1．1 频率与概率
学习目标 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.3.初步能够利用概率知识解释现实生活中的实际问题．
知识点一 随机事件
思考 抛掷一粒骰子，下列事件，在发生与否上有什么特点？
(1)向上一面的点数小于7；
(2)向上一面的点数为7；
(3)向上一面的点数为6.
梳理 事件的概念及分类
事件
确定事件
不可能事件
在某条件下，一定________发生的事件，叫作相对于此条件的不可能事件
必然事件
在某条件下，一定____发生的事件，叫作相对于此条件的必然事件
随机事件
在某条件下________________________的事件，叫作相对于此条件的随机事件
知识点二 频数与频率
思考 抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中，正面向上的频数与频率分别是多少？
梳理 (1)频率是一个变化的量，但在大量重复试验时，它又具有“稳定性”，在____________附近摆动．2·1·c·n·j·y
(2)随着试验次数的增加，摆动的幅度具有____________的趋势．
(3)有时候试验也可能出现频率偏离“常数”________的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”的可能性会________．21·世纪*教育网
知识点三 概率
思考 一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？21*cnjy*com
梳理 在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的________会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．P(A)的范围是____________．【来源：21cnj*y.co*m】
类型一 必然事件、不可能事件和随机事件的判定
例1 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)铁球浮在水中；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；
(5)同性电荷，相互排斥．
反思与感悟 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．2-1-c-n-j-y
跟踪训练1 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12.
类型二 列举试验结果
例2 某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
反思与感悟 在写出试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
跟踪训练2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
类型三 用频率估计概率
例3 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
43
80分～89分
182
70分～79分
260
60分～69分
90
50分～59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率．(结果保留到小数点后三位)21世纪教育网版权所有
(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．
反思与感悟 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．21教育网
跟踪训练3 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
2．下列说法正确的是( )
A．任一事件的概率总在(0,1)内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．以上均不对
3．给出关于满足A?B的非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x?A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的命题是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①④
4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为( )21cnjy.com
A．48 B．52
C．0.48 D．0.52
5．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8 000件产品中合格品的件数约为( )
A．160 B．1 600 C．784 D．7 840
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．www.21-cn-jy.com
3.写出试验结果时，要按顺序，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．【来源：21·世纪·教育·网】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)必然发生；(2)必然不发生；(3)可能发生也可能不发生．
梳理
不会 会 可能发生也可能不发生
知识点二
思考 频数为3，频率为.
梳理
(1)一个“常数” (2)越来越小 (3)较大 减小
知识点三
思考 随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.
梳理
频率 稳定性 0≤P(A)≤1
题型探究
例1 解 由实数运算性质知(1)恒成立是必然事件；(5)由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，(1)(5)是必然事件．铁球会沉入水中，(3)是不可能事件．由于(2)(4)中的事件有可能发生，也有可能不发生，所以(2)(4)是随机事件．21·cn·jy·com
跟踪训练1 解 由题意知：(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大是12，不可能大于12，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
例2 解 (1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．www-2-1-cnjy-com
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
跟踪训练2 解 (1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
例3 解 总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.
用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)将“90分以上”记为事件A，则P(A)＝≈0.067；
(2)将“60分～69分”记为事件B，
则P(B)＝≈0.140；
(3)将“60分以上”记为事件C，
则P(C)＝≈0.891.
跟踪训练3 解 (1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.
当堂训练
1．B 2.C 3.B 4.D 5.D
1.2 生活中的概率
学习目标 1.深刻理解概率的意义，会用概率知识解释现实生活中的实际问题.2.通过概率对实际问题的解释，体会数学与现实世界的联系．21教育网
知识点一 正确理解概率的含义
思考 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率为0.5，是否意味着连续抛2次，一定是一次正面朝上，一次是反面朝上？21·cn·jy·com
梳理 随机性与规律性
随机事件在一次试验中发生与否是________的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的________．21cnjy.com
知识点二 概率与公平性
思考 一副围棋子共181枚黑子，180枚白子．如果裁判闭目从中任取一枚，指定比赛双方的一方猜黑白，猜对先行，否则让对方先行．这种规则是否公平？www.21-cn-jy.com
梳理 游戏的公平性
一般地，规则公平的标准是参与各方机会均等，即胜出的概率相等．
知识点三 概率与决策
思考 一个班主任听说自己班里有一个学生迟到了，但不知是谁，他首先猜是那位经常迟到的．他的这种猜想原理是什么？可不可能猜错？【来源：21cnj*y.co*m】
梳理 概率和日常生活有着密切的联系．对于生活中的随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的判断和决策．【出处：21教育名师】
类型一 概率的正确理解
例1 下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩， 则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1 张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
反思与感悟 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．【版权所有：21教育】
(2)随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，并不是概率大就一定会发生，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
跟踪训练1 某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？
类型二 概率思想的实际应用
例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的？【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大．
跟踪训练2 如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？2·1·c·n·j·y
类型三 游戏规则的公平性
例3 有四张卡片，分别写有2,3,7,8.规定任意不放回地抽取两张，积是2的倍数则甲获胜，积是3的倍数则乙获胜，如果积是6的倍数则重来．这个游戏规则公平吗？
反思与感悟 在各类游戏中，如果各方获胜概率相等，那么规则就是公平的．
跟踪训练3 街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？21·世纪*教育网
1．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买1 000张彩票就一定能中奖
B．买1 000张彩票中一次奖
C．买1 000张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性是
2．某学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选的概率是，其中正确的是( )www-2-1-cnjy-com
A．10个教职工中，必有1人当选
B．每位教职工当选的可能性是
C．数学教研组共有50人，该组当选教职工代表的人数一定是5
D．以上说法都不正确
3．下列说法正确的是( )
A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是.
