(共32张PPT)
第一章
数列
§1.1 数列的概念
1.理解数列及其有关概念.
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
不是.顺序不一样.
思考1
知识点一 数列及其有关概念
答案
数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
思考2
数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？
答案
数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.
梳理
(1)按
排列的
叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的
.
(2)
数列的一般形式可以写成
，简记为
，其中数列的第1项a1，也称
；an是数列的第n项，也叫数列的
.
一定次序
一列数
项
a1，a2，a3，…，an，…
{an}
首项
通项
知识点二 通项公式
100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
思考1
答案
数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
梳理
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式.数列的通项公式就是相应函数的解析式.不是所有的数列都能写出通项公式.
如图，数列可以看成以正整数集N＋(或
它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的
函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺
序依次取值时所对应的一列函数值.
不同之处是定义域，数列中的n必须是从
1开始且是连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.
思考2
答案
数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
题型探究
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解答
类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以，它的一个通项公式为an＝
，n∈N＋.
解答
解答
各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.
(3)9,99,999,9
999；
(4)2,0,2,0.
解答
这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋.
由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系.
反思与感悟
跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解答
这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项
为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为an＝
，n∈N＋.
解答
这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数
的平方减1，所以，它的一个通项公式为an＝
，n∈N＋.
(3)7,77,777,7
777.
解答
类型二 数列的通项公式的应用
例2 已知数列{an}的通项公式an＝
，n∈N＋.
(1)写出它的第10项；
解答
(2)判断
是不是该数列中的项.
解答
引申探究
对于例2中的{an}.
(1)求an＋1；
解答
(2)求a2n.
解答
反思与感悟
在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x，求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是.
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式为an＝
，n∈N＋，那么
是这个数列的第______项.
答案
解析
10
当堂训练
1.下列叙述正确的是
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1，…是常数列
D.数列{
}是递增数列
答案
解析
1
2
3
√
1
2
3
这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1，n∈N＋.
2.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为
A.an＝n，n∈N＋
B.an＝n＋1，n∈N＋
C.an＝n＋2，n∈N＋
D.an＝2n，n∈N＋
答案
解析
1
2
3
√
3.已知数列{an}的通项公式an＝
，n∈N＋，则a1＝__；an＋1
＝___________.
答案
解析
1
2
3
1
规律与方法
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性：数列中的数可以重复.
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.
本课结束3.1 等比数列(二)
学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．
知识点一 等比数列通项公式的推广
思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
等比数列也有类似变形吗？
思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？
梳理 公比为q的等比数列{an}中，an＝a1qn－1＝·qn.{an}的单调性由a1，q共同确定如下：
当或时，{an}是递增数列；
当或时，{an}是递减数列；
q＜0时，{an}是摆动数列，
q＝1时，{an}是常数列．
知识点二 由等比数列衍生的等比数列
思考 等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3){}是等比数列；
(4){a2n}是等比数列．
梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列．
(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列．
知识点三 等比数列的性质
思考 在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N＋)是否成立？
梳理 一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N＋)．若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N＋)．
类型一 等比数列的判断方法
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N＋，证明：{an－1}是等比数列．
反思与感悟 判断一个数列是等比数列的基本方法：
(1)定义法：＝q(常数)；
(2)等比中项法：a＝anan＋2(an≠0，n∈N＋)；
要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a≠a1a3.
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an＋1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
类型二 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.
命题角度2 整体思想
例3 已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．－9
反思与感悟 利用等比数列性质，挖掘出条件与解题目标之间的联系，进而进行整体代换，是简化计算的常用技巧．
跟踪训练3 设{an}为公比q>1的等比数列，若a2
012和a2
013是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2
014＋a2
015＝________.
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a10＝27，则log3a2＋log3a9等于( )
A．9
B．6
C．3
D．2
3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N＋)．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 在等比数列中，由通项公式an＝
a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．
思考2 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
则an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．
知识点二
思考 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．
知识点三
思考 ∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，
∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，
∴a＝a1a9成立．
同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立．
题型探究
例1 证明 当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，
解得a1＝－14，
∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，
∴6an＝5an－1＋1，an－1＝(an－1－1)，
∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列．
跟踪训练1 (1)解 由S1＝(a1＋1)，得a1＝(a1＋1)，
所以a1＝.
又S2＝(a2＋1)，
即a1＋a2＝(a2＋1)，
解得a2＝－.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)－(an－1＋1)．
得an＝－an－1，即＝－，
所以{an}是首项为，公比为－的等比数列．
例2 解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，
∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝
log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.
跟踪训练2 128
例3 A [由等比数列的性质知a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2，
∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝4，故选A.]
跟踪训练3 18
解析 由题意知a2
012＋a2
013＝2，a2
012·a2
013＝，且q>1，所以a2
012＝，a2
013＝.所以q＝＝3.
所以a2
014＋a2
015＝(a2
012＋a2
013)q2
＝2×32＝18.
当堂训练
1．A 2.C 3.8 4.数列{an}不是等比数列1.2 数列的函数特性
学习目标 1.理解数列的几种表示方法.2.能从函数的观点研究数列．
知识点一 数列的表示方法
思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
梳理
数列的表示方法有____________法、________法、列表法、递推公式法．
知识点二 数列的增减性
思考 观察知识点一中数列2,4,6,8，…的图像，随着n的增大，an有什么特点？
梳理 一般地，按项的增减趋势分类，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1____an，那么这个数列叫作____________；从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1____an，那么这个数列叫作____________；各项相等的数列叫作____________；从第2项起，有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作____________．
类型一 数列的表示方法
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．
反思与感悟 由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与序号之间的联系，善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的．
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．
类型二 数列的增减性
命题角度1 判断数列的增减性
例2 判断数列{}的增减性．
反思与感悟 对于无穷数列，不可能从第2项起逐项验证是否大于前一项．故需考察an＋1－an的正负来研究数列的增减性．
跟踪训练2 若数列{n2＋λn}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
命题角度2 求数列中的最大项与最小项
例3 在数列{an}中，an＝(n＋1)()n(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}先递增，后递减；
(2)求数列{an}的最大项．
反思与感悟 数列中最大项与最小项的两种求法
(1)若求最大项an，则an应满足若求最小项an，则an应满足
(2)将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的最大项和最小项．
1．已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法：(1)图像法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．
3．判断数列增减性的办法一般是作差：an＋1－an，通过判断差的正负来判断数列{an}的增减性．当an>0，也可用作商法与1比较大小判断数列的增减性．
通过判断数列在各区间上的增减性，可求出数列的最大项与最小项．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示：
①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图像法：
梳理 通项公式 图像
知识点二
思考 图像上升，an随n增大而增大．
梳理 > 递增数列 < 递减数列 常数列 摆动数列
题型探究
例1 解 这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点(如图所示)．
跟踪训练1 55
例2 解 设an＝，
则an＋1－an＝－
＝>0，
∴{}是递增数列．
跟踪训练2 (－3，＋∞)
解析 设an＝n2＋λn，
则an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn
＝2n＋1＋λ>0对任意n∈N＋恒成立．
∴(2n＋1＋λ)min＝3＋λ>0，
∴λ>－3.
例3 (1)证明 令>1(n≥2)，
即>1，
整理得>，解得n<10.
令>1，即>1.
整理得>，解得n>9.
所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先增后减．
(2)解 由(1)知a9＝a10＝最大．
跟踪训练3 解 因为an＋1－an
＝－
＝
＝
＝－
＝－
当n≤2时，an＋1－an<0，即an＋1
当n＝3时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n≥4时，an＋1－an<0，即an＋1又当n≤3时，an<2；当n≥4时，an>2.
