1 生活中的变量关系
学习目标 1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象.3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．2·1·c·n·j·y
知识点一 依赖关系
思考 某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
梳理 在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．21·世纪*教育网
知识点二 函数关系
思考 某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
梳理 当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x、y之间具有函数关系，并且y是x的函数．www-2-1-cnjy-com
知识点三 依赖关系与函数关系
思考 在知识点二的思考中，h是t的函数吗？t是h的函数吗？h，t有依赖关系吗？
梳理 函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量．21*cnjy*com
类型一 依赖关系与函数关系的辨析
例1 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①圆的面积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
反思与感悟 判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．21cnjy.com
跟踪训练1 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；2-1-c-n-j-y
(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
类型二 变量关系的表示
例2 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y(米/秒)
331
334
337
340
343
(1)根据表内数据作图，由图可看出变量__________随________的变化．
(2)用x表示y的关系式为________．
(3)气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米．21教育网
反思与感悟 借助图表可以直观地显现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律．
跟踪训练2 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)www.21-cn-jy.com
提出概念所
用时间(x)
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接
受能力(y)
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？【来源：21·世纪·教育·网】
1．下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
2．下列各量间不存在依赖关系的是( )
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)( )
4．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________．
5．自变量x与因变量y之间的关系如下表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
4
6
8
…
(1)写出x与y的关系式：________.
(2)当x＝2.5时，y＝________.
1．依赖关系和非依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
2．函数关系
如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．
3．借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 该人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．21·cn·jy·com
知识点二
思考 每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
知识点三
思考 h是t的函数；t不是h的函数；h，t有依赖关系．
题型探究
例1 解 ①中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；
②中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；
④中，正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系．
综上，①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．
跟踪训练1 解 (1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．
综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
例2 (1)音速 气温 (2)y＝x＋331 (3)1 721
解析 (1)此图反映的是变量音速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)，
故所求函数关系式为y＝x＋331.
(3)由(2)可知气温为22℃时音速y＝×22＋331，
故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×(×22＋331)＝66＋1 655＝1 721(米)．
跟踪训练2 解 (1)画出图如下：
反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低．21世纪教育网版权所有
当堂训练
1．D 2.D 3.A
4．①③④ 5.(1)y＝2x (2)5
2．1 函数概念
学习目标 1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数、区间符号．
知识点一 函数的概念
思考 初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？
梳理 函数的概念：
给定两个__________A和B，如果按照某个__________f，对于集合______中任何一个数x，在集合______中都存在____________的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或__________，x∈A.其中，x叫作__________，集合A叫作函数的__________，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的________．习惯上我们称y是x的函数．2·1·c·n·j·y
用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像．2-1-c-n-j-y
知识点二 函数三要素
思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？
梳理 一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域．其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，这个函数也就确定，值域也随之确定．
两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围．在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义．
(2)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值．
知识点三 区间
1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a
开区间
(a，b)
{x|a≤x左闭右开区间
[a，b)
{x|a左开右闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，
＋∞)
取遍数轴上所有的值
2.注意：(1)“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．21世纪教育网版权所有
(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
类型一 函数关系的判断
例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
反思与感悟 判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．21cnjy.com
跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
例2 下列图形中不是函数图像的是( )
反思与感悟 判断一个图像是函数图像的方法：作任何一条垂直于x轴的线，不与已知图像有两个或以上的交点的，就是函数图像．21*cnjy*com
跟踪训练2 若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是( )【来源：21cnj*y.co*m】
反思与感悟 函数图像上点的横坐标、纵坐标分别对应函数自变量、因变量的取值，故判断图形是否为函数图像，主要看横坐标、纵坐标之间的对应关系是否满足函数定义．
类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例3 求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2－；
(3)y＝；
(4)y＝－＋.
反思与感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练3 函数f(x)＝的定义域为________．
类型三 同一函数的判断
例4 下列函数中哪个与函数y＝x是同一函数？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
反思与感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同．值域相同，只是前两个要素相同的必然结果．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练4 下列各组中的两个函数是否为同一函数？
(1)y1＝，y2＝x－5；
(2)y1＝，y2＝.
类型四 对于f(x)，f(a)的理解
例5 (1)已知函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝________.
