1 周期现象 2 角的概念的推广
学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．
知识点一 周期现象
思考 “钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？
梳理 (1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
知识点二 角的相关概念
思考1 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
思考2 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按________________形成的角
负角
按____________________形成的角
零角
一条射线____________________，称它形成了一个零角
知识点三 象限角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
梳理 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
象限角：________在第几象限就是第几象限角；
轴线角：________落在坐标轴上的角．
知识点四 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
思考2 如何表示与60°终边相同的角？
梳理 终边相同角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．
类型一 周期现象的应用
例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
反思与感悟 (1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．
(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．
跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？
类型二 象限角的判定
例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
反思与感悟 判断象限角的步骤
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．
跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角．
①549°；②－60°；③－503°36′.
(2)若α是第二象限角，试确定2α、是第几象限角．
类型三 终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例4 写出终边在直线y＝－x上的角的集合．
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．
跟踪训练4 写出终边在直线y＝x上的角的集合．
1．下列是周期现象的为( )
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量．
A．①②④ B．②④
C．①② D．①②③
2．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
3．2 017°是第________象限角．
4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.
5．已知，如图所示．
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．
2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．
3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 周而复始，重复出现．
梳理 (2)重复
知识点二
思考1 有顺时针和逆时针两种旋转方向．
思考2 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
梳理 (1)一条射线 端点 旋转
(2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转
知识点三
思考 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
梳理 终边 终边
知识点四
思考1 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．
思考2 60°＋k·360°(k∈Z)．
梳理 周角
题型探究
例1 解 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，
所以1小时内水车转12圈．
又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，
所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，
所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．
跟踪训练1 解 设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，
所以y＝·160＝32x，为使水车盛800升的水，
则有32x≥800，所以x≥25，
即水车盛800升的水至少需要25分钟．
例2 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同．
②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同．
③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，
∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同．
(2)由题意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，①
所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．
故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角．
由①得45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，
得45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，故是第一象限角．
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45°＋180°＋n·360°<<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)，
即225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
故为第三象限角．
综上可知，为第一或第三象限角．
例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)．
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，
得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，
解得k＝－27，
故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，
得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，
解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
例4 解 终边在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
跟踪训练4 解 终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．
因此，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．
当堂训练
1．C 2.C 3.三 4.1.4
5．解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
课件44张PPT。§1 周期现象
§2 角的概念的推广学习目标
1.了解现实生活中的周期现象.
2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.
3.掌握终边相同的角的含义及其表示.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 周期现象“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象，具有怎样的属性？答案答案 周而复始，重复出现.(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.
(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会 出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象.梳理重复思考1 知识点二 角的相关概念将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考2 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案答案 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.梳理(1)角的概念：角可以看成平面内 绕着 从一个位置 到另一个位置所形成的图形.一条射线旋转端点(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转思考 知识点三 象限角把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角： 在第几象限就是第几象限角；
轴线角： 落在坐标轴上的角.终边终边知识点四 终边相同的角思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？答案答案 它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角.思考2 如何表示与60°终边相同的角？答案答案 60°＋k·360°(k∈Z).梳理终边相同角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的整数倍的和.周角题型探究例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解答类型一 周期现象的应用解 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，
所以1小时内水车转12圈.
又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，
所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，
所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).
(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的.
(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决.反思与感悟解 设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，
所以y＝ ·160＝32x，为使水车盛800升的水，
则有32x≥800，所以x≥25，
即水车盛800升的水至少需要25分钟.跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？解答例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；类型二 象限角的判定解答解 因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，
与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)650°；解答解 因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)－950°15′.解 因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.判断象限角的步骤
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.反思与感悟跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角.
①549°；解答解 ∵549°＝189°＋360°，
∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同.②－60°；解 ∵－60°＝300°－360°，
∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同.③－503°36′.解答解 ∵－503°36′＝216°24′－2×360°，
∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同.(2)若α是第二象限角，试确定2α、 是第几象限角.解答解 由题意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)， ①
所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z).
故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角.当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；类型三 终边相同的角解答解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z).
由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，
得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，
故所求的最大负角为β＝－50°.(2)最小的正角；解答解 由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，
解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)[360°，720°)的角.解 由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，
解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.反思与感悟跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解答解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例4 写出终边在直线y＝－ x上的角的集合.即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，
k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.解答求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.反思与感悟跟踪训练4 写出终边在直线y＝ x上的角的集合.即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.解答当堂训练1.下列是周期现象的为
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量.
A.①②④ B.②④
C.①② D.①②③√23451答案解析解析 ①②是周期现象；
③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；
④中每年6月份的平均降雨量也是随机的，不是周期现象.234512.与－457°角终边相同的角的集合是
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}答案√23451解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.解析3.2 017°是第 象限角.23451三答案解析 因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角.解析4.一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是 s.234511.4答案解析23451解析 质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期 ＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时还要经过的时间应为M→O→B→O→M所用时间，为0.3×2＋0.8＝1.4(s).5.已知，如图所示.解答解 终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.23451(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解答解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α23451≤k·360°，k∈Z}.规律与方法1.判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现.
2.由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合.与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义.
3.熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论.本课结束3 弧度制
学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
知识点一 角度制与弧度制
思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？
思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？
思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
梳理 (1)角度制和弧度制
角度制
用________作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作________．以________作为单位来度量角的单位制叫作弧度制
(2)角的弧度数的计算
设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝.
知识点二 角度制与弧度制的换算
思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
梳理 (1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝________ rad
2π rad＝________
180°＝________ rad
π rad＝________
1°＝ rad≈________ rad
1 rad＝≈________＝57°18′
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
60°
120°
150°
180°
360°
弧度
π
2π
知识点三 扇形的弧长及面积公式
思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
梳理
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αr
扇形的面积
S＝
S＝lr＝αr2
类型一 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可．
跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度．
类型二 用弧度制表示终边相同的角
例2 已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角．
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用
例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为( )
A．π B. C. D.
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A．2 B. C．2sin 1 D.
反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．
跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
1．下列说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
2．时针经过一小时，转过了( )
A. rad B．－ rad
C. rad D．－ rad
3．若θ＝－5，则角θ的终边在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
5．已知⊙O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________．
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 周角的等于1度．
思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．
思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．
梳理 (1)度 弧度 弧度
知识点二
思考 利用1°＝ rad和1 rad＝进行弧度与角度的换算．
梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0
知识点三
思考 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝lr，l＝αr.
题型探究
例1 解 (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
跟踪训练1 解 (1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
例2 解 (1)2 010°＝2 010×＝
＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－；
当k＝－2时，γ＝－；
当k＝－1时，γ＝－.
跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×＝－，
而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，
∴α＝.
∴－1 480°＝＋2×(－5)π.
(2)∵＝×()°＝72°，
∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与角终边相同的角为72°，432°.
例3 (1)A (2)D
跟踪训练3 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，
根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.C 5.－
课件36张PPT。§3 弧度制第一章 三角函数学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 角度制与弧度制在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？答案答案 周角的 等于1度.思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案答案 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案答案 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关.(1)角度制和弧度制梳理度弧度弧度(2)角的弧度数的计算
设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足
|α|＝ .思考 知识点二 角度制与弧度制的换算角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？答案梳理(1)角度与弧度的互化2π 360°π180°0.017 4557.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系045°90°135°270°思考 知识点三 扇形的弧长及面积公式扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案答案 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝ lr，
l＝αr.梳理题型探究例1 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；解答类型一 角度与弧度的互化(2)－15°；解答将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 即可.反思与感悟跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度；解答例2 已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；类型二 用弧度制表示终边相同的角解答(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.解答又－5π≤γ＜0，用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.反思与感悟跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；解答解答(2)在[0°，720°]内找出与 角终边相同的角.当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. 例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为 ，则此扇形的面积为类型三 扇形的弧长及面积公式的应用答案解析 (2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为答案解析联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 ，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算.反思与感悟跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.解答解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，即扇形的圆心角为2 rad.当堂训练1.下列说法中，错误的是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的 ，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关√23451答案解析解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2.时针经过一小时，转过了答案√23451解析 时针经过一小时，转过－30°，解析3.若θ＝－5，则角θ的终边在
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限23451答案解析 2π－5与－5的终边相同，解析√∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是
A.1 B.4
C.1或4 D.2或4答案解析√解析 设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，234515.已知⊙O的一条弧 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是 .答案解析解析 设⊙O的半径为r，其内接正三角形为△ABC.如图所示.