所以a4>a5>…>an>…>2>a1>a2>a3.故数列{an}的最大项为a4＝4，最小项为a3＝0.
当堂训练
1．B 2.B 3.an＝2n＋12.1 等差数列(二)
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
知识点一 等差数列通项公式的推广
思考1 已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an
思考2 由思考1可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
梳理 等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.
知识点二 等差数列的性质
思考 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
梳理 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋________＝ap＋________.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
知识点三 由等差数列衍生的新数列
思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
梳理 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
类型一 等差数列推广通项公式的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．
跟踪训练1 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于( )
A．0
B．3
C．8
D．11
类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
反思与感悟 判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)从递推公式上看，an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；
(2)从任意连续三项关系上看，2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列；
(3)从通项公式代数特点上看，an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．如：其中某连续三项不成等差数列；存在n∈N＋，an＋1－an的结果不等于同一个常数等．
跟踪训练2 若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1<0的k值为________．
类型三 等差数列性质的应用
引申探究
1．在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.例3 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
1．等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A．3
B．－6
C．4
D．－3
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A．32
B．－32
C．35
D．－35
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3
B．－3
C.
D．－
1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
4．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
思考2 等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图像为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝.
知识点二
思考 利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
梳理 an aq
知识点三
思考 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
题型探究
例1 解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，
所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
跟踪训练1 B [∵{bn}为等差数列，设公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝b7＋b6＋…＋b1＋a1
＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1
＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.]
例2 解 取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
跟踪训练2 23
解析 由3an＋1＝3an－2，
得an＋1－an＝－.
∴{an}是首项为15，公差为－的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d
＝15＋(n－1)×(－)
＝－n＋.
令an＝0，解得n＝＝23.5，
∵d＝－，数列{an}是递减数列，
∴a23>0，a24<0.
∴k＝23.
例3 解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，
①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，
即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，
②
解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1．解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．20
解析 ∵a3＋a8＝10，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
跟踪训练3 解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，
①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，
②
由①②联立得
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
当堂训练
1．B 2.C 3.A(共34张PPT)
第一章
数列
§2.2 等差数列的前n项和(二)
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.会解等差数列前n项和的最值问题.
3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考
知识点一 数列中an与Sn的关系
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an
答案
a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋.
梳理
对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为
an＝
(n＝1)，
(n≥2，n∈N＋).
S1
Sn－Sn－1
知识点二 等差数列前n项和的最值
由二次函数的性质可以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
思考
答案
梳理
等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关.
(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
题型探究
解答
类型一 已知数列{an}的前n项和Sn求an
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋
n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)，
引申探究
例1中前n项和改为Sn＝n2＋
n＋1，求通项公式.
解答
反思与感悟
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，
an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.
解答
类型二 等差数列前n项和的最值
例2 已知等差数列5,4
，3
，…的前n项和为Sn，求当Sn取得最大值时n的值.
解答
故前n项和是从第9项开始减小，而第8项为0，
所以前7项或前8项的和最大.
反思与感悟
在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图像或性质求解.
跟踪训练2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.
解答
方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
∴a1∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值.
易求S6＝S7＝－42，
∴(Sn)min＝－42.
方法二 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12.
类型三 求等差数列前n项的绝对值之和
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解答
∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
反思与感悟
求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.
跟踪训练3 已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式.
解答
由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N＋).
验证a1＝9也符合上式.∴an＝11－2n，n∈N＋.
∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
即Tn＝
当堂训练
当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
又因为a1＝2符合an＝2n，
所以an＝2n.
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于
A.4n－2
B.n2
C.2n＋1
D.2n
答案
解析
1
2
3
√
4
等差数列的前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
答案
解析
2.已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是
A.－2
B.－1
C.0
D.1
√
1
2
3
4
∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，
∴a6＝0.∵a1＞0，
∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，
a7＜0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝______时，Sn取到最大值.
5或6
1
2
3
4
答案
解析
当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，
解答
1
2
3
4
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
规律与方法
1.因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
本课结束(共36张PPT)
第一章
数列
§3.2 等比数列的前n项和(一)
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考
知识点一 等比数列的前n项和公式的推导
对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64
答案
梳理
设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得.
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①
则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②
由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.
知识点二 等比数列的前n项和公式的应用
思考
答案
要求等比数列前8项的和：
(1)若已知数列的前三项，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a1，a9和q，用哪个公式比较合适？
答案
梳理
一般地，使用等比数列求和公式时需注意：
(1)
一定不要忽略q＝1的情况；
(2)
知道首项a1、公比q和项数n，可以用
；知道首尾两项a1，an和q，可以用
；
(3)
在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.简称为：“知三求二”.
题型探究
解答
类型一 等比数列前n项和公式的应用
命题角度1 前n项和公式的直接应用
例1 求下列等比数列前8项的和：
解答
反思与感悟
求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立.
跟踪训练1 若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝___；前n项和Sn＝________.
答案
解析
2
2n＋1－2
设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用
例2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
解答
方法一 由题意知
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
反思与感悟
(1)
在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
(2)在前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
解答
由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
类型二 等比数列前n项和的实际应用
例3 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长
.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.
解答
反思与感悟
解应用题先要认真阅读题目，理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
解答
当堂训练
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
答案
解析
1
2
3
√
4
答案
解析
2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则
等于
√
1
2
3
4
1
2
3
4
3.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是
A.179
B.211
C.243
D.275
1
2
3
4
答案
解析
√
去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).
1
2
3
4
4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为___________.
答案
解析
11a(1.15－1)
规律与方法
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
本课结束第一章
数列
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．
知识点一 知识网络
知识点二 对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式
an＋1－an＝d
＝q
中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫作a与b的等差中项，并且A＝
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
前n项和公式
Sn＝＝na1＋d
q≠1时，Sn＝＝，q＝1时，Sn＝na1
性质
am，an的关系
am－an＝(m－n)d
＝qm－n
m，n，s，t∈N＋，m＋n＝s＋t
am＋an＝as＋at
aman＝asat
{kn}是等差数列，且kn∈N＋
{akn}是等差数列
{akn}是等比数列
n＝2k－1，k∈N＋
S2k－1＝(2k－1)·ak
a1a2·…·a2k－1＝a
判断方法
利用定义
an＋1－an是同一常数
是同一常数
利用中项
an＋an＋2＝2an＋1
anan＋2＝a
利用通项公式
an＝pn＋q，其中p、q为常数
an＝abn(a≠0，b≠0)
利用前n项和公式
Sn＝an2＋bn
(a，b为常数)
Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)
知识点三 本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想
1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了________法和________法；
2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了____________法和____________法．
3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意____个求其余____个，用到了方程思想．
4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了________思想．
5．等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了________．
类型一 方程思想求解数列问题
例1 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln
a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．
跟踪训练1 记等差数列的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
类型二 转化与化归思想求解数列问题
例2 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1)
设cn＝，求证数列{cn}是等差数列；
(2)
求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．
反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
类型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题
例3 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．
反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
跟踪训练3 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N＋)，求数列{Tn}最大项的值与最小项的值．
命题角度2 以函数为载体给出数列
例4 已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N＋.
(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；
(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值．
反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝，数列{an}满足
a1＝1，an＋1＝f，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
1．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和(n∈N＋)，且S＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式是________．
2．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}、{bn}的通项公式．
1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
答案精析
知识梳理
知识点三
1．累加 累乘
2．倒序相加 错位相减
3．三 两
4．函数
5．类比
题型探究
例1 解 (1)由已知得
解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，
∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝ln
a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，
∴bn＝ln
23n＝3nln
2.
又bn＋1－bn＝3ln
2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln
2.
故Tn＝ln
2.
