人教A版高中数学必修四1.5函数y＝Asin（ωxφ）的图象教案

1.5 函数的图像
一、教学目标：
知识与技能：
通过学生自主探究，理解φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响，ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响，21*cnjy*com
A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
过程与方法：
通过探究图象变换，会用图象变换法画出y＝Asin(ωx＋φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数
y＝Asin(ωx＋φ)的简图．
情感、态度与价值观
通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想．培养学生的独立意识和独立思考能力，学会合作意识；培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题；培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．21cnjy.com
二．重点难点?
重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，
掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的简图的作法．
难点：由正弦曲线y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
三、教材与学情分析
本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．这节是本章的一个难点．21教育网
如何经过变换由正弦函数y＝sinx来获取函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象呢？通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系．21·cn·jy·com
本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图象变换和“五点”作图法，正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在．
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
一、问题引入
问题1：观察简谐运动中单摆对平衡位置的位移y随时间x变化的图象、交流电的电流y随时间x变化的图象，它们与正弦曲线有什么关系？www.21-cn-jy.com
由学生熟悉的两个物理问题引入(课件演示)，使学生了解学习函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的意义，并对函数图象的特征有一个直观的印象．2·1·c·n·j·y
二、研究问题的方法
问题2：你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响？
学情预设:学生思考、讨论．教师引导总结：先分别考查参数φ、ω、A对函数图象的影响，再整合为对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的整体考查．【来源：21·世纪·教育·网】
设计意图：引导学生思考研究问题的方法．
知识链接：参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响与参数a、b、c对函数y＝ax2＋bx＋c的图象的影响既有联系又有区别．21·世纪*教育网
三、探究参数φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
问题3：函数y＝sin(x＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间有什么关系？
对φ任取不同的值，利用《几何画板》作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y＝sinx的图象之间的关系．【来源：21cnj*y.co*m】
归纳函数y＝sin(x＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系．
学情预设：学生思考、讨论，大胆猜想，自主探究，操作确认．教师适当引导．
设计意图：探究参数φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响．
知识链接：要求学生能借助几何画板中的“新建参数”、“绘制新函数”等功能作出有关函数的图象，并掌握研究两个函数图象之间关系的方法．【出处：21教育名师】
四、探究参数ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
问题4：函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sin(x＋φ)的图象之间有什么关系？
不妨令φ＝.对ω任取不同的值，利用《几何画板》作出这些函数在同一坐标系中的图象，
观察它们与y＝sin(x＋)的图象之间的关系．
归纳函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sin(x＋φ)的图象之间的关系．
学情预设：学生思考、讨论，大胆猜想，自主探究，操作确认．
设计意图：探究参数ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响．
知识链接：学生根据问题3的经验进行探究．
五、探究参数A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
问题5：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sin(ωx＋φ)的图象之间有什么关系？
不妨令ω＝2，φ＝.对A任取不同的值，利用《几何画板》作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y＝sin(2x＋)的图象之间的关系．www-2-1-cnjy-com
归纳函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sin(ωx＋φ)的图象之间的关系．
学情预设：学生思考、讨论，大胆猜想，自主探究，操作确认．
设计意图：探究参数A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响．
知识链接：学生根据问题3、问题4的经验进行探究．
六、归纳函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系
问题6：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间有什么关系？
归纳由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
学情预设：学生思考、讨论，并运用数学语言进行表达．教师适当引导．
设计意图：归纳由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换方法．
知识链接：由问题3～问题5可归纳得出教科书本节中的结论．
七、探究函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象与函数y＝cosx的图象之间的关系
问题7：函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象与函数y＝cosx的图象之间有什么关系？
(1)函数y＝cos(x＋φ)的图象与函数y＝cosx的图象之间有什么关系？
(2)函数y＝cos(ωx＋φ)的图象与函数y＝cos(x＋φ)的图象之间有什么关系？
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象与函数y＝cos(ωx＋φ)的图象之间有什么关系？
学情预设：学生思考、讨论，大胆猜想，自主探究，操作确认．教师适当引导．
设计意图：探究函数图象变换与函数解析式变换之间的关系．
知识链接：学生根据问题3～问题6的经验进行探究．
八、探究函数图象变换与函数解析式变换之间的关系
问题8：函数图象变换与函数解析式变换之间有什么关系？
(1)函数y＝f(x＋φ)的图象与函数y＝f(x)的图象之间有什么关系？
(2)函数y＝f(ωx)的图象与函数y＝f(x)的图象之间有什么关系？
(3)函数y＝Af(x)的图象与函数y＝f(x)的图象之间有什么关系？
由函数y＝sin(x＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系、函数y＝cos(x＋φ)的图象与函数y＝cosx的图象之间的关系，归纳出函数y＝f(x＋φ)的图象与函数y＝f(x)的图象之间的关系．【版权所有：21教育】
同理，可归纳出函数y＝f(ωx)的图象与函数y＝f(x)的图象之间的关系、函数y＝Af(x)的图象与函数y＝f(x)的图象之间的关系．21教育名师原创作品
学情预设：学生思考、讨论，并运用数学语言进行表达．教师适当引导．
设计意图：探究由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的其他变换方法．
知识链接：利用归纳的方法．
九、由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的其他变换方法
问题9：由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象是否还有其他变换方法？
(1)函数y＝sinωx的图象与函数y＝sinx的图象之间有什么关系？
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinωx的图象之间有什么关系？
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sin(ωx＋φ)的图象之间有什么关系？
归纳由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的另一种变换方法．利用函数图象变换与函数解析式变换之间的关系理解函数图象的变换，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象是由函数y＝sinωx的图象向左(右)平移||个单位得到．用参数φ、ω、A的不同排列顺序理解由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象各种不同的变换方法．
十一、
例1图1是某简谐运动的图象．试根据图象回答下列问题：
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式．
图1
活动：本例是根据简谐运动的图象求解析式．教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y＝Asin(ωx＋φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的，要解决这个问题关键要抓住什么．关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上是如何得到反映的．让学生明确解题思路是由形到数地解决问题，学会数形结合地处理问题．完成解题后，教师引导学生进行反思学习过程，概括出研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的思想方法，找两名学生阐述思想方法，教师作点评、补充．
解：(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm，周期为0.8 s，频率为.
