1 正整数指数函数
学习目标 1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．
知识点一 正整数指数函数的概念
思考 定义在N＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置．
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y
2
4
8
16
32
64
128
256
…
梳理 正整数指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
知识点二 正整数指数函数的图像特征及其单调性
思考 比较，()2，()3的大小，你有什么发现？
梳理 函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)图像是散点图，当a>1时，在定义域上递增；当0
知识点三 指数型函数
思考 y＝3·2x，x∈N＋是正整数指数函数吗？
梳理 形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．
类型一 正整数指数函数的概念
例1 下列表达式是否为正整数指数函数？
(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；
(4)y＝ex(x∈N＋)．
反思与感悟 判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．
跟踪训练1 下列函数中是正整数指数函数的是( )
A．y＝－2x，x∈N＋
B．y＝2x，x∈R
C．y＝x2，x∈N＋
D．y＝()x，x∈N＋
例2 已知正整数指数函数f(x)＝(a－2)·ax，则f(2)等于( )
A．2 B．3 C．9 D．16
反思与感悟 解此类题的关键是找到参数应满足的条件．
跟踪训练2 函数y＝(1－3a)x是正整数指数函数，则a应满足________．
类型二 正整数指数函数的图像与性质
例3 比较下面两个正整数指数函数的图像与性质．
(1)y＝2x(x∈N＋)；
(2)y＝0.95x(x∈N＋)．
反思与感悟 通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成．
跟踪训练3 作出下列函数(x∈N＋)的图像．
(1)y＝3x；(2)y＝x.
类型三 正整数指数函数的应用
例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
反思与感悟 建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．
跟踪训练4 一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)
1．下列函数：①y＝3x3(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝(a－3)x(a>3，x∈N＋)．其中正整数指数函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．当x∈N＋时，函数y＝(a－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )
A．1C．a>1 D．a>2
3．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )
A．增加7.84% B．减少7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
4．函数y＝()x(x∈N＋)的值域是( )
A．R B．正实数
C．N D．{，，，…}
5．正整数指数函数f(x)＝(a－2)(2a)x(x∈N＋)在定义域N＋上是________的．(填“增加”或“减少”)
1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集．
2．当a>1时是增函数．
3．当04．正整数指数函数的图像是一些孤立的点．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝2x，x∈N＋，自变量在指数上．
知识点二
思考 >()2>()3，对于y＝()x，x∈N＋，x越大，y越小．
知识点三
思考 不是，正整数指数函数的系数为1.
题型探究
例1 解 (1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y＝3－x＝()x，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．
跟踪训练1 D [结合正整数指数函数的定义可知选D.]
例2 C [∵f(x)是正整数指数函数，
∴∴a＝3，f(x)＝3x.
∴f(2)＝32＝9.]
跟踪训练2 a<，且a≠0
解析 由解得a<，且a≠0.
例3 解 列表比较如下：
函数
y＝2x(x∈N＋)
y＝0.95x(x∈N＋)
图像
定义域
正整数集N＋
单调性
增函数
减函数
图像特征
由一群孤立的点组成
跟踪训练3 解 (1)
(2)
例4 解 (1)已知本金为a元，利率为r，则
1期后的本利和为y＝a＋a×r＝a(1＋r)，
2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r
＝a(1＋r)2，
3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，
x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.
(2)将a＝1 000(元)，r＝2.25%，
x＝5代入上式，得
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)，
即5期后本利和约为1 117.68元．
跟踪训练4 解 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%) mg/mL，
x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.
由题意知：0.3(1－50%)x≤0.08，
()x≤.采用估算法，
当x＝1时，()1＝>；
当x＝2时，()2＝＝<.
由于y＝()x是减函数，
所以满足要求的x的最小整数为2，
故至少过2小时驾驶员才能驾驶．
当堂训练
1．B 2.D 3.B 4.D
5．增加
解析 ∵f(x)＝(a－2)(2a)x是正整数指数函数，
∴a－2＝1，且2a>0,2a≠1，
∴a＝3，∴f(x)＝6x，x∈N＋.
∵6>1，∴f(x)在N＋上是增加的．
2 指数扩充及其运算性质
学习目标 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值．
知识点一 分数指数幂
思考 由a2＝22(a>0)易得a＝2＝，由此你有什么猜想？
梳理 分数指数幂
(1)定义：给定__________a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的__________b，使得____________，我们把b叫作a的____________，记作b＝__________.
(2)意义
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂
前提条件
a>0，m，n均为正整数，m，n互素
结论
＝
________
＝______
＝________
＝______，
无意义
知识点二 无理数指数幂
思考 无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？
梳理 无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的正实数．至此，指数幂aα的指数取值范围扩充为R.