4．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．按照这个规则，当选概率最大的是( )21*cnjy*com
A．二班 B．三班
C．四班 D．三个班机会均等
5．同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板，落地时这100枚铜板全都正面向上，则这100枚铜板更可能是下面哪种情况( )21教育名师原创作品
A．这100枚铜板两面是一样的
B．这100枚铜板两面是不一样的
C．这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的
D．这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．2-1-c-n-j-y
2．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面朝上，也可能两次均反面朝上，也可能一次正面朝上，一次反面朝上．
梳理
随机 可能性
知识点二
思考 从361枚棋子中任取一枚，取到黑子的概率大，指定一方猜黑，猜对先行的概率大，所以这个规则不公平．21世纪教育网版权所有
知识点三
思考 该班主任是把以往迟到的频率当概率，选择迟到概率最大的那位同学．这样猜可能犯错，但猜对的可能性更大．21*cnjy*com
题型探究
例1 D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．]
跟踪训练1 解 从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为n，其中n为射击次数，而且当n越大时，击中的次数就越接近n.
例2 解 甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的．所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的．
跟踪训练2 解 这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”，“反面向上”的可能性都为，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现“正面向上”和“反面向上”的可能性还是，而不会大于.
例3 解 任意抽取2张，可能的结果有6,14,16,21,24,56，且各结果出现的机会均等．所以在一局中甲获胜的概率是＝，乙获胜的概率是，不公平．
跟踪训练3 解 两枚骰子点数之和如下表：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是＝，
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共＝.
所以这种游戏不公平，白方比较占便宜．
当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.B 5.A
2．1 古典概型的特征和概率计算公式
学习目标 1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件.2.理解古典概型的概念及特点.3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
知识点一 基本事件
思考 一枚硬币抛一次，可能出现的结果有哪些？
梳理 (1)基本事件
在完全相同的条件下，事件出现的结果往往是不同的，我们把________________，叫作进行一次试验．试验的________________称为基本事件．21·cn·jy·com
(2)基本事件的特点
①任何两个基本事件是________的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的____．
知识点二 古典概型
思考 一枚矿泉水瓶盖抛一次，出现正面向上与反面向上的概率相同吗？
梳理 (1)试验的所有可能结果____________，每次试验________________________；
(2)每一个试验结果出现的______________．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
知识点三 古典概型的概率公式
思考 在抛掷硬币试验中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？
梳理 如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为21世纪教育网版权所有
P(A)＝＝.
类型一 基本事件的罗列方法
例1 从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？ 21教育网
反思与感悟 罗列基本事件时首先要考虑元素间排列有无顺序，其次罗列时不能毫无规律，而要按照某种规律罗列，比如树状图．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出：【来源：21cnj*y.co*m】
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和等于7”．
类型二 古典概型的判定
例2 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？ www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．
跟踪训练2 从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
类型三 古典概型概率的计算
例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？www.21-cn-jy.com
反思与感悟 解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出．
跟踪训练3 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．【来源：21·世纪·教育·网】
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )21*cnjy*com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列不是古典概型的是( )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A. B. C. D.
4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( )
A. B. C. D.
5．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表， 甲被选中的概率是( )
A. B. C. D.
1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n.
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．21·世纪*教育网
答案精析
问题导学
知识点一
思考 有2个：正面向上，反面向上．
梳理
(1)条件每实现一次 每一个可能结果 (2)①互斥 ②和
知识点二
思考 因为瓶盖重心的原因，正面向上和反面向上的可能性是不一样的．由此可以看出基本事件不一定等可能．
梳理
(1)只有有限个 只出现其中的一个结果 (2)可能性相同
知识点三
思考 一枚硬币抛掷一次，基本事件共 2个：“正面朝上”和“反面朝上”．且2个基本事件等可能，故“正面朝上”与“反面朝上”的概率都是.21cnjy.com
题型探究
例1 解 所求的基本事件有6个， A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}; 【出处：21教育名师】
“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C.
跟踪训练1 解 (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．【版权所有：21教育】
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．2-1-c-n-j-y
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．21教育名师原创作品
例2 解 不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
跟踪训练2 解 不是，因为基本事件是无数个.
例3 解 由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包含一个基本事件，所以P(A)＝.21*cnjy*com
跟踪训练3 解 只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．有1听不合格的有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种；有2听不合格的有(5,6)，共1种，所以检测出不合格产品的概率为＝.
当堂训练
1．C 2.C 3.C 4.C 5.B
2．2 建立概率模型
学习目标 1.能建立概率模型解决简单的实际问题.2.能认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来建立我们需要的概率模型.3.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题．
知识点一 基本事件的相对性
思考 掷一粒均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？
梳理 一般地，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是____________，就是一个古典概型．21世纪教育网版权所有
知识点二 同一问题的不同概率模型
思考 在“知识点一”的思考中，规定不同的基本事件，“向上的点数为奇数”的概率分别是多少？相等吗？
梳理 从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的__________来解决，而所得到的________的所有可能结果越少，问题的解决就变得越________．
类型一 基本事件的相对性
例1 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．21*cnjy*com
反思与感悟 “有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．【版权所有：21教育】
跟踪训练1 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：
(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
类型二 概率模型的多角度构建
例2 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答．21cnjy.com
跟踪训练2 假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A、C、J、K、S，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：21·cn·jy·com
(1)女孩K得到一个职位；
(2)女孩K和S各自得到一个职位．
1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( )21教育网
A. B. C. D.
2．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
3．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )
A. B. C. D.
4．从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3人参加数学竞赛，其中甲不被选中的概率为( )
A. B. C. D.
5．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.21·世纪*教育网
1．对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单．因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用．【来源：21cnj*y.co*m】
2．基本事件总数的确定方法：
(1)列举法：此法适合于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；
(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求；
(3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；
(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题．
3．在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法．【出处：21教育名师】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件．2-1-c-n-j-y
梳理
有限的 等可能的
知识点二
思考 若按6个基本事件，“向上的点数为奇数”有3个基本事件，故概率为＝；若按2个基本事件，则概率为，两种方法结果相同．21教育名师原创作品
梳理
古典概型 古典概型 简单
题型探究
例1 解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝＝.
跟踪训练1 解 设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．
则事件A包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．
(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A)＝＝.
(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P(A)＝＝.
例2 解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．
解题过程如下：用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如图：【来源：21·世纪·教育·网】
由图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率为P(A)＝＝.www.21-cn-jy.com
方法二 把2个白球编上序号1、2，两个黑球也编上序号1、2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：21*cnjy*com
由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率为P(A)＝＝.
