课件34张PPT。2.1.1 向量的概念第二章 §2.1 向量的线性运算学习目标
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 向量的概念及表示在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案 可以用一条有向线段表示.答案思考2 向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？答案 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.思考3 (1)向量：具有大小和 的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做 .
(2)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫做 线段.点A叫做有向线段的 ，点B叫做有向线段的 .有向线段的方向表示向量的 ，线段的长度表示位移的 ，位移的距离叫做向量的 .梳理方向自由向量有向始点终点方向距离长度思考1 知识点二 相等向量已知A，B为平面上不同两点，那么向量 和向量 相等吗？答案思考2 两向量相等需要具备哪些条件？答案 需要具备两个条件：长度相等、方向相同.梳理(1)同向且等长的有向线段表示 向量，或 的向量.
(2)如果 ＝a，那么 的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a＝b.同一相等答案 不相同.我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.思考1 知识点三 向量共线或平行共线向量的方向有何特征？答案答案 共线向量的方向相同或相反.思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？梳理(1)通过有向线段 的直线，叫做向量 的 (如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量 或 .向量a平行于b，记作a∥b.
(2)长度等于零的向量，叫做 ，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量 .基线共线平行零向量平行知识点四 位置向量任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段 ＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量 ，又常叫做点A相对于点O的 .位置向量题型探究解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A. 类型一 向量的概念例1 下列说法正确的是
A.向量 与向量 的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.任意两个单位向量都相等答案解析解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟踪训练1 下列说法正确的有_____.(填序号)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；答案解析③解析 ①错误.|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系；
②错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量
必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上；
③正确.向量 是长度相等，方向相反的两个向量.例2 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.类型二 共线向量与相等向量解答解 因为E、F分别是AC、AB的中点，又因为D是BC的中点，解答(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.
(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.解答解 与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.解答(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？解 存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，(3)与 共线的向量有哪些？解 由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，类型三 向量的表示及应用解答例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.解答∴在四边形ABCD中，AB綊CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.解答跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ ，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解 由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心， 为半径的圆(作图略).当堂训练1.下列结论正确的个数是
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0 B.1
C.2 D.3√答案2341解析解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；
②向量的模也可以为0，故②错；
④向量不可以比较大小，故④错；
③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对.23412.下列说法错误的是
A.若a＝0，则|a|＝0
B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的答案√2341解析解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行，所以B是错误的.答案2341解析√4.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，解答23411.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意一个特殊向量——零向量，零向量的长度为0，方向不确定，通常规定零向量与任意向量平行.本课结束课件42张PPT。2.1.2 向量的加法第二章 §2.1 向量的线性运算学习目标
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则分析下列实例：
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝
2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？答案答案 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是 表示的力的合力.体现了向量的加法运算.思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？答案答案 三角形法则和平行四边形法则.(1)向量加法的定义
求 的运算，叫做向量的加法.梳理两个向量和(2)三角形法则对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝ ＋ ＝ .a＋b0aa(3)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作 ＝a， ＝b，则A、B、D三点不共线，以 ， 为邻边作 ABCD，则对角线上的向量
＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.ABAD平行四边形思考 知识点二 向量求和的多边形法则如果一个动点先由点A位移到点B，再由点B位移到点C，最后由点C位移到点D，那么动点的和位移向量是多少？由此可得到向量加法的什么法则？答案答案 和位移向量是 ，由此可得向量求和的多边形法则.梳理已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则.思考1 知识点三 向量加法的运算律实数加法有哪些运算律？答案答案 交换律和结合律.思考2 根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律.答案∴a＋b＝b＋a.思考3 根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律.答案∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).梳理a＋bb＋c向量加法的运算律b＋a题型探究解答类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.(1) (2)向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”.
(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.答案跟踪训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.0例2 化简：类型二 向量加法运算律的应用解答解答(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.答案解析类型三 向量加法的实际应用解答例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.解 作出图形，如图所示.