(2)已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
①求f(2)，g(2)的值；②求f(g(2))的值；③求f(a＋1)，g(a－1)．
反思与感悟 f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可．21·cn·jy·com
跟踪训练5 已知f(x)＝(x≠－1)．
(1)求f(0)及f(f())的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x))．
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．区间(0,1)等于( )
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{x|03．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是( )
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
4．设f(x)＝，则等于( )
A．1 B．－1 C. D．－
5．下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x与g(x)＝；③f(x)＝x0与g(x)＝；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.21教育网
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可．21·世纪*教育网
2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．www-2-1-cnjy-com
3．在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量．关于对应关系f，它是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f( )中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值．【出处：21教育名师】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应关系来定义的函数概念．【版权所有：21教育】
梳理 非空数集 对应关系 A B 唯一确定 y＝f(x) 自变量 定义域 值域
知识点二
思考 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．21教育名师原创作品
题型探究
例1 解 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．21*cnjy*com
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
跟踪训练1 C [A中，x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；B中，x＝1时，绝对值x－1＝0，集合B中没有0；C正确；D不正确．]
例2 A [A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图像，其余B、C、D均符合函数定义．]
跟踪训练2 B [A中，定义域为[－2,0]，不符合题意；
B中，定义域为[－2,2]，值域为[0,2]，符合题意；
C中，存在一个x值对应2个y值的情形，不是函数；
D中，定义域为[－2,2]，但值域不是[0,2]，不符合题意．]
例3 解 (1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为[0，]．
(3)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为
{x|x>－2且x≠－1}．
(4)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为{x|－≤x＜2，且x≠0}．
跟踪训练3 {x|x≥0且x≠1}
解析 要使有意义，需满足
解得x≥0且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
例4 解 (1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定义域不同，所以不是同一函数；
(2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，对应关系相同，定义域相同，所以与y＝x是同一函数；
(3)y＝＝|x|＝y≥0；且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不相同；
(4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以与y＝x不是同一函数．
跟踪训练4 解 (1)中两函数定义域不同，所以不是同一函数．
(2)中y1＝的定义域为{x|x≥1}，而y2＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以两函数不相同．www.21-cn-jy.com
例5 (1)14
解析 f(a)＝＝4，
∴a＋2＝16，a＝14.
(2)解 ①因为f(x)＝，
所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，
所以g(2)＝22＋2＝6.
②f(g(2))＝f(6)＝＝.
③f(a＋1)＝＝.
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
跟踪训练5 解 (1)f(0)＝＝1.
∵f()＝＝，
∴f(f())＝f()＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝f()＝＝x(x≠－1)．
当堂训练
1．B 2.C 3.C
4．B [∵f(2)＝＝，
f()＝＝－，
∴＝－1.]
5．C [①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．]
2.2 函数的表示法(一)
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息．21教育网
知识点一 解析法
思考 一次函数如何表示？
梳理 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
知识点二 图像法
思考 要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？
梳理 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法．
知识点三 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？21·cn·jy·com
梳理 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．
函数三种表示法的优缺点：
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
(2)f(x＋)＝x2＋；
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．2·1·c·n·j·y
(3)如果条件是一个关于f(x)、f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．
跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
(3)2f()＋f(x)＝x(x≠0)．
类型二 图像的画法及应用
例2 试画出函数y＝的图像．
反思与感悟 描点法作函数图像的三个关注点
(1)画出函数图像时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 作出下列函数的图像并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
例3 已知f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
反思与感悟 函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．
跟踪训练3 函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
类型三 列表法及函数表示法的选择
例4 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号成绩
姓名
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．www.21-cn-jy.com
跟踪训练4 若函数f(x)如下表所示：
x
0
1
2
3
f(x)
3
2
1
0
则f(f(1))＝________.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1 B．2 C．3 D．4
2．如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )21cnjy.com
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑步，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图像，并求出y的最大值，最小值．
1．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．【来源：21·世纪·教育·网】
2．如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．21·世纪*教育网
3．如何用函数图像
常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝kx＋b(k≠0)．
知识点二
思考 一张二寸照片．
知识点三
思考 对于任意一个人的序号x，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．www-2-1-cnjy-com
题型探究
例1 解 (1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋1－
或f(x)＝－x＋1＋.
(2)∵f(x＋)＝x2＋
＝(x＋)2－2，
∴f(x)＝x2－2.
又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2，
∴f(x)中的x与f(x＋)中的x＋取值范围相同，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，
得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
跟踪训练1 解 (1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
(3)∵f(x)＋2f()＝x，
将原式中的x与互换，
得f()＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
例2 解 由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]．
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，
y有最大值1.
x＝±时，y＝.
利用以上五点描点连线，
即得函数y＝的图像如下：
跟踪训练2 解 (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图像是直线的一部分，
观察图像可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
例3 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
跟踪训练3 解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图像如图，
f(x)与直线y＝m图像有2个不同交点，
由图易知－1例4 解 (1)不能用解析法表示，用图像法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图像如下：
(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
跟踪训练4 1
解析 ∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.
当堂训练
1．A 2.D 3.A 4.C
5．解 y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，
ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3
＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，
y有最小值－5.