方法三 由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图所示：
由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，故第二个人摸到白球的概率为P(A)＝＝.
方法四 只考虑第二个人摸出的球的情况．第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，故第二个人摸到白球的概率为P(A)＝＝.
跟踪训练2 解 5个人仅有3人被录用结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．
(1)女孩K被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为.
(2)女孩K和S都被录用的结果有3种，所以K和S各自得到一个职位的概率为.
当堂训练
1．A [从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3个．∴P＝.]
2．D [如图给4块试验田分别标号A1、A2、B1、B2.基本事件为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件A)的基本事件有(A1，B2)，(A2，B1)，共2个．
∴P(A)＝＝，故选D.]
3．D [设3个元素为a，b，c，则所有子集共8个，?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含2个元素的子集共3个，故所求概率为.]
4．A [基本事件有甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个．甲不被选中的事件为乙丙丁，∴P＝.]
5．0.4 [10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为＝0.4.]
2.3 互斥事件
学习目标 1.通过实例了解互斥事件、事件A＋B及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率．
知识点一 互斥事件
思考 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生？
梳理 在一个随机试验中，我们把一次试验下________________的两个事件A与B称作互斥事件．21·cn·jy·com
知识点二 事件A＋B
思考 在知识点一的思考中，“抽到红色牌”包括哪些情形？
梳理 给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B________________.2·1·c·n·j·y
知识点三 互斥事件概率加法公式
思考 一粒均匀的骰子抽一次，记事件A＝“向上的点数大于2”；B＝“向上的点数大于3”；
则P(A＋B)是否等于P(A)＋P(B)?
梳理 互斥事件概率加法公式
(1)在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝________________；
(2)如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝________________________.
知识点四 对立事件
思考 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，记A＝“抽到红色牌”；B＝“抽到黑色牌”，则A，B的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同？
梳理 在同一次试验中，________________且________________的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作____；对立事件概率公式P()＝______.
类型一 事件的关系与判断
例1 判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．
反思与感悟 如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．21*cnjy*com
跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；
事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环．
类型二 概率的加法公式
例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：
(1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；
(2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．
反思与感悟 在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．
跟踪训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．【出处：21教育名师】
类型三 对立事件的概率
例3 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员：
(1)他至少参加2个小组的概率是多少？
(2)他参加不超过2个小组的概率是多少？
反思与感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．21cnjy.com
跟踪训练3 某战士射击一次，若事件A＝“中靶”的概率为0.95，事件B＝“中靶环数大于5”的概率为0.7.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)的概率为多少？
(2)事件C＝“中靶环数小于6”的概率为多少？
(3)事件D＝“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？
1．给出以下结论：
①互斥事件一定对立；
②对立事件一定互斥；
③互斥事件不一定对立；
④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )21教育网
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上答案都不对
3．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．以上答案都不对
4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球；都是红球
B．至少有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；至少有一个白球
D．恰有一个红球；恰有两个红球
5．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是________．www-2-1-cnjy-com
1．互斥事件与对立事件的判定
(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.【来源：21cnj*y.co*m】
2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果．21教育名师原创作品
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 不能．
梳理
不能同时发生
知识点二
思考 包括“抽到红桃”与“抽到方块”．
梳理
至少有一个发生
知识点三
思考 A＋B即：向上的点数大于2，
∴P(A＋B)＝＝，
而P(A)＝，P(B)＝，
P(A)＋P(B)＝≠P(A＋B)．
梳理
(1)P(A)＋P(B) (2)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
知识点四
思考 共同点：都不能同时发生；不同点：在一次试验中，A，B必有一个发生．
梳理
不能同时发生 必有一个发生 1－P(A)
题型探究
例1 解 (1)是互斥事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．21世纪教育网版权所有
(2)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．www.21-cn-jy.com
(3)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．2-1-c-n-j-y
(4)是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
跟踪训练1 解 A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)．21·世纪*教育网
例2 解 (1)事件D即事件A＋C，因为事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.21*cnjy*com
(2)事件E即事件B＋C，因为事件B＝“抽到的是二等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.
跟踪训练2 解 分别记小明的成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
小明考试及格的概率为P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
例3 解 (1)从图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则就表示“选取的成员至少参加2个小组”，
所以P()＝1－P(A)＝1－＝＝0.6.
因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.
(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，则就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝≈0.87.
所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等于0.87.
跟踪训练3 解 (1)因为A与互为对立事件，
所以P()＝1－P(A)＝0.05.
(2)事件B与事件C也互为对立事件，
所以P(C)＝1－P(B)＝0.3.
(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.【版权所有：21教育】
当堂训练
1．C 2.C 3.D 4.D 5.
3 模拟方法——概率的应用
学习目标 1.了解几何概型的定义及其特点.2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积．
知识点一 几何概型的概念
思考 往一个外圆内方的铜钱上投一粒小米，则小米可能的落点有多少个？怎样计算小米落入方孔中的概率？
梳理 向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1?G的概率与G1的面积成________，而与G的形状、位置无关．即【来源：21·世纪·教育·网】
P(点M落在G1)＝________________，则称这种模型为几何概型．
几何概型中的G也可以是________________的有限区域，相应的概率是______________．
知识点二 模拟方法
思考 如图，椭圆与圆只有2个公共点A、B，一个质点落在圆内任一点的可能性相同，则质点落在椭圆内的概率怎么计算？www-2-1-cnjy-com
梳理 模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验，以频率估计概率．
____________可以来估计某些随机事件发生的概率．
类型一 几何概型的概念
例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．
(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
(2) 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．2-1-c-n-j-y
反思与感悟 判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．
跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：
(1)某月某日，某个市区降雨的概率；
(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．
类型二 几何概型的概率计算
例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．21教育网
反思与感悟 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图形解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A的概率．21cnjy.com
跟踪训练2 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时(整点报时)，求他等待的时间不多于10分钟的概率．21·世纪*教育网
类型三 模拟方法的应用
例3 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件A发生的概率吗？
反思与感悟 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率．www.21-cn-jy.com
跟踪训练3 在右图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值. 2·1·c·n·j·y
1．下列关于几何概型的说法错误的是( )
A．几何概型也是古典概型中的一种
B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关
C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性
D．几何概型在一次试验中出现的结果有无限个
2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( )
A. B. C. D.
3．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )21*cnjy*com
A. B．1－ C. D．1－
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin的值介于－与之间的概率为( )
A. B. C. D.
5.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积约为( )
A. B. C. D．无法计算
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝.