船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，
结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进.解答引申探究
1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？解 由例3知v船＝20 m/min，解答2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.设船实际航向与岸方向的夹角为α，即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键.解答跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，当堂训练答案23451解析√考向题点考向 向量加法法则题点 结合图形求向量的和2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是答案23451解析√23451故选D.答案23451√解析答案解析A.矩形 B.正方形
C.平行四边形 D.菱形√∴四边形ABCD为平行四边形.234515.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为_____km/h.答案解析2345120河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船的实际航行速度为v0，所以|v0|＝20 km/h，
即小船实际航行速度的大小为20 km/h.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
3.在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.本课结束课件32张PPT。2.1.3 向量的减法第二章 §2.1 向量的线性运算学习目标
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减运算.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量的减法思考1 向量减法的几何意义是什么？答案 a－b的几何意义：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量.答案思考2 向量减法的三角形法则是什么？答案 (1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a－b的方法叫做向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.答案梳理(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为 ，被减向量的终点为 的向量.差始点终点减思考知识点二 相反向量实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？答案答案 相反向量.梳理(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的 向量，记作－a(如图).显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的 向量.相反相反知识点三 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系思考在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？答案答案 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.梳理则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. ①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. ②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.题型探究解答类型一 向量减法的几何作图例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.解答引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.解答跟踪训练1 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.解 如图所示，在平面内任取一点O，例2 化简下列式子：类型二 向量减法法则的应用解答向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.解答类型三 向量减法几何意义的应用解答(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|. 答案解析∴四边形ABCD为矩形.当堂训练答案23451解析A.a＋b和a－b
B.a＋b和b－a
C.a－b和b－a
D.b－a和b＋a解析 由向量的加法、减法法则，√故选B.答案23451√23451答案解析2答案解析234514.若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为___，|a－b|的最大值为_____.解析 由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得.717解答23451解 ∵四边形ACDE是平行四边形，1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的
定义， 就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.本课结束课件31张PPT。2.1.4 数乘向量第二章 §2.1 向量的线性运算学习目标
1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 数乘向量的定义思考1实数与向量相乘的结果是实数还是向量？答案 向量.答案思考2向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同.
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反.梳理(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝|λ||a|.当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
(2)λa中的实数λ，叫做向量a的 .数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.系数思考知识点二 向量数乘的运算律类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案答案 结合律，分配律.梳理向量数乘运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三 向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的 .线性运算题型探究解答例1 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：
(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；解 正确.∵2>0，∴2a与a同向，且|2a|＝2|a|.类型一 数乘向量概念的理解(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的 ；解 正确.∵5>0，∴5a与a同向，且|5a|＝5|a|.∵－2<0，∴－2a与a反向，且|－2a|＝2|a|.(3)－2a与2a是一对相反向量；解 正确.解答(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；解 错误.－(b－a)＝－b＋a＝a－b.(5)若a，b不共线，则λa与b不共线.解 错误.若λ＝0，则0a＝0，0与任意向量共线.对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，当λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；当λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；当λ＝0时，λa＝0.跟踪训练1 设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是
A.a与－λa的方向相反
B.|－λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|－λa|＝|λ|a答案解析解析 当λ＜0时，a与－λa方向相同，故A错；
当|λ|＜1时，|－λa|≤|a|，故B错；
|－λa|＝|λ||a|，故D错；
∵λ≠0，∴λ2＞0，∴a与λ2a的方向相同，故选C.类型二 向量的线性运算解答＝－4a＋4b.解答(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，
即y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.解答跟踪训练2 (1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解 (a＋b)－3(a－b)－8a
＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a
＝－10a＋4b.(2)若 (c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，
则未知向量y＝___________.答案解析 类型三 用已知向量表示其他向量答案解析解析 示意图如图所示，用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.解答又∵D，E为边AB的两个三等分点，当堂训练答案23451解析1.已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c等于
A.5e B.－5e
C.23e D.－23e
解析 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.√解析 如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点，答案解析√2345123451答案3.若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于√答案解析√23451解答234511.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.本课结束课件31张PPT。2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算第二章 §2.1 向量的线性运算学习目标
1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.
2.理解轴上向量坐标的含义及运算.