知识点三 实数指数幂的运算性质
思考1 在实数指数幂ax中，为什么要规定a>0?
梳理 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数．
思考2 初中，我们知道a≠0，m0，m，n为任意实数时，上式还成立吗？
梳理 一般地，当a>0，b>0时，有：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn，其中m，n∈R.
知识点四 实数指数幂的化简
思考 如何化简()？
梳理 实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简．
类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化
例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．
(1)；(2).
反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
跟踪训练1 用根式表示 (x>0，y>0)．
例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)；(2)；
(3)；(4).
反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如(－1)＝＝－1，但(－1)就不是实数了．为了保证在取任何有理数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂．
(1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4) .
类型二 运用指数幂运算公式化简求值
例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．
(1)(0.027)＋()－(2)0.5；
(2)
(3)
反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练3 (1)化简：()×(－)0＋80.25×＋(×)6；
(2)化简：
(3)已知＝5，求的值．
类型三 运用指数幂运算公式解方程
例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的．
跟踪训练4 已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
1．化简的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
2．等于( )
A．25 B. C．5 D.
3．用分数指数幂表示(a>b)为( )
A．(a－b) B．(b－a)
C．(a－b) D．(a－b)
4．()4等于( )
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
5．计算4＋1×22－2的结果是( )
A．32 B．16 C．64 D．128
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质．
2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 当a>0，b>0时，若am＝bn，则a＝(m，n为非零整数)．
梳理 (1)正实数 正实数 bn＝am 次幂 (2) 0
知识点二
思考 随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数．
知识点三
思考1 把指数扩大为全体实数后，若a<0，ax有时没有意义，如(－2)，为运算方便，规定a>0.
思考2 因为指数已扩充为实数，故有＝am·a－n＝am－n.既不必再区分m、n的大小，也不必区分am·an和了．
知识点四
思考 ()＝(a－1·a·b·b－1)＝(
题型探究
例1 解 (1)＝.
(2)＝ .
跟踪训练1 解 ＝·.
例2 解 (1)＝
(2)＝
(3)＝＝
(4)＝＝＝a3.
跟踪训练2 解 (1)
(2)
(3)b3·＝b3·
(4)
例3 解 (1)(0.027)＋()－(2)0.5
＝()2＋ －＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0＝4a.
(3) ＝.
跟踪训练3
解 (1)原式＝
(2)＝5×(－4)×(－)×
(3)由＋＝5，两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得x＋x－1＝23，则有＝23.
例4 解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，
∴
方法二 ∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝.
跟踪训练4 解 由67x＝33，得67＝3，由603y＝81，得603＝3，
∴
∴－＝2，故－＝－2.
当堂训练
1．B 2.D 3.C 4.D 5.B
3 指数函数（一）
学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．
知识点一 指数函数
思考 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？
梳理 一般地，________________________叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二 指数函数的图像和性质
思考 函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？
梳理 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：
a>1
0图像
性质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过点________，即x＝______时，y＝______
(4)当x>0时，______；
x<0时，________
(4)当x>0时，________；
x<0时，________
(5)是R上的________
(5)是R上的________
类型一 求指数函数的解析式
例1 已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
反思与感悟 (1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．
类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
例2 求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
反思与感悟 解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围，从而把问题转化为y＝f(t)的问题．
跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝ ；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
例3 求函数y＝ 的定义域、值域．
反思与感悟 y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．
跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域．
(1) (2)
类型三 指数函数图像的应用
例4 在如图所示的图像中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图像可能是( )
反思与感悟 函数y＝ax的图像主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是( )
A．(－1,5) B．(－1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
例5 若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．
反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图像的“原料”作用．
跟踪训练5 函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝()x
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1
C．a>，且a≠1 D．a≥
3．函数的值域是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(0,1] D．[－1,0)
4．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．05．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]
1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．
梳理 函数y＝ax(a>0，且a≠1) R
知识点二
思考 函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．
梳理 (0,1) 0 1 y>1 001 增函数 减函数
题型探究
例1 解 设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得a＝π，于是f(x)＝π.
跟踪训练1 解 由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
例2 解 (1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．
∵y＝＝1－，
又∵3x>0,1＋3x>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴值域为(0,1)．
(2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1
＝(2x－)2＋，
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为[，＋∞)．
跟踪训练2 解 (1)∵1－x≥0，
∴x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，
∴0≤<1，
∴原函数的值域为[0,1)．
(2)原函数的定义域为R.
方法一 设ax＝t，则t∈(0，＋∞)．
y＝＝＝1－.
∵t>0，∴t＋1>1，
∴0<<1，∴－2<<0，
∴－1<1－<1.