跟踪训练1 解 设数列的公差为d，
依题设有
即
解得或
因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋.
例2 (1)证明
由Sn＋1＝4an＋2，①
则当n≥2，n∈N＋时，有Sn＝4an－1＋2.②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
＝2－，
即＋＝2，
即cn＋1＋cn－1＝2cn，
∴数列{cn}是等差数列．
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，
∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，
∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1
＝2(an－2an－1)，
令bn＝an＋1－2an，
则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝3·2n－1，
∵
cn＝，∴
cn＋1－cn＝－＝
＝＝＝，
c1＝＝，
∴
{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可知数列{}是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．
设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，
∴2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，
故Sn＝2Sn－Sn
＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1
＝－1－3×＋(3n－1)·2n－1
＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1
＝2＋(3n－4)·2n－1.
∴
数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－2，前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N＋.
跟踪训练2 (1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.
(2)证明 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N
)，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2
＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2
＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，
∴＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
例3 解 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，
整理得2a1d＝d2.∵d>0，∴d＝2.
∵a1＝1.∴an＝2n－1
(n∈N＋)．
(2)bn＝＝
＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立，
又Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是递增的．
∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
跟踪训练3 解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，
所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×(－)n－1＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－(－)n＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1＜Sn≤S1＝.
故0＜Sn－≤S1－＝－＝.
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn＜1，
故0＞Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N＋，总有－≤Sn－≤且Sn－≠0.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
例4 解 (1)由an＋1＝f(an) an＋1＝2－|an|，
a1＝0 a2＝2，a3＝0，a4＝2.
(2)∵a1，a2，a3成等比数列 a3＝＝
2－|a2| a＝a1·(2－|a2|)，且a2
＝2－|a1| (2－|a1|)2＝a1[2－|2－|a1||] (2－a1)2＝a1[2－|2－a1|]，
分情况讨论：
当2－a1≥0时，(2－a1)2＝a1[2－(2－a1)]＝a a1＝1，且a1≤2；
当2－a1＜0时，(2－a1)2＝a1[2－(a1－2)]＝a1(4－a1) 2a－8a1＋4＝0 a－4a1＋4＝2 (a1－2)2＝2 a1＝2＋，且a1＞2，
综上，a1＝1或a1＝2＋.
跟踪训练4 解 (1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋，
∴an＋1－an＝，
∴{an}是以为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝n＋.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋
a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－·
＝－(2n2＋3n)．
当堂训练
1．an＝36(2n－1) 2.an＝3n－16 3
3．an＝2n－1，bn＝3·2n－13.2 等比数列的前n项和(一)
学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
知识点一 等比数列的前n项和公式的推导
思考 对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64
梳理 设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得．
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①
则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②
由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.
当q≠1时，Sn＝.
当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.
结合通项公式可得：
等比数列前n项和公式：
Sn＝
知识点二 等比数列的前n项和公式的应用
思考 要求等比数列前8项的和：
(1)若已知数列的前三项，用哪个公式比较合适？
(2)若已知a1，a9和q，用哪个公式比较合适？
梳理 一般地，使用等比数列求和公式时需注意：
(1)
一定不要忽略q＝1的情况；
(2)
知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；
(3)
在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．简称为：“知三求二”．
类型一 等比数列前n项和公式的应用
命题角度1 前n项和公式的直接应用
例1 求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
反思与感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．
跟踪训练1 若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用
例2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
反思与感悟 (1)
在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
(2)在前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
类型二 等比数列前n项和的实际应用
例3 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入．
反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于( )
A.
B.
C.
D.
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2
B．4
C.
D.
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是( )
A．179
B．211
C．243
D．275
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1.
知识点二
思考 (1)用Sn＝；
(2)用Sn＝.
题型探究
例1 解 (1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q<0，可得q＝－.
所以S8＝＝.
跟踪训练1 2 2n＋1－2
解析 设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
因此Sn＝＝2n＋1－2.
例2 解 方法一 由题意知
解得或
从而Sn＝＝(5n－1)
或Sn＝
＝，n∈N＋.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
所以
两式作比，得＝，
解得或
从而Sn＝＝(5n－1)
或Sn＝
＝，n∈N＋.
跟踪训练2 解 由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝＝＝6，
解得q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
例3 解 第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×n－1万元，
所以每年的投入构成首项为800，公比为(1－)的等比数列．故n年内的总投入an＝800＋800×＋…＋800×
n－1
＝4
000×(万元)．
同理，第1年收入400万元，第2年收入400×万元，…，第n年收入400×n－1万元．
所以每年的收入构成首项为400，公比为(1＋)的等比数列．
所以总收入bn＝400＋400×＋…＋400×n－1
＝1
600×.
所以n年内的总投入为
4
000×，
n年内旅游业的总投入为
1
600×.
跟踪训练3 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
＝
＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125
m.
当堂训练
1．C 2.C 3.B 4.11a(1.15－1)(共52张PPT)
第一章
数列
章末复习课
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.
2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力.
学习目标
题型探究
知识梳理
内容索引
当堂训练
知识梳理
知识点一 知识网络
知识点二 对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式
an＋1－an＝d
＝q
中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫作a与b的等差中项，并且A＝
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
前n项和公式
q≠1时，Sn＝
＝
，q＝1时，Sn＝na1
性质
am，an的关系
am－an＝(m－n)d
＝qm－n
m，n，s，t∈N＋，m＋n＝s＋t
am＋an＝as＋at
aman＝asat
{kn}是等差数列，且kn∈N＋
{
}是等差数列
{
}是等比数列
n＝2k－1，k∈N＋
S2k－1＝(2k－1)·ak
a1a2·…·a2k－1＝
判
断
方
法
利用定义
an＋1－an是同一常数
是同一常数
利用中项
an＋an＋2＝2an＋1
anan＋2＝
利用通项公式
an＝pn＋q，其中p、q为常数
an＝abn(a≠0，b≠0)
利用前n项和公式
Sn＝an2＋bn
(a，b为常数)
Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)
知识点三 本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想
1.在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了
法和
法；
2.在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了
法和
法.
3.等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意
个求其余
个，用到了方程思想.
4.在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了
思想.
5.等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了
.
累加
累乘
倒序相加
位相减
错
三
两
函数
类比
题型探究
类型一 方程思想求解数列问题
例1 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项；
解答
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)令bn＝ln
a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解答
由于bn＝ln
a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln
23n＝3nln
2.
又bn＋1－bn＝3ln
2，∴{bn}是等差数列，
反思与感悟
在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量.
跟踪训练1 记等差数列
的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3
＋1成等比数列，求Sn.
解答
类型二 转化与化归思想求解数列问题
例2 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1)
设cn＝
，求证数列{cn}是等差数列；
证明
由Sn＋1＝4an＋2，
①
则当n≥2，n∈N＋时，有Sn＝4an－1＋2.
②
①－②得an＋1＝4an－4an－1.
方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得
即cn＋1＋cn－1＝2cn，
∴数列{cn}是等差数列.
由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，
方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，
令bn＝an＋1－2an，
则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝3·2n－1，
(2)
求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.
解答
设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，
∴2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，
故Sn＝2Sn－Sn
＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1
＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1
＝2＋(3n－4)·2n－1.
∴
数列{an}的通项公式为an＝(3n－1)·2n－2，前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N＋.
反思与感悟
由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.
跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋).
(1)求a2，a3的值；
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.
解答
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列.
证明
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N
)，
①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1).
②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2
＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2
＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2).
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，
∴
＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.
类型三 函数思想求解数列问题
命题角度1 借助函数性质解数列问题
例3 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项.
(1)求数列{an}的通项公式；
解答
由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，
整理得2a1d＝d2.∵d>0，∴d＝2.
