第1课时 集合的含义
学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．www.21-cn-jy.com
知识点一 集合的概念
思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？
梳理 元素与集合的概念
(1)集合：一般地，________________________称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．www-2-1-cnjy-com
(2)元素：集合中的____________叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．21教育网
知识点二 元素与集合的关系
思考 1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？
梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为________、__________，数学符号分别为________、________.2-1-c-n-j-y
知识点三 元素的三个特性
思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？21*cnjy*com
思考2 构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？
思考3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？【来源：21cnj*y.co*m】
梳理 元素的三个特性是指__________、__________、__________.
知识点四 常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
类型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
类型二 元素与集合的关系
例2 给出下列关系：
①∈R；②?Q；③|－3|?N；
④|－|∈Q；⑤0?N，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2 用符号 “∈”或“?”填空．
－________R；－3________Q；
－1________N；π________Z.
例3 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
跟踪训练3 已知集合A中的元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1?A,2∈A，则( )
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4
类型三 元素的三个特性的应用
例4 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使A＝B.
反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4 已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x.
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数 B．好心人
C．漂亮的小女孩 D．方程x2－1＝0的实数根
2．下面说法正确的是( )
A．所有在N中的元素都在N＋中
B．所有不在N＋中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列结论不正确的是( )
A．0∈N B. C．0?Q D．－1∈Z
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体．如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合．21cnjy.com
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．21·cn·jy·com
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．2·1·c·n·j·y
答案精析
问题导学
知识点一
思考 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素．
梳理 (1)指定的某些对象的全体
(2)每个对象
知识点二
思考 1是整数；不是整数；没有．
梳理 属于 不属于 ∈ ?
知识点三
思考1 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合A，那么任何一个对象a是不是这个集合中的元素就确定了．
思考2 2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．
思考3 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的．由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．21世纪教育网版权所有
梳理 确定性 互异性 无序性
知识点四
N N*或N＋ Z Q R
题型探究
例1 解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．
(2)能构成集合．
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．21·世纪*教育网
跟踪训练1 B [A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．]
例2 B [是实数，①对；
不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；
|－|＝为无理数，④错；
0是自然数，⑤错．
故选B.]
跟踪训练2 ∈ ∈ ? ?
例3 0,1,2
解析 ∵x∈N，∈N，
∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，＝＝2∈N；
当x＝1时，＝＝3∈N；
当x＝2时，＝＝6∈N.
∴A中元素有0,1,2.
跟踪训练3 D [∵1?A，
∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，
∴－4例4 解 (1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；
当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝{0,5,10}≠B.
若2a－1＝0，则a＝，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝{0，－，}≠B.
故不存在实数a，x，使A＝B.
跟踪训练4 解 当3x2＋3x－4＝2，
即x2＋x－2＝0时，x＝－2，或x＝1.
经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
当x2＋x－4＝2，即x2＋x－6＝0时，
则x＝－3或x＝2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
当堂训练
1．D 2.C 3.C 4.C 5.B
第2课时 集合的表示
学习目标 1.了解空集、有限集、无限集的概念.2.掌握用列举法表示有限集.3.理解描述法的格式及其适用情形.4.学会在不同的集合表示法中作出选择和转换．
知识点一 集合的分类
思考 集合{x∈R|x2<0}中有多少个元素？{x∈R|x2＝0}呢？{x∈R|x2>0}呢？
梳理 按集合中的元素个数分类，不含有任何元素的集合叫作空集，记作?；含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点二 列举法
思考 要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？21教育名师原创作品
梳理 把集合中的元素____________出来写在大括号内的方法叫作列举法．适用于元素较少的集合．21*cnjy*com
知识点三 描述法
思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
梳理 描述法：用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法．符号表示为{|}，如{x∈A|p(x)}．
类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
反思与感悟 (1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
(2)列举法表示的集合的种类
①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20的所有素数组成的集合．
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合．
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
引申探究
用描述法表示函数y＝x2－2图像上所有的点组成的集合．
反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号．
(2)说明该集合中元素的性质．
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内．
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 用描述法表示下列集合．
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合；
(3)由所有小于10或大于20的实数组成的集合．
类型三 集合表示的综合应用
例3 用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．21cnjy.com
跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________________.21·cn·jy·com
例4 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )21·世纪*教育网
