2．1.1 向量的概念
预习课本P77～79，思考并完成以下问题
(1)向量是如何定义的？怎样表示向量？
(2)向量的相关概念有哪些？
1．向量的概念及表示
概念
具有大小和方向的量称为向量
表示
具有方向的线段，叫做有向线段，以A为始点，B为终点的有向线段记作 ，的长度记作||.用有向线段表示向量，读作向量
代数表示
印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头
[点睛] 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．与向量有关的概念
名称
定义
记法
向量的
长度(模)
若＝a，则的长度为向量的长度(模)
|a|
零向量
长度等于0的向量
0
相等向量
两个向量a和b同向且等长
a＝b
向量的基线
通过有向线段的直线
向量共线或平行
向量的基线互相平行或重合
a∥b
规定：零向量与任意向量都平行
0∥a
位置向量
任给一定点O和向量a，过点O作有向线段＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量叫做点A相对于点O的位置向量
[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量能比较大小．( )
(2)向量的模是一个正实数．( )
(3)向量与向量是相等向量．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．
其中可以看成是向量的个数( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．始点是M D．终点是M
答案：D
4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有______．
答案：，
向量的有关概念
[典例] 有下列说法：①向量和向量长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量是有向线段；④向量00，其中正确的序号为________．
[解析] 对于①，||＝||＝AB，故①正确；
对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；
对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；
对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．
[答案] ①
(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手
①是否有大小；②是否有方向．
(2)理解零向量应注意的问题
零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
[活学活用]
有下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；
④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．
向量的表示
[典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
②，使||＝4，点B在点A正东；
③，使| |＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．
用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．
必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
[活学活用]
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，.
解：如图所示．
共线向量或相等向量
[典例] 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量相等的向量．
解：与向量相等的向量有，，.
2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．
解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2.如图，在圆O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
解析：选C 由图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.
3．向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B 根据共线向量定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B.
4.如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
5．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )
A．＝ B． ＝或＝－
C．＝1 D．||＝||
解析：选D 由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错．又与均为模为1的向量．∴||＝||，故C错D对．
6．已知| |＝1，| |＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
解析：由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
答案：
7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是______．
解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为2，在其中一个正方形中，与平行且长度为2的向量有2个，所以共8个．
答案：8
8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案：①③④
9.如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解：(1)与向量相等的向量是.
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.
10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，.
(2)求B地相对于A地的位移．
解：(1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．
层级二 应试能力达标
1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：
A中，与方向不同，故＝错误；
B中，与方向不同，故＝错误；
C中，与方向相反，故＝错误；
D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故＝正确．
2．下列说法正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．终点相同的两个向量不共线
C．若a≠b，则a一定不与b共线
D．零向量的长度为0
解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．
3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )
A．一组 B．二组
C．三组 D．四组
解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即＝.
4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是( )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模为模的倍
D．与不共线
解析：选D A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与的模相等的向量除外有9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝DA，所以BD＝DA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D项错误，选D.
5．四边形ABCD满足＝，且| |＝||，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．
解析：∵＝，∴AD∥BC且||＝||，∴四边形ABCD是平行四边形．又||＝||知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为__________；与向量的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)
解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，.
答案：， ，，，，
7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量．
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量．
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．
解：(1)与长度相等的向量是，
，，，，，，.
(2)与相等的向量是，
(3)与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线m平行，A，B(x，y)是m上的点．求
(1)x，y为何值时，＝0；
(2)x，y为何值时，||＝1.
解：(1)要使＝0，当且仅当点A与点B重合，于是
(2)如图，由已知，l∥m且点A的坐标是，
所以B1点的坐标是.在Rt△AOB1中，有
||2＝||2＋||2＝2＋2＝1，
即||＝1.
同理可得，当B2的坐标是时，|AB2|＝1.
综上有，当或时，||＝1.
2．1.2 向量的加法
预习课本P80～83，思考并完成以下问题
(1)向量的加法如何定义？
(2)在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
(3)向量加法的运算律有哪两条？
1．向量的加法
(1)三角形法则
原理
已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量 叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图示
[点睛] (1)和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点．
(2)零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.
(2)平行四边形法则
原理
已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则
图示
(3)多边形法则
原理
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则
图示
2.向量加法的运算律
运 算 律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量相加结果可能是一个数量．( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是( )
A．＋ B．＋＋
C．＋＋ D．＋＋
答案：C
3．边长为1的正方形ABCD中，|＋|＝( )
A．2 B.