∵D为AB边中点，AO＝r，∠OAD＝30°，23451又∵α是负角，规律与方法1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数× ＝度数.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.本课结束4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2 单位圆与周期性
学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．
知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦分别等于什么？
思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
思考3 若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？
梳理 (1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．
(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．
知识点二 正弦、余弦函数的定义域
思考 对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？
梳理 正弦函数、余弦函数的定义域
函数名
定义域
正弦函数
R
余弦函数
R
知识点三 正弦、余弦函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？
梳理 正弦、余弦函数在各象限的符号
象限
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
＋
知识点四 周期函数
思考 由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？
梳理 一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．
特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．
类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ的值．
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝.
跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α的值．
类型二 正弦、余弦函数值符号的判断
例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号．
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.
反思与感悟 准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．
跟踪训练3 若三角形的两内角A，B，满足sin Acos B＜0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都有可能
类型三 周期性
例4 (1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；
(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．
反思与感悟 (1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．
(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．
跟踪训练4 若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )
A. B.
C．－ D．－
2．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0 C．2 D．－2
3．设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，则f()的值为( )
A．2 B．0 C．－1 D．－3
4．点P(sin 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限．
5．已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值．
1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．
2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．
3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin α＝，cos α＝.
思考2 不会．
思考3 sin α＝y，cos α＝x.
梳理 (1)纵坐标v v＝sin α 横坐标u u＝cos α
知识点二
思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．
知识点三
思考 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin α＝v，cos α＝u.当α为第一象限角时，v>0，u>0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号．
知识点四
思考 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
梳理 非零实数T 任意一个 f(x＋T)＝f(x) T 最小 最小正周期
题型探究
例1 解 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝
＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝.
跟踪训练1 解 r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
例2 解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，
r＝ ＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，
＝＝＝，
∴10sin α＋
＝10×＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋
＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
跟踪训练2 解 因为角α的终边在直线y＝x上，所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，
cos α＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，
cos α＝－＝－.
例3 (1)D
(2)解 ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，
∴sin 3·cos 4<0.
跟踪训练3 B
例4 证明 (1)∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)
＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－＝－＝f(x)，
∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数．
跟踪训练4 解 由f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)，①
得f(x＋a)＝f(x)＋f(x＋2a)．②
①＋②，得f(x－a)＋f(x＋2a)＝0，
即f(x－a)＝－f(x＋2a)，
∴f(x)＝－f(x＋3a)，
即f(x＋3a)＝－f(x)，
∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a)＝f(x)．
∴T＝6a为函数y＝f(x)的一个周期，
∴f(14a)＝f(6a×2＋2a)＝f(2a)＝1.
当堂训练
1．D 2.C 3.B 4.三
5．解 在直线y＝2x上任取一点P(x,2x)(x≠0)，
则r＝＝|x|.
①若x>0，则r＝x，
从而sin α＝＝，
cos α＝＝，
∴cos α＋sin α＝.
②若x<0，则r＝－x，
从而sin α＝
＝－，cos α＝＝－，
∴cos α＋sin α＝－.
课件43张PPT。 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性学习目标
1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.
2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.
3.理解周期函数的定义.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1 角α的正弦、余弦分别等于什么？答案思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案答案 不会.思考3 若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？答案答案 sin α＝y，cos α＝x.(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的 定义为角α的正弦函数，记作 ；点P的 定义为角α的余弦函数，记作 .
(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.梳理纵坐标vv＝sin α横坐标uu＝cos α思考 知识点二 正弦、余弦函数的定义域对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？答案答案 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义.梳理正弦函数、余弦函数的定义域思考 知识点三 正弦、余弦函数值在各象限的符号根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答案答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin α＝v，cos α＝u.
当α为第一象限角时，v>0，u>0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号.梳理正弦、余弦函数在各象限的符号思考 知识点四 周期函数由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？答案答案 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期.梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在 ，对定义域内的_________
x值，都有 ，我们就把f(x)称为周期函数， 称为这个函数的周期.
特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中 的一个，称为 ，简称为周期.非零实数T任意一个f(x＋T)＝f(x)T最小最小正周期题型探究命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P(x， 3)(x≠0)，且cos θ＝ x，求sin θ的值.解答类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1， 3)，当x＝－1时，P(－1， 3)，(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝ ，cos α＝ .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.反思与感悟跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a， 4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.解答①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ 的值.解答解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ ，cos α＝ .反思与感悟跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝ x上，求sin α，cos α的值.解答若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a， 例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限类型二 正弦、余弦函数值符号的判断答案解析解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.(2)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；解答解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.②sin 3·cos 4.解答∴sin 3＞0，cos 4＜0，
∴sin 3·cos 4<0.准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.反思与感悟 跟踪训练3 若三角形的两内角A，B，满足sin Acos B＜0，则此三角形必为
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上三种情况都有可能解析 由题意知，A，B∈(0，π)，
∴sin A＞0，cos B＜0，∴B为钝角.
故选B.答案解析例4 (1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；类型三 周期性证明证明 ∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)
＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－ ，求证：函数f(x)以
4为周期的周期函数.证明∴由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x).
(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝ ，那么f(x)的周期也为2a(a≠0).反思与感悟跟踪训练4 若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值.解 由f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)， ①
得f(x＋a)＝f(x)＋f(x＋2a). ②
①＋②，得f(x－a)＋f(x＋2a)＝0，
即f(x－a)＝－f(x＋2a)，
∴f(x)＝－f(x＋3a)，
即f(x＋3a)＝－f(x)，
∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a)＝f(x).
∴T＝6a为函数y＝f(x)的一个周期，
∴f(14a)＝f(6a×2＋2a)＝f(2a)＝1.解答当堂训练1.已知角α的终边经过点(－4， 3)，则cos α等于√23451答案解析解析 由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，2.当α为第二象限角时， － 的值是
A.1 B.0 C.2 D.－2答案√23451解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.解析3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，则f( )的值为
A.2 B.0 C.－1 D.－3答案解析 ∵f(x)是以1为一个周期的函数，
∴k∈Z也是f(x)的周期.解析√又当x∈(－1， 0)时，f(x)＝2x＋1，234514.点P(sin 2 016°，cos 2 016°)位于第 象限.答案解析解析 ∵2 016°＝5×360°＋216°，
∴2 016°是第三象限角，
则sin 2 016°<0，cos 2 016°＜0.23451三5.已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α＋cos α的值.解答23451解 在直线y＝2x上任取一点P(x， 2x)(x≠0)，2345123451规律与方法1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点.
2.三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想.
3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值.本课结束4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．
知识点 正弦、余弦函数的性质
思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？
思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？
梳理 正弦、余弦函数的性质
正弦函数(y＝sin x)
余弦函数(y＝cos x)
定义域
R
值域
[－1,1]
最小值
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
最大值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
周期性
周期函数，最小正周期为____
单调性
在区间_______________________，k∈Z上是增加的；
在区间[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上是减少的
在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上是减少的；
在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z上是增加的
类型一 正弦余数、余弦函数的定义域
例1 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(sin x－)＋.
反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
跟踪训练1 函数y＝的定义域为_________________________________________．
类型二 正、余弦函数的值域与最值
例2 (1)求函数y＝cos x(－≤x≤)的值域．
(2)已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值．
反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析．
(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论．
跟踪训练2 函数y＝2＋cos x，x∈(－，]的值域为________．
类型三 正、余弦函数的单调性
例3 函数y＝cos x的一个递增区间为( )
A．(－，) B．(0，π)
C．(，) D．(π，2π)
反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．
跟踪训练3 求下列函数的单调区间．
(1)y＝sin x，x∈[－π，π]；(2)y＝cos x，x∈[－π，π]．
1．函数y＝sin x，x∈[－，]的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，
C.，－ D．1，－
2．不等式sin x－1≥0的解集为____________________________________________．
3．函数y＝的定义域为_____________________________________________．
4．求y＝－2sin x，x∈[－，π]的值域．
利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x，|sin x|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.
思考2 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是增加的．
梳理 2π [－＋2kπ，＋2kπ]
题型探究
例1 解 (1)自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥.
图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)由题意知，自变量x应满足不等式组即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴{x|2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}．
跟踪训练1 [－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
例2 解 (1)∵y＝cos x在区间[－，0]上是增加的，
在区间[0，]上是减少的，
∴当x＝0时，ymax＝1，
当x＝时，ymin＝cos＝－，
∴y＝cos x(－≤x≤)的值域是[－，1]．
(2)当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2，
∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；
当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2，
∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1.
∴它的最小值为－1.
