(2，－1)．
∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.
∴－5≤2x－3y≤7，
即2x－3y的取值范围是[－5,7]．
例2 解 约束条件所表示的平面区域如图：
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
当a＝0时，最优解只有一个，过A(1,1)时取得最大值；
当a＞0时，当y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；
当a＜0时，当y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1.
综上，a＝1或a＝－1.
跟踪训练2 B [由题意知，当直线y＝－ax＋z与直线AC重合时，最优解有无穷多个，则－a＝＝－，即a＝，故选B.]
例3 解 设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么
?
目标函数为z＝28x＋21y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，
把目标函数z＝28x＋21y变形为
y＝－x＋，
它表示斜率为－，且随z变化的一组平行直线，
是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．
如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，
截距最小，即z最小．
解方程组得M点的坐标为.
所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物Akg，食物B kg.
跟踪训练3 4,1
解析 设甲，乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图．
由得A(4,1)．
易知当直线z＝20x＋10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲，乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．
当堂训练
1．C 2.B 3.A 4.8
课件36张PPT。§4.2 简单线性规划第三章 不等式1.了解线性规划的意义.
2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题 已知x，y满足条件该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.知识点一 约束条件在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的 次不等式，故又称线性约束条件.一知识点二 目标函数在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x、y的 次解析式，这样的目标函数称为二元线性目标函数.一知识点三 二元线性规划问题一般地，在线性约束条件下求 的最大值或最小值问题，统称为二元线性规划问题.线性目标函数知识点四 可行解、可行域和最优解在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫 ，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个 ，其中能使②式取最大值的可行解称为 .可行域可行解最优解题型探究类型一 最优解问题命题角度1 唯一最优解
例1 已知x，y满足约束条件该不等式组所表示的平面区域如图，
求2x＋3y的最大值.解答设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，
由图可以看出，此时2x＋3y＝14.图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤
①确定线性约束条件，线性目标函数；
②作图——画出可行域；
③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；
④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.跟踪训练1 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围.解答作出二元一次不等式组 所表示的平面区域(如图)即为可行域.
当直线截距最大时，z的值最小，
由图可见，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，
即z最小.
∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，
即z最大.∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.
∴－5≤2x－3y≤7，
即2x－3y的取值范围是[－5,7].命题角度2 最优解不唯一
例2 已知x，y满足约束条件 ，若目标函数z＝ax＋y的最大值
有无数个最优解，求实数a的值.解答约束条件所表示的平面区域如图：
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
当a＝0时，最优解只有一个，过A(1,1)时取
得最大值；
当a＞0时，当y＝－ax＋z与x＋y＝2重合时，最优解有无数个，此时a＝1；
当a＜0时，当y＝－ax＋z与x－y＝0重合时，最优解有无数个，此时a＝－1.
综上，a＝1或a＝－1.当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解. 跟踪训练2 给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，则a等于答案解析类型二 生活中的线性规划问题例3 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg?
将已知数据列成右表：解答设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么
目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，
如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，
截距最小，即z最小.
所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A kg，食物B kg.(1)目标函数z＝ax＋by(b≠0)在y轴上的截距 是关于z的正比例函数，其单调性取决于b的正负.当b>0时，截距 越大，z就越大；当b<0时，截距
越小，z就越大.
(2)最优解是谁，和目标函数与边界函数的斜率大小有关.跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲，乙两种货物应各托运的箱数为___.答案解析4,1设甲，乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图.易知当直线z＝20x＋10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲，乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.当堂训练1.若变量x，y满足约束条件 则x＋2y的最大值是123√4答案解析画出可行域如图阴影部分(含边界).
12342.设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝2x＋3y的最小值为
A.6 B.7
C.8 D.23√1234作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最
小值，z的最小值为7.
答案解析3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的值为
A.－3 B.3
C.－1 D.11234√答案解析由不等式组表示的可行域(如图)，知目标函数z在点(0,2)处取得最大值8.
12344.已知实数x、y满足约束条件 则z＝2x＋4y的最大值为___.8答案解析1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.
