2017_2018版高中数学第一章立体几何初步（课件学案）（打包27套）北师大版必修2

1 简单几何体
学习目标　1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．
知识点一　两平面平行和直线与平面垂直的概念
思考1　如何定义两平面平行？
　
　
　
思考2　如何判定直线与平面垂直？
　
　
　
梳理　(1)________________的两个平面平行．
(2)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则这条直线与这个平面垂直．
知识点二　旋转体与多面体
旋转体
一条__________绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作____________；封闭的旋转面围成的几何体叫作______________
多面体
把若干个________________围成的几何体叫作________________
知识点三　常见的旋转体及概念
思考1　以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？
　
　
思考2　能否由圆锥得到圆台？
　
　
　
梳理　
名称
图形及表示
定义
相关概念
球
记作：球O
球面：以_________
_______所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的________叫作球面．球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球
球心：半圆的________．球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段．
球的直径：连接__________上两点并且过______的线段
圆柱
记作：圆柱OO′
以________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆柱
高：在__________上这条边的长度．
底面：垂直于____________的边旋转而成的________．
侧面：__________________的边旋转而成的曲面．
母线：__________________的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线
圆锥
记作：圆锥OO′
以直角三角形的__________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆锥
圆台
记作：圆台OO′
以直角梯形_____ _____________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆台
特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．
(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．
知识点四　常见的多面体及相关概念
思考　观察下列多面体，试指明其类别．
　
　
梳理　(1)棱柱
①定义要点：
(ⅰ)两个面________________；
(ⅱ)其余各面都是________________；
(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都________________．
②相关概念：
底面：两个________________的面．
侧面：除底面外的其余各面．
侧棱：相邻______________的公共边．
顶点：底面多边形与________的公共顶点．
③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.
④分类及特殊棱柱：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、…….
(ⅱ)直棱柱：侧棱________于底面的棱柱．
(ⅲ)正棱柱：底面是________________的直棱柱．
(2)棱锥
①定义要点：
(ⅰ)有一个面是________________；
(ⅱ)其余各面是三角形；
(ⅲ)这些三角形有一个________________．
②相关概念：
底面：除去棱锥的侧面余下的那个________________．
侧面：除底面外的其余__________面．
侧棱：相邻两个________的公共边．
顶点：________的公共顶点．
③记法：如三棱锥S－ABC.
④分类及特殊棱锥：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有________、__________、__________、……，
(ⅱ)正棱锥：底面是______________，且各侧面________的棱锥．
(3)棱台
①定义要点：用一个______________________的平面去截棱锥，________与________之间的部分．
②相关概念：
上底面：原棱锥的________．
下底面：原________的底面．
侧棱：相邻的________的公共边．
顶点：________与底面的公共顶点．
③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.
④分类及特殊棱台：
(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、……，
(ⅱ)正棱台：由________________截得的棱台．
类型一　旋转体的概念
例1　下列命题正确的是________．(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
反思与感悟　(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成．
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
跟踪训练1　下列命题：
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
类型二　多面体及其简单应用
例2　(1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．
①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；
④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；
⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．
(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．(提示：可以证明BC綊MN)
引申探究
若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)棱柱的识别方法
①两个面互相平行．
②其余各面都是四边形．
③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
(2)棱锥的识别方法
①有一个面是多边形．
②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．
④对几类特殊棱锥的认识
(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．
(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．
(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．
(3)棱台的识别方法
①上、下底面互相平行．
②各侧棱延长交于一点．
跟踪训练2　下列说法正确的是(　　)
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱
C．棱锥的侧面可以是四边形
D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
1．下列几何体中棱柱有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
2．关于下列几何体，说法正确的是(　　)
A．图①是圆柱
B．图②和图③是圆锥
C．图④和图⑤是圆台
D．图⑤是圆台
3．下面有关棱台说法中，正确的是(　　)
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是(　　)
A．圆台 B．圆锥
C．圆柱 D．球
5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行；
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　两平面无公共点．
思考2　直线和平面内的任何一条直线都垂直．
梳理　(1)无公共点　(2)任何一条直线
知识点二
平面曲线　旋转面　旋转体　平面多边形　多面体
知识点三
思考1　不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．
思考2　用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．
梳理　半圆的直径　曲面　圆心　球面
球心　矩形的一边　曲面　一条直角边
曲面　垂直于底边的腰　曲面　旋转轴
旋转轴　圆面　不垂直于旋转轴　不垂直于旋转轴
知识点四
思考　(1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．
梳理　(1)①(ⅰ)互相平行　(ⅱ)四边形
(ⅲ)互相平行　②互相平行　两个侧面
侧面　④(ⅰ)三棱柱　四棱柱　五棱柱
(ⅱ)垂直　(ⅲ)正多边形　(2)①(ⅰ)多边形　(ⅲ)公共顶点　②多边形　三角形　侧面　侧面　④(ⅰ)三棱锥　四棱锥　五棱锥　(ⅱ)正多边形　全等　(3)①平行于棱锥底面　底面　截面　②截面　棱锥　侧面　侧面　④(ⅰ)三棱台
四棱台　五棱台　(ⅱ)正棱锥
题型探究
例1　④⑤⑥
解析　①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．
跟踪训练1　C
例2　3
解析　①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，
能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；
②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；
根据棱锥的概念知，③正确；
根据棱台的概念知，④正确；
棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．
正确的个数为3.
(2)解　①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.
引申探究
解　如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．
跟踪训练2　B　[A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．]
当堂训练
1．D　[由棱柱的定义知，①③为棱柱．]
2．D　[由旋转体的结构特征知，D正确．]
3．B　[由棱台的结构特征知，B正确．]
4．B　[中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．]
5．2
解析　如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.故答案为2.
课件44张PPT。 &1 简单几何体第一章　 立体几何初步2 直观图
学习目标　1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．
知识点　斜二测画法
思考1　边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？
　
　
思考2　正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？
　
　
梳理　(1)水平放置的平面图形直观图的画法
斜二测画法规则：
①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝________，它们确定的平面表示________________．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度______；平行于y轴的线段，长度为原来的________．
(2)立体图形直观图的画法
类型一　水平放置的平面图形的直观图
例1　画出如图水平放置的直角梯形的直观图．
　
　
引申探究
若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．
(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
跟踪训练1　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．
　
　
　
　
　
　
类型二　直观图的还原与有关计算
例2　如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
　
　
　
反思与感悟　由直观图还原平面图形的关键：
(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍．
(2)对于相邻两边不与x′轴，y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴的平行线变换确定其在xOy中的位置．
跟踪训练2　如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．
例3　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．
　
　
　
反思与感悟　(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．
(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝S.
跟踪训练3　如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(　　)
A. B.
C. D．2
类型三　空间几何体的直观图
例4　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
　
　
　
反思与感悟　简单几何体直观图的画法
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．
(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
(4)连线成图．
跟踪训练4　用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
　
　
　
　
1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是(　　)
2．下列关于直观图的说法不正确的是(　　)
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同
3．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的(　　)
A.倍 B．2倍 C.倍 D.倍
4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．
5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)
　
　
　
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．
2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．
答案精析
问题导学
知识点
思考1　A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝AD.
思考2　 没有都画成正方形．
梳理　(1)①45°　水平平面　②平行　③不变　　(2)z′轴　平行性及长度相等　平面x′O′y′　y′O′z′　x′O′z′
题型探究
例1　解　画法：
(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示；
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)；
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．
　
引申探究
解　画法：
(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD；
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
跟踪训练1　解　画法：
(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy.
(2)画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．
例2　解　画法：
(1)画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)过点B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过点D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
跟踪训练2　菱形
解析　如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4 cm，CD＝C′D′＝2 cm，∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．
例3　解　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，
所以面积为S＝×2＝5.
跟踪训练3　C
例4　解　画法：
(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面，以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②.
跟踪训练4　解　画法：
(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②)．
当堂训练
1．C　2.A　3.A　4.10
5．解　画法：
(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.
(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在Oz轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．
课件42张PPT。&2 直观图第一章　 立体几何初步3 三视图
学习目标　1.理解三视图的概念，能画出简单空间图形的三视图.2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．
知识点一　组合体
1．定义：由__________________形成的几何体叫作组合体．
2．基本形式：有两种，一种是将基本几何体________成组合体；另一种是从基本几何体中______或______部分构成组合体．
知识点二　空间几何体的三视图
思考　对于一般的物体，三视图分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)?
　
　
　
梳理　(1)三视图的概念
三视图包括__________(又称__________)、__________，左视图(侧视图通常选择________，简称__________)．
(2)三视图的画法规则
①________视图反映物体的长度——“____________”．
②________视图反映物体的高度——“____________”．
③________视图反映物体的宽度——“____________”．
(3)绘制三视图时的注意事项
①在绘制三视图时，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．
②同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
③三视图的摆放规则：左视图放在主视图的右面，俯视图放在主视图的正下方．
类型一　简单几何体的三视图
例1　(1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)
(2)画出如图所示的几何体的三视图．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)观察立体图形时，要选择在某个方向上“平视”，用目光将立体图形“压缩”成平面图形，这样就得到了三视图．注意三视图的排列规则和虚、实线的确定．一般地，几何体的轮廓线中能看到的画成实线，不能看到的画成虚线．
(2)画简单组合体的三视图，要注意从三个方向观察几何体的轮廓线，还要搞清楚各简单几何体之间的组接位置，其组接的交线往往又是简单组合体的轮廓线，被挡住的要画成虚线．
跟踪训练1　如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)．试画出它的三视图．
　
　
　
　
　
　
　
类型二　由三视图还原成实物图
例2　(1)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)
(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体．若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体．
(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．
跟踪训练2　(1)已知如图所示的三视图，则该几何体是什么？它的高与底面面积分别是多少？(尺寸的长度单位为m)
　
　
　
　
　
　
　
(2)如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成．
1．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则下列甲、乙、丙对应的标号正确的是(　　)
　　
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③② B．②①③
C．①②③ D．③②④
2．一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为(　　)
3．某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)
4．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1(底面为等边三角形)的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为(　　)
　　
A．8 B．4
C．2 D．16
5．有一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．
1．三视图是指主视图、左视图和俯视图，画图时应遵循“长对正、高平齐、宽相等”或“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”的原则，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，重叠的线只画一条，不可见轮廓线要用虚线画出．
2．空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的主视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力．
答案精析
问题导学
知识点一
1．基本几何体
2．拼接　切掉　挖掉
知识点二
思考　主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映物体的高度和宽度．
梳理　(1)主视图　正视图　俯视图　左侧视图　左视图　(2)①主、俯　长对正
②主、左　高平齐　③俯、左　宽相等
题型探究
例1　B　[依题意，左视图中棱的方向是从右下角到左上角，故选B.]
