《实际问题与反比例函数》
《实际问题与反比例函数》是在前面学习了反比例函数、反比例函数的图像和性质的基础上进一步研究反比例函数在生活、生产中的实际应用。本节内容充分体现了反比例函数是解决实际问题有效的数学模型，解决问题的思路是通过经历寻找实际问题中的常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题。
为了更好地体现反比例函数概念的实际背景以及数学与实际的关系，本节教材设置的4个问题都是现实生活中常见的问题，这样的安排有助于提高学生把抽象的数学概念应用于实际问题的能力。例１通过研究修建圆柱形煤气储存室的实际问题，抽象为几何中圆柱的体积问题；例2通过研究卸载货物问题，抽象为工程问题。特别是例3的撬石头问题涉及了古希腊科学家阿基米德发现的杠杆原理，其本质体现的是力与力臂两个量的反比例关系，最后落实到运用数学中反比例函数知识来解决。
【知识与能力目标】
利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。
【过程与方法目标】
经历建立反比例函数模型解决实际问题的过程，渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】
利用函数探索古希腊科学家阿基米德发现的杠杆定律，激发学生求知欲望和学习兴趣。
【教学重点】
综合运用反比例函数的解析式、图像和性质解决实际问题。
【教学难点】
综合运用反比例函数的知识解决较复杂的实际问题。
多媒体课件、教具等。
一、创设情境，引入新课
问题1 ⑴反比例函数的图像是什么样的？它有什么性质？
⑵已知函数，当x=2时，求y的值；当y=2时，求x的值。
归纳：⑴反比例函数的图像是双曲线，它具有以下性质：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大。
⑵当x=2时，；当y=2时，，所以x=4。
问题2 同学们，你吃过拉面吗？拉面就是用手把面团拉成面条，它是我国北方城乡独具地方风味的一种传统面食。你知道在做拉面的过程中渗透的反比例函数知识吗？
本节课我们就来研究用反比例函数知识解决一些实际问题。
二、探索发现，形成新知
问题3 ⑴体积为20立方厘米的面团拉成圆柱形面条，面条的总长度y（厘米）与面条粗细（横截面积）s（厘米）有怎样的函数关系？
⑵某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗为1平方毫米，面条的总长是多少？
追问1：问题⑴中有几个变量？你能写出它们之间的函数关系式吗？
两个变量：总长度y和面条的横截面积s。函数关系式：。
追问2：观察函数关系式可以发现y是s的什么函数？
结论：反比例函数。
追问3：根据函数关系式，如果知道s=1平方毫米，如何得出y的对应值？
结论：把s的值代入函数关系式，计算出y的对应值，即（厘米）。
追问4：通过以上问题的分析，你能总结一下利用反比例函数知识解决实际问题的一般步骤吗？
利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
⑴根据题意找出数量关系；
⑵分清变量和常量；
⑶确定函数关系；
⑷根据确定的变量的值，求另一个变量 。
三、运用新知，深化理解
例1：市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室。
(1)储存室的底面积S(单位：)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500，施工队施工时应该向下掘进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少(保留两为小数)？
解：(1)根据圆柱体的体积公式，有。所以S关于d的函数解析式为。
把S=500代入，得：d=20（m）。
如果把储存室的底面积定为500，施工时应向地下掘进20 m深。
(3)根据题意，把d=15代入，得：（）。
当储存室的深为15 m时，储存室的底面积应改为666.67。
例2：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间。
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨／天）与卸货时间t （单位：天）之间有怎样的关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸完，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
分析：（1）根据“装货速度×装货时间＝货物的总量”，可以求出轮船装载货物的的总量；
（2）再根据“卸货速度＝货物总量÷卸货时间”，得到ｖ与ｔ的函数式。
解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有k=30×8=240，
所以v与t的函数式为（t＞0）；
（2）把t=5代入，得（吨）。
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，平均每天卸载48吨。若货物在不超过5天内卸完，平均每天至少卸货48吨。
例3：（介绍）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡。也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂。为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！
问题：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m。
（1）动力F和动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
（2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
解：（1）由杠杆定律有Fl=1200×0.5，即，当L=1.5时，(N)。
（2）由（1）及题意，当F=×400=200时，L==3（m），
∴要加长3-1.5=1.5（m）。
追问：利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力？
例4：一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆。已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示。
（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）用电器输出功率的范围多大？
解：（1）根据物理学中的电学知识，当电压U一定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，即。
根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小。
把电阻的最小值R=110代入，得到功率的最大值（W）；把电阻的最大值R=2200代入，得到功率的最大值（W）。
因此用电器功率的范围为220≤P≤440。
四、学生练习，巩固新知
练习1 近视眼镜的度数y(度)与焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m。
(1)试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
(2)求1 000度近视眼镜镜片的焦距。
解：(1)设，把x=0.25，y=400代入，得，
所以，k=400×0.25=100
即所求的函数关系式为.