3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题，这时要特别注意z＝ax＋by中的b的正负对z最优解的影响.本课结束4.3 简单线性规划的应用
学习目标 1.掌握简单线性规划解题的基本步骤.2.了解实际线性规划中的整数解求法.3.会求一些简单的非线性函数的最值．
知识点一 用线性规划解决问题的过程
1．寻找约束条件，
2．建立目标函数，
3．画出可行域，
4．求出最优解．
知识点二 非线性约束条件
思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x－a)2＋(y－b)2≤r2的可行域．
梳理 约束条件不是____________不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件．
知识点三 非线性目标函数
思考 在问题“若x、y满足求z＝的最大值”中，你能仿照目标函数z＝ax＋by的几何意义来解释z＝的几何意义吗？
梳理 下表是一些常见的非线性目标函数．
目标函数
目标函数变形
几何意义
最优解求法
z＝ax＋by (ab≠0)
y＝－x＋
__________是
平移直线y＝－x，使____________________________
(x－a)2＋(y－b)2
令m＝(x－a)2＋(y－b)2，则目标函数为()2
点________与点________距离的________
改变圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的________
点________与定点________连线的________
绕定点(a，b)旋转直线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线________
类型一 实际生活中的线性规划问题
例1 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，求该企业每天可获得的最大利润．
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？
类型二 非线性目标函数的最值问题
命题角度1 斜率型目标函数
引申探究
1．把目标函数改为z＝，求z的取值范围．
2．把目标函数改为z＝，求z的取值范围．
例2 已知实数x，y满足约束条件
试求z＝的最大值和最小值．
反思与感悟 对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．
跟踪训练2 实数x，y满足则z＝的取值范围是( )
A．[－1,0] B．(－∞，0]
C．[－1，＋∞) D．[－1,1)
命题角度2 两点间距离型目标函数
例3 已知x，y满足约束条件
试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．
反思与感悟 当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．
跟踪训练3 变量x、y满足约束条件
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
1．已知点P(x，y)的坐标满足约束条件则x2＋y2的最大值为( )
A. B．8
C．16 D．10
2．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元．
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
3.若x、y满足约束条件则z＝的最大值是________．
4．已知实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值为______．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)应结合可行域与目标函数微调．
3．对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2＋y2是点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，而非距离．
答案精析
问题导学
知识点二
思考
梳理 二元一次
知识点三
思考 z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点(1,1)连线的斜率．
梳理 在y轴上的截距 在y轴上的截距最大(或最小) (x，y) (a，b) 平方 交点 (x，y) (a，b) 斜率 斜率
题型探究
例1 解 设该企业每天生产甲、乙各x、y吨，则有
其可行域如图，其中A(2,3)，
设企业每天可获利润为z＝3x＋4y，
则y＝－x＋，
易知A为最优解，
∴zmax＝3×2＋4×3＝18.
跟踪训练1 解 设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
由解得
所以A点的坐标为.
由解得
所以B点坐标为(25，)．
所以满足条件的可行域是以
A，B，
O为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，
由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内经过点B时取得最大值，
但注意到x∈N，y∈N，故取
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．
例2 解 由于z＝＝，
故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)，
∴zmax＝kMB＝3，
zmin＝kMC＝.
∴z的最大值为3，最小值为.
引申探究
1．解 z＝·，
其中k＝的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率．
由图易知，kNC≤k≤kNB，
即≤k≤，∴≤k≤7，
∴z的取值范围是[，7]．
2．解 z＝＝＋2.
设k＝，仿例2解得－≤k≤1.
∴z∈[，3]．
跟踪训练2 D [作出可行域，如图所示，
的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜率kl，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，k∈[－1,1)．]
例3 解 z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，
结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．
故zmax＝OA2＝13，zmin＝()2＝.
跟踪训练3 解
由约束条件
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由
解得A；
由解得C(1,1)；
由解得B(5,2)．
(1)因为z＝＝，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝OC＝，dmax＝OB＝，
即2≤z≤29.
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到点(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8.
所以16≤z≤64.
当堂训练
1．D 2.116 3.3 4.
课件40张PPT。§4.3 简单线性规划的应用第三章 不等式1.掌握简单线性规划解题的基本步骤.
2.了解实际线性规划中的整数解求法.