跟踪训练2 [，3]
例3 D
跟踪训练3 解 (1)y＝sin x在x∈[－π，π]上的递增区间为[－，]，递减区间为[－π，－]，[，π]．
(2)y＝cos x在x∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π]．
当堂训练
1．C 2.{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}
3. ，k∈Z
4．解 由x∈[－，π]，得sin x∈[－，1]，
∴y＝[－2,1]，
∴y＝－2sin x，x∈[－，π]的值域为[－2,1]．
课件27张PPT。第一章 § 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标
1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.
2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 正弦、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？答案答案 设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x，sin x)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x，|sin x|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？答案答案 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间 (k∈Z)上是增加的.正弦、余弦函数的性质梳理2π题型探究例1 求下列函数的定义域.解答类型一 正弦余数、余弦函数的定义域解答则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.反思与感悟则必须满足2sin x＋1≥0，跟踪训练1 函数y＝ 的定义域为 .答案解析类型二 正、余弦函数的值域与最值解答∴当x＝0时，ymax＝1，(2)已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值.解答解 当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2，
∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1；
当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2，
∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1.
∴它的最小值为－1.(1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.
(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论.反思与感悟跟踪训练2 函数y＝2＋cos x， 的值域为 .答案解析 例3 函数y＝cos x的一个递增区间为类型三 正、余弦函数的单调性解析 ∵y＝cos x的递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
令k＝1得[π，2π]，即为y＝cos x的一个递增区间，而(π，2π)?[π，2π]，
故选D.答案解析利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并.反思与感悟跟踪训练3 求下列函数的单调区间.
(1)y＝sin x，x∈[－π，π]；解答(2)y＝cos x，x∈[－π，π].解 y＝cos x在x∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，
递减区间为[0，π].当堂训练1.函数y＝sin x， 的最大值和最小值分别是√2341答案2.不等式 sin x－1≥0的解集为 .答案2341解析3.函数y＝ 的定义域为 .2341答案4.求y＝－2sin x，x∈[－ ，π]的值域.2341解答∴y＝[－2，1]，规律与方法利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.本课结束4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
知识点 2kπ±α，－α，π±α的诱导公式
思考1 设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？
思考2 2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．
梳理 对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α， cos(2kπ＋α)＝cos α (1.8)
sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α (1.9)
sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α (1.10)
sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α (1.11)
sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α (1.12)
公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．
这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．
类型一 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值．
(1)cos 210°；(2)sin ；
(3)sin(－)；(4)cos(－1 920°)．
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值．
(1)sin 1 320°； (2)cos.
类型二 给值(式)求值问题
例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________.
(2)已知cos(－α)＝，则cos(＋α)＝________.
反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用．
跟踪训练2 已知cos＝，则cos＝________.
类型三 利用诱导公式化简
例3 化简下列各式．
(1)；
(2).
引申探究
若本例(1)改为：(n∈Z)，请化简．
反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．
跟踪训练3 化简：.
1．sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
2．cos(－)＋sin(－)的值为( )
A．－ B.
C. D.
3．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( )
A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β
4．sin 750°＝________.
5．化简：.
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式1.8
将角转化为0～2π之间的角求值
公式1.12
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式1.9
将负角转化为正角求值
公式1.11
将角转化为0～之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 它们的对应关系如表：
相关角
终边之间的对称关系
2kπ＋α与α
终边相同
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2π－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
思考2 它们交点间对称关系如表：
相关角
终边与单位圆的交点间对称关系
2kπ＋α与α
重合
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2π－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.
梳理 函数名不变，符号看象限 一致 锐角
题型探究
例1 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin(2π＋)
＝sin＝sin(π－)
＝sin＝.
(3)sin(－)＝－sin(6π＋)
＝－sin＝－sin(π＋)
＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)
＝－cos 60°＝－.
跟踪训练1 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)
＝－sin 60°＝－.
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)方法一 cos＝cos
＝cos
＝cos(π＋)＝－cos ＝－.
方法二 cos
＝cos
＝cos＝－cos＝－.
例2 (1)－0.3 (2)－
跟踪训练2 －
例3 解 (1)原式＝
＝＝1.
(2)原式
＝
＝
＝
＝＝－1.
引申探究
解 当n＝2k时，
原式＝＝1；
当n＝2k＋1时，
原式＝＝1.
综上，原式＝1.
跟踪训练3 解 原式
＝
＝＝1.
当堂训练
1．A 2.C 3.B 4.
5．解 原式＝
＝
＝＝1.
课件32张PPT。第一章 § 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 2kπ±α，－α，π±α的诱导公式设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案答案 它们的对应关系如表：思考2 2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.答案答案 它们交点间对称关系如表：设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α， cos(2kπ＋α)＝cos α (1.8)
sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α (1.9)
sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α (1.10)
sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α (1.11)
sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α (1.12)
公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.
这五组诱导公式的记忆口诀是“ ”.其含义是诱导公式两边的函数名称 ，符号则是将α看成 时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.梳理函数名不变，符号看象限一致锐角题型探究例1 求下列各三角函数式的值.
(1)cos 210°；解答类型一 给角求值问题解 cos 210°＝cos(180°＋30°)解答(4)cos(－1 920°).解 cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°
＝－ .利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.反思与感悟解 方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°；解答方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)解答类型二 给值(式)求值问题解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－0.3，
∴sin α＝0.3，
∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝ .－0.3答案解析答案解析解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.反思与感悟跟踪训练2 答案解析例3 化简下列各式.类型三 利用诱导公式化简解答解答解答引申探究解 当n＝2k时，当n＝2k＋1时，利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.反思与感悟跟踪训练3 解答当堂训练1.sin 585°的值为√2341答案解析解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)5答案2341解析√53.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是
A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β
C.sin α＝－sin β D.sin α＝cos β2341答案√54.sin 750°＝ .2341解析 ∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，k∈Z，
∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝ .答案解析52341解答5规律与方法1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.本课结束4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)
学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
知识点一 ±α的诱导公式
思考1 角α与＋α的正弦函数、余弦函数有何关系？
思考2 能否利用公式sin(α＋)＝cos α，cos(α＋)＝－sin α得出－α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦的关系？
梳理 对任意角α，有下列关系式成立：
sin(＋α)＝cos α， cos(＋α)＝－sin α (1.13)
sin(－α)＝cos α， cos(－α)＝sin α (1.14)
诱导公式1.13～1.14的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成___________________，记忆口诀为“_________________________”．
知识点二 诱导公式的记忆方法
α
sin α
cos α
公式
α＋2kπ(k∈Z)
sin α
cos α
公式
π＋α
－sin α
－cos α
公式
－α
－sin α
cos α
公式
π－α
sin α
－cos α
公式
－α
cos α
sin α
公式
＋α
cos α
－sin α
1.α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
2.±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值符号．简记为：“函数名改变，符号看象限”．
诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
类型一 利用诱导公式求值
例1 (1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值；
(2)已知cos＝，求cos·sin的值．
反思与感悟 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
跟踪训练1 已知sin＝，求cos的值．
类型二 利用诱导公式化简
例2 化简：，其中k∈Z.
反思与感悟 用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．
跟踪训练2 化简：.
类型三 诱导公式的综合应用
例3 已知f(x)＝.
(1)化简f(x)；
(2)若x是第三象限角，且cos＝，求f(x)的值；
(3)求f .
反思与感悟 本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
跟踪训练3 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值．
1．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C. D．－
2．若cos(2π－α)＝，则sin(－α)等于( )
A．－ B．－
C. D．±
3．若cos＝，则cos＋sin(φ－π)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
4．已知sin＝，则cos＝________.
5．已知sin(π＋α)＝－.计算：
(1)cos；(2)sin.
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin＝cos α，
cos＝－sin α.
思考2 以－α代换公式中的α得到
sin(－α)＝cos(－α)＝cos α，
cos(－α)＝－sin(－α)＝sin α.
梳理 余(正)弦 锐角时原函数值的符号 函数名改变，符号看象限
题型探究
例1 解 (1)∵cos(π＋α)
＝－cos α＝－，
∴cos α＝.又α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－
＝－ ＝－.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－sin
＝－cos＝－.
跟踪训练1 解 ∵＋α＋－α
＝，∴－α＝－.
∴cos＝cos
＝sin＝.
例2 解 当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式
＝
＝
＝＝1.
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)．
仿上化简得：原式＝1.
故原式＝1.
跟踪训练2 解 原式＝
＝
＝
＝＝1.
例3 解 (1)f(x)＝
＝
＝.
(2)∵cos＝－sin x，
∴sin x＝－.
∵x是第三象限角，
∴cos x＝－＝－.
∴f(x)＝＝＝.
(3)f ＝＝
＝＝－.