∵a1＝1.∴an＝2n－1
(n∈N＋).
(2)设bn＝
(n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对
任意的n均有Sn>
总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由.
解答
∴数列{Sn}是递增的.
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
反思与感悟
数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响.
跟踪训练3 已知首项为
的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
解答
设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
(2)设Tn＝Sn－
(n∈N＋)，求数列{Tn}最大项的值与最小项的值.
解答
命题角度2 以函数为载体给出数列
例4 已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N＋.
(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；
解答
由an＋1＝f(an) an＋1＝2－|an|，
a1＝0 a2＝2，a3＝0，a4＝2.
(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.
解答
＝a1[2－|2－|a1||] (2－a1)2＝a1[2－|2－a1|]，
分情况讨论：
反思与感悟
以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝
，数列{an}满足
a1＝1，an＋1＝
，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
解答
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
解答
Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
当堂训练
设等差数列{an}的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得
＝9(2a1＋d)，
①
4a1＋6d＝4(2a1＋d
).
②
由②得d＝2a1，代入①有
＝36a1，
解得a1＝0或a1＝36.
将a1＝0舍去.因此a1＝36，d＝72，
故数列{an}的通项公式an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1).
1.设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和(n∈N＋)，且
＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式是_____________.
答案
解析
1
2
3
an＝36(2n－1)
1
2
3
2.若数列{an}的前n项和Sn＝
n2－
n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公
式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第__项.
答案
解析
an＝3n－16
3
所以n＝3时，nan的值最小.
1
2
3
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}、{bn}的通项公式.
解答
设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.
由a3＋b3＝17得1＋2d＋3q2＝17，
①
由T3－S3＝12得q2＋q－d＝4.
②
由①、②及q＞0解得q＝2，d＝2.
故所求的通项公式为an＝2n－1，bn＝3·2n－1.
规律与方法
1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题.
2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.
本课结束(共32张PPT)
第一章
数列
§2.1 等差数列(一)
1.理解等差数列的定义.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考
知识点一 等差数列的概念
给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20；
(2)4,4,4,4；
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
答案
从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.
梳理
从第
项起，每一项与前一项的差等于同一个
，这个数列称为等差数列，这个常数为等差数列的
，公差通常用字母d表示.
常数
公差
2
知识点二 等差中项的概念
思考
观察下列所给的两个数之间插入一个什么数后，三个数能成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
答案
梳理
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫作a和b的等差中项，且
A＝
.
知识点三 等差数列的通项公式
n－1
思考
对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋( )×2.
梳理
若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明.
题型探究
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
解答
类型一 等差数列的概念
由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.
判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数.
反思与感悟
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列.
答案
解析
类型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数构成等差数列，求此数列.
解答
反思与感悟
在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an
＝
，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一
项都是它前一项与后一项的等差中项.
由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为
＝3.
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
解答
类型三 等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1 基本量法求通项公式
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
解答
反思与感悟
像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程组求解的思想方法，称方程思想.
跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20
－1)×(－3)＝－49.
解答
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
解答
由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项.
命题角度2 等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
解答
根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元.
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
即需要支付车费23.2元.
反思与感悟
在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10
km高空，高度每增加1
km，气温就下降某一个固定数值.如果1
km高度的气温是8.5℃，5
km高度的气温是－17.5℃，求2
km，4
km,8
km高度的气温.
解答
用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，
a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2
km,4
km,8
km高度的气温分别为
2℃，－11℃，－37℃.
当堂训练
由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为
A.2
B.3
C.－2
D.－3
答案
解析
1
2
3
√
因为A，B，C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.
2.已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
答案
解析
1
2
3
√
3.等差数列{an}中，已知a1＝
，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值.
1
2
3
解答
规律与方法
1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
本课结束4
数列在日常经济生活中的应用
学习目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．
知识点一 单利、复利
思考1 第一月月初存入1
000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？
思考2 第一月月初存入1
000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？
梳理 一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为________．
(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的．
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和________．
知识点二 数列应用问题的常见模型
1．整存整取定期储蓄
一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，到期本息合计为an，则______________．其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题．
2．定期存入零存整取储蓄
每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第n期末时，应得到本息合计为：________________.其本质为已知首项和公差，求前n项和问题．
3．分期付款问题
贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止．其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．
类型一 等差数列模型
例1 第一年年初存入银行1
000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为________元．
反思与感悟 把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等．
跟踪训练1 一同学在电脑中按a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)编制一个程序生成若干个实心圆(an表示第n次生成的实心圆的个数)，并在每次生成后插入一个空心圆，当某次生成的实心圆个数达到2
016时终止，则此时空心圆个数为( )
A．445
B．64
C．63
D．62
类型二 等比数列模型
例2 现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元．
反思与感悟 在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律．
跟踪训练2 银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息．银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于________________．
类型三 分期付款
例3 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
反思与感悟 建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则．不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律．
跟踪训练3 某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还( )
A.万元
B.万元
C.万元
D.万元
1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A．65只
B．66只
C．216只
D．36只
2．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是( )
A．32
B．31
C．64
D．65
3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有( )
A．6只
B．5只
C．8只
D．7只
1．数列应用问题的常见模型
(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d为常数)．
(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．
(3)如果容易找到该数列任意一项
an＋1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.
2．数列综合应用题的解题步骤
(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.
(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．
(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的．
思考2 不同．因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的．
梳理 (1)a(1＋rx) (2)a(1＋r)x
知识点二
1．an＝A(1＋np)
2．nA＋Ap
题型探究
例1 1
036
解析 设各年末的本利和为{an}，
由an＝a(1＋nr)，其中a＝1
000，
r＝0.72%，
∴a5＝1
000×(1＋5×0.72%)＝1
036(元)．
即第5年末的本利和为1
036元．
跟踪训练1 C [由题意可得：
a1＝1，
a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
a4－a3＝4，
…
an－an－1＝n，
将上式相加，可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
令＝2
016，解得n＝63，
由题意可得，空心圆为63个，故选C.]
例2 8×1.0255
解析 定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an，则
a1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，
a2＝a1＋a1×0.025＝8×(1＋0.025)2，
a3＝a2＋a2×0.025＝8×(1＋0.025)3，
∴a5＝8×(1＋0.025)5，
即5年末的本利和是8×1.0255.
跟踪训练2 [(1＋r)3－1]
解析 设储户开始存入的款数为a，由题意得，
a(1＋3q)>a(1＋r)3，
∴q>[(1＋r)3－1]．
例3 解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，
则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；
a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；
a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，
an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%
＝(4－)(万元)(n＝1,2，…，10)．
因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．
a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
跟踪训练3 B [根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则
x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，
∴x·＝a(1＋γ)5
故x＝(万元)．]
当堂训练
1．B 2.D 3.A(共46张PPT)
第一章
数列
§3.2 等比数列的前n项和(二)
1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
2.会用错位相减法求和.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考
知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征
若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？
若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
答案
梳理
当公比q≠1时，设A＝
，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
知识点二 等比数列前n项和的性质
思考
若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？
答案
设{an}的公比为q，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn
＝qnSn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n
＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn
＝qn(S2n－Sn)，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
梳理
等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).
知识点三 错位相减法
思考
在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？
在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.
答案
梳理
如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，一般使用如下方法：
Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
①
qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq
＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，
②
①－②得(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1
＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1
题型探究
类型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.是等差数列或等比数列
D.既非等差数列，也非等比数列
答案
解析
反思与感悟
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.
跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝____.
答案
解析
类型二 等比数列前n项和的性质
命题角度1 连续n项之和问题
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：
＝Sn(S2n＋S3n).
