课件37张PPT。1.1.1 角的概念的推广第一章 §1.1 任意角的概念与弧度制学习目标
1.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 角的相关概念我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？答案答案 一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点.
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角. (1)角的概念：角可以看成是 绕着它的 从一个位置
到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：梳理(3)角的运算：各角和的旋转量等于 .一条射线端点旋转逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有旋转各角旋转量的和思考1知识点二 终边相同的角假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？答案答案 它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角.思考2如何表示与60°终边相同的角？答案 60°＋k·360°(k∈Z).梳理终边相同角的表示
设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，集合S的每一个元素都与α终边相同，当k＝0时，对应元素为α.思考 知识点三 象限角把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.
象限角：角的 在第几象限，就把这个角叫做第几象限角.
轴线角：终边落在 的角.终边坐标轴上题型探究解析 锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；
由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误.解答类型一 任意角概念的理解例1 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为 .答案解析①(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 .
解析 分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.解答答案解析－120°解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.解 顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.
(1)顺时针拧螺丝2圈；解答(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解 拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.命题角度1 求与已知角终边相同的角
例2 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，
得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，
故所求的最大负角为β＝－50°.类型二 终边相同的角解答(2)最小的正角；
解 由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，
得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，
故所求的最小正角为β＝310°.
(3)[360°，720°)的角.
解 由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，
得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，
故所求的角为β＝670°.解答求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.解答跟踪训练2 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.
解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，
∴3 ≤k＜6 (k∈Z)，故取k＝4，5，6.
当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.解 终边在y＝ (x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝ (x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边落在直线y＝ 上的角的集合是
S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝ 上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例3 写出终边在直线y＝ 上的角的集合.解答求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.解答跟踪训练3 写出终边在直线y＝ 上的角的集合.解 终边在y＝ (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝ (x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边在直线y＝ 上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝ 上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.类型三 象限角的判定解答例4 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；解 因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，
与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)650°；解 因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，
与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.解答(3)－950°15′.
解 因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，
所以在0°～360°范围内，
与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.解答引申探究
确定 (n∈N＋)的终边所在的象限.解 一般地，要确定 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时， 的终边所落在的区域，如此，
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.判断象限角的步骤
(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果.
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.跟踪训练4 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
(1)60°；
解 60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β
＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)
×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
(2)－21°.
解 －21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°
＝699°.解答当堂训练1.下列说法正确的是
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于90°的角都是锐角√答案234512.与－457°角终边相同的角的集合是
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}√23451答案解析解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.234513.2 017°是第 象限角.
解析 因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角.答案解析三234514.与－1 692°终边相同的最大负角是 .
解析 ∵－1 692°＝－4×360°－252°，
∴与－1 692°终边相同的最大负角为－252°.答案解析－252°5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解 终边落在x轴上的角的集合
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}.
∴终边落在坐标轴上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}
＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.解答234511.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：(1)α为任意角.
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α).
(3)相等的角终边一定相同.终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.
(4)k∈Z这一条件不能少.本课结束课件33张PPT。1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算第一章 §1.1 任意角的概念与弧度制学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 角度制与弧度制在初中几何研究过角的度量，当时是使用角度制来度量角的，那么1°的角是如何规定的？答案答案 把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1°的角.思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的？答案 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.答案答案 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？(1)角度制
①定义：用 作单位来度量角的制度.
②1度的角：把圆周 等分，则其中1份所对的圆心角是1度.
(2)弧度制
①定义：以 为单位来度量角的制度.
②1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角.
③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角
为α rad，则α＝ .梳理度360弧度半径长思考 知识点二 角度制与弧度制的换算角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？答案梳理(1)角度与弧度的互化2ππ0.017 45360°180°57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系45°90°135°270°0思考 知识点三 扇形的弧长及面积公式扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案答案 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则：题型探究解答类型一 角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；
(2)－15°；解答将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以 °即可.跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度；解答例2 已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；类型二 用弧度制表示终边相同的角解答解答(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.又－5π≤γ＜0，用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.解答跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；(2)在[0°，720°]内找出与 角终边相同的角.解答当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. 类型三 扇形的弧长及面积公式的应用答案解析 答案解析(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为解析 连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝ ，二是l＝αr，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算.解答跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.即扇形的圆心角为2 rad.解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，当堂训练1.下列说法中，错误的是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的 ，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关√答案23451解析解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2.时针经过一小时，转过了答案23451√解析 时针经过一小时，转过－30°，解析3.若θ＝－5，则角θ的终边在
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限答案√23451解析解析 2π－5与－5的终边相同，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是
A.1 B.4
C.1或4 D.2或4答案√23451解析 设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，解析5.已知⊙O的一条弧 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是 .答案解析解析 设⊙O的半径为r，其内接正三角形为△ABC.如图所示，
D为AB边中点，AO＝r，∠OAD＝30°，又∵α是负角，234511.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.