(2)当y=1 000时，，解得：x=0.1 m。
练习2 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图像。
(1)请你根据图像提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
(2)写出此函数的解析式；
(3)若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
解：(1)因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图像提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为4 000×12=48 000()；
(2)因为此函数为反比例函数，所以解析式为；
(3)若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：()。
练习3 小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）。
（1）速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（3）如果小林骑车的速度为300米/分，那他需要几分钟到达单位？
分析：（1）根据速度、时间、路程的关系即可写出函数的关系式；
（2）把t=15代入函数的解析式，即可求得速度；
（3）把v=300代入函数解析式，即可求得时间。
解：（1）反比例函数
（2）把t=15代入函数的解析式，得：=240，
答：他骑车的平均速度是：240米/分；
（3）把v=300代入函数解析式得：，解得：t=12。
答：他至少需要12分钟到达单位。
五、课堂小结，梳理新知
谈谈本节课你有什么新的收获？
1、把实际问题中的数量关系，通过分析、转化为数学问题中的数量关系。
2、利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题。
3、注意学科之间知识的渗透。
六、布置作业，优化新知
1、教科书习题26.1第2题，第3题，第5题；（必做题）
2、教科书习题26.1第6题，第8题，第9题。（选做题）
略。
课前准备
教学过程
教学反思(共15张PPT)
第二十六章●第二节
实际问题与反比例函数
归纳：⑴反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大．
⑵当x=2时， ；当y=2时， ，所以x=4。
问题引入
问题1 ⑴反比例函数 的图象是什么样的？它有什么性质？
⑵已知函数 ，当x=2时，求y的值；当y=2时，求x的值。
问题引入
问题2 同学们，你吃过拉面吗？拉面就是用手把面团拉成面条，它是我国北方城乡独具地方风味的一种传统面食。你知道在做拉面的过程中渗透的反比例函数知识吗？
探究新知
问题3 ⑴体积为20立方厘米的面团拉成圆柱形面条，面条的总长度y（厘米）与面条粗细（横截面积）s（厘米）有怎样的函数关系？
⑵某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗为1平方毫米，面条的总长是多少？
探究新知
追问1：问题⑴中有几个变量？你能写出它们之间的函数关系式吗？
追问3：根据函数关系式 ，如果知道s=1平方毫米，如何得出y的对应值？
结论：反比例函数
追问2：观察函数关系式可以发现y是s的什么函数？
两个变量：总长度y和面条的横截面积s。函数关系式：
结论：把s的值代入函数关系式，计算出y的对应值，即 （厘米）
探究新知
追问4：通过以上问题的分析，你能总结一下利用反比例函数知识解决实际问题的一般步骤吗？
利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
⑴根据题意找出数量关系；
⑵分清变量和常量；
⑶确定函数关系；
⑷根据确定的变量的值，求另一个变量 。
应用新知
例1：市煤气公司要在地下修建一个容积为 的圆柱形煤气储存室。
(1)储存室的底面积S(单位： )与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 ，施工队施工时应该向下掘进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石。为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少(保留两为小数)？
例2：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间。
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨／天）与卸货时间t （单位：天）之间有怎样的关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸完，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
应用新知
分析：（1）根据“装货速度×装货时间＝货物的总量”，可以求出轮船装载货物的的总量；
（2）再根据“卸货速度＝货物总量÷卸货时间”，得到ｖ与ｔ的函数式。
例3：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m。
（1）动力F和动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
（2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
应用新知
例4：一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220姆。已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示。
（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）用电器输出功率的范围多大？
应用新知
练习1 近视眼镜的度数y(度)与焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m。
(1)试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
(2)求1 000度近视眼镜镜片的焦距。
巩固新知
练习2 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。
(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
(2)写出此函数的解析式；
(3)若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
巩固新知
练习3 小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）。
（1）速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（3）如果小林骑车的速度为300米/分，那他需要
几分钟到达单位？
巩固新知
课堂小结
谈谈本节课你有什么新的收获？
1、把实际问题中的数量关系，通过分析、转化为数学问题中的数量关系。
2、利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题。
3、注意学科之间知识的渗透。
课外作业
1、教科书习题26.1第2题，第3题，第5题；（必做题）
2、教科书习题26.1第6题，第8题，第9题。（选做题）