(2)解　题图①是一个圆柱和一个长方体的组合体，按照圆柱、长方体的三视图画法画出它们的组合体的三视图，如图(1)；题图②为球与圆台的组合体，其三视图如图(2)．
跟踪训练1　解　这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的，三视图如图所示．
例2　D　[A、B选项中的主视图不符合要求，C选项中的俯视图显然不符合要求，故选D.]
(2)解　此几何体上面可以为圆台，下面可以为圆柱，所以实物草图如图．
跟踪训练2　(1)解　由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)，AC＝4 m，BD＝3 m，高为2 m，S△ABC＝AC·BD＝×4×3＝6(m2)．
(2)4
解析　由三视图知，几何体由4块木块组成．如图．
当堂训练
1．A　2.C　3.D　4.A　5.2,4
课件34张PPT。&3 三视图第一章　 立体几何初步4．1　空间图形基本关系的认识
4．2　空间图形的公理(一)
学习目标　1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．
知识点一　空间图形的基本位置关系
对于长方体有12条棱和6个面．
思考1　12条棱中，棱与棱有几种位置关系？
　
　
　
思考2　棱所在直线与面之间有几种位置关系？
　
　
　
思考3　六个面之间有哪几种位置关系．
　
　
梳理　
位置关系
图形表示
符号表示
点与直线的位置关系
点A在直线a外
A?a
点B在直线a上
B∈a
点与平面的位置关系
点A在平面α内
A∈α
点B在平面α外
B?α
直线与直线的位置关系
平行
a∥b
相交
异面
a与b异面
直线与平面的位置关系
线在面内
线面相交
线面平行
平面与平面的位置关系
面面平行
面面相交
异面直线
不同在____________________的两条直线，叫作异面直线
知识点二　空间图形的公理
思考1　照相机支架只有三个脚支撑说明什么？
　
　
　
思考2　一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？
　
　
思考3　教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？
　
　
梳理　(1)空间图形的公理
公理
内容
图形
符号
作用
公理1
如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线上__________都在这个平面内(即直线在______内)
________，________，且______，________?l?α
用来证明直线在平面内
公理2
过______________ ________的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)
A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α
用来确定一个平面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条__________________
________，________?α∩β＝l，且P∈l
用来证明空间的点共线和线共点
(2)公理2的推论
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．
推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．
推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．
类型一　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1　根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练1　用符号语言表示下列语句，并画成图形．
(1)直线l经过平面α内两点A，B；
(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；
(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；
(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．
　
　
　
　
　
　
类型二　平面的基本性质的应用
例2　如图，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.
引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．
跟踪训练2　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
　
　
　
　
　
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F，DA三线交于一点．
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．
　
　
　
　
　
　
1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　)
A.A∈l，l?α B.A∈l，l α
C.A?l，l?α D.A?l，l α
2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a?α，直线b?β且a∥AB，b∥AB的图形是(　　)
3．下列推理错误的是(　　)
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C.l α，A∈l?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
5．如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．
　
　
　
　
　
　
1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　相交，平行，既不平行也不相交．
思考2　棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．
思考3　平行和相交．
梳理　a∩b＝O　a?α　a∩α＝A　a∥α
α∥β　α∩β＝a　任何一个平面内
知识点二
思考1　不在同一直线上的三点确定一个平面．
思考2　直尺在桌面上．
思考3　这些公共点在同一直线上．
梳理　(1)两点　所有的点　平面　A∈l
B∈l　A∈α　B∈α　不在一条直线上　通过这个点的公共直线　P∈α　P∈β
题型探究
例1　解　(1)点P∈直线AB.
(2)点C?直线AB.
(3)点M∈平面AC.
(4)点A1?平面AC.
(5)直线AB∩直线BC＝点B.
(6)直线AB?平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
跟踪训练1　解　(1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图．
(2)l α，P∈l，P∈α.如图
(3)l?α，l?β.如图．
(4)α∩β＝l，m?α，m∥l.如图．
例2　证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a?β，点P∈β.因为P∈b，b?α，所以P∈α.又因为a?α，所以α与β重合，所以PQ?α.
引申探究
解　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．
证明：如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，
同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，
∴a，b，c和l共面．
跟踪训练2　证明　方法一　(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二　(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
例3　证明　
如图，连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF綊A1B.
又∵A1B綊D1C，
∴EF綊D1C，
∴E，F，D1，C四点共面，
∴D1F与CE相交，设交点为P.
又∵D1F?平面A1D1DA，
CE?平面ABCD，
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，
即CE、D1F、DA相交于一点．
跟踪训练3　证明　方法一　∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．
方法二　∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，
∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
当堂训练
1．B　2.D　3.C　4.D
5．解　AC在平面α内．因为AB在平面α内，所以A∈α.
又BC在平面α内，所以C∈α，所以AC在平面α内．
课件46张PPT。4.1　空间图形基本关系的认识
4.2　空间图形的公理(一) 学习目标
1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.
2.会用符号表达点、线、面的位置关系.
3.掌握空间图形的三个公理及其推论.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1　知识点一　空间图形的基本位置关系12条棱中，棱与棱有几种位置关系？答案答案　相交，平行，既不平行也不相交.对于长方体有12条棱和6个面.思考2　棱所在直线与面之间有几种位置关系？答案答案　棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交.思考3　六个面之间有哪几种位置关系.答案答案　平行和相交.梳理a∩b＝Oa?αa∩α＝Aa∥αα∥βα∩β＝a任何一个平面内知识点二　空间图形的公理思考1　照相机支架只有三个脚支撑说明什么？答案答案　不在同一直线上的三点确定一个平面.思考2　一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？答案答案　直尺在桌面上.思考3　教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？答案答案　这些公共点在同一直线上.梳理的点平面两点(1)空间图形的公理A∈αB∈αB∈l所有A∈l个点的公共直线不在一条直线上P∈β通过这P∈α(2)公理2的推论
推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①).
推论2：两条相交直线确定一个平面(图②).
推论3：两条平行直线确定一个平面(图③).题型探究例1　根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.类型一　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化(1)点P与直线AB；解答解　点P∈直线AB.(2)点C与直线AB；解答解　点C?直线AB.(3)点M与平面AC；解　点M∈平面AC.(4)点A1与平面AC；解　点A1?平面AC.(5)直线AB与直线BC；解　直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB与平面AC；解答解　(7)平面A1B与平面AC.解　平面A1B∩平面AC＝直线AB.(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1　用符号语言表示下列语句，并画成图形.
(1)直线l经过平面α内两点A，B；(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；解答解　A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如图.解　l α，P∈l，P∈α.如图(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行.解答解　解　命题角度1　点线共面问题
例2　类型二　平面的基本性质的应用解答解　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，解答引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.解　已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面.
证明：如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明证明　方法一　(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.命题角度2　点共线、线共点问题
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F，DA三线交于一点.证明证明　如图，连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴E，F，D1，C四点共面，
∴D1F与CE相交，设交点为P.∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，
即CE、D1F、DA相交于一点.(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.证明证明　方法一　∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.
方法二　∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P、Q、R三点共线.当堂训练1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是√答案23451解析　∵点A在直线l上，∴A∈l.
∵l在平面α外，∴l α.故选B.解析答案23451√B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合3.下列推理错误的是答案√23451解析　当l α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错.解析A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M4.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过23451解析　因为平面γ过A，B，C三点，M在直线AB上，所以γ与β的交线必通过点C和点M.解析答案√5.如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，判断AC是否在平面α内.23451解答解　AC在平面α内.因为AB在平面α内，所以A∈α.
又BC在平面α内，所以C∈α，所以AC在平面α内.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.本课结束4.2　空间图形的公理(二)
学习目标　1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一　平行公理(公理4)
思考　在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.该结论在空间中是否成立？
　
　
梳理　平行公理
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．
(2)符号表示：?a∥c.
知识点二　空间两直线的位置关系
思考　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
　
　
梳理　异面直线的概念
(1)定义：不同在______________平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；
②两直线既不平行也不相交．
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
知识点三　等角定理
思考　观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，
这两组角的大小关系如何？
　
　
梳理　等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应________，则这两个角________或________．
知识点四　异面直线所成的角
思考　在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
　
　
梳理　异面直线所成角的定义
定义
前提
两条异面直线a，b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的______________叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ，则________________．
特殊情况
当θ＝________时，a与b互相垂直，记作：________.
类型一　公理4及等角定理的应用
例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点．求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
　
　
　
　
反思与感悟　(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．
跟踪训练1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：
(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
　
　
　
　
　
类型二　异面直线
例2　(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交或平行
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
(2)如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
　
　
　
反思与感悟　判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．
跟踪训练2　(1)在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
　
　
例3　如图所示，已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
　
　
　
　
反思与感悟　(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．
(2)求异面直线所成的角的一般步骤
①作角：平移成相交直线．
②证明：用定义证明前一步的角为所求．
③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是______．
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为(　　)
A．130° B．50° C．130°或50° D．不能确定
3．下列四个结论中错误命题的个数是(　　)
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
　
　
　
　
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　成立．
知识点二
思考　平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
梳理　(1)任何一个　(4)①平行　异面
相交　②平行　相交　异面
知识点三
思考　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
梳理　平行　相等　互补
知识点四
思考　相等．
梳理　锐角(或直角)　0°<θ≤90°　90°
a⊥b
题型探究
例1　证明　在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B，
∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
跟踪训练1　证明　(1)如图 ，连接AC，
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，
MN＝AC.