3.会求一些简单的非线性函数的最值.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 用线性规划解决问题的过程1.寻找约束条件，
2.建立目标函数，
3.画出可行域，
4.求出最优解.知识点二 非线性约束条件思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x－a)2＋(y－b)2≤r2的可行域.答案梳理约束条件不是 不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.二元一次知识点三 非线性目标函数思考 在问题“若x、y满足 求z＝ 的最大值”中，你能
仿照目标函数z＝ax＋by的几何意义来解释z＝ 的几何意义吗？
z＝ 的几何意义是可行域内的点(x，y)与点(1,1)连线的斜率.答案梳理下表是一些常见的非线性目标函数.在y轴上的截距 在y轴上的截距
最大(或最小)(x，y)(a，b)平方交点(x，y)(a，b)斜率斜率题型探究类型一 实际生活中的线性规划问题例1 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，求该企业每天可获得的最大利润.解答设该企业每天生产甲、乙各x、y吨，则有
其可行域如图，其中A(2,3)，
设企业每天可获利润为z＝3x＋4y，易知A为最优解，
∴zmax＝3×2＋4×3＝18.跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？解答设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
O 为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，
由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内经过点B 时取得最大
值，但注意到x∈N，y∈N，故取故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.类型二 非线性目标函数的最值问题命题角度1 斜率型目标函数
例2 已知实数x，y满足约束条件
试求z＝ 的最大值和最小值.解答故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此 的最值是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)，
∴zmax＝kMB＝3，
zmin＝kMC＝ .
∴z的最大值为3，最小值为 .引申探究
1.把目标函数改为z＝ ，求z的取值范围.解答由图易知，kNC≤k≤kNB，2.把目标函数改为z＝ ，求z的取值范围.解答对于形如 的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题. 跟踪训练2 实数x，y满足 则z＝ 的取值范围是答案解析A.[－1,0] B.(－∞，0]
C.[－1，＋∞) D.[－1,1)作出可行域，如图所示，
的几何意义是点(x，y)与点(0,1)连线l的斜
率kl，当直线l过B(1,0)时kl最小，最小为－1.又
直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，
k∈[－1,1).命题角度2 两点间距离型目标函数
例3 已知x，y满足约束条件
试求z＝x2＋y2的最大值和最小值.z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，
结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线
BC的距离最小.
解答当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用.跟踪训练3 变量x、y满足约束条件解答(1)设z＝ ，求z的最小值；作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由约束条件解答(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝OC＝ ，dmax＝OB＝ ，
即2≤z≤29.(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围.z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝ ＝8.
所以16≤z≤64.解答当堂训练1.已知点P(x，y)的坐标满足约束条件 则x2＋y2的最大值为1234答案解析A. B.8
C.16 D.10√画出不等式组对应的可行域如图所示，
12342.毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为____元.1234答案解析116设该班租了x只大船，y只小船，则有1234可行域为如图阴影部分中的整点，
设该班所付租金为z元，则
故取(9,1)，
∴zmin＝12×9＋8＝116元.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z＝
可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率.由图可知z＝
的最大值为kAB＝3.
3.若x、y满足约束条件 则z＝ 的最大值是__.
1234答案解析3实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
12344.已知实数x，y满足约束条件 则z＝x2＋y2的最小值为___.答案解析则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝ .1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.
2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)应结合可行域与目标函数微调.
3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2＋y2是点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，而非距离.本课结束第三章 不等式
学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．
知识点一 “三个二次”之间的关系
所谓三个二次，指的是①二次________图像及与x轴的交点；②相应的一元二次________的实根；③一元二次________的解集端点．
解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化．
知识点二 规划问题
1．规划问题的求解步骤
(1)把问题要求转化为约束条件；
(2)根据约束条件作出可行域；
(3)对目标函数变形并解释其几何意义；
(4)移动目标函数寻找最优解；
(5)解相关方程组求出最优解．
2．关注非线性
(1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域．
(2)常见的非线性目标函数有①，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；②，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离．
知识点三 基本不等式
利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．
利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．
利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．
类型一 “三个二次”之间的关系
例1 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围．
反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x1(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．
跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
类型二 规划问题
例2 已知变量x，y满足约束条件求z＝2x＋y的最大值和最小值．
反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小．
跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．
类型三 利用基本不等式求最值
命题角度1 无附加条件型的最值问题
例3 设f(x)＝.