易知：度数× ＝弧度数，弧度数× ＝度数.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.本课结束课件42张PPT。1.2.1 三角函数的定义第一章 §1.2 任意角的三角函数学习目标
1.理解任意角的三角函数的定义.
2.掌握三角函数在各个象限的符号.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 任意角的三角函数角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.如图，设P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，设OP＝r(r≠0).
(1)定义
叫做角α的 ，记作 ，即cos α＝ ；
叫做角α的 ，记作 ，即sin α＝ ；
叫做角α的 ，记作 ，即tan α＝ .梳理余弦正弦正切cos αsin αtan α依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ± (k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数.(2)有时我们还用到下面三个函数
角α的正割：sec α＝ ＝ ；
角α的余割：csc α＝ ＝ ；
角α的余切：cot α＝ ＝ .
这就是说，sec α，csc α，cot α分别是α的余弦、正弦和正切的倒数.
由上述定义可知，当α的终边在y轴上，即α＝kπ± (k∈Z)时，tan α，sec α没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ(k∈Z)时，cot α，csc α没有意义.思考知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？答案答案 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时 无意义，故tan α无意义.梳理三角函数的定义域思考 知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案答案 三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号.
(1)sin α＝ (r>0)，因此sin α的符号与y的符号相同，当α的终边在第一、二象限时，sin α>0；当α的终边在第三、四象限时，sin α<0.
(2)cos α＝ (r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时，cos α<0.
(3)tan α＝ ，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0，tan α<0.梳理三角函数值在各象限内的符号，如图所示.记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.题型探究类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例1 已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝ ，求sin θ，tan θ.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1，3)，当x＝－1时，P(－1，3)，解答(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝ ，cos α＝ .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.解答①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α的终边所在直线求三角函数值
例2 已知角α的终边落在直线 x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α，sec α，csc α，cot α的值.解答(1)当k＞0时，r＝2k，α是第四象限角，(2)当k＜0时，r＝－2k，α是第二象限角，在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，
则对应角的三角函数值分别为跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝ 上，求sin α，cos α，tan α的值.若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，解答例3 (1)确定下列各三角函数值的符号.
①sin 182°；
解 ∵182°是第三象限角，
∴sin 182°是负的，符号是“－”.
②cos(－43°)；
解 ∵－43°是第四象限角，
∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”.类型二 三角函数值符号的判断解答解答 解析(2)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵α为第二象限角，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.答案角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.解答跟踪训练3 (1)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；
解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.②sin 3·cos 4·tan 5.∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角.
解析 由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角.二答案解析类型三 三角函数的定义域解答例4 求下列函数的定义域.解 要使函数有意义，需tan x≠0，解答求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：(1)分母不为零.
(2)偶次根号下大于等于零.(3)在真数位置时大于零.(4)在底数位置时大于零且不等于1.解答解 要使f(x)有意义，当堂训练1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于答案23451解析√解析 由题意可知，x＝－4，y＝3，r＝5，2.已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则 的终边在
A.第二、四象限
B.第一、三象限
C.第一、三象限或x轴上
D.第二、四象限或x轴上答案23451解析√23451∴θ为第四象限角或θ的终边在x轴非负半轴上.
当θ为第四象限角时，作图可知， 的终边在第二、四象限；
当θ的终边在x轴非负半轴上时，θ＝2kπ，k∈Z， ＝kπ，
的终边在x轴上，故选D.答案解析√234513.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝ ，则tan α等于答案23451解析A.1 B.0
C.2 D.－2√解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.5.已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值.解答23451解 当k>0时，令x＝24k，y＝7k，当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.本课结束课件37张PPT。1.2.2 单位圆与三角函数线第一章 §1.2 任意角的三角函数学习目标
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一 单位圆什么叫单位圆？答案答案 把半径为1的圆叫做单位圆.思考2点的射影是如何定义的？答案 过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N，
则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).梳理(1)单位圆
把 的圆叫做单位圆.