由正方体的性质得
AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
例2　D　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]
(2)解　由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
跟踪训练2　(1)8
解析　与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．
(2)解　还原的正方体如图所示．
异面直线有三对，分别为AB与CD，
AB与GH，EF与GH.
例3　解　如图，取AC的中点P，连接PM，PN，
因为点M，N分别是BC，AD的中点，
所以PM∥AB，且PM＝AB；
PN∥CD，且PN＝CD，
所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．
所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角．
因为直线AB与CD成60°角，
所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.
又因为AB＝CD，所以PM＝PN.
(1)若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN＝60°，
即AB与MN所成的角为60°.
(2)若∠MPN＝120°，
则易知△PMN是等腰三角形，
所以∠PMN＝30°，
即AB与MN所成的角为30°.
综上，直线AB与MN所成的角为60°或30°.
跟踪训练3　45°
解析　连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B′AB＝45°.
当堂训练
1．B　[如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.]
2．C　[根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]
3．B　[①④均为错误命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲所示，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．]
4．②④
解析　①中，∵G，M是中点，∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；③中，
∵G，M是中点，∴GM綊CD，∴GM綊HN，即GMNH是梯形，则GH，MN必相交，∴H，G，M，N四点共面；④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．
5. 解　(1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，
可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.
由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
课件43张PPT。4.2 空间图形的公理（二）第一章　 §4 空间图形的基本关系与公理5．1　平行关系的判定
学习目标　1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
知识点一　直线与平面平行的判定定理
思考　如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
　
　
梳理　判定定理
表示
定理　　
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与__ __________________________，则该直线与此平面平行
?a∥α
知识点二　平面与平面平行的判定定理
思考1　三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
　
思考2　三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
　
　
梳理　判定定理
表示
定理　　
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的______________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
?α∥β
类型一　直线与平面平行的判定问题
例1　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
跟踪训练1　在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中点，求证：EF∥平面A1CD.
　
　
　
　
　
反思与感悟　证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．
跟踪训练2　如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1；
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.
　
　
　
　
　
　
　
　
类型二　平面与平面平行的判定
例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
　
　
　
　
　
　
　
1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面(　　)
A．不可能作出
B．只能作出一个
C．能作出无数个
D．上述三种情况都存在
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　)
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(　　)
A．1个或2个 B．0个或1个
C．1个 D．0个
5. 如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F、E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.
　
　
　
　
　
1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行．
3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　平行．
梳理　此平面内一条直线平行
知识点二
思考1　不一定．
思考2　平行．
梳理　两条相交直线　a∩b＝P
题型探究
例1　证明　连接AN并延长交BC于点P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，
所以＝，所以MN∥SP，
又MN 平面SBC，SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
引申探究
证明　连接AC，由平行四边形的性质可知，AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，MN∥SC，又因为SC?平面SBC，MN?平面SBC，所以MN∥平面SBC.
跟踪训练1　平面ABD与平面ABC
解析　如图，取CD的中点E，连接AE，BE.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
又AB?平面ABD，MN 平面ABD，
所以MN∥平面ABD，
同理，AB?平面ABC，MN 平面ABC，
所以MN∥平面ABC.
例2　证明　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，F为A1C1的中点，
∴A1F綊AC，
∵D、E分别是棱AB，BC的中点，
∴DE綊AC，
∴A1F綊DE，
则四边形A1DEF为平行四边形，
∴EF∥A1D.
又EF 平面A1CD且A1D?平面A1CD，
∴EF∥平面A1CD.
跟踪训练2　证明　(1)∵BC1 平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF 平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.
例3　证明　(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF 平面BCHG，BC?平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E 平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
跟踪训练3　解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.
又∵AP?平面APO，QB 平面APO，
∴QB∥平面APO.
∵P，O分别为DD1，DB的中点，
∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
当堂训练
1．D　2.D　3.A　4.B
5．证明　连接BD，在△ABD中，
∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD，又CD⊥AD，
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD 平面FEB，BE?平面FEB，
∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.
课件37张PPT。5.1　平行关系的判定第一章　 §5　平行关系学习目标
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.
2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.
3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考　知识点一　直线与平面平行的判定定理如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案答案　平行.判定定理梳理此平面内一条直线平行知识点二　平面与平面平行的判定定理思考1　三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案答案　不一定.思考2　三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案答案　平行.判定定理梳理a∩b＝P两条相交直线题型探究命题角度1　以锥体为背景证明线面平行
例1　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且
求证：MN∥平面SBC.类型一　直线与平面平行的判定问题证明证明　连接AN并延长交BC于点P，连接SP.引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.证明证明　连接AC，由平行四边形的性质可知，AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.跟踪训练1　在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________________.平面ABD与平面ABC答案解析解析　如图，取CD的中点E，连接AE，BE.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.命题角度2　以柱体为背景证明线面平行
例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中点，求证：EF∥平面A1CD.证明证明　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，F为A1C1的中点，∴A1F綊DE，
则四边形A1DEF为平行四边形，
∴EF∥A1D.∴EF∥平面A1CD.证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线.跟踪训练2　如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1；证明证明　∴BC1∥平面AB1D1.(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.证明证明　∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，
又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∴EF∥平面ADD1A1.例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；类型二　平面与平面平行的判定证明证明　因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明证明　因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC.因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法.
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解答解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.∴QB∥平面APO.
∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.当堂训练1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个√答案23451解析　由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行.
故与EF平行的平面有4个.解析2.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面
A.不可能作出 B.只能作出一个
C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在答案√23451解析　设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；
若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；
若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.解析3.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G答案√23451解析23451解析　∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥EGH1.4.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作
A.1个或2个 B.0个或1个
C.1个 D.0个23451解析　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.解析答案√5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F、E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.23451证明证明　连接BD，在△ABD中，
∠BAD＝60°，AB＝AD，23451∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD，又CD⊥AD，
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.
2.证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行.
3.准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.本课结束5．2　平行关系的性质
学习目标　1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．
知识点一　直线与平面平行的性质
思考1　如图，直线l∥平面α，直线a?平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
　
　
思考2　如图，直线a∥平面α，直线a?平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？
　
　
　
梳理　性质定理
文字语言
如果一条直线与一个平面______，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的______与该直线________
符号语言
a∥α，________________?a∥b
图形语言
知识点二　平面与平面平行的性质
观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1　平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
　
思考2　若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
　
思考3　过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？
　
梳理　性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?________
图形语言
类型一　线面平行的性质定理的应用
例1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，
求证：AP∥GH.
　
　
　
　
　
　
引申探究
如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：AB∥GH.
反思与感悟　线∥面线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于________．
类型二　面面平行的性质定理的应用
例2　如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．
　
　
　
　
　
　
　
引申探究
若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长．
反思与感悟　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
跟踪训练2　已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，如右图所示，求证：＝.
　
　
　
　
　
类型三　平行关系的综合应用
例3　设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.
　
　
　
　
　
　
　
　
　
例4　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．
跟踪训练4　如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(　　)
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是(　　)
A．互相平行 B．交于一点
C．相互异面 D．不能确定
4．如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.
5. 如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　不一定，因为还可能是异面直线．
思考2　无数个，a∥b.
梳理　平行　交线　平行　a?β，α∩β＝b
知识点二
思考1　是的．
思考2　不一定，也可能异面．
思考3　平行．
梳理　平行　a∥b
题型探究
例1　证明　连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM?平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
引申探究
证明　因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB.
所以EF∥DC.
又EF 平面PCD，DC?平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又EF?平面EFQ，
平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.
跟踪训练1　
例2　解　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，
所以＝，
即＝，所以SC＝272.
引申探究
解　设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
因为α∥β，所以AC与BD无公共点，
所以AC∥BD，
所以△ACS∽△BDS，所以＝.
设CS＝x，则＝，所以x＝16，
即CS＝16.
跟踪训练2　证明　如图，连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.
因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF.
于是，得＝，＝，所以＝.
例3　证明　如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，
连接DE，BE.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)，
取AE的中点N，连接NP，MN，
∴M，P分别为AB，CD的中点，
∴NP∥DE，MN∥BE.
又NPβ，DE?β，MN β，BE?β，
∴NP∥β，MN∥β，
∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.
∵MP?平面MNP，MP β，∴MP∥β.
跟踪训练3　证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB1，
∴＝.
∵BD＝B1C，
DN＝CM，
∴B1M＝BN.
∴＝，
∴NP∥CD∥AB.
∵NP 平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP 平面AA1B1B，
BB1?平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B，
又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN?平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.
例4　解　能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.
∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC，
∴A1N∥MC.
同理，A1M∥NC.
∴四边形A1MCN是平行四边形．
∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，
C1N∥A1P，
∴四边形A1PC1N是平行四边形，
∴A1N∥PC1且A1N＝PC1.
同理，A1M∥BP且A1M＝BP.
又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
故过点A1与截面PBC1平行的截面是?A1MCN.
连接MN，作A1H⊥MN于点H.
由题意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2.
∴MH＝NH＝，∴A1H＝.
故＝2＝2××2×＝2.
跟踪训练4　(1)证明 因为BC∥AD，
BC 平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.
(2)解 平行．证明如下：
如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM，
所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.
又AE?平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
当堂训练
1．B　2.C　3.A　4.
5．解　直线l∥平面PAC.
证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF?平面PAC，
所以l∥平面PAC.
课件48张PPT。5.2　平行关系的性质第一章　 §5　平行关系学习目标
1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.
2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1　知识点一　直线与平面平行的性质答案答案　不一定，因为还可能是异面直线.思考2　答案答案　无数个，
a∥b.梳理交线平行平行性质定理知识点二　平面与平面平行的性质观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.答案答案　是的.平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？思考1　思考2　答案答案　不一定，也可能异面.思考3　答案答案　平行.过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？梳理a∥b平行性质定理题型探究例1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.类型一　线面平行的性质定理的应用证明证明　连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.引申探究
如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.