C．1 D．2
答案：B
4．＋＋＋＝______.
答案：0
向量加法及其几何意义
[典例] 如图1，图2，图3所示，求作向量和．
[解] 如图中①，②所示，
首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b.
如图③所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c.
应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．
[活学活用]
如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.
解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
向量加法运算
[典例] 化简或计算：
(1) ＋＋；
(2) ＋＋＋＋.
[解] (1) ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2) ＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
[活学活用]
如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．
则①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________.
解析：①＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝
③＋＋＝＋＋＝.
答案：① ② ③
层级一 学业水平达标
1．下列等式错误的是( )
A．a＋0＝＋a＝a B．＋＋＝0
C．＋＝0 D．＋＝＋＋
解析：选B 由向量加法可知＋＋＝＋＝2.
2．(＋)＋(＋)＋等于( )
A． B．
C． D．
解析：选C 原式＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋＋)
＝＋0.
3．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a
C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
4．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度等于( )
A．2 B．4
C．12 D．6
解析：选B 因为＋＝A，所以＋＋的长度为的模的2倍，故答案是4.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
解析：选A ∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
6．＋＋＋＝________.
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.
解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
8.如图，在平行四边形ABCD中，
(1) ＋＝________；
(2) ＋＋＝________；
(3) ＋＋＝________；
(4) ＋＋＝________.
解析：(1)由平行四边形法则可知为.
(2) ＋＋＝＋＝.
(3)A＋＋＝＋＝.
(4) ＋＋＝＋＋＝＋＝0.
答案：(1) (2) (3) (4)0
9.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋.
解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
10．如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝ (i＝1,2，…，7)，bj＝ (j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：因为＋＝0，
所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＝b6.
层级二 应试能力达标
1.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．,＋＝
D．＋＝
解析：选D 由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.
2．下列命题错误的是( )
A．两个向量的和仍是一个向量
B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b|
C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|
D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点
解析：选D 根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有＝，起点和终点都不相同．
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
解析：选D ＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．
4．下列命题正确的是( )
A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点
C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b
D．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0
解析：选C 当a＋b＝0时，A选项不正确；若＋＋＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)，故D选项不正确．
5．O为三角形ABC内一点，若＋＋＝0，则O是三角形ABC的________心．
解析：∵＋＋＝0，
∴＋＝－＝，
此时与共起点，
∴以，为边构造一平行四边形，设AB的中点为D点，
则＋＝2，
即2＝，
∴O是三角形ABC的重心．
答案：重
6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.
答案：8 km 北偏东45°
7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
8.如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d.
(2)设|a|＝2，e为模为1的向量，求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为模为1的向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
2．1.3 & 2.1.4 向量的减法 数乘向量
预习课本P84～89，思考并完成以下问题
(1)a的相反向量是什么？
(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？
(3)向量数乘的定义及其几何意义是什么？
(4)向量数乘运算满足哪三条运算律？
1．相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
[点睛] 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
2．向量的减法
已知向量a，b(如图)，作＝a，＝b，则b＋＝a.向量 叫做向量a与b的差，并记作a－b，
即＝a－b＝－ .由定义可知：
(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；
(2)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量 减去它的始点相对于点O的位置向量 ，或简记为“终点向量减始点向量”；
(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
[点睛] 在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
3．数乘向量
(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa.
(2)长度：|λa|＝|λ||a|.
(3)方向：λa(a≠0)的方向：当λ＞0时，与a同方向；当λ＜0时，与a反方向．特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(4)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
(5)运算律：设λ，μ∈R，则①(λ＋μ)a＝λa＋μ a．②λ(μ a)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．
(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.
4．向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量．( )
(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )
(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．( )
(4)相反向量是共线向量．( )
(5)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
答案：A
3.(a＋2b)－(4a－3b)可化简为( )
A.a B．－a
C．－a＋3b D.a－3b
答案：C
4．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为______．
答案：，
向量的运算与化简
[典例] 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)( －)－(－)；
(4)( ＋＋)－(－－)．
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(4)( ＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量数乘运算的方法
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．
[活学活用]
化简下列各式：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2).
解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
向量的减法及其几何意义
[典例] 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] 法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[活学活用]
在本例的条件下作出向量：
①a－b＋c；②a－b－c.