2．2 函数的表示法(二) 2．3 映射
学习目标 1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念．21·世纪*教育网
知识点一 分段函数
思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对是不是函数？
梳理 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是________．
(3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像．
知识点二 映射
思考 设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？
梳理 映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有________的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
函数一定是映射，映射不一定是函数．
类型一 建立分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像．
反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
类型二 研究分段函数的性质
例2 已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值．
引申探究
例2中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．
反思与感悟 分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图像．
例3 已知函数f(x)＝
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
反思与感悟 已知函数值求x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通过解方程求出x的解．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练3 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图像；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
类型三 映射的概念
例4 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；21cnjy.com
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；www.21-cn-jy.com
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．2·1·c·n·j·y
反思与感悟 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练4 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是( )www-2-1-cnjy-com
A．f：x→y＝x2
B．f：x→y＝3x－2
C．f：x→y＝－x＋4
D．f：x→y＝4－x2
1．如图中所示的对应：
其中构成映射的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．f(x)的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是( )21教育网
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
3．设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A．1 B．0 C．2 D．－1
4．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是( )
A．－2或2
B．2或－
C．－2
D．2或－2或－
5．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．π
1．对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．2-1-c-n-j-y
2．函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个非空的集合；而函数y＝f(x)，x∈A，A为非空的数集，其值域也是数集．于是，函数是数集到数集的映射．21*cnjy*com
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 是函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应．
梳理 (1)对应关系 (2)并集 空集
知识点二
思考 因为A不是非空数集，故该对应不是函数．但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”．【出处：21教育名师】
梳理 唯一
题型探究
例1 解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，
垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，
底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，
y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，
y＝×2×2＋2(x－2)＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF
＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图像如图所示：
跟踪训练1 解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为
y＝
函数图像如图所示：
例2 解 ∵－5∈(－∞，－2]，
∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－∈(－2,2)，
∴f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2，
∵－∈(－∞，－2]，
∴f(－)＝－＋1＝－∈(－2,2)，
∴f(f(－))＝f(－)
＝(－)2＋2(－)＝－.
引申探究
解 当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；当－2当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
跟踪训练2 解 (1)因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图像如下：
例3 解 (1)当x0≤2时，由2x0＝8，
得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或
x0＝－(舍去)，故x0＝.
(2)f(x)>8等价于①
或②
解①，x∈?，解②得x>，综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>}．
跟踪训练3 解 (1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．
(2)由于f(±)＝，结合此函数图像可知，使f(x)≥的x的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．21·cn·jy·com
(3)由图像知，当－1≤x≤1时，
f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1]．
例4 解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．21教育名师原创作品
跟踪训练4 D [对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射．]21*cnjy*com
当堂训练
1．A 2.D 3.C 4.C 5.B
3 函数的单调性（一）
学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．21*cnjy*com
知识点一 函数的单调性
思考 画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图像，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图像的升降情况如何？
梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．
很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：
一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是__________，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是__________．
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y＝f(x)在该子集上具有单调性；如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数．
知识点二 函数的单调区间
思考 我们已经知道f(x)＝x2在(－∞，0]上是减少的，f(x)＝在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？www.21-cn-jy.com
梳理 一般地，有下列常识：
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？21世纪教育网版权所有
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．
跟踪训练1 写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．
类型二 证明单调性
例2 证明f(x)＝在其定义域上是增函数．
反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1跟踪训练2 求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．【来源：21cnj*y.co*m】
反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．21cnjy.com
跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0
类型三 单调性的应用
例4 若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A．[，)
B．(0，)
C．[，＋∞)
D．(－∞，]∪[，＋∞)
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练4 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．2-1-c-n-j-y
例5 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)
反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．【出处：21教育名师】
跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)
1．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是( )
A．[－2,0] B．[0,1]
C．[－2,1] D．[－1,1]
2．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )www-2-1-cnjy-com
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
4．已知函数y＝f(x)满足：f(－2)>f(－1)，f(－1)A．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上递减，在区间[－1,0]上递增
B．函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上递增，在区间[－1,0]上递减
C．函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)
D．以上的三个结论都不正确
5．若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是( )
A．x<1 B．x>－1
C．－11
1．若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都递减，未必有f(x)在A∪B上递减．
2．对增函数的判断，对任意x1(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)递增，f(x)－h(x)递增，②－f(x)递减，③递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 两函数的图像如下：
函数f(x)＝x的图像由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．21*cnjy*com
梳理 增加的 递增的 减少的 递减的
知识点二
思考 f(x)＝x2的减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f(x)＝的定义域．
题型探究
例1 解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．
跟踪训练1 解 先画出f(x)＝的图像，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
例2 证明 f(x)＝的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵0≤x1∴x1－x2<0，＋>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
跟踪训练2 证明 设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1∵1≤x1∴>0，故(x1－x2)()<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
例3 证明 方法一 设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.