3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 平行向量基本定理思考若b与非零向量a共线，是否存在λ满足b＝λa？若b与向量a共线呢？答案 若b与非零向量a共线，存在λ满足b＝λa；
若b与向量a共线，当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.答案梳理(1)平行向量基本定理：如果a＝λb，则 ；反之，如果a∥b，且 ，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
(2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a 且 的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0.由数乘向量的定义可知，a＝ 或
a0 ＝ .a∥bb≠0同方向长度等于1|a|a0思考1知识点二 轴上向量的坐标及其运算轴与数轴有何区别与联系？答案 规定了方向和长度单位的直线叫做轴，而数轴是规定了坐标原点的轴.思考2实数与数轴上的向量建立了什么关系？答案 数轴上的实数与轴上的向量建立起一一对应的关系，可以用数值表示向量.答案思考3答案梳理(1)轴上向量的坐标方向长度单位同方向a＝xe(2)轴上向量的坐标运算坐标相等坐标的和终点始点题型探究类型一 轴上向量的坐标运算例1 已知A、B、C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标.
(1)AC＝10；
解 ∵AC＝10，
∴xC－xA＝10，
∴xC＝xA＋10＝8.解答解答∴AC＝10或AC＝－10，
当AC＝10时，xC－xA＝10，xC＝xA＋10＝8；
当AC＝－10时，xC－xA＝－10，xC＝xA－10＝－12.解答轴上向量的坐标及长度计算的方法
(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标；(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度.解答跟踪训练1 已知数轴上A、B两点的坐标x1、x2，根据下列各题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝3，AB＝5；
解 AB＝x2－x1＝5，
∴x1＝x2－5＝－2.
(2)x2＝－5，|AB|＝2.
解 |AB|＝|x2－x1|＝2，
∴x2－x1＝－2或2.
∴x1＝x2－(－2)＝－3或x1＝x2－2＝－7.类型二 向量共线的判定及应用解答命题角度1 判定向量共线或三点共线
例2 已知非零向量e1，e2不共线.解 ∵b＝6a，∴a与b共线.证明＝2e1＋8e2＋3e1－3e2∴A、B、D三点共线.(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
(2)利用平行向量基本定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点.答案解析A，B，D∴A，B，D三点共线.解答命题角度2 利用向量共线求参数值
例3 已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值.解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
又e1与e2不共线，利用平行向量基本定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.答案解析1∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.当堂训练1.已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则AB与 分别是
A.－3，3 B.3，3
C.3，－3 D.－6，6答案23451解析√23451答案√2.数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1，2，5，则
A.AB＝－3 B.BC＝3234513.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则
A.k＝0 B.k＝1
C.k＝2 D.k＝答案解析√所以n＝2m，此时，m，n共线.4.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且 ，则
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上答案解析23451∴P在AC边上.√解答234515.已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
解 若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0.
因为e1与e2不共线，所以λ不存在，所以a与b不共线.1.平行向量基本定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.
2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.本课结束课件31张PPT。2.2.1 平面向量基本定理第二章 §2.2 向量的分解与向量的坐标运算学习目标
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 平面向量基本定理如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.思考3 若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？答案答案 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，
即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，
∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么该平面内的 向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝ .
(2)基底
把 向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.梳理不平行任一a1e1＋a2e2不共线思考1 知识点二 直线的向量参数方程式什么是直线的向量参数方程？答案答案 若P在直线AB上(或P、A、B共线)，则一定存在实数t，
使得思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？答案 利用直线的向量参数方程可证明三点共线.(1)直线的向量参数方程式
已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上 一点P，存在唯一的实数t满足向量等式 ＝ ，反之，对每一个实数t，在直线l上都有 的一个点P与之对应.向量等式 ＝ 叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称 .梳理任意唯一参数题型探究 类型一 对基底概念的理解例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A.①② B.②③ C.③④ D.②答案解析解析 由平面向量基本定理可知，①④正确；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B. 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练1 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是
A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－ e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－e2解析 选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；
选项B中，2e1－e2＝2(e1－ e2)，为共线向量；
选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.答案解析类型二 平面向量基本定理的应用解答例2 如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，引申探究解答解 取CF的中点G，连接EG.∵E，G分别为BC，CF的中点，将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.解答∵a，b不共线，当堂训练1.下列关于基底的说法正确的是
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.