A．18 B．17 D．16 D．15
反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4 定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________．2-1-c-n-j-y
1．下面四个判断，正确的个数是( )
(1)0∈?；
(2){0}是空集；
(3)是空集；
(4){x2＋y＋1＝0}是空集．
A．0 B．1 C．2 D．4
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图像的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
3．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是( )
A．6∈A B．0∈A C．3?A D．3.5?A
4．第一象限的点组成的集合可以表示为( )
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
5．下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( )
A．{x|x＝4k－1，k∈Z} B．{x|x＝2k－1，k∈Z}
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z} D．{x|x＝2k＋3，k∈Z}
1．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复．(3)元素无顺序．(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．21*cnjy*com
2．在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．【来源：21cnj*y.co*m】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 0个；1个；无限多个．
知识点二
思考 把它们一一列举出来．
梳理 一一列举
知识点三
思考 不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．21世纪教育网版权所有
题型探究
例1 解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．
跟踪训练1 解 (1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
例2 解 (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．【出处：21教育名师】
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10引申探究
解 {(x，y)|y＝x2－2}．
跟踪训练2 解 (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.www-2-1-cnjy-com
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
(3){x|x<10或x>20}．
例3 解 (1)列举法：{0,2,4}．或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
跟踪训练3 {2 000,2 001,2 004}
解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}
＝{－2，－1，0,1,2}，
所以x2∈{0,1,4}，
x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，
所以B＝{2 000,2 001,2 004}．
例4 B [因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.]2·1·c·n·j·y
跟踪训练4 6
解析 由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.21教育网
当堂训练
1．B 2.D 3.D 4.C 5.A
2 集合的基本关系
学习目标 1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．21教育网
知识点一 子集
思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
梳理 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的______________元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作____________(或__________)，读作“____________”(或“____________”)．21*cnjy*com
子集的有关性质：
(1)?是任何集合A的子集，即??A.
(2)任何一个集合是它本身的子集，即________．
(3)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么________．
(4)若A?B，B?A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
知识点二 真子集
思考 在知识点一里，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
梳理 如果集合A?B，但A≠B，称集合A是集合B的真子集，记作：__________(或__________)，读作：________________(或______________)．21·世纪*教育网
知识点三 Venn图
思考 图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．
梳理 一般地，用平面上________曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．Venn图可以直观地表达集合间的关系．21·cn·jy·com
类型一 求集合的子集
例1 (1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
反思与感悟 为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．2-1-c-n-j-y
跟踪训练1 适合条件{1}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15 B．16
C．31 D．32
类型二 判断集合间的关系
例2 设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )21世纪教育网版权所有
A．P?N?M?Q
B．Q?M?N?P
C．P?M?N?Q
D．Q?N?M?P
反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义．
跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为______________．【来源：21·世纪·教育·网】
例3 设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )
A．A∈B B．B∈A
C．A?B D．B?A
反思与感悟 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|－1A．A∈B B．A?B
C．B?A D．B?A
类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)
例4 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
反思与感悟 集合A的子集可分三类：?、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.
跟踪训练4 已知集合A＝{x|1
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若??A，则A≠?.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为( )
A．P?T B．P∈T C．P＝T D．P?T
3．下列关系错误的是( )
A．??? B．A?A
C．??A D．?∈A
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，则实数a可以是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．2·1·c·n·j·y
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．21cnjy.com
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．www-2-1-cnjy-com
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为?的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．【出处：21教育名师】
答案精析
问题导学
知识点一
思考 所有的白马都是马，马不一定是白马．
梳理 任何一个 A?B B?A A包含于B B包含A (2)A?A (3)A?C
知识点二
思考 用真子集．
梳理 A?B B?A A真包含于B
B真包含A
知识点三
思考 A?B?C
梳理 封闭
题型探究
例1 解 (1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如?，有1个子集，0个真子集．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1 A [这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]【版权所有：21教育】
例2 B [正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.]