证明
反思与感悟
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解答
命题角度2 不连续n项之和问题
答案
解析
反思与感悟
注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快.
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则
＋
＋
＋…＋
＝____.
答案
解析
126
类型三 错位相减法求和
例4 求数列{
}的前n项和.
解答
反思与感悟
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.
跟踪训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0).
解答
当堂训练
1.一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是
A.190
B.191
C.192
D.193
答案
解析
1
2
3
√
4
答案
解析
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－
，则x的值为
√
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48,12,3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.
3.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为
A.180
B.108
C.75
D.63
1
2
3
4
答案
解析
√
当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)
＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，
∴k＝－1.
1
2
3
4
4.在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝____.
答案
解析
－1
规律与方法
1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.
2.等比数列中用到的数学思想：
(1)分类讨论的思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0(2)函数的思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝
·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝
(qn－1)(q≠1).设A＝
，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系.
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，
当成整体求解.
本课结束(共32张PPT)
第一章
数列
§4 数列在日常经济生活中的应用
1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.
2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考1
知识点一 单利、复利
第一月月初存入1
000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？
按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的.
答案
思考2
第一月月初存入1
000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？
不同.因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的.
答案
梳理
一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为
.
(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的.
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和
.
a(1＋rx)
a(1＋r)x
知识点二 数列应用问题的常见模型
1.整存整取定期储蓄
一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，到期本息合计为an，则
.其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题.
2.定期存入零存整取储蓄
每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第n期末时，应得到
本息合计为：
.其本质为已知首项和公差，求前n项和问题.
an＝A(1＋np)
3.分期付款问题
贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止.其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计.
题型探究
类型一 等差数列模型
例1 第一年年初存入银行1
000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为_____元.
1
036
答案
解析
设各年末的本利和为{an}，
由an＝a(1＋nr)，其中a＝1
000，r＝0.72%，
∴a5＝1
000×(1＋5×0.72%)＝1
036(元).
即第5年末的本利和为1
036元.
反思与感悟
把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等.
跟踪训练1 一同学在电脑中按a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)编制一个程序生成若干个实心圆(an表示第n次生成的实心圆的个数)，并在每次生成后插入一个空心圆，当某次生成的实心圆个数达到2
016时终止，则此时空心圆个数为
A.445
B.64
C.63
D.62
答案
解析
由题意可得：
a1＝1，
a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
a4－a3＝4，
…
an－an－1＝n，
将上式相加，可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝
，
令
＝2
016，解得n＝63，
由题意可得，空心圆为63个，故选C.
类型二 等比数列模型
定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an，则
a1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，
a2＝a1＋a1×0.025＝8×(1＋0.025)2，
a3＝a2＋a2×0.025＝8×(1＋0.025)3，
∴a5＝8×(1＋0.025)5，
即5年末的本利和是8×1.0255.
例2 现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是________万元.
答案
解析
8×1.0255
反思与感悟
在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律.
跟踪训练2 银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息.银行为吸收长期资金，鼓励
储户存三年定期的存款，那么q的值应大于____________.
设储户开始存入的款数为a，由题意得，
a(1＋3q)>a(1＋r)3，∴q>
[(1＋r)3－1].
答案
解析
类型三 分期付款
例3 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息.签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
解答
购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，
则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；
a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；
a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，
因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元.
反思与感悟
建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则.不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律.
跟踪训练3 某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还
答案
解析
根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则
x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，
当堂训练
设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，
∴{an}是首项为1，公比为6的等比数列.
∴a7＝a1·q7－1＝66.
1.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂
A.65只
B.66只
C.216只
D.36只
答案
解析
1
2
3
√
1
2
3
可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，得65个存活.
2.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是
A.32
B.31
C.64
D.65
答案
解析
√
1
2
3
3.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有
A.6只
B.5只
C.8只
D.7只
答案
解析
√
1
2
3
依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列.
设a1＝7，d>0，Sn－1＝65－10＝55，
1
2
3
∵55＝11×5且(n－1)为正整数，
规律与方法
1.数列应用问题的常见模型
(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d为常数).
(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型.
(3)如果容易找到该数列任意一项
an＋1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题.
2.数列综合应用题的解题步骤
(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.
(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.
(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
本课结束2.2 等差数列的前n项和(二)
学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.会解等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
知识点一 数列中an与Sn的关系
思考 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an
梳理 对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为
an＝
知识点二 等差数列前n项和的最值
思考 我们已经知道，当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋(a1－)n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关．
(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．
类型一 已知数列{an}的前n项和Sn求an
引申探究
例1中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
反思与感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.
类型二 等差数列前n项和的最值
例2 已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求当Sn取得最大值时n的值．
反思与感悟 在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图像或性质求解．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．
类型三 求等差数列前n项的绝对值之和
例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
反思与感悟 求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．
跟踪训练3 已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式．
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于( )
A．4n－2
B．n2
C．2n＋1
D．2n
2．已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
3．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
1．因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋.
梳理 S1 Sn－Sn－1
知识点二
思考 由二次函数的性质可以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
题型探究
例1 解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N＋)，
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
引申探究
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－1)＋1]
＝2n－.
①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．
∴an＝
跟踪训练1 解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.
∴an＝
例2 解 方法一 由题意知，等差数列5,4，3，…的公差为－，
所以Sn＝5n＋(－)
＝－(n－)2＋.
于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取得最大值．
方法二 an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×
＝－n＋.
令an＝－n＋≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0.
故前n项和是从第9项开始减小，而第8项为0，
所以前7项或前8项的和最大．
跟踪训练2 解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
∴a1∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
易求S6＝S7＝－42，
∴(Sn)min＝－42.
方法二 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12.
∴Sn＝＝n2－13n＝2－.
∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42.
例3 解 ∵a1＝13，d＝－4，
∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋d＝13n＋×(－4)
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
＝2×－(15n－2n2)
＝56＋2n2－15n.
∴Tn＝
跟踪训练3 解 由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N＋)．
验证a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N＋.
∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；
当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
即Tn＝
当堂训练
1．D 2.B 3.5或6
4．an＝1．1 数列的概念
学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．
知识点一 数列及其有关概念
思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？
梳理 (1)按____________排列的____________叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的____．
(2)
数列的一般形式可以写成________________________________简记为________，其中数列的第1项a1，也称________；an是数列的第n项，也叫数列的________．
知识点二 通项公式
思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？
梳理 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．数列的通项公式就是相应函数的解析式．不是所有的数列都能写出通项公式．
思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；(2)，2，，8，；
(3)9,99,999,9
999；(4)2,0,2,0.
反思与感悟 由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系．
跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－，，－，；
(2)，，，；
(3)7,77,777,7
777.
类型二 数列的通项公式的应用
引申探究
对于例2中的{an}．
(1)求an＋1；
(2)求a2n.
例2 已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋.
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项．
反思与感悟 在通项公式an＝f(n)中，an相当于y，n相当于x，求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，那么是这个数列的第______项．
1．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列{}是递增数列
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n，n∈N＋
B．an＝n＋1，n∈N＋
C．an＝n＋2，n∈N＋
D．an＝2n，n∈N＋
3．已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋，则a1＝________；an＋1＝________.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不是．顺序不一样．
思考2
数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．
梳理 (1)一定次序 一列数 项
(2)a1，a2，a3，…，an，…， {an} 首项 通项
知识点二
思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项an＝n，从而第100项应为100.
思考2
如图，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且是连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
题型探究
例1 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以，它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，
所以，它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)各项加1后，变为10,100,1
000，10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N＋.
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋.
跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为an＝，n∈N＋.
(3)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9
999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1
000－1)，
×(10
000－1)，
即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，
所以，它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N＋.
例2 解 (1)a10＝＝.