求证：AB∥GH.证明证明　因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB.
所以EF∥DC.又EF∥AB，所以AB∥GH.线∥面 线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段FE的长度等于______.答案解析解析　∴EF∥AC，例2　如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长.类型二　面面平行的性质定理的应用证明证明　设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，所以SC＝272.引申探究
若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长.解答解　设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2　已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，如下图所示，证明证明　如图，连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG，平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF.
因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF.类型三　平行关系的综合应用命题角度1　由面面平行证明线面平行
例3　设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点.求证：MP∥平面β.证明证明　如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连接DE，BE.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)，
取AE的中点N，连接NP，MN，
∴M，P分别为AB，CD的中点，
∴NP∥DE，MN∥BE.∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.证明证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.命题角度2　探索性问题
例4　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.解答解　能，如图，取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.
∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC，
∴A1N∥MC.同理，A1M∥NC.
∴四边形A1MCN是平行四边形.∴四边形A1PC1N是平行四边形，
∴A1N∥PC1且A1N＝PC1.
同理，A1M∥BP且A1M＝BP.
又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1.故过点A1与截面PBC1平行的截面是?A1MCN.
连接MN，作A1H⊥MN于点H.在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面.跟踪训练4　如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求证：l∥BC；解答解　又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.解答解　平行.证明如下：
如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM，
所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.当堂训练1.如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则
A.EF与BC相交 B.EF∥BC
C.EF与BC异面 D.以上均有可能√答案23451解析　解析∴EF∥BC.2.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有
A.0条 B.1条
C.0条或1条 D.无数条答案√23451解析　过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.解析3.平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是
A.互相平行 B.交于一点
C.相互异面 D.不能确定答案√23451解析　由平面与平面平行的性质定理知，a∥b，a∥c，b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故选A.解析4. 如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝____.23451解析　由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.解析答案5.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.23451解答解　直线l∥平面PAC.
证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.234511.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.本课结束6．1　垂直关系的判定
学习目标　1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．
知识点一　直线与平面垂直的定义
思考　 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
梳理　线面垂直的概念
定义
如果一条直线和一个平面内的______________直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直
记法
有关概念
直线l叫作平面α的________，平面α叫作直线l的________，它们唯一的公共点P叫作________
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知识点二　直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．
思考1　折痕AD与桌面一定垂直吗？
　
思考2　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
　
　
梳理　判定定理
文字语言
如果一条直线和一个平面内的______________都垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝A?l⊥α
图形语言
知识点三　二面角
思考1　观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
　
　
思考2　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
　
梳理　(1)定义：从一条直线出发的______________所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的________．
②两个半平面叫作二面角的________．
(3)二面角的记法
以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角α－AB－β.
(4) 二面角的平面角：
若有①O________l；②OA______α，OB________β；③OA________l，OB________l，则二面角α－l－β的平面角是________．
知识点四　平面与平面垂直
思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
　
梳理　(1)平面与平面垂直的概念
①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
③记法：________.
(2)判定定理
文字语言
如果一个平面经过另一个平面的一条________，那么这两个平面互相垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，________?α⊥β
类型一　线面垂直的判定
例1　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.
　
　
　
　
　
　
　
引申探究
若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.
反思与感悟　(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
跟踪训练1　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.
　
　
　
　
　
　
　
　
类型二　面面垂直的判定
例2　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．
(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．
跟踪训练2　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.
　
　
　
　
　
　
　
　
　
类型三　与二面角有关的计算
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．
(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．
跟踪训练3　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有(　　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
4．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为________．
5. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．
求证：平面EFC⊥平面BCD.
　
　
　
　
　
　
　
1.直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　不变，90°.
梳理　任何一条　l⊥α　垂线　垂面　垂足
知识点二
思考1　不一定．
思考2　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．
梳理　两条相交直线
知识点三
思考1　二面角．
思考2　二面角的平面角．
梳理　(1)两个半平面　(2)棱　面
(4)∈　?　?　⊥　⊥　∠AOB
知识点四
思考　都是垂直．
梳理　(1)①直二面角　③α⊥β
(2)垂线　l?β
题型探究
例1　证明　∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
引申探究　
证明　由例1知BC⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
跟踪训练1　证明　由引申探究知AE⊥平面PBC.
∵PB?平面PBC，
∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF.
例2　证明　连接AC，与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，
∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
跟踪训练2　证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，
即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.
又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
例3　解　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.
跟踪训练3　解　由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
而PC?平面PAC，
∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
当堂训练
1．A　2.D　3.C
4．60°
解析　由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点．取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.
由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.
又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，
∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角．
∵PA＝，AQ＝AC＝3，∴PQ＝8.
又∵OQ＝BC＝4，
∴cos∠PQO＝＝，
∴∠PQO＝60°.
5．证明　∵AD⊥BD，EF∥AD，
∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，
∴BD⊥平面EFC.
∵BD?平面BCD，
∴平面EFC⊥平面BCD.
课件44张PPT。6.1　垂直关系的判定第一章　 §6　垂直关系学习目标
1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.
2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.
3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考　知识点一　直线与平面垂直的定义在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案答案　不变，90°.线面垂直的概念梳理任何一条l⊥α垂线垂面垂足知识点二　直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.思考1　折痕AD与桌面一定垂直吗？答案答案　不一定.思考2　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案答案　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.判定定理梳理两条相交直线思考1　知识点三　二面角观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案答案　二面角.思考2　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案答案　二面角的平面角.(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形.
(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的 .②两个半平面叫作二面角的 .
(3)二面角的记法
以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面
角面α－AB－β.
(4) 二面角的平面角：若有①O l；②OA? α，OB β；③OA l，OB l，则二面角α－l－β的平面角是 .梳理两个半平面棱面⊥∈⊥∠AOB知识点四　平面与平面垂直思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案答案　都是垂直.(1)平面与平面垂直的概念
①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.
②画法：
③记法： .梳理直二面角α⊥β(2)判定定理垂线题型探究例1　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.类型一　线面垂直的判定证明证明　∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究
若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明证明　由例1知BC⊥平面PAC，∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.跟踪训练1　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明证明　由引申探究知AE⊥平面PBC.∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF.例2　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.
求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明类型二　面面垂直的判定证明　连接AC，与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.(1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线.
(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角.跟踪训练2　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，
即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.类型三　与二面角有关的计算解答解　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算.
(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.跟踪训练3　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.解答解　又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.当堂训练1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
A.①③ B.②
C.②④ D.①②④√答案23451解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面.
而②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直.解析2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有
A.1对 B.2对
C.3对 D.5对答案√23451解析23451解析　∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，
又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对.3.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定答案√23451同理BC⊥l，
又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.解析4.三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝ ，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为_____.23451解析答案60°23451解析　由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点.
取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.
由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.
又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，
∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角.5. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点.
求证：平面EFC⊥平面BCD.23451证明证明　∵AD⊥BD，EF∥AD，
∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，
∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，
∴BD⊥平面EFC.23451∴平面EFC⊥平面BCD.1.直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2.证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.本课结束6．2　垂直关系的性质
学习目标　1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
思考　在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
　
　
梳理　性质定理
文字语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线________
符号语言
?a∥b
图形语言
知识点二　平面与平面垂直的性质
思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
　
　
　
梳理　性质定理
文字语言
如果两个平面互相垂直，那么在______________垂直于它们________的直线________于另一个平面
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，________，________?a⊥β
图形语言
类型一　线面垂直的性质及应用
例1　如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a?α，a⊥AB.求证：a∥l.
　
　
　
　
　
类型二　面面垂直的性质及应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
求证：(1)BG⊥平面PAD；
　
　
　
　
　
(2)AD⊥PB.
　
　
　
　
类型三　垂直关系的综合应用
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练3　如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.
　
　
　
　
　
　
　
　
例4　已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ (0＜λ＜1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．
跟踪训练4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥DA1；
(2)在线段AA1上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
1．在空间中，下列命题正确的是(　　)
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(　　)
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
3．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是(　　)
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
4．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
5. 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
　
　
　
　
　
　
　
　
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
答案精析
问题导学
知识点一
思考　平行．
梳理　平行
知识点二
思考　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．
梳理　一个平面内　交线　垂直　a?α
a⊥l
题型探究
例1　证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
跟踪训练1　证明　∵PA⊥α，l?α，
∴PA⊥l.
同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，
∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，
∴a⊥平面PAB.∴a∥l.
例2　证明　如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB.
跟踪训练2　证明　(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，
∴AD⊥PB.
例3　证明　(1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.
又AD?平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(3)在平行四边形ABED中，由AB⊥AD，可得ABED为矩形，故有BE⊥CD.①
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF.②
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.
由于CD?平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
跟踪训练3　证明　∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC于点E，
如图，则AE⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，
∴AE⊥CD.又BC⊥CD，
AE∩BC＝E，
AE，BC?平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，∴AB⊥CD.
又AB⊥AC，AC∩CD＝C，
AC、CD?平面ACD.
∴AB⊥平面ACD.又AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD.
例4　(1)证明　∵∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵＝，∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.
又∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC.
故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解　由(1)，得EF⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴EF⊥BE.
要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.
∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝.
又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，
∴AB＝，AC＝，
∴BE＝＝，∴AE＝，
∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
跟踪训练4　(1)证明　连接AD1，BC1，
由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE?平面ABC1D1，
∴DA1⊥AE.
(2)解　如图所示A1点即为G点，证明如下：连接A1F由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，
∵AE?平面AHE，∴DF⊥AE.
又DF∩A1D＝D，
∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.
当堂训练
1．D　2.D　3.C　4.
5．证明　因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC?平面SBC，
所以平面SCD⊥平面SBC.
课件39张PPT。6.2　垂直关系的性质第一章　 §6　垂直关系学习目标
1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.