A.① B.② C.①③ D.②③
解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确.√答案23451解析答案解析√234513.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝_____，y＝______.答案解析－1523451－12解析 ∵向量e1，e2不共线，23451a＋b2a＋c答案解析再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.解答2345123451解 连接FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC綊FB，∴四边形DCBF为平行四边形.1.对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.本课结束课件35张PPT。2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算第二章 §2.2 向量的分解与向量的坐标运算学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 平面向量的正交分解思考如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.答案梳理如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为 .
在正交基底下分解向量叫做 .正交基底正交分解思考1知识点二 平面向量的坐标表示如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?答案思考2答案在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？答案 对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定.(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向 的两个_____
e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个 {e1，e2}.这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底.
(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段 表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝ ，
(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝ ，其中a1叫做向量a在 上的坐标分量，a2叫做a在 上的坐标分量.
(3)若 ＝xe1＋ye2＝(x，y)，则 的坐标(x，y)?点A的坐标(x，y).梳理相同单位向量正交基底a1e1＋a2e2(a1，a2)x轴y轴知识点三 平面向量的坐标运算思考答案设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.(1)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝ ，a－b＝________
，λa＝λ(a1，a2)＝ .即两个向量的和与差的坐标等于两个向量 ；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量_________
.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ .即一个向量的坐标等于向量终点的坐标 .
(3)在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2).则线段AB中点的
坐标为 .梳理(a1＋b1，a2＋b2)(a1－b1，a2－b2)(λa1，λa2)相应坐标的和与差相应坐标的积(x2－x1，y2－y1)减去始点的坐标题型探究类型一 平面向量的坐标表示解答例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，
四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；解 作AM⊥x轴于点M，∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，解答(3)求点B的坐标.在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.解答跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量 的坐标.解 如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，类型二 平面向量的坐标运算解答解 由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).例2 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).
(1)求3a＋b－3c；解答(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；解 ∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.解答跟踪训练2 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；
解 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)
＝(－2，4)＋(6，3)
＝(4，7).
(2)a－3b；
解 a－3b＝(－1，2)－3(2，1)
＝(－1，2)－(6，3)
＝(－7，－1).解答类型三 平面向量坐标运算的应用解答例3 已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若 (λ∈R)，
试求当λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；解 设点P的坐标为(x，y)，＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ).若点P在第一、三象限的角平分线上，解答(2)点P在第三象限内.当λ∈(－∞，－1)时，点P在第三象限内.(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.
(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.跟踪训练3 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为_____.－3解析 ∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，
∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，答案解析故m－n＝2－5＝－3.当堂训练答案234511.设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b等于
A.(7，3) B.(7，7)
C.(1，7) D.(1，3)√23451答案解析√答案解析√23451解析 设D点坐标为(x，y)，23451答案解析A.(－7，－4) B.(7，4)
C.(－1，4) D.(1，4)√答案解析5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的
向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y ＝___.解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
设小方格的边长为1，
则可得a＝(1，2)，b＝(2，－3)，c＝(3，4).234511.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.
2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时
＝(xB－xA，yB－yA).
3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.本课结束课件35张PPT。2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件第二章 §2.2 向量的分解与向量的坐标运算学习目标
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
3.掌握三点共线的判断方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 向量共线条件上面几组向量中，a，b有什么关系？答案答案 (1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.已知下列几组向量：
(1)a＝(0，3)，b＝(0，6)；
(2)a＝(2，3)，b＝(4，6)；
(3)a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；思考2 以上几组向量中，a，b共线吗？答案答案 共线.思考3 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？答案 坐标不为0时成正比例.思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案答案 能.将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，b与a反向.梳理向量共线的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2).
(1)当a∥b时，有 .
(2)当a∥b，且b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0时，有＝ .
即两个向量平行的条件是相应坐标 .a1b2－a2b1＝0成比例题型探究例1 (1)下列各组向量中，共线的是
A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B.a＝(2，3)，b＝(3，2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
解析 A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D.类型一 向量共线的判定与证明答案解析解答(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判断 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.证明跟踪训练1 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2).例2 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？类型二 利用向量共线求参数解答解 方法一 ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b).
由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4).