(2)如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动．2-1-c-n-j-y
(3)设这个简谐运动的函数表达式为y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，
那么A＝2；由＝0.8，得ω＝；由图象知初相φ＝0.
于是所求函数表达式是y＝2sinx，x∈[0，＋∞)．
点评：本例的实质是由函数图象求函数解析式，要抓住关键点．应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法．
变式训练1 函数y＝6sin(x－)的振幅是__________，周期是__________，频率是__________，初相是__________，图象最高点的坐标是__________．
解：6 8π  － (8kπ＋，6)(k∈Z)
例2若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(，3)和一个最低点(，－5)，求这个函数的解析式．
活动：让学生自主探究题目中给出的条件，本例中给出的实际上是一个图象，它的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，这是学生未遇到过的．教师应引导学生思考它与y＝Asin(ωx＋φ)的图象的关系，它只是把y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位长度．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期．这里φ的确定学生会感到困难，因为题目中毕竟没有直接给出图象，不像例1那样能明显地看出来，应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π，如不注明，就取离y轴最近的一个即可．
解：由已知条件，知ymax＝3，ymin＝－5，则A＝(ymax－ymin)＝4，B＝(ymax＋ymin)＝－1，
＝－＝.∴T＝π，得ω＝2.故有y＝4sin(2x＋φ)－1.
由于点(，3)在函数的图象上，故有3＝4sin(2×＋φ)－1，
即sin(＋φ)＝1.一般要求|φ|<，故取＋φ＝.∴φ＝.
故所求函数的解析式为y＝4sin(2x＋)－1.
点拨：这是数形结合的又一典型应用，应让学生明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图，结合图象可直接求得A、ω，进而求得初相φ，但要注意初相φ的确定．求初相也是这节课的一个难点．21世纪教育网版权所有
变式训练2 （1）已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)一个周期的图象如图2所示，求函数的解析式．
分析：根据“五点法”的作图规律，认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点，而选择对应的方程ωxi＋φ＝0，，π，，2π(i＝1,2,3,4,5)，得出φ的值．
图2
解：方法一：由图知A＝2，T＝3π，由＝3π，得ω＝，∴y＝2sin(x＋φ)．
由“五点法”知，第一个零点为(，0)，∴·＋φ＝0?φ＝－，
故y＝2sin(x－)．
方法二：得到y＝2sin(x＋φ)同方法一．由图象并结合“五点法”可知，(，0)为
第一个零点，(，0)为第二个零点．∴·＋φ＝π?φ＝－.∴y＝2sin(x－)．
点评：要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法，然后再利用ωx1＋φ＝0或ωx2＋φ＝π求出φ.
（2）.函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是( )
图3
答案：A
六、课堂小结
1．参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换方法．21*cnjy*com
2．函数图象变换与函数解析式变换之间的关系．
3．由学生自己回顾本节学习的数学知识：简谐运动的有关概念．本节学习的数学方法：由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想，数形结合思想，待定系数法，数学的应用价值．
4．三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，这种题目的解题的思路是：如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名，则将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同．左右平移时，如果x前面的系数不是1，需将x前面的系数提出，特别是给出图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的题型．有时从寻找“五点法”中的第一零点(－，0)作为突破口，一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置．
七、课后作业
1.课时练与测
2．教科书习题1.5A组第1题．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？
(其他四种变换方法中选一种)
八、教学反思
新课程的教学中，注重信息技术与数学课程的整合，利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，本节课通过精心设计数学实验，创设实验情境，使每个学生都动手参与，让参数“动起来”，让函数图象“动起来”，既可以帮助学生更好地观察规律，又可以激发学生的学习兴趣．学生通过实验手段，经历数学知识建构过程，体验数学发现的喜悦，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学．
“问题是数学的心脏”，本节课总体上以问题串的形式，采用“问题教学法”将本节课的教学内容以问题的形式提出，在课堂上不断的提问和回答中，教师及时获取了反馈信息，并能及时地给以方法指导，有利于学生正确地掌握知识和解决问题．学生在教师的指导下以类似科学研究的活动方式去积极主动地获取知识．
教师是课程的实践者、开发者，本节课的教学中补充探究函数y＝cosx的图象到函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的变换过程，从而进一步归纳出函数图象变换与函数解析式变换的内在联系，可以更好地理解由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的其他变换方法，既加大了思维的深度，又拓宽了学生的视野，能较好地突破难点，也为学生课后自主学习留下了较大的空间．