解：如图所示．
用已知向量表示未知向量
[典例] 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
[解] 由三角形中位线定理，知DE綊BC，故＝，即＝a.
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
＝＋＋＝＋＋
＝－a－b＋a＝a－b.
用已知向量表示未知向量的方法
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
[活学活用]
如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又＝，＝，试用a，b表示，，.
解：∵＝＝＝(－)＝(a－b)，
∴＝＋
＝b＋a－b＝a＋b.
∵＝＝，
∴＝＋＝＋
＝＝(＋)＝(a＋b)．
∴＝－
＝(a＋b)－a－b
＝a－b.
层级一 学业水平达标
1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( )
A．5e B．－5e
C．23e D．－23e
解析：选C 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：选B |－|＝|＋|＝| |＝1.
3．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
解析：选C ＝－.根据三角形法则，
当，共线且同向时，||＝3；
当，共线且反向时，||＝13；
当，不共线时，3＜||＜13.
故||∈[3,13]．
4．已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b－c D．a－b－c
解析：选B 如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
5．下列各式能化简为的个数是( )
①(－)－
②－(＋)
③－(＋)－(＋)
④－－＋
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①中，(－)－＝＋＋＝＋＝；
②中，－(＋)＝－0＝；
③中，－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；
④中，－－＋＝＋＋＝＋2.
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______.
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
8.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b)表示．
解析：＝＋＝－＝－
＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．
答案：(b－a)
9．化简：
(1)－＋－；
(2) ＋＋－.
解：(1) －＋－
＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2) ＋＋－＝(＋)＋(－)
＝＋＝0.
10．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
层级二 应试能力达标
1．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：选C
∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，
∴|－|＝|＋|，如图．
即?ABCD的对角线相等，
∴?ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.
2．如图所示向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是( )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
解析：选A ∵＝－3，
∴＝－2＝2.
∴r＝＝＋＋＝＋＋＝＋(－)＝－＝－p＋q.
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
解析：选B 如图，设菱形对角线交点为O，
∵＋＝＋＝，
∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2，
∴OB＝1.在Rt△AOB中，
||＝＝，
∴||＝2||＝2.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D ∵＝－，∴＋＋＝－，即2＋＝0，即＝2，故＝，
∴P是AC边的一个三等分点．
5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．
解析：＝＝＝－＝b－c.
答案：b－c
6．对于向量a，b，当且仅当_______________________________________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
7.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1) ；(2) ；(3) ＋＋.
解：(1) ＝－＝c－a.
(2) ＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3) ＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.
解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且| |＝2，所以|a－b＋c|＝2.
2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
预习课本P90～93，思考并完成以下问题
(1)平行向量基本定理是怎样表述的？
(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？
(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？
1．平行向量基本定理
(1)平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.
(2)单位向量．
给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝.
[点睛] 对定理两个方面的说明
(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.
(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．
2．轴上向量的坐标及其运算
(1)轴上向量的坐标
名称
定义
轴
规定了方向和长度单位的直线叫做轴
轴的
基向量
取单位向量，且其方向与轴同方向，则该单位向量为轴的基向量
a在轴l
上的坐标
如果a＝xe, 则x叫做向量a在轴l上的坐标
(2)轴上向量的坐标运算
法则(或公式)
文字语言
符号语言
轴上两个向量相等的法则
轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等
设a＝x1e，b＝x2e，
则a＝b?x1＝x2
轴上求两个向量的和的法则
轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和
设a＝x1e，b＝x2e，
则a＋b＝(x1＋x2)e
轴上向量的坐标公式
轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标
AB＝x2－x1
|AB|＝|x2－x1|
[点睛] 是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示的坐标，它是一个实数．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．( )
(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．( )
(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则( )
A．AB＝－3 B．BC＝3
C．＝6 D．＝3
答案：B
3．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
答案：C
4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标xB＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．
答案：0
轴上向量的坐标运算
[典例] 已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.
(1)x2＝－5，BA＝－3；
(2)x2＝－1，|AB|＝2.
[解] (1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.
(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.
轴上向量的坐标及长度计算的方法
(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．
(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．
[活学活用]
已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求，，的坐标和长度．
解：AB＝(－3)－(－8)＝5，||＝|5|＝5；
BC＝7－(－3)＝10，||＝|10|＝10；
CA＝(－8)－7＝－15，||＝|－15|＝15.