跟踪训练2 N?Z?Q?R
例3 C [∵0<2，∴0∈B.
又∵1<2，∴1∈B.
∴A?B.]
跟踪训练3 B [由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2?A，故有A?B.]
例4 解 A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝??A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{}，
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
跟踪训练4 解 (1)当2a－3≥a－2，
即a≥1时，B＝??A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A?B，
需满足这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．
当堂训练
1．B 2.A 3.D 4.B 5.D
3．1 交集与并集
学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．【版权所有：21教育】
知识点一 并集
思考 某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？【出处：21教育名师】
梳理 (1)定义：一般地，________________________________的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__________(读作“A并B”)．21*cnjy*com
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________.
(3)图形语言：、，阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝__________，A∪A＝________，A∪?＝________，A∪B＝A?__________，A________A∪B.21教育名师原创作品
知识点二 交集
思考 一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
梳理 (1)定义：一般地，由既______________________________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作__________(读作“A交B”)．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_____________________________________.
(3)图形语言：，阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝__________，A∩A＝________，A∩?＝________，A∩B＝A?________，A∩B______A∪B，A∩B________A，A∩B________B.21*cnjy*com
类型一 求并集
例1 (1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是( )
A．{1,3,4,5,6} B．{3}
C．{3,4,5,6} D．{1,2,3,4,5,6}
(2)A＝{x|－1
反思与感悟 有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 (1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.
(2)A＝{x|－13}，求A∪B.
例2 集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．
反思与感悟 求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．
跟踪训练2 A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．
类型二 求交集
例3 (1)若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于( )
A．{0} B．{1} C．{0,1,2} D．{0,1}
(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．
反思与感悟 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．数轴是集合运算的好帮手，但要画得规范．21教育网
跟踪训练3 (1)集合A＝{x|－13}，求A∩B；
(2)集合A＝{x|2k(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.
类型三 并集、交集性质的应用
例4 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．
反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．21cnjy.com
跟踪训练4 设集合A＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，B＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p、q为常数，x∈R，当A∩B＝{}时，求p、q的值和A∪B.www.21-cn-jy.com
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于( )
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0A．{x|x>0} B．{x|x>1}
C．{x|14．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于( )
A．? B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|05．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．2·1·c·n·j·y
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．21·世纪*教育网
答案精析
问题导学
知识点一
思考 19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．21·cn·jy·com
梳理 (1)由属于集合A或属于集合B A∪B (2){x|x∈A，或x∈B}
(4)B∪A A A B?A ?
知识点二
思考 1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
梳理 (1)属于集合A又属于集合B
A∩B (2){x|x∈A，且x∈B}
(4)B∩A A ? A?B ? ? ?
题型探究
例1 (1)A [A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此 A∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.]2-1-c-n-j-y
(2)解 如图：
由图知A∪B＝{x|－1跟踪训练1 解 (1)B＝{－1,2}，
∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．
(2)如图：
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．
例2 解 A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}．
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．
跟踪训练2 解 A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．【来源：21cnj*y.co*m】
例3 (1)A [在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3(2)D [M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，
则M∩N＝{0,1}，故选D.]
(3)解 A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．
跟踪训练3 解 (1)A∩B＝{x|－1(2)A∩B＝{x|2(3)A∩B＝?.
例4 解 A∪B＝B?A?B.
当2a>a＋3，即a>3时，
A＝?，满足A?B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，
A＝{6}，满足A?B.