令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.
∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在R上是增函数．
方法二 设x1>x2，则x1－x2>0，
从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，
故f(x)在R上是增函数．
跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，21教育名师原创作品
∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，
∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
令m＝x＜0，n＝－x＞0，
则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，
又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，
∴f(x)＝＞1.
∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，
∴0∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上是减少的．
例4 A [要使f(x)在R上是减函数，需满足：
解得≤a＜.]
跟踪训练4 a≤1或a≥2
解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
例5 解 f(1－a)解得0即所求a的取值范围是0跟踪训练5 解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)∴1－a<2a－1，即a>，
∴所求a的取值范围是(，＋∞)．
当堂训练
1．C 2.C 3.B 4.D 5.C
3 函数的单调性（二）
学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．21cnjy.com
知识点一 函数的最大(小)值
思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？
梳理 对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．www.21-cn-jy.com
知识点二 函数的最大(小)值的几何意义
思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图像如图所示：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．
梳理 一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
类型一 借助单调性求最值
例1 已知函数f(x)＝(x>0)，求函数的最大值和最小值．
反思与感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．2·1·c·n·j·y
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．2-1-c-n-j-y
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．21*cnjy*com
跟踪训练1 已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
类型二 求二次函数的最值
例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值；
(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)
反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]．求水流喷出的高度h的最大值是多少？21教育网
类型三 函数最值的应用
例3 已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
引申探究
把例3中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈(，＋∞)”，再求a的取值范围．
反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)跟踪训练3 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
1．函数y＝－x＋1在区间[，2]上的最大值是( )
A．－ B．－1 C. D．3
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
3．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分别为( )
A．4,1 B．4,0
C．1,0 D．以上都不对
4．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值，最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈(0，]成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－ D．－
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．21·cn·jy·com
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．www-2-1-cnjy-com
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．
知识点二
思考 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点．【来源：21·世纪·教育·网】
题型探究
例1 解 设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
当x10，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上递增；
当1≤x10，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上递减．
∴f(x)max＝f(1)＝，无最小值．
跟踪训练1 解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由2≤x1得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以函数y＝在区间[2,6]上是减函数．
因此，函数y＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即在x＝2时取得最大值，最大值是2，
在x＝6时取得最小值，最小值是.
例2 解 (1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，且f(0)＝f(2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
(2)∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1<，即0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，
则有g(t)＝
φ(t)＝
(3)设＝t(t≥0)，
则x－2－3＝t2－2t－3.
由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(4)作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图像(如图)．显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，
对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，
我们有：当t＝－＝1.5时，
函数有最大值h＝≈29.
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.
跟踪训练2 解 (1)设x2＝t(t≥0)，
则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上递减，
在[1，＋∞)上递增．
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，
无最大值．
(2)∵函数图像的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
(3)由函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]的图像可知，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．21世纪教育网版权所有
对于函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]，
当x＝1时，函数有最大值hmax＝－12＋2×1＋＝.
于是水流喷出的最高高度是 m.
例3 解 方法一 令y＝x2－x＋a，
要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝>0，解得a>.
∴实数a的取值范围是(，＋∞)．
方法二 x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.
要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，
又(－x2＋x)max＝，∴a>.
∴实数a的取值范围是(， ＋∞)．
引申探究
解 f(x)＝－x2＋x在(，＋∞)上为减函数，
∴f(x)的值域为(－∞，)，
要使a>－x2＋x对任意x∈(，＋∞)恒成立，只需a≥，
∴a的取值范围是[，＋∞)．
跟踪训练3 解 ∵x>0，
∴ax2＋x≤1可化为a≤－.
要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，
只需a≤(－)min.
设t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
－＝t2－t＝(t－)2－.
当t＝1时，(t2－t)min＝0，
即x＝1时，(－)min＝0，
∴a≤0.