3．随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．
用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验．【来源：21cnj*y.co*m】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 小米可能的落点有无限多，故不能，用古典概型计算小米落入方孔中的概率，但因为小米的落点个数与铜钱的面积成正比，故可用方孔与铜钱面积之比来计算小米落入方孔中的概率．【出处：21教育名师】
梳理
正比 空间中或直线上 体积之比或长度之比
知识点二
思考 这是一个几何概型，但椭圆的面积公式还没学，故不能用几何概型概率公式直接计算，但可以用模拟方法估计．21世纪教育网版权所有
梳理
模拟方法
题型探究
例1 解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36(种)，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；21教育名师原创作品
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．
跟踪训练1 解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；
(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．
例2 解 如图所示，设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.
所以P(A)＝＝＝.
故乘客候车时间不超过6分钟的概率为.
跟踪训练2 解 记“等待的时间不多于10分钟”为事件A，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A发生．21·cn·jy·com
由几何概型的概率公式求得P(A)＝＝，
即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为.
例3 解 (随机模拟的方法)做两个带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P(A)＝.
跟踪训练3 解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即≈.
设正方形的边长为2，则圆半径为1，则＝＝，由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的，所以π≈×4.所以就得到了π的近似值．
当堂训练
1．A [几何概型与古典概型是两种不同的概型．]
2．B [向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设“点落在△ABD内”为事件M，则P(M)＝＝.]【版权所有：21教育】
3．B [若以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，
故所求事件的概率为P(A)＝＝1－.]
4．D
5．B [∵≈，∴S阴影≈S正方形＝.]
第三章 概率
学习目标 1.进一步了解频率与概率的关系.2.加深对互斥事件、对立事件的理解，并会应用这些概念分割较为复杂的事件.3.理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率．
知识点一 频率与概率的关系
随机事件A在________条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率＝______，随着试验次数的增加，频率呈现________性，即频率总是________于某个常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．【出处：21教育名师】
知识点二 互斥事件、对立事件
1．若事件A，B互斥，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．
2．若事件A，B对立，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．
3．若事件A，B互斥，则________(填“一定”“不一定”)对立；若事件A，B对立，则________(填“一定”“不一定”) 互斥．21*cnjy*com
4．若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝____________，若事件A，B对立，则P(A)＝________.
知识点三 古典概型及其概率计算公式
1．解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型，其判断依据是：
(1)试验中所有可能出现的基本事件是否只有________个；(2)每个基本事件出现的可能性是否________．
2．利用古典概型求事件A的概率的步骤是：
(1)用________把古典概型试验的基本事件一一列出来；
(2)从中找出事件A包含的________________；
(3)P(A)＝________________________________.
类型一 随机事件的频率与概率
例1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如表所示：21教育网
抽取球数n
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数m
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
反思与感悟 随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．
跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．
每批粒数
2
5
10
70
130
310
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1 339
1 806
2 715
发芽的频率
(1)完成上面表格；
(2)该油菜子发芽的概率约是多少？
类型二 互斥事件的概率
例2 某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：21*cnjy*com
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不超过7环的概率．
反思与感悟 把较为复杂的事件分割为彼此互斥(或对立)的简单事件，再求概率，是处理概率问题的常用办法．
跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人．
y分
人数
x分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上y＝3同时成立的概率是多少？2·1·c·n·j·y
(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？
类型三 古典概型的概率
例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
反思与感悟 处理古典概型时注意：
(1)审清题意；(2)确认是不是古典概型；(3)选择简捷方式表达基本事件；(4)罗列时注意有无顺序要求．2-1-c-n-j-y
跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．
(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；
(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．
类型四 古典概型概率的综合应用
例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：21教育名师原创作品
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
反思与感悟 古典概型概率在实际问题的应用中，一般要经历获得数据，分析数据，应用数据，进行预报和决策等过程．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
x
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )21世纪教育网版权所有
A．0.5 B．0.3
C．0.6 D．0.9
2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；
[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；
[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；
[39.5,43.5)，3.
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )
A. B.
C. D.
3．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B.
C. D.
4．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为( )21·世纪*教育网
A. B.
C. D.
5．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球、1个白球的概率是( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
1．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝求出事件A的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
2．计算事件A的概率，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件数有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
答案精析
知识梳理
知识点一
相同 规律 接近
知识点二
1．≤
2．＝
3．不一定 一定
4．P(A)＋P(B) 1－P(B)
知识点三
1．(1)有限 (2)相等
2．(1)列举法 (2)基本事件及个数 (3)
题型探究
例1 解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
跟踪训练1 解 (1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.
(2)该油菜子发芽的概率约为0.900.
例2 解 记“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，“射中8环”为事件C，“射中7环”为事件D.
则事件A、B、C、D两两互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16.
(1)∵射中10环或9环为事件A∪B，
∴由概率加法公式得
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.
(2)∵至少射中7环的事件为A＋B＋C＋D，
∴P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
(3)记“射中环数不超过7环”为事件E，
则事件E的对立事件为A＋B＋C.
∵P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，
∴P(E)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.71＝0.29.
跟踪训练2 解 (1)P(x＝4)＝＝.
P(x＝4，y＝3)＝.
P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)
＝＋＋＝.
当x≥3时，有×50＝35(人)，
∴在x≥3的基础上，y＝3有8人．
∴在x≥3的基础上P(y＝3)＝.
(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)
＝1－－＝.
又∵P(x＝2)＝＝，
∴a＋b＝3.
例3 解 (1)甲校2名男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，2名女教师分别用E、F表示．21·cn·jy·com
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
选出的2名教师性别相同的结果为(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.
