人教A版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）教案

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）
一、教学目标：
知识与技能：
要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
过程与方法：
掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
情感、态度与价值观
通过本节的学习，使同学们感受研究和学习函数的一般方法，培养类比思想和抽象概括能力，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．
二．重点难点?
重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
三、教材与学情分析
对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．【来源：21cnj*y.co*m】
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
1.创设情境
思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．21·cn·jy·com
思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sinx，y＝cosx是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．21教育名师原创作品
2.
①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；
②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？
③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？
④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？
⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？
(1)
(2)
活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．21*cnjy*com
在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．
对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．
对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕．
对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明．
∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，
∴|sinx|≤1，|cosx|≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sinx(x∈R)，
(1)当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
(2)当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cosx(x∈R)，
(1)当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
(2)当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－，](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．21·世纪*教育网
图3 图4
这个变化情况也可从下表中显示出来：
x
－
…
0
…

…
π
…

sinx
－1
?
0
?
1
?
0
?
－1
就是说，函数y＝sinx，x∈[－，]．
当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；
当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.
类似地，同样可得y＝cosx，x∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．
图5
引导学生列出下表：
x
－π
…
－
…
0
…

…
π
cosx
－1
?
0
?
1
?
0
?
－1
结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．在R上，y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？21cnjy.com
由诱导公式：∵sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，
∴y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．
至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x＝对称，余弦曲线还关于点(，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．www-2-1-cnjy-com
讨论结果：①略． ②定义域为R.
③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1.
④单调性(略)． ⑤奇偶性(略)．
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．
3. 
例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，
并说出最大值、最小值分别是什么．
(1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝－3sin2x，x∈R.
活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．2-1-c-n-j-y
解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；2·1·c·n·j·y
使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最小值的x
的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}．函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.21*cnjy*com
(2)令z＝2x，使函数y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是{z|z＝－＋2kπ，k∈Z}，
由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ.
因此使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是{x|x＝－＋kπ，k∈Z}．
同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.
点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的函数，一般通过变量代换(如设z＝ωx＋φ化归为y＝Asinz＋B的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．【来源：21·世纪·教育·网】
例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin(－)与sin(－)；(2)cos(－)与cos(－)．
活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．
解：(1)因为－<－<－<0，正弦函数y＝sinx在区间[－，0]上是增函数，
所以sin(－)>sin(－)．
(2)cos(－)＝cos＝cos，cos(－)＝cos＝cos.
因为0<<<π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，
所以cos>cos，即cos(－)点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos>0，cos<0，显然大小立判．21教育网
例3求函数y＝sin(x＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：
把x＋看成z，这样问题就转化为求y＝sinz的单调区间问题，而这就简单多了．
解：令z＝x＋.函数y＝sinz的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]．
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
由x∈[－2π，2π]可知，－2π≤－＋4kπ且＋4kπ≤2π，于是－≤k≤，由于k∈Z，
所以k＝0，即－≤x≤.而[－，]?[－2π，2π]，
因此，函数y＝sin(＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－，]．
点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．www.21-cn-jy.com
当堂检测
1．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么( )
A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝
解析：T＝＝2，又当x＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sinθ，要使上式取得最大值，可取θ＝.
答案：A
2．求函数y＝sin(－)的单调递减区间及单调递增区间．
解：y＝sin(－)＝－sin(－)．
由2kπ－≤－≤2kπ＋，
可得3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)，为单调减区间；
由2kπ＋≤－≤2kπ＋，
可得3kπ＋≤x≤3kπ＋(k∈Z)，为单调增区间．
所以原函数的单调减区间为[3kπ－，3kπ＋](k∈Z)；
原函数的单调增区间为[3kπ＋，3kπ＋](k∈Z).
六、课堂小结
1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．
2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．21世纪教育网版权所有
七、课后作业
1.课时练与测
2．课本习题 A组3，B组3.
3．预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．
八、教学反思
1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．【出处：21教育名师】
2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．【版权所有：21教育】