高中数学必修二 第四章小结与复习 课件 (1)

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第四章 圆与方程
4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程问题提出1.在平面直角坐标系中，两点确定一条
直线，一点和倾斜角也确定一条直线，
那么在什么条件下可以确定一个圆呢？2.直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题. 圆心和半径圆的标准方程知识探究一：圆的标准方程 平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. P={M||MA|=r}.思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径
为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义x，y应满足什么关系？(x-a)2+(y-b)2=r2思考4:对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上，则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这个圆上吗？思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方程是什么？思考5:我们把方程 称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？x2+y2=r2思考7:方程 ，
，
是圆方程吗？知识探究二：点与圆的位置关系 思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？ OArOA=r思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;(x0-a)2+(y0-b)2表示的图形是什么？ 理论迁移 例1 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ ，-1）是否在这个圆上？ 例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程. 例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.(1)圆的标准方程的结构特点.(2)点与圆的位置关系的判定.(3)求圆的标准方程的方法：
①待定系数法；②代入法.小结作业作业：
P120练习： 1，3.
P124习题4.1A组：2，3，4. 4.1.2 圆的一般方程问题提出 1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是什么？ 2.直线方程有多种形式，圆的方程是否还可以表示成其他形式？这是一个需要探讨的问题. 圆的一般方程知识探究一：圆的一般方程 思考1:圆的标准方程
展开可得到一个什么式子?思考2:方程
的一般形式是什么？思考3:方程
与 表示的图形都是圆吗？为什么？思考4:方程 可化
为 ，
它在什么条件下表示圆？思考5:当 或 时，方程 表示什么图形？圆心为 ，半径为 思考7:当D=0，E=0或F=0时，
圆 的位置分别有什么特点？ D=0E=0F=0知识探究二：圆的直径方程 思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？ 思考2:一般地，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方程如何？ (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0理论迁移 例1 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.例2 方程
表示的图形是一个圆，求a的取值范围.例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 例4 已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.1.任一圆的方程可写成 的形式，但方程 表示的曲线不一定是圆，当 时，方程表示圆心为 ，半径
为 的圆.小结作业2.用待定系数法求圆方程的基本步骤：
（1）设圆方程 ；（2）列方程组；
（3）求系数； （4）小结. 3.求轨迹方程的基本思想：
求出动点坐标x，y所满足的关系.作业：

P123练习：1，2，3.
P124习题4.1B组：1，2，3.4．2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系问题提出 1、点到直线的距离公式， 圆的标准方程和一般方程分别是什么？ 2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？直线与圆的位置关系知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定 思考1:在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 思考2:在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ dr思考3:如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？ 两个公共点一个公共点没有公共点思考4:在平面直角坐标系中，我们用方程表示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？方法一:根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断； 方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断.思考5:上述两种判断方法的操作步骤分别如何？ 代数法：1.将直线方程与圆方程联立成方程组；2.通过消元，得到一个一元二次方程；3.求出其判别式△的值；4.比较△与0的大小关系：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．几何法：1.把直线方程化为一般式，并求出圆心坐标和半径r；2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；若d＞r，则直线与圆相离；
若d＝r，则直线与圆相切；
若d＜r，则直线与圆相交．3.比较d与r的大小关系：知识探究（二）：圆的切线方程 思考1:过圆上一点、圆外一点作圆的切线，分别可作多少条？ 思考2:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2上一点，如何求过点M的圆的切线方程？x0x+y0y=r2思考3:设点M(x0，y0)为圆 x2＋y2=r2外一点，如何求过点M的圆的切线方程？思考4:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程如何？ x0x+y0y=r2理论迁移 例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求两个交点的距离． 例2 过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦长为 ，求直线l的方程. 例3 求过点P（2，1），圆心在直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0相切的圆方程.