∴a的取值范围是(－∞，0]．
当堂训练
1．C 2.A 3.B 4.A 5.D
4 二次函数性质的再研究
学习目标 1.掌握配方法，理解a，b，c(或a，h，k)对二次函数图像的作用.2.理解由y＝x2到y＝a(x＋h)2＋k的图像变换方法.3.能根据条件灵活选择二次函数的三种形式求解析式.4.掌握二次函数的性质．2·1·c·n·j·y
知识点一 二次函数的配方法
思考 y＝4x2－4x－1如何配方？你能由此求出方程4x2－4x－1＝0的根吗？
梳理 对于一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，可类似地配方为y＝a(x＋)2＋，由此可得二次函数的值域、顶点等性质，y＝x2与y＝ax2＋bx＋c图像间的关系以及二次方程求根公式等．所以配方法是非常重要的数学方法．www-2-1-cnjy-com
知识点二 图像变换
思考 y＝x2和y＝2(x＋1)2＋3的图像之间有什么关系？
梳理 由y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的a倍，左移个单位，上移个单位，可得y＝a(x＋)2＋的图像，即y＝ax2＋bx＋c的图像．2-1-c-n-j-y
知识点三 二次函数的三种形式
思考 我们知道y＝x2－2x＝(x－1)2－1＝(x－2)x，那么点(1，－1)，数0,2是y＝x2－2x的什么？【来源：21cnj*y.co*m】
梳理 (1)二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)如果已知二次函数的顶点坐标为(－h，k)，则可将二次函数设为y＝a(x＋h)2＋k.
(3)如果已知方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2(即抛物线与x轴交点横坐标)，可设为y＝a(x－x1)(x－x2)．【出处：21教育名师】
知识点四 二次函数的性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋(a，b，c是常数，且a≠0)
图像
性质
开口
向上
向下
对称轴方程
x＝－
x＝－
顶点坐标
(－，)
(－，)
单调性
在区间(－∞，－]上是减函数，在区间[－，＋∞)上是增函数
在区间(－∞，－]上是增函数，在区间[－，＋∞)上是减函数
最值
当x＝－时，y有最小值，ymin＝
当x＝－时，y有最大值，ymax＝
类型一 二次函数解析式的求解
例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．21教育网
反思与感悟 求二次函数解析式的步骤
跟踪训练1 (1)y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x交于点A(1，m)，求a.
(2)f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求f(x)．
类型二 二次函数的图像及变换
例2 由函数y＝x2的图像如何得到f(x)＝－x2＋2x＋3的图像．
引申探究
利用f(x)＝－x2＋2x＋3的图像比较f(－1)，f(2)的大小．
反思与感悟 处理二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像问题，主要是考虑其图像特征如开口、顶点、与x轴、y轴交点、对称轴等与系数a，b，c之间的关系．
在图像变换中，记住“h正左移，h负右移，k正上移，k负下移”．
跟踪训练2 二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图像，则b＝______，c＝______.
类型三 二次函数的性质
例3 已知函数f(x)＝x2－3x－：
(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴方程和最值；
(2)若x∈[1,4]，求函数值域．
反思与感悟 解析式、图像、性质三者各有特点又联系紧密，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与g(x)＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图像可能是下图中的( )【来源：21·世纪·教育·网】
2．设二次函数y＝f(x)满足f(4＋x)＝f(4－x)，又f(x)在[4，＋∞)上是减函数，且f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )21·世纪*教育网
A．a≥4 B．0≤a≤8
C．a<0 D．a<0或a≥8
3．已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则( )
A．f(1)>c>f(－1) B．f(1)C．c>f(－1)>f(1) D．c4．已知二次函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，a]且f(x)的最小值为f(a)，则a的取值范围是________．21*cnjy*com
5．根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．
(1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
1．配方法是重要的数学方法，在处理二次函数图像变换，研究二次函数性质时使用频繁．
2．二次函数图像变换规律可以推广到一般函数，即：
(1)y＝f(x)y＝f(x＋a)；
(2)y＝f(x)y＝f(x)＋b；
(3)y＝f(x)y＝af(x)(a>0)；
(4)y＝f(x)y＝－f(x)；
(5)y＝f(x)y＝f(－x)．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝4(x2－x)－1＝4(x2－x＋－)－1＝4(x－)2－2.
令y＝0，即4x2－4x－1＝0，
4(x－)2－2＝0，
(x－)2＝，
x＝±＝.
知识点二
思考 y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2x2的图像；再把y＝2x2的图像向左平移1个单位，再上移3个单位，得y＝2(x＋1)2＋3的图像．21世纪教育网版权所有
知识点三
思考 点(1，－1)是y＝x2－2x的顶点，数0,2是方程x2－2x＝0的两根．
题型探究
例1 解 方法一 代入A(－3,0)，
有9a－3b＋c＝0，①
由对称轴为x＝－1，得－＝－1，②
顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③
联立①②③解得或
所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
方法二 因为二次函数图像的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)，21·cn·jy·com
故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.
因为图像过点A(－3,0)，
所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.
方法三 因为二次函数图像的对称轴为x＝－1，
又图像过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上，
所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．
由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，
分别代入上式，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.www.21-cn-jy.com
跟踪训练1 解 (1)把A(1，m)代入y＝－3x，得m＝－3，
把(1，－3)代入y＝ax2＋6x－8，得
a＋6－8＝－3，即a＝－1.
