人教A版高中数学必修四1.7三角函数小结与复习学案Word版含答案

1.7 三角函数-----小结与复习（学案）
一、学习目标
1.回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。掌握常见问题的解法。
二、自主学习
1.自主构建知识网络
三、合作探究
专题一　三角函数的概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
[例1]　(1)设角α属于第二象限，＝－cos ，试判定角属于第几象限．
(2)求函数y＝的定义域．
解：(1)依题意得2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＋<当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角．
又＝－cos ≥0，所以cos ≤0.
所以应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上．
综上所述，是第三象限角．
(2)3tan x＋≥0，即tan x≥－.
所以kπ－≤x归纳升华
1．由α所在象限，判断角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定的所属象限；另一种方法就是将k进行分类讨论．
2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．
专题二　同角三角函数的基本关系与诱导公式
在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．
[例2]　已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：法一：由已知＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ＝
＝＝＝.
法二：由已知＝－4，解得tan θ＝2，即＝2，所以sin θ＝2cos θ，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝
cos2θ＝＝＝.
归纳升华
　三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin2α＋cos2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan 等；(3)若式子中有角，k∈Z，则先利用诱导公式化简．
专题三　三角函数的图象及变换
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
[例3]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？
解：(1)由图象知A＝＝，k＝＝－1，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.所以y＝sin(2x＋φ)－1.当x＝时，2×＋φ＝，所以φ＝.
所以所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin，
最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象．
归纳升华
1．求解析式的方法：A＝，k＝，ω＝，由“五点作图法”中方法令ωx＋φ＝0，
，π，π或2π求φ.
2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．
专题四　三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
[例4]　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．
解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以－≤sin≤1，
所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1，
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，所以2x＝＋2kπ，所以x＝＋kπ，k∈Z.
所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是
归纳升华
1．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k单调区间求法策略：可把“ωx＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．
2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的值域和最值时，先求复合角“ωx＋φ”的范围，再利用y＝sin x的性质来求解．
四、学以致用
训练1　(1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；
(2)已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，求α的正切值．
训练2. 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
训练3.　将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)
A.　　　 　B.　　　 　C．0　　 　D．－
训练4.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A. B. C．0 D．－
五、自主小测
1．cos 330°等于(　　)
A. B．－ C. D．－
2．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
3．已知集合M＝，N＝{x|x＝＋，k∈Z}．则(　　)
A．M＝N B．MN C． NM D．M∩N＝
4．为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是(　　)
A．{x|2kπ－C．{x|kπ－6．如图所示，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是(　　)
A．h＝8cos t＋10 B．h＝－8cos t＋10
C．h＝－8sin t＋10 D．h＝－8cos t＋10
7．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为________．
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
9．函数f(x)＝|sin x|的单调递增区间是__________．
10．函数f(x)＝3sin的图象为C，
①图象C关于直线x＝π对称；②函数f(x)在区间内是增函数；
③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的序号是________．
参考答案
1．C
2．D　[cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－<0，∵x∈(π，2π)，∴x∈(π，π)，
∴sin x＝－，∴tan x＝.]
3．B　[M＝，N＝.比较两集合中分式的分子，知前者为奇数π，后者是整数π.再根据整数分类关系，得M?N.选B.]
4．A　[∵y＝cos＝sin＝sin＝sin.
由题意知要得到y＝sin的图象只需将y＝sin 2x向左平移个单位长度．]
5．D　[
sin2x>cos2x |sin x|>|cos x|.在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x，y＝－x，根据三角函数线的定义知角x的终边应落在图中的阴影部分，故应选D.]
6．D　[据题意可设y＝10－8cos ωt(t≥0)．由已知周期为12 min，可知t＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.∴6ω＝π，得ω＝.∴y＝10－8cos t(t≥0)．]
7．－
解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
8.
解析　由图象可知三角函数的周期为T＝4×＝，∴ω＝.
9.，k∈Z
解析　f(x)＝|sin x|的周期T＝π，且f(x)在区间[0，]上单调递增，∴f(x)的单调增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z.
10．①②
解析　①f＝3sin＝3sinπ＝－3，∴x＝π为对称轴；
②由－③∵f(x)＝3sin2，
∴由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)＝3sin2的图象，得不到图象C.