当2a需或
解得a<－4，或综上，a的取值范围是{a|a>3}∪{a|a＝3}∪{a|a<－4或}．
跟踪训练4 解 ∵A∩B＝{}，
∴∈A，
∴2×()2＋3p×＋2＝0，
∴p＝－，∴A＝{，2}．
又∵A∩B＝{}，∴∈B，
∴2×()2＋＋q＝0，
∴q＝－1.∴B＝{，－1}．
∴A∪B＝{－1，，2}．
当堂训练
1．B 2.C 3.A 4.A 5.B
3.2 全集与补集
学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．21cnjy.com
知识点一 全集
思考 老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？2·1·c·n·j·y
梳理 (1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的________集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
(2)记法：全集通常记作________．
知识点二 补集
思考 实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
梳理
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集(即A?U)，则由U中____________________的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作________
符号语言
?UA＝____________________
图形语言
性质
A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A
类型一 求补集
例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则?UA等于( )
A．{x|0C．{x|0(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求?UA，?UB.
(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)．【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．21教育网
跟踪训练1 (1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝________.
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则?UA＝________.
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则?UA＝________.
类型二 补集性质的应用
例2 已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.www-2-1-cnjy-com
反思与感悟 从Venn图的角度讲，A与?UA就是圈内和圈外的问题，由于(?UA)∩A＝v，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．2-1-c-n-j-y
跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.【来源：21cnj*y.co*m】
例3 关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①
x2＋2x－a＝0，②
x2＋2ax＋2＝0，③
若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．
反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．
跟踪训练3 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
类型三 集合的综合运算
例4 (1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于( )【出处：21教育名师】
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．?
(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是________．【版权所有：21教育】
反思与感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．21教育名师原创作品
跟踪训练4 (1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{1,3,7}，A∩(?UB)＝{4,9}，则B等于( )21*cnjy*com
A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}
C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}
(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM等于( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)等于( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是( )
A．Z∪?UN B．N∩?UN
C．?U(?U?) D．?UQ
5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，则N等于( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．21·cn·jy·com
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．www.21-cn-jy.com
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.21·世纪*教育网
答案精析
问题导学
知识点一
思考 老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向．
梳理 (1)子 (2)U
知识点二
思考 剩下不大于1的数，用集合表示为
{x∈R|x≤1}．
梳理 所有不属于集合A ?UA
{x|x∈U，且x?A}
题型探究
例1 (1)C [∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴?UA＝{x|0(2)解 根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}．
(3)解 根据三角形的分类可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．21*cnjy*com
跟踪训练1 (1){3,4,5}
(2){x|－1(3){(x，y)|xy≤0}
例2 解 ∵A＝{0,2,4,6}，
?UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}．
跟踪训练2 {x|0≤x≤1或x＞2}
解析 A∩B＝{x|1A∪B＝{x|x≥0}，
由图可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)
＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
例3 解 假设三个方程均无实根，
则有
即
解得－∴当a≤－或a≥－1时，
三个方程至少有一个方程有实根，
即a的取值范围为{a|a≤－或a≥－1}．
跟踪训练3 解 假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则
解得a<且a≠0，
则集合A中含有2个元素时，
实数a的取值范围是{a|a<且a≠0}．
在全集U＝R中，集合{a|a<且a≠0}的补集是{a|a≥或a＝0}，
所以满足题意的实数a的取值范围是
{a|a≥或a＝0}．
例4 (1)A [∵?U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴?UB＝{3,4}，
A中必有3，可以有1,2，一定没有4.
∴A∩(?UB)＝{3}．]
(2){a|a≥2}
解析 ∵?RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(?RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.
跟踪训练4 (1)B [根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.]21世纪教育网版权所有
(2)解 如图所示．
∵A＝{x|－2B＝{x|－3≤x≤2}，
∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3或2A∩B＝{x|－2∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2当堂训练
C 2.D 3.C 4.A 5.B
第一章 集合
学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．集合元素的三个特性：____________，____________，____________.
2．元素与集合有且只有两种关系：________，________.
3．已经学过的集合表示方法有__________，__________，__________，____________________.【来源：21·世纪·教育·网】
4．集合间的关系与集合的运算
符号
定义
Venn图
子集
A?B
x∈A?x∈B
真子集
A?B
A?B且存在x0∈B但x0?A
并集
A∪B
{x|x∈A或x∈B}
交集
A∩B
{x|x∈A且x∈B}
补集
?UA(A?U)
{x|x∈U且x?A}
5.常用结论
(1)??A；
(2)A∪?＝________；A∪A＝________；A∪B＝A?__________.