跟踪训练3 解 (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为cos(α－π)＝，
所以cos α＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
当堂训练
1．D 2.A 3.D 4.
5．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝.
(1)cos＝cos
＝－sin α＝－.
(2)sin＝cos α，
cos2α＝1－sin2α＝1－＝.
∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，
sin＝cos α＝.
②当α为第二象限角时，
sin＝cos α＝－.
课件32张PPT。第一章 § 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标
1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式1.8～1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 ±α 的诱导公式角α与 ＋α的正弦函数、余弦函数有何关系？答案答案 思考2 答案答案 以－α代换公式中的α得到对任意角α，有下列关系式成立：梳理诱导公式1.13～1.14的记忆： －α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的
三角函数值，前面加上一个把α看成 ，记忆口诀为“ ”.余(正)弦锐角时原函数值的符号函数名改变，符号看象限知识点二 诱导公式的记忆方法1.α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.2. ±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看 ±α的函数值符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”.
诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.题型探究解答类型一 利用诱导公式求值解答这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：反思与感悟解答类型二 利用诱导公式化简解 当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则解答当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z).
仿上化简得：原式＝1.故原式＝1.用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.反思与感悟跟踪训练2 解答例3 已知f(x)＝
(1)化简f(x)；类型三 诱导公式的综合应用解答解答解答本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.反思与感悟跟踪训练3 解答(1)化简f(α)；解答当堂训练√2341答案解析5答案2341解析√52341√5答案解析2341答案解析52341解答52341解答5规律与方法1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.本课结束5．1 正弦函数的图像
学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．
知识点一 几何法作正弦函数的图像
思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图像的？其基本步骤是什么？
梳理 正弦函数的图像叫作____________．
知识点二 “五点法”作正弦函数的图像
思考1 描点法作函数图像有哪几个步骤？
思考2 “五点法”作正弦函数在x∈[0,2π]上的图像时是哪五个点？
梳理 “五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的步骤：
(1)列表
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，五个关键点是
________________________________________________________________________；
(3)连线
用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图．
类型一 “五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
跟踪训练1 作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图．
类型二 利用正弦函数图像求定义域
例2 求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
跟踪训练2 求函数y＝ 的定义域．
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
2．下列图像中，y＝－sin x在[0,2π]上的图像是( )
3．不等式sin x＞0，x∈[0,2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C. D.
4．函数y＝的定义域为__________________________________________________．
5．用“五点法”画出函数y＝2－sin x的简图．
1．对“五点法”画正弦函数图像的理解
(1)与前面学习函数图像的画法类似，在用描点法探究函数图像特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图像的“关键点”，就可以根据函数图像的变化趋势画出函数图像的草图．
(2)正弦型函数图像的关键点是函数图像中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin x＋b的图像的步骤：
3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图像，如果要画出在其他区间上的图像，可依据图像的变化趋势和周期性画出．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；
②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份．过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线；
③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；
⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，如图．
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图像的形状完全一致．于是只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像，如图．
梳理 正弦曲线
知识点二
思考1 列表、描点、连线．
思考2
画正弦函数图像的五点
(0，0)
(π，0)
(2π，0)
梳理 (2)(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
题型探究
例1 解 (1)取值列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点连线，如图所示．
跟踪训练1 解 (1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
例2 解 由题意，得x满足不等式组即作出y＝sin x的图像，如图所示．
结合图像可得x∈[－4，－π)∪(0，π)．
跟踪训练2 解 为使函数有意义，需满足
即0
由正弦函数的图像或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为{x|2kπ当堂训练
1．B 2.D 3.B
4．[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
5．解 (1)取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2－sin x
2
1
2
3
2
(2)描点、连线，如图所示．
课件29张PPT。第一章 §5 正弦函数的图像与性质5.1 正弦函数的图像学习目标
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 几何法作正弦函数的图像课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图像的？其基本步骤是什么？答案答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；
②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份.过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0， …，2π等角的正弦线；
③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图像的形状完全一致.于是只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图像，如图.正弦函数的图像叫作 .梳理正弦曲线知识点二 “五点法”作正弦函数的图像思考1 描点法作函数图像有哪几个步骤？答案 列表、描点、连线.答案思考2 “五点法”作正弦函数在x∈[0，2π]上的图像时是哪五个点？答案 答案“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图像的步骤：
(1)列表梳理(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是_______________
__________________________；
(3)连线
用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.(0，0)， ，(π，0)， ，(2π，0)题型探究解答类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.解 (1)取值列表：描点连线，如图所示.作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或
y＝cos x的图像在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.反思与感悟解答跟踪训练1 作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图.解 (1)列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图.类型二 利用正弦函数图像求定义域解答结合图像可得x∈[－4，－π)∪(0，π).一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.反思与感悟跟踪训练2 解答当堂训练√2341答案解析51.用“五点法”作y＝2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是答案2341解析√52.下列图像中，y＝－sin x在[0，2π]上的图像是解析 由y＝sin x在[0，2π]上的图像作关于x轴的对称图形，应为D项.2341√5答案解析3.不等式sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为解析 由y＝sin x在[0，2π]的图像可得.答案解析解析 由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，234152341解答55.用“五点法”画出函数y＝2－sin x的简图.解 (1)取值列表如下：(2)描点、连线，如图所示.规律与方法1.对“五点法”画正弦函数图像的理解
(1)与前面学习函数图像的画法类似，在用描点法探究函数图像特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图像的“关键点”，就可以根据函数图像的变化趋势画出函数图像的草图.
(2)正弦型函数图像的关键点是函数图像中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin x＋b的图像的步骤：3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图像，如果要画出在其他区间上的图像，可依据图像的变化趋势和周期性画出.本课结束5.2 正弦函数的性质
学习目标 1.理解、掌握正弦函数的性质.2.会求简单函数的定义域、值域.3.能利用单调性比较三角函数值的大小．
知识点 正弦函数的性质
思考1 对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？
思考2 正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？
思考3 正弦函数的单调区间是什么？
梳理
函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
图像
定义域
值域
[－1,1]
最值
当________(k∈Z)时，ymax＝1；
当____________(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
是周期函数，周期为__________________，2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于________对称
单调性
在区间______________________________(k∈Z)上是增加的；
在区间______________________________(k∈Z)上是减少的
对称轴
________________，k∈Z
对称中心
________，k∈Z
类型一 求正弦函数的单调区间
例1 求函数y＝2sin的递增区间．
反思与感悟 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
跟踪训练1 函数y＝sin，x∈的递减区间为________________．
类型二 正弦函数单调性的应用
命题角度1 利用正弦函数单调性比较大小
例2 比较下列三角函数值的大小．
(1)sin(－)与sin(－)；
(2)sin 196°与cos 156°；
反思与感悟 (1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．
(2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin(±β)后，再依据单调性来进行比较．
(3)当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．
跟踪训练2 比较sin 194°与cos 110°的大小．
命题角度2 已知三角函数单调性求参数范围
例3 已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上是增加的，求ω的取值范围．
反思与感悟 此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．
跟踪训练3 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上是减少的，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0,2]
类型三 正弦函数的值域或最值
例4 (1)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；
(2)求使函数y＝－sin2x＋sin x＋取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值．
反思与感悟 求正弦函数的值域一般有以下两种方法(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题．
(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.
跟踪训练4 求f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈[，]的值域．
1．函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )
A． B．[－π，0]
C． D．
2．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin
B．sin 3>sin 2
C．sin π>sin
D．sin 2>cos 1
3．函数y＝sin，x∈的值域是( )
A． B．
C． D．
4．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
5．求函数y＝2sin(－2x)，x∈(0，π)的递增区间．
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为递减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 奇偶性．
思考2 对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：
当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
思考3 y＝sin x的递增区间为，k∈Z，递减区间为，k∈Z.
梳理 R x＝＋2kπ x＝－＋2kπ 2kπ(k∈Z，k≠0) 原点 [－＋2kπ，＋2kπ] [＋2kπ，＋2kπ] x＝＋kπ (kπ，0)
题型探究
例1 解 y＝2sin
＝－2sin，令z＝x－，
则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的递增区间，即求sin z的递减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．
所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数y＝2sin的递增区间为
(k∈Z)．
跟踪训练1 ，
例2 解 (1)∵sin(－)＝－sin，
sin(－)＝－sin(2π＋)＝－sin，
由于<<<，
且y＝sin x在(，)上是减少的，
∴sin>sin，
∴－sin<－sin，
即sin(－)(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°
＝－sin 66°，
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，
即sin 196°>cos 156°.