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解答引申探究
1.若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？∴ka＋b与a－3b反向.解答2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？解 a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2)＝(1－3k，2＋2k)，
3a－b＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4).
∵a＋kb与3a－b平行，
∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用平行向量基本定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.跟踪训练2 设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝____.
解析 λa＋b＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)，
∵λa＋b与c共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.答案解析2类型三 三点共线问题解答∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，解得k＝－2或11.∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.证明跟踪训练3 已知A(1，－3)，B ，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.∴A，B，C三点共线.当堂训练1.已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是
A.1 B.－1
C.4 D.－4√答案23451解析解析 ∵a∥b，
∴(－1)×y－2×2＝0，
∴y＝－4.答案23451解析√2.与a＝(6，8)平行的单位向量为解析 设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为_____.答案23451解析6即(1，2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).即当m＝6时，A，B，C三点共线.证明234514.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5).求证：四边形ABCD是梯形.证明 ∵A(3，－1)，B(1，2)，C(－1，1)，D(3，－5)，∴AB∥CD，且AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形.5.已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且 ，
求点M的坐标.解答2345123451解 设点M的坐标为(x，y).234511.两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时， ，即两向量的相应坐标成比例.2.向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.本课结束课件38张PPT。2.3.1 向量数量积的物理背景与定义第二章 §2.3 平面向量的数量积学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量的夹角思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案答案 存在夹角，不一样.思考2 △ABC为正三角形，设 ＝a， ＝b，则向量a与b的夹角是多少？答案∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
则∠CBD＝120°，
故向量a与b的夹角为120°.两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作 ＝a， ＝b，
则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的范围是
.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ .
(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .梳理∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉a⊥b知识点二 向量在轴上的正射影思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？答案答案 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：当θ为锐角时，该数量为正值；
当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；
当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图).
作 ＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量
叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在
上的数量或在 上的数量. ＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.梳理轴l轴l的方向知识点三 向量的数量积(内积)思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？ 答案答案 W＝|F||s|cos θ.思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答案答案 a·b的运算结果是数量.
0·a＝0.向量数量积的定义
叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈 a，b 〉.梳理|a||b|cos〈 a，b 〉知识点四 向量数量积的性质思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？答案答案 a⊥b?a·b＝0.思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？答案 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；思考3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？答案答案 |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”.
所以|a·b|≤|a||b|.两个向量内积有如下重要性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝ (a≠0).
(2)a⊥b?a·b＝ ，且a·b＝ ?a⊥b(a≠0，b≠0).
(3)a·a＝ 或|a|＝ .
(4)cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0).
(5)|a·b| |a||b|.梳理|a|cos〈a，e〉00|a|2≤题型探究类型一 求两向量的数量积例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
解 (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°解答求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a|·|b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 答案解析解析 如图所示，由题意，
得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为 ，求|a＋b|，|a－b|.类型二 求向量的模解答引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.解答此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.
解 ∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，
∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.解答例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.类型三 求向量的夹角解答解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2设a与b的夹角为θ，当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b方向上的正射影的数量为－3，b在a方向上的正射影的数量为－ ，求a与b的夹角θ.解答又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.当堂训练1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的正射影的数量为
A.4 B.－4
C.2 D.－2√答案23451解析解析 向量b在a方向上的正射影的数量为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.答案23451解析A.1 B.2
C.3 D.5√解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.23451答案解析3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，
则(a＋2b－c)2＝_____.
解析 (a＋2b－c)2
＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c
＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°
＝11.11答案解析－25234515.已知正三角形ABC的边长为1，求：解答23451解答234511.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.在a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分别叫做b在a方向上的正射影的数量和a在b方向上的正射影的数量，要结合图形严格区分.4.求射影有两种方法
(1)b在a方向上的正射影的数量为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的正射影的数量为|a|cos θ.本课结束课件27张PPT。2.3.2 向量数量积的运算律第二章 §2.3 平面向量的数量积学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.正确错误正确错误知识点二 平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”.题型探究类型一 向量数量积的运算性质例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是_____.