(2)方法一 由f(－4)＝f(0)，
知f(x)的对称轴为x＝＝－2，
又f(－2)＝－2，
∴顶点坐标为(－2，－2)，
∴f(x)＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.
方法二 由f(－4)＝f(0)，
可设f(x)＝x(x＋4)＋c.
代入x＝－2，得
－2×(－2＋4)＋c＝－2，∴c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2.
例2 解 f(x)＝－x2＋2x＋3
＝－(x2－2x)＋3
＝－(x2－2x＋1－1)＋3
＝－(x－1)2＋4，
∴由y＝x2的图像关于x轴对称，
可得y＝－x2的图像．
由y＝－x2的图像向右平移1个单位，
向上平移4个单位，
可得y＝－(x－1)2＋4，
即y＝－x2＋2x＋3的图像．
引申探究
解 f(x)图像如图．
由图知越接近对称轴，函数值越大．
由|－1－1|
＝2>|2－1|＝1，
即f(2)比f(－1)更接近对称轴，
∴f(2)>f(－1)．
跟踪训练2 －6 6
解析 f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
其图像顶点为(1,0)．
将二次函数f(x)＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后的图像的顶点为(3，－3)，得到的抛物线为y＝(x－3)2－3，21cnjy.com
即f(x)＝x2＋bx＋c，
∴(x－3)2－3＝x2＋bx＋c，
即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c，
∴b＝－6，c＝6.
例3 解 (1)对函数右端的表达式配方，得f(x)＝(x－3)2－，
所以函数图像的顶点坐标为(3，－)，
对称轴方程为x＝3，最小值为－.
(2)由于3∈[1,4]，所以函数在区间[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数，
所以当x＝3时，ymin＝－，
当x＝1时，ymax＝×4－＝－，
所以函数的值域为[－，－]．
跟踪训练3 解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去；
当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，
解得a＝；
当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上，a的值为－3或.
当堂训练
1．D 2.B 3.B 4.(2,3]
5．解 (1)y＝(x－2)(x－4)．
(2)y＝2(x－1)2＋2.
(3)y＝x2－2x＋2.
5 简单的幂函数（一）
学习目标 1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．
知识点一 幂函数的概念
思考 y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？
梳理 如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
知识点二 幂函数的图像与性质
思考 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图像．21世纪教育网版权所有
填写下表：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
值域
单调性
增
在[0，＋∞) 上______，
在(－∞，0] 上______
在(0，＋∞) 上______，
在(－∞，0)上______
梳理 根据上表，可以归纳一般幂函数特征：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点________；
(2)α>0时，幂函数的图像通过________，并且在区间[0，＋∞)上是________函数．特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸；
(3)________时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从________到________的顺序排列．21·cn·jy·com
类型一 幂函数的概念
例1 已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
反思与感悟 只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1 在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
类型二 幂函数的图像及应用
例2 若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点(2，)在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)
反思与感悟 幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．2·1·c·n·j·y
跟踪训练2 幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
类型三 幂函数性质
例3 探讨函数f(x)＝的单调性．
反思与感悟 研究函数单调性要先研究函数定义域．幂函数的定义域主要受两个因素影响：偶次根式被开方数不小于零；分式的分母不为零．21·世纪*教育网
跟踪训练3 已知幂函数f(x)＝(m∈N＋)．
试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．
例4 (1)比较，的大小．
(2)若(a＋1) <(3－2a) ，则a的取值范围是________．
反思与感悟 应用幂函数性质比大小解不等式，首先是根据研究目标的特征构造幂函数，其次是根据所构造的幂函数性质如定义域、单调性来解决问题．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4 (1)比较，，的大小．
(2)若幂函数f(x)＝ (m∈N＋)过(2，)，解不等式f(2－a)>f(a－1)．
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于( )
A. B．1 C. D．2
2．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)的值等于( )
A．16 B. C．2 D.
3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
4．下列是的图像的是( )
5．以下结论正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2-1-c-n-j-y
2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．21*cnjy*com
3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．【来源：21cnj*y.co*m】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 底数为x，指数为常数．
知识点二
思考 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
增加 减少 增 增 减少 减少
梳理 (1)(1,1) (2)原点 增
(3)α<0 (5)小 大
题型探究
例1 解 由题意得
解得
所以m＝－3或1，n＝.
跟踪训练1 B [因为y＝＝x－2，
所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数．]
例2 解 设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.21教育网
同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系内作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像(如图所示)，观察图像可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1跟踪训练2 A [由条件知，
M(，)、N(，)，
∴＝()α，＝()β，
∴()αβ＝[()β]α＝()α＝，
∴αβ＝1.故选A.]