(2)令＝，
化简得8n2－33n－35＝0，
解得n＝5(n＝－，舍去)．
当n＝5时，a5＝－≠.
所以不是该数列中的项．
引申探究
解 (1)an＋1＝
＝.
(2)a2n＝
＝.
跟踪训练2 10
解析 ∵＝，
∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
当堂训练
1．D 2.B 3.1 3．1 等比数列(一)
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
知识点一 等比数列的概念
思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．
①1,2,4,8,16，…；
②1，，，，，…；
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，….
梳理 等比数列的概念和特点．
(1)如果一个数列从第____项起，每一项与它的____一项的____都等于________常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的________，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)递推公式形式的定义＝q(n>1)(或＝q，n∈N＋)．
(3)等比数列各项均________为0.
知识点二 等比中项的概念
思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？
梳理 等差中项与等比中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项
若a，G，b成________数列，则G叫作a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有________个，且互为________
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当________时，a与b才有等比中项
知识点三 等比数列的通项公式
思考 等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
梳理 等差数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.
类型一 证明等比数列
例1 根据下面的框图，写出数列的前5项，并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？
反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数)．
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)证明：数列{an}是等比数列．
类型二 等比数列通项公式的应用
命题角度1 方程思想
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．
反思与感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．
跟踪训练2 在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
命题角度2 等比数列的实际应用
例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．
跟踪训练3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg
6≈0.778，lg
1.2≈0.079)
类型三 等比中项
例4 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为( )
A．±
B.
C．1
D．±1
反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．
跟踪训练4 ＋1与－1的等比中项是( )
A．1
B．－1
C．±1
D.
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A．16
B．16或－16
C．32
D．32或－32
2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4
B．8
C．6
D．32
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64
B．81
C．128
D．243
4．45和80的等比中项为________．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N＋)．
2．两个同号的实数a、b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．
梳理 (1)2 前 比 同一 公比
(3)不能
知识点二
思考 设这个数为G.则＝，G2＝16，G＝±4.所以这样的数有2个．
梳理 等比 两 相反数 ab＞0
知识点三
思考 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘．根据等比数列的定义得
＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2)．
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．
当n＝1时，上面的等式也成立．
∴an＝a1qn－1(n∈N＋)．
题型探究
例1 解 若将输出的数依次记为a1(即A)，a2，a3，….
由框图可知，a1＝1，a2＝a1×＝，a3＝a2×＝，a4＝a3×＝，a5＝a4×＝.
于是，可得递推公式
由于＝，因此这个数列是等比数列，其通项公式是an＝n－1.
跟踪训练1 (1)解 ∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－.
又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝.
(2)证明 ∵Sn＝(an－1)，
∴Sn＋1＝(an＋1－1)，
两式相减得an＋1＝an＋1－an，
即an＋1＝－an，
∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
例2 解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
②÷①，得q＝，将q＝代入①，
得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.
跟踪训练2 解 (1)由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么解得
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
例3 解 设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列．
其中a1＝0.84，q＝0.84，
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取对数，得nlg
0.84＝lg
0.5，用计算器算得n≈4.
答 这种物质的半衰期大约为4年．
跟踪训练3 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N＋)，
从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，
故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝＝≈9.85.
故n＝11.
答 从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨．
例4 D
跟踪训练4 C
当堂训练
1．C 2.C 3.A 4.－60或60(共30张PPT)
第一章
数列
§3.1 等比数列(二)
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考1
知识点一 等比数列通项公式的推广
我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
等比数列也有类似变形吗？
答案
思考2
我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？
答案
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
则an＝a1qn－1＝
·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值.由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定.
梳理
公比为q的等比数列{an}中，an＝a1qn－1＝
·qn.{an}的单调性由a1，q共同确定如下：
知识点二 由等比数列衍生的等比数列
思考
答案
等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是
(1){3an}是等比数列；
(2){3＋an}是等比数列；
(3){
}是等比数列；
(4){a2n}是等比数列.
由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.
梳理
(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：
，
，
，…，
，
…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么
，
，
，…，
，
…是等比数列.
知识点三 等比数列的性质
思考
答案
梳理
一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N＋).若m＋n＝2k，则am·an＝
(m，n，k∈N＋).
题型探究
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N＋，证明：{an－1}是等比数列.
证明
类型一 等比数列的判断方法
当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，
解得a1＝－14，
∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1，
∴6an＝5an－1＋1，an－1＝
(an－1－1)，
∴{an－1}是首项为－15，公比为
的等比数列.
反思与感悟
判断一个数列是等比数列的基本方法：
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝
(an＋1)(n∈N＋).
(1)求a1，a2；
解答
(2)求证：数列{an}是等比数列.
证明
类型二 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征
例2 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
解答
根据等比数列的性质
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解答
反思与感悟
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题.
跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝____.
128
答案
解析
命题角度2 整体思想
例3 已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为
A.4
B.6
C.8
D.－9
答案
解析
反思与感悟
利用等比数列性质，挖掘出条件与解题目标之间的联系，进而进行整体代换，是简化计算的常用技巧.
跟踪训练3 设{an}为公比q>1的等比数列，若a2
012和a2
013是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2
014＋a2
015＝___.
答案
解析
18
当堂训练
由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.
1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为
A.2
B.3
C.4
D.8
答案
解析
1
2
3
√
4
因为a2a9＝a1a10＝27，
所以log3a2＋log3a9＝log327＝3.
答案
解析
2.在等比数列{an}中，an>0，且a1·a10＝27，则log3a2＋log3a9等于
A.9
B.6
C.3
D.2
√
1
2
3
4
设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
3.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为___.
1
2
3
4
答案
解析
8
不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，
∴a1a3≠
，
∴数列{an}不是等比数列.
1
2
3
4
4.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
解答
规律与方法
1.等比数列的判断或证明
(1)利用定义：
＝q(与n无关的常数).
(2)利用等比中项：
＝anan＋2(n∈N＋).
2.如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明.
3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
本课结束2.2 等差数列的前n项和(一)
学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
知识点一 等差数列前n项和公式的推导
思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1
＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]．
两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，
由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝.
根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，
代入上式可得Sn＝na1＋____________.
知识点二 等差数列前n项和公式的特征
思考1 等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？
思考2 我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋d吗？
梳理 等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋(a1－)n；
(3)＝n＋(a1－)({}是公差为的等差数列)．
知识点三 等差数列前n项和公式的性质
思考 若{an}是公差为d的等差数列．
那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是等差数列吗？如果是，公差是多少？
梳理 等差数列的前n项和常用性质．(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(2)项的个数的“奇偶”性质．
{an}为等差数列，公差为d.设S奇为前n项中序号为奇数的项之和．S偶为前n项中序号为偶数的项之和．
①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；S偶－S奇＝－an＋1；＝.
类型一 求和
命题角度1 根据条件选择公式求和
例1 等差数列{an}中，公差为d，Sn为前n项和．
(1)a1＝3，d＝2，求S10；
(2)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn.
反思与感悟 等差数列前n项和公式有2个：Sn＝na1＋d，Sn＝，使用时根据条件选择，当条件不具备时，缺什么求什么．
跟踪训练1 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
(2)等差数列{an}中，a4＋a7＝0，则前10项的和为________．
命题角度2 实际问题求和
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．
跟踪训练2 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
类型二 等差数列前n项和公式的应用
例3 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1
220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
类型三 等差数列前n项和性质的应用
例4 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
跟踪训练4 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是( )
A．12
B．24
C．36
D．48
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2
B．3
C．6
D．7
3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
4．已知等差数列{an}，
(1)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d.
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3．本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝.
梳理 d
知识点二
思考1 S3＝＝3a2＝21.