作业:
P128练习：2，3，4．
P132习题4.2A组：2，3，5．4.2.2 圆与圆的位置关系问题提出 1.点与圆、直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定这些位置关系？ 2.圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，我们将进一步探究.圆与圆的位置关系知识探究（一）：圆与圆的位置关系思考1:两个大小不等的圆，其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中，这些位置关系是如何判定的？ 思考2:已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，用上述方法判断两个圆位置关系的操作步骤如何？ 1.将两圆的方程化为标准方程；2.求两圆的圆心坐标和半径R、r；3.求两圆的圆心距d； 4.比较d与R-r，R＋r的大小关系：思考4:两个大小相等的圆的位置关系有哪几种？ 思考3:能否根据两个圆的公共点个数判断两圆的位置关系？ 若d＜｜R-r｜，则两圆内含； 若d=｜R-r｜，则两圆内切； 若｜R-r｜＜d＜R＋r，则两圆相交；若d＝R＋r，则两圆外切； 若d＞R＋r，则两圆外离. 知识探究（二）：相交圆的交线方程 思考1:已知两圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0， 则方程
x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示的图形是什么？思考2:若两圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交， M（x0，y0）为一个交点， 则点M（x0，y0）在直线
(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上吗？ 思考3:若两圆 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交， 则其公共弦所在直线的方程是 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0，那么过交点的圆系方程是什么？ m(x2+y2+D1x+E1y+F1)+n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 思考4：若两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相切， 则方程
(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示的直线是什么？若两圆相离呢？理论迁移 例1 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系. 若相交，求两圆的公共弦所在的直线方程. x2＋y2－6x－4＝0 x2＋y2－4x－2y－1＝0 例2 已知一个圆的圆心为M（2，1），且与圆C：x2＋y2－3x＝0相交于A、B两点，若圆心M到直线AB的距离为 ，求圆M的方程. 作业：
P132习题4.2A组：4,6,9,10.4.2.3 直线与圆的方程的应用问题提出 通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法.直线与圆
的方程的应用知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用 问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？思考1:解决这个问题的本质是什么？思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？思考3:如图所示建立直角坐标系，取10km为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应作怎样的回答？问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度吗？思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问题？思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如何？思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？x2+(y+10.5)2=14.52 知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？理论迁移 例1 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值. 例2 如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使得|PM|= |PN|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？
作业：
P132练习:1，2，3，4.
P133习题4.2B组:1，2，3. 4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 问题提出 对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题.空间直角坐标系知识探究（一）：空间直角坐标系 思考1:数轴上的点M的坐标用一个实数x表示，它是一维坐标；平面上的点M的坐标用一对有序实数（x，y）表示，它是二维坐标.设想：对于空间中的点的坐标，需要几个实数表示？思考2:平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？ 三条交于一点且两两互相垂直的数轴 思考3:在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，组成空间直角坐标系Oxyz，在平面上如何画空间直角坐标系？ ∠xOy=135°∠yOz=90° 思考4:在空间直角坐标系中，对三条数轴的方向作如下约定：伸出右手，拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正方向，中指指向为z轴正方向，并称这样的坐标系为右手直角坐标系.那么下列空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标系？思考5:在空间直角坐标系Oxyz中，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，并分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.这三个坐标平面的位置关系如何？思考6:如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点建立空间右手直角坐标系，那么x轴、y轴、z轴
应如何选取？思考7:在空间直角坐标系Oxyz中，三个坐标平面将空间分成几个部分？知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标 思考1:在平面直角坐标系中，点M的横坐标、纵坐标的含义如何？ 思考2:在空间直角坐标系中，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，垂足为A、B、C. 设点A、B、C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点M的位置与有序实数组（x，y，z）是一个什么对应关系？ 思考3:上述有序实数组（x，y，z）称为点M的空间坐标，其中x、y、z分别叫做点M的横坐标、纵坐标、
竖坐标，这三个坐标的值一定是正数吗？xyz思考4:x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何特点？x轴上的点:(x,0,0)xOy平面上的点:(x,y,0)思考5:设点M的坐标为（a，b，c）过点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？A(a,b,0)B(0,b,c)C(a,0,c)思考6:设点M的坐标为（x，y，z）那么点M关于x轴、y轴、z轴及原点对称的点的坐标分别是什么？M(x,y,z)N(x,-y,-z)思考7:设点A（x1，y1，z1），点 B（x2，y2，z2），则线段AB的中点M的坐标如何？理论迁移 例1 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|=3,|OC|=4，
|OD′|=2，写出长方体各顶点的坐标. 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为0.5的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，白点代表氯原子.如图建立直角坐标系Oxyz，试写出全部钠原子所在位置的坐标.作业:
P136练习：1，2，3.
P138习题4.3A组：2. 4.3.2 空间两点间的距离公式 问题提出 1. 在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？ 2. 在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究.空间两点间的距离公式知识探究（一）:与坐标原点的距离公式 思考1:在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A（x，0，0），B（0，y，0），C（0，0，z），与坐标原点O的距离分别是什么？|OA|=|x||OB|=|y||OC|=|z|思考2:在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z），与坐标原点O的距离分别是什么？思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的值分别是什么？M(x,y,0)|PM|=|z|思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公式吗？思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么图形是什么？ 知识探究（二）:空间两点间的距离公式 在空间中，设点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影分别为M、N.思考1:点M、N之间的距离如何？思考2:若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？|P1P2|=|z1-z2|思考3:若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2的距离如何计算？思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1，z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是
它对任意两点P1、P2都成立吗？ 例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之间的距离.理论迁移 例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P的坐标. 例3 如图，点P、Q分别在棱长为1的正方体的对角线AB和棱CD上运动，求P、Q两点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点的位置. 作业:
P138练习：1，2，3，4.