(2)单位圆中角α的坐标
角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 和 .半径为1横坐标纵坐标思考1知识点二 三角函数线三角函数线的长度等于三角函数的值吗？答案答案 不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.思考2三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？答案 当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x轴(或y轴)正向反向时，所表示的三角函数值为负值.梳理三角函数线题型探究类型一 三角函数线解答解 如图所示，(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝ 的角α的终边，并求角α的取值集合.解答则OP1，OP2是角α的终边，类型二 利用三角函数线比较大小解答利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角函数线的长度.(3)确定有向线段的正负.跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.
解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的
正弦线M1P1，M2P2.
∵M1P1>M2P2，且符号皆正，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°).解答类型三 利用三角函数线解不等式(组)解答命题角度1 利用三角函数线解不等式(组)
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.解 作直线y＝ 交单位圆于A，B两点，
连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，
即为角α的终边的范围.解答解 作直线x＝－ 交单位圆于C，D两点，
连接OC与OD，
则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，
即为角α的终边的范围.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期.
(2)注意区间是开区间还是闭区间.解答跟踪训练3 已知 ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域
例4 求下列函数的定义域.图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，解答则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，解答(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.解答解 要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0，交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，
分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，因为sin x≥ ，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，当堂训练1.下列四个命题中：
①当α一定时 ，单位圆中的正弦线一定；
②在单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.
则错误命题的个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 由三角函数线的定义知①③④正确，②不正确.答案23451解析√答案234512.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是
A.正弦线为PM，正切线为A′T′
B.正弦线为MP，正切线为A′T′
C.正弦线为MP，正切线为AT
D.正弦线为PM，正切线为AT√答案解析23451A.a
C.b∴b并写出角α的集合：解答23451解答23451解答234511.三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.2.三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.
3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了.本课结束课件42张PPT。1.2.3 同角三角函数的基本关系式第一章 §1.2 任意角的三角函数学习目标
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.
2.理解同角三角函数的基本关系式.
3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点 同角三角函数的基本关系式计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它.答案答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则由三角函数的定义，
得sin α＝y，cos α＝x.
由勾股定理得sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.思考2由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？答案梳理(1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系： .
②商数关系： .sin2α＋cos2α＝1(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝ ；cos2α＝ .
②tan α＝ 的变形公式
sin α＝ ；cos α＝ .1－cos2α1－sin2αcos αtan α题型探究 类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角
函数值答案解析同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1 已知tan α＝ ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解答又sin2α＋cos2α＝1， ②又α是第三象限角，命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余
三角函数值∴α是第二或第三象限角.解答利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.解答∴α是第二或第三象限角.综上可知，13sin α＋5tan α＝0.类型二 利用同角三角函数关系化简解答∵α是第三象限角，∴cos α＜0.解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.解答解答解 ∵α是第二象限角，∴cos α＜0，类型三 利用同角三角函数关系证明证明∴原等式成立.证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.
(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).
(3)比较法：即证左边－右边＝0或 ＝1(右边≠0).
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.证明证明 方法一 (比较法——作差)方法二 (比较法——作商)方法三 (综合法)
∵(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2x＝cos2x＝cos x·cos x，类型四 齐次式求值问题例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值.解答解答(1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值.
(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式.解答得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.解答(2)sin2α－2sin αcos α＋1.当堂训练答案23451解析√答案√23451解析答案解析√2345123451答案解析4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ .解答234511.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.本课结束课件41张PPT。1.2.4 诱导公式(一)第一章 §1.2 任意角的三角函数学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢？答案答案 角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等.梳理诱导公式(一)cos(α＋k·2π)＝ (k∈Z)，
sin(α＋k·2π)＝ (k∈Z)，
tan(α＋k·2π)＝ (k∈Z).cos αsin αtan α思考1 知识点二 角α与－α的三角函数间的关系设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答案答案 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称.
角－α与单位圆的交点为P2(x，－y).思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答案答案 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ ；
sin(－α)＝－y＝－sin α；
cos(－α)＝x＝cos α，tan(－α)＝ ＝－tan α.梳理诱导公式(二)cos(－α)＝ ，
sin(－α)＝ ，
tan(－α)＝ .cos α－sin α－tan α思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？答案答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O对称.