跟踪训练3 解 (1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b1，则第一次取1只，放回后第二次取1只，基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，共9个．
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，共4个；
②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，共4个．
(2)从中一次任取2只得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1,2只都是正品的基本事件数是1，所以其概率为P＝.
例4 解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率P＝0.5.www.21-cn-jy.com
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.【来源：21cnj*y.co*m】
从上述6人中任选2人的树状图为
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P′＝＝.
跟踪训练4 解 (1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，
即a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，
所以b＝＝0.15.
等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.
从而a＝0.35－b－c＝0.1，
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}，即基本事件的总数为10.【版权所有：21教育】
设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．故所求的概率P(A)＝＝0.4.
当堂训练
1．A [依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.]
2．B [由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为＝.]
3．A [从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种，故所求概率为P＝.]
4．D [因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.]
5．C [摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是3，故所求事件的概率是P＝＝.]
第三章 概率
1 辨析频率与概率
概率与频率虽只有一字之差，但意义大不相同，同时二者之间又有一定的联系．下面和同学们一起认识一下这对“孪生兄弟”．21世纪教育网版权所有
一、频率与概率的区别
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的比．频率是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不一定相同．而概率是一个确定的值，是客观存在的，与每次试验无关，与试验次数也无关．
例1 连续抛掷一枚硬币10次，落地后正面向上出现了6次，设“抛一次硬币，正面向上”为事件A，则下列说法正确的有________．www-2-1-cnjy-com
①P(A)＝；
②P(A)≈；
③再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数还是6；
④事件A发生的频率为；
⑤无论哪一次抛，硬币落地后正面向上的概率相同．
解析 ④⑤正确．在一次试验中，事件A发生的概率为，再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数不确定．
答案 ④⑤
点评 频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别．
二、频率与概率的联系
1．在大量重复进行同一试验时，频率总是在某个常数附近摆动．由于事件的随机性，有时候频率也可能出现偏离该“常数”较大的情形，但随着试验次数的增加，这种情形出现的可能性会减小．概率是频率的稳定值，可看作是频率在理论上的平均值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．
2．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切的得到，因此我们常常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率．
例2 一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、白两种颜色的小球，某学习小组做摸球试验，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸．试验的部分数据如下表：
摸球次数
30
60
90
120
150
180
210
270
300
摸到红球的次数
6
25
31
38
45
53
67
摸到红球的频率
0.300
0.247
(1)将表格补充完整；(所求频率保留3位小数)
(2)估计从中随机摸一个球，求摸到红球的概率P.(保留2位小数)
解 (1)第二行依次填：18,74.
第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248.
(2)由(1)知，虽然抽取次数不同，所得频率值不同，但随试验次数的增加，频率在常数0.250附近摆动，2-1-c-n-j-y
故P≈0.25.
点评 只有当频率值在某一常数附近摆动时，才能将此常数近似看作该事件发生的概率．现实生活中很多事件的概率是难以确切得到的，鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在一定的规律性，故一般通过大量的重复试验，用随机事件的频率来估计概率.
2 概率加法公式应用点拨
概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．概率的加法公式可推广为若事件A1，A2，…，An彼此互斥(两两互斥)，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和．用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面举例说明概率加法公式的应用．21教育名师原创作品
一、计算互斥事件和的概率
例1 由经验得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.10
0.16
0.30
0.3
0.10
0.04
求：(1)至多2人排队的概率；
(2)至少2人排队的概率．
解 (1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，则A，B，C彼此互斥．2·1·c·n·j·y
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.
(2)记“至少2人排队”为事件D，“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A＋B是对立事件，则P(D)＝P()＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.
点评 应用概率加法公式求概率的前提有两个：一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥．在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率．
二、求解“至少”与“至多”型问题
例2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198，恰有2人过关(事件B)的概率为0.38，恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求：
(1)至少有2人过关的概率P1；
(2)至多有3人过关的概率P2.
分析 “至少有2人过关”即事件B＋C＋D.“至多有3人过关”即事件A、B、C与事件“4人均未过关”的并事件，其对立事件为D.(注意“4人均未过关”这种可能情况)
解 由条件知，事件A、B、C、D彼此互斥．
(1)P1＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.766.
(2)P2＝P()＝1－P(D)＝1－0.084＝0.916.
点评 处理“至多”、“至少”型问题，即可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解．当事件包含的情况较多时，常利用P(A)＝1－P()求P(A)．
三、列方程求解概率问题
例3 某班级同学的血型分别为A型、B型、AB型、O型，从中任取一名同学，其血型为AB型的概率为0.09，为A型或O型的概率为0.61，为B型或O型的概率为0.6，试求任取一人，血型为A型、B型、O型的概率各是多少？
分析 设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可．
解 记“任取一人，血型为A型”、“任取一人，血型为B型”、“任取一人，血型为AB型”、“任取一人，血型为O型”分别为事件E，F，G，H，显然事件E，F，G，H两两互斥．
故
解得
所以任取一人，血型为A型、B型、O型的概率分别为0.31、0.3、0.3.
点评 本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点．挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键，同学们应注重这种能力的培养.
3 随机事件的概率
结论1 概率大的随机事件不一定意味着肯定发生．在一次试验中，概率大的随机事件的发生不一定优于概率小的随机事件的发生．
释义 对于概率的大小问题，只能说明相对于同一随机事件而言，概率大的发生的可能性大，概率小的发生的可能性小．
例1 在一次试验中，随机事件A发生的概率是0.3，随机事件B发生的概率是0.7，你认为如果做一次试验，可能出现B不发生A发生的现象吗？为什么？【版权所有：21教育】
解 这是可能的．因为随机事件B的发生概率大于随机事件A的发生概率，但并不意味着在一次试验中随机事件B的发生一定优于随机事件A的发生，随机事件的发生是不确定的．
点评 结论1实现实际生活中小概率事件发生的可能性．对于概率问题，必须注意的是概率是相对于大量重复试验的前提下得到的理论值，但在少数的有限试验中，概率不一样的随机事件发生的可能性无法确定．
结论2 概率是由巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体的趋势；而频率是数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．概率可以看作频率在理论上的期望值．
释义 概率与频率的关系是整体与具体、理论与实践、战略与战术的关系，频率随着随机事件次数的增加会趋向于概率．在处理具体的随机事件时，用概率作指导，以频率为依据．
例2 甲、乙两名射击运动员被选拔参赛奥运会，下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：
甲射击运动员：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环以上的次数m
9
17
44
92
179
450
击中10环以上的频率
乙射击运动员：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环以上的次数m
8
19
44
93
177
453
击中10环以上的频率
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在奥运会上每次击中10环以上的概率．
解 (1)两运动员击中10环以上的频率分别为
甲：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；
乙：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906.