跟踪训练2 解 ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°
＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，
而y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 14°∴－sin 14°>－sin 20°，
即sin 194°>cos 110°.
例3 解 由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋≤x≤＋，
∴f(x)的递增区间是[－＋，＋]，k∈Z.
根据题意，得[－，]?[－＋，＋](k∈Z)，
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是(0，]．
跟踪训练3 A
例4 解 (1)当x＝2kπ－(k∈Z)时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3，
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－2×1＋1＝－1，
∴函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1,3]．
(2)令t＝sin x，则－1≤t≤1，
y＝－t2＋t＋
＝－(t－)2＋2.
∴当t＝时，ymax＝2.
此时sin x＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)．
∴当t＝－1时，ymin＝－.
此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)．
跟踪训练4 解 令t＝sin x，
∵x∈[，]，
∴≤sin x≤1，即≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝2(t＋)2－1，
t∈[，1]且该函数在[，1]上是增加的．
∴f(x)min＝g()＝1，
f(x)max＝g(1)＝.
∴f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈[，]的值域为[1，]．
当堂训练
1．D 2.D 3.D
4．解 ∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
5．解 ∵函数y＝2sin＝－2sin，
∴函数y＝2sin的递增区间为y＝2sin的递减区间．
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∵x∈(0，π)，∴由k＝0，得≤x≤.
∴函数y＝2sin，x∈(0，π)的递增区间为.
课件37张PPT。第一章 §5 正弦函数的图像与性质5.2 正弦函数的性质学习目标
1.理解、掌握正弦函数的性质.
2.会求简单函数的定义域、值域.
3.能利用单调性比较三角函数值的大小.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 正弦函数的性质对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？答案答案 奇偶性.思考2 正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？答案答案 对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：思考3 正弦函数的单调区间是什么？答案答案 梳理R2kπ(k∈Z，k≠0)原点(kπ，0)题型探究解答类型一 求正弦函数的单调区间例1 求函数y＝2sin 的递增区间.则y＝－2sin z.用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.反思与感悟答案解析类型二 正弦函数单调性的应用解答命题角度1 利用正弦函数单调性比较大小
例2 比较下列三角函数值的大小.解答(2)sin 196°与cos 156°；解 sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
(2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin( ±β)后，再依据单调性来进行比较.
(3)当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较.反思与感悟跟踪训练2 比较sin 194°与cos 110°的大小.解答解 ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70°
＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，
由于0°<14°<20°<90°，
而y＝sin x在[0°，90°]上是增加的，
∴sin 14°－sin 20°，
即sin 194°>cos 110°.解答命题角度2 已知三角函数单调性求参数范围
例3 已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间[ ]上是增加的，求ω的取值范围.此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.反思与感悟 答案解析类型三 正弦函数的值域或最值解答例4 (1)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域；∴函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3].解答(2)求使函数 取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最值.解 令t＝sin x，则－1≤t≤1，求正弦函数的值域一般有以下两种方法
(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题.
(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.反思与感悟解答当堂训练√2341答案解析5答案解析√2.下列不等式中成立的是即sin 2>cos 1.故选D.23415√答案解析234152341解答5即x＝4kπ－π，k∈Z，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}.2341解答5规律与方法2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定 y的范围.本课结束6 余弦函数的图像与性质
学习目标 1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋B的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式．
知识点一 余弦函数的图像
思考1 根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R的图像吗？
思考2 类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y＝cos x，x∈[0,2π]五个关键点分别是什么？
梳理 余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作____________．
知识点二 余弦函数的性质
思考1 余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？
思考2 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
梳理
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，函数是增加的；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是减少的
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
类型一 用“五点法”作余弦函数的图像
例1 用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
反思与感悟 作形如y＝acos x＋b，x∈[0,2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图．
跟踪训练1 用“五点法”作函数y＝2cos x＋1，x∈[0,2π]的简图．
类型二 余弦函数单调性的应用
例2 (1)函数y＝3－2cos x的递增区间为________．
(2)比较cos(－π)与cos(－π)的大小．
反思与感悟 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练2 比较大小．
(1)cos(－)与cos；(2)sin 378°与cos(－641°)．
类型三 余弦函数的定义域和值域
例3 (1)求f(x)＝的定义域．
(2)求下列函数的值域．
①y＝－cos2x＋cos x；②y＝.
反思与感悟 求值域或最大值、最小值问题的依据
(1)sin x，cos x的有界性．
(2)sin x，cos x的单调性．
(3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定．
(4)通过换元转化为二次函数．
跟踪训练3 函数y＝－cos2x＋cos x＋1(－≤x≤)的值域是________．
1．函数y＝1－2cos x的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,1
C．0,3 D．0,1
2．下列函数中，周期为π，且在上为增函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
3．函数f(x)＝lg cos x＋的定义域为________________．
4．比较大小：
(1)cos 15°________cos 35°；
(2)cos(－)________cos(－)．
5．函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的递减区间是________．
1．对于y＝acos x＋b的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点与x轴相交的点．
2．通过观察y＝cos x，x∈R的图像，可以总结出余弦函数的性质．
3．利用余弦函数的性质可以比较三角函数值的大小及求最值．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 能，根据cos x＝sin(x＋)，只需把y＝sin x，x∈R的图像向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图像．
思考2 能，五个关键点分别是(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
梳理 余弦曲线
知识点二
思考1 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1；
观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像：
函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像如图所示．
思考2 观察图像可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
题型探究
例1 解 列表：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．
跟踪训练1 解 ∵x∈[0,2π]，
∴令x＝0，，π，，2π，列表得：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y
3
1
－1
1
3
描点，连线得：
例2 (1)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
(2)解 cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ，
cos(－π)＝cos(－6π＋π)
＝cosπ，
∵π<π<π<2π，
∴cosπ即cos(－π)跟踪训练2 解 (1)cos(－)＝cos＝cos(π－)＝－cos，
而cos＝－cos.
∵0<<<，
∴cos>cos，
∴－cos<－cos，
即cos(－)(2)sin 378°＝sin(360°＋18°)＝sin 18°
＝sin(90°－72°)＝cos 72°，
cos(－641°)＝cos(720°－641°)＝cos 79°，
又cos 72°>cos 79°，
∴sin 378°>cos(－641°)．
例3 解 (1)要使函数有意义，
则2cos x－1≥0，∴cos x≥，
∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，
∴定义域为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
(2)①y＝－2＋.
∵－1≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，ymax＝.
当cos x＝－1时，ymin＝－2.
∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.
②y＝＝－1.
∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，
∴≤≤1，
∴≤≤4，∴≤－1≤3，即≤y≤3.
∴函数y＝的值域为.
跟踪训练3 [1，]
当堂训练
1．A 2.B
3.∪∪
4．(1)> (2)< 5.[0，π]
课件34张PPT。第一章 三角函数§6 余弦函数的图像与性质学习目标
1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.
2.理解余弦函数的性质，会求y＝Acos x＋B的单调区间及最值.
3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 余弦函数的图像根据y＝sin x和y＝cos x的关系，你能利用y＝sin x，x∈R的图像得到y＝cos x，x∈R的图像吗？答案答案 能，根据cos x＝sin(x＋ )，只需把y＝sin x，x∈R的图像向左平移 个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图像.思考2 类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，y＝cos x，x∈[0，2π]五个关键点分别是什么？答案答案 能，五个关键点分别是(0，1)，( ，0)，(π，－1)，( ，0)，(2π，1).梳理余弦函数y＝cos x(x∈R)的图像叫作 .余弦曲线思考1 知识点二 余弦函数的性质余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？答案 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1；
观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像：
函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图像如图所示.答案思考2 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图像可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.答案梳理题型探究解答类型一 用“五点法”作余弦函数的图像例1 用“五点法”作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图.解 列表：描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.作形如y＝acos x＋b，x∈[0，2π]的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：①列表，取x＝0， ，π， ，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图.反思与感悟解答跟踪训练1 用“五点法”作函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图.描点，连线得：类型二 余弦函数单调性的应用例2 (1)函数y＝3－2cos x的递增区间为__________________.[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)答案解析解析 y＝3－2cos x与y＝3＋2cos x的单调性相反，
由y＝3＋2cos x的递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，
∴y＝3－2cos x的递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z).解答单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小.反思与感悟跟踪训练2 比较大小.解答(2)sin 378°与cos(－641°).解答解 sin 378°＝sin(360°＋18°)＝sin 18°
＝sin(90°－72°)＝cos 72°，
cos(－641°)＝cos(720°－641°)＝cos 79°，
又cos 72°>cos 79°，
∴sin 378°>cos(－641°).类型三 余弦函数的定义域和值域解答例3 (1)求f(x)＝ 的定义域.解答(2)求下列函数的值域.