即原函数的值域为(－1,1)．
方法二 由y＝(a>0，且a≠1)，
得ax＝－.
∵ax>0，∴－>0，∴－1∴原函数的值域是(－1,1)．
例3 解 要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，
即32x－1≥3－2.
∵y＝3x在R上是增函数，
∴2x－1≥－2，解得x≥－.
故所求函数的定义域为.
当x∈时，
32x－1∈.
∴32x－1－∈[0，＋∞)．
∴原函数的值域为[0，＋∞)．
跟踪训练3 解 (1)由x－1≠0，得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由≠0，得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0，得x≥，
所以函数定义域为{x|x≥}．
由≥0，得y≥1，
所以函数值域为{y|y≥1}．
例4 A [根据图中二次函数图像可知c＝0，
∴二次函数y＝ax2＋bx，∵>0，
∴二次函数的对称轴为x＝－<0，
排除B、D.
对于A，C，都有0<<1，
∴－<－<0，C不符合．
故选A.]
跟踪训练4 A [当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5.
即点P的坐标为(－1,5)．]
例5 解 y＝|2x－1|＝
图像如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，需0<2a<1，即0跟踪训练5 B [函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.]
当堂训练
1．D 2.C 3.C 4.D 5.A
3 指数函数（二）
学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．
知识点一 不同底指数函数图像的相对位置
思考 y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？
梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：
(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．
(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图像关于y轴对称．
知识点二 比较幂的大小
思考 若x1＜x2，则ax1与ax2(a＞0且a≠1)的大小关系如何？
梳理 一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的__________来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过__________来判断．
知识点三 解指数方程、不等式
思考 若a＜a，则x1，x2的大小关系如何？
梳理 简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的______________求解．
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的__________求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图像求解．
知识点四 与指数函数复合的函数单调性
思考 y＝的定义域与y＝的定义域是什么关系？y＝的单调性与y＝的单调性有什么关系？
梳理 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0类型一 解指数方程
例1 解下列关于x的方程．
(1)81×32x＝x＋2；
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
反思与感悟 (1)af(x)＝b型通常化为同底来解．
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．
跟踪训练1 解下列方程．
(1)33x－2＝81；
(2)＝；
(3)52x－6×5x＋5＝0.
类型二 指数函数单调性的应用
例2 比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；
(3)1.70.3,0.83.1.
反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.
跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1,1.250.2；(2)－π，1.
例3 解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．
反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．
跟踪训练3 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
例4 (1)求函数y＝的单调区间；
(2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间．
反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x1跟踪训练4 求下列函数的单调区间．
(1)
(2)y＝.
1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
2．方程42x－1＝16的解是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
3．函数f(x)＝的递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
4．设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集为________．
5．若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
1．比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图像求解．
3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同．
当0(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图像在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图像上方．
知识点二
思考 当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以ax1＜ax2，
当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以ax1＞ax2.
梳理 (1)单调性 (2)图像 (3)中间值
知识点三
思考 当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2)．
所以，当0＜a＜1时，a＜a?x1＞x2，
当a＞1时，a＜a?x1＜x2.
此原理可用于解指数方程、不等式．
梳理 (1)单调性 (2)单调性
知识点四
思考 由于y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域为R，故y＝的定义域与y＝的定义域相同，故研究y＝的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0＜x1＜x2，则＞，＜，不等号方向的改变与y＝x，y＝的单调性均有关．
梳理 (1)相同 (2)相同 相反
题型探究
例1 解 (1)∵81×32x＝x＋2，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.
(2)∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，
则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
解得t＝或t＝－1(舍去)．
∴2x＝，解得x＝－2.
跟踪训练1 解 (1)∵81＝34，∴33x－2＝34，
∴3x－2＝4，解得x＝2.
(2)∵＝，∴5＝5，
∴＝，解得x＝.
(3)令t＝5x，则t>0，
原方程可化为t2－6t＋5＝0，
解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，
∴x＝1或x＝0.
例2 解 (1)∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
(2)方法一 ∵1.7＞1.5，
∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图像位于y＝1.5x的图像的上方．
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
方法二 ∵1.50.3＞0，
且＝0.3，
又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，
∴1.70.3＞1.50.3.
(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.
跟踪训练2 解 (1)∵0＜0.8＜1，
∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵0＜＜1，
∴函数y＝x在R上是减函数．
又∵－π＜0，∴－π＞0＝1，
即－π＞1.
例3 解 (1)当0∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
跟踪训练3 (，＋∞)
解析 ∵a2＋a＋2＝(a＋)2＋>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x?x>1－x?x>.
∴x∈(，＋∞)．
例4 解 (1)y＝的定义域为R.