(2)由(1)中的数据可知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以可以预测两位运动员在奥运会上每次击中10环以上的概率为0.9，即两人的实力相当．
点评 结论2实现频率与概率既有联系又有区别，频率随着随机事件的试验次数的不断增加而趋向于概率.
4 点击互斥事件
一、互斥事件、对立事件的概念
1．“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，也就是说互斥事件至多有一个发生，也有可能两个都不发生，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件．因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
2．从集合的角度理解
两个互斥事件对应的基本事件所组成的集合的交集为空集，并集可能是全集，也可能不是全集；当A、B是对立事件时，其交集为空集，并集是全集．21教育网
3．互斥事件之间的关系中的“不能同时发生”体现了分类讨论的原则“不重复”，而“不遗漏”则表现在所有互斥事件的和是整个事件(必然事件)．www.21-cn-jy.com
二、例题点击
1．互斥事件、对立事件的判断
例1 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是( )
A．至少有1个红球与都是红球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与恰有2个红球
D．至少有1个黑球与都是红球
解析 “从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球”这一事件共包含3个基本事件：(红，红)，(黑，黑)，(红，黑)，故恰有1个黑球与恰有2个红球互斥但不对立，故选C.
答案 C
点评 借助于列举基本事件，结合定义，易判断出互斥与对立事件．
例2 一个不透明的袋中装入4个白球和4个黑球，从中任意摸出3个球．
(1)可能发生哪些事件？
(2)指出其中每个事件的互斥事件；
(3)事件“至少摸出1个白球”是哪几个事件的和事件？它的对立事件是哪个事件？
解 (1)以白球或黑球的个数作为讨论标准，可能发生下列事件：
①摸出3个白球，记为事件A；
②摸出2个白球，1个黑球，记为事件B；
③摸出1个白球，2个黑球，记为事件C；
④摸出3个黑球，记为事件D；
(2)事件A、B、C、D彼此互斥；
(3)“至少摸出1个白球”的事件为A、B、C的和事件，即“至少摸出1个白球”的对立事件是D.
点评 理解实现对立事件与互斥事件的联系与区别．特别在解答一些问题时，在把复杂事件加以分解的事件个数不是太多的情况下，可以把所有的事件罗列下来，结合互斥事件与对立事件的概念加以辨析．21cnjy.com
2．互斥事件的计算
例3 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全相同的概率．21·cn·jy·com
解 记“3只颜色全相同”为事件A，则所求事件为A的对立事件．
因为“3只颜色全相同”又可分为“3只全是红球(事件B)”，“3只全是黄球(事件C)”，“3只全是白球(事件D)”，且它们彼此互斥，21·世纪*教育网
故3只颜色全相同即为事件B＋C＋D，
由于红、黄、白球的个数一样，
故有P(B)＝P(C)＝P(D)＝，
所以P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝，
因此有P()＝1－＝.
答 3只颜色不全相同的概率是.
点评 本题可将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，但比较麻烦，故转化为其对立事件求解，体现了“正难则反”的思想．注意“3只颜色全相同”可分为三个彼此互斥的基本事件，它的对立事件为“3只颜色不全相同”.21*cnjy*com
5 解古典概型的几个注意
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点：(1)有限性：做一次试验，可能出现的结果为有限个，即只有有限个不同的基本事件．(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．其计算公式P(A)＝也比较简单，但是这类问题的解法多样，技巧性强，下面列举了在解题中需要注意的几个问题．【来源：21cnj*y.co*m】
注意1——有限性和等可能性
例1 掷两枚均匀的硬币，求出现一正一反的概率．
分析 这个试验的基本事件(所有可能结果)共有4种：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A“出现一正一反”的所有可能结果为(正，反)，(反，正)．
解 P(A)＝＝.
点评 均匀硬币在抛掷过程中出现正、反面的概率是相等的，并且试验结果是有限个．
注意2——计算基本事件的数目时，须做到不重不漏
例2 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)A＝{三个数字中不含1和5}；(2)B＝{三个数字中含1或5}．
分析 这个试验的所有可能结果为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．
解 (1)事件A为(2,3,4)，故P(A)＝.
(2)事件B的所有可能结果为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9种．故P(B)＝.
点评 在计算事件数目时，要做到不重不漏，如B中可分为含1的：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)．含5的：(1,2,5)，(1,3,5)，(2,3,5)，(3,4,5)，(1,4,5)，(2,4,5)．在归于集合B中时，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)这三个不能重复计算．
注意3——利用事件间的关系
例3 有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．
分析 先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件，再确定两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空所包含事件，从而确定该事件的概率．
解 a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为
甲盒
a，b，c
a，b
a
a，c
b，c
b
c
空
乙盒
空
c
b，c
b
a
c，a
a，b
a，b，c
两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共两个，故P＝1－＝.【出处：21教育名师】
点评 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得.21*cnjy*com
6 古典概型技巧谈
求解古典概型问题时，基本事件数的求解有时比较麻烦，下面介绍几种常见的古典概型解题技巧．
一、利用对称性求概率
在古典概型中，处于对称平等地位的事件发生的概率一般相同，应用这一结论可以巧妙地列举出基本事件，简化计算，从而收到事半功倍的效果．
例1 在线段AB上任取不同的3点x1，x2，x3.求x2位于x1，x3之间的概率．
分析 初看本题不是古典概型问题，但如果我们仔细观察，就会发现，其实是一个古典概型问题．
解 设A1＝{x1位于x2、x3之间}，A2＝{x2位于x1，x3之间}，A3＝{x3位于x1、x2之间}，则事件A1，A2，A3处于对称平等的地位，其发生的可能性是相等的，且A1，A2，A3两两互斥．故该试验可看成只有3个基本事件A1，A2，A3，所以所求概率P(A2)＝.