P2(－x，－y).知识点三 角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答案答案 sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，特别提醒：公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！梳理诱导公式(三)cos[α＋(2k＋1)π]＝ ，
sin[α＋(2k＋1)π]＝ ，
tan[α＋(2k＋1)π]＝ .－cos α－sin αtan α题型探究解答类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值.
(1)cos 210°；解 cos 210°＝cos(180°＋30°)解答(4)cos(－1 920°).解 cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
(1)“负化正”：用公式一或二来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°之间的角.
(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.
(1)sin 1 320°； 解答解 方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)解答解答(3)tan(－945°).
解 tan(－945°)＝－tan 945°
＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°
＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°
＝－1. 命题角度2 给值求角问题答案解析对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.解答①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，例3 化简下列各式.类型二 利用诱导公式化简解答解答引申探究解 当n＝2k时，当n＝2k＋1时，解答综上，原式＝－tan α.三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .解答跟踪训练3 化简下列各式.解答当堂训练1.sin 585°的值为答案23451解析√解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)答案23451解析√答案23451解析√23451234514.sin 750°＝ .答案23451解析解析 ∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，k∈Z，
∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)解答234511.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆
这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.本课结束课件40张PPT。1.2.4 诱导公式(二)第一章 §1.2 任意角的三角函数学习目标
1.掌握诱导公式(四)的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式(一)至(四)，能作综合归纳，体会出四组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 角α与α＋ 的三角函数间的关系思考 α＋ 的终边与α的终边有怎样的对称关系？其三角函数值呢？答案答案 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，
则点P的坐标为(cos α，sin α).
点P关于直线y＝x的对称点为M，点M也在单位圆上，
且M点坐标为(sin α，cos α).
点M关于y轴的对称点为N，点N也在单位圆上，
且N点坐标为(－sin α，cos α).
另一方面，点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于点P沿单位圆旋转到点N，且旋转角的大小为∠PON＝2(∠AOM＋∠MOB)＝2×梳理诱导公式(四)
cos(α＋ )＝ ，
sin(α＋ )＝ ，
tan(α＋ )＝ ，
cot(α＋ )＝ .
－sin αcos α－cot α－tan α以－α替代公式(四)中的α，可得到诱导公式(四)的补充：
cos(－α＋ )＝sin α，
sin(－α＋ )＝cos α，
tan(－α＋ )＝cot α，
cot(－α＋ )＝tan α.知识点二 角α与－α＋ 的三角函数间的关系梳理 ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”. 题型探究解答类型一 利用诱导公式求值解答解答类型二 利用诱导公式证明三角恒等式证明＝－tan α＝右边.∴原等式成立.利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.证明所以左边＝右边，故原等式成立.类型三 诱导公式在三角形中的应用解答解 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.即cos C＝cos B.又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，∴△ABC为等腰三角形. 跟踪训练3 在△ABC中，给出下列四个式子：
①sin(A＋B)＋sin C；
②cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C.
其中为常数的是
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④答案解析解析 ①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C＝cos(2π－2C)＋cos 2C
＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
故选B.类型四 诱导公式的综合应用解答(1)化简f(α)；解答又A为△ABC的内角，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.解答当堂训练答案23451解析√答案23451解析√23451答案解析√解答23451∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.2345123451解答23451解答23451∴α为第一或第二象限角.解答∴α为第一或第二象限角.(3)tan(5π－α).解 tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，234511.诱导公式的分类及其记忆方式
(1)诱导公式分为两大类：
①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.
②α＋ ，－α＋ 的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
(2)以上两类公式可以归纳为：k· ＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0， )内的三角函数值”这种方式求解.
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到 之间的角的三角函数的基本步骤：本课结束课件30张PPT。1.3.1 正弦函数的图象与性质(一)第一章 §1.3 三角函数的图象与性质学习目标
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 几何法作正弦曲线如何由y＝sin x，x∈[0，2π]的图象得到y＝sin x，x∈R的图象？答案阅读课本了解在直角坐标系中，用正弦线比较精确地画出y＝sin x，x∈[0，2π]内的图象的具体操作过程.答案 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，x∈[0，2π)
的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.(1)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线.
(2)几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的操作流程.
①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0， ，…，2π等角的正弦线.
③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份.
