人教A版高中数学必修四1.5函数y＝Asin（ωxφ）的图象学案Word版含答案

1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（学案）
一、学习目标
1.会用 “五点法”作出函数以及函数的图象的图象。
2.能说出对函数的图象的影响.
3.能够将的图象变换到的图象，并会根据条件求解析式.
二、自主学习
1.函数，（其中）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当>0时）或______________（当<0时）平行移动个单位长度而得到.
2.函数（其中>0且）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标__________（当>1时）或______________（当0<<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到.
3.函数>0且A1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当04. 函数其中的（A>0,>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当>0时）或___________（当<0时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标____________（当>1时）或____________（当0<<1）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标____________（当A>1时）或_________（当05.提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点 疑惑内容
三、合作探究
探究1、函数图象的左右平移换
如在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与
图象之间的关系。
探究2、函数图象的纵向伸缩变换
如在同一坐标系中作出及的简图，并指出它们的图象与的关系。
探究3、函数图象的横向伸缩变换
如作函数及的简图，并指出它们与图象间的关系。
问题1、作函数的图象主要有以下两种方法：
（1）用“五点法”作图
（2）由函数的图象通过变换得到的图象，
有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
规律总结：①由正弦曲线变换到函数的图象需要进行三种变换，顺序可任意改变；先平移变换后周期变换时平移个单位，先周期变换后平移变换时平移个单位。
②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换（平移的量只与有关）。
四、学以致用
题型一：函数图象与参数φ，ω，A值问题
例1．已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asinax的图像不可能是（　　）
思路导析：结合参数a的取值情况，综合各选项中对应的函数图象与周期的关系加以分析、判断与排除．
解析：当a=0时f（x）=1，选项C符合；当0<|a|<1时T>2π，选项A符合；
当|a|>1时T<2π，选项B符合；结合以上分析，可以排除选项A、B、C，故选择答案：D．
点评：在利用实际图象解决三角函数中的参数A，ω，φ的值时，往往要结合三角函数中参数A，ω，φ对y=Asin（ωx+φ）图象的影响来综合加以分析与判断．
题型二：简单的图象平移变换问题
例2．为了得到函数y=sin（2x－）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
思路导析：通过简单的三角函数诱导公式变换，把有关正弦函数的解析式转化为余弦函数的解析，再利用φ在平移中所起的作用加以分析与判断．
解析：∵y=sin（2x－）=cos［－（2x－）］=cos（－2x）=cos（2x－）
=cos［2（x－）］，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，故选择答案：B．
点评：参数A、ω、φ对y=Asin（ωx+φ）图象的影响：振幅的变化是由A的变化引起的，周期的变化是由ω的变化引起的，相位的变化是φ的变化引起的，正确理解其作用可以用于简单的图象平移变换．
题型三：图象与解析式的确定问题
例3．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A>0，0<φ<π），x∈R的最大值是1，其图象经过点M（，）．
求f（x）的解析式．
思路导析：结合函数的最大值可以确定A的值，把图像经过点M的坐标代入相应的关系式，结合φ的取值确定φ的值，从而解得对应的解析式．
解析：依题意有A=1，则f（x）=sin（x+φ），将点M（，）代入得sin（+φ）=，
而0<φ<π，则+φ=π，解得φ=，故f（x）=sin（x+）=cosx．
点评：求解三角函数解析式最常用的方法是代点法：把满足条件的点代入对应的三角函数解析式，结合题目的要求分析求解出φ的值．也可以采用第一零点法：第一零点距原点距离最近，且在单调递增区间上使f（x）=0的点．设x0为第一零点，则由ωx0+φ=0确定φ．
五、自主小测
1．要得到函数y=cos（－）的图象，只需将y=sin图象（ ）
A．向左平移 B．向左平移 C．向左平移 D．向右平移
2．把函数y=cos（x+）的图象向左平移φ个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．若f（x）=2sinωx（0<ω<1）在区间［0，］上的最大值是，则ω＝________．
4．已知函数f（x）=3sin（ωx－）（ω>0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是________．
5．已知函数y=2sin（πx－）（其中k∈N*），对任意实数a，在区间[a，a+3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，试求对应的正整数k的值．
6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象与y轴交于点（0，），它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，3），（x0+2π，－3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用五点法作出函数在一个周期内的图象，并说明它是由y=sinx的图象依次经过哪些变换而得到的？
参考答案
1．A；解析：由于y=cos（－）=sin[＋（－）]=sin（＋）=sin[（x＋）]，故只需将y=sin图象向左平移即可得；
2．B；解析：把函数y=cos（x+）的图象向左平移φ个单位，所得的函数为y=cos（x+φ+），依次把各选项的答案代入加以分析与判断即可得；
3．；解析：∵0<ω<1，∴T＝>2π，∴f（x）在［0，］区间上为单调递增函数，∴f（x）max＝f（），即2sin=，又∵0<ω<1，∴解得ω＝；
4．[－，3]；解析：由题意知ω=2，因为x∈[0，]，所以2 x－∈[－，]，由三角函数图象知：f（x）的最小值为3sin（－）=－，最大值为3sin=3；
5．解析：由2sin（πx－）=，得sin（πx－）=，
因为函数y=sinx在每个周期内出现函数值为的有2次，
又由于区间[a，a+3]的长度为3，为了使长度为3的区间内出现不少于4次且不多于8次的，则必须使3不少于2个周期长度且同时不大于4个周期长度，
即2T≤3≤4T，则2×≤3≤4×，解得≤k≤，
又k∈N*，则对应的正整数k的值为2或3．
6．解析：（1）由题意可得A=3，
由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x0，3），（x0+2π，－3），
得= x0+2π－x0=2π，∴T=4π，从而ω=，
又图象与y轴交于点（0，），∴=3sinφ，即sinφ=，
而|φ|<，∴φ=，故函数的解析式为f（x）=3sin（x+）；
（2）列表：
x+ π 2π
x －
y 0 3 0 －3 0
描点连线成图（如图所示）：
将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x+）的图象；再将所得函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍得到函数y=sin（x+）的图象；最后将所得函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍得到函数y=3sin（x+）的图象．