在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减少的，
∴y＝在(－∞，3]上是增加的．
在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增加的，
∴y＝在[3，＋∞)上是减少的．
∴y＝的增区间是(－∞，3]，
减区间是[3，＋∞)．
(2)设t＝x，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上递减，
在[4，＋∞)上递增．
令x≤4，得x≥－2.
∴当－2≤x1，
即4≥t1>t2，∴t－8t1＋17∴y＝2x－8·x＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]．
跟踪训练4 解 (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；
当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0(2)已知函数的定义域为{x|x≠0}．
设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．而根据y＝的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
当堂训练
1．B 2.B 3.A
4．(1，＋∞)
解析 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵
∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.
5.
解析 若0即a2＋a－1＝0，
解得a＝或a＝(舍去)．
若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，
解得a＝或a＝(舍去)．
综上所述a＝.
第1课时 对 数
学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一 对数的概念
思考 解指数方程：3x＝.可化为3x＝，所以x＝.那么你会解3x＝2吗？
梳理 (1)对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作________________________，记作__________________．其中a叫作__________________，N叫作________．
(2)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫作______________，N的常用对数log10N简记作____________．以e为底的对数称为____________，N的自然对数logeN简记作ln N.
知识点二 对数与指数的关系
思考 loga1(a>0，且a≠1)等于多少？
梳理 一般地，对数与指数的关系如下：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝________.
对数恒等式：alogaN＝________；logaax＝________(a>0，且a≠1)．
对数的性质：
(1)1的对数为________．
(2)底的对数为________．
(3)零和负数____________．
类型一 对数的概念
例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2C．4反思与感悟 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
跟踪训练1 求f(x)＝logx的定义域．
类型二 应用对数的基本性质求值
例2 求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.
反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
跟踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
类型三 对数式与指数式的互化
例3 将下列指数式写成对数式．
(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)3a＝27；(4)m＝5.73.
反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
跟踪训练3 (1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有( )
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logba＝2 D．logb2＝a
(2)将3－2＝，6＝化为对数式．
(3)解方程：m＝5.
例4 求下列各式中x的值．
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x；(5)log(－1)＝x.
反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练4 计算：(1)log927；(2)log81；(3)log625.
例5 (1)求中的x；
(2)求的值(a，b，c为正实数且不等于1，N＞0)．
反思与感悟 应用对数恒等式时应注意：
(1)底数相同．
(2)当N>0时才成立，例如y＝x与y＝alogax并非相等的函数．
跟踪训练5 设则x＝________.
1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是( )
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
2．若logax＝1，则( )
A．x＝1 B．a＝1
C．x＝a D．x＝10
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．＝与log8＝－
C．log39＝2与
D．log77＝1与71＝7
4．已知logx16＝2，则x等于( )
A．±4 B．4 C．256 D．2
5．设10lg x＝100，则x的值等于( )
A．10 B．0.01 C．100 D．1 000
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．
梳理 (1)以a为底N的对数 logaN＝b
对数的底数 真数 (2)常用对数 lg N
自然对数
知识点二
思考 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.
梳理 x N x (1)零 (2)1
(3)没有对数
题型探究
例1 D [∵
∴2跟踪训练1 解 要使函数式有意义，
需解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
例2 解 (1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
跟踪训练2 A [∵log2(log3x)＝0，
∴log3x＝1，
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.
∴x＋y＋z＝9.]
例3 解 (1)log5625＝4；(2)log2＝－6；
(3)log327＝a；(4)log5.73＝m.
跟踪训练3 (1)C [logba＝2，故选C.]
解 (2)3－2＝可化为log3＝－2；
6＝可化为log＝6.
(3)m＝log5.
例4 解 (1)x＝＝4－2＝.
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(5)因为log(－1)＝x，
所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1.
跟踪训练4 解 (1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
(2)设x＝log81，则x＝81,3＝34，∴x＝16.
(3)令x＝log625，则x＝625, ＝54，∴x＝3.
例5 解 (1)∵＝33·＝27x＝2，∴x＝.
(2)
跟踪训练5 2
解析 ∵
＝(2x－1)2＝9.
∴2x－1＝±3，又∵2x－1>0，∴2x－1＝3.
∴x＝2.
当堂训练
1．B 2.C 3.C 4.B 5.C
5．1 对数函数的概念 5．2 对数函数y＝log2x的图像和性质
学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点一 对数函数的概念
思考 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
梳理 一般地，我们把_______________________________________________________
叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____________．a叫作对数函数的底数．
特别地，称以10为底的对数函数y＝lg x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝ln x为自然对数函数．
知识点二 对数函数的图像与性质
思考 y＝logax化为指数式是x＝ay，你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？
梳理 类似地，我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质：
a>1
0图像
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0，
0(4)当x>1时，y<0，
00
(5)是(0，＋∞)上的增函数
(5)是(0，＋∞)上的减函数
类型一 对数函数的概念
例1 已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f及f(2lg 2)．
反思与感悟 对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由．
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；
(4)y＝log5x.