共线向量定理的应用
题点一：判断或证明点共线
1．已知两个非零向量a与b不共线，＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．
证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
题点二：利用向量的共线确定参数
2．已知a，b是不共线的两个非零向量，当8a＋kb与ka＋2b共线时，求实数k的值．
解：∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
∵a与b不共线，∴
解得λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4.
题点三：几何图形形状的判定
3．如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝＋，＝＋AC.
求证：四边形APQB为梯形．
证明：因为＝＋＋＝－－＋＋＋＝，所以∥.
又||＝15，所以||＝13，故||≠||，于是四边形APQB为梯形．
用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
层级一 学业水平达标
1．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN等于( )
A．1 B．2
C．－7 D．1或－7
解析：选D |MN|＝|xN－(－3)|＝4，
∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2＋＋＝0，则( )
A．＝ B．＝2
C．＝3 D．2＝
解析：选A ∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴＋＝2，∴2(＋)＝0，即＋＝0，从而＝.
3．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
解析：选C ∵＝2－，∴－＝－，
∴＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C.
4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，又＝t，∴t＝.
5．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则实数λ的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选B 设a＝kb(k∈R)，
则2e1－e2＝ke1＋kλe2.
∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－.
6．在数轴x上，已知＝－3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量AB―→的坐标为________．
解析：由＝－3e，得点A的坐标为－3，
则AB＝3－(－3)＝6，即的坐标为6.
答案：6
7．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.
答案：①②③
8．已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，则点N的坐标为________．
解析：设点M，N的坐标分别为x1，x2，∵点P的坐标是5，MP＝2，MN＝8，∴解得故点N的坐标为11.
答案：11
9．已知数轴上A，B，C三点．
(1)若AB＝2，BC＝3，求向量AC―→的坐标；
(2)若AB＝BC，求证：B是AC的中点．
解：(1)AC＝AB＋BC＝5，即向量AC―→的坐标为5.
(2)∵AB＝BC，∴b－a＝c－b，
∴b＝，故B是AC的中点．
10．已知：在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
证明：如图所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
层级二 应试能力达标
1．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：选B ＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，由于与有公共点B，因此A，B，D三点共线．
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选A 由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
3．已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )
A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1
C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1
解析：选C ∵A，B，C三点共线，∴＝k (k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b不共线，
∴∴λ1λ2＝1.
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为( )
A．2 B.
C．3 D．6
解析：选C 如图，取BC的中点为D，
则＋＝2.
又＋＋＝0，
∴2＝－，∴A、P、D三点共线且||＝2||，
∴＝ .
又∵＋＝2，∴＋＝3，即λ＝3.
5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为a与b不共线，所以
解得m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝______.
解析：∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
7．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.
(1)若AC＝5，求c的值；
(2)若|BD|＝6，求d的值；
(3)若＝－3，求证：3＝－4.
解：(1)∵AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.
(2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，
即d＋2＝6或d＋2＝－6，
∴d＝4或d＝－8.
(3)证明：∵＝c＋4，＝d＋4，
又＝－3，∴c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.
3＝3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，
－4＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，
∴3＝－4.
8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量 ，；
(2)若＝λ，求λ的值．
解：(1)由A是BC的中点，则有＝(＋)，
从而＝2－＝2a－b.
由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝，
从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由于C，E，D三点共线，则＝μ，
又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－b，
从而(2－λ)a－b＝μ，
又a，b不共线，则解得λ＝.
2．2.1 平面向量基本定理
预习课本P96～98，思考并完成以下问题
(1)平面向量基本定理的内容是什么？
(2)如何定义平面向量基底？
(3)直线的向量参数方程式是什么？
1．平面向量基本定理
(1)定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
(2)基底
把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．
[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
2．直线的向量参数方程式
已知A，B是直线l上的任意两点，O是l外一点(如图所示)，则对于直线l上任意一点P，存在唯一实数t，使＝(1－t) ＋t ；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式＝(1－t) ＋t 叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．当t＝时，＝(＋)，此时P点为线段AB的中点，这是线段AB中点的向量表达式．
[点睛] 直线的向量参数方程式中，其，的系数和为1.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可以作为基底．( )
(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( )
(3)零向量不可以作为基底中的向量．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为( )
A．e1＋e2 B．－2e1＋e2
C．2e1－e2 D．2e1＋e2
答案：B
3．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2
C．e1,5e2 D．e1，e1＋e2
答案：B
4．设e1，e2为两个不共线的向量，若点O是?ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________.