(3)A∩?＝________；A∩A＝________；A∩B＝A?__________.
(4)A∪(?UA)＝________；A∩(?UA)＝________；
?U(?UA)＝________.
类型一 集合的概念及表示法
例1 下列表示同一集合的是( )
A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}
B．M＝{2,1}，N＝{1,2}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}
D．M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}
反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．
跟踪训练1 设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.
类型二 集合间的基本关系
例2 若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可能取值组成的集合．21世纪教育网版权所有
反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A，B，当A?B时，不要忽略A＝?的情况．
跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(只需填写序号)
①若集合A＝?，则??A；
②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；
③已知集合A＝{x|12.
类型三 集合的交、并、补运算
例3 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
反思与感悟 求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．21cnjy.com
跟踪训练3 已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(?UB)等于( )21·cn·jy·com
A．{1} B．{3,6}
C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}
例4 设全集U＝R，A＝{x|0反思与感悟 解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．www.21-cn-jy.com
跟踪训练4 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？2·1·c·n·j·y
类型四 关于集合的新定义题
例5 设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．www-2-1-cnjy-com
①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；
②集合 A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；
③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；
④若A为封闭集，则一定有0∈A.
其中正确结论的序号是________．
反思与感悟 新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．
跟踪训练5 设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b－a叫作集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
2．下列关系中正确的个数为( )
①∈R；②0∈N*；③{－5}?Z.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则集合(?UA)∩B等于( )
A．{x|0C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤2}
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)等于( )21*cnjy*com
A．? B．{d}
C．{b，e} D．{a，c}
5．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是( )【出处：21教育名师】
A．P?Q B．P?Q
C．P＝Q D．P∩Q＝?
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．
2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．21教育名师原创作品
答案精析
知识梳理
1．确定性 互异性 无序性
2．∈ ?
3．列举法 描述法 Venn图 常用数集字母代号
5．(2)A A A?B (3)? A A?B (4)U ? A
题型探究
例1 B [A选项中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；
B选项中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；
C选项中M，N均为数集，显然有M?N；
D选项中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1上点的纵坐标，故选B.]【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练1 {(4,4)}
解析 由得
∴A∩B＝{(4,4)}．
例2 解 由题意得，P＝{－3,2}．
当a＝0时，S＝?，满足S?P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－，
为满足S?P，可使－＝－3，或－＝2，
即a＝，或a＝－.
故所求集合为.
跟踪训练2 ③
解析 ?是任何集合的子集，故①正确；
∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，
∴A＝B，故②正确；
若A?B，则a≥2，故③错误．
例3 解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵?RA＝{x|x<3或x≥7}．
∴(?RA)∩B＝{x|2跟踪训练3 B [∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，
B＝{1,4,5}，
∴?UB＝{0,2,3,6}，
又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(?UB)＝{3,6}，故选B.]
例4 {x|1≤x<2}
解析 图中阴影部分表示的集合为A∩(?UB)，因为?UB＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(?UB)＝{x|1≤x＜2}．21教育网
跟踪训练4 解 设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，21·世纪*教育网
则没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)．
答 这个班共有19名同学没有参加过比赛．
例5 ②④
解析 ①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.【版权所有：21教育】
跟踪训练5 C [方法一 由已知可得
解得0≤m≤，≤n≤1.
取字母m的最小值0，字母n的最大值1，
可得M＝{x|0≤x≤}，N＝{x|≤x≤1}，所以M∩N＝{x|0≤x≤}∩{x|≤x≤1}＝{x|≤x≤}，21*cnjy*com
此时得集合M∩N的“长度”为－＝.
方法二 集合M的“长度”为，集合N的“长度”为.
由于M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
而{x|0≤x≤1}的“长度”为1，
由此可得集合M∩N的“长度”的最小值是(＋)－1＝.]
当堂训练
1．B 2.C 3.C 4.A 5.D