思考2 按n的降幂展开Sn＝na1＋d
＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数形式，且常数项为0.
知识点三
思考 (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)
＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)
＝3d＋3d＋3d
＝9d，
同样，(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝9d.
∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列．
题型探究
例1 解 (1)S10＝10a1＋d
＝10×3＋×2
＝120.
(2)d＝＝＝＝7，
解得n＝128.
∴Sn＝＝＝7
0336.
跟踪训练1 (1)27 (2)0
例2 解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1
000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1
000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1
105(元)，
即全部付清后实际付款1
105＋150＝1
255(元)．
跟踪训练2 2
000
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2
000
米．
例3 解 方法一 由题意知S10＝310，S20＝1
220，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，
得解方程组得
∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.
方法二 S10＝＝310 a1＋a10＝62，①
S20＝＝1
220 a1＋a20＝122，②
②－①得：a20－a10＝60，∴10d＝60，
∴d＝6，a1＝4.
Sn＝na1＋d＝3n2＋n.
跟踪训练3 解 由
得
解方程组得或
例4 解 (1)方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝
＝
＝＝＝.
跟踪训练4 解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，
∴即
解得
∴＝a1＋(n－1)d＝n－，
∴－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×
＝n2－n.
当堂训练
1．B 2.B 3.190
4．(1)n＝12，an＝a12＝－4 (2)－171(共36张PPT)
第一章
数列
§3.1 等比数列(一)
1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考
知识点一 等比数列的概念
观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.
①1,2,4,8,16，…；
答案
从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.
③1,1,1,1，…；
④－1,1，－1,1，….
梳理
等比数列的概念和特点.
(1)如果一个数列从第
项起，每一项与它的前一项的
都等于
常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的
，通常用字母q表示(q≠0).
(3)等比数列各项均
为0.
2
比
同一
公比
不能
知识点二 等比中项的概念
思考
答案
在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？
梳理
等差中项与等比中项的异同，对比如下表：
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项
若a，G，b成
数列，则G叫作a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
等比
公式
A＝
G＝
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有
个，且互为
______
备注
任意两个数a与b都有等差
中项
只有当
时，a与b才有等比中项
两
相反数
ab＞0
知识点三 等比数列的通项公式
思考
等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？
答案
等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘.根据等比数列的定义得
将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，
当n＝1时，上面的等式也成立.
∴an＝a1qn－1(n∈N＋).
梳理
等差数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.
题型探究
解答
类型一 证明等比数列
例1 根据下面的框图，写出数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？
反思与感悟
判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即
＝q(与n无关的常数).
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝
(an－1)(n∈N＋).
(1)求a1，a2；
解答
(2)证明：数列{an}是等比数列.
证明
类型二 等比数列通项公式的应用
命题角度1 方程思想
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解答
设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
反思与感悟
已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项.
跟踪训练2 在等比数列{an}中.
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
解答
由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解答
命题角度2 等比数列的实际应用
例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
解答
设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列.
其中a1＝0.84，q＝0.84，
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取对数，得nlg
0.84＝lg
0.5，用计算器算得n≈4.
答 这种物质的半衰期大约为4年.
反思与感悟
等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义.
跟踪训练3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg
6≈0.778，lg
1.2≈0.079)
解答
记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，
＝1.2(n≥2且n∈N＋)，
从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，
故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝
≈9.85.
故n＝11.
答 从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨.
类型三 等比中项
例4 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则
的值为
答案
解析
反思与感悟
(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项；(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个.
答案
解析
当堂训练
由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝
＝32.
1.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于
A.16
B.16或－16
C.32
D.32或－32
答案
解析
1
2
3
√
4
由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
答案
解析
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4
B.8
C.6
D.32
√
1
2
3
4
3.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于
A.64
B.81
C.128
D.243
1
2
3
4
答案
解析
√
设45和80的等比中项为G，则
G2＝45×80，∴G＝±60.
1
2
3
4
4.45和80的等比中项为________.
－60或60
答案
解析
规律与方法
本课结束(共33张PPT)
第一章
数列
§1.2 数列的函数特性
1.理解数列的几种表示方法.
2.能从函数的观点研究数列.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考
知识点一 数列的表示方法
以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答案
对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示：
①通项公式法：an＝2n.
②递推公式法：
③列表法：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
④图像法：
梳理
数列的表示方法有
法、
法、列表法、递推公式法.
通项公式
图像
知识点二 数列的增减性
图像上升，an随n增大而增大.
思考
答案
观察知识点一中数列2,4,6,8，…的图像，随着n的增大，an有什么特点？
梳理
一般地，按项的增减趋势分类，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1
an，那么这个数列叫作
；从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1
an，那么这个数列叫作
；各项相等的数列叫作
；从第2项起，有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作
.
递增数列
递减数列
常数列
>
<
摆动数列
题型探究
例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像.
解答
类型一 数列的表示方法
这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点(如图所示).
由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与序号之间的联系，善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的.
反思与感悟
跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是___.
三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
55
答案
解析
类型二 数列的增减性
命题角度1 判断数列的增减性
例2 判断数列{
}的增减性.
解答
反思与感悟
对于无穷数列，不可能从第2项起逐项验证是否大于前一项.故需考察
an＋1－an的正负来研究数列的增减性.
设an＝n2＋λn，
则an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn
＝2n＋1＋λ>0对任意n∈N＋恒成立.
∴(2n＋1＋λ)min＝3＋λ>0，
∴λ>－3.
跟踪训练2 若数列{n2＋λn}是递增数列，则实数λ的取值范围是
___________.
(－3，＋∞)
答案
解析
命题角度2 求数列中的最大项与最小项
例3 在数列{an}中，an＝(n＋1)(
)n(n∈N＋).
证明
(1)求证：数列{an}先递增，后递减；
(2)求数列{an}的最大项.
解答
反思与感悟
数列中最大项与最小项的两种求法
(1)若求最大项an，则an应满足
若求最小项an，则an应满足
(2)将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件.
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝
，求数列{an}的最大项和最小项.
解答
当n≤2时，an＋1－an<0，即an＋1当n＝3时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n≥4时，an＋1－an<0，即an＋1又当n≤3时，an<2；当n≥4时，an>2.
所以a4>a5>…>an>…>2>a1>a2>a3.故数列{an}的最大项为a4＝4，最小项为a3＝0.
当堂训练
1.已知数列{an}的通项公式是an＝
，则这个数列是
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
答案
解析
1
2
3
√
∵an＋1－an＝－1<0，
∴{an}是递减数列.
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列是
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
答案
解析
1
2
3
√
3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，
a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
1
2
3
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_________.
an＝2n＋1
答案
解析
规律与方法
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法：(1)图像法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.判断数列增减性的办法一般是作差：an＋1－an，通过判断差的正负来判断数列{an}的增减性.当an>0，也可用作商法与1比较大小判断数列的增减性.
通过判断数列在各区间上的增减性，可求出数列的最大项与最小项.
本课结束3.2 等比数列的前n项和(二)
学习目标 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．
知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征
思考 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？
若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
梳理 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
知识点二 等比数列前n项和的性质
思考 若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？
梳理 等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)．
(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
知识点三 错位相减法
思考 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？
梳理 如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，一般使用如下方法：
Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
①
qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq
＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，
②
①－②得(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1
＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1
＝a1b1＋d－anbn＋1，
∴Sn＝＋d.
上述方法称为“错位相减法”．
类型一 等比数列前n项和公式的函数特征
应用
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．是等差数列或等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
反思与感悟 (1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
类型二 等比数列前n项和的性质
命题角度1 连续n项之和问题
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
命题角度2 不连续n项之和问题
例3 已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于( )
A．－3
B．－
C．3
D.