解析：3e2－2e1＝(6e2－4e1)
＝(－)＝(－)
＝＝.
答案： (答案不唯一)
用基底表示向量
[典例] 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
[解] 法一：由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b，
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又则
所以x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
[活学活用]
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以a，b为基底表示，，.
解：∵AD∥BC，且AD＝BC，
∴＝＝b.
∵E为AD的中点，
∴＝＝＝b.
∵＝，
∴＝b，
∴＝＋＋
＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋b－a＝b－a，
＝＋＝－(＋)
＝－(＋)＝－
＝a－b.
直线的向量参数方程式的应用
[典例] 已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有＝3λ＋(1－3λ) (λ∈R，点O为直线AB外的一点)，则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由．
[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB.
法二：将已知向量等式两边同时减去，得
－＝(3λ－1) ＋(1－3λ)
＝(1－3λ)( －)
＝(1－3λ) ，
即＝(1－3λ) ，λ∈R，
∴A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.
直线的向量参数方程式的两方面应用
(1)若A，B，C三点共线，则有＝x＋y，且x＋y＝1；
(2)若＝x＋y，且x＋y＝1，则有A，B，C三点共线．
[活学活用]
在△ABC中，D为AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
解析：法一：∵＝2，
∴＝＝(－)．
∵在△ACD中，＝＋＝＋(－)＝＋，
∴λ＝.
法二：∵＝2，∴A，B，D三点共线，
又∵C在直线AB外，则＋λ＝1，∴λ＝.
答案：
平面向量基本定理的应用
[典例] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
[解] 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ
＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得
解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示，
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝，
＝＋＝＋＝b＋(―－)
＝b＋a－b＝b＋a.
2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
解：
如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ
＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得
解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
层级一 学业水平达标
1．已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．任意实数
解析：选B ，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B.
2．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①与；②与；③与；④―与.
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底．
3．若AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，则以a，b为基底表示＝( )
A.(a－b) B.(a＋b)
C.(b－a) D.b＋a
解析：选B 如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝(＋)＝(a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2) B.(e1－e2)
C.(2e2－e1) D.(e2－e1)
解析：选A 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
5．(全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.
6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为______．
解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
答案：3
7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝______.
解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，
解得k＝－2或.
答案：－2或
8．如下图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为______，在以a，c为基底时，可表示为______．
解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．
答案：a＋b 2a＋c
9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－
＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
10．证明：三角形的三条中线共点．
证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，令＝a，＝b.则有＝b－a.
设G在AD上，且＝，则有＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
＝－＝b－a.
∴＝－＝－
＝(a＋b)－a＝b－a
＝＝.
∴G在BE上，同理可证＝，
即G在CF上．
故AD，BE，CF三线交于同一点．
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b) B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
解析：选C ∵＝2，∴＝.
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：选A ∵M为边BC上任意一点，
∴可设＝x＋y.(x＋y＝1)
∵N为AM的中点，
∴＝＝x＋y＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( )
A．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e1＋λ2e1＝0，则λ1＝λ2＝0
B．平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R
D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：选B A中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B符合平面向量基本定理；C中，λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D中，λ1，λ2有且只有一对．
4．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A 由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ) －λ.又2＝x＋y，
∴消去λ得x＋y＝2.
5．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由解得
故e1＋e2＝＋
＝a＋b.
答案： －
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
解析：因为＝＋＝＋EB＝＋＋，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
答案：
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比．
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：
(1)如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ) ＋λ?λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
预习课本P99～102，思考并完成以下问题
(1)两个向量垂直如何定义？
(2)一个向量如何正交分解？
(3)向量的直角坐标定义是什么？
(4)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？
1．两个向量的垂直与正交分解
如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．
如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
2．向量的平面直角坐标的定义
(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)，
其中a1叫做向量a在 x轴上的坐标分量，a2叫做a在 y轴上的坐标分量．
3．向量的坐标表示
若＝xe1＋ye2＝(x，y)，则的坐标(x，y)?点A的坐标(x，y)．
4．向量的直角坐标运算
(1)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(_λa1，λa2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)；线段AB中点公式
[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是( )
A．(5,3) B．(4,3) C．(8,3) D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
答案：A
4．若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量＝______.
答案：(－1，－4)
平面向量的坐标表示
[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，∴B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
∴D.
