《反比例函数的图像和性质》
《反比例函数的图像和性质》是全章的核心，本节内容主要是在上节研究反比例函数概念的基础上，根据其解析式，由自变量的值求出相应的函数值，通过列表呈现这些自变量的值和函数值，然后把这些值对应的点在坐标系中表示出来，最后用平滑的曲线把这些点连接起来，得出其图像，然后通过图像，并结合解析式研究其图像的形状、大小、位置和变化规律等性质。
本节课教材中首先设置了一个例题，通过直接用描点法画两个反比例函数（k>0）的的图像，让学生初步认识到反比例函数的图像分成两支，再通过两个反比例函数图像的比较归纳出k>0时的反比例函数图像的性质；接着通过探究，由学生自己归纳归纳出k<0时的反比例函数图像的性质。教材中的例3说明反比例函数的图像被一点唯一确定，若反比例函数的图像经过某点，则可确定它的解析式，反之，若知道它的解析式就能知道某一点是否在这个函数的图像上。例4在例3的基础上进一步抽象，是通过对函数图像的观察推得反比例函数的某些性质。
【知识与能力目标】
会用描点法画出反比例函数的图像；
2、根据反比例函数的图像和解析式探索并理解反比例函数的性质。
【过程与方法目标】
经历画反比例函数图像的过程，渗透从特殊到一般、数形结合以及分类讨论的思想方法。
【情感态度价值观目标】
在探究反比例函数性质的过程中，初步感知反比例函数图像的对称性，体会事物是有规律地变化着的观点。
【教学重点】
用描点法作反比例函数的图像，并利用图像探究反比例函数的性质。
【教学难点】
如何抓住特点准确画出反比例函数的图像。
多媒体课件、教具等。
一、创设情境，引入新课
问题1 ⑴一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图像是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？
⑵画函数图像的方法是什么 其一般步骤有哪些？应注意什么？
归纳：⑴一次函数的图像是一条直线；性质是：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 正比例函数的图像是一条经过原点的直线，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
⑵画函数图像的方法是描点法，其一般步骤是列表、描点、连线。自变量的取值应有代表性，连线应光滑。
追问：反比例函数的图像是什么样呢？它具有怎样的性质呢？
这就是我们本节课所要研究的内容。
二、探索发现，形成新知
问题2 画出反比例函数与的图像。
解：列表
思考：取什么值更易描出来？
x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 …
… -1.5 -2 6 2 1 …
… -1 -2 -4 -6 12 4 3 1 …
（请把表中空白处填好）
描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点。
连线，用平滑的曲线把所描的点依次（从大到小或从小到大的顺序）连接起来。
追问1：观察反比例函数与的图像，回答下列问题：
⑴每个函数的图像分别位于哪些象限？
⑵在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
⑶对于反比例函数（k>0），根据⑴⑵，你能得出怎样的结论？
一般地，当k>0时，对于反比例函数，由函数图像，并结合解析式，可以发现：⑴函数的图像分别位于第一、三象限；
⑵在每一个象限内，y随着x的增大而减小。
追问2：当k<0时，你能用类比的方法研究反比例函数的图像和性质吗？
一般地，当k<0时，对于反比例函数，由函数图像，并结合解析式，可以发现：⑴函数的图像分别位于第二、四象限；
⑵在每一个象限内，y随着x的增大而增大。
追问3：反比例函数的图像由几部分组成的？
反比例函数的图像由两条曲线组成，它是双曲线。
归纳：一般地，反比例函数的图像是双曲线，它具有以下性质：
⑴当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；
⑵当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大。
三、运用新知，深化理解
例1：当k>0时，下列图像中哪个可能是y=kx与（k≠0）在同一坐标系中的图像 （ ）
解析：对于y=kx来说，当k>0时，图像经过一、三象限，当k<0时，图像经过二、四象限；对于来说，当k>0时，图像在一、三象限，当k<0时，图像在二、四象限，所以应选B。
例2：已知反比例函数的图像经过点A（2，6）。
⑴这个函数的图像位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
⑵点B（3，4），C（-2.5，-4.8），D（2，5）是否在这个函数的图像上？
解：⑴因为点A（2，6）在每一象限，所以这个函数的图像位于一、三象限，在第一象限内，y随x的增大而减小。
⑵设这个反比例函数的解析式为，因为点A（2，6）在其图像上，所以点A的坐标满足，即，解得解得k=12。
所以，这个反比例函数的解析式为。因为点B（3，4），C（-2.5，-4.8）的坐标都满足，所以点B，C在函数的图像上，点D不在这个函数的图像上。
例3：如图，它是反比例函数的图像的一支，根据图像，回答下列问题：
⑴图像的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
⑵在这人函数的图像的某一支上任取点和点，如果，那么和有怎样的大小关系？
解：⑴反比例函数的图像的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者分布在第二、四象限，这个函数的图像的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。
因此这个函数的图像分布在第一、三象限，所以m－5>0，解得m>5。
⑵因为m－5>0，所以在这个函数图像的任一支上，y随x的增大而减小。因此，。
四、学生练习，巩固新知
练习1 若一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，则反比例函数的图像一定在 象限。
答案：二、四
练习2 已知反比例函数的图像在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？
解：∵是反比例函数，∴m2－3＝－1，且m－1≠0。
又∵图像在第二、四象限 ，∴m－1＜0，解得且m＜1，则。
练习3 如图，过反比例函数（x＞0）的图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，试比较S1和S2的大小关系。
分析：从反比例函数（k≠0）的图像上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积，由此可得S1＝S2 ＝。
练习4 已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2 .