反思与感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快．
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6＝________.
类型三 错位相减法求和
例4 求数列{}的前n项和．
反思与感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn
(x≠0)．
1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190
B．191
C．192
D．193
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )
A．180
B．108
C．75
D．63
4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
2．等比数列中用到的数学思想：
(1)分类讨论的思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0(2)函数的思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 当Sn＝2n－1时，
an＝＝n∈N＋，是等比数列；
当Sn＝2n＋1－1时，
an＝＝n∈N＋，不是等比数列．
知识点二
思考 设{an}的公比为q，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n
＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn
＝qnSn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n
＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn
＝qn(S2n－Sn)，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.
知识点三
思考 在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可．
题型探究
例1 B [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式，
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N＋.∴＝a，
∴数列{an}是等比数列．]
跟踪训练1 －
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
例2 证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二 根据等比数列的性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
跟踪训练2 解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝
＝64×＝63.
例3 A [∵a2＋a4＋a6＋a8
＝a1q＋a3q＋a5q＋a7q
＝q(a1＋a3＋a5＋a7)
∴＝＝－3.]
跟踪训练3 126
解析 ∵＝＝qan＋1－an＝2，
∴{ban}是首项为b2，公比为2的等比数列．
∴ba1＋ba2＋…＋ba6＝＝27－2＝126.
例4 解 设Sn＝＋＋＋…＋，
则有Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，
即Sn＝－＝1－－.
∴Sn＝2－－＝2－.
跟踪训练4 解 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝－.
综上可得
Sn＝
当堂训练
1．C 2.C 3.D 4.－12．1 等差数列(一)
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
知识点一 等差数列的概念
思考 给出以下三个数列：
(1)0,5,10,15,20；
(2)4,4,4,4；
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.
它们有什么共同的特征？
梳理 从第____项起，每一项与前一项的差等于同一个________，这个数列称为等差数列，这个常数为等差数列的________，公差通常用字母d表示．
知识点二 等差中项的概念
思考 观察下列所给的两个数之间插入一个什么数后，三个数能成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.
梳理 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫作a和b的等差中项，且A＝.
知识点三 等差数列的通项公式
思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋( )×2.
梳理 若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明．
类型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
反思与感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
类型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数构成等差数列，求此数列．
反思与感悟 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
类型三 等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1 基本量法求通项公式
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
反思与感悟 像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程组求解的思想方法，称方程思想．
跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
命题角度2 等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
反思与感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10
km高空，高度每增加1
km，气温就下降某一个固定数值．如果1
km高度的气温是8.5℃，5
km高度的气温是－17.5℃，求2
km，4
km,8
km高度的气温．
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
2．已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
3．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值．
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．
梳理 2 常数 公差
知识点二
思考 插入的数分别为3,2，，0.
知识点三
思考 n－1
题型探究
例1 解 由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．
跟踪训练1 A
例2 解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
跟踪训练2 解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
例3 解 由题意可得解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
跟踪训练3 解 (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
例4 解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付车费23.2元．
跟踪训练4 解 用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2
km,4
km,8
km高度的气温分别为
2℃，－11℃，－37℃.
当堂训练
1．C 2.B 3.50(共39张PPT)
第一章
数列
§2.1 等差数列(二)
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考1
知识点一 等差数列通项公式的推广
已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an
答案
设等差数列的首项为a1，则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
思考2
由思考1可得d＝
，d＝
，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
答案
等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图像为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，an)，(m，am)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝
.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝
.
梳理
等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，
d＝
.
知识点二 等差数列的性质
利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
思考
还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？
答案
梳理
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋
＝ap＋
.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
an
aq
知识点三 由等差数列衍生的新数列
∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列.
思考
若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
答案
梳理
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
题型探究
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.
解答
类型一 等差数列推广通项公式的应用
因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.
反思与感悟
跟踪训练1 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于
A.0
B.3
C.8
D.11
答案
解析
∵{bn}为等差数列，设公差为d，
则d＝
＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋
(a2－a1)＋a1
＝b7＋b6＋…＋b1＋a1
＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1
＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.
类型二 等差数列与一次函数的关系
例2 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列.
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
解答
反思与感悟
判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)从递推公式上看，an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；
(2)从任意连续三项关系上看，2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列；
(3)从通项公式代数特点上看，an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如：其中某连续三项不成等差数列；存在n∈N＋，an＋1－an的结果不等于同一个常数等.
跟踪训练2 若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1<0的
k值为___.
答案
解析
23
类型三 等差数列性质的应用
例3 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.
解答
方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
方法二 设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5，
①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(a1＋d)×5×(5＋2d)＝45，
即(a1＋d)×(5＋2d)＝9，
②
解①，②组成的方程组，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
an＝－1＋2(n－1)＝2n－3
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as
解答
设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝___.
∵a3＋a8＝10，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
答案
解析
20
反思与感悟
解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值.
解答
方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列.
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，
①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，
②
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
当堂训练
1.等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于
A.3
B.－6
C.4
D.－3
答案
解析
1
2
3
√
由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
答案
解析
1
2
3
2.在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于
A.32
B.－32
C.35
D.－35
√
由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
1
2
3
答案
解析
3.等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
A.3
B.－3
C.
D.
√
规律与方法
1.在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝
，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.
3.等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，
q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
4.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
本课结束(共44张PPT)
第一章
数列
§2.2 等差数列的前n项和(一)
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.
学习目标
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
思考
知识点一 等差数列前n项和公式的推导
高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
答案
不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，
∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝
.
“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1
＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d].
两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，
由此可得等差数列{an}的前n项和公式Sn＝
.
根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，
代入上式可得Sn＝na1＋
.
梳理
知识点二 等差数列前n项和公式的特征
思考1
等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？
答案
思考2
答案
我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下Sn＝na1＋
d吗？
梳理
等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：
知识点三 等差数列前n项和公式的性质
(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)
＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)
＝3d＋3d＋3d
＝9d，
同样，(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝9d.
∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列.
思考
若{an}是公差为d的等差数列.
那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是等差数列吗？如果是，公差是多少？
答案
梳理
等差数列的前n项和常用性质.(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(2)项的个数的“奇偶”性质.
{an}为等差数列，公差为d.设S奇为前n项中序号为奇数的项之和.S偶为前n项中序号为偶数的项之和.
题型探究
命题角度1 根据条件选择公式求和
例1 等差数列{an}中，公差为d，Sn为前n项和.
(1)a1＝3，d＝2，求S10；
解答
类型一 求和
(2)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn.
解答
反思与感悟
跟踪训练1 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋
(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于__.
答案
解析
27
(2)等差数列{an}中，a4＋a7＝0，则前10项的和为__.
答案
解析
0
命题角度2 实际问题求和
例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解答
设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1
000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1
000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
反思与感悟
建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.
跟踪训练2 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_____米.
答案
解析
2
000
假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为
类型二 等差数列前n项和公式的应用
例3 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1
220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解答
方法一 由题意知S10＝310，S20＝1
220，
反思与感悟
(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.
跟踪训练3 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解答
类型三 等差数列前n项和性质的应用
例4 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
解答
方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.∴30,70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
解答
反思与感悟
等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
跟踪训练4 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列
的前n项和，求Tn.
解答
当堂训练
1.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是
A.12
B.24
C.36
D.48
答案
解析
1
2
3
√
4
答案
解析
2.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于
A.2
B.3
C.6
D.7
√
解得d＝3.
方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.
1
2
3
4
答案
解析
3.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝____.
190
1
2
3
4
解答
1
2
3
4
解答
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d.
1
2
3
4
规律与方法
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
3.本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.
本课结束