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值．
反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．
跟踪训练3 已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
命题角度2 有附加条件的最值问题
例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．
反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．
跟踪训练4 设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值．
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( )
A．12 B．10
C．8 D．2
2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为{x|－2A．－18 B．8
C．－13 D．1
3．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
1．不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．
2．一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．
3．二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．
4．求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．
5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
答案精析
知识梳理
知识点一
函数 方程 不等式
题型探究
例1 解 M?[1,4]有两种情况：
其一是M＝?，此时Δ<0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况求a的取值范围．
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)
＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}?[1,4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2}?[1,4]，满足题意．
③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1，x2]，M?[1,4]?1≤x1?
即
解得2综上可知，M?[1,4]时，a的取值范围是(－1，]．
跟踪训练1 2
解析 因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，
??
例2 解
如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
跟踪训练2 解
设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1)．
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
例3 解 (1)当x>0时，有x＋≥2，
∴f(x)＝＝≤25.
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)∵函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，
∴f(x)＝在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20.
∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.
跟踪训练3 1
解析 因为x<，所以5－4x>0，
则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
例4 4
解析 方法一 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
∴＋＝＝≥＝4，当且仅当m＝n＝时，取等号．
方法二 ＋＝(m＋n)(＋)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当即m＝n＝时，取等号．
∴min＝4.
跟踪训练4 解 ∵＋＝3，
∴＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1
＝(2x＋y)×
＝
≥
＝＋＝.
当且仅当＝，即y＝2x时，取等号．
又∵＋＝3，∴x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
当堂训练
1．B 2.C 3.D
课件39张PPT。章末复习课第三章 不等式1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.
2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.
3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.
4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.
5.会用基本不等式求解函数最值.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次 图像及与x轴的交点；②相应的一元二次 的实根；③一元二次 的解集端点.
解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化.函数不等式方程知识点二 规划问题1.规划问题的求解步骤
(1)把问题要求转化为约束条件；
(2)根据约束条件作出可行域；
(3)对目标函数变形并解释其几何意义；
(4)移动目标函数寻找最优解；
(5)解相关方程组求出最优解.
2.关注非线性
(1)确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域.(2)常见的非线性目标函数有① ，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；② ，其几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)的距离.知识点三 基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别.
利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.
利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.题型探究类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围.解答M?[1,4]有两种情况：
其一是M＝?，此时Δ<0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况求a的取值范围.
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}?[1,4]，不满足题意；当a＝2时，M＝{2}?[1,4]，满足题意.
③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1，x2]，M?[1,4]?1≤x1解得2综上可知，M?[1,4]时，a的取值范围是(－1， ].(1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x1要是用求根公式来解就相当麻烦，用 则可化归为简单的一元一次不等式组.
(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝___.答案解析2因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，
类型二 规划问题例2 已知变量x，y满足约束条件 求z＝2x＋y的最大值和最小值.解答如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域.
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小.
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
(1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小.跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.解答设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1).
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.类型三 利用基本不等式求最值命题角度1 无附加条件型的最值问题
例3 设f(x)＝ .
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；解答∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值.解答∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解.跟踪训练3 已知x< ，则f(x)＝4x－2＋ 的最大值为__.1答案解析命题角度2 有附加条件的最值问题
例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则 的最小值为___.4答案解析方法一 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.跟踪训练4 设x，y都是正数，且 ＝3，求2x＋y的最小值.解答当堂训练1.设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝4x＋2y的最大值为
A.12 B.10 C.8 D.2123答案解析√画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋ ，
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时，
纵截距 最大.
123所以zmax＝4×2＋2×1＝10.2.若不等式ax2＋bx－2>0的解集为{x|－2A.－18 B.8 C.－13 D.1123答案解析√∵－2和－ 是方程ax2＋bx－2＝0的两根.
∴a＋b＝－13.3.设a>b>0，则a2＋ 的最小值是
A.1 B.2 C.3 D.4123答案解析√当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，1.不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质.
2.一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集.3.二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点.
4.求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.5.运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.本课结束