点评 在线段AB上取点有无数种情况，但据此题而言，只需考虑x1，x2，x3三者的位置关系，并由对称性顺利求解．
跟踪训练1 临近毕业，各个班级都在合影留念，在高三(1)班合影时，摄影师随意安排A、B、C、D、E共5名同学站成一排，试求A在B的右边(A、B可以不相邻)的概率为________．
解析 A在B的右边与B在A的右边对称．
答案
二、转换角度求概率
在解决古典概型问题时，应抓住事件的本质，从合适的角度入手，正确列举出基本事件．
例2 任取一个正整数，求该数的四次方的末位数字是1的概率．
分析 任取一个正整数，有无数种情况，但它们的四次方的末位数只与正整数的末位数0～9有关，因此，只研究其末位数即可．
解 不能把所有的正整数作为基本事件总体，因为这样得到的基本事件是无限的，不满足古典概型所要求的“有限性”的条件．由于正整数四次方的末位数是由这个数的末位数决定的，可能是0,1,2，…，9中的任意一个(等可能)，当该数的末位数是1,3,7,9时，其四次方的末位数均为1.所以，取基本事件为0,1,2，…，9.则所求事件A＝{1,3,7,9}，其概率P(A)＝＝.
点评 通过该例，我们看到当问题应用常规的列举法无法解答时，应探求其本质，本题只是根据决定四次方的末位数为1的“末位数”来解答的．当然这类题有其特殊性，但是从中可以发现选取合适的基本事件是非常重要的．
跟踪训练2 有五名同学A、B、C、D、E需在最短时间内站成一排，则C恰好站在中间的概率为________．
解析 只考虑中间位置．
答案
三、利用互斥事件(或对立事件)求概率
有些古典概型问题，如果从正面考虑其基本事件比较多，可以分解为几个互斥事件进行求解，也可以从它的反面考虑，即借助对立事件来求．
例3 在大小、质点均相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意抽取3个球，至少有1个是红球的概率是多少？
分析 “至少有一个是红球”包括“2个白球，1个红球”、“1个白球，2个红球”，其对立事件为“3个白球”，故该事件可分解为两互斥事件的和，也可借助其对立事件来求解．
解 记“抽取3个白球”为事件A.设白球标号为1,2,3,4，红球标号为5,6，从6个球中任取3个球，可能结果列举如下：
1－2－3,1－2－4,1－2－5,1－2－6,1－3－4,1－3－5，1－3－6，1－4－5,1－4－6,1－5－6,2－3－4,2－3－5，2－3－6，2－4－5,2－4－6,2－5－6,3－4－5,3－4－6，3－5－6，4－5－6，共20种．其中选取的3个球是白球的情形有1－2－3,1－2－4,1－3－4,2－3－4，共4种．
所以所选的3个球全为白球的概率P(A)＝＝.因为事件“抽取的3个球全为白球”与事件“抽取的3个球中至少有1个是红球”互为对立事件，所以“抽取的3个球中至少有1个是红球”的概率P＝1－P(A)＝1－＝.
点评 “至少”“至多”型的概率问题可从正反两个方面考虑：正向思维是将所求事件的概率分解为一些简单的彼此互斥的事件的概率之和，分解时要不重复、不遗漏；逆向思维是将所求的概率转化为1与其对立事件的概率的差，即正难则反．
跟踪训练3 将一枚硬币连掷4次，则至少有1次正面朝上的概率为________．
答案
通过对上述题目的分析说明，只要充分把握古典概型中的“有限”和“等可能”的要求，把握问题本质，巧妙构思，就能十分简便地得到结果，甚至有些看似在古典概型下无法求解的问题也可迎刃而解.
7 走出解几何概型的几个误区
几何概型和古典概型是概率中典型的问题，几何概型和古典概型有共同点，也有很多不一样的地方．我们在求解几何概型问题时，经常会出现一些典型的错误．下面用具体的例子帮同学们走出误区．
一、若P(A)＝0，则A未必是不可能事件；若P(A)＝1，则A未必是必然事件
例1 有一个底面是圆形的容器，底面圆半径是一枚硬币半径的10倍，现在把这枚硬币随机地扔进容器，求硬币与底面恰好相切的概率．
解 记“硬币与底面圆相切”为事件A，由题意知所求问题是以面积为测度的几何概型的概率问题，事件A对应的面积可以认为是0，故P(A)＝0.
点评 在古典概型中，P(A)＝0?A是不可能事件；而在几何概型中P(A)＝0，则A未必是不可能事件；P(A)＝1，A也未必是必然事件．
二、背景相似的问题，当试验的角度不同时，其概率测度不一样
例2 (1)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率；
(2)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率．
解 (1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，
由于是过点A作一射线交线段BC于点M，
所以射线在∠BAC内是等可能出现的，
又当AB＝BM时∠BAM＝67.5°，
所以P(Ω)＝＝＝.
(2)设AB＝AC＝1，则BC＝，设“在线段BC上取一点M，使BM≤AB”为事件Ω，
则P(Ω)＝＝＝.
点评 当试验是“过点A作一射线”时，用角度作测度；当试验是“在线段BC上取一点”时，线段长度作测度．一般地，试验是什么，可以确定基本事件是什么．基本事件累积起来，就可以确定区域是角度还是长度还是面积等．【来源：21·世纪·教育·网】
三、错用测度类型
例3 在区间[0,2]中随机地取出两个数，求两数之和小于1的概率．
错解 两数之和小于1，那么每一个数是[0,1]之间，故每一个数对应的概率为，那么所求两个数的概率为×＝.