∴＝，＝.
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
[活学活用]
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，
y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)．
(2) ＝(2，6)－(，－1)＝(，7).
平面向量的坐标运算
[典例] (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
[解析] (1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案] (11,13) (－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[活学活用]
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
解析：选A ∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为______．
解析：法一：设P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)，
∴＝＝(－8,1)＝，
∴∴
法二：由＝知，
P为MN的中点，
由中点坐标公式得
P点坐标为.
答案：
向量坐标运算的综合应用
[典例] 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
[解] 因为＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
[一题多变]
1．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
则解得t＝2.
2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以
该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
向量中含参数问题的求解
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
层级一 学业水平达标
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
解析：选C 记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵a＝＝－＝，
∴λa＝a＝.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
解析：选A b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(1,1) D．(－1，－1)
解析：选C ＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为( )
A．(－14,16) B．(22，－11)
C．(6,1) D．(2,4)
解析：选D 设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得所以
6．(江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，
则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，
y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．
答案：(－3，3)
9．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴?
即A点坐标为(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标．
(2)若点P(2，y)满足＝λ (λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以
所以
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ (λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以
所以
层级二 应试能力达标
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
解析：选D ＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
解析：选A 设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故解得即点D，故选A.
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“?”为m?n＝(a＋c，b＋d)．设f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，则(1,2)?f等于( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－4)
解析：选B 由(1,2)?f＝(5,0)，得解得所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论有________个．
解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋ (λ∈R)，则λ＝ ________.
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
答案：
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
∴＝(＋)＝(－4－3，－3－5)
＝(－7，－8)＝.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴＝－＝－＝－＝.
8．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐标．
(2)若＝m＋n (m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，
所以m－n＝1.
2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
预习课本P103～104，思考并完成以下问题
如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？
两向量平行的条件
[点睛] 两向量的对应坐标成比例．这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1.( )
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )
答案：(1)√ (2)√
2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则与a＋b共线的向量可以是( )
A．(2,1) B．(－1,2) C．(6,10) D．(－6,10)
答案：C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
答案：D
4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________．
答案：
向量共线的判定
[典例] (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A. B.
C．1 D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
[解析] (1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝.
法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以＝，即λ＝.
[答案] A
(2)解：＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．
又＝－2，∴，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式a1b2－a2b1＝0直接求解．
[活学活用]
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－，此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．
∴k＝－时，ka＋b与a－3b平行且方向相反．
三点共线问题
[典例] (1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[解] (1)证明：∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝，即与共线．
又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则，共线，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
有关三点共线问题的解题策略
(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；
(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．
[活学活用]
设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？
解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，
＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，
＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．
由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.
又与方向相同，所以x＝2.
此时，＝(2,1)，＝(－3,2)，
而2×2≠－3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C，D不在同一条直线上．
向量共线在几何中的应用
题点一：两直线平行判断
1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，
设||＝1，则| |＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形，
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
题点二：几何形状的判断
2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
证明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．
＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．
∴四边形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝||，即BC＝AD.
故四边形ABCD是等腰梯形．
题点三：求交点坐标
3.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．
解：法一：设＝t＝t(4,4)
＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝.∴＝(3,3)．
∴P点坐标为(3,3)．
法二：设P(x，y)，
则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵，共线，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，
且向量，共线，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3,3)．
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
层级一 学业水平达标
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：选B A中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B.
2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选C 根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，
∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
3．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1) B．(－6，－3)
C．(－1,2) D．(－4，－8)
解析：选D ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：选D 因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
5．设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60°
C．45° D．75°
解析：选A ∵a∥b，
∴×－tan α cos α＝0，
即sin α＝，α＝30°.
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案：λ＝μ
9．已知A，B，C三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.
证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1), (x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)．
∴点E的坐标为.
同理点F的坐标为，＝.
又×(－1)－4×＝0，∴∥.
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)．
(1)求a＋b；
(2)若a与m平行，求实数λ的值．
解：(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因为a＝(2,1)，
且a与m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，
解得λ＝1.
层级二 应试能力达标
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：选C 因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13
C．9 D．－9
解析：选D A，B，C三点共线，
∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．
4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：选D 设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，
①若这个平行四边形为?ABCD，
则＝，∴D(－3，－5)；
②若这个平行四边形为?ACDB，
则＝，∴D(5，－5)；
③若这个平行四边形为?ACBD，
则＝，∴D(1,5)．
综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．
解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．
∵＝－＝(3,1)，A＝－＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠.
