人教A版高中数学必修四1.3三角函数（习题课1）学案Word版含答案

1.3三角函数 (习题课1)（学案）
一、学习目标
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
二、自主学习
（一）、复习：
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： (2)商数关系：
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
余弦
cos α
正切
tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
三、合作探究
考点一　同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B.－ C. D.－
(2)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　(1)∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝＝，∴tan α＝＝－，故选D.21教育网
(2)∵<α<，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝.
答案　(1)D　(2)B　
规律方法　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角21cnjy.com
α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，21·cn·jy·com
利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二　诱导公式的应用
【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；
(2)求值：设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求f的值.
解　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°www.21-cn-jy.com
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)2·1·c·n·j·y
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
(2)∵f(α)＝＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
规律方法　(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.21·世纪*教育网
考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用
【例3】 (1)已知tan＝，则tan＝________.
(2)已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于(　　)
A. B. C.－ D.－
解析　(1)∵＋＝π，∴tan＝tan＝－tan＝－.
(2)因为＋＝，所以cos＝sin＝sin.
因为－π<α<－，所以－<α＋<－.
又cos＝>0，所以－<α＋<－，
所以sin＝－＝－＝－.
答案　(1)－　(2)D
规律方法　(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.
(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.
四、学以致用
【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)
A.－1 B.－ C. D.1
(2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)
A. B. C. D.－2
解析　(1)由得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，
即＝0，∴cos α＝－.又α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝tan ＝－1.
(2)3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－，＝＝
＝＝.
答案　(1)A　(2)A
【训练2】 已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A.{1，－1，2，－2} B.{－1，1}
C.{2，－2} D.{1，－1，0，2，－2}
解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；k为奇数时，A＝－＝－2.
答案　C　
【训练3】 已知sin＝，则cos＝________.
解析　∵＋＝，∴cos＝cos＝sin＝.
答案　　
五、自主小测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)　
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)21世纪教育网版权所有
2.s in 600°的值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
3.已知sin＝，那么cos α＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
4.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A. B. C.0 D.－
5.已知tan α＝2，则的值为________.
6.化简：
参考答案
1.解析　(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，当k为偶数时，sin α＝－.
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.解析　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
答案　B
3.解析　∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.故选C.
答案　C
4.解析由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，【来源：21·世纪·教育·网】
所以f ＝f ＝f ＝f ＝f ＋sinπ.
因为当0≤x<π时，f(x)＝0.所以f ＝0＋＝.
答案　C
5.解析　原式＝＝＝3.
答案　3
6.解析原式＝＝＝＝－1.
答案　-1