2.能运用性质定理解决一些简单问题.
3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考　知识点一　直线与平面垂直的性质定理在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案答案　平行.性质定理梳理平行知识点二　平面与平面垂直的性质思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案答案　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.性质定理梳理一个平面内交线垂直a⊥l题型探究例1　如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.类型一　线面垂直的性质及应用证明证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a?α，a⊥AB.求证：a∥l.证明证明　同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.证明类型二　面面垂直的性质及应用证明　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.
求证：(1)BG⊥平面PAD；证明证明　平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.证明证明　由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，又PB∈平面PBG，
∴AD⊥PB.命题角度1　线线、线面、面面垂直的转化
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；类型三　垂直关系的综合应用证明证明　∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.(2)BE∥平面PAD；证明证明　∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，
E和F分别是CD和PC的中点，
故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.(3)平面BEF⊥平面PCD.证明证明　在平行四边形ABED中，由AB⊥AD，可得ABED为矩形，故有BE⊥CD. ①
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，
再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF. ②
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练3　如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.证明证明　∵平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD＝BC，
在平面ABC内，作AE⊥BC于点E，
如图，则AE⊥平面BCD.命题角度2　垂直中的探索性问题
例4　已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且 λ(0＜λ＜1).
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；证明证明　∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解答要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.跟踪训练4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.
(1)求证：AE⊥DA1；证明证明　连接AD1，BC1，
由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，
∴DA1⊥平面ABC1D1.(2)在线段AA1上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由.解答又DF∩A1D＝D，
∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.解　如图所示A1点即为G点，证明如下：
连接A1F，由(1)可知AE⊥DA1，
取CD的中点H，连接AH，EH，
由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，
可证DF⊥平面AHE，当堂训练1.在空间中，下列命题正确的是
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行√答案23451解析　A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；
B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；
C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；
D项正确.解析2.平面α⊥平面β，直线a∥α，则
A.a⊥β B.a∥β
C.a与β相交 D.以上都有可能答案√23451解析　因为a∥平面α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.解析3.已知直线l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是
A.①② B.③④ C.①③ D.②④答案√23451解析4.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝_____.23451答案解析　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，解析5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.23451证明证明　因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，所以BC⊥平面SCD.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：本课结束7．1　简单几何体的侧面积
学习目标　1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力．
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
思考1　圆柱OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
　
　
思考2　圆锥SO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
　
　
　
　
思考3　圆台OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
　
　
　
　
梳理　圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝________
表面积：S＝__________
圆锥
底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝________
表面积：S＝________
圆台
上底面面积：S上底＝________
下底面面积：S下底＝________
侧面积：S侧＝________________
表面积：S＝________________________
知识点二　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
思考1　类比圆柱侧面积的求法，你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么？
　
　
思考2　正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积？
　
　
思考3　下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？
　
　
　
梳理　棱柱、棱锥、棱台侧面积公式
几何体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧＝c·h
c—底面周长
h—高
正棱锥
S正棱锥侧＝c·h′
c—底面周长
h′—斜高
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)·h′
c、c′—上、下底面周长
h′—斜高
类型一　旋转体的侧面积(表面积)
例1　(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．3π B．4π
C．2π＋4 D．3π＋4
(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________cm2.(结果中保留π)
反思与感悟　圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
跟踪训练1　(1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为(　　)
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
类型二　多面体的侧面积(表面积)及应用
例2　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)
A．8＋2 B．11＋2
C．14＋2 D．15
反思与感悟　多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形．
跟踪训练2　 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．
　
　
　
　
　
类型三　组合体的侧面积(表面积)
例3　某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.
反思与感悟　对于此类题目：
(1)将三视图还原为几何体；(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
跟踪训练3　一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为________m2.
例4　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积．
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．
(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．
跟踪训练4　已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．
　
　
　
1．一个圆锥的表面积为πa m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为(　　)
A. m B. m C. m D. m
2．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm.则三棱台的侧面积为(　　)
A．27 cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
3．一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　)
A．(80＋16)cm2 B．84 cm2
C．(96＋16)cm2 D．96 cm2
4．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是________．
5．正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积．
　
　
　
　
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．
思考2　底面周长是2πr，利用扇形面积公式得
S侧＝×2πrl＝πrl，
S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
思考3　圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，＝，解得x＝l.
S扇环＝S大扇形－S小扇形
＝(x＋l)×2πR－x·2πr
＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
梳理　2πr2　2πrl　2πr(r＋l)　πr2　πrl　πr(r＋l)　πr′2　πr2　π(r′l＋rl)　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点二
思考1　
利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积．展开图如图，不难求得S直棱柱侧＝ch.
思考2　正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到S正棱锥侧＝ch′.
思考3　S正棱台侧＝n(a＋a′)h′＝(c＋c′)h′.
题型探究
例1　(1)D　(2)1 100π
解析　(1)由三视图可知，
该几何体为：
故表面积为πr2＋l＋l2＝π＋2π＋4
＝3π＋4.
(2) 如图所示，
设圆台的上底面周长为c，
因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
跟踪训练1　(1)C　[由题意，圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.
①当以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，
即r＝2，所以S底＝4π，
所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π
＝8π(3π＋1)．
②当以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，
即r＝3，所以S底＝9π，
所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π
＝6π(4π＋3)．]
(2)C　[如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．因为O1为PO2的中点，
所以＝＝＝，
所以PA＝AB，O2B＝2O1A.
又因为S圆锥侧＝π·O1A·PA，
S圆台侧＝π·(O1A＋O2B)·AB，
则＝＝.]
例2　B
[该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．
S表＝2××(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×＝11＋2，故选B.]
跟踪训练2　解　方法一　
在Rt△B1FB中，
B1F＝h′，
BF＝(8－4)＝2(cm)，
B1B＝8 cm，
∴B1F＝＝2(cm)，
∴h′＝B1F＝2 cm.
∴S正棱台侧＝×4×(4＋8)×2
＝48(cm2)．
方法二　延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1＝x cm，
则＝，
得x＝8 cm.
∴PB1＝B1B＝8 cm，
∴E1为PE的中点．
∴PE1＝＝2(cm)．
PE＝2PE1＝4 cm.
∴S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧
＝4××8×PE－4××4×PE1
＝4××8×4－4××4×2
＝48(cm2)．
例3　138
解析　将三视图还原为长方体与直三棱柱的组合体，
再利用表面积公式求解．该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm，4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm,5 cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋
＝99＋39＝138(cm2)．
跟踪训练3　12π＋4π
例4　解　如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，
AB＝(2a－a)tan 60°＝a，
DC＝＝2a，
又DD′＝DC＝2a，
则S表＝S圆柱表＋S圆锥侧－S圆锥底
＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－πa2
＝(9＋4)πa2.
跟踪训练4　解　如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为点D.
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，
知AC2＋BC2＝AB3，
则AC⊥BC.
所以BC·AC＝AB·CD，
所以CD＝，
记为r＝，
那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4，
所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π.
当堂训练
1．B
2．B　[如图，O1，O分别是上、下底面中心，则O1O＝ cm，
连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，过D1作D1E⊥AD于点E.
在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝ cm，
DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)
＝ (cm)，
DD1＝
＝ ＝ (cm)，
所以S正三棱台侧＝(c＋c′)·DD1＝ (cm2)．]
3．A　4.5
5．解　
设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，
如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，
则SE⊥AB，且SE＝h′.
因为S侧＝2S底，
所以×3a×h′＝a2×2.
所以a＝h′.
因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.
所以32＋(×h′)2＝h′2.
所以h′＝2，所以a＝h′＝6.
所以S底＝a2＝×62＝9.
所以S侧＝2S底＝18.
课件49张PPT。7.1 简单几何体的侧面积第一章　 §1 简单几何体的面积和体积7.2　棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
学习目标　1.掌握柱体、锥体、台体的体积的计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．
知识点一　柱、锥、台体的体积公式
几何体
体积公式
柱体
圆柱、棱柱
V柱体＝________
S—柱体底面积，h—柱体的高
锥体
圆锥、棱锥
V锥体＝________
S—锥体底面积，h—锥体的高
台体
圆台、棱台
V台体＝________________
S上、S下—台体的上、下底面面积，h—高
知识点二　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝ShV＝(S′＋＋S)h
V＝Sh.
类型一　多面体的体积
例1　如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②，求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
　
　
　
　
反思与感悟　求几何体体积的四种常用方法
(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．
(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
跟踪训练1　一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)
A. B. C. D.
类型二　旋转体的体积
例2　(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
(2)体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为(　　)
A．54 cm3 B．54π cm3 C．58 cm3 D．58π cm3
反思与感悟　要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．
(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．
(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．
跟踪训练2　设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．
类型三　几何体体积的求法
例3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．
反思与感悟　(1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理．
(2)利用等体积法可求点到面的距离．
跟踪训练3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d.
　
　
　
　
　
例4　如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．
跟踪训练4　如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
　
　
　
　
1. 已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为(　　)
A. B.
C. D.
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)
A．π B．2π
C．4π D．8π
3．棱台的上，下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(　　)
A．18＋6 B．6＋2
C．24 D．18
4．某几何体的三视图如图所示，其体积为________．
5．如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.
1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh.
2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．
3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
答案精析
知识梳理
知识点一
Sh　Sh　(S上＋S下＋)h
题型探究
例1　解　由主视图可知，在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在等边三角形ABC中，BC＝＝＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.
跟踪训练1　D　[如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
截去三棱锥A1－AB1D1.
设正方体的棱长为a，
则VA1－AB1D1＝×a3＝a3，
故剩余几何体的体积为a3－a3＝a3，
所以比值为，故选D.]
例2　(1)
解析　由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，因此该几何体的体积V＝2××π×12×1＋π×12×2＝(m3)．
(2)A　[由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27.
截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26，
∴小圆锥的体积为2 cm3，
故原来圆锥的体积为54 cm3，故选A.]
跟踪训练2　21π
例3　
解析　V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A
＝××1×1×1＝.