答案：m≠
7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)若A，B，C三点共线，则与共线．
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.
(2)若＝2，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴
∴点C的坐标为(5，－3)．
8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
解：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝，
∴＝＝，
∴P的坐标为.
2.3.1-2.3.2 向量数量积的物理背景与定义 向量数量积的运算律
预习课本P107～111，思考并完成以下问题
(1)两向量的夹角是如何定义？
(2)向量在轴上的正射影定义是什么？
(3)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
(4)向量数量积的性质有哪些？
(5)向量数量积的运算律有哪些？
1．向量的夹角与正射影
(1)向量的夹角.
定义
已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
垂直
当〈a，b〉＝时，我们说a与b垂直，记作a⊥b
规定
零向量与任意向量垂直
[点睛] 当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
(2)向量在轴上的正射影．
已知向量a和轴l，如图．
①正射影的概念：作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量 叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)．
②正射影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.
[点睛] 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其数值可正、可负、可为零；当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.
2．平面向量数量积(内积)的定义及性质
(1)定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.
[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
(2)性质．
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos〈a，e〉．
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b?a·b＝0.(a，b均不为零向量)
③a·a＝|a|2，即|a|＝.
④cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
⑤对任意两个向量a，b有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．
[点睛] 对于性质②，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )
(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )
(3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.( )
(4)若a·b＝0，则a⊥b.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为( )
A．60° B．120° C．135° D．150°
答案：B
4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，则a·b＝________；
(2)若a∥b，则a·b＝________；
(3)若a⊥b，则a·b＝________.
答案：(1)－3 (2)6或－6 (3)0
向量数量积的运算
[典例] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)．
(2)如图，正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[活学活用]
1．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60.
2．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1) ·
(2) 在方向上的正射影的数量．
解：因为||＝5，||＝4，||＝3，所以△ABC为直角三角形，且C＝90°.所以cos A＝＝，cos B＝＝.
(1) ·＝－·＝－5×4×＝－16.
(2)| |·cos〈，〉＝＝＝.
与向量的模有关的问题
[典例] (1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
[解析] (1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，
从而|b|＝＝.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.
[答案] (1) (2)3
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[活学活用]
已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos 60°
＝50＋2×5×5×＝75，
∴|a＋b|＝5.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175，
∴|2a＋b|＝5.
两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1．(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.
题点二：证明两向量垂直
2．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．
证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
A．－ B.
C．± D．1
解析：选B ∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝.
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
层级一 学业水平达标
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D 如图，与的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B ∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝( )
A．37 B．13
C. D.
解析：选C |a＋b|＝＝
＝＝.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：选B ∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋7×cos 60°－2＝－.
答案：－
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos 60°＝，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝，
且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的正射影的数量为|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.
∴cos θ＝－，
∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
层级二 应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为( )
A．2 B．2
C．6 D．12
解析：选B |m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝2.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：选D 法一：因为cos A＝，故·＝||·||cos A＝||2＝16，故选D.
法二：在 上的投影为||cos A＝||，故·＝||||cos A＝||2＝16，故选D.
3．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝( )
A．－3 B．0
C．－1 D．1
解析：选C ·＝·(－)
＝·－||2＋||2＝×2×2×cos 60°－22＋×22＝－1.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的正射影的数量等于________．
解析：·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的正射影的数量是|b|cos 45°＝×＝1.
答案： 1
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，
∴|b|＝.
∵a·b＝，
∴|a|·|b|cos θ＝，
∴cos θ＝，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
8．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝.
(1)求a与b夹角的大小．
(2)求a＋b与b夹角的大小．
(3)求的值．
解：(1)设a与b的夹角为θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝，
所以|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.
又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.
(2)设a＋b与b的夹角为α，
因为(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋＝，
|a＋b|＝＝，|b|＝1，
所以cos α＝＝＝，
又α∈[0，π]，所以a＋b与b的夹角为.
(3)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
(3a－b)2＝9|a|2－6a·b＋|b|2＝9－3＋1＝7，所以＝＝.
2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？
(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？
1．向量数量积及向量垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
(1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2.
(2)若a，b为非零向量，a⊥b ?a1b1＋a2b2＝0.
[点睛] 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．
2．三个重要公式
(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝.