求⑴一次函数的解析式；
⑵△AOB的面积
答案：⑴y＝－x＋2；⑵面积为6。
五、课堂小结，梳理新知
谈谈本节课你有什么新的收获？
1、会用描点法画出反比例函数的图像；
2、根据反比例函数的图像和解析式探索并理解反比例函数的性质；
3、会利用待定系数法求函数的解析式。
六、布置作业，优化新知
1、教科书习题26.1第3题，第5题；（必做题）
2、教科书习题26.1第8题，第9题。（选做题）
略。
课前准备
教学过程
教学反思(共13张PPT)
第二十六章●第一节
反比例函数的图象和性质
问题引入
问题1 ⑴一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？
⑵画函数图象的方法是什么 其一般步骤有哪些？应注意什么？
归纳：⑴一次函数的图象是一条直线，其性质是：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
⑵画函数图象的方法是描点法，其一般步骤是列表、描点、连线。自变量的取值应有代表性，连线应光滑。
追问：反比例函数的图象是什么样呢？它具有怎样的性质呢？
探究新知
（请把表中空白处填好）
描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点。
连线，用平滑的曲线把所描的点依次（从大到小或从小到大的顺序）连接起来。
问题2 画出反比例函数 与 的图象。
思考：取什么值更易描出来？
解：列表
探究新知
追问1：观察反比例函数 与 的图象，回答下列问题：
⑴每个函数的图象分别位于哪些象限？
⑵在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
⑶对于反比例函数（k>0），根据⑴⑵，你能得出怎样的结论？
探究新知
追问2：当k<0时，你能用类比的方法研究反比例函数 的图象和性质吗？
追问3：反比例函数的图象由几部分组成的？
归纳：一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
⑴当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；
⑵当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大。
例1：当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与 （k≠0）在同一坐标系中的图象 （ ）
应用新知
B
应用新知
例2：已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。
⑴这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
⑵点B（3，4），C（-2.5，-4.8），D（2，5）是否在这个函数的图象上？
解：⑴因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小。
⑵设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A（2，6）在其图象上，所以点A的坐标满足 ，即 ，解得解得k=12。
所以，这个反比例函数的解析式为 。因为点B（3，4），C（-2.5，-4.8）的坐标都满足 ，所以点B，C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上。
例3：如图，它是反比例函数 的图象的一支，根据图象，回答下列问题：
⑴图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
⑵在这人函数的图象的某一支上任取点和点，如果，那么和有怎样的大小关系？
应用新知
练习1 若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例
函数 的图象一定在 象限。
巩固新知
练习2 已知反比例函数 的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？
答案：二、四
解：∵ 是反比例函数，
∴ ，且m－1≠0。
又∵图象在第二、四象限 ，
∴m－1＜0，解得 且m＜1，则
练习3 如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，试比较S1和S2的大小关系。
巩固新知
练习4 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2 。
求：⑴一次函数的解析式；⑵△AOB的面积。
巩固新知
答案：⑴y＝－x＋2；⑵面积为6。
课堂小结
谈谈本节课你有什么新的收获？
1、会用描点法画出反比例函数的图象；
2、根据反比例函数的图象和解析式探索并理解反比例函数的性质；
3、会利用待定系数法求函数的解析式。
课外作业
1、教科书习题26.1第3题，第5题；（必做题）
2、教科书习题26.1第8题，第9题。（选做题）