跟踪训练3　解　在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝.
∵××12×1＝×××××d，
∴d＝.
例4　解　如图，连接EB，EC，AC.四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×42×3＝16.
因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2SBEF.
所以VF－EBC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC
＝×VE－ABCD＝4.
所以该多面体的体积V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.
跟踪训练4　解　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
当堂训练
1．D　2.B　3.B　4.　5.0.6
课件32张PPT。7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积第一章　 §7 简单几何体的面积与体积7.3　球的表面积和体积
学习目标　1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积．
知识点一　球的截面
思考　什么叫作球的大圆与小圆？
　
　
梳理　用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是________，有以下性质：
(1)若平面α过球心O，则截线是以________为圆心的球的大圆．
(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝，即此时截线是以____为圆心，以r＝为半径的球的小圆．
知识点二　球的切线
(1)定义：与球只有________公共点的直线叫作球的切线．如图，l为球O的切线，M为切点．
(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；
②过球外一点的所有切线的长度都________．
知识点三　球的表面积与体积公式
前提条件
球的半径为R
表面积公式
S＝________
体积公式
V＝________
类型一　球的表面积与体积
例1　(1)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为______．
(2)已知球的表面积为64π，求它的体积．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆．
跟踪训练1　(1)已知球的体积为π，则其表面积为________．
(2)某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是(　　)
A. B.
C.－ D.＋
类型二　球的截面
例2　在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练2　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3
B. cm3
C. cm3
D. cm3
类型三　与球有关的组合体
例3　(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________．
反思与感悟　(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝.
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝.
跟踪训练3　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2
例4　若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．
　
　
　
　
　
反思与感悟　将正四面体可以补成正方体．由此可得
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
跟踪训练4　球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)
A．R B．2R C．3R D．4R
2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π C．4π D．6π
3．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)
A．9π B．10π C．11π D．12π
4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．
5．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍．
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　平面过球心与球面形成的截线是大圆．
平面不过球心与球面形成的截线是小圆．
梳理　圆　(1)O　(2)O′
知识点二
(1)唯一　(2)②相等
知识点三
4πR2　πR3
题型探究
例1　(1)3π
解析　由三视图知该几何体为半球，
则其表面积为×4π×12＋π×12＝3π.
(2)解　设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.
跟踪训练1　(1)100π　(2)D
例2　解　依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝×3＝.
由R2＝()2＋()2，得R＝2.
所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
跟踪训练2　A　[利用球的截面性质结合直角三角形求解．
如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，
BM＝AB＝×8＝4(cm)．
设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5 cm，
∴V球＝π×53＝(cm3)．]
例3　(1)14π
解析　长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，
所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
(2)π
解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×12＝.
跟踪训练3　B
例4　解　把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x，
由题意2R＝x＝×＝a，
∴S球＝4πR2＝πa2.
跟踪训练4　或
当堂训练
1．D
2．B　[如图，设截面圆的圆心为O′，
M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1.
∴OM＝＝.
即球的半径为.∴V＝π()3＝4π.]
3．D　4.3∶1∶2　5.8　4
课件34张PPT。7.3 球的表面积和体积第一章　 §7 简单几何体的面积与体积第一章 立体几何初步
1　揭秘圆柱、圆锥、圆台和球的特征
我们把由一条平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.这条定直线叫作旋转体的轴，常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球等.
1.圆柱有以下三个主要特征
(1)圆柱的轴垂直于底面.
(2)圆柱的所有母线都相互平行且相等，而且都与圆柱的轴平行.
(3)圆柱的母线垂直于底面.
2.三类几何体的区别如下表所示
底面
平行于底面的截面
轴截面
圆柱
有两个、平行且全等
与两底面全等
矩形
圆锥
只有一个
与底面相似
等腰三角形
圆台
有两个、平行且相似
与两底面相似
等腰梯形
从运动变化的角度来讲，三类几何体的内在联系如图所示.
3.球与球面
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球.球面也可看成是空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合.球面仅仅指球的表面，而球不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间，所以球是由半圆面沿其直径旋转而成的封闭的、实心的几何体.球的截面都是圆面.
4.圆台应具备以下性质
(1)圆台的底面是两个半径不相等的圆，两圆所在的平面互相平行且和轴垂直.
(2)平行于底面的截面是圆.
(3)母线都相等，各母线延长后相交于一点.
例　下列说法正确的是(　　)
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；
②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交.
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解析　①错，圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其底边的中线旋转形成的；②正确；由母线的定义知③错；④正确.所以应选D.
答案　D
2　学习空间几何体要“三会”
一、会辨别
例1　下列说法：①一个几何体有五个面，则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；②若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台；③直角三角形绕其任意一条边旋转一周都可以围成圆锥.其中说法正确的个数为________.
分析　可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断.
解析　一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以①错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点，而②中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点，所以②错；③中如绕直角边旋转可以形成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以③错.故填0.
答案　0
评注　要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提.
二、会折展
例2　纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________.
分析　将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可.
解析　将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北.故填北.
答案　北
评注　将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视.解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践.
三、会割补
例3　如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.
(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；
(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥.
分析　(1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；
(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形.
解　(1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示).
(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示).
评注　正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解.
3　三视图易错点剖析
一、棱锥的视图易出错
我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图.实际上，在上述几何体的三视图中，左视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图.
如图，对于正三棱锥P－ABC来说，它的主视图中，从前面向后面看，点B到了点D的位置，点P到了点P′的位置，故主视图为等腰三角形P′AC(包含高线P′D)，从左侧向右侧看，点A到了点D的位置，故左视图为△PBD，从上面向下面看，俯视图中，点P到了点O的位置，故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC).
如图，对于正四棱锥P－ABCD来说，它的主视图和左视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD).对于此三视图，左视图和主视图易出错，但有了高线PO的衬托，便可降低出错率.
二、画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错
作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示.这一点不能忽视，否则易出错.
例1　画出如图所示零件的三视图.
错解　如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示.
剖析　错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线.
正解　
三、不能由三视图还原正确的直观图而出错
当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性.
例2　如图，通过三视图还原物体的直观图.
解　通过三视图可以画出直观图，如图所示：
注：其中PC为垂直于底面ABCD的直线.
变式训练　由下面的三视图还原物体的直观图.
解　通过三视图可以看出直观图如图所示：
注：其中CC1为垂直于底面ABCD的直线.
4　直观图与原图形的互化知多少
在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化.关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”.
“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”.现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略.
一、原图形到直观图的转化
例1　已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
分析　先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB所在直线为x轴，以AB边上的高所在直线为y轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解.
解析　根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示.
易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.
作C′D′⊥A′B′于点D′，
则C′D′＝O′C′＝a.
S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝a×a＝a2.
答案　D
评注　通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为∶1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位.
二、直观图到原图形的转化
例2　用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到一个边长为1的正方体，则原来图形的形状是(　　)
解析　由直观图知，原图形在y轴上的对角线长应为2.
答案　A
评注　当由直观图向原图形转化时，关键是在直观图中建立斜45°坐标系，有了斜45°坐标系，便可按“斜二测画法”的画图规则逆推回去，而在正方形中建立45°坐标系是很容易的(正方形的对角线与任一边所成的角均为45°)，从而实现了由直观图向原几何图形的过渡.
例3　如图所示，四边形ABCD是一平面图形水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________.
分析　由∠BCx＝45°，先计算BC的长度.
解析　由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不变，仍为6和4，高为4，故平面图形的实际面积为×(6＋4)×4＝20.
答案　20
5　“三共”问题的证法精析
一、证明点共线
例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B、Q、D1共线.
证明　∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C?平面A1D1CB，
∴Q∈平面A1D1CB；而Q∈平面ABC1D1.
∴Q在两平面的交线BD1上，∴B、Q、D1共线.
评注　证明点共线的问题，一般可转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可根据公理3证明这些点同在两平面的交线上.
二、证明线共点
例2　如图，△ABC与△A1B1C1三条边对应平行，且两个三角形不全等，求证：三对对应顶点的连线相交于一点.
分析　要证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上.
证明　由A1B1∥AB，知A1B1与AB可确定平面α.
同理C1B1与CB，A1C1与AC可分别确定平面β和γ.
又△ABC与△A1B1C1不全等，则A1B1≠AB.
若AA1，BB1的交点为P，则P∈AA1，且P∈BB1.
又β∩γ＝CC1，BB1?β，则P∈β；AA1?γ，则P∈γ.
所以点P在β∩γ的交线上，
即P∈CC1，这样点P在AA1，BB1，CC1上，即三对对应顶点的连线相交于一点.
评注　解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上.
三、证明线共面
例3　求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面.
分析　四条直线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况加以证明.
证明　分两种情况证明：
①有三条直线过同一点，如图，
因为A?l4，
所以过A，l4可确定平面α.
因为B，C，D∈l4，所以B，C，D∈α.
所以AB?α，AC?α，AD?α.
因此四条直线l1，l2，l3，l4共面.
②任意三条直线都不过同一点，如图.
因为l1∩l2＝A，所以过l1，l2可以确定平面α.
又因为D，E∈l2，B，C∈l1，
所以D，E，B，C∈α.
由E∈α，B∈α，可得BE?α，即l3?α.
同理可证，l4?α.因此四条直线l1，l2，l3，l4共面.
评注　证明线共面问题，一般有两种方法：一是先由两条直线确定一个平面，再证明第三条直线在这个平面内；二是由其中两条直线确定一个平面α，另两条直线确定一个平面β，再证α，β重合，从而三线共面.
6　证明平行问题的三个突破点
一、由中点联想三角形的中位线，寻找平行关系
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD1的中点，求证：AD1∥平面BDE.
分析　要在平面BDE内寻找与AD1平行的直线，由条件E是CD1的中点，易想到利用三角形的中位线来寻找.由于底面ABCD是平行四边形，其对角线的交点就是AC的中点，这样就找到了中位线，从而问题就解决了.
证明　连接AC，与BD交于点O.
因为底面ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点.
