1．1 利用函数性质判定方程解的存在
学习目标 1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数．
知识点一 函数的零点概念
思考 函数的“零点”是一个点吗？
梳理 概念：函数y＝f(x)的零点是函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的__________．
方程、函数、图像之间的关系：
方程f(x)＝0______________?函数y＝f(x)的图像________________?函数y＝f(x)__________．21·cn·jy·com
知识点二 零点存在性定理
思考 函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x)＝lg x＋x.但函数值易求，如我们可以求出f()＝lg ＋＝－1＋＝－，f(1)＝lg 1＋1＝1.2·1·c·n·j·y
那么能判断f(x)＝lg x＋x在区间内有零点吗？
梳理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是______________，并且在区间端点的函数值符号相反，即________________，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理．【出处：21教育名师】
类型一 求函数的零点
例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
反思与感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．【版权所有：21教育】
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
类型二 判断函数的零点所在的区间
例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )21·世纪*教育网
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
反思与感悟 在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．
跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
类型三 函数零点个数问题
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
反思与感悟 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数．21世纪教育网版权所有
跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
例4 f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．21*cnjy*com
跟踪训练4 若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是( )21教育名师原创作品
A．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
B．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)
C．[－，－]
D．(－，－)
1．函数y＝x的零点是( )
A．(0,0) B．x＝0 C．x＝1 D．不存在
2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
4．下列各图像表示的函数中没有零点的是( )
5．函数f(x)＝x3－()x的零点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．21cnjy.com
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．21*cnjy*com
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：
(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．www-2-1-cnjy-com
答案精析
问题导学
知识点一
思考 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
梳理 横坐标 有实数根 与x轴有交点 有零点
知识点二
思考 能．因为f(x)＝lg x＋x在区间内是连续的，函数值从－变化到1，势必在内某点处的函数值为0.
梳理 连续曲线 f(a)·f(b)<0
题型探究
例1 x＝1或x＝10
解析 由(lg x)2－lg x＝0，
得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
跟踪训练1 4
解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．
可知零点为±1，－2,3，共4个．
例2 C [令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]
跟踪训练2 2
解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，
f(2)＝6－7＋ln 2<0，
f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.
例3 解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图像知g(x)＝lg(x＋1)的图像和h(x)＝2－2x的图像有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．21教育网
跟踪训练3 解 方法一 由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图像，观察两图像的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图像交点的个数．www.21-cn-jy.com
由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
例4 D [由题意可得a＝x－()x(x＞0)．
令g(x)＝x－()x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．]2-1-c-n-j-y
跟踪训练4 D [函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图像列出不等式组【来源：21cnj*y.co*m】
解得∴－＜m＜－，
∴实数m的取值范围是(－，－)．]
当堂训练
1．B 2.C 3.C 4.D 5.B
1.2 利用二分法求方程的近似解
学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点一 二分法的原理
思考 通过上节课的学习，我们知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？21*cnjy*com
梳理 二分法的概念
如果在区间[a，b]上，函数f(x)的图像是______________________，且__________________，则区间[a，b]内有方程f(x)＝0的解．【来源：21cnj*y.co*m】
依次取有解________________，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)＝0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度____________，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解．【出处：21教育名师】
像这样每次__________________，________________________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．【版权所有：21教育】
知识点二 精度与精确到
思考 “精确到0.1”与“精度为0.1”一样吗？
梳理 在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以．设 是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足__________________，就称x0是满足精度ε的近似解．2·1·c·n·j·y
为了得到满足精度ε的近似解，只需找到方程的一个有解区间[a，b]，________________________，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．
事实上，任意选取两数x1，x2∈(a，b)，都有|x1－x2|<ε.由于 ∈(a，b)，所以任意选取x′∈(a，b)都有|x′－|<ε.21教育名师原创作品
知识点三 二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来．
在这里：
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；
“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；21·cn·jy·com
“N”的含义是：方程解满足要求的精度；
“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解．
类型一 二分法的操作
例1 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点．(精度为0.02)
引申探究
如何求的近似值？(精度为0.01)
反思与感悟 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精度为0.1)
类型二 二分法取中点的次数问题
例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )21教育网
A．5次 B．6次
C．7次 D．8次
反思与感悟 对于区间(a，b)二分一次区间长度为，二分二次区间长度为，…，二分n次区间长度为.令<ε，即2n>，nlg 2>lg，n>，从而估算出至少要使用多少次二分法．21·世纪*教育网
跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于______．www-2-1-cnjy-com