解析 因为当两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.④答案解析向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.答案解析跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是______.(填序号)
解析 (a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；
由[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0知，(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；
向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确.③命题角度1 已知向量垂直求参数值
例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝_____.类型二 平面向量数量积有关的参数问题2答案解析解析 由题意，将b·c＝b·[ta＋(1－t)b]整理，所以t＝2.由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b?a·b＝0.解析 因为a＝(k，3)，b＝(1，4)，
所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6).
因为(2a－3b)⊥c，
所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2，1)
＝2(2k－3)－6＝0，
解得k＝3.故选C.跟踪训练2 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k等于 答案解析＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.解析 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为_________________.答案解析(0，1)∪(1，＋∞)跟踪训练3 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解答∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.解 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角.
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，当堂训练1.下面给出的关系式中正确的个数是
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2θ，故选C.答案23451解析√答案23451解析2.已知|a|＝1，|b|＝ ，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是
A.60° B.30°
C.135° D.45°√解析 ∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，∴〈a，b〉＝135°.23451答案解析3.已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为
A.1 B.0
C.2 D.3√解析 由题意得(a－mb)·a＝0，a2＝ma·b，故选D.23451解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴3＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，√答案解析5.已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；解答23451解 ∵(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，
即16－4a·b－3＝9，解答23451(2)求向量a在a＋b上的正射影的数量.设a与a＋b的夹角为α，
则向量a在a＋b上的正射影的数量为1.数量积对结合律不一定成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等.
2.在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos θ有可能为0.
3.在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中，a·b＝b·c，b≠0?a＝c.本课结束课件33张PPT。2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式第二章 §2.3 平面向量的数量积学习目标
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.
2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 平面向量数量积的坐标表示思考1 e1·e1，e2·e2，e1·e2分别是多少？答案答案 e1·e1＝1×1×cos 0＝1，e2·e2＝1×1×cos 0＝1，e1·e2＝0.设e1，e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.思考2 取e1，e2为坐标平面内的一组基底，设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，试将a，b用e1，e2表示，并计算a·b.答案答案 ∵a＝a1e1＋a2e2，b＝b1e1＋b2e2，
∴a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1＋a2b2.设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ .即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.梳理a1b1＋a2b2知识点二 向量模的坐标表示及两点间距离公式思考 若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示.答案答案 ∵a＝(a1，a2)，
∴|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)梳理知识点三 两个向量夹角余弦的坐标表达式思考 设a，b都是非零向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？答案设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a与b的夹角为θ，则梳理(2)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＝0.题型探究类型一 平面向量数量积的坐标运算例1 已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
解 设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解 ∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).解答此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立. 答案解析跟踪训练1 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于
A.－1 B.0
C.1 D.2
解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，
则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.例2 在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(－5，15).类型二 向量的模、夹角问题解答(2)求∠OAB.解答＝－(16，12)·(－21，3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，∴∠OAB＝45°.利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.
(2)利用|a|＝ 求两向量的模.
(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值.跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解答解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，又∵a，b的夹角α为钝角，∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1). 例3 (1)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为类型三 向量垂直的坐标形式答案解析解析 由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，(2)在△ABC中， ＝(2，3)， ＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，
求k的值.解答利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)，若 ，则实数t＝____.∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.－1答案解析当堂训练1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为√答案23451解析又∵a，b的夹角范围为[0，π]，答案23451解析A.30° B.45°
C.60° D.120°√∴∠ABC＝30°.23451答案解析3.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
解析 因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)
＝－2λ－6＝0，
解得λ＝－3.√答案解析234514.已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝_________.∴a，b方向相同，5.已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b的夹角的余弦值；解答23451解 ∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，解答23451(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
解 ∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”，稍不注意就会带来失误与错误.本课结束课件29张PPT。2.4.1 向量在几何中的应用第二章 §2.4 向量的应用学习目标
1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.
2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.
3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量在平面几何中的应用思考1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量共线的相关知识：
a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0).设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量垂直的相关知识：
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.答案思考3 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答案 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.答案(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)? ? .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b? ? .
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式：cos θ＝ ＝ .
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝ .梳理x1y2－x2y1＝0a＝λba·b＝0x1x2＋y1y2＝0知识点二 直线的方向向量和法向量思考 若向量a＝(a1，a2)平行于直线l，则a1，a2与直线l的斜率k有何关系？答案答案 设A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，直线l的倾斜角为α，斜率为k.