①y＝－cos2x＋cos x；∵－1≤cos x≤1，当cos x＝－1时，ymin＝－2.解答∵－1≤cos x≤1，∴1≤2＋cos x≤3，求值域或最大值、最小值问题的依据
(1)sin x，cos x的有界性.
(2)sin x，cos x的单调性.
(3)化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定.
(4)通过换元转化为二次函数.反思与感悟答案解析当堂训练A.－1，3 B.－1，1
C.0，3 D.0，1√2341答案解析5∴ymin＝－1，ymax＝3.答案√2.下列函数中，周期为π，且在 上为增函数的是23415答案解析2341523415解析 ∵0°<15°<35°<90°，
且y＝cos x在[0°，90°]上是减少的，
∴cos 15°>cos 35°.4.比较大小：
(1)cos 15°___cos 35°；>23415答案解析<23415答案解析234155.函数y＝cos(－x)，x∈[0，2π]的递减区间是______.[0，π]解析 y＝cos(－x)＝cos x，其递减区间为[0，π].答案解析规律与方法1.对于y＝acos x＋b的图像可用“五点法”作出其图像，其五个关键点是最高点、最低点与x轴相交的点.
2.通过观察y＝cos x，x∈R的图像，可以总结出余弦函数的性质.
3.利用余弦函数的性质可以比较三角函数值的大小及求最值.本课结束7 正切函数
学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y＝tan x(x∈R，x≠＋kπ，k∈Z)的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间(－，)内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用．
知识点一 正切函数的定义
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？
思考2 正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？
梳理 (1)任意角的正切函数
如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值________，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝________，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系
根据定义知tan α＝________(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z)．
(3)正切值在各象限的符号
根据定义知，当角在第____和第____象限时，其正切函数值为正；当角在第____和第____象限时，其值为负．
知识点二 正切线
思考 正切线是过单位圆上哪一点作出的？
梳理 如图所示，线段____为角α的正切线．
知识点三 正切函数的图像与性质
思考1 正切函数的定义域是什么？
思考2 能否说正切函数在整个定义域内是增函数？
梳理
解析式
y＝tan x
图像
定义域
{x|x∈R，x≠kπ＋，k∈Z}
值域
R
周期
最小正周期是π
奇偶性
____函数
对称中心
单调性
在开区间(k∈Z)上是增加的
知识点四 正切函数的诱导公式
思考 前面我们学习过π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？
梳理
函数角
y＝tan x
记忆口诀
kπ＋α
tan α
函数名不变，符号看象限
2π＋α
tan α
－α
－tan α
π－α
－tan α
π＋α
tan α
＋α
－cot α
函数名改变，符号看象限
－α
cot α
类型一 正切函数的概念
例1 若角θ的终边经过点A(－，m)，且tan θ＝，则m＝________.
反思与感悟 (1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝.
(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
跟踪训练1 已知点P(－2a,3a)(a≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ的值．
类型二 正切函数的图像及性质
例2 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．
反思与感悟 (1)作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
跟踪训练2 将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan|x|，回答同样的问题，结果怎样？
类型三 正切函数诱导公式的应用
例3 求下列各式的值．
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
(2).
反思与感悟 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．
(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
跟踪训练3 化简：
.
1．函数y＝tan(2x＋)的最小正周期是( )
A．π B．2π C. D.
2．函数f(x)＝tan(x＋)的递增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
3．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝－tan x
4．tan等于( )
A．－cot α B．cot α
C．tan α D．－tan α
5．比较大小：tan 1________tan 4.
1．正切函数的图像
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减区间．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 当a≠0时，有意义．
思考2 tan α＝(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z)．
梳理 (1) tan α (2)
(3)一 三 二 四
知识点二
思考 过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1,0)．
梳理 AT
知识点三
思考1 {x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}．
思考2 不能．
正切函数y＝tan x在每段区间(k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．
梳理 奇 ，k∈Z
知识点四
思考 因为tan α＝(α≠kπ＋)，
所以口诀对正切函数依然适用．
题型探究
例1 －
跟踪训练1 解 由于a≠0，
∴tan θ＝＝－.
例2 解 由y＝|tan x|，得
y＝
其图像如图所示．
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
递增区间为(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)，周期为π.
跟踪训练2 解 由于y＝tan|x|＝
其图像如下：
由图像可知，函数y＝tan|x|是偶函数，
递增区间为[0，)，(kπ－，kπ＋)(k为正整数)，
递减区间为(kπ－，kπ＋)(k为负整数)和(－，0)，不是周期函数．
例3 解 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°
＝0－3×1＋1＝－2.
(2)原式
＝
＝＝
＝2＋.
跟踪训练3 解 原式＝＝－cos α.
当堂训练
1．C 2.C 3.C 4.A 5.＞
课件36张PPT。第一章 三角函数§7 正切函数学习目标
1.理解任意角的正切函数的定义.
2.能画出y＝tan x(x∈R，x≠ ＋kπ，k∈Z)的图像.
3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间(－ ， )内的单调性.
4.正切函数诱导公式的推导及应用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 正切函数的定义设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么 何时有意义？答案答案 当a≠0时， 有意义.思考2 正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？答案答案 tan α＝ (α∈R，α≠ ＋kπ，k∈Z).梳理(1)任意角的正切函数tan α(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系(3)正切值在各象限的符号
根据定义知，当角在第 和第 象限时，其正切函数值为正；当角在第 和第 象限时，其值为负.一三二四思考 知识点二 正切线正切线是过单位圆上哪一点作出的？答案答案 过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1，0).梳理如图所示，线段 为角α的正切线.AT思考1 知识点三 正切函数的图像与性质正切函数的定义域是什么？答案答案 {x|x∈R，x≠ ＋kπ，k∈Z}.思考2 能否说正切函数在整个定义域内是增函数？答案答案 不能.正切函数y＝tan x在每段区间 (k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数.梳理奇思考 知识点四 正切函数的诱导公式前面我们学习过π±α，－α， ±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀.对正切函数能适用吗？答案答案 因为tan α＝ (α≠kπ＋ )，所以口诀对正切函数依然适用.梳理题型探究类型一 正切函数的概念答案解析(1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ .
(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置.反思与感悟解答跟踪训练1 已知点P(－2a，3a)(a≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ的值.类型二 正切函数的图像及性质例2 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性.解答其图像如图所示.由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，(1)作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可.反思与感悟跟踪训练2 将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan|x|，回答同样的问题，结果怎样？解答其图像如下：由图像可知，函数y＝tan|x|是偶函数，类型三 正切函数诱导公式的应用解答例3 求下列各式的值.
(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；解 原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.解答(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键.
(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值.反思与感悟解答当堂训练√2341答案解析5答案√2.函数f(x)＝tan(x＋ )的递增区间为23415答案23415√4.tan 等于
A.－cot α B.cot α C.tan α D.－tan α23415答案解析√234155.比较大小：tan 1 tan 4.＞解析 由正切函数的图像易知tan 1＞0，答案解析所以tan 1＞tan(4－π)＝tan 4.规律与方法1.正切函数的图像
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋ ，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的.
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是{x|x≠kπ＋ ，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期为T＝ .
(3)正切函数在 (k∈Z)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减区间.本课结束8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(一)
学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图像的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
思考1 如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？
思考2 如何由y＝sin x的图像变换得到y＝sin(x＋)的图像？
梳理 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向______(当φ>0时)或向____(当φ<0时)平行移动____个单位长度而得到的．
知识点二 ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
思考1 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？
思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
思考3 函数y＝sin ωx的图像是否可以通过y＝sin x的图像得到？
梳理 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标______)而得到．
知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
思考 对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
梳理 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标________(当A>1时)或________(当0知识点四 函数y＝sin x的图像与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像关系
正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的变换过程：
y＝sin x的图像 y＝sin(x＋φ)的图像
y＝sin(ωx＋φ)的图像y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
类型一 平移变换
例1 函数y＝sin的图像可以看作是由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到的？
反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为||个单位．
跟踪训练1 要得到y＝cos的图像，只要将y＝sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
类型二 伸缩变换
例2 将函数y＝sin的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的函数解析式为________________．
反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化．
跟踪训练2 把函数y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )
A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R
类型三 图像变换的综合应用
例3 把函数y＝f(x)的图像上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图像的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图像的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图像的伸缩变换情况，求变换前后图像的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
跟踪训练3 将函数y＝2sin(x＋)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图像对应的函数为偶函数，则m的最小值为( )
A. B. C. D.
1．函数y＝cos x图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为( )
A．2 B. C．4 D.