类型二 对数函数的定义域的应用
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
引申探究
1．若把例2(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域．
2．求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？
反思与感悟 求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练2 求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
(3)y＝log(3x－1)(2x＋3)．
类型三 对数函数单调性的应用
例3 比较下列各组数中两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
反思与感悟 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练3 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
例4 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围．
跟踪训练4 函数y＝的值域为( )
A．(0,3) B．[0,3]
C．(－∞，3] D．[0，＋∞)
类型四 对数函数的图像
例5 画出函数y＝lg|x－1|的图像．
反思与感悟 现在画图像很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练5 画出函数y＝|lg(x－1)|的图像．
例6 函数f(x)＝4＋loga(x－1)(a>0，a≠1)的图像过一个定点，则这个定点的坐标是__________．
反思与感悟 y＝f(x)y＝f(x＋a)，y＝f(x)y＝f(x)＋b.对具体函数(如对数函数)仍然适用．
跟踪训练6 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1
B．a>1,0C．01
D．01．下列函数为对数函数的是( )
A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D．y＝2logax(a＞0且a≠1)
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
3．函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
4. 函数y＝logax的图像如图所示，则a的值可以是( )
A．0.5 B．2
C．e D．π
5．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．
1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．
3．研究与对数函数图像有关的问题，以对数函数图像为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．
梳理 函数y＝logax(a>0，a≠1) (0，＋∞)
知识点二
思考 当a＞1时，若0＜x1＜x2，则ay1＜ay2，解指数不等式，得y1＜y2从而y＝logax在(0，＋∞)上为增函数．
当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为减函数．
题型探究
例1 解 设y＝logax(a＞0，且a≠1)，
则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，
因此f＝log2＝－1，
f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2.
跟踪训练1 解 ∵(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
∵(3)中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数．
(4)为对数函数．
例2 解 (1)由得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
引申探究
1．解 由得x>3.
∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．
2．解 (x＋3)(x－3)>0，
即或
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.
跟踪训练2 解 (1)要使函数有意义，需
即
即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需
即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1(3)要使函数有意义，需
即所以x>且x≠，
故所求函数的定义域为∪.
例3 解 (1)考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4(2)考察对数函数y＝log0.3x，
因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8＜2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
跟踪训练3 A [∵a＝log3π＞1，
b＝log23，
则＜b＜1，c＝log32＜，
∴a＞b＞c.]
例4 (0，＋∞)
解析 f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，
即f(x)的值域为(0，＋∞)．
跟踪训练4 D [∵当x<－1时，
0<3x<3－1＝，
当x≥1时，log2x≥log21＝0，
∴函数的值域为∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)．]
例5 解 (1)先画出函数y＝lg x的图像(如图)．
(2)再画出函数y＝lg|x|的图像(如图)．
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图像(如图)．
跟踪训练5 解 (1)先画出函数y＝lg x的图像(如图)．
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图像(如图)．
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图像(如图)．
例6 (2,4)
解析 因为函数y＝loga(x－1)的图像过定点(2,0)，所以函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图像过定点(2,4)．
跟踪训练6 D [由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0当堂训练
1．C 2.C 3.B
4．A [∵函数y＝logax的图像单调递减，∴0＜a＜1，只有选项A符合题意．]
5．(1,3)
5．3 对数函数的图像和性质
学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图像特点．
知识点一 y＝logaf(x)型函数的单调区间
思考 我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？
梳理 一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a大于1时， g(x)＞0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；③当底数a大于0且小于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反．
知识点二 对数不等式的解法
思考 log2x＜log23等价于x＜3吗？
梳理 一般地，对数不等式的常见类型：
当a＞1时，
logaf(x)＞logag(x)?
当0＜a＜1时，
logaf(x)＞logag(x)?
知识点三 不同底的对数函数图像的相对位置
思考 y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
梳理 一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0知识点四 反函数的概念
思考 如果把y＝2x视为A＝R→B＝(0，＋∞)的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？
梳理 一般地，像y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同．
类型一 对数型复合函数的单调性
例1 求函数y＝log(－x2＋2x＋1)的值域和单调区间．
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝log(－x2＋2x)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求f(x)的单调性．
例2 已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
反思与感悟 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2 若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f(x)＝ln 的奇偶性．
引申探究
若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
反思与感悟 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3 判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性．
类型三 对数不等式
例4 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)，解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1)．
反思与感悟 对数不等式解法要点：
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)．
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向．
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4 已知A＝{x|log2x<2}，B＝{x|<3x<}，则A∩B等于( )
A. B．(0，)
C. D．(－1，)
1．如图所示，曲线是对数函数f(x)＝logax的图像，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
2．如果那么( )
A．yC．13．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x B.