错因分析 因为两数之和小于1，故两个数之间有相互制约的关系，即两个变量之间不是相互独立的，不可将两个变量的概率相乘，故这种做法是错误的，应用面积做测度，计算概率．
正确答案 设x，y表示所取得任意两个数，
由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，
∴以两数x，y为坐标的点在以2为边长的正方形区域内，
设“两数和小于1”为事件A，则事件A所在区域为直线x＋y＝1的下方且在正方形内的区域，设为S.
∴P(A)＝＝.
8 概率中的数学思想
概率的有关知识在实际生活中的应用非常广泛，恰当合理地运用数学思想方法，可以帮助我们更快、更准确地解决问题．下面举例说明求解概率问题时常用的三种思想方法．
一、数形结合思想
例1 在一次商贸交易会上，某商家开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约参与抽奖．若甲计划在9∶00～9∶40之间赶到，乙计划在9∶20～10∶00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．
分析 本题属于几何概型问题，由于涉及到两个变量，故可建立坐标系，借助面积来解决．
解 设两人到达的时间分别为9点到10点之间的第x分钟、第y分钟，用(x，y)表示，则所有可能结果可表示为{(x，y)|0≤x≤40,20≤y≤60}．记“甲比乙提前到达”为事件A，则事件A的可能结果为{(x，y)|x如图所示，试验全部结果构成的区域为图中的正方形，而构成事件A的区域是正方形内的阴影部分，所以P(A)＝＝＝.
点评 某些概率问题用常规方法来解，比较困难，而利用数形结合的方法求解，则可以形象地反映概率的本质，从而顺利解决问题．
二、转化与化归思想
例2 现从5名优秀学生中随机抽取2人参加数学竞赛，问其中的甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是多少？
分析 对于这种含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，我们往往采用“正难则反”原理．这里因为每名学生被抽出的概率相等，且所有可能结果有限，所以为古典概型问题．
解 从5名优秀学生中随机抽取2人去参加竞赛，共有10个基本事件．
设事件A为“甲、乙两人至多有一人去参加竞赛”，它的对立事件是“甲、乙两人都去参加竞赛”，而“甲、乙两人都去参加竞赛”的抽取方法只有1种，所以P()＝，故P(A)＝1－P()＝，即甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是.
点评 从正面求解比较困难时，可以逆向思考．一般我们是先求其对立事件发生的概率，再利用P(A)＝1－P()求所求事件的概率．
三、分类讨论思想
例3 将数1.5随机地分成两个正实数之和，例如1.143＋0.357，或者0.6＋0.9，然后对每一个数四舍五入取整数．如在上述第一种分法中取1和0，在第二种分法中取1和1.那么这两个整数之和等于2的概率是多少？
分析 随机地将1.5分成两个正实数之和，就是在区间(0,1.5)内随机地取一个实数x，将该区间分成两部分，且另一个数是1.5－x.由于对x和1.5－x取整数有多种情况，故最好分类讨论．
解 若在区间(0,1.5)内随机地取一个实数x，则另一个数是y＝1.5－x.
若x∈(0,0.5)，则y＝(1,1.5)，此时有0＋1＝1；
若x∈[0.5,1]，则y∈[0.5,1]，此时有1＋1＝2；
若x∈(1,1.5)，则y∈(0,0.5)，此时有1＋0＝1.
记事件A为“两整数之和等于2”．因为实数x是在区间(0,1.5)内随机抽取的，所以属长度型几何概型问题．因为构成事件A的区域长度是0.5，所以P(A)＝＝.
点评 概率中的分类讨论，一般是对试验结果是否满足事件A进行的．
第三章 概率
学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．21·世纪*教育网
1．频率与概率
频率是概率的________，是随机的，随着试验的不同而________；概率是多数次的试验中________的稳定值，是一个________，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．
2．求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此________的事件的和；
(2)先求其________事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
3．古典概型概率的计算
关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．
4．几何概型事件概率的计算
关键是求得事件A所占________和____________的几何测度，然后代入公式求解．
类型一 频率与概率
例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
反思与感悟 概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．
跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
类型二 互斥事件与对立事件
例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
反思与感悟 在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．
(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；
(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．
类型三 古典概型与几何概型
例3 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：21教育网
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(1,1,1)
(1,2,1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1,2,2)
(2,1,1)
(2,2,1)
(1,1,1)
(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
反思与感悟 古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．
跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
类型四 列举法与数形结合
例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？21cnjy.com
反思与感悟 事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．www.21-cn-jy.com
跟踪训练4 设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．www-2-1-cnjy-com
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．必然事件
3．下列试验属于古典概型的有( )
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )
A. B. C. D．无法确定
5．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是( )
A. B.
C. D.
1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
(1)本试验是不是等可能的？
(2)本试验的基本事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．
3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
4．模拟方法问题中，由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．2-1-c-n-j-y
答案精析
知识梳理
1．近似值 变化 频率 常数
2．(1)互斥 (2)对立
4．区域 整个区域
题型探究
例1 解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017，0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.2·1·c·n·j·y
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练1 解 (1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．【出处：21教育名师】
(4)不一定．
例2 解 把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；【版权所有：21教育】
“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
因此基本事件的总个数为6＋6＋6＋2＝20.
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.21·cn·jy·com
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.21*cnjy*com
跟踪训练2 解 (1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，则所有可能的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
用C表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则表示“有放回地从债券中任取2张，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则C＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以P()＝1－P(C)＝1－＝.
(2)无放回地从债券中任取2张，则所有可能的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
用D表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，则表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张至少有1张是中奖债券”，
则P()＝1－P(D)＝1－＝.
例3 解 (1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.21教育名师原创作品
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．21*cnjy*com
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
跟踪训练3 D [设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中
有22＋(x＋2)2＝()2，
解得x＝1或x＝－5(舍去)，
∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为.]
例4 解 记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能结果可用树状图方式列出：如下图．
每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16个，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P＝＝.
跟踪训练4 解 利用平面直角坐标系列举，如图所示．
由此可知，基本事件总数n＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x＋y是3的倍数的情况有m＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种)．故所求事件的概率＝.
当堂训练
1．C [①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.]
2．B [根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．]
3．A [古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.]
4．C [共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是.]
5．C [三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为＝.]