2．要得到y＝sin的图像，只要将函数y＝sin 的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向上平行移动个单位长度
D．向下平行移动个单位长度
4．将函数y＝sin(－2x)的图像向左平移个单位长度，所得函数图像的解析式为__________________．
5．函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，所得图像的函数解析式为____________________．
1．由y＝sin x的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
2．类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像也可由y＝cos x的图像变换得到．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位．
思考2 向左平移个单位．
梳理 左 右 |φ|
知识点二
思考1 2π，π，4π.
思考2 当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．
思考3 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图像即可．
梳理 缩短 伸长 不变
知识点三
思考 对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的.
梳理 伸长 缩短 A
题型探究
例1 解 函数y＝sin的图像，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
跟踪训练1 A
例2 y＝sin
跟踪训练2 C
例3 解
y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin
＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
跟踪训练3 B
当堂训练
1．B 2.C 3.A 4.y＝－cos 2x
5．y＝sin
课件34张PPT。第一章 三角函数§8 函数 y＝Asin(ωx＋φ)图像与性质(一)学习目标
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图像的影响.
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？答案答案 向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位.思考2 如何由y＝sin x的图像变换得到y＝sin(x＋ )的图像？答案答案 向左平移 个单位.梳理如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向 (当φ>0时)或向 (当φ<0时)平行移动 个单位长度而得到的.左右|φ|思考1 知识点二 ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？答案答案 2π，π，4π.思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？答案答案 当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的 ，y＝sin x中x的取值是y＝ sin x中x取值的2倍.思考3 函数y＝sin ωx的图像是否可以通过y＝sin x的图像得到？答案答案 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图像即可.梳理如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标 (当ω>1时)或 (当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标 )而得到.缩短伸长不变思考 知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝ sin x的函数值有何关系？答案答案 对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝ sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的 .梳理如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标 (当A>1时)或 (当0(2)已知函数f(x)图像的伸缩变换情况，求变换前后图像的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.反思与感悟 跟踪训练3 将函数y＝2sin(x＋ )的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图像对应的函数为偶函数，则m的最小值为答案解析当堂训练√2341答案51.函数y＝cos x图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为答案√23415答案23415√解析4.将函数y＝sin(－2x)的图像向左平移 个单位长度，所得函数图像的解析式为 .23415答案解析y＝－cos 2x答案解析23415规律与方法1.由y＝sin x的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像，其变化途径有两条：注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．
(2)是先周期变换后相位变换，平移 个单位，这是很易出错的地方，应特
别注意．
2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像也可由y＝cos x的图像变换得到．本课结束8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)
学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
知识点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像
思考1 用“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？
思考2 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？
梳理 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图像的步骤：
第一步：列表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
名称
性质
定义域
值域
周期性
T＝________
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是____函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是____函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
知识点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
类型一 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图像
例1 利用五点法作出函数y＝3sin(x－)在一个周期内的图像．
反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点．
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像．
跟踪训练1 已知f(x)＝1＋sin(2x－)，画出f(x)在x∈[－，]上的图像．
类型二 由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
反思与感悟 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图像与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图像与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则其解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
类型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用
例3 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像过点P(，0)，图像上与P点最近的一个最高点的坐标为(，5)．
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的递增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
反思与感悟 有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．
跟踪训练3 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式可以是( )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x＋)
2．函数y＝－2sin(－)的周期、振幅、初相分别是( )
A．2π，－2， B．4π，－2，
C．2π，2，－ D．4π，2，－
3．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的部分图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的递增区间．
1．利用“五点”作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，π，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值．
2．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 依次为0，，π，，2π.
思考2 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－＋，－＋.
知识点二
R [－A，A] x＝＋(k∈Z) 奇 偶
知识点三
A ωx＋φ φ
题型探究
例1 解 依次令－＝0，，π，，2π，列出下表：
－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点，连线，如图所示．
跟踪训练1 解 (1)∵x∈[－，]，
∴2x－∈[－π，π]．
列表如下：
x
－
－π
－
π
2x－
－π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点，连线，如图所示．
例2 解 方法一 (逐一定参法)
由图像知振幅A＝3，
又T＝－(－)＝π，
∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝0，
得φ＝，∴y＝3sin.
方法二 (待定系数法)
由图像知A＝3，又图像过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得
∴y＝3sin.
方法三 (图像变换法)
由T＝π，点，A＝3可知，
图像是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，
∴y＝3sin，
即y＝3sin.
跟踪训练2 A
例3 解 (1)∵图像最高点的坐标为(，5)，
∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点(，5)，得sin(＋φ)＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，
∴y＝5sin(2x－)．
(2)∵函数的递增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(3)∵5sin(2x－)≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求x的取值范围是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
跟踪训练3 解 (1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，令＋－＝，得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的递增区间是(k∈Z)．同理可得函数的递减区间是(k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
当堂训练
1．A 2.D 3.A 4.A
5．解 (1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16，
∴ω＝＝，
∴f(x)＝sin(x＋φ)，
将点(－2,0)代入得sin(－＋φ)＝0，
令－＋φ＝0，∴φ＝，
∴f(x)＝sin(x＋)．
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.
课件48张PPT。第一章 三角函数§8 函数 y＝Asin(ωx＋φ )图像与性质(二)学习目标
1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，确定其解析式.
3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像用“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？答案答案 依次为0， ，π， ，2π.思考2 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？答案梳理用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图像的步骤：
第一步：列表：第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质R[－A，A]奇偶知识点三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义ωx＋φAφ题型探究类型一 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图像解答描点，连线，如图所示.(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像.反思与感悟解答列表如下：(2)描点，连线，如图所示.类型二 由图像求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.解答解 方法一 (逐一定参法)
由图像知振幅A＝3，方法二 (待定系数法)方法三 (图像变换法)若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图像与x轴的交点确定T，由T＝ ，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图像与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)反思与感悟②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点
作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝ ；
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝ ；
“第五点”为ωx＋φ＝2π. 跟踪训练2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则其解析式为答案解析类型三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用解答例3 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< )的图像过点P( ，0)，
图像上与P点最近的一个最高点的坐标为( ，5).
(1)求函数解析式；∴A＝5.∴y＝5sin(2x＋φ).解答(2)指出函数的递增区间；解答(3)求使y≤0的x的取值范围.有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.反思与感悟跟踪训练3 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝ .
(1)求φ的值；解答(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.解答当堂训练√2341答案解析51.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式可以是23415答案√23415解析23415答案23415√解析234154.已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像23415答案解析√23415解答(1)求f(x)的解析式；2341523415解答(2)写出f(x)的递增区间.23415解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为[16k－6，16k＋2]，k∈Z.规律与方法1.利用“五点”作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0， ，π， π，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值.
2.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值.
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝ ，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－ ，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.
3.在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.本课结束9 三角函数的简单应用
学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
知识点 利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．
思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：
类型一 三角函数模型在物理中的应用
例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．
跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋)．
(1)画出它的图像；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
类型二 三角函数模型在生活中的应用
例2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：
(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？
(2)当此人距离地面不低于(59＋)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？
反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行．
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论．
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化．
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解．
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解．
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.
2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.
3．一个单摆的平面图如图．设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asin(ωt＋)，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是________________．
4．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin(t＋)，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
答案精析
问题导学
知识点
思考 三角函数模型．
题型探究
例1 解 (1)由图可知A＝300，
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)
＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，
I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
跟踪训练1 解 (1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t
0
1
2πt＋
π
2π
2π＋
6sin(2πt＋)
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
例2 解 (1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y 米，则α＝t＝t.
由y＝108－－cost
＝－49cost＋59(t≥0)．
令－49cost＋59＝，
得cost＝，
∴t＝2kπ±，
故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3,15,21,33.
故当此人第四次距离地面 米时用了33分钟．
(2)由题意得－49cost＋59≥59＋，
即cost≤－.
故不妨在第一个周期内求即可，
∴≤t≤，解得≤t≤，
故－＝3.
因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌．
跟踪训练2 解 (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，
得sint≥，
则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
当堂训练
1. 2.20.5
3. α＝sin(2t＋)，t∈[0，＋∞)
4．解 (1)因为f(t)＝10－2sin(t＋)，又0≤t<24，
所以≤t＋<，
－1≤sin(t＋)≤1.
当t＝2时，sin(t＋)＝1；
当t＝14时，sin(t＋)＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin(t＋)，
故有10－2sin(t＋)>11，
即sin(t＋)<－.