C． D．2x－2
4．已知函数f(x)＝ln (a≠2)为奇函数，则实数a＝________.
5．函数f(x)＝ln x2的减区间为____________．
1．与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．
2．y＝ax与x＝logay的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)的定义域不一定相同．
知识点二
思考 不等价．log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，
∴log2x＜log23?0＜x＜3.
知识点三
思考 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
知识点四
思考 如图，y＝log2x是从B＝(0，＋∞)到A＝R的一个映射，相当于A中元素通过f：x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.
题型探究
例1 解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.
∵y＝logt为减函数，且0y＝log2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞)．
又函数log(－x2＋2x＋1)的定义域为－x2＋2x＋1>0，由二次函数的图像知1－∴t＝－x2＋2x＋1在(1－，1)上递增，而在(1,1＋)上递减，而y＝logt为减函数．
∴函数y＝log(－x2＋2x＋1)的增区间为(1,1＋)，减区间为(1－，1)．
跟踪训练1 解 (1)由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
由二次函数的图像知0当0∴log(－x2＋2x)≥log1＝0.
∴函数y＝log (－x2＋2x)的值域为[0，＋∞)．
(2)设u＝－x2＋2x(0∵函数u＝－x2＋2x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，v＝logu是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数f(x)＝log(－x2＋2x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数．
例2 解 令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，∴y＝logg(x)是减函数，而已知复合函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]．
跟踪训练2 B [函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1例3 解 由>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一 f(－x)＝ln ＝ln()－1＝－ln ＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
方法二 f(x)＋f(－x)
＝ln ＋ln ＝ln(·)
＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
引申探究
解 由>0得－b∵f(x)为奇函数，
∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝ln，
f(－x)＋f(x)＝ln＋ln
＝ln
＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴此时f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
跟踪训练3 解 方法一 由－x>0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f(－x)＝lg(＋x)
＝lg
＝lg
＝－lg(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
方法二 由－x>0可得x∈R，
f(x)＋f(－x)
＝lg(－x)＋lg(＋x)
＝lg[(－x)(＋x)]
＝lg(1＋x2－x2)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
例4 解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，
∴f(1)＝loga(1－a)．
∴1－a＞0，∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴即∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1)．
跟踪训练4 A [log2x<2，
即log2x∴A＝(0,4)．
<3x<，即3－1<3x<，
∴－1∴A∩B＝.]
当堂训练
1．A 2.D 3.A
4．－2 5.(－∞，0)
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标 1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．
知识点一 同类函数增长特点
思考 同样是增函数，当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？
梳理 当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，并且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．
知识点二 指数函数、幂函数、对数函数的增长差异
思考 当x从1变到10，函数y＝2x，y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少？
梳理 一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝ax(a>1)、幂函数y＝xn(n>0)与对数函数y＝logax(a>1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________(a>1，n>0)．
类型一 根据图像判断函数的增长速度
例1 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图像，判断f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．
反思与感悟 判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化，图像越陡，增长越快．
跟踪训练1 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．
类型二 函数增长模型的应用
例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
反思与感悟 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度急剧(越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢)．解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律．
跟踪训练2 某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )
A．y＝3x B．y＝log3x
C．y＝x3 D．y＝3x
2．当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致是( )
4．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x
5．某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝____________.
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 23－22＝4,103－102＝900，即同样是x从2变到3，y＝2x与y＝10x的纵坐标分别增加了4和900.
知识点二
思考 210－21＝1 024－2＝1 022,102－12＝99，lg 10－lg 1＝1，即同样是x从1变到10，y＝2x，y＝x2和y＝lg x 的纵坐标分别增加了1 022,99和1.
梳理 logax题型探究
例1 解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)，
∴1∴x1<6x2.
从图像上可以看出，
当x1∴f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
∴f(2 013)>g(2 013)．
又g(2 013)>g(6)，
∴f(2 013)>g(2 013)>g(6)>f(6)．
跟踪训练1 解 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
例2 解 设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．
画出三个函数的图像，如图所示，
由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累计的回报数．列表如下：
天数
回报/元
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三．
跟踪训练2 解 作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)．
观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
当堂训练
1．D 2.B 3.D 4.B 5.③ x2－8x＋17
习题课 对数函数
学习目标 1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图像变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．
知识点一 对数概念及其运算
1．由指数式对数式互化可得恒等式：?alogaN＝________(a>0，且a≠1)．
2．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即N________0.