例3 解 f(x)＝的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－＝－
＝＝.
因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，
且·(＋)>0，
于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)＝在区间(0，＋∞)内是减函数．
跟踪训练3 解 ∵m∈N＋，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，
∴f(x)的定义域为[0，＋∞)，
在[0，＋∞)上为增函数．
例4 (1) 解
∵在[0，＋∞)上是增函数，27>25，
∴即
(2)(，)
解析 由(1)知f(x)＝x在区间(0，＋∞)内是减函数．
所以(a＋1)<(3－2a)等价于
解得跟踪训练4 解
∵在R上为增函数，
且<9<16，
∴
即
(2) ∵＝＝，∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<.
当堂训练
1．C [由幂函数的定义知k＝1.
又f＝，所以α＝，
解得α＝，从而k＋α＝.]
2．D 3.A 4.B 5.D
5 简单的幂函数（二）
学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．21·cn·jy·com
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
梳理 一般地，图像关于y轴对称的函数叫作________函数，图像关于原点对称的函数叫作________函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
思考1 为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？
思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处？
梳理 函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫作偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图像上．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________________，那么函数f(x)就叫作奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图像上．
(3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
知识点三 奇偶性与单调性
思考 观察偶函数y＝x2与奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？
梳理 (1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是________函数，且有最小值________．【出处：21教育名师】
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是__________．
(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量．
类型一 判断函数的奇偶性
例1 判断并证明下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(x＋1)(x－1)；
(3)f(x)＝＋.
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 判断并证明下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x－2) ；
(2)f(x)＝x|x|；
(3)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．21教育网
类型二 奇偶性的应用
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．
(1)画出f(x)的图像；
(2)解不等式xf(x)>0.
引申探究
把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．2·1·c·n·j·y
跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图像；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
例3 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．21cnjy.com
反思与感悟 利用函数的奇偶性求函数解析式
已知函数f(x)在区间[a，b]上的解析式，求函数f(x)在区间[－b，－a]上的解析式的一般方法：21*cnjy*com
(1)设：设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b.
(2)求f(－x)：根据已知条件f(x)在区间[a，b]上的解析式可求得f(－x)的解析式．
(3)求f(x)：根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(－x)之间的相互转化．
跟踪训练3 已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．www-2-1-cnjy-com
例4 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间．同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间．【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练4 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．21教育名师原创作品
1．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
D．f(x)＝2x＋2－x
2．函数f(x)＝x(－1A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于( )
A．－1 B．1 C．－5 D．5
4．已知f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x－1，则x<0时f(x)等于( )
A．x＋1 B．x－1
C．－x－1 D．－x＋1
5．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数?它的图像关于原点对称；函数为偶函数?它的图像关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．【来源：21·世纪·教育·网】
4．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．2-1-c-n-j-y
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．21*cnjy*com
5．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
梳理 偶 奇
知识点二
思考1 因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．
思考2 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然．21·世纪*教育网
(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作．
梳理 (1)f(－x)＝f(x)
(2)f(－x)＝－f(x)
知识点三
思考 偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．www.21-cn-jy.com
梳理 (1)增 －M (2)增函数
题型探究
例1 证明 (1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝既非奇函数又非偶函数．【版权所有：21教育】
(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)函数的定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝＋为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
跟踪训练1 解 (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．
(3)∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，
y＝f[g(x)]是奇函数．
例2 解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像如图．
(2)xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号．结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
引申探究
解 (1)f(x)的图像如图所示：
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
跟踪训练2 解 (1)如图，在[0,5]上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
例3 解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
跟踪训练3 解 设x<0，则－x>0，
因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)
＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
所以f(x)＝
例4 证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.
∵－b≤x1＜x2≤－a，
∴a≤－x2＜－x1≤b.
∵f(x)在[a，b]上是减函数，
∴f(－x2)＞f(－x1)．
∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
跟踪训练4 (－1,3)
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，
即f(|x－1|)>f(2)，
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，
且f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1,3)．
当堂训练
1．D 2.C 3.D 4.A 5.C
第二章 函数
学习目标 1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．21教育网
1．对函数的进一步认识
(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．它的三要素是定义域、值域和对应关系．函数的值域是由定义域和对应关系所确定的．21cnjy.com
(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示．www.21-cn-jy.com
(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法．在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的．21·世纪*教育网
(4)分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数．
(5)函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像．
2．函数的单调性
函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则www-2-1-cnjy-com
(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2?f(x1)＝f(x2)．
(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．
(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．【出处：21教育名师】
函数单调性的判断方法：①定义法；②图像法．
3．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图像判断，考察函数的图像是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．21*cnjy*com
类型一 函数的三要素
例1 已知函数f(x)＝
(1)当a＝2时，求f(x)的定义域、值域；
(2)若存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)，求a的取值范围．
反思与感悟 分段函数也是函数，所以它的定义域、值域都分别是一个数集，求定义域、值域时要把各段相应的值合并．在(2)中寻找不同的x，使其对应相同的y时，也要把目光放在整个函数上．21·cn·jy·com
跟踪训练1 设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A．(，] B．(，)
C．(，6] D．(，6)
类型二 函数性质的综合应用
例2 已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值；
(3)解不等式f(x)－f(－x)>2.