又0≤t<24，
因此<t＋<，
即10故在10时至18时实验室需要降温．
课件35张PPT。第一章 三角函数§9 三角函数的简单应用学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点 利用三角函数模型解释自然现象现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案答案 三角函数模型.在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：
第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.
第二步：收集、整理数据，建立数学模型.
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：题型探究类型一 三角函数模型在物理中的应用解答例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|< )在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；解答(2)如果t在任意一段 的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.反思与感悟跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋ ).
(1)画出它的图像；解答列表：描点画图：(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？解答解 小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？解 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.③小球来回摆动一次需要多少时间？解 小球来回摆动一次需要1 s(即周期).类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：
(1)当此人第四次距离地面 米时用了多少分钟？解答解 如图，建立平面直角坐标系，故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3，15，21，33.(2)当此人距离地面不低于 米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？解答故不妨在第一个周期内求即可，因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行.
(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论.
(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化.
(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解.
(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解.
(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.反思与感悟跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.解答(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解答故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.当堂训练2341答案解析1.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝___ cm.23412.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝
a＋Acos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最
高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为____℃.20.5故10月份的平均气温值为答案解析答案2341解析3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asin(ωt＋ )，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝ ，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝_；α关于t的函数解析式是__________________________.23414.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：2341解答(1)求实验室这一天的最大温差；2341又0≤t<24，于是 f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？2341解答2341解 依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.又0≤t<24，即10故在10时至18时实验室需要降温.规律与方法1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.
2.三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.本课结束第一章 三角函数
学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握三角函数诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换．
1．任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫作α的________，记作________，即________；
(2)x叫作α的________，记作________，即________；
(3)叫作α的________，记作________，即____________________．
2．诱导公式
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
3．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
对称性
对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)；
对称中心：
(k∈Z)
对称中心：
(k∈Z)，
无对称轴
奇偶性
周期性
最小正周期：________
最小正周期：________
最小正周期：____
单调性
在(k∈Z)上是增加的；在(k∈Z)上是减少的
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是减少的
在开区间(kπ－，kπ＋)
(k∈Z)上是增加的
最值
在x＝________(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
类型一 三角函数的概念
例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
类型二 三角函数的图像与性质
例2 将函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin x的图像．
(1)求f(x)的最小正周期和递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值．
反思与感悟 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决．
跟踪训练2 函数f(x)＝3sin的部分图像如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
类型三 三角函数的最值和值域
命题角度1 可化为y＝Asin?ωx＋φ?＋k型
例3 求函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值．
反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．
跟踪训练3 已知函数y＝asin(2x＋)＋b在x∈[0，]上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型
例4 已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．
反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值．
命题角度3 分式型函数利用有界性求值域
例5 求函数y＝的值域．
反思与感悟 在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题．
跟踪训练5 求函数y＝的最大值和最小值．
类型四 数形结合思想在三角函数中的应用
例6 已知方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围．
反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想．
跟踪训练6 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为________．
1．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝，则a的值为( )
A．4 B．±4
C．－4或－ D.
2．已知f(α)＝，则f(－)的值为( )
A. B．－ C．－ D.
3．函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为( )
A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,2] D．[0,1]
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4，
5．已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．
答案精析
知识梳理
1．(1)正弦 sin α sin α＝y (2)余弦 cos α cos α＝x (3)正切 tan α tan α＝(x≠0)
3．[－1,1] [－1,1] R 奇函数 偶函数 奇函数 2π 2π π ＋2kπ
题型探究
例1 －8
跟踪训练1 解 当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
则有r＝＝25k，
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
例2 解 (1)函数y＝ sin x的图像向下平移1个单位长度得y＝sin x－1，再将得到的图像上的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝sinx－1的图像，然后向右平移1个单位长度，得到y＝sin(x－)－1的图像，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，
∴函数y＝f(x)的递增区间是[6k－，6k＋]，k∈Z.
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3,4]时，y＝f(x)的最值．
∵当x∈[3,4]时，x－∈[，π]，
∴sin(x－)∈[0，]，
∴f(x)∈[－1，]．
∴当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最小值是－1，最大值为.
跟踪训练2 解 (1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
例3 解 ∵x∈[0，π]，
∴x＋∈[，]，
∴－≤sin(x＋)≤1.
当sin(x＋)＝1，即x＝时，y取得最小值1.
当sin(x＋)＝－，即x＝π时，y取得最大值4.
∴函数y＝－2sin(x＋)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.
跟踪训练3 解 ∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，π]，sin(2x＋)∈[－，1]．
∴当a＞0时，
解得
当a＜0时，
解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
例4 解 y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.
令t＝sin x，∵|x|≤，
∴－≤sin x≤.
则y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋(－≤t≤)，
∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－(－－)2＋＝.
跟踪训练4 解 令t＝sin x，则
g(t)＝－t2－at＋b＋1
＝－2＋＋b＋1，
且t∈[－1,1]．根据对称轴t0＝－与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．
①当－≤－1，即a≥2时，
解得
②当－1<－<0，即0
解得(舍)或(舍)，
综上所述，a＝2，b＝－2.
例5 解 方法一 原函数变形为y＝1＋，
∵|cos x|≤1，∴－3≤2cos x－1≤1且2cos x－1≠0，
∴≥2或≤－，
则函数的值域为{y|y≥3或y≤}．
方法二 原函数变形为cos x＝，
∵|cos x|≤1，
∴||≤1且||≠，
∴函数的值域为{y|y≥3或y≤}．
跟踪训练5 解 y＝
＝＝3－.
∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝1时，
ymax＝3－＝，
当sin x＝－1时，
ymin＝3－＝－2，
∴函数y＝的最大值为，最小值为－2.
例6 解 函数y＝sin(x＋)，x∈[0，π]的图像如图所示，方程sin(x＋)＝在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin(x＋)，y2＝在同一平面直角坐标系中的图像在[0，π]上有两个不同的交点，所以≤＜1，即≤m＜2.
跟踪训练6 π
当堂训练
1．C 2.C 3.C 4.A
5．解 令t＝sin x，则t∈[－1,1]，
则函数可化为f(t)＝－t2＋t＋a
＝－(t－)2＋a＋.
当t＝时，f(t)max＝a＋，
即f(x)max＝a＋；
当t＝－1时，f(t)min＝a－2，
即f(x)min＝a－2.
故函数f(x)的值域为[a－2，a＋]．
所以解得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．
课件44张PPT。章末复习课第一章 三角函数学习目标
1.理解任意角的三角函数的概念.
2.掌握三角函数诱导公式.
3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像.
4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.
5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的 ，记作 ，即 ；
(2)x叫做α的 ，记作 ，即 ；
(3) 叫做α的 ，记作 ，即 .tan α正弦sin αsin α＝y余弦cos αcos α＝x正切2.诱导公式
六组诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.3.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质[－1，1][－1，1]R奇函数偶函数奇函数2π2ππ题型探究例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－ ，则y＝ .答案解析－8类型一 三角函数的概念所以θ为第四象限角，解得y＝－8.反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝ ，cos α＝ .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值.解答解 当k>0时，令x＝24k，y＝7k，当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，类型二 三角函数的图像与性质解答例2 将函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝ sin x的图像.
(1)求f(x)的最小正周期和递增区间；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.解 ∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值.解答反思与感悟研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.跟踪训练2 函数f(x)＝3sin 的部分图像如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；解答解答类型三 三角函数的最值和值域解答命题角度1 可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型例3 求函数y＝－2sin(x＋ )＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.反思与感悟利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.解答∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.求a，b的值.命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型
例4 已知|x|≤ ，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值.解答解 y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.解答跟踪训练4 已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值.解 令t＝sin x，则综上所述，a＝2，b＝－2.命题角度3 分式型函数利用有界性求值域
例5 求函数y＝ 的值域.解答∵|cos x|≤1，∴－3≤2cos x－1≤1且2cos x－1≠0，反思与感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题.跟踪训练5 求函数y＝ 的最大值和最小值.解答类型四 数形结合思想在三角函数中的应用解答反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想.可作出示意图如图所示(一种情况)，答案解析跟踪训练6 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).若f(x)在区间 上具有单调性，且 ，则f(x)的最小正周期为 .π当堂训练1.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝ ，则a的值为答案解析√1234512345答案解析√＝－cos α，123453.函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为
A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，2] D.[0，1]答案解析∴0≤f(x)≤2.故选C.√答案解析123454.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是√123455.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解答12345解 令t＝sin x，则t∈[－1，1]，当t＝－1时，f(t)min＝a－2，即f(x)min＝a－2.故实数a的取值范围为[3，4].12345三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.规律与方法本课结束