连接OE，由于E是CD1的中点，
所以OE是△AD1C的中位线.
所以OE∥AD1.
又OE?平面BDE，AD1?平面BDE，
所以AD1∥平面BDE.
评注　运用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时，不能忽视限制条件：一条直线在平面内，一条直线在平面外，如本题中OE?平面BDE，AD1?平面BDE，否则证明不完善.
二、由平行四边形寻找平行关系
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面ABB1A1.
分析　要在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，可根据平行关系作ME∥BC，NF∥AD来构造平行四边形，从而找到与MN平行的直线.
证明　作ME∥BC交BB1于点E，作NF∥AD交AB于点F，连接EF.
因为AD∥BC，所以NF∥ME.
因为CM＝DN，BD＝B1C，
所以B1M＝BN.
因为＝，＝，
所以ME＝NF.
所以四边形MEFN为平行四边形.所以MN∥EF.
又MN 平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，
所以MN∥平面ABB1A1.
评注　构造平行四边形的关键在于抓住条件特征，合理引入平行线.一定要注意平行四边形的一条边在要证平面内，其对边为待证直线，如本题中直线EF与MN.
三、由对应线段成比例寻找平行关系
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是PA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面PBC.
分析　条件中给出一个比例关系，由此想到运用比例线段在平面PBC内寻找一条直线与MN平行.
证明　连接AN并延长，交BC于点E，连接PE.
在正方形ABCD内，BC∥AD，
所以＝.
因为＝，所以＝.
所以MN∥PE.又PE?平面PBC，MN 平面PBC，
所以MN∥平面PBC.
7　巧用辅助线(面)证明平行关系
在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来解决问题.
一、作辅助线来解题
例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D.
证明　如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.
因为OF平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，
所以OF平行且等于BE，
即四边形OFEB为平行四边形.
所以EF∥BO.
又EF 平面BB1D1D，BO?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
评注　将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线.而本题通过巧作平行线，利用“有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一.
二、作辅助面来解题
例2　如图，已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，求证：a∥b.
分析　要证明线线平行，我们可以通过线面平行，或者面面平行来解决.条件里没有提到面面平行，所以，我们利用线面平行来突破.
证明　过a作平面γ，δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d.
因为γ∩α＝c，直线a∥平面α，a?γ，所以a∥c.
同理可证a∥d.所以c∥d.
由d?β，c β，得c∥β.因为c?α，α∩β＝b，所以c∥b.
又a∥c，所以a∥b.
评注　本题要使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面.
三、同时作辅助线与辅助面来解题
例3　如图，已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在这两个平面之间的线段，且AE＝EB，CG＝GD，AB与CD不平行，求证：EG∥平面α，EG∥平面β.
分析　有些综合性的题目需要同时作出辅助线与辅助面，通过面面之间的关系来解题.题目条件中出现了两个中点，一般可直接取某线段的中点，也可通过连线所得交点间接地取中点，本题是直接找中点.
证明　过点A作AH∥CD交平面β于点H，设F是AH的中点，连接EF，FG和BH，HD，BD.
因为E，F分别是AB，AH的中点，
所以EF∥BH，又BH?β，EF β，所以EF∥β.
又F，G分别是AH，CD的中点，且AH∥CD，
所以FG∥HD.
又HD?β，FG β，所以FG∥β.
因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面β，
又α∥β，所以平面EFG∥α.
因为EG?平面EFG，所以EG∥α，EG∥β.
评注　本题是通过先作辅助线AH，再作辅助面EFG，借助平面几何里三角形中位线的结论来解决问题的.
8　在转化中证明空间垂直关系
空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容.在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系.
一、证明线面垂直
证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直.
例1　如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.
证明　因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BM.
因为M是圆周上一点，
所以BM⊥AM.
又因为PA∩AM＝A，
所以BM⊥平面PAM，所以BM⊥AN.
又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
评注　本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化.
二、证明面面垂直
证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直.
例2　如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点.
(1)求证：DE＝DA；
(2)求证：平面BDM⊥平面ECA.
证明　(1)如图，取EC的中点F，连接DF，易知DF∥BC.
因为EC⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以EC⊥BC，所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
因为EF＝EC＝BD，
FD＝BC＝AB，
所以Rt△EFD≌Rt△DBA.
所以DE＝DA.
(2)如图，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，
且MN＝EC.
又EC∥BD，且BD＝EC，
所以MN∥BD，且MN＝BD.所以四边形BDMN是平行四边形.所以点N在平面BDM内.
因为EC⊥平面ABC，
所以EC⊥BN.
又CA⊥BN，EC∩CA＝C，
所以BN⊥平面ECA.
因为BN?平面MNBD，
所以平面BDM⊥平面ECA.
评注　在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题.
三、证明线线垂直
证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直.
例3　如图，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分别为A，B，求证：CD⊥AB.
证明　因为EA⊥α，CD?α，所以CD⊥EA.又因为EB⊥β，CD?β，所以EB⊥CD.
又因为EA∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.
因为AB?平面ABE，
所以CD⊥AB.
评注　证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到化归与转化的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中.其转化关系如下：
线线垂直线面垂直面面垂直
9　空间中垂直关系的探索型问题
随着新课程的普及，创新型问题越来越受到高考命题者的青睐，并且渗透到各个章节之中，本文就直线与空间中垂直关系的开放探索型问题列举两例，供同学们学习.
例1　如图，设△ABC内接于⊙O，PA垂直于⊙O所在的平面.
(1)请指出图中互相垂直的平面；(要求：列出所有的情形，但不要求证明)
(2)若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么在△ABC中需添加一个什么条件？(要求：添加你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性，答案不唯一)
(3)设D是PC的中点，AC＝AB＝a(a是常数)，试探究在PA上是否存在一点M，使MD＋MB最小？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
解　(1)图中互相垂直的平面有：
平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC.
(2)要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，在△ABC中需添加：AB⊥BC(或添加∠ABC＝90°，或AC是⊙O的直径，或AC过圆心O等.)
证明如下：因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以BC⊥PA.因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.(其他条件的证明略)
(3)将平面PAB绕PA沿逆时针方向旋转到与平面PAC在同一平面上，如图.因为PA⊥AC，PA⊥AB，
所以C，A，B三点在同一条直线上.
连接DB交PA于点M，则点M就是所求的点.
过点D作DE∥BC交PA于点E.
因为D是PC的中点，所以E为PA的中点.
因为＝，且AC＝AB，所以＝2.
所以AM＝AE＝AP，即当点M为AP方向上的第一个三等分点时，MD＋MB最小.
例2　如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，
(1)求证：EF∥平面ABCD；
(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF⊥平面D1MB？并说明理由.
(1)证明　∵E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，∴EF∥AB.又∵EF 平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
(2)解　当＝时，DF⊥平面D1MB.
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC.
∵D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF.
∵F，M分别是BD1，CC1的中点，∴FM∥AC.∴DF⊥FM.
∵D1D＝AD，∴D1D＝BD.∴矩形D1DBB1为正方形.
∵F为BD1的中点，∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1＝F，∴DF⊥平面D1MB.
10　几何法求空间角
空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画.利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体，能达到综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力.下面就利用几何法求空间角的策略进行分析.
一、求异面直线所成的角
求异面直线所成的角主要是根据定义利用平移法作出所成角，平移的主要途径有：(1)利用三角形和梯形的中位线；(2)利用平行线分线段成比例的性质；(3)利用平行四边形(矩形、正方形)的性质；(4)利用线面平行和面面平行的性质等.
例1　已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱都垂直于底面，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
分析　考虑直线AC1在平面AA1C1C上平行移动，当点C1移至A1时，点A自然移至CA的延长线上，因此只需取AD＝AC即可顺利作出所求解.
解析　如图，延长CA到D，使得AD＝AC.
由AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
得AD∥A1C1且AD＝A1C1.
所以四边形ADA1C1为平行四边形.
所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角.
设AB＝AC＝AA1＝1，则A1D＝A1B＝BD＝，
即△A1DB为等边三角形.所以∠DA1B＝60°.故选C.
答案　C
二、求二面角
求二面角是通过求其平面角的大小实现的，而平面角的作法中必须强调“垂直”，其常见途径：(1)利用共底的两个等腰三角形；(2)利用共公共边的两个全等三角形；(3)利用线面垂直和面面垂直的性质；(4)对于“无棱”二面角一般须先确定棱，然后再利用上述方法作出平面角.
例2　在三棱锥S－ABC中，已知△ABC是边长为a的等边三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝a，求平面ABC与平面SBC夹角的大小.
解　如图所示，因为AB＝AC＝a，∠BAS＝∠CAS＝90°，
所以SB＝SC.取BC的中点为D，连接AD，SD，则由等腰三角形的性质，可得SD⊥BC，AD⊥BC.于是由二面角的平面角的定义可知，∠ADS为平面ABC与平面SBC夹角的平面角.
因为AS＝a，AD＝BC＝a，
所以在Rt△ASD中，tan∠ADS＝＝.
所以∠ADS＝30°，
即所求平面ABC与平面SBC夹角的大小为30°.
评注　应用二面角的定义时，常常要先在二面角的棱上取一个适当的点(常取中点)，然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线，找出二面角的平面角，然后通过解三角形求得二面角的大小.
11　柱、锥、台的表面积求法精析
由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用.
一、锥体的表面积
例1　正三棱锥的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积.
分析　本题的关键在于求正三棱锥的斜高.
解　如图所示，过S点作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于D点.由正三角形的性质得D为BC的中点，连接SD，则SD为正三棱锥的斜高.
在Rt△ASO中，∠ASO＝45°，
AO＝×4＝(cm)，∴SO＝AO＝(cm).
在Rt△SOD中，OD＝×4＝(cm)，
故SD＝＝＝＝(cm).
令SD＝h′，根据正棱锥的侧面积公式：
S侧＝×3×4×＝4(cm2)，
又△ABC的面积为4 cm2，
故正三棱锥的表面积为(4＋4) cm2.
评注　有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系.解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，从而使问题得以解决.