1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝()x－x
2．观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( )
3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
4．定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f()＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间(a，)或(，b)内的任意一个实数
D．x＝a或b
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2,4) B．(2,3)
C．(3,4) D．无法确定
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．21cnjy.com
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图像是连续的，且两端点函数值反号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．2-1-c-n-j-y
梳理 一条连续的曲线 f(a)·f(b)<0
区间的中点 越来越小 取区间的中点
将区间一分为二
知识点二
思考 不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34)．若精度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
梳理 |x0－|<ε 使得区间长度b－a≤ε
题型探究
例1 解 由于f(0)＝－3＜0，
f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值
(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.437 5
－0.030
(1.437 5,1.5)
1.468 75
0.168
(1.437 5，1．468 75)
1.453 125
0.068
(1.437 5，1．453 125)
因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625＜0.02，
所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.
引申探究
解 设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，
令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值
(1,2)
1.5
1.375
(1,1.5)
1.25
－0.046 9
(1.25,1.5)
1.375
0.599 6
(1.25,1.375)
1.312 5
0.261 0
(1.25，1．312 5)
1.281 25
0.103 3
(1.25，1．281 25)
1.265 625
0.027 3
(1.25，1．265 625)
1.257 812 5
－0.010 0
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01，所以1.265 625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265 625.21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图像如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)＝2x＋3x－7
－6
－2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5)．www.21-cn-jy.com
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，
用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，
x0∈(1.375,1.437 5)．
由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，
所以原方程的近似解可取为1.437 5.
例2 C [设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.
第1次二等分后区间长为；
第2次二等分后区间长为；
第3次二等分后区间长为；
…
第n次二等分后区间长为.
根据题意，得＜0.01，∴n＞log2100.
∵6＜log2100＜7，∴n≥7.
故对区间(1,2)至少二等分7次．]
跟踪训练2 5
解析 ∵初始区间的长度为1，精度为0.05，
∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N*，
∴n≥5，∴取中点的次数不小于5.
当堂训练
1．D 2.A 3.C 4.B 5.B
2 实际问题的函数建模
学习目标 1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．
知识点一 实际问题的函数刻画
思考 世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？
梳理 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．21·cn·jy·com
知识点二 用函数模型解决实际问题
思考 函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？
梳理 用函数模型解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
知识点三 数据拟合
思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？
梳理 数据拟合
(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．
(2)数据拟合的步骤：
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的检验．
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．21教育网
反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．【来源：21·世纪·教育·网】
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？2-1-c-n-j-y
反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．21*cnjy*com
跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？【出处：21教育名师】
例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．【版权所有：21教育】
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
反思与感悟 自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：21*cnjy*com
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图像．当x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．www-2-1-cnjy-com
(1)试求y＝f(x)的函数关系式；
(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( )www.21-cn-jy.com
A．17 B．18 C．19 D．20
2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．y＝0.957 6 B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝()x D．y＝1－0.042 4
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
5．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )21世纪教育网版权所有
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．
知识点二
思考 先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决．21·世纪*教育网
知识点三
思考 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合．
题型探究
例1 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝ (h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤).2 h内火车行驶的路程S＝13＋120×(2－)＝233(km)．
跟踪训练1 2
解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a·22，∴a＝－，∴y＝－x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，将B点的坐标代入y＝－x2，得b＝±，因此水面宽2米．
例2 解 设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y
＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680 (0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，
R(x)max＝－(210－220)2＋1 680
＝1 660(万元)．
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
跟踪训练2 解 设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元．
所以Q1＝x，Q2＝.