反思与感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图像辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．21世纪教育网版权所有
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．
跟踪训练2 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
类型三 函数图像的画法及应用
例3 对于函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性；
(2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．
反思与感悟 画函数图像的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图像，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
跟踪训练3 已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.求x∈[－3,5]时，f(x)＝的所有解的和．2·1·c·n·j·y
1．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f作用下的像是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是( )
A．P＝Q B．P?Q
C．P?Q D．P∩Q＝?
3．函数f(x)＝则f()的值为( )
A. B．－ C. D．18
4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )2-1-c-n-j-y
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－)与f(a2＋2a＋)的大小关系是( )21*cnjy*com
A．f(－)>f(a2＋2a＋)
B．f(－)C．f(－)≥f(a2＋2a＋)
D．f(－)≤f(a2＋2a＋)
1．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．【版权所有：21教育】
2．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．
3．(1)函数图像的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图像上点的坐标进行排除．
(2)应用函数图像的关键是从图像中提取所需的信息，提取图像中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图像上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
答案精析
题型探究
例1 解 (1)f(x)的定义域为(－∞，a]∪(a，＋∞)＝R.
当a＝2时，y＝x3在(－∞，2]上是增加的，
∴x3∈(－∞，8]．
y＝x2在(2，＋∞)上是增加的，
∴x2∈(4，＋∞)．
∴f(x)的值域为(－∞，8]∪(4，＋∞)＝R.
(2)当a<0时，f(x)在(a，＋∞)上不单调，
∴存在x1≠x2使f(x1)＝f(x2)．
当a＝0时，f(x)在R上是增函数，
∴不存在x1≠x2，使f(x1)＝f(x2)．
当a>0时，f(x)在(－∞，a]，(a，＋∞)上都是增加的，
要使x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，
需a3>a2，即a>1.
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
跟踪训练1 D [函数f(x)＝的图像，如图，不妨设x1例2 (1)证明 由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，可得f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
在R上任取x1>x2，令x＋y＝x1，x＝x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0.
由定义可知f(x)在R上是减函数．
(2)解 ∵f(x)在R上是减函数；
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数；
∴f(－3)最大，f(3)最小．
又f(1)＝－，
∴f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
＝3×(－)＝－2.
∴f(－3)＝f(4－3)－f(4)
＝f(1)－f(3)－f(1)＝－f(3)＝2.
即f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
(3)解 由(2)知f(－3)＝2，
f(x)－f(－x)>2，即f(x)>f(－x)＋2＝f(－x)＋f(－3)＝f(－3－x)，
由(1)知f(x)在R上为减函数，
∴f(x)>f(－3－x)?x<－3－x，
解得解集为{x|x<－}．
跟踪训练2 解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，
则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，
解得－15∴x的取值范围是{x|－15例3 解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
图像关于y轴对称．
(2)f(x)＝x2－2|x|
＝
画出图像如图所示，
根据图像知，函数f(x)的最小值是－1，无最大值．
增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；
减区间是(－∞，－1]，[0,1]．
跟踪训练3 解 当x∈[－1,0]时，
－x∈[0,1]，∴f(－x)＝－x.
又∵f(x)为奇函数，
∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－f(－x)＝x.
即x∈[－1,1]时，f(x)＝x.
又由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图像关于直线x＝1对称．
由此可得f(x)在[－3,5]上的图像如下：
在同一坐标系内画出y＝的图像，
由图可知在[－3,5]上共有四个交点，
∴f(x)＝在[－3,5]上共有四个解，
从左到右记为x1，x2，x3，x4，
则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，
∴＝1，＝1.
∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.
当堂训练
1．A [依题意有
解得
∴当x＝5时，y＝5＋(－2)＝3.]
2．B [P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，
所以Q?P.]
3．C [∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，
∵<1，
∴f()＝f()＝1－()2＝.]
4．C [f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)
＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.]
5．C [因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f(a2＋2a＋)≤f()
＝f(－)．]