∵向量a平行于l，
∴由直线斜率和正切函数的定义，如果知道直线的斜率k＝ ，则向量(a1，a2)一定与该直线 .这时向量(a1，a2)称为这条直线的 向量.
如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的 向量.
即直线y＝kx＋b的方向向量为 ，法向量为 ；直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为 ，法向量为 .梳理平行方向法(1，k)(k，－1)(B，－A)(A，B)题型探究类型一 用平面向量解决平面几何问题例1 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；证明证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).(2)AP＝AB.证明∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2.即AP＝AB.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化.跟踪训练1 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.证明证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0
y轴建立平面直角坐标系.例2 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.
(1)求直线DE，EF，FD的方程；类型二 向量在解析几何中的应用解 由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程.
同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.解答(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.解答解 设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.解答跟踪训练2 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分线所在的直线方程.∠A的平分线的一个方向向量为设P(x，y)是角平分线上的任意一点，整理得7x＋y－29＝0.当堂训练23411.已知在△ABC中，若 ＝a， ＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定答案√52.过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程为
A.2x＋y－7＝0 B.2x＋y＋7＝0
C.x－2y＋4＝0 D.x－2y－4＝0答案解析√即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.23415答案解析A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形√即平行四边形ABCD的对角线垂直，
∴平行四边形ABCD为菱形.23415答案解析2223415234155.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ，则m＋n的值为_____.2答案解析又∵M，O，N三点共线，23415利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.本课结束课件30张PPT。2.4.2 向量在物理中的应用第二章 §2.4 向量的应用学习目标
1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题及其它一些实际问题的过程.
2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.
3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量的线性运算在物理中的应用思考1 向量与力有什么相同点和不同点？ 答案答案 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的.思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？答案答案 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上.
(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.梳理知识点二 向量的数量积在物理中的应用思考 向量的数量积与功有什么联系？答案答案 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.梳理知识点三 向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.题型探究类型一 向量的线性运算在物理中的应用例1 (1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解答在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，
则∠OAC＝90°，答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.解答(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，
设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.所以α＝30°，利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.跟踪训练1 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 km/h，求小船的实际航行速度.解答解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，∴∠AOC＝60°，∴小船的实际航行速度为20 km/h，按北偏东30°的方向航行.例2 已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；类型二 向量的数量积在物理中的应用解答＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.解答＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102.
∴合力F对质点所做的功为－102.物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.解答跟踪训练2 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.当堂训练23411.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为____ N.10解析 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，
则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.答案解析2.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝_____ J.答案2341解析解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos 60°＝300(J).300答案2341解析3.一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为____ min.3解析 ∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，∴该船到达B处所需的时间为3 min.解答4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.解 如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.
易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，2341用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.本课结束课件34张PPT。章末复习课第二章 平面向量学习目标
1.构建本章知识网络，进一步理解向量的有关概念.
2.梳理本章知识要点，进一步强化对有关法则、定理的理解和记忆.
3.强化应用向量解决问题的意识，提高解决问题的能力.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).三角形平行四边形(x1＋x2，y1＋y2)三角形(x1－x2，y1－y2)相同相反(λx1，λy1)x1x2＋y1y22.两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么该平面内的
向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝ .
②基底：把 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.
(2)平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b，反之，如果a∥b且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.不平行的任一a1e1＋a2e2不共线所有3.向量的平行与垂直
a，b为非零向量，
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b＝λa(a≠0)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0题型探究类型一 向量的线性运算答案解析平行向量基本定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.解答跟踪训练1 在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得 ，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由.类型二 向量的数量积运算解答例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ |a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，解答(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.∴θ＝60°.在[1，＋∞)上单调递增，数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题解答(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；解 若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，解答(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.解 若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，类型三 向量坐标法在平面几何中的应用解答例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)，因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性. 答案解析解析 由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，当堂训练答案解析√23451＝－2＋0＝－2.答案解析23451A.20 B.15
C.9 D.6√23451解析 ?ABCD的图象如图所示，由题设知，答案23451解析√答案23451解析解析 由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，解答得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1.由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，即－4k＋t3－3t＝0，23451 若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.
2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.本课结束