所以y＝x＋(0≤x≤3)，
令t＝(0≤t≤)，则x＝3－t2.
所以y＝(3－t2)＋t
＝－(t－)2＋.
当t＝时，ymax＝＝1.05(万元)，
即x＝＝0.75(万元)，
所以3－x＝2.25(万元)．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．21教育名师原创作品
例3 解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
又因为x∈N，所以3≤x≤6，且x∈N.
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝[50－3(x－6)]x－115
＝－3x2＋68x－115，综上可知
y＝f(x)＝
(2)当3≤x≤6，且x∈N时，
因为y＝50x－115是增函数，
所以当x＝6时，ymax＝185元．
当6＜x≤20，且x∈N时，
y＝－3x2＋68x－115
＝－32＋，
所以当x＝11时，ymax＝270元．
综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．
跟踪训练3 解 (1)当x∈(0,12]时，
设f(x)＝a(x－10)2＋80(a≠0)．
因为该部分图像过点B(12,78)，
将B点的坐标代入上式，得a＝－，
所以f(x)＝－(x－10)2＋80.
当x∈[12,40]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)．因为线段BC过点B(12,78)，C(40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组解得21cnjy.com
所以f(x)＝－x＋90.
故所求函数的关系式为
f(x)＝
(2)由题意，得
或
解得4＜x≤12或12＜x＜28，
即4＜x＜28.
故老师应在x∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
当堂训练
1．C 2.A 3.A 4.D 5.B
第四章 函数应用
学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．
1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)，x∈D的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．【来源：21·世纪·教育·网】
3．函数的零点的存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.【版权所有：21教育】
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用)．2-1-c-n-j-y
(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点不一定有f(a)·f(b)＜0，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.21*cnjy*com
4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．
5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
类型一 函数的零点与方程的根的关系及应用
例1 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．
反思与感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断．21·cn·jy·com
跟踪训练1 若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
类型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解
例2 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
反思与感悟 (1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．【出处：21教育名师】
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．
(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________.21教育名师原创作品
类型三 函数模型及应用
例3 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21世纪教育网版权所有
反思与感悟 在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y＝0时求x的最大值)非常重要．另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．21cnjy.com
跟踪训练3 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
1．已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少1个
2.如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )21教育网
3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )www.21-cn-jy.com
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
4．设函数f(x)＝log3 －a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.
1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图像、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．
2．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
3．函数建模的基本过程如图：
答案精析
题型探究
例1 x1＜x2＜x3
解析 令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图像，如图可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，2·1·c·n·j·y
所以＝，
即x3＝()2＞1.所以x1＜x2＜x3.
跟踪训练1 C [显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，21·世纪*教育网
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.]
例2 C [∵f(x)是R上的增函数且图像是连续的，且f(0)＝e0＋4×0－3＜0，f(1)＝e＋4－3＞0.∴f(x)在(0,1)内有唯一零点．f()＝e＋4×－3＝e－2＜0，f()＝e＋4×－3＝e－1＞0，21*cnjy*com
∴f(x)在内存在唯一零点．]
跟踪训练2 2
解析 ∵a＞2，
∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝loga2＋2－b，
f(3)＝loga3＋3－b.
∵2＜a＜3＜b＜4，
∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1.
∴－2＜loga2＋2－b＜0.
又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，
∴0＜loga3＋3－b＜2，
即f(2)＜0，f(3)＞0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．
例3 解 (1)令y＝0 ，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?
存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6.www-2-1-cnjy-com
所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标．
跟踪训练3 24
解析 依题意得两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33k＋b＝e33k·eb＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时．【来源：21cnj*y.co*m】
当堂训练
1．D 2.D 3.A
4．(log32,1) 5.2