④找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应点的纵坐标.梳理⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得到y＝sin x，x∈[0，2π]的图象.思考1 知识点二 五点法作正弦曲线同学们观察， 在y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有几个？答案思考2 如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？答案再用光滑曲线将它们连接起来，就可得y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，这种方法叫做“五点法”.梳理“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的步骤
(1)列表(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是
______________________________________.
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.题型探究解答类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.解 取值列表：描点连线，如图所示.作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.解答跟踪训练1 用“五点法”画出函数y＝ ＋sin x，x∈[0，2π]的简图.解 取值列表如下：描点、连线，如图所示.类型二 利用正弦函数图象求定义域解答作出y＝sin x的图象，如图所示.结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π).一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.解 为使函数有意义，由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，解答当堂训练234511.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是答案解析√2.下列图象中，y＝－sin x在[0，2π]上的图象是答案23451√解析解析 由y＝sin x在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图象，应为D项.答案234512答案23451解析解析 由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，23451解答2345123451描点画图：1.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤3.用“五点法”画的正弦函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.本课结束课件40张PPT。1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)第一章 §1.3 三角函数的图象与性质学习目标
1.掌握y＝sin x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 正弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线.
正弦曲线：可得如下性质：
由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R，值域是 .
对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：
当且仅当x＝ 时，取得最大值1；
当且仅当x＝ 时，取得最小值－1.[－1，1]知识点二 正弦函数的单调性思考1 正弦函数在 上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案答案 观察图象可知：推广到整个定义域可得思考2 正弦函数的单调区间是什么？答案梳理正弦函数y＝sin x的图象与性质题型探究解答类型一 求正弦函数的单调区间因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.答案解析命题角度1 利用正弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(1)sin 196°与cos 156°；类型二 正弦函数单调性的应用解答解 sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°，
且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.解答(2)cos 875°与sin 980°.
解 cos 875°＝cos(720°＋155°)＝cos 155°
＝cos(90°＋65°)＝－sin 65°，
sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°
＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
∵sin 65°＜sin 80°，
∴－sin 65°＞－sin 80°，
∴cos 875°＞sin 980°.用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.解答跟踪训练2 比较下列各组数的大小.解答命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围
例3 已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间 上是增函数，求ω的取值范围.解答此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围. 答案解析类型三 正弦函数的值域或最值解答例4 求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么.
(1)y＝sin 2x；函数y＝sin 2x取得最大值，最大值为1；函数y＝sin 2x取得最小值，最小值为－1.解答(2)y＝sin x＋2；
解 由于函数y＝sin x与函数y＝sin x＋2同时取得最大值或同时取得最小值.
因此，当x＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数y＝sin x＋2取得最大值，最大值为3；
当x＝2kπ－ (k∈Z)时，函数y＝sin x＋2取得最小值，最小值为1.解答(3)y＝(sin x－1)2＋2.
解 设t＝sin x，则有y＝(t－1)2＋2，且t∈[－1，1]，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.
在闭区间[－1，1]上，当t＝－1时，|t－1|最大，
函数y＝(t－1)2＋2，取得最大值(－1－1)2＋2＝6.函数y＝(sin x－1)2＋2取得最大值6.
在闭区间[－1，1]上，当t＝1时，|t－1|最小，
函数y＝(t－1)2＋2取得最小值，最小值为2.函数y＝(sin x－1)2＋2取得最小值2.一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、
反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y＝asin x的函数的最值还要注意对a的讨论.解答跟踪训练4 求函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈R的值域.解 设t＝sin x，t∈[－1，1]，f(t)＝t2－t＋1.∵－1≤t≤1，∴当t＝－1，即sin x＝－1时，ymax＝f(t)max＝3；当堂训练答案23451√解析2.下列不等式中成立的是答案23451√解析即sin 2>cos 1.故选D.答案23451解析√4.求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.解答23451即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}.解答234515.求函数y＝2sin( －2x)，x∈(0，π)的单调递增区间.1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围. 本课结束课件40张PPT。1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)第一章 §1.3 三角函数的图象与性质学习目标
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期.
3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 函数的周期性如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案答案 不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以说3是f(x)的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得定义域内的 值，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数， 叫做这个函数的周期.
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.梳理非零常数T每一个xf(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数思考1 知识点二 正弦函数的周期性证明函数y＝sin x是周期函数.