(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b?a1b1＋a2b2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7 C．－23 D．－7
答案：D
3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( )
A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}
答案：C
4．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
答案：2
平面向量数量积的坐标运算
[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] (1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
(2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.
[答案] (1)C (2)A
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[活学活用]
已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，
所以a＝λb＝(λ，2λ)．
又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.
因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．
(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，
所以(b·c)·a＝0·a＝0.
向量的模的问题
[典例] (1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
(2)已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，||＝2，则点B的坐标是________．
[解析] (1)由??
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．
∴|a＋b|＝.
(2)由题意可设＝λa(λ＞0)，
∴＝(2λ，3λ)．又||＝2，
∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2)2，解得λ＝2或－2(舍去)．
∴＝(4,6)．又A(1，－2)，∴B(5,4)．
[答案] (1)B (2)(5,4)
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[活学活用]
1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．
解析：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
|2a－b|＝
＝
＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
答案：2＋
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
答案：8
向量的夹角和垂直问题
[典例] (1)已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝________.
(2)已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为，则实数k的值为________．
[解析] (1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，
∴a＋λb＝(3－λ，2＋2λ)．
又∵(a＋λb)⊥b，
∴(a＋λb)·b＝0，
即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0，
解得λ＝－.
(2)c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)，
由cos ＝得＝，
∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝.
[答案] (1)－ (2)
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
[活学活用]
已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则cos θ＝＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，
即m，n的夹角为.
求解平面向量的数量积
[典例] 已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．
[解] [法一 定义法]
如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
∴·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×
＝－25.
[法二 坐标法]
如图，建立平面直角坐标系，
则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．
∴＝(－3,0)，＝(0,4)，＝(3，－4)．
∴·＝－3×0＋0×4＝0，
·＝0×3＋4×(－4)＝－16，
·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
∴·＋·＋·＝0－16－9＝－25.
[法三 转化法]
∵||＝3，||＝4，||＝5，
∴AB⊥BC，∴·＝0，
∴·＋·＋·＝·(＋)
＝·＝－||2＝－25.
求平面向量数量积常用的三个方法
(1)定义法：利用定义式a·b＝|a||b|cos θ求解；
(2)坐标法：利用坐标式a·b＝a1b1＋a2b2解题；
(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．
[活学活用]
如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
解析：法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝.
故cos∠DOE＝＝＝.
法二：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴||＝，||＝，
·＝2＋2＝1，
∴cos∠DOE＝＝.
答案：
层级一 学业水平达标
1．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
解析：选B 由a⊥b得a·b＝0，
∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，
∴|a＋b|＝＝.
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.
5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选A 由题设知＝(8，－4)， ＝(2,4)，＝(－6,8)，∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.
∴∠BAC＝90°，
故△ABC是直角三角形．
6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
解析：a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－，则a＝(1，－1)，故|a|＝.
答案：
7．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，
∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，
∴cos θ＝＝，
∴θ＝.
答案：
8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则向量b的坐标为________．
解析：设b＝(x，y)(y≠0)，则依题意有解得故b＝.
答案：
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
层级二 应试能力达标
1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：选C 由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，
故a－b与b垂直．
2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
解析：选C 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为(3,0)．
3．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞.
4．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥ (O为坐标原点)，则点C的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设C(x，y)，则＝(x，y)．
又＝(－3,1)，
∴＝－＝(x＋3，y－1)．
∵∥，
∴5(x＋3)－0·(y－1)＝0，
∴x＝－3.
∵＝(0,5)，
∴＝－＝(x，y－5)，＝－＝(3,4)．
∵⊥，∴3x＋4(y－5)＝0，∴y＝，
∴C点的坐标是.
5．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：因为向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以＝，即＝，所以＝，
解得m＝2.
答案：2
6．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为______．
解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，
设E(1，a)(0≤a≤1)．
所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，
·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，
故·的最大值为1.
答案：1 1
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，
可得
解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
8．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ (λ2≠λ)．
(1)求·及在上的射影的数量；
(2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；
(3)求||的最小值．
解：(1)·＝8，设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴在上的射影的数量为||cos θ＝4×＝2.
(2)＝－＝(－2,2)，＝－＝(1－λ)·－(1－λ)＝(λ－1)，所以A，B，C三点共线．
当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)·＋λ2
＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，
∴当λ＝时，||取到最小值，为2.