(2)loga1＝________.
(3)logaa＝________.
3．运算公式
已知a>0，且a≠1，M、N>0.
(1)logaM＋logaN＝____________.
(2)logaM－logaN＝____________.
(3)loganMm＝________logaM.
(4)logaM＝＝(c>0，且c≠1)．
知识点二 对数函数及其图像、性质
函数________________________叫作对数函数．
(1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为____________；值域为________．
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过点________．
(3)当a>1时，y＝logax是(0，＋∞)上的增函数．
当0(4)直线y＝1与函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像交点为________．
(5)y＝logax与y＝ax的图像关于__________对称．
y＝logax与的图像关于________对称．
类型一 对数式的化简与求值
例1 (1)计算：log(2＋)(2－)；
(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求log(3－2).
反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．
跟踪训练1 (1)
＝____________.
(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
类型二 对数函数图像的应用
例2 已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．
反思与感悟 函数的图像直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图像解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．
跟踪训练2 已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
类型三 对数函数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是(－1,1)，对于任意的x，y∈(－1,1)，有f(x)＋f(y)＝f，且当x＜0时，f(x)＞0.
(1)验证函数g(x)＝ln，x∈(－1,1)是否满足上述这些条件；
(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．
1．若logx＝z，则( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
2．当0A. B.
C．(1，) D．(，2)
3．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为( )
A．[－1,1] B．[，2] C．[1,2] D．[，4]
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
5．已知则＝________.
1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．
3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝·logab，logab＝在解题中的灵活应用．
4．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N＋，且n为偶数)．
5．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
6．明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图像．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．N
2．(1)> (2)0 (3)1
3．(1)loga(MN) (2)loga (3)
知识点二
y＝logax(a>0，且a≠1) (1)(0，＋∞)
R (2)(1,0) (4)(a,1) (5)y＝x
x轴
题型探究
例1 解 (1)方法一 (利用对数定义求值)
设log(2＋)(2－)＝x，
则(2＋)x＝2－＝
＝(2＋)－1，
∴x＝－1.
方法二 (利用对数的运算性质求解)
log(2＋)(2－)＝log(2＋)
＝log(2＋)(2＋)－1
＝－1.
(2)由已知得lg()2＝lg xy，
∴()2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴()2－6()＋1＝0.
∴＝3±2.
∵
∴＞1，∴＝3＋2，
∴log(3－2)＝log(3－2)(3＋2)
＝log(3－2)
＝－1.
跟踪训练1 (1)－ (2)2
解析 (1)∵
＝
＝1－lg 3，
lg＋lg 8－lg
＝lg 3＋3lg 2－
＝(lg 3－1)＋3lg 2
＝(lg 3＋2lg 2－1)，
lg 0.3·lg 1.2＝lg ·lg
＝(lg 3－1)(lg 12－1)
＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)，
∴原式＝－.
(2)∵f(ab)＝lg(ab)＝1.
∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.
例2 解 f(x)的图像如图：
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，
不妨设a则直线y＝m与f(x)交点横坐标从左到右依次为a，b，c，
由图像易知0∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，
f(b)＝|ln b|＝ln b.
∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，
ln ab＝ln 1，∴ab＝1.
∴abc＝c∈(e，e2)．
跟踪训练2 解 ∵f(x)＝logax，
则y＝|f(x)|的图像如图．
由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，
只需|f()|≤1，即－1≤loga≤1，
即logaa－1≤loga≤logaa，亦当a＞1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0＜a＜1时，a－1≥≥a，
得0＜a≤.
综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．
例3 解 (1)设P(x，y)为g(x)图像上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图像上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga(－1＋)，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，
∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求．
跟踪训练3 解 (1)因为g(x)＋g(y)＝ln＋ln
＝ln＝ln，
g＝ln
＝ln，
所以g(x)＋g(y)＝g成立．
又当x＜0时，1－x＞1＋x＞0，
所以＞1，
所以g(x)＝ln＞0成立，
综上g(x)＝ln满足这些条件．
(2)发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
将x＝y＝0代入条件，
得f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0.
将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0?f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
因为f(x)－f(y)＝f(x)＋f(－y)
＝f，
当－1＜x＜y＜1时，＜0，由条件知f＞0，
即f(x)－f(y)＞0?f(x)＞f(y)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
当堂训练
1．B 2.B 3.D 4.B
5．3
解析 设＝x，则a＝x，
又∴＝2，即＝2，
∴x＝2，解得x＝3.