答案 ∵sin(x＋2π)＝sin x，
∴y＝sin x都是周期函数，
且2π就是它们的一个周期.答案思考2 证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)是周期函数.答案答案 由诱导公式一知，对任意x∈R，
都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，梳理由sin(x＋2kπ)＝ (k∈Z)知，y＝sin x是 函数，_______________
是它的周期，且它的最小正周期是 .sin x周期2kπ (k∈Z且k≠0)2π思考1 知识点三 正弦函数的奇偶性观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？答案正弦曲线：答案 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称.思考2 上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？答案答案 正弦函数是R上的奇函数.根据诱导公式，得sin(－x)＝－sin x，对一切x∈R恒成立.梳理对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是
函数，正弦曲线关于 对称.奇原点题型探究解答类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π，
即变量z只要且至少要增加到z＋2π，
函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得.所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，解答(2)y＝|sin x|(x∈R).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T＝ 来求解，对于y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来求解.解答跟踪训练1 求下列函数的周期.(2)y＝|sin 2x|.解答类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.∴f(x)是偶函数.解答(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；∴f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.解答解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数.判断函数奇偶性应把握好两个关键点：
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.解答跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.解 f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.解答∴f(x)的定义域不关于原点对称.
∴f(x)是非奇非偶函数.解答类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ 时，f(x)＝sin x，求f 的值.解 ∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函数，解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.解答解答类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f(x)＝cos x，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理，可得每连续六项的和均为0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)
＝f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝ .0答案解析∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)当堂训练23451答案√2.下列函数中，周期为π的偶函数是答案23451√解析23451A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数答案√解析∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案23451解析4.函数y＝sin(ωx＋ )的最小正周期为2，则ω的值为 .±π∴|ω|＝π，
∴ω＝±π.23451答案解析1.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.本课结束课件57张PPT。1.3.1 正弦函数的图象与性质(四)第一章 §1.3 三角函数的图象与性质学习目标
1.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.
3.了解y＝Asin(ωx＋φ)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义Aωx＋φφ知识点二 φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响思考1 观察下面图(1)、图(2)中函数y＝sin(x＋ )，y＝sin(x－ )的图象，比较它们与函数y＝sin x图象的形状和位置，你有什么发现？答案思考2 答案思考3 答案梳理(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x图象上所有的点向 (当φ＞0时)或向 (当φ＜0时)平行移动 个单位长度而得到的.
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标 (当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的 倍(纵坐标 )而得到的.左右|φ|缩短不变(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标 (当A＞1时)或 (当0＜A＜1时)到原来的 倍(横坐标不变)而得到的，函数y＝Asin x的值域为 ，最大值为 ，最小值为 .伸长缩短A[－A，A]A－A知识点三 由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤|φ|知识点四 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象思考 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？答案梳理用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的步骤
第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.知识点五 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质[－A，A]R奇偶题型探究解答类型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换所以f(x)＝3cos x.(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可. 答案解析类型二 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象解答描点，连线，如图所示.(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0， ，π， ，2π，解出x，从而确定这五点.
(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象.解答列表如下：(2)描点，连线，如图所示.类型三 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解答例3 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.解 方法一 (逐一定参法)
由图象知，振幅A＝3，方法二 (待定系数法)根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，方法三 (图象变换法)若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝ ，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点
作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0.
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π.
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝
“第五点”为ωx＋φ＝2π. 跟踪训练3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则答案解析所以ω＝2.类型四 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用解答例4 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< )的图象过点P( ，0)，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为( ，5).
(1)求函数解析式；∴y＝5sin(2x＋φ).解答(2)指出函数的增区间；解答(3)求使y≤0的x的取值范围.有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.跟踪训练4 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝
(1)求φ的值；解答(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.解答当堂训练答案23451√解析答案23451√解析23451依据此变换过程可得到A中图象是正确的.答案23451解析√23451答案解析解答234515.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0， )的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；解答23451(2)写出f(x)的递增区间.解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为[16k－6，16k＋2]，k∈Z.1.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：注意 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移
个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.
2.利用“五点”作图法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0， ，π， ，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值.3.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值.
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝ ，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－ ，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.4.在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝
＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.本课结束课件37张PPT。1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)第一章 §1.3 三角函数的图象与性质学习目标
1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.
3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 余弦函数的图象如何快速作出余弦函数的图象？答案答案 (1)依据诱导公式cos x＝sin ，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向左平移 个单位长度即可.