二、柱体的表面积
例2　如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝，AC＝A1A＝2.
(1)求该几何体的表面积；
(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值.
解　(1)该几何体有5个面，两个底面的面积均为××＝1，三个侧面面积和为2×(＋＋2)＝4(＋1)，故其表面积S＝6＋4.
(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S1，则组合后的直棱柱的表面积为2S－2S1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小.
又侧面AA1C1C的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S－2S四边形AA1C1C＝4＋8.
评注　本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状；(2)的关键在于找到影响拼合后的面积变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比较.
三、台体的表面积
例3　已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.
分析　求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解所需的几何元素.
解　如图所示，正三棱台ABC－A1B1C1中，O，O1分别为两底面中心，D，D1分别为BC和B1C1中点，则DD1为棱台的斜高.
设A1B1＝20 cm，AB＝30 cm，
则OD＝5 cm，O1D1＝ cm，
由S侧＝S上＋S下，得
×(20＋30)×3×DD1＝(202＋302)，
∴DD1＝ cm.∴棱台的斜高为 cm.
在直角梯形O1ODD1中，
O1O＝＝4(cm).
∴棱台的高为4 cm.
评注　本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形.
12　空间几何体体积的求法精析
空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解.
一、直接用公式求解
根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解.
例1　已知圆锥的表面积为15π cm2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积.
分析　根据锥体的体积公式V＝Sh，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算.
解　设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，根据题意可得解得
所以h＝＝＝
＝r＝×＝5(cm).
所以V＝π×2×5＝π(cm3).
故该圆锥的体积为 cm3.
二、分割补形求解
当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解.
例2　如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C、三棱锥C－A1B1C1的体积之比.
分析　如图，三棱锥B－A1B1C可以看作棱台减去三棱锥A1－ABC和三棱锥C－A1B1C1后剩余的几何体，然后相比即可.
解　设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
所以V三棱锥A1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，
V三棱锥C－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V三棱台ABC－A1B1C1＝Sh，
所以V三棱锥B－A1B1C＝V三棱台ABC－A1B1C1－V三棱锥A1－ABC－V三棱锥C－A1B1C1＝Sh－Sh－Sh＝Sh.
所以V三棱锥A1－ABC∶V三棱锥B－A1B1C∶V三棱锥C－A1B1C1＝1∶2∶4.
三、等积转换求解
对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积.
例3　如图所示的三棱锥O－ABC为长方体的一角，其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2，1 cm2,3 cm2，求三棱锥O－ABC的体积.
分析　三棱锥O－ABC的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O－ABC看作C为顶点，△OAB为底面.由三棱锥C－OAB的体积得出三棱锥O－ABC的体积.
解　设OA，OB，OC的长分别为x cm，y cm，z cm，则由已知可得解得
于是V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB＝S△OAB·OC
＝××1×3×2＝1 cm3.
第一章 立体几何初步
学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的三视图与直观图，能计算几何体的表面积与体积．
1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积
名称
定义
图形
侧面积
体积
多面体
棱柱
有两个面____________，其余各面都是__________，并且每相邻两个四边形的公共边都__________
S侧＝Ch，C为底面的周长，h为高
V＝Sh
棱锥
有一个面是__________，其余各面都是________________的三角形
S正棱锥侧＝Ch′，C为底面的周长，h′为斜高
V＝Sh，h为高
棱台
用一个________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
S正棱台侧＝(C＋C′)h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高
V＝(S上＋S下＋)h，h为高
旋转体
圆柱
以________________所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高
V＝Sh＝πr2h
圆锥
以直角三角形的______________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
S侧＝πrl，r为底面半径，h为高
V＝Sh＝πr2h
圆台
用__________________的平面去截圆锥，____________之间的部分
S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线
V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
球
以__________所在直线为旋转轴，________旋转一周形成的旋转体
S球面＝4πR2，R为球的半径
V＝πR3
2.空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．
(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：
①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.
(3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面
①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．
②等积变换，如三棱锥转移顶点等．
③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．
3．四个公理
公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2：过________________________的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有____________________________．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________．
4．直线与直线的位置关系
5．平行的判定与性质
(1)直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝?
a∥b
(2)面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β，a?β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
(3)空间中的平行关系的内在联系
6．垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直
图形
条件
结论
判定
a⊥b，b?α(b为α内的________直线)
a⊥α
a⊥m，a⊥n，m、n?α，__________ ______
a⊥α
a∥b，________
b⊥α
性质
a⊥α，________
a⊥b
a⊥α，b⊥α
(2)平面与平面垂直的判定与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条________，那么这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
(3)空间中的垂直关系的内在联系
7．空间角
(1)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________________叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
②范围：设两异面直线所成角为θ，则________________．
(2)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线和由这条直线出发的__________所组成的图形叫作二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作________________的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
类型一　由三视图求几何体的表面积与体积
例1　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．12 B．18
C．24 D．30
反思与感悟　(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
跟踪训练1　已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A. B．3π
C. D．6π
类型二　平行问题
例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)证明线线平行的依据
①平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；②公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理．
(2)证明线面平行的依据
①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．
(3)证明面面平行的依据
①定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质定理；④面面平行的传递性．
跟踪训练2　如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
　
　
　
　
　
　
　
　
　
类型三　垂直问题
例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)两条异面直线相互垂直的证明方法
①定义；
②线面垂直的性质定理．
(2)直线和平面垂直的证明方法
①线面垂直的判定定理；
②面面垂直的性质定理．
(3)平面和平面相互垂直的证明方法
①定义；
②面面垂直的判定定理．
跟踪训练3　如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
(2)求证：BC1⊥AB1.
　
　
　
　
　
　
　
　
　
类型四　空间角问题
例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．
(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；
(2)求平面MEF与NEF的夹角的正切值．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　(1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法．
(2)找二面角的平面角的方法有以下两种：①作棱的垂面；②过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线．
跟踪训练4　如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(　　)
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
2．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确命题的序号是(　　)
A．① B．②和③ C．③和④ D．①和④
3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D
D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.
5. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．
求证：(1)C1O∥平面AB1D1；
(2)A1C⊥平面AB1D1.
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为
2．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．
另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．
答案精析
知识梳理
1．互相平行　四边形　互相平行　多边形
有一个公共顶点　平行于棱锥底面　矩形的一边　一条直角边　平行于圆锥底面　底面和截面　半圆的直径　半圆面
3．两点　不在同一条直线上　一条过该点的公共直线　平行
4．平行　相交　任何
5．(1)a∩α＝?　a?α，　b α，　a∥b
a∥α　a∥α，a?β，　α∩β＝b　(2)α∩β＝?　a?β，b?β，　a∩b＝P，　a∥α，b∥α
α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b
6．(1)任意　m∩n＝O　a⊥α　b?α　a∥b
(2)垂线
7．(1)①锐角(或直角)　②0°<θ≤90°
(2)①两个半平面　②垂直于棱
题型探究
例1　C　[由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，
＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30，＝·PB1＝××4×3×3＝6.故几何体ABC－PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.]
跟踪训练1　B　[将三视图还原为直观图求体积．
由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，
所以V＝×π×12×4＝3π.]
例2　解　
当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD?平面PMD，
∴OF∥平面PMD.又MA綊PB，
∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形．
∴AF∥PM.又AF 平面PMD，PM?平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
跟踪训练2　证明　(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
(2)连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．
由Q为PA中点，得QM∥PC，
又O为AB中点，得OM∥BC.
因为QM∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG?平面QMO，所以QG∥平面PBC.
例3　证明　(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，
CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE.
跟踪训练3　证明　(1)设BC的中点为M，
∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.
∵AC?平面ABC，∴B1M⊥AC.
又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，
∴AC⊥平面B1C1CB.
又∵AC?平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，
∴AC⊥BC1.
在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵BC＝CC1.
∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.
又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.
例4　(1)证明　连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，
∴NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN?平面A1B1C1D1，
∴NF⊥MN.
又∵M，E均为所在棱的中点，
∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
∴∠MNE＝90°，
∴MN⊥NE，∴MN⊥平面NEF.
而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.
(2)解　在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，
连接MG.
由(1)知MN⊥平面NEF，
又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，
∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.
∴∠MGN为平面MEF与平面NEF的夹角．
设该正方体的棱长为2，
在Rt△NEF中，NG＝＝，
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝
＝＝.
∴平面MEF与平面NEF的夹角的正切值为.
跟踪训练4　(1)证明　连接OC.
∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
∴AC⊥PO.
∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.
又∵OD∩PO＝O，
∴AC⊥平面POD.
又∵AC?平面PAC，
∴平面POD⊥平面PAC.
(2)解　在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H.
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，
∴OH⊥平面PAC.
又∵PA?平面PAC，∴PA⊥OH.
在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，连接HG，
则有PA⊥平面OGH，∴PA⊥HG.
故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．
∵C是的中点，AB是直径，
∴OC⊥AB.
在Rt△ODA中，OD＝OA·sin 45°＝.
在Rt△POD中，
OH＝＝
＝＝.
在Rt△POA中，
OG＝＝＝＝.
在Rt△OHG中，sin∠OGH＝＝＝.
∴cos∠OGH＝
＝ ＝.
故二面角B－PA－C的余弦值为.
当堂训练
1．C　2.A
3．C
4．80　40
解析　由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如图所示，其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．
5．证明　(1)连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴A1ACC1是平行四边形，
∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，
∴四边形AOC1O1是平行四边形，
∴C1O∥AO1，
AO1?平面AB1D1，C1O 平面AB1D1，
∴C1O∥平面AB1D1.
(2)∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1?平面A1B1C1D，
∴CC1⊥B1D1，
又∵A1C1⊥B1D1，CC1∩A1C1＝C1，
∴B1D1⊥平面A1C1CA，
∵A1C?平面A1C1CA，
∴A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，
又B1D1∩AB1＝B1，
∴A1C⊥平面AB1D1.
课件62张PPT。章末复习课第一章　 立体几何初步