第三章 指数函数和对数函数
学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．应用指数函数y＝ax和对数函数y＝logax的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．
4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．
类型一 指数、对数的运算
例1 化简：(1)
(2)2log32－log3＋log38－25log53.
反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1 计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
类型二 数的大小比较
例2 比较下列各组数的大小．
(1)27,82；
(2)log20.4，log30.4，log40.4；
(3)
反思与感悟 数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
跟踪训练2 比较下列各组数的大小．
(1)log0.22，log0.049；
(2)a1.2，a1.3；
(3)30.4,0.43，log0.43.
类型三 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
例4 如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练4 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
1．化简为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是( )
3．函数f(x)＝x与函数g(x)＝log|x|在区间(－∞,0)上的单调性为( )
A．都是增函数
B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数
D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
4．已知P＝2－，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是( )
A．P＜Q＜R B．Q＜R＜P
C．Q＜P＜R D．R＜Q＜P
5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查．
答案精析
题型探究
例1 解 原式＝
＝2－1×103×10＝2－1×10＝.
(2) 原式＝log34－log3＋log38－5
＝log3－5
＝log39－9＝2－9＝－7.
跟踪训练1 111
解析 ∵log32×log2(log327)
＝log32×log23＝×＝1，
∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.
例2 解 (1)∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上递增知26<27，即82<27.
(2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
∴<<，
即log20.4(3) ∵0<<20＝1，
log2跟踪训练2 解 (1)∵log0.049＝＝＝＝＝log0.23.
又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(2)∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，
当底数a>1时在R上是增函数；
当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(3)30.4>30＝1，
0<0.43<0.40＝1，
log0.43∴log0.43<0.43<30.4.
例3 解 (1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x在R上都是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x在R上都是减函数，
所以函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
①当a<0，b>0时，x>－，
解得x>log；
②当a>0，b<0时，x<－，
解得x跟踪训练3 解 (1)要使函数有意义，则有
解得－3(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝loga(－x2－2x＋3)
＝loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3∵0∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.
由loga4＝－2，得a－2＝4，
∴a＝＝.
例4 C [借助函数的图像求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图像如图.
由 得
∴结合图像知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1跟踪训练4 B [由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称．显然不符．故选B.]
当堂训练
1．B 2.D 3.D 4.B 5.B
第2课时 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
知识点一 对数运算性质
思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？
梳理 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝____________________.
(2)logaMn＝____________(n∈R)．
(3)loga＝____________________.
知识点二 换底公式
思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？
思考2 假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？
梳理 对数换底公式为
logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)．
特别地：logab·logba＝________(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
类型一 具体数字的化简求值
例1 计算：(1)log345－log35；
(2)log2(23×45)；
(3)；
(4)log29·log38.
反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则：
(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．
(2)不同底化为同底．
跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；
(2)(lg 25－lg )÷；
(3)log43·log98；
(4)log2.56.25＋ln－.
类型二 代数式的化简
例2 化简loga.
反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.
跟踪训练2 已知y>0，化简loga.
例3 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．
跟踪训练3 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
1．log5＋log53等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．log5
2．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
3．log29×log34等于( )
A. B. C．2 D．4
4．lg 0.01＋log216的值是________．
5．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值是________．
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 有．例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算．
梳理 (1)logaM＋logaN (2)nlogaM (3)logaM－logaN
知识点二
思考1 设法换为同底．
思考2 把3x＝5化为对数式为log35＝x，
又因为x＝，所以得出log35＝的结论．
梳理 1
题型探究
例1 解 (1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2log33＝2.
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.
(3)原式＝
＝＝.
(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)
＝2log23·3log32＝6·log23·＝6.
跟踪训练1 解 (1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.
(2)原式＝(lg )÷＝lg 102÷10－1＝2×10＝20.
(3)原式＝·＝·＝.
(4)原式＝log2.5(2.5)2＋－
＝2＋－＝.
例2 解 ∵>0且x2>0，>0，
∴y>0，z>0.
loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2loga|x|＋logay－logaz.
跟踪训练2 解 ∵>0，y>0，
∴x>0，z>0.
∴loga＝loga－loga(yz)
＝logax－logay－logaz.
例3 解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝
＝＝.
方法二 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝.
方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝＝
＝
＝＝.
跟踪训练3 解 ∵log23＝a，
则＝log32，
又∵log37＝b，
∴log4256＝＝
＝.
当堂训练
1．A
2．B [由logab·logcb＝·≠logca，故A错；由logab·logca＝·＝＝logcb.故选B.]
3．D
4．2
解析 lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
5．2
解析 由已知得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，所以2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝4－2＝2.