余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出(0，1)， ，(π，－1)， ，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象.余弦函数y＝cos x的图象叫做余弦曲线.梳理思考1 知识点二 余弦函数的性质观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答案答案 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos x取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？答案答案 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答案答案 在整个定义域R上，余弦函数不是单调函数.为研究余弦函数y＝cos x的变化情况，我们先选取一个周期区间[－π，π]来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之.函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：观察图象可知，
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.梳理正弦函数、余弦函数的图象、性质对比RR[－1，1][－1，1]奇函数偶函数2π2π[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)x＝2kπ (k∈Z)x＝π＋2kπ (k∈Z)答案 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式，得sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x对一切x∈R恒成立.思考1知识点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答案答案 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称.思考2上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：
(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋ (k∈Z).
(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是 (k∈Z)；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z).题型探究解答类型一 求余弦函数的单调区间确定函数y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.解答解 根据复合函数“同增异减”的规律，类型二 余弦函数的值域或最值解答求三角函数最值的两种基本类型：
(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合有界性求最值.
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.求实数a的值.∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.解答类型三 余弦函数的对称性(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；解答(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值.解答解 设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，∵y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于x＝x0对称?f(x0)＝A或－A.
(2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图象关于点(x0，0)中心对称?f(x0)＝0.解答当堂训练1.函数f(x)＝cos 4x，x∈R是
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数
D.最小正周期为 的奇函数答案23451√答案解析√23451答案解析√234513.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为显然只有D合适.答案23451解析A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移 个单位，得g(x)的图象
D.向右平移 个单位，得g(x)的图象√答案解析23451结合图象可得1.余弦函数y＝cos x(x∈R)是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y＝Asin(ωx＋φ)一样，函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期也是
2.与正弦函数类似，函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y＝cos x的图象通过变换得到，变换规律相同.
3.在研究y＝Acos(ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.例如它在ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值.本课结束课件43张PPT。1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)第一章 §1.3 三角函数的图象与性质学习目标
1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 正切函数的图象结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？ 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间
的图象，阅读课本，了解具体操作过程.答案 我们作出了正切函数一个周期 上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x(x∈R且x≠ ＋kπ(k∈Z))的图象.答案思考2 一条平行于x轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？答案 一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期.答案(1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如下图所示.梳理(2)正切函数的图象特征
正切曲线是由通过点( ＋kπ，0)(k∈Z)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.思考1 知识点二 正切函数的性质正切函数的定义域是什么？答案思考2 诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠ ＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？答案 周期性.思考3 诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠ ＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？答案答案 奇偶性.思考4 从正切线上看，在 上正切函数值是增大的吗？答案 是.思考5结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？答案梳理Rπ奇题型探究解答类型一 正切函数的定义域例1 求下列函数的定义域.解答求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.解答又y＝tan x的周期为π，类型二 正切函数的单调性及其应用解答命题角度1 求正切函数的单调区间解答答案解析命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小
例3 (1)比较大小：
①tan 32°___tan 215°；<解析 tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，
∴tan 32°即tan 2答案解析类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题例4 (1)判断下列函数的奇偶性.解答∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数.②y＝xtan 2x＋x4.解答令f(x)＝xtan 2x＋x4，
则f(－x)＝(－x)tan 2(－x)＋(－x)4
＝xtan 2x＋x4＝f(x)，
∴该函数是偶函数.(2)求y＝3tan(2x＋ )的图象的对称中心.解答(1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系.
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx＋φ看作一个整体，由ωx＋φ＝ (k∈Z)解出的x的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零.解答跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性.解 要使函数有意义，需满足tan x≠0且tan x有意义，∴函数f(x)为奇函数.解答(2)f(x)＝lg|tan x|.都有f(－x)＝lg|tan(－x)|＝lg|－tan x|＝lg|tan x|＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.类型四 正切函数的图象及应用例5 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.解答其图象如图所示.
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，(1)作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.(1)求函数f(x)的周期，对称中心；解答(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.解答当堂训练答案23451√解析答案√23451答案√23451答案23451解析√答案解析234515.比较大小：tan 1____tan 4.＞解析 由正切函数的图象易知，tan 1＞0，所以tan 1＞tan(4－π)＝tan 4.1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋ ，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.
2.正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是 ，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T＝
(3)正切函数在 (k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.本课结束课件35张PPT。1.3.3 已知三角函数值求角第一章 基本初等函数(Ⅱ)学习目标
1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.
2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 已知正弦值，求角阅读教材58页下半页，谈谈对arcsin a表示的意义.答案答案 (1)当|a|≤1时，arcsin a表示一个角；(3)这个角的正弦值等于a，即sin(arcsin a)＝a.
因此，a的范围必是|a|≤1.梳理x＝arcsin y思考 知识点二 已知余弦值，求角阅读教材59页下半页，说出arccos a的含义.答案答案 (1)当|a|≤1时，arccos a表示一个角；
(2)这个角在区间[0，π]内取值，即arccos a∈[0，π]；
(3)这个角的余弦值等于a，即cos(arccos a)＝a.
因此，a的范围也必须是|a|≤1.梳理一般的对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1，1]，那么在 上有唯一的x值和它对应，记作x＝ (－1≤y≤1，0≤x≤π).[0，π]arccos y思考 知识点三 已知正切值，求角对arctan a的含义你是如何理解的？答案答案 (1)arctan a表示一个角；(3)这个角的正切值是a，根据正切函数的值域是R，可知a∈R，即tan(arctan a)＝a.梳理arctan y题型探究解答类型一 已知正弦值，求角由正弦函数周期性可知方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsin a，或(2k＋1)π－arcsin a，k∈Z}，也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}.解答解答(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；解答(3)当x∈R时，求x的取值集合.类型二 已知余弦值，求角解答(1)当x∈[0，π]时，求x；(2)当x∈[0，2π]时，求x；∴x为第二象限角或第三象限角.解答(3)当x∈R时，求x的取值集合.方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}. 答案解析∴类型三 已知正切值，求角解答符合条件tan α＝－2的角只有一个，故α＝arctan(－2).解答(2)已知tan α＝－2，且α∈[0，2π]，求α；解 ∵tan α＝－2<0，∴α是第二或第四象限角.知符合tan α＝－2的角有两个，∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2).(3)已知tan α＝－2，α∈R，求α.解 α∈R，则α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z).方程tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}.解答跟踪训练3 已知tan x＝－1，求x，并写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.解 因为tan x＝－1，所以满足条件的x的解集为当堂训练23451答案√23451答案√答案2345123451答案解析23451答案解析1.理解符号arcsin x、arccos x、arctan x的含义
每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x为例来说明.
(1)arcsin x表示一个角；(3)这个角的正弦值是x，所以|x|≤1.2.已知三角函数值求角的大致步骤
(1)由三角函数值的符号确定角的象限；
(2)求出[0，2π)上的角；
(3)根据终边相同的角写出所有的角.本课结束课件54张PPT。章末复习课第一章 基本初等函数(Ⅱ)学习目标
1.理解任意角的三角函数的概念.
2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.
3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.
4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.
5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的 ，记作 ，即 ；
(2)x叫做α的 ，记作 ，即 ；
(3) 叫做α的 ，记作 ，即 .正弦sin αsin α＝y余弦cos αcos α＝x正切tan α2.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： .
(2)商数关系： .
3.诱导公式
四组诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.sin2α＋cos2α＝14.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质[－1，1][－1，1]R奇函数偶函数奇函数2π2ππ题型探究类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－ ，则y＝ .－8答案解析所以θ为第四象限角，解得y＝－8.(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝ ，cos α＝ .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.解答解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t.类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用解答解 由根与系数的关系，得解答(2)m的值；解答(3)方程的两根及此时θ的值.∵θ∈(0，2π)，(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及 ＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2
＝1±2sin αcos α.
(2)诱导公式可概括为k· ±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.解答(1)化简f(α)；解答(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α解答类型三 三角函数的图象与性质解答例3 将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝ sin x的图象.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；解答(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.解 ∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值.研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.解答(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；解答解答类型四 三角函数的最值和值域命题角度1 可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.解答∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型解 y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.解答在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.解答跟踪训练5 已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值.且t∈[－1，1].综上所述，a＝2，b＝－2.解答命题角度3 分式型函数利用有界性求值域∵|cos x|≤1，∴－3≤2cos x－1≤1且2cos x－1≠0，∵|cos x|≤1，在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特征——有界性，利用三角函数的有界性可以求解三角函数的值域问题.解答类型五 数形结合思想在三角函数中的应用解答数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.答案解析π解析 记f(x)的最小正周期为T.可作出示意图如图所示(一种情况)，当堂训练答案解析√23451答案解析√234513.函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为
A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，2] D.[0，1]答案√23451解析∴0≤f(x)≤2.故选C.答案23451解析√5.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解答23451解 令t＝sin x，则t∈[－1，1]，当t＝－1时，f(t)min＝a－2，即f(x)min＝a－2.故实数a的取值范围为[3，4